圆的面积和扇形的面积

扇形面积六年级知识点

扇形面积六年级知识点扇形的面积是六年级数学中的一个重要知识点。

在学习这个知识点时，我们需要了解扇形的定义、性质以及计算方法。

本文将以扇形面积为主题，逐步介绍相关内容，并给出详细的计算示例。

一、扇形的定义和性质扇形是圆上的一个部分，由圆心、圆周和两条弧组成。

扇形的圆心角等于其对应的圆周角。

圆周角是指以圆心为顶点的角，可以通过圆周和弦来计算。

扇形的面积是指扇形所围成的图形的面积。

计算扇形面积的公式是：扇形面积 = 圆的面积 ×（圆心角度数 ÷ 360°）。

二、计算扇形面积的步骤计算扇形面积的步骤如下：1. 首先，根据题目所给的信息，确定圆的半径和圆心角的度数。

2. 利用圆的面积公式计算圆的面积。

圆的面积公式是：圆的面积= π × 半径²。

3. 将圆心角度数除以360°，得到扇形对应的圆周角的比例。

4. 最后，将圆的面积乘以扇形对应的圆周角的比例，得到扇形的面积。

三、扇形面积的计算示例为了更好地理解和应用扇形面积的计算方法，我们来看一个具体的计算示例。

【示例】求解一个扇形的面积，已知半径r=6cm，圆心角θ=90°。

解题过程如下：1. 确定半径和圆心角的度数，即r=6cm，θ=90°。

2. 计算圆的面积，即S = π × r² =3.14 × 6² = 113.04 cm²（保留两位小数）。

3. 将圆心角度数除以360°得到扇形对应的圆周角的比例，即90° ÷ 360° = 0.25。

4. 将圆的面积乘以扇形对应的圆周角的比例，得到扇形的面积，即113.04 cm² × 0.25 = 28.26 cm²（保留两位小数）。

所以，半径为6cm，圆心角为90°的扇形的面积为28.26 cm²。

初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项

初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项一、圆的面积计算公式：S=R 2，圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的1360，圆心角是n 度的扇形面积等于圆的面积的360n ，扇形的弧长等于l=180n R ,⇒S 扇=12lR 。

二、运用公式法、割补法、拼凑法、等积变化法、平移法、旋转法、构造方程法等方法求组合图形的面积。

三、运用割补法、平移法、旋转法、等积变换法、容斥原理求阴影部分面积。

1、弓形面积弓形的面积可以转化为扇形的面积与三角形的面积之差，如下图所示，弓形AmB 的面积S弓形=S 扇性AOB -S △AOB弓形的面积可以转化为：扇形的面积与三角形的面积之和，如下图所示弓形AmB 的面积S 弓形= S 扇性AOB +S △AOB注：①当弓形所含的弧是劣弧时如甲图所示，弓形AmB 的面积S 弓形=S 扇性AOB -S △AOB②当弓形所含的弧是优弧时，如图乙所示，AnB 的面积S 弓形= S 扇性AOB +S △AOB③当弓形所含的弧是半圆时，弓形的面积S 弓形=12S 圆如图：半径OA=6cm,C 为OB 的中点，∠AOB=120°，求阴影部分面积S 。

（右：乙图）解：由图形可知，S 阴影ABC =S 扇性ABO -S △ACO ，而S 扇形ABO =21206360⋅=12，S △ACO =12×6×3×sin60°=932，所以S 阴影ABC =(93122-)cm 2。

2、割补法凡求与圆有关的不规则图形面积问题，一般都要把它转化为三角形、扇形、弓形的面积来求解，在进行复杂的图形的面积计算时，时常通过添加辅助线，把图形分割成若干个基本图形求解，这种求解的方法是经常用到的。

如图：⊙O 中的弦AC=2cm ，圆周角∠ABC=45°,求图中阴影部分的面积。

（部分与整体）解：做⊙O 的直径AB 1，则连结OC 、B 1C ，∠ACB=90°，∠B=∠B 1，AB 1=22，∵OA=2,∴S △AOC=1,S 扇形AOC =12,∴S 阴影=S 扇形AOC -S △AOC =12-1 例二：如图在两个半圆中大圆的弦MN 与小圆相切,D 为切点，且MN ∥AB ，MN=a ，ON ，CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积。

圆面积扇形面积公式

圆面积扇形面积公式圆面积和扇形面积是几何学中常见的概念，它们分别表示圆的面积和由圆心和圆上两点所形成的扇形的面积。

本文将分别介绍圆面积和扇形面积的计算公式及应用。

一、圆面积的计算公式圆是几何学中的基本图形之一，它由一个圆心和一条等距于圆心的曲线组成。

圆的面积是圆内所有点构成的平面区域的大小。

计算圆的面积需要使用圆的半径或直径。

圆的面积计算公式为：S = πr²其中，S表示圆的面积，π是一个常数，约等于3.14159，r表示圆的半径。

例如，已知一个圆的半径为5cm，那么可以通过代入公式计算圆的面积：S = 3.14159 x 5² = 3.14159 x 25 = 78.54平方厘米因此，该圆的面积为78.54平方厘米。

二、扇形面积的计算公式扇形是由圆心、圆上两点和它们之间的弧所组成的图形。

扇形与圆的关系密切，它是圆的一部分。

计算扇形的面积需要使用扇形的半径和对应的圆心角。

扇形的面积计算公式为：S = 0.5r²θ其中，S表示扇形的面积，r表示扇形所在圆的半径，θ表示扇形的圆心角（单位为弧度）。

例如，已知一个扇形的半径为6cm，圆心角为60°，那么可以通过代入公式计算扇形的面积：θ = 60° = 60 x π/180 ≈ 1.047弧度S = 0.5 x 6² x 1.047 = 18 x 1.047 = 18.846平方厘米因此，该扇形的面积为18.846平方厘米。

