第四章根轨迹法
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
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第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
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第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
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第4章 根轨迹法
第4章 根轨迹法
• 4.4
应用MATLAB绘制根轨迹图
• 使用rlocus命令可以得到连续的单输入单输
出系统的根轨迹。 • （1）Rlocus（num，den）或rlocus（num，
den，k）
• （2）sgrid或sgrid(zeta，wn)
• 解 在图4.11中画出ξ=0.5的射线，与根轨 迹相交得闭环极点的要求位置s0。再画出 Gk(s)的极点到s0的三个向量——
• 得 • 由向量幅值
• 换句话说，如果取K*的值为65，则1+Gk (s) 的一个根将位于s0，另一个根当然是和s0共 轭的。第3个根在何处呢？由根轨迹知道， 第3条根轨迹在负实轴上，在一般情况下， 可以取一试探点，计算相应的K*值，然后 修正试探点直到找出和K*=65相应的点为止。
• ②方法2 根据式(4.14)，求出闭环系统特 征方程。
• 由上式可得
• ③方法3
根据式(4.15)有
• d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根 轨迹上，则舍弃。此系统根轨迹如图4.4。
图4.4
• 以上介绍了9条绘制根轨迹的一般规则。为 了熟练应用上述9条规则，并能绘制复杂系 统根轨迹，下面再举一例说明如何绘制一 个复杂系统的完整根轨迹图。
第4章
• 4.1
• 4.1.1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根轨迹法
根轨迹的基本概念
根轨迹的定义
• 系统参数（如开环增益K *）由零增加到∞ 时，闭环特征根在S平面移动的轨迹称为该 系统的闭环根轨迹。
• 4.1.2
根轨迹方程
• 既然根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，
则描述其变化关系的闭环特征方程就是根轨 迹方程。 • 则根轨迹方程（系统闭环特征方程）为： （4.2）
第四章 根轨迹法
r 0,1,2,, n m 1
jω
5 3
r 0, 600 r 1, 1800 r 2, 3000
0
σ
五.实轴上的根轨迹 规则五：实轴右侧的开环零、极点个数总和为奇数时， 该实轴段属于根轨迹。
相角条件
( s z j ) ( s pi ) (2r 1)1800
求取分离点与会合点的方法
计算思想：寻找特征方程中k的极值。 闭环特征方程： 1 G ( s ) H ( s ) 0
k ( s z1 )( s z 2 )....( s z m ) k N( s ) G(s) H (s) ( s p1 )( s p2 )....( s pn ) D( s)
根轨迹终止于[s]平面的无穷远处。
闭环特征方程：
( s z1 )( s z 2 )....( s z m ) 1 ( s p1 )( s p2 )....( s pn ) k
当k→∞，得
( s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0
即 s z j ( j 1,2,..., m) 闭环极点就是开环零点。 说明根轨迹终止于开环零点。
( s z j ) ( s pi ) (2r 1)1800
j 1 i 1
m
n
r 0,1,2,
按相角条件绘制根轨迹图
具体方法是：在复平面上选足够多的试验点，对每 一个试验点检查它是否满足相角条件，如果是则该 点在根轨迹上，如果不是则该点不在根轨迹上，最 后将在根轨迹上的试验点连接就得到根轨迹图。
k=2 k=0 －2 k=1 －1
K→∞
jω
j k=0 0
第四章根轨迹法
系统得闭环根轨迹图。
j
已知负反馈系统开环零极点 分布如图示。
2 p2
在s平面找一点s1 ,
1
画出各开环零、极点到 z1
s1
1
p1 0
s1点得向量。
3
检验s1就是否满足相角条件: p3
(s1 z1) [(s1 p1) + (s1 p2) + (s1 p3)]
= 1 1 2 3 = (2k+1) ？？
点,称为根轨迹得分离点(会合点)。
Kg=0 p1
j
j1
Kg A
Kg z1
0
p2 Kg=0
分离点得性质:
1)分离点就是系统闭环重根; 2)由于根轨迹就是对称得,所以分离点或位于实轴上,或 以共轭形式成对出现在复平面上; 3)实轴上相邻两个开环零(极)点之间(其中之一可为无穷 零(极)点)若为根轨迹,则必有一个分离点;
