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第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.3】设图G＝〈V,E〉如图7.1.3所示。
这里V＝{v1，v2，v3}， E＝{e1，e2，e3，e4，e5}， 其中e1＝（v1，v2）， e2＝（v1，v3），e3＝（v3，v3）， e4＝（v2，v3），e5＝（v2，v3）。 在这个图中，e3是关联同一个结点的一条边,即自回路；
例如，零图和完全图互为补图。
图7.1.6给出了一个图G和G的补图。G
第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.4】（拉姆齐问题）试证在任何一个
有６个人的组里，存在３个人互相认识，或者 存在３个人互相不认识。
我们用６个结点来代表人，并用邻接性来代 表认识关系。这样一来，该例就是要证明：任 意一个有６个结点的图G中，或者有３个互相邻 接的点，或者有３个互相不邻接的点。即，对 任何一个有６个结点的图G，G或 G 中含有一个 三角形（即K3）。
则图G可用图7.1.2(a)或(b)表示。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
图7.1.2
第七章 图论 7.1 图的基本概念
图7.1.2
第七章 图论 7.1 图的基本概念
2.图G的结点与边之间的关系
邻接点:同一条边的两个端点。 孤立点:没有边与之关联的结点。 邻接边:关联同一个结点的两条边。 孤立边:不与任何边相邻接的边。 自回路（环）：关联同一个结点的一条边（（v，
7.1.4(b))； 无向图：每条边都是无向边的图称为无向图； 混合图：既有无向边，又有有向边的图称为混合图。 本书主要研究无向图和有向图。
(a)(b)
图7.1.4
(4)按G的边旁有无数量特征分为边权图(如图7.1.4(a))、 无权图;
(5)按G的任意两个结点间是否有边分为完全图Kn (如图7.1.5)和不完全图(如图7.1.6)。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
定义7.1.1一个图G是一个序偶〈V(G),E(G)〉，记 为G＝〈V(G),E(G)〉。其中V(G)是非空结点集合， E(G)是边集合，对E(G)中的每条边，有V(G)中的结 点的有序偶或无序偶与之对应。
若边e所对应的结点对是有序偶<a,b>,则称e是有向 边。a叫边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。若 边e所对应的结点对是无序偶(a,b),则称e是无向边。 这时统称e与两个结点a和b互相关联。我们将结点a、 b的无序结点对记为(a，b)，有序结点对记为<a，b〉。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点都是邻接的简单图称为
完全图。n个结点的无向完全图记为Kn。
图7.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。容易证明Kn有条边。
n(n 1) 2
图7.1.5K3与K4示意图
图7.1.6
第七章 图论 7.1 图的基本概念
第七章 图论 7.1 图的基本概念
图7.1.1
第七章 图论 7.1 图的基本概念
如果图7.1.1中的４个结点a，b，c，d分别表示４个人， 当某两个人互相认识时，则将其对应点之间用边连接起 来。这时的图又反映了这４个人之间的认识关系。
我们也可以点代表工厂,以连接两点的连线表示这两 工厂间有业务往来关系。这样便可用图形表示某一城市 中各工厂间的业务往来关系。这种用图形来表示事物之 间的某种关系的方法我们也曾经在第三章中使用过。对 于这种图形,我们的兴趣在于有多少个点和哪些点对间有 线连接,至于连线的长短曲直和点的位置都无关紧要。对 它们进行数学抽象我们就得到以下作为数学概念的图的 定义。
一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.2】设G=来自百度文库V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 。
边e4和e5都与结点v2、v3关联，即它们是多重边。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
图7.1.3
3.图G的分类 (1) 按G的结点个数和边数分为(n,m)图,即n个结点,m条边
的图; 特别地,(n,0)称为零图,(1,0)图称为平凡图。 (2)按G中关联于同一对结点的边数分为多重图和简单图; 多重图:含有平行边的图（如图7.1.3）。 简单图:不含平行边和自环的图。 (3)按G的边有序、无序分为有向图、无向图和混合图; 有向图：每条边都是有向边的图称为有向图（图
v）或〈v，v〉）。 平行边(多重边):关联同一对结点的多条边。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
如例7.1.1中的图，结点集V＝{a，b，c，d}，边集
E＝{e1，e2，e3，e4，e5}，其中 e1＝（a，b），e2＝（a，c）， e3＝（a，d），e4＝（b，c），e5＝（c，d）。d与
a、d与c是邻接的，但d与b不邻接，边e3与e5是 邻接的。
给定任意一个含有n个结点的图G,总可以把它补成 一个具有同样结点的完全图,方法是把那些缺少的边 添上。
定义7.1.2设G＝〈V,E〉是一个具有n个结点的简单 图。以V为结点集，以从完全图Kn中删去G的所有边 后得到的图（或由G中所有结点和所有能使G成为完 全图的添加边组成的图）称为G的补图，记为 G 。
第七章 图论
7.1 图的基本概念 7.2 路与回路 7.3 图的矩阵表示 7.4 欧拉图与汉密尔顿图 7.5 树与生成树 7.6 根树及其应用 习题七
第七章 图论 7.1 图的基本概念
7.1.1 图的基本概念 7.1.2 图的结点的度数及其计算 7.1.3 子图和图的同构
第七章 图论 7.1 图的基本概念
7.1.1 图的基本概念
1.图的定义 现实世界中许多现象能用某种图形表示,这种图形 是由一些点和一些连接两点间的连线所组成。 【例7.1.1】a，b，c，d4个篮球队进行友谊比赛。 为了表示４个队之间比赛的情况，我们作出图7.1.1 的图形。在图中４个小圆圈分别表示这４个篮球队， 称之为结点。如果两队进行过比赛，则在表示该队 的两个结点之间用一条线连接起来，称之为边。这 样利用一个图形使各队之间的比赛情况一目了然。