三、圆面积和扇形面积的应用圆面积和扇形面积在现实生活中有着广泛的应用。

下面以几个例子来说明：1. 建筑设计：在建筑设计中，圆形的庭院、花坛等都需要计算其面积，以便合理规划和安排空间。

2. 农业种植：农业种植中，圆形的农田、水池等都需要计算其面积，以便合理安排种植和灌溉。

3. 工程测量：在工程测量中，扇形面积常用于计算某个区域的覆盖范围或扇形防护罩的面积。

4. 圆桌布草：圆桌布草的制作需要根据桌子的直径计算所需的面积，以便选购合适尺寸的布草。

圆的面积及扇形面积

圆的面积及扇形面积圆的面积：圆所占平面的大小叫圆的面积，圆的面积一般用字母“Ｓ”表示, S =πr ². 圆环的面积计算公式：S =πR ²-πr ²=π(R ²-r ²)扇形：由组成圆心角的两条半径以及圆心角所对的弧构成的图形叫扇形扇形面积公式：236036036012n S n n S S r S S lr π=⇒===例1、如图，已知正方形面积是60平方厘米，分别在两个图中求圆的面积。

练一练：已知右图中阴影部分的面积是300平方厘米，求圆的面积。

例2、一个圆形花坛的直径是20米，现在要在花坛的周围铺一条2米宽的石板路，这条石板路的周长是多少米？以及占地面积是多少平方米？2、已知右图中阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面积。

例3、如右图，一个扇形的圆心角是90°，它的周长是14.28厘米，求它的面积。

练一练：1、右图中平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。

2、如图，△ABC是一个等腰直角三角形，AB=BC=10，求图中阴影部分的面积。

（单位：分米）3、如图，∠AOB=90度，∠COB=45度，（1）若OB=20，求以OB为直径的半圆面积及扇形COB的面积（2）已知阴影甲的面积是 4.56平方厘米，那么阴影乙的面积是_______平方厘米。

4、已知，如图，∠AOC=120度，OA=5厘米，AB=3厘米求阴影部分的面积。

5、已知一个大正方形和两个同样大小的小正方形如图所示拼在一起，大正方形的边长为6，小正方形的边长为2.（π=3.14）（1）求扇形BCD的面积（2）求图中阴影部分的面积例4、我们学习了扇形的面积，试回忆扇形面积公式的推导过程，回答下列问题：（1）对于一个半径为r，圆心角为n度的扇形，其面积为______（2）扇形面积公式的推导过程与下列哪个公式的推导使用了基本相同的方法_____A.圆的面积公式B.圆的周长公式C.平行四边形的面积公式D.弧长公式（3）扇形面积的推导过程中，下列哪些知识起着重要的作用_____（可多选）A.圆的面积公式B.圆的周长公式C.弧长公式D.比的意义（4）已知一个扇形的弧长为l，半径为r，试用l和r表示该扇形的面积，并写出简要的推导过程。