n
m
(s p j ) K g (s zi ) 0
j 1
i 1
d
ds
n j 1
(s
pj)
Kg
d ds
m
(s zi ) 0
i 1
d n
ds j1
n
(s
pj)
dm
ds i1
m
(s zi )
(s pj ) (s zi )
j 1
i 1
(lnV ) V V
n
m
d ln (s pj ) d ln (s zi )
如果s1点满足相角条件,则就是根轨迹上得一点。寻找
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
在s 平面内满足相角条件得所有s1 点,将这些点连成光滑曲 线,即就是闭环系统根轨迹。
第4章 根轨迹法
Kr(s2+2s+2) G(s)H(s)= s(s+1)(s+2) 解： 开环零、极点分布： 两条根轨迹终止于开环传 z1 递函数的两个零点，另一条 p1= 0 p2= -1 p3= -2 趋于无穷远。z = -1-j z1= -1+j 2 p3 p
2
jω
1 p
1 0
系统的三条根轨迹起始 于三个开环传递函数的极 点。
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实轴上的根轨迹段 系统开环零、极点分布为： 共轭开环零、极点构 υ 1 p3 设实轴上任意点s1 成的相角正负抵消 θ 3 θ 1 p1 θ 2 s1与开环零、极 s1 0 σ p2 实轴上根轨迹段右侧 点之间的矢量： θ 4 的开环零、极点个数之和 s1的相角方程为： υ 2 p4 4 2 为奇数。 z2 ∑ (s1-zi) -∑ (s1–pj)
一、根轨迹
二、根轨迹方程
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根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。
（2）适用于研究当系统中某一参数 变化时，系统性能的变化趋势。 （3）近似方法，不十分精确。
§4.1 根轨迹法的基本概念 根轨迹：系统某一参数由0 → ∞变化时，l在
s平面相应变化所描绘出来的轨迹。
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例1 系统结构图如图所示，分析 l 随开环增益K 变化的趋势。 K K * 2K 解. G( s) s(0.5 s 1) s( s 2) K : 开环增益 K*: 根轨迹增益 ∞ ↑ K＊ s2 K＊=0 1 -1 -2 K＊ ∞ ↑
ω j
1 s1 0 σ -1
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第四章控制系统的根轨迹法
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
10
[例4-1]系统的开环传递函数为：Gk (s)
由根轨迹图可知，当0 k 0.858时，闭环系统有一对
不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬 态响应呈欠阻尼状态。当29.14 k 时，闭环系统又有一 对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
14
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变 量时的根轨迹。
解得 k 5, 5 由图可知当k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻 尼比 1 ，特征根为 5 j5 。
2
13
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
2.93 5 2.93 k1 10 2.93 0.858
对于会合点17.07 ，有
45
17.07 5 17.0 k2 10 17.07 29.14
论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参 数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
利用根轨迹确定系统的有关参数 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系 统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足 这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区 域。如下页图所示，具有实部 和阻尼角 划成的左区域 满足的性能指标为：
17
例4-4（续2）
其分离回合点计算如下：
N(s) s2 3s, N ' (s) 2s 3
第四章：根轨迹法
j=1
确定根轨迹上某点对应的K*值
闭环零、极点与开环零、极点的关系
