高中数学教案复数
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复数
[重点]:复数的概念、复数的运算、复数的一些应用三部分。
复数的概念:复数的代数形式,复数的模,辐角,共轭复数,规定了复数的加,减,乘,除运算,利用复数的相等求平方根,一元二次方程求根,复数的几何意义:点,向量与解析几何的联系。
[难点]:一元二次方程根的讨论。
[例题讲解]:
例1.m为何实数时,复数Z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i)是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)零。
解:Z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i=(2m+1)(m-2)+(m-1)(m-2)i
(1)当m=1或m=2时,Z是实数。(2)当m≠1且m≠2时,Z是虚数。
(3)当即当时,Z是纯虚数。
(4)当即m=2时,Z是零。
例2.已知:,求实数x。
解:
即或x≥8。
例3.计算:
解:原式=
例4.求的平方根。
解:设的平方根为x+yi (x,y∈R),
则
由复数相等的定义得(1)2+(2)2,得(x2+y2)2=25 x2+y2=5 (舍去负值) (3)
(1)+(3),x2=3, x=, (3)-(1), y2=2, 。
∵,∴或
∴的平方根为。
例5.已知:|Z+2-2i|=1,求:|Z|的最值。
解:|Z-(-2+2i)|=1,几何意义:Z在复平面上对应的点集是以O'(-2,2)为圆心,r=1的圆。
|Z|的几何意义是⊙O'上的点与原点的距离;,
∴, 。
例6.说明|Z+1|+|Z-2|=2a(a∈R+)表示的曲线。
解:原式|Z-(-1)|+|Z-2|=2a,
几何意义是Z在复平面上对应的点Z与F1(-1,0),F2(2,0)距离之和等于2a的轨迹,|F1F2|=3。
(1)当2a>3即时,Z的轨迹是以F1,F2为焦点,2a为长轴的椭圆。
(2)当2a=3即时,Z的轨迹是线段F1,F2。(3)当2a<3即时,Z的轨迹不存在。
例7.已知a∈R,方程x2+2x+a=0的两根为a、b,求|a|+|b|。
解:∵ a∈R,∴方程为实系数一元二次方程,可以用Δ来判定方程有无实根。
(1)当Δ=4-4a≥0,即a≤1时,方程的根a、b为实数根。由韦达定理
又∵|a|+|b|≥0,
∴
①当0≤a≤1时,|a|+|b|=2, ②当a<0时,|a|+|b|=。
(2)当Δ=4-4a<0,即a>1时,方程的根a、b为虚根。
例8.已知是实系数一元二次方程ax2+bx+1=0的根,求a,b的值。
解:。方法(1) ∵实系数一元二次方程虚根为一对共轭复数,∴也是该方程的根。
由韦达定理:解得:a=1,。
方法(2),∵是方根的根,代入原方程整理得:
。由复数相等的定义得解得a=1,。
[参考练习]
一、选择题:
1.下面四个命题,正确的是()。
A、|Z|2=Z2 (Z∈C)
B、 (Z∈C)
C、|Z|<1-1 D、|Z1-Z2|=0Z1=Z2 (Z1,Z2∈C) 2.Z1,Z2∈C, 则Z1+Z2∈R, 且Z1·Z2∈R,是Z1与Z2共轭的()。 A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 3.复数的共轭复数是()。 A、3-4i B、3+4i C、 D、 4.关于x的一元二次方程x2+(m+2i)x+2+mi=0至少有一个实根,则m的取值范围是()。 A、B、 C、D、 5.在复平面内,若|Z-1+2i|+|Z-1-2i|=4. 则复数Z的对应的点的轨迹是()。 A、椭圆 B、圆 C、直线 D、线段 6.设Z=x+yi(x,y∈R),则满足等式|Z+2|=-x的复数Z对应的点的轨迹是()。 A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆 7.若P、Q是复平面内|Z|=2与直线的两个交点,则P与Q之间的距离为()。 A、B、C、D、 二、填空题 1.设复数Z1=2-i, Z2=1-3i, 则复数的虚部等于________。 2.-5-12i的平方根是______。 3.若x∈C且x2+ix+6=5x+2i,则x=______。 参考答案: 一、1. D 2. C 3. D 4. B 5. D 6. C 7. A 二、1. 2. 2-3i, -2+3i 3. 2, 3-i