(精品)数学讲义六年级秋季班-第16讲：圆和扇形的面积

圆和扇形的面积是六年级数学上学期第四章第二节的内容．本讲主要讲解圆的面积和扇形面积的求解方法，及它们之间的关系；重点是掌握圆的面积和扇形面积的基本计算方法，难点是在不同的图形中根据题目条件灵活解答相关问题．1、圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积．设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积2S r r rππ=⨯=．圆和扇形的面积内容分析知识结构模块一：圆的面积知识精讲例题解析【例1】（1）圆的半径是4厘米，它的面积是______平方厘米；（结果保留π）（2）圆的直径是6米，它的周长是______米，它的面积是______平方米；（π取3.14）（3）圆的周长是25.12分米，它的面积是______平方分米．（π取3.14）【难度】★【答案】（1）50.24；（2）18.84；28.26；（3）50.24．【解析】（1）和（2）直接利用基本公式进行计算，（3）中先根据周长求出，圆的半径为：25.12÷3.14÷2 = 4米，故面积为：3.14×4×4 = 50.24平方米．【总结】考查圆的周长及面积的计算．【例2】有大小两个圆，如果大圆半径是小圆半径的3倍，则大圆的周长是小圆的______倍，大圆的面积是小圆的______倍；如果大圆直径是小圆半径的4倍，则小圆面积是与大圆面积的比是______．【难度】★【答案】3；9；1:16．【解析】圆的周长与半径成正比，圆的面积与半径的平方成正比．【总结】考查圆的面积与圆的周长与圆的半径的关系．【例3】有一只羊栓在草地的木柱上，绳子的长度是4米，这只羊最多可以吃到______平方米的草．（π取3.14）【难度】★【答案】50.24．【解析】S = 4×4×3.14 = 50.24平方米．【总结】考查圆的面积在实际问题中的运用．2/ 16【例4】在一个边长为20厘米的正方形纸板里剪出一个最大的圆，则圆的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★【答案】314．【解析】剪出的最大圆的直径即为正方形的边长，所以圆的半径为10厘米，所以圆的面积是：10×10×3.14 = 314平方厘米．【总结】本题主要考查正方形中剪出最大圆的问题．【例5】用一根长为16分米的铁丝围成一个圆，接头处长为0.3分米，这个圆的面积是多少？（π取3.14）【难度】★★【答案】19.625平方分米．【解析】由题意，可得圆的半径为：（16-0.3）÷3.14÷2 = 2.5分米，故这个圆的面积为：2.5×2.5×3.14 = 19.625平方分米．【总结】考查圆的面积的计算，注意本题中铁丝的总长度剪出接头处的长度即为圆的周长．【例6】一种铝制面盆是用直径20厘米的圆形铝板冲压而成的，要做100个这样的面盆至少需要铝板______平方米．（π取3.14）【难度】★★【答案】3.14．【解析】圆的半径为：20÷2 = 10厘米，要做100个这样的面盆至少需要铝板：100×3.14×10×10=31400平方厘米= 3.14平方米．【总结】考查圆的面积的计算的简单应用，注意单位的换算．【例7】周长相等的长方形、正方形和圆，______的面积最大．【难度】★★【答案】圆【解析】在所有周长相等的图形中，圆的面积最大．【总结】通过周长求面积，考查学生的转换能力．4 / 16【例8】两个同心圆，大圆半径为5厘米，小圆半径为3厘米，求圆环的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】50.24平方厘米．【解析】圆环的面积为：3.14×（25-9）= 50.24平方厘米．【总结】考查圆环的面积的计算．【例9】一个圆形喷水池的周长是62.8米，绕着这个水池修一条宽2米的水泥路，求路面的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】138.16平方米．【解析】圆心水池的半径为：62.8÷3.14÷2=10米，则路面的面积为： 3.14×（144-100）= 138.16平方米．【总结】考查圆环的面积在实际问题中的应用．【例10】如图，已知大圆半径是6厘米，那么阴影部分面积占大圆面积的______．（用分数表示）【难度】★★ 【答案】41．【解析】阴影部分的面积即为小圆的面积，故阴影部分面积占大圆面积的91364ππ【总结】考查圆的面积的计算．【例11】两个圆的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90%，则大圆的面积是_______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】1100．【解析】设大圆的半径为10r ，小圆半径为9r ，所以大圆面积占两圆面积的100181，所以大圆面积为：1991÷181×100=1100平方厘米．【总结】考查圆的面积的计算【例12】有5块圆形的花圃它们的直径分别是3米、4米、5米、8米、9米，请将这5块花圃分成两组，分别交给两个班级管理，使这两个班级管理的面积尽可能接近．【难度】★★【答案】直径4米和9米的两个花圃交给一个班管理，直径3米、5米和8米的三个花圃交给另一个班管理．【解析】由于面积与半径的平方成正比，故几个花圃面积之比是9:16:25:64:81，因为16+81=97；9+25+64=98，所以符合要求，所以把直径4米和9米的两个花圃交给一个班管理，其余交给另一个班管理．【总结】本题一方面考查圆的面积与半径的关系，另一方面考查圆面积计算的简单应用．【例13】大小两圆的相交部分（如图所示的阴影部分）面积是大圆面积的415，是小圆面积的35，量得小圆的半径是5厘米，问大圆的半径是多少？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】7.5厘米．【解析】由题意，可得：415S S =阴影大圆，35S S =阴影小圆，则43155S S =小圆大圆，设大圆半径为R ，则22435155R ππ⨯⨯=⨯⨯，解得：7.5R =．即大圆的半径为7.5厘米．【总结】本题综合性较强，要根据阴影部分的面积表示出大圆面积和小圆面积的关系，从而求出大圆的半径．【例14】如图，正方形的面积是12平方厘米，求图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】2.58平方厘米．【解析】设正方形的边长为a ，则212a =，则圆的面积为： 223.14 3.14 3.1439.4224a a ⎛⎫⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭，故阴影部分面积为：12-9.42 = 2.58平方厘米．【总结】本题主要考查圆面积计算的简单应用．6 / 16ABO【例15】如图中的圆的周长是16.4厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是多少厘米？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】20.5厘米．【解析】由图可知，这个长方形的宽等于圆的半径，长方形的面积等于圆的面积，所以长方形的长等于圆的周长的一半，故阴影部分的周长=长方形的长×2+长方形的宽-圆的半径+41×圆的周长 =16.4+16.4÷4=20.5厘米．【总结】考查不规则图形的周长的计算，注意计算周长是要包含组成图形的所有的线段和弧长．===1、扇形的概念由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形．如图，空白部分记作扇形AOB ． 2、扇形的面积设组成扇形的半径为r ，圆心角为n °，弧长为l ，那么：213602n S r lr π==扇形．