现代控制理论 刘豹

2-6 应用Matlab的系统运动分析
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵
状态转移阵的计算
方法1
(t) eAt I At 1 At2 ... 1 Akt k ...
2
k!
方法2
eAt (t) L1[(sI A)1]
sX (s) x(0) AX (s) (sI A) X (s) x0 X (s) (sI A)1 x0 x(t) L1(sI A)1 x0
函数调用格式： [y, t, x]=step(sys) （3）lsim(sys) 求取任意输入时系统状态响应
函数调用格式： [y, t, x]=lsim(sys,u,t) （4）initial(sys) 求取零输入时系统状态响应
函数调用格式： [y, t, x]=initial(sys,x0)
2-6 应用Matlab的系统运动分析
例题
T
1
1 1
1
1
2
1 T
1 1
1 2
1 1
1 2
e At
1 1
1 et
2
0
0 1 1
e
2t
1
2
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵
例题
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵
凯莱-哈密顿定理: 方阵A满足其自身的特征方程,即
f ( A) An n1An1 ... 1A 0I 0
[y,t,x]=step(sys);
plot(t,x),grid
fgure(2); plot(t,y),grid
2-6 应用Matlab的系统运动分析
求上例系统在 u(t) 1 et cos5t 时的状态响应和输出响应
matlab的m文件文本如下：
A=[-20, 19, -20; 19, -21, 20; 40 -40 -40];
B=[0 1 2]’; C=[1 0 2]; D=0; sys=ss(A,B,C,D);
t=0:0.02:4;
u=1+exp(-t).*cos(5*t); [y,t,x]=lsim(sys,u,t); plot(t,x),grid
x0=[1 0 0]’; [y,t,x]=initial(sys,x0); plot(t,x)
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
2-4 离散时间系统状态方程求解
应用matlab函数[G,H]=c2d(A,B,T) 实现从连续时间到离散时间的模型转换
A
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0 2
13,..B
0 1
2-5离散时间系统状态方程求解
x(k 1) G(T )x(k) H (T )u(k)
线性定常系统
x(k 1) Gx(k) Hu (k) x(0) x0
它会产生什 么结论？
An n1An1 ... 1A 0I
e At I At 1 A2t 2 ... 1 An1t n1 1 Ant n 1 An1t n1 ...
2!
(n 1)!
n!
(n 1)!
n1(t) An1 n2 (t) An2 ... 1(t) A 0 (t)I
状态转移矩阵
x(t) (t)x0 x(t) (t t0 )x0
状态转移阵是nxn的
状态转移阵的概念、性质、求法
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵
状态转移阵的性质
e A(t t0 )
2e e (t t0 )
2(t t0 )
2e(t t0 ) 2e2(t t0 )
e e (t t0 )
2-4 连续时间状态方程的离散化
近似离散化
x((k 1)T ) x(kT) Ax(kT) Bu(kT) T
x(k 1) (TA I )x(k) TBu(k)
2-4 连续时间状态方程的离散化
例题: 2-13 离散化状态方程
x
0 0
1 2
x
10u(t)
G(T ) e AT 1 0
1 2
求下列系统在t=0.2,0.4秒时的状态转移阵
0 2 2 A 1 3,..B 0
matlab的m文件文本如下： A=[0 -2 ;1 -3]; B=[2; 0]; fait02=expm(A*0.2) fait04=expm(A*0.4)
2-6 应用Matlab的系统运动分析
求下列系统在u=1(t)时的状态响应和输出响应
k h, k
k 1
x(k) Gkh x(h) Gk j1Hu( j) jh
K时刻的状态只与此时刻以前的输入采样值有 关，与该时刻的输入采样值无关．
2-6 应用Matlab的系统运动分析
方法1： matlab函数来实现 （1）expm(A*t)计算给定时刻t的状态转移阵；
函数调用格式：fait=expm(A*t); （2）step(sys) 求取阶跃输入时系统状态响应；
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵
1.2
0
状
1
态
0.8
转
移
0.6
阵
0.4
的
性
0.2
质 0
0.2s 0.4s
-0.2 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵
状态转移阵的性质
分步走
t 0, t1, t2 x(t1) (t1 t0 )x0 x(t2 ) (t2 t1)x(t1) x(t2 ) (t2 t1)(t1 t0 )x0
性质3
[(t)]1 (t) I (t t) (t 0)(0 t) (t)(t)
性质4
(t) A(t) (t) A 从定义得证
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵
状态转移阵的性质 问题1：已知某状态转移阵如下，求其逆阵
2et e2t
et e2t
(t) 2et 2e2t
21 19 20 0
A
19
21
20 ,..B 1,
40 40 40 2
C 1 0 2
matlab的m文件文本如下：
A=[-20, 19, -20; 19, -21, 20; 40 -40 -40];
B=[0 1 2]’; C=[1 0 2]; D=0;
sys=ss(A,B,C,D);
2-3 线性定常非齐次方程的解
x(t) Ax Bu
x(t0 ) x0
t
x(t) (t)x0 (t )Bu( )d ...t t0
证明
t0
2-3 线性定常非齐次方程的解
例题2-8
2-3 线性定常非齐次方程的解
例题2-8
2-4 连续时间状态方程的离散化
•连续时间系统
x(t) Gx(t) Hu (t) y(t) Cx(t) Du (t)
figure(2);plot(t,y),grid
2-6 应用Matlab的系统运动分析
方法2：应用matlab的simulink中的模型库
建立mdl文件 求下列系统的状态响应
21 19 20 0
A
19
21
20 ,..B 1,
40 40 40 2
C 1 0 2
u(t) 1 et cos5t
b1k
bk
...
bnk
同幂次项系数相等
b1 Ab0
b2
1 2
Ab1
1 2!
