直线与圆(切线三大定理)

日月桃李文化教育教案

学生： 郭曼 年级： 9 科目：数学 地点：中海 时间：2013 年 3 月 9 日 星期 日 形式：单独 老师： 王丽君 教学内容：直线与圆的位置关系（三大切线定理） 课时安排： 2 学时 【知识要点】（按点列出）

圆心角和圆周角、弦长、弧长的关系

【教学过程】：【复习、新授、训练（例题与训练中的基础、拓展、综合、链接部分必与知识点紧密联系）、小结、作业）】 知识点1、直线和圆的三种位置关系：

知识点2、切线的判定和性质：

1、 判定：（1）当圆心到直线的距离d 等于半径r 时，直线是圆的切线； （2）经过半径外端垂直于的半径的直线，是圆的切线。

2、性质：如果一条直线与圆相切，另一条满足：（1）过圆心，（2）切点，（3）垂直于半径．其中任意两个条件，则必满足第三个条件。

知识点3、弦切角定理：弦切角等于所夹弧对的圆周角。

知识点4、切线长定理：从圆外一点向圆所引的两条切线段长相等； 知识点5、圆幂定理： （1）PA ·PB=PC ·PD

（2）PT 2=PA ·PB=PC ·PD

知识点6、圆与三角形：

（1）1902BIC A ∠=+

∠o

，()1

2

S a b c r =++ （2） ()1

2

r a b c =+-

注意：(1)“连半径证垂直得切线”。“作垂直证半径得切线”。

(2) 见切线要想到它垂直于过切点的半径；若过切点有垂线则必过圆心；过切点有弦，则想到弦切角定理，想到圆心角、圆周角性质，可再联想同圆或等圆弧弦弦心距等的性质应用。

（3）任意三角形有且只有一个内切圆，圆心为这个三角形内角平分线的交点。 知识点7:、圆与四边形 四边形对角互补

二、典例精讲

考点1、切线的性质和判定

例1、（1）如图，已知，△ABC 中，AB=AC ，以BC 的 中点O 为圆心的圆切AB 于D 。求证：⊙O 与AC 也相切

dr

关 系 相交 相切 相离

交点个数 两个交点 一个交点 没有交点

直线名称 割线 切线 不相交线

C

A O

B

D A P D C B A B T P D

C

A c b I a

C

B

A

c

b

B

C

a

r A

D C B A B P

（2）（2011广西梧州，25，10分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为C ．延长AB 交CD 于点E ．连接AC ，作∠DAC =∠ACD ，作AF ⊥ED 于点F ，交⊙O 于点G ． （1） 求证：AD 是⊙O 的切线；

（2） 如果⊙O 的半径是6cm ，EC =8cm ，求GF 的长． 考点2、圆幂定理： 例2、（1）如图，已知PT 是⊙0的切线，PAB 、PCD 是⊙0的割线， BC ∥PT ，连接DA 并延长交PT 与Q

求证：PQ=TQ

（2）如图，BC 是半圆O ⊙的直径，EF BC ⊥于点F ，5BF

FC

=．已知点A 在CE 的延长线上，AB 与半圆交于D ，

且82AB AE ==，，则AD 的长为多少．

A B

C

D

E

F

O

考点3、圆和三角形 例3、(2011黑龙江省大庆) 如图，Rt △ABC 的两直角边AC 边长为4，BC 边长为3，它的内切圆为⊙0，⊙0与边AB 、BC 、AC 分别相切于点D 、E 、F ，延长CO 交斜边AB 于点G ． (1)求⊙O 的半径长； (2)求线段DG 的长．

考点4、圆的综合题型

例4、已知：如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=8厘米，AD=24厘米，BC=26厘米，AB 为圆O 的直径，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1厘米／秒的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以3厘米／秒的速度运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．

求(1)t 分别为何值时，四边形PQCD 为平行四边形、等腰梯形？ (2)t 分别为何值时，直线PQ 与圆O 相切、相交、相离？(97年河北)

A C

P T D

B Q B G O E

D A C

F

中考例题 1、（成都市2007B29）．如图，A 是以BC 为直径的⊙O 上一点，AD BC ⊥于点D ，过点B 作O 的切线，与CA 的延长线相交于点E G ，是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ． （1）求证：BF EF =；

（2）求证：PA 是⊙O 的切线；

（3）若FG BF =，且⊙O 的半径长为32， 求BD 和FG 的长度．

2、（成都市2010B27）．已知：如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是弧AD 的中点，连结BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ．（1）求证：P 是ACQ ∆的外心； （2）若3

tan ,84

ABC CF ∠=

=,求CQ 的长； （3）求证：(FP+PQ)2=FP ·FG

【知识小结】（先由自己独立小结，最后由老师书面小结） 直线与圆的关系：相交、相切、相离

圆中切线三大定理：性质定理、判定定理、切线定理 圆幂定理

圆中内切三角形、四边形

【作业】（精少，书面与识记部分均要求有）

（成都市2012B27）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ．切点为G ，连接AG 交CD 于K ．

（1）求证：KE =GE ；（2）若2

KG =KD ·GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若sinE =

3

5

，AK =23，求FG 的长． O

D G C A

E

F

B P