比较开环传递函数与闭环传递函数：
G (s) H (s) K G K H
( S Z ) ( S Z
i i 1 q j 1 h i i 1 j 1
f
l
f l m j
) K
(S Z
j 1 i i 1
j
)
( S P ) ( S P )
j
qhn
(S P )
Φ(s)=
* KG ∏(s-zi ) ∏(s-pj )
i=1
j=1 * * ∏(s-pi ) ∏(s-pj ) + kG kH ∏(s-zi )∏(s-zj ) i=1 j=1 i=1 j=1 q h f l
相角条件:
m
根轨迹的模值条件与相角条件 n
∑∠(s-zj) －∑∠(s-pj) = (2k+1) π j=1 i=1
k=0, ±1,
±2, … m 绘制根轨迹的充要条件 i=1 m
模值条件:
1+K K = = -1 0 1 n (s ) ∏︱ -p︱
i=1
) ∏︱ - z︱ s -p ( s jn ∏︱ ︱ j=1 i * *
第四章：根轨迹法
教学目的
对于低阶控制系统，我们可以用求解微分方程方法来分析控制 系统，而对于高阶系统，用微分方程的方法求解就比较困难。根轨
迹方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用起来比较
简便，因此在工程设计中获得了广泛应用。 通过本章内容学习，要使学生懂得根轨迹的概念，根轨迹的作 图方法，以及根轨迹与系统性能之间的关系。
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
(自动控制)第四章：根轨迹法
动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，
如过阻尼状态、欠阻尼状态……
根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系 l f
* G(s)= KG
∏( s-p ) i i=1
f i i 1 H q
q
∏( s-z ) i i=1
;
l
j=1 * H (s)= KH h
f l m
∏(s-zj )
C(s)
C ( s) 2k 2 R ( s ) S 2 S 2k
特征方程（闭环）：
S2+2s+2k=0
k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根 ；若s1=－0.25, s2=? k=0.5 时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1 j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变； K一停，一组根停；
-2
-1
0
由以上分析，s1、s2两条根轨迹反映了系统特征根随参 数k变化的规律，组成了系统的根轨迹。 1.二阶系统有两个特征根，它的根轨迹有两条分支； 一个n阶系统的根轨迹则应有n条分支。 2.k＝0时的闭环极点，s1=0、s2=-2正好是开环传递函 数的两个极点，因此说，系统开环极点就是它各条根轨 迹的起点。 3. k＝∞时的闭环极点，是根轨迹的终点。 4.特征方程的重根点是根轨迹的分支离开负实轴进入复 数平面的分支点。
a.系统响应单调上升（ξ>1）系统具有两个不相等的负实根┈ 过阻尼响应。 b.系统响应衰减振荡（0＜ξ＜1）系统具有一对负实部的共 轭复根┈欠阻尼响应。
第4章 根轨迹法
s zj s pi
i 1 j1 n
m
1 Kg
1 1 (s k ) n m K g
sk
1 1 s n m (n m) k s n m 1 k n m K g
s zj s pi
i 1 j1 n
m
1 Kg
(s z j ) (s p i )
2、实轴上[-1,-2]区间、[-4,-∞）区间存在根轨迹。
dK g ds 0 求得 3s 2 14s 14 0 ，解得 s1 1.45，s 2 3.21
3、由
s2 所在区间不存在根轨迹，舍去；分离点坐标为 (-1.45,j0)。
4、确定渐近线。
k
pi z j
r
(s pi )
i 1
k
K Hg N H (s) D H (s)
N H (s) (s z j )
j1
r
D H (s) (s pi )
i 1
k
G(s)H(s)
K Gg K Hg N G (s)N H (s) DG (s)D H (s)
K g N(s) D(s)
i 1
m n
m
sk
s
j
sp
s
j1 n
1 ； K gk
z j
z
j
i
j
i
0
jk ik 180
j1 i 1
m
(1 2k)(k 1, 2,)
p i
幅值条件为：
s zj s pi
i 1 j1 n
第四章：根轨迹法
第四章：根轨迹法第四章根轨迹法本章⽬录4.1 根轨迹的⼀般概念4.2 绘制根轨迹的数学依据及其性质4.3 绘制根轨迹的⼀般规则4.4 *绘制根轨迹的MATLAB函数介绍4.5 例题4.6 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹4.7 正反馈回路和⾮最⼩相位系统根轨迹——零度根轨迹⼩结本章简介从前章得知闭环极点在根平⾯上的分布，反映着系统的固有性能。
