2019-2020学年新培优同步人教B版高中数学必修一练习：第1章 集合 1.1.1

01第一章集合

1.1　集合与集合的表示方法

1.1.1　集合的概念

课时过关·能力提升

1下列指定的对象,不能构成集合的是( )

A.一年中有31天的月份

B.数轴上到原点的距离等于1的点

C.满足方程x2-2x-3=0的x

D.某校高一(1)班性格开朗的女生

2若集合A中只含有一个元素a,则下列关系表示正确的是( )

A.a∈A

B.a∉A

C.a=A

D.A=⌀

3已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m的值为( ) A.2 B.3

C.0或3

D.0或2或3

,知m=2或m2-3m+2=2,

解得m=2或m=0或m=3.

经检验,当m=0或m=2时,不满足集合A中元素的互异性;当m=3时,满足题意.

综上可知,m=3.

4有下列命题:

①集合N中最小的正数是1;②若-a∈N,则a∈N;③x2-6x+9=0的解集中的元素为3,3;④由元素4,3,2与3,2,4构成的集合是同一个集合.其中正确的个数为( )

A.0

B.1

C.2

D.3

正确;②中若a取-1,有-a∈N,但a∉N,故②错误;③中方程的解为x1=x2=3,根据集合中元素的互异性知其解集中的元素只有3,故③错误.

5已知集合A是无限集,且集合A中的元素为12,22,32,42,…,若m∈A,n∈A,则m￿n∈A.其中“￿”表示的运算可以是( )

A.加法

B.减法

C.乘法

D.除法

,所以选C.

6已知集合P中含有0,2,5三个元素,集合S中含有1,2,6三个元素.如果定义集合T中的元素是x+y,其中x∈P,y∈S,那么集合T中元素的个数是( )

A.6

B.7

C.8

D.9

0+1=1,0+2=2,0+6=6,2+1=3,2+2=4,2+6=8,5+1=6,5+2=7,5+6=11,所以T中含有8个元素

1,2,6,3,4,8,7,11.

a2,3a3

7由实数a,-a,|a|,组成的集合中最多含有 个元素,最少含有 个元素.

　1

8已知方程x2-4x+3=0和x2+4x-5=0的实数根组成的集合分别记为A和B,若x∈A,且x∉B,则x= .

A中含有1和3两个元素,集合B中含有1和-5两个元素,因此当x∈A,且x∉B时,

x=3.

9对于由元素2,4,6构成的集合,若a∈A,则6-a∈A.其中a的值是 .

a=2时,6-a=4∈A;当a=4时,6-a=2∈A;当a=6时,6-a=0∉A.因此a的值为2或4.

或4

10若x为实数,则由对象x,x2-x,x3-3x能构成一个集合吗?如果能构成集合,请说明理由;如果不能,

请给出附加条件,使它们构成一个集合.

x为实数,x,x2-x,x3-3x这三个实数有可能相等,此时不满足集合中元素的互异性,因此,它们不一

定能构成集合.

由x=x2-x,得x=0或x=2;由x=x3-3x,得x=0或x=±2;由x2-x=x3-3x,得x=0或x=2或x=-1,故只有

增加条件x≠0,且x≠-1,且x≠-2,且x≠2,由对象x,x2-x,x3-3x才能构成一个集合.

11方程ax2+2x+1=0,a∈R的根构成集合A.

(1)当A中有且只有一个元素时,求a的值,并求此元素;

(2)当A 中至少有一个元素时,求a 满足的条件.

A 中有且只有一个元素,即ax 2+2x+1=0有且只有一个根或有两个相等的实根.

①当a=0时,方程的根为

x=-;1

2②当a ≠0时,由Δ=4-4a=0,得a=1,此时方程的两个相等的根为x 1=x 2=-1.

综上可知,当a=0时,集合A

中的元素为-;1

2当a=1时,集合A 中的元素为-1.

(2)A 中至少有一个元素,即方程ax 2+2x+1=0有两个不相等的实根或有两个相等的实根或有一个实根.

①当方程有两个不相等的实根时,a ≠0,且Δ=4-4a>0,即a<1,且a ≠0;

②当方程有两个相等的实根时,a ≠0,且Δ=4-4a=0,即a=1;

③当方程有一个实根时,a=0,

此时2x+1=0,得

x=-,符合题意.1

2由①②③可知,当A 中至少有一个元素时,a 满足的条件是a ≤1.

★12已知集合A 中的元素满足性质:若实数a ∈A ,a ≠1,则∈A.

1

1-a (1)若a=2∈A ,试探究集合A 中一定含有另外的元素;

(2)说明集合A 不是单元素集合.

a ∈A ,a ≠1,得到∈A ,∈A ,然后逐步探究,再根据集合中元素的11-a 1

1-1

1-a 互异性,从而使问题得以解决.

若2∈A ,则=-1∈A ,1

1-2∈A ,=2∈A.1

1-(-1)=1211-12

故集合A 中一定还含有两个元素-1,.

12(2)若集合A 是单元素集合,则a=,即a 2-a+1=0,但此方程无实数解,故a ≠.

11-a 1

1-a 又因为a 与都为集合A 中的元素,1

1-a 所以集合A 不是单元素集合.