【例16】一个扇形的面积是它所在圆面积的15，这个扇形的圆心角是______．【难度】★ 【答案】72°．【解析】360°÷5 = 72°．【总结】考查扇形的面积与所在的圆的面积的关系．模块二：扇形的面积知识精讲例题解析【例17】一个扇形的半径是5厘米，圆心角是60°，则此扇形的面积是______平方厘米，周长是______厘米．（π取3.14）【难度】★【答案】13.08；15.23．【解析】扇形的面积为：60×3.14×5×5÷360=13.08平方厘米；此扇形的周长为：60×3.14×5÷180 + 5×2 = 15.23厘米．【总结】考查扇形面积及周长的计算，注意扇形的周长还包含了两条半径的长．【例18】已知扇形的弧长是31.4厘米，半径是10厘米，那么扇形的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★【答案】157．【解析】1131.41015722S lr ==⨯⨯=平方厘米．【总结】考查扇形面积的计算．【例19】一扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍；若它的圆心角不变，半径扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍．【难度】★ 【答案】3，9．【解析】213602n S r lr π==扇形．【总结】考查扇形的面积与扇形的圆心角及所在的圆的半径之间的关系．【例20】一个圆心角为60°的扇形，其面积与一个直径为9的圆相等，求此扇形所在圆的面积．（结果保留π）【难度】★★ 【答案】121.5π．【解析】由题意，可得：22960()2360r ππ⨯⨯⨯=，解得：2121.5r =，故此扇形所在圆的面积为：2121.5r ππ=．【总结】考查扇形面积的计算，注意先根据题目中的条件计算出半径的平方，再求面积．8 / 16ABCDEFA BC D【例21】一个圆心角为45°的扇形，它的周长为11.14厘米，求它的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】6.28平方厘米．【解析】设扇形所在圆的半径为r ，则由题意可得：4522 3.1411.14360r r +⨯⨯⨯=，解得：4r =厘米，故此扇形的面积为：245 3.144 6.28360⨯⨯=平方厘米．【总结】本题一方面考查扇形的半径的计算，另一方面考查扇形面积的计算．【例22】如图，已知正方形边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以边长为半径作两段圆弧，求阴影部分的面积．（结果保留π）【难度】★★ 【答案】24π-．【解析】229022S 2224360S S ππ⨯=-=⨯-=-正阴影扇形．【总结】本题主要考查形如“树叶”状的图形的面积的计算．【例23】等腰直角三角形ABC 中，以直角顶点A 为圆心，以高AD 为半径，画一条弧，交AB 、AC 分别于E 、F ，AD = 2厘米，图中阴影部分的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】0.86．【解析】21124 3.1424 3.140.8624ABCAEF S SS =-=⨯⨯-⨯⨯=-=阴影扇形．【总结】考查阴影部分的面积的计算，注意用规则图形的面积去表示不规则图形的面积．【例24】如图，扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的113倍，那么CAB ∠是______度．【难度】★★ 【答案】60【解析】因为半圆的直径为扇形的半径，所以设半圆的半径为r ，则扇形的半径为2r ，故由题意，可得：()22241803360360n r r ππ⎛⎫=⎪⎝⎭，解得：60n =．即CAB ∠是60度．【总结】本题要认真观察，先分析半圆的半径与扇形半径的关系，然后再进行计算．ABCH【例25】如图，三角形为任意三角形，三个圆的半径均为1厘米，则阴影部分的面积为______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★【答案】1.57平方厘米．【解析】由图可知：阴影部分的面积是三个扇形的面积之和，三个扇形的半径分别为1，圆心角之和为180°，故阴影部分面积为：180×3.14×1×1÷360=1.572cm ．【总结】考查阴影部分的面积，本题的关键是求出三个扇形的圆心角之和．【例26】如图，ABC ∆的三条边都是6厘米，高AH 为5.2厘米，分别以A 、B 、C 三点为圆心，6厘米长为半径画弧，求这三段弧围成的图形的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】25.32平方厘米．【解析】一个小扇形的面积是：60×3.14×6×6÷360=18.84平方厘米，等边三角形的面积为：6×5.2÷2=15.6（平方厘米），所以这三段弧所围成的图形的面积是：18.84×3-15.6×2=56.52-31.2=25.32（平方厘米）【总结】本题主要是利用割补法将不规则图形的面积问题转化为规则图形的面积计算．【例27】如图，长方形的宽为5，正好是大扇形半径的一半，求阴影部分的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】48.125．【解析】22113.1410105 3.14548.12544S =⨯⨯-⨯-⨯⨯=阴影（）．【总结】本题中阴影部分的面积等于大扇形的面积减去长方形的面积再加上小扇形的面积．10 / 16【例28】如图，圆的半径是6厘米，阴影部分的面积是31.5π平方厘米，求图中三角形的面积．【难度】★★★ 【答案】18平方厘米．【解析】圆的面积为：6636ππ⨯⨯=，空白部分的扇形的面积为：3631.5 4.5πππ-=，设空白部分的扇形的圆心角为n ，则36 4.5360nππ⨯=，解得n =45，所以空白部分的三角形是等腰直角三角形，故面积为6×6×0.5=18平方厘米．【总结】本题主要是根据扇形的面积公式求出圆心角的度数，从而求出三角形的面积．【例29】有一只狗被系在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长6米的等边三角形，绳长是8米．当绳被狗拉紧时，狗活动范围的总面积为多少平方米？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】175.84平方米．【解析】根据图可知：大扇形的圆心角为360-60=300度，小扇形的圆心角为：180-60=120度，故总面积为：22300120822175.84360360ππ⨯⨯+⨯⨯⨯=平方米．【总结】本题中要注意小狗活动的范围包含了三个扇形．【例30】已知C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上且把半圆三等分，若已知AB 长为10，求阴影部分的面积．（结果保留π）【难度】★★★【答案】256π．【解析】连接CD 、OD 、OC ，则阴影部分面积为CD BDCS S 弓形+∆．因为C 、D 把半圆弧AB 三等分，所以AB CD ODC BCD ∆∆∥，所以、等底等高，所以阴影部分面积=CD BDC S S 弓形+∆=()260102253606OCD S ππ⨯⨯÷==扇形．【总结】本题综合性较强，考查了一些几何的内容，教师可以选择性的讲解．ABC D【习题1】扇形的面积是314平方米，其所在圆的面积是1256平方米，则这个扇形的圆心角为______°．【难度】★ 【答案】90．【解析】314÷1256×360°= 90°．【总结】考查扇形面积公式的逆运用．