故为了获得较好性能，就希望极点在根平⾯上有较好的分布。
亦即，为了研究系统的动态性能，就可以通过闭环极点在根平⾯上的分布来进⾏。
闭环极点是系统特征⽅程的根sb。
若其特征⽅程中，各系数变化，则⽆疑，其根sb也在变化。
各系数的变化往往相应着系统的许多实际参数的变化⽽形成。
在根迹中，⼀般总是以增益 (当然也可其它参数,如时间常数 )的变化⽽导致各系数的变化,即sb的变化。
如果连续变化,则sb也连续变化。
相应于由0连续变化到∞时, sb在根平⾯上的连续变化⽽形成的轨迹,即闭环系统特征根的根轨迹--若⼲条曲线。
这样,相应于各个值下的闭环极点在根平⾯上的分布就⼀⽬了然了。
这对系统的分析、设计带来了极⼤的⽅便.。
所谓根轨迹法，就是⽤图解的⽅法确定出闭环特征根的⼀种⽅法。
先在复数平⾯上画出系统某⼀参数的全部数值下的特征⽅程的所有根，即根轨迹。
然后⽤图解的⽅法确定出该参数某⼀特定数值时的闭环特征根。
从⽽分析出系统所具有的性能。
或反之，在根迹上先确定出符合系统性能要求的闭环特征根。
从⽽⽤图解的⽅法求出相应的系统应具有的参数值。
相对时域法，很直观，且避免了求解系统⾼阶特征⽅程的困难。
现在计算机科学有了飞速发展，特别是MATLAB语⾔及其相应⼯具箱，有强⼤的数值计算和图形绘制功能。
所以利⽤MATLAB语⾔相关函数绘制系统根迹及求根等均是轻⽽易举的事。
这就给根迹法的应⽤开辟了更好的前景。
本章在介绍传统的根轨迹法及其⽰例的同时，有机结合介绍MATLAB语⾔相关的根轨迹函数及相应⽰例的解题程序。
第四章 根轨迹法
第 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。
那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。
特别是要分析系统特征式中某一参数（比如K *）变化时对系统性能的影响，这种准确求解每一个特征根的工作将会变得十分困难。
W .R.Evans 提出了一种描述特征方程中某一参数与该方程特征根之间对应关系的图解法，比较方便的解决了上述问题。
这种方法就是本章要介绍的根轨迹法。
第一节 根轨迹的基本概念一、根轨迹的定义系统参数（如开环增益K *）由零增加到∞时，闭环特征根在s 平面移动的轨迹称为该系统的闭环根轨迹。
[例4-1] 单位反馈控制系统如图4-1，绘制K *变化时，系统极点的变化情况。
图4-1 反馈控制系统的方块图*2*222)()()(Ks s Ks U s Y s G k ++==特征方程 022)(*2=++=K s s s D 特征根 *2,1211K s -±-= 讨论 当0*=K 时，01=s ，22-=s5.0*=K时，121-==s s1*=K时，112,1j s ±-=∞→*K时，∞±-=j s 12,1绘出特征根的变化轨迹如图4-2σ图4-2 例4-1的根轨迹图显然，当5.00*<<K 时，系统取得二不相等实数根（过阻尼）； 5.0*=K 时，系统取得二相等实数根（临界阻尼）； 5.0*>K 时，系统取得一对共轭复数根（欠阻尼）。
*K 越大，共轭复数根离对称轴（实轴）越远．指定一个*K 值，就可以在根轨迹上找到对应的二个特征根，指定根轨迹上任意一特征根的位置，就可以求出该特征根对应的*K 值和其余特征根。
下面我们讨论根轨迹的一般情况。
二、根轨迹方程既然根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，则描述其变化关系的闭环特征方程就是根轨迹方程。
(完整版)第四章根轨迹法
j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
4
4
2 4 4 2 2
( 2)2 2
第四章 根轨迹法
自动控制原理课程的任务与体系结构
时域：微分方程 复域：传递函数 频域：频率特性
描述
控制系统
校正
时域法 复域法 频域法
评价系统的性能指标 稳定性 快速性（动态性能） 准确性（稳态性能）
分析
自动控制原理
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
• s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件） 一定在根轨迹上。 满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。
§4.2
m
绘制根轨迹的基本法则（1） G(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
K*
(s zi )
i 1 n
1
(s pj)
— 模值条件
j 1
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j1
— 相(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