A2b0
...
bk
1 k
Abk 1
1 k!
Ak
b0
2-1 线性定常齐次状态方程的解
t=0, b0=x0
x(t )
(I
At
1 2!
A2t 2
...
1 k!
Akt k
...)x0
e At
I
At
1 2
A2t 2
...
kT
2-4 连续时间状态方程的离散化
•连续时间系统
G(T ) (T ) eAT
(k 1)T
H (T ) ((k 1)T )Bd set...t (k 1)T
kT
近似离散化
T
H (T ) eAtdtB
0
x(kT) x((k 1)T ) x(kT) T
x(t) Ax(t) Bu(t)
➢ 线性定常连续时间齐次状态方程的解 ➢状态转移阵及其求解 ➢线性定常连续时间非齐次状态方程的解 ➢线性连续时间系统的离散化 ➢线性离散系统状态空间表达式的解
第二章 控制系统状态空间表达式的解
2-1 线性定常齐次状态方程的解 x(t) Ax x(t0 ) x0 x(t) e A(tt0 ) x0 ,...t t0
用迭代法解矩阵差分方程
k 0, x(1) Gx0 Hu(0) k 1, x(2) Gx(1) Hu(1) G2 x0 GHu(0) Hu(1) k 2, x(3) Gx(2) Hu(2) G3x0 G2Hu(0) GHu(1) Hu(2) ...
2-5离散时间系统状态方程求解
第二章 控制系统状态空间表达式的解 图解内容
连 续
x(t) Ax(t) Bu(t) x(0) x0,u(t)
时 y(t) Cx(t) Du (t)
间
x(t)
离散化
离
x(0) x0,u(k)
散 x(k 1) Ax(k) Bu(k)
x(k)
时
间
第二章 控制系统状态空间表达式的解
主要内容
特殊矩阵的状态转移阵
2 可化为对角型
0 1 A 2 3
T
1 1
1
2
,
T
1
AT
1 0
0
2
et
et
0
0
e
2t
eAt ?
e1t
e At (t) T
e2t ...
T 1
e
nt
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵
证明以上结论
z T 1ATz,...x Tz... x Ax z z,..z et z0..............x eAt x0 ..z T 1x.....x Tz ......x TetT 1x0
跃步走
t0 t2 x(t2 ) (t2 t0 )x0
(t2 t0 ) (t2 t1)(t1 t0 )
性质1
(t)( ) (t )
e At e A e A(t )
(t 0)[0 ( )] (t ( ))
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵
状态转移阵的性质
性质2
(t t) (0) I 从定义得证
2(t t0 )
e(t t0 )
2e2(t t0
)
0 t0 0, x(0) 1
t1
0.2, e At
0.97 0.3
0.15 0.52
x1 x(0.2) eAt1 x(0)
t2
0.4, eAt2
0.89 0.44
0.22 0.23
x2 x(0.4) e At2 x(0)
x2 e A(t2 t1 ) x(t1 )
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵
状态转移阵的计算 例题:方法1
解
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵
例题:
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵
例题：方法2
A
0 2
1 3
特征值：
I
A
2
1
3
(
1)(
2)
T
1 1
1 2
e At
et
T
0
e
0
2t
T
1
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵
et
2e2t
问题2：已知某状态转移阵如上，求其A阵
提示： (t) A(t) (t) A
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵
特殊矩阵的状态转移阵 1 A为对角型
1 0
0
2
e1t
et
e2t
...
e
nt
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵
1 k!
Akt k
...)
方程的解可写为 x(t) eAt x0
x(t) Ax,...t0 0, x(t0 ) x0 , .x(t) e A(tt0 ) x(t0 )
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵
(t)
e At
I
At
1 2
A2t 2
...
1 Akt k k!
...
(t t0 ) e A(tt0 )
(1 e2T e2T
)
H
(T
)
1 2
(T 1
e 2T 2
e 2T
1
2
分析选择不同的采样周期T.的影响
2-4 连续时间状态方程的离散化
0.5
0.45 0.4
0.35
continous discrete 1 discrete 0.5
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.5
系统的唯一解
证明: 假设x(t)为矢量幂级数形式
x(t) b0 b1t ... bkt k ...
2-1 线性定常齐次状态方程的解
证明: 假设x(t)为矢量幂级数形式 x(t) b0 b1t b2t 2 ... bkt k ...
x(t) b1 2b2t 3b3t 2 ... kbkt k1 ... A(b0 b1t b2t 2 ... bkt k ...)
K---KT u(K)=constant
x(k 1) G(T )x(k) H (T )U (k) y(k) C(T )x(k) Du(k)
t
x(t) (t t0 )x0 (t )Bu( )d ...t t0
t0
t0 kT, t (k 1)T
( k 1)T
x(k 1) (T )x(kT) ((k 1)T )Bdu(k )