【习题2】一种手榴弹爆炸后，有效杀伤范围的半径是6米，有效杀伤面积是______平方米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】113.04．【解析】36×3.14=13.04平方米．【总结】考查圆的面积的计算在实际问题中的运用．【习题3】若一扇形所在的圆心角缩小为原来的12，半径扩大为原来的2倍，则它的面积（）A ．扩大为原来的2倍B ．扩大为原来的4倍C ．是原来的12 D ．不变【难度】★ 【答案】A 【解析】213602n S r lr π==扇形．【总结】考查扇形的面积与扇形的圆心角及扇形所在的圆的半径之间的关系．【习题4】如果用整个圆来表示班级共有40名学生，那么被评为三好学生的8名同学应该用圆心角为______的扇形来表示．【难度】★★ 【答案】72°．【解析】8÷40×360°= 72°．【总结】考查圆心角在实际问题中的运用．随堂检测12 / 16【习题5】环形的外圆周长是18.84厘米，内圆直径是4厘米，求环形的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】15.7平方厘米．【解析】外圆的半径长为：18.84÷3.14÷2=3cm ；内圆半径长为：4÷2=2cm ；故环形的面积为：3.14×（3×3-2×2）=15.7平方厘米．【总结】考查圆环的面积的计算．【习题6】两个圆的面积之差是209平方厘米，已知大圆的周长是小圆的周长的119倍，求小圆的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】891平方厘米．【解析】因为大圆的周长是小圆的周长的119倍，故大圆与小圆的面积之比为：100:81，因为两个圆的面积之差是209平方厘米，所以小圆的面积为： 209÷（100-81）×81 = 209÷19×81= 891平方厘米．【总结】本题主要是根据大小两圆的周长比确定出面积比．【习题7】一时钟的分针长6分米，从上午9点到上午10点40分，分针扫过的面积是多少平方分米？【难度】★★【答案】188.4平方分米．【解析】从上午9点到上午10点40分，分针走过的度数为：600°，故分针扫过的面积为：2600 3.146188.4360⨯⨯=平方分米．【总结】时针走过一小时，则分针走了360度，本题主要是确定出分针转过的度数．A B2 2【习题8】如图，正方形的边长为4，求阴影部分的面积．【难度】★★ 【答案】4.56．【解析】2145444822360S S S ππ=-=⨯⨯-⨯⨯=-空三角形扇形，14(82)48 4.562S S S πππ=-=⨯⨯--=-=阴影半圆空．【总结】本题主要考查阴影部分的面积计算．【习题9】如图所示的阴影部分分别为三种标点符号：句号、逗号和问号．已知大圆半径为R ，小圆半径为r ，且R = 2r ．哪一个标点符号的面积最小？【难度】★★★ 【答案】问号．【解析】句号的面积：22243r r r ππ-=（）；逗号的面积：224r 22r ππ⨯÷=；问号的面积：22223134r 44r r r πππ-+=（）．【总结】本题中主要考查阴影部分的面积，注意计算方法．【习题10】如图，A 与B 是两个圆的圆心，那么两个阴影部分的面积相差______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】1.42平方厘米．【解析】两个阴影部分的面积差为大扇形的面积减去长方形的面积，再减去小扇形的面积，即：22113.144 3.1422444⨯⨯-⨯⨯-⨯= 1.42平方厘米．【总结】本题要注意认真审题，看清楚求的是两部分的面积差，然后转化为规则图形的面积的差．空14 / 16【作业1】下列判断中，正确的是（）A ．半径越大的扇形，面积越大B ．所对圆心角越大的扇形，面积越大C ．所对圆心角相同时，半径越大的扇形面积越大D ．半径相等时，所对圆心角越大的扇形面积越小【难度】★ 【答案】C 【解析】213602n S r lr π==扇形．【总结】考查扇形面积的影响因素．【作业2】圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的面积增加了______平方厘米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】141.3．【解析】3.14×（81-36）=141.3平方厘米．【总结】考查圆的面积的计算【作业3】一个扇形的半径是5厘米，圆心角是72°，这个扇形的周长是______分米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】1.628【解析】72×3.14×5÷180＋5＋5=16.28厘米=1.628分米．【总结】考查扇形周长的计算，注意单位的换算．课后作业【作业4】一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，在纸上剪一个最大的圆，还剩下______平方厘米的纸没有用．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】286．【解析】30×20-3.14×10×10=286平方厘米．【总结】考查长方形纸片上剪出最大圆的面积的计算．【作业5】一个扇形的面积是78.5平方厘米，圆心角为36°，当这个扇形的半径不变而圆心角增加了108°以后，这个扇形的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】314．【解析】扇形所在圆的面积是785平方厘米，故增加的面积为（108＋36）÷360×785=314．【总结】考查扇形的面积与所在圆的面积的计算．【作业6】某大楼上有一石英制的时钟，已知时针与分针分别长60厘米和80厘米，则时针走1小时，时针与分针扫过的平面的面积差为多少平方分米？（π取3.14）【难度】★★【答案】191.54平方分米．【解析】时针走1小时，走过的圆心角度数为30°，而分针走过了360°，故面积差为： 3.14×80×80-30×3.14×60×60÷360=19154平方厘米=191.54平方分米．【总结】本题考查扇形的面积在钟表问题中的运用，注意确定表针走过的度数．【作业7】如图是三个半圆构成的图形，其中小半圆直径为8，中半圆直径为20，则阴影部分面积与大半圆的面积之比是多少？【难度】★★ 【答案】4:7．【解析】2221111410456222S ππππ=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=阴影；2114982S ππ=⨯⨯=大半圆，故阴影部分面积与大半圆的面积之比是：56984:7ππ=：．【总结】考查半圆面积的计算．16 / 16红红红红蓝蓝蓝蓝【作业8】一辆汽车的车轮直径为1米，试计算当汽车以120千米/时的速度行驶时，车轮的转速是每秒多少周？（3π≈，结果保留整数位）【难度】★★ 【答案】11．【解析】车轮转速：120×10003113600÷=周．【总结】考查圆的周长计算的简单应用【作业9】如图是对称图形，红色部分的面积大还是蓝色部分的面积大？【难度】★★★ 【答案】一样大【解析】设大圆R =2，则小圆r =1．蓝色部分的面积：211(21)42422r ππ-⨯⨯⨯=-；红色部分的面积为：()2244(424)24R r S ππππππ--=--+=-蓝色，所以两部分面积一样大．【总结】考查不规则图形的面积，注意认真分析，转化为规则图形的计算．【作业10】如图，扇形AOB 为14个圆，半径为4厘米，以它的两条半径为直径，在扇形内部画两个半圆，求阴影部分的面积．【难度】★★★ 【答案】4.56平方厘米．【解析】通过割补，可以将“树叶”状的阴影转化到上面两个弓形处，故13.14444424.564S S S =-=⨯⨯⨯-⨯÷=阴影扇形直角三角形平方厘米．【总结】本题主要考查利用割补法求阴影部分的面积．。