§4 根 轨 迹 法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。 （2）适合于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化
第4章 根轨迹分析法
i 1
其余n m,
m
(s zi )
i 1 n
(s pj )
m
(1
m
i 1
pj
(1 s)
zi
n
s
) (s
p
j
)
1 Kg
j 1
j 1
j m 1
此时s ，即无穷远处
8/63
五.实轴上的根轨迹
在实轴上，右方的实数开环极点和实数开环零 点的总和为奇数时，此为根轨迹上点。
GK (s)
m
n
闭环系统特征方程 或根轨迹方程
4/63
GK (s) GK (s) e jGK (s) 1
幅值条件: GK (s) 1 相角条件: GK (s) 180o (2k 1) k 0,1, 2,
或:
m
(s zi )
充要条
K i1 gn
1
件
(s pi )
m
n
j 1
s zi s p j 180o (2k 1) k 0,1,2,
当 nm2
n
n
an1 ( pj ) (sj ) s j 为系统的闭环极点
j 1
j 1
随着根轨迹增益的变化，若一些闭环极点向右移动，则另一些
必向左移动
n
(sj )=(-1)n (a0 Kgb0) j 1
22/63
十条法则：
1.连续性 2.对称性 3.分支数 4.起点、终点 5.实轴上的根轨迹 6.渐近线 7.分离点、会合点 8.出射角、入射角 9.虚轴交点 10.闭环极点的和与积
D(s)N(s) N(s)D(s) 0,3s2 6s 2 0
ss21
0.423 1.577
第四章 根轨迹法
m
(s p )
i i 1
n
1
K*从0 到无穷大变化
由于s为复数，所以根轨迹方程的另一种表示方法:
模值方程：
K
*
sz
i 1 i
m
i
s p
i 1
n
1
相角方程:
(s z ) (s p ) (2k 1) , k 0,1,2
i 1 i i 1 i
m
n
绘制根轨迹利用相角方程，求根轨迹上某 点对应的K*值则用模值方程。
4-2 常规根轨迹的绘制法则
一、绘制根轨迹的基本法则
1.根轨迹的起点与终点 K*=0时对应的根轨迹点称根轨迹的起点， K* =∞时对应的根轨迹点称根轨迹的终点
根轨迹起于开环极点，终于开环零点。若开 环零点数m小于开环极点数n,则有n-m条根 轨迹终于无穷远处（无限零点）。
s 4s 4 K 0
2
s2 2 2 1 - K
由 s1 2 2 1 K s2 2 2 1 - K 可得闭环极点的变化情况：
K=0 0 < K <1 K=1 K=2 1<K<∞ K= ∞ s1=0 s2=-4 s1 s2为不等的负实根 s1=-2 s2=-2 s1=-2+2j s2=-2-2j s1 s2 实部均为-2 s1=-2+j ∞ s2=-2-j ∞
K=0 0 < K <1 K=1 1<K<∞
s1=0 s2=-4 s1 s2为不等的负实根 s1=-2 s2=-2 s1 s2 实部均为-2
由根轨迹可知： 1）当K=0时,s1=0,s2=-1,这两点恰是开环传递 函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点. 2）当0<K< 1 时,s1,2都是负实根,随着k的增 长,s1从s平面的原点向左移,s2从-1点向右移。 3) 当K= 1时, s1,2 = -2,两根重合在一起, 此时系统恰好处在临界阻尼状态。 4) 1 <K<∞,s1,2为共轭复根,它们的实部恒等于2，虚部随着K的增大而增大,系统此时为欠阻 尼状态。
第四章：根轨迹分析法
n
m
j
n−m
2k+1 ϕa = π n− m
(k = 0,1,2,⋯, n− m−1)
18
在例4-1中，开环传递函数为
G(s)H(s) =
Kg s(s+ 2)
开环极点数n=2,开环零点数m=0,n-m=2,两条渐近线 在实轴上的交点位置为
−2 σa = = −1 2
π 它们与实轴正方向的交角分别为 (k = 0) 2 3 π 和 (k =1) ，两条渐近线正好与 Kg ≥1 时的根轨迹 2 重合。
在绘 制根轨 迹时 ，可 变参数 不 限定 是 根轨 迹 增 益 Kg ，可为系统的其它参数（如时间常数、反馈系数 等）这时只要把系统的特征方程化为上式，将感兴趣 的系统参数取代根轨迹增益 Kg 的位置都可以绘制根 轨迹。
8
根轨迹方程是一个向量方程，用模和相角的形式 表示
| G(s) H(s) | ej∠G(s)H(s) =1⋅ ej(±180°+k⋅360°) (k = 0,1,2,⋯ )
15
规则三 实轴上的根轨迹
若实轴上某线段右侧的开环零、 若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之 和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。 和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。 例4-3 设系统的开环传递函数为
G(s) H(s) = Kr (s− z1)(s − z2 )(s − z3 )(s − z4 ) (s− p1)(s− p2 )(s− p3 )(s − p4 )(s − p5 )
24
jω
P 1
θ p1
[s]
P 3
0
σ
P 2
θ p2
图4-8(a) 根轨迹的出射角
25
jω
第四章 根轨迹法
s1 s2 a
。
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念
当 a 2 K1 时，两根成为共轭的复数 根，其实部为
a
，这时根轨迹与实
j
轴垂直并相交于 ( a, j0) 点。
(s+2a)
K1由0向∞变化时的根轨迹，如图4-2 所示。箭头表示K1增大方向。 由图可见： 1) 此二阶系统的根轨迹有两条， K1 0 时分别从开环极点 p1 0 和 p2 2a 出发。
m
| s pi |
i 1
j
1
或
K1
| s pi | | s z j |
j 1 i 1 m
n
(s z
j 1
m
) ( s pi ) 180 (2q 1)
i 1
n
q 0, 1, 2,
在s平面上满足相角条件的点所构成的图形就是闭环系统的根轨迹。 因此，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件，而幅值条件
D' (s) A' (s) K1B(s) 2(s s1 ) p(s) (s s1 ) 2 p(s) 0
将
A( s ) K1 代入上式，得 B( s)
图4-3 反馈控制系统
G(s) H (s) 1 和 G(s) H (s) 180 (2q 1) q 0, 1, 2,
以上两式是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘制根轨迹的重 要依据。在s平面的任一点，凡能满足上述幅值条件和相角条件的，就是
系统的特征根，就必定在根轨迹上。
s p1=0 O a
p2=2a
第四章根轨迹法
s z i ( i 1, 2, , m )
根轨迹终止于开环零点
四.根轨迹的渐近线
渐近线与实轴正向夹角：
(2l 1) a nm
l 0,1, 2,, n m 1
举例 求下面闭环特征方程式根轨 迹的渐近线
s( s 4)( s 2 2 s 2) k ( s 1) 0
2
kc 6
方法2
上例中
应用劳斯判据
k G(S ) H (S ) S ( S 1)( S 2)
s3 3s 2 2s k 0
劳斯表如下
s s
s s
3 2
1
3
6k 3 k
2
k
令
6k =0,得 kc 6 3
辅助方程为
F ( s) 3s 2 kc 0
d s 2 3s 3.25 ds s 1 0
0
s=
2 2 0.25 0 解得 1 -2.12, 2 0.12(舍去)
6、求出射角
p 180 ( p1 z1 ) ( p1 p2 )
1
180 116.6 90 206
解：
1 G ( s) H ( s) 0 s 3 3s 2 2 s k 0
s1 s2 s3 3
s3 3 s1 s2 3 j 2 j 2 3
kc s1 s2 s3 6
十.放大倍数的求取
幅值条件
|G(s)H(s)| k | s zi | | s pi |
p 206
2
j
0
九.闭环极点的和与积
设系统的特征方程为：
自动控制原理 第四章 根轨迹法
R(s)
C(s)
下 面 分 析 参 数从0到 无 穷 变 化 对 系 统 闭 极 点 分 布 的 影 响 k 环 : k 0时 k 1/2时 k 1/2时 s 1 0 s 2 2 闭 环 极 点 与 开 环 极 点同 相 0 k 1 2时 s1 , s2均 为 负 实 数 s 1 s 2 -1 s 1,2 -1 j 2k - 1 , 实 部 相 同 位 于 垂 直 与 实 轴 的 直上 线 k 时 沿 上 述 直 线 趋 于 无 穷 . 远
P Z
i 1 i i 1
n
m
i
nm 2l 1 渐近线与实轴的交角 a : ( l 0,1, , n m 1) nm
例.设控制系统的开环传函 为 G(S)
K(S 1) S ( S 4 )( S 2 2 S 2 )
试根据目前所知的法则 确定根轨迹的有关数据 解 :(1)根 轨 迹 起 始 于P1 0, P2 -4, P3 -1 j, P4 -1 - j
终 止 于 Z 1 1和 无 穷 远 (2)有 四 条 根 轨 迹 且 对 称 实 轴 于 (3)n - m 3条 根 轨 迹 终 止 于 无 穷 , 其 渐 近 线 与 实 轴 的 交 为 远 点 0 ( 4) ( 1 j ) ( 1 j ) ( 1) a 1.67 41 与实轴的交角为 a ( 2nl 1) 1 60 ( l 0) m 3
Pl 180 ( Pl Z j ) ( Pl P j )
j 1 j 1 jl
m
n
Zl 180 ( Z l P j ) ( Z l Z j )
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四根轨迹分析法2-4-1 设系统的开环零、极点分布如题2-4-1图所示，试绘制相应的根轨迹草图。