圆计算面积的公式

圆计算面积的公式圆的面积公式是由圆周率π来计算的。

圆的面积公式为：A=πr²，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径。

圆是一个由无数个点组成的一个闭合曲线。

圆由圆心和圆周上的点组成，其中圆心是指从圆的任何一点出发画直线与圆周相交所形成的点。

圆的面积公式推导如下：首先，将圆分成无数个扇形，每个扇形的角度为θ。

则每个扇形的面积可以表示为扇形的圆心角度和整个圆的角度之比。

因此，每个扇形的面积可以表示为θ/360乘以整个圆的面积。

其次，我们可以将圆的周长表示为每个扇形的周长之和。

每个扇形的弧长可以表示为扇形的圆心角度和整个圆的角度之比。

因此，每个扇形的弧长可以表示为θ/360乘以整个圆的周长。

然后，我们可以将每个扇形的面积表示为扇形的弧长乘以半径。

因此，每个扇形的面积可以表示为(θ/360)*2πr，其中πr表示圆的周长。

由此，我们可以得到每个扇形的面积为(θ/360)*πr²。

最后，我们将无数个扇形的面积之和即整个圆的面积表示为A=Σ[(θ/360)*πr²]。

由于当扇形角度无穷小时，无数个扇形的面积之和趋近于整个圆的面积，因此可以用极限运算来表示。

当扇形角度无穷小时，极限运算可以表示为积分。

因此，整个圆的面积可以表示为A=∫[(θ/360)*πr²]。

根据积分的性质，我们可以将积分公式中的θ/360提取出来，并将其值替换为1、因此，整个圆的面积可以表示为A=(1/360)*∫[πr²dθ]。

根据θ的范围为0到360，我们可以将积分的上界和下界替换为0和360，得到A=(1/360)*∫[0,360][πr²dθ]。

对于一个完整的圆，θ的范围为0到360，θ的积分等于360，所以A=(1/360)*360*πr²。

化简后得到A=πr²，这就是圆的面积公式。

因此，我们可以利用圆的面积公式A=πr²来计算圆的面积。

根据给定的半径r，直接将其代入公式中即可计算出圆的面积。

六年级上册数学培优奥数讲义-第12讲圆的面积

第12讲圆的面积知识装备1、圆的面积公式：S ＝πr 2；扇形的面积公式：S ＝360nπr 2。

2、在与圆有关的面积计算中，经常需要添加辅助线，根据圆的特征进行面积转化，使之变成有利于计算的图形，再计算。

初级挑战1求下面图形中阴影部分的面积。

（单位：厘米）思维点拨：阴影部分面积＝（）的面积－（）的面积，半圆直径是8厘米，正方形边长是（）厘米。

答案：正方形的面积：8×8=64（cm ²）圆的面积：3.14×（8÷2）²=50.24（cm ²）阴影部分的面积：64-50.24=13.76（cm ²）能力探索11、求下面图形中阴影部分的面积。

（单位：厘米）（1）（2）答案：（1）大半圆的面积：3.14×[（30+50）÷2]²÷2=2512（cm ²）小半圆的面积：3.14×（30÷2）²÷2=353.25（cm ²）中半圆的面积：3.14×（50÷2）²÷2=981.25（cm ²）阴影部分的面积：2512-353.25-981.25=1177.5（cm ²）（2）大半圆的面积：3.14×（8÷2+2）²÷2=56.52（cm ²）小半圆的面积：3.14×（8÷2）²÷2=25.12（cm ²）阴影部分的面积：56.52-25.12=31.4（cm ²）2、下图是半径为24厘米的扇形，求图中阴影部分的面积。

答案：两个相同的图形拼成一个四分之一扇形。

3.14×24²÷4-24×24÷2=616.32（平方厘米） 616.32÷2=308.16（平方厘米）初级挑战2如图，等腰直角三角形直角边长为14厘米，两个半圆的直径是三角形的直角边，求图中阴影部分的面积。

六年级秋季班-第16讲：圆和扇形的面积(1)

圆和扇形的面积是六年级数学上学期第四章第二节的内容．本讲主要讲解圆的面积和扇形面积的求解方法，及它们之间的关系；重点是掌握圆的面积和扇形面积的基本计算方法，难点是在不同的图形中根据题目条件灵活解答相关问题．1、圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积．设圆的半径长为r ，面积为S ，那么：圆的面积2S r r r ππ=⨯=．圆和扇形的面积内容分析知识结构模块一：圆的面积知识精讲例题解析【例1】（1）圆的半径是4厘米，它的面积是______平方厘米；（结果保留π）（2）圆的直径是6米，它的周长是______米，它的面积是______平方米；（π取3.14）（3）圆的周长是25.12分米，它的面积是______平方分米．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】【例2】有大小两个圆，如果大圆半径是小圆半径的3倍，则大圆的周长是小圆的______倍，大圆的面积是小圆的______倍；如果大圆直径是小圆半径的4倍，则小圆面积与大圆面积的比是______．【难度】★【答案】【解析】【例3】有一只羊栓在草地的木柱上，绳子的长度是4米，这只羊最多可以吃到______平方米的草．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】【例4】在一个边长为20厘米的正方形纸板里剪出一个最大的圆，则圆的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】【例5】用一根长为16分米的铁丝围成一个圆，接头处长为0.3分米，这个圆的面积是多少？（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例6】一种铝制面盆是用直径20厘米的圆形铝板冲压而成的，要做100个这样的面盆至少需要铝板______平方米．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例7】周长相等的长方形、正方形和圆，______的面积最大．【难度】★★【答案】【解析】【例8】两个同心圆，大圆半径为5厘米，小圆半径为3厘米，求圆环的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例9】一个圆形喷水池的周长是62.8米，绕着这个水池修一条宽2米的水泥路，求路面的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例10】如图，已知大圆半径是6厘米，那么阴影部分面积占大圆面积的______．（用分数表示）【难度】★★【答案】【解析】【例11】两个圆的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90%，则大圆的面积是_______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【例12】有5块圆形的花圃它们的直径分别是3米、4米、5米、8米、9米，请将这5块花圃分成两组，分别交给两个班级管理，使这两个班级管理的面积尽可能接近．【难度】★★ 【答案】【解析】【例13】大小两圆的相交部分（如图所示的阴影部分）面积是大圆面积的415，是小圆面积的35，量得小圆的半径是5厘米，问大圆的半径是多少？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】【解析】【例14】如图，正方形的面积是12平方厘米，求图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】【解析】【例15】如图中的圆的周长是16.4厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是多少厘米？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】【解析】B1、扇形的概念由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形．如图，空白部分记作扇形AOB ． 2、扇形的面积设组成扇形的半径为r ，圆心角为n °，弧长为l ，那么：213602n S r lr π==扇形．【例16】一个扇形的面积是它所在圆面积的15，这个扇形的圆心角是______．【难度】★ 【答案】【解析】【例17】一个扇形的半径是5厘米，圆心角是60°，则此扇形的面积是______平方厘米，周长是______厘米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】【解析】【例18】已知扇形的弧长是31.4厘米，半径是10厘米，那么扇形的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】【解析】模块二：扇形的面积知识精讲例题解析【例19】一扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍；若它的圆心角不变，半径扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍．【难度】★ 【答案】【解析】【例20】一个圆心角为60°的扇形，其面积与一个直径为9的圆相等，求此扇形所在圆的面积．（结果保留π）【难度】★★ 【答案】【解析】【例21】一个圆心角为45°的扇形，它的周长为11.14厘米，求它的面积．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【例22】如图，已知正方形边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以边长为半径作两段圆弧，求阴影部分的面积．（结果保留π）【难度】★★ 【答案】【解析】【例23】等腰直角三角形ABC 中，以直角顶点A 为圆心，以高AD 为半径，画一条弧，交AB 、AC 分别于E 、F ，AD = 2厘米，图中阴影部分的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】ABCDABCH【例24】如图，扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的113倍，那么CAB ∠是______度．【难度】★★ 【答案】【解析】【例25】如图，三角形为任意三角形，三个圆的半径均为1厘米，则阴影部分的面积为______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【例26】如图，ABC ∆的三条边都是6厘米，高AH 为5.2厘米，分别以A 、B 、C 三点为圆心，6厘米长为半径画弧，求这三段弧围成的图形的面积．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【例27】如图，长方形的宽为5，正好是大扇形半径的一半，求阴影部分的面积．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【例28】如图，圆的半径是6厘米，阴影部分的面积是31.5π平方厘米，求图中三角形的面积．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例29】有一只狗被系在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长6米的等边三角形，绳长是8米．当绳被狗拉紧时，狗活动范围的总面积为多少平方米？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】【解析】【例30】已知C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上且把半圆三等分，若已知AB 长为10，求阴影部分的面积．（结果保留π）【难度】★★★ 【答案】【解析】【习题1】扇形的面积是314平方米，其所在圆的面积是1256平方米，则这个扇形的圆心角为______°．【难度】★【答案】【解析】【习题2】一种手榴弹爆炸后，有效杀伤范围的半径是6米，有效杀伤面积是______平方米．（取3.14）【难度】★【答案】【解析】【习题3】若一扇形所在的圆心角缩小为原来的12，半径扩大为原来的2倍，则它的面积（）A．扩大为原来的2倍B．扩大为原来的4倍C．是原来的12D．不变【难度】★【答案】【解析】【习题4】如果用整个圆来表示班级共有40名学生，那么被评为三好学生的8名同学应该用圆心角为______的扇形来表示．【难度】★★【答案】【解析】随堂检测【习题5】环形的外圆周长是18.84厘米，内圆直径是4厘米，求环形的面积．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【习题6】两个圆的面积之差是209平方厘米，已知大圆的周长是小圆的周长的119倍，求小圆的面积．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【习题7】一时钟的分针长6分米，从上午9点到上午10点40分，分针扫过的面积是多少平方分米？【难度】★★ 【答案】【解析】【习题8】如图，正方形的边长为4，求阴影部分的面积．【难度】★★ 【答案】【解析】【习题9】如图所示的阴影部分分别为三种标点符号：句号、逗号和问号．已知大圆半径为R ，小圆半径为r ，且R = 2r ．哪一个标点符号的面积最小？【难度】★★★ 【答案】【解析】A B2 2【习题10】如图，A与B是两个圆的圆心，那么两个阴影部分的面积相差______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★★【答案】【解析】【作业1】下列判断中，正确的是（）A．半径越大的扇形，面积越大B．所对圆心角越大的扇形，面积越大C．所对圆心角相同时，半径越大的扇形面积越大D．半径相等时，所对圆心角越大的扇形面积越小【难度】★【答案】【解析】【作业2】圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的面积增加了______平方厘米．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】课后作业【作业3】一个扇形的半径是5厘米，圆心角是72°，这个扇形的周长是______分米．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】【作业4】一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，在纸上剪一个最大的圆，还剩下______平方厘米的纸没有用．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【作业5】一个扇形的面积是78.5平方厘米，圆心角为36°，当这个扇形的半径不变而圆心角增加了108°以后，这个扇形的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【作业6】某大楼上有一石英制的时钟，已知时针与分针分别长60厘米和80厘米，则时针走1小时，时针与分针扫过的平面的面积差为多少平方分米？（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【作业7】如图是三个半圆构成的图形，其中小半圆直径为8，中半圆直径为20，则阴影部分面积与大半圆的面积之比是多少？【难度】★★【答案】【解析】红红红红蓝蓝蓝蓝【作业8】一辆汽车的车轮直径为1米，试计算当汽车以120千米/时的速度行驶时，车轮的转速是每秒多少周？（3π≈，结果保留整数位）【难度】★★【答案】【解析】【作业9】如图是对称图形，红色部分的面积大还是蓝色部分的面积大？【难度】★★★【答案】【解析】【作业10】如图，扇形AOB为14个圆，半径为4厘米，以它的两条半径为直径，在扇形内部画两个半圆，求阴影部分的面积．【难度】★★★【答案】【解析】。