题2-4-1图【解】：题2-4-1解图2-4-2 设负反馈系统的开环传递函数分别如下：<1） <2）<3）<4）试绘制由变化的闭环根轨迹图。
【解】：<1）系统有三个开环极点。
①，有三条根轨迹，均趋于无穷远。
② 实轴上的根轨迹在区间。
③ 渐近线④ 分离点。
方法一由得不在根轨迹上，舍去。
分离点为。
分离点处K值为方法二特征方程为：重合点处特征方程：令各项系数对应相等求出重合点坐标和重合点处增益取值。
⑤ 根轨迹与虚轴的交点。
系统的特征方程为方法一令，得方法二将特征方程列劳斯表为令行等于0，得。
代入行，得辅助方程⑥ 系统根轨迹如题2-4-2<1）解图所示。
<2）① 根轨迹方程开环零点，开环极点。
② 实轴上的根轨迹区间。
③ 分离会合点方法一均在根轨迹上，为分离点，为会合点。
方法二系统特征方程：重合点处特征方程：联立求解重合点坐标：④ 可以证明复平面上的根轨迹是以为圆心，以为半径的圆<教材已证明）。
根轨迹如题2-4-1<2）解图所示。
b5E2RGbCAP<3）① 开环零点开环极点。
② 实轴上的根轨迹区间为③ 分离点题2-4-2<3）解图为分离点，不在根轨迹上，舍去。
分离点K值④ 出射角⑤ 复平面上的根轨迹是圆心位于、半径为的圆周的一部分，如题2-4-1<3）解图所示。
<4）①四个极点。
②渐近线③实轴上的根轨迹区间为。
④分离点得，均为分离点，。
分离角正好与渐近线重合。
⑤出射角⑥根轨迹与虚轴的交点⑦系统根轨迹如题2-4-1<4）解图所示。
2-4-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数为：试绘制由变化的闭环根轨迹图，并求出使系统闭环稳定的值范围。
p1EanqFDPw【解】：系统有两对重极点。
① 渐近线② 实轴上的根轨迹为两点，也为分离点。
分离角均为。
③ 根轨迹与虚轴的交点坐标系统特征方程即令代入特征方程，得令上式实部虚部分别等于0，则有④ 该系统根轨迹如题2-4-3解图所示。
由图可知，当时，闭环系统稳定。
2-4-4 已知单位负反馈系统的开环传递函数为<1）试绘制由变化的闭环根轨迹图；<2）用根轨迹法确定使系统的阶跃响应不出现超调时的值范围；<3）为使系统的根轨迹通过两点，拟加入串联微分校正装置，试确定的取值。
【解】：<1），根据一般根轨迹绘制法则求得①渐近线与实轴的交点：渐近线倾角：。
②实轴上的根轨迹在区间。
③分离点：。
④根轨迹与虚轴的交点坐标：。
⑤ 该系统根轨迹如题2-4-4解图所示。
<2）系统的阶跃响应不出现超调的条件是特征根在左半平面的实轴上。
根轨迹在实轴上的分离点的K值已由<1）求得，所以在时系统不产生超调。
DXDiTa9E3d<3）串联微分校正环节后系统的开环传递函数变为系统特征方程为若是根轨迹上的点，则必满足特征方程。
代入特征方程，得：2-4-5 已知单位负反馈系统的闭环传递函数为<1）试绘制参数由变化的闭环根轨迹图；<2）判断点是否在根轨迹上；<3）由根轨迹求出使闭环系统阻尼比时a的值。
【解】：<1）系统的特征方程为等效开环传递函数为：，a由变化为一般根轨迹。
①开环零点，开环极点。
②实轴上的根轨迹在区间。
③分离点由得解得为分离点，不在根轨迹上，舍去。
④共轭复根的出射角⑤复平面的根轨迹是圆心位于、半径为的圆周的一部分，如题2-4-5解图所示。
<2）把代入相角条件中，若满足则是根轨迹上的点，反之则不是。
点不在根轨迹上。
<3）求等超调线与根轨迹的交点方法一，设等超调线与根轨迹交点坐标实部为，则，有令等式两边s各次项系数分别相等，得方法二由特征方程，按照典型二阶系统近似计算得：另外，把代入特征方程也可求得同样结果。
2-4-6 已知单位负反馈系统的开环传递函数为<1）试绘制参数由变化的闭环根轨迹图；<2）求出临界阻尼比时的闭环传递函数。
【解】：<1）系统特征方程为等效开环传递函数为：a 由变化为一般根轨迹。
①开环极点。
②渐近线与实轴的交点：，渐近线倾角：。
③实轴上的根轨迹在区间。
④分离点由得解得为起点，为分离点。
⑤根轨迹与虚轴的交点令，代入特征方程得⑥ 该系统根轨迹如题2-4-6解图所示。
<2）时，对应实轴上根轨迹的分离点，。
因为，可由开环极点之和等于闭环极点之和求得另一实轴上的极点坐标系统闭环传递函数为2-4-7 已知单位负反馈系统的开环传递函数为：<1）试绘制由变化的闭环根轨迹图；<2）求出使系统产生相重实根和纯虚根时的值。
【解】：<1）根轨迹方程为由变化，为根轨迹。
①开环零点，开环极点。
②实轴上的根轨迹在区间。
③分离点和会合点解得为会合点，为分离点。
④根轨迹与虚轴的交点特征方程为令，代入特征方程得⑤ 该系统根轨迹如题2-4-7解图所示。
<2）实轴上根轨迹的分离点和会合点即为相重实根，其K值分别为纯虚根时的K值即为根轨迹与虚轴交点的K值，由<1）所求得之。
2-4-8系统方框图如题2-4-8图所示，试绘制由变化的闭环根轨迹图。
RTCrpUDGiT【解】：<1）根轨迹方程为由变化为零度根轨迹。
①开环极点。
②实轴上的根轨迹在区间。
③该系统根轨迹如题2-4-8解<1）图所示。
<2）根轨迹方程为由变化为一般根轨迹。
①开环极点。
②渐近线与实轴的交点：，渐近线倾角：。
③实轴上的根轨迹在区间。
题2-4-8解图④分离点<1） <2）题2-4-8解图复平面上的根轨迹与渐近线重合，如题2-4-8解图<2）所示。
5PCzVD7HxA2-4-9单位负反馈系统开环传递函数为，绘制由变化的闭环根轨迹图。
【解】：等效根轨迹方程为当由时为零度根轨迹。
①开环零点，开环极点。
，有一个无穷远的极点。
②实轴上的根轨迹在区间。
③分离点和会合点解得为分离点，为会合点。
④根轨迹与虚轴的交点特征方程为令，代入特征方程得⑤复平面上的根轨迹是圆，如题2-4-9解图所示。
2-4-10 系统方框图如题2-4-10图所示，试求：<1）当闭环极点为时的值；<2）在上面所确定的值下，当由变化的闭环根轨迹图。
【解】：<1）特征方程为闭环极点为时的系统特征方程为两方程联立求解得：<2）系统开环传递函数为等效根轨迹方程为：当由时为一般根轨迹。
①开环零点，开环极点。
②实轴上的根轨迹在区间。
③会合点解得为起点，为会合点，。
④复平面上的根轨迹是圆，如题2-4-10解图所示。
2-4-11 系统闭环特征方程分别如下，试概略绘制由变化的闭环根轨迹图。
<1） <2）【解】：<1）由系统闭环特征方程得等效根轨迹方程为由变化为一般根轨迹。
①开环零点，开环极点。
③分离点和会合点解得<起点），<分离点），<会合点），<舍去）。
④根轨迹与虚轴的交点根据特征方程列劳斯表令行等于零，得，代入行辅助方程，得⑤该系统根轨迹如题2-4-11<1）解图所示。
<2）由系统闭环特征方程得等效根轨迹方程为由变化为一般根轨迹。
①开环零点，开环极点。
②渐近线与实轴的交点渐近线倾角④分离点解得<分离点），<舍去），<舍去）。
⑤根轨迹与虚轴的交点根据特征方程列劳斯表令行等于零，得，代入行辅助方程，得⑥该系统根轨迹如题2-4-11<2）解图所示。
2-4-12 已知单位负反馈系统的开环传递函数为<1）试概略绘制由和变化的闭环根轨迹图；<2）求出其单位阶跃响应为单调衰减、振荡衰减、等幅振荡、增幅振荡、单调增幅时的值。
【解】：<1）特征方程为，等效根轨迹方程为：<a ）由变化时为一般根轨迹。
①开环零点，开环极点②实轴上的根轨迹在区间。
③会合点解得<舍去），<会合点）。
④出射角⑤ 复平面的根轨迹是圆心位于、半径为的圆周的一部分，如题2-4-12解图实线部分所示。
<b ）由变化为零度根轨迹。
①实轴上的根轨迹在区间。
②会合点计算同上。
会合点为，。
③ 复平面的根轨迹是圆心位于、半径为的圆周的另一部分，如题2-4-12解图虚线部分所示。
<2）由根轨迹看出，根轨迹与虚轴的交点在原点，。
根轨迹在实轴上重合时，。
根轨迹在复平面上时。
结论：系统无等幅和增幅振荡。
在取值时,为衰减振荡；时为单调衰减；时为单调增幅。
2-4-13 系统方框图如题2-3-13图所示，绘制由的闭环根轨迹图，并要求：<1）求无局部反馈时系统单位斜坡响应的稳态误差、阻尼比及调节时间；<2）讨论时局部反馈对系统性能的影响；<3）求临界阻尼时的值。
题2-4-13图【解】： 系统开环传递函数为系统特征方程为)1(1 s s as)(s R )(s E )(s C等效根轨迹方程为由变化为一般根轨迹。
①开环零点，开环极点。
②实轴上的根轨迹在区间。
③会合点解得<舍去），<会合点）。
会合点时的a值④复平面的根轨迹是圆心位于、半径为的圆周的一部分，如题2-4-13解图所示。
（1）稳态误差系统开环传递函数为，Ⅰ型系统，。
阻尼比和调节时间方法一：根据题意，对应根轨迹起点方法二：对应开环传递函数有<2）由根轨迹看出，此时系统特征根为两个不相等的实根，，系统无超调，稳定性变好。
但由于其中一个实根更靠近虚轴，使调节时间增长。
系统仍为Ⅰ型，开环增益减小，斜坡信号输入时稳态误差增大。
jLBHrnAILg<3）系统闭环根轨迹在实轴上出现会合点时为临界阻尼情况，此时。
从特征方程上也可以直接看出。
2-4-14设单位负反馈系统的开环传递函数为确定值，使根轨迹分别具有：0，1，2个分离点，画出这三种情况的根轨迹。
xHAQX74J0X【解】：根轨迹分离点由下式确定，为原点处重极点的分离点，实轴上其他的分离点和汇合点。
<1） 0个分离点只要原点处有两个极点，无论何种情况，至少有一个分离点，所以令，则开环传递函数为当由变化，即零度根轨迹时没有分离点。
其根轨迹如题2-2-14解图<1）所示。
<2） 1个分离点对于一般根轨迹，是一个分离点。
所以当不存在，即，时，根轨迹具有一个分离点。
设渐近线倾角和渐近线与实轴的交点分别为实轴上的根轨迹在区间。
其根轨迹如题2-2-14解图<2）所示。
<3） 2个分离点当或时，有两个分离点。
其中对应零度根轨迹的情况。
设渐近线倾角和渐近线与实轴的交点分别为实轴上的根轨迹在区间。
分离点会合点其根轨迹如题2-2-14解图<3）所示。
LDAYtRyKfE1-0σωj σωj 1-5.0-01-0σωj 45.0-。