六年级秋季班-第16讲：圆和扇形的面积

圆和扇形的面积是六年级数学上学期第四章第二节的内容．本讲主要讲解圆的面积和扇形面积的求解方法，及它们之间的关系；重点是掌握圆的面积和扇形面积的基本计算方法，难点是在不同的图形中根据题目条件灵活解答相关问题．1、圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积．设圆的半径长为r ，面积为S ，那么：圆的面积2S r r r ππ=⨯=．圆和扇形的面积内容分析知识结构模块一：圆的面积知识精讲例题解析【例1】（1）圆的半径是4厘米，它的面积是______平方厘米；（结果保留π）（2）圆的直径是6米，它的周长是______米，它的面积是______平方米；（π取3.14）（3）圆的周长是25.12分米，它的面积是______平方分米．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】【例2】有大小两个圆，如果大圆半径是小圆半径的3倍，则大圆的周长是小圆的______倍，大圆的面积是小圆的______倍；如果大圆直径是小圆半径的4倍，则小圆面积与大圆面积的比是______．【难度】★【答案】【解析】【例3】有一只羊栓在草地的木柱上，绳子的长度是4米，这只羊最多可以吃到______平方米的草．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】【例4】在一个边长为20厘米的正方形纸板里剪出一个最大的圆，则圆的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】【例5】用一根长为16分米的铁丝围成一个圆，接头处长为0.3分米，这个圆的面积是多少？（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例6】一种铝制面盆是用直径20厘米的圆形铝板冲压而成的，要做100个这样的面盆至少需要铝板______平方米．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例7】周长相等的长方形、正方形和圆，______的面积最大．【难度】★★【答案】【解析】【例8】两个同心圆，大圆半径为5厘米，小圆半径为3厘米，求圆环的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例9】一个圆形喷水池的周长是62.8米，绕着这个水池修一条宽2米的水泥路，求路面的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例10】如图，已知大圆半径是6厘米，那么阴影部分面积占大圆面积的______．（用分数表示）【难度】★★【答案】【解析】【例11】两个圆的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90%，则大圆的面积是_______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例12】有5块圆形的花圃它们的直径分别是3米、4米、5米、8米、9米，请将这5块花圃分成两组，分别交给两个班级管理，使这两个班级管理的面积尽可能接近．【难度】★★【答案】【解析】【例13】大小两圆的相交部分（如图所示的阴影部分）面积是大圆面积的415，是小圆面积的35，量得小圆的半径是5厘米，问大圆的半径是多少？（π取3.14）【难度】★★★【答案】【解析】【例14】如图，正方形的面积是12平方厘米，求图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）【难度】★★★【答案】【解析】【例15】如图中的圆的周长是16.4厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是多少厘米？（π取3.14）【难度】★★★【答案】【解析】B1、扇形的概念由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形．如图，空白部分记作扇形AOB ． 2、扇形的面积设组成扇形的半径为r ，圆心角为n °，弧长为l ，那么：213602n S r lr π==扇形．【例16】一个扇形的面积是它所在圆面积的15，这个扇形的圆心角是______．【难度】★ 【答案】【解析】【例17】一个扇形的半径是5厘米，圆心角是60°，则此扇形的面积是______平方厘米，周长是______厘米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】【解析】【例18】已知扇形的弧长是31.4厘米，半径是10厘米，那么扇形的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】【解析】模块二：扇形的面积知识精讲例题解析【例19】一扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍；若它的圆心角不变，半径扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍．【难度】★ 【答案】【解析】【例20】一个圆心角为60°的扇形，其面积与一个直径为9的圆相等，求此扇形所在圆的面积．（结果保留π）【难度】★★ 【答案】【解析】【例21】一个圆心角为45°的扇形，它的周长为11.14厘米，求它的面积．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【例22】如图，已知正方形边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以边长为半径作两段圆弧，求阴影部分的面积．（结果保留π）【难度】★★ 【答案】【解析】【例23】等腰直角三角形ABC 中，以直角顶点A 为圆心，以高AD 为半径，画一条弧，交AB 、AC 分别于E 、F ，AD = 2厘米，图中阴影部分的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】ABCDABCH【例24】如图，扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的113倍，那么CAB ∠是______度．【难度】★★ 【答案】【解析】【例25】如图，三角形为任意三角形，三个圆的半径均为1厘米，则阴影部分的面积为______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【例26】如图，ABC ∆的三条边都是6厘米，高AH 为5.2厘米，分别以A 、B 、C 三点为圆心，6厘米长为半径画弧，求这三段弧围成的图形的面积．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【例27】如图，长方形的宽为5，正好是大扇形半径的一半，求阴影部分的面积．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】【解析】【例28】如图，圆的半径是6厘米，阴影部分的面积是31.5π平方厘米，求图中三角形的面积．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例29】有一只狗被系在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长6米的等边三角形，绳长是8米．当绳被狗拉紧时，狗活动范围的总面积为多少平方米？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】【解析】【例30】已知C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上且把半圆三等分，若已知AB 长为10，求阴影部分的面积．（结果保留π）【难度】★★★ 【答案】【解析】【习题1】扇形的面积是314平方米，其所在圆的面积是1256平方米，则这个扇形的圆心角为______°．【难度】★【答案】【解析】【习题2】一种手榴弹爆炸后，有效杀伤范围的半径是6米，有效杀伤面积是______平方米．（取3.14）【难度】★【答案】【解析】【习题3】若一扇形所在的圆心角缩小为原来的12，半径扩大为原来的2倍，则它的面积（）A．扩大为原来的2倍B．扩大为原来的4倍C．是原来的12D．不变【难度】★【答案】【解析】【习题4】如果用整个圆来表示班级共有40名学生，那么被评为三好学生的8名同学应该用圆心角为______的扇形来表示．【难度】★★【答案】【解析】随堂检测【习题5】环形的外圆周长是18.84厘米，内圆直径是4厘米，求环形的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【习题6】两个圆的面积之差是209平方厘米，已知大圆的周长是小圆的周长的119倍，求小圆的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【习题7】一时钟的分针长6分米，从上午9点到上午10点40分，分针扫过的面积是多少平方分米？【难度】★★【答案】【解析】【习题8】如图，正方形的边长为4，求阴影部分的面积．【难度】★★【答案】【解析】【习题9】如图所示的阴影部分分别为三种标点符号：句号、逗号和问号．已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R = 2r．哪一个标点符号的面积最小？【难度】★★★【答案】【解析】AB22【习题10】如图，A 与B 是两个圆的圆心，那么两个阴影部分的面积相差______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】【解析】【作业1】下列判断中，正确的是（）A ．半径越大的扇形，面积越大B ．所对圆心角越大的扇形，面积越大C ．所对圆心角相同时，半径越大的扇形面积越大D ．半径相等时，所对圆心角越大的扇形面积越小【难度】★ 【答案】【解析】【作业2】圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的面积增加了______平方厘米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】【解析】课后作业【作业3】一个扇形的半径是5厘米，圆心角是72°，这个扇形的周长是______分米．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】【作业4】一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，在纸上剪一个最大的圆，还剩下______平方厘米的纸没有用．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【作业5】一个扇形的面积是78.5平方厘米，圆心角为36°，当这个扇形的半径不变而圆心角增加了108°以后，这个扇形的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【作业6】某大楼上有一石英制的时钟，已知时针与分针分别长60厘米和80厘米，则时针走1小时，时针与分针扫过的平面的面积差为多少平方分米？（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【作业7】如图是三个半圆构成的图形，其中小半圆直径为8，中半圆直径为20，则阴影部分面积与大半圆的面积之比是多少？【难度】★★【答案】【解析】红红红红蓝蓝蓝蓝【作业8】一辆汽车的车轮直径为1米，试计算当汽车以120千米/时的速度行驶时，车轮的转速是每秒多少周？（3π≈，结果保留整数位）【难度】★★ 【答案】【解析】【作业9】如图是对称图形，红色部分的面积大还是蓝色部分的面积大？【难度】★★★ 【答案】【解析】【作业10】如图，扇形AOB 为14个圆，半径为4厘米，以它的两条半径为直径，在扇形内部画两个半圆，求阴影部分的面积．【难度】★★★ 【答案】【解析】。

第十七讲圆和扇形的面积计算

第十七讲圆和扇形的面积
课题
圆和扇形的面积
教学目标
1.推导并会初步运用扇形面积公式；
2.通过对扇形面积公式的推导，培养对新问题的探究能力；
3.从实际生活中发现问题，解决问题，运用所学知识进行综合分析的能力。

重点、难点
1．扇形面积公式
2．公式的推导过程
教学内容
知识结构
一圆的面积
知识精讲
1、圆的面积
圆所占平面的大小叫做圆的面积．
设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积2
S r r r
ππ
=⨯=．
例题解析
【例1】（1）圆的半径是4厘米，它的面积是______平方厘米；（结果保留π）
（2）圆的直径是6米，它的周长是______米，它的面积是______平方米；（π取3.14）
（3）圆的周长是25.12分米，它的面积是______平方分米．（π取3.14
【例2】有大小两个圆，如果大圆半径是小圆半径的3倍，则大圆的周长是小圆的______倍，大圆的面积是小圆的______倍；如果大圆直径是小圆半径的4倍，则小圆面积是与大圆面积的比是______．
（A）面积扩大为原来的4倍（B）面积扩大为原来的2倍
（C）面积不变（D）面积缩小为原来的一半
14．半径扩大为原来的两倍，圆心角不变，扇形面积……………（）
（A）扩大为原来的两倍；（B）扩大为原来的四倍；
（C）不变；（D）缩小一半
三、解答题（共58分）
15．已知电风扇的叶片长约50㎝，求风扇转动时叶片扫过的面积. （8分）
16．如下图，在半径为5米的圆形花坛周围修一条宽1米的小路，求小路的面积. （10分）
17．直径为18㎝的圆中，圆心角40°的扇形面积是多少？（10分）。

扇形的面积计算与相关公式

扇形的面积计算与相关公式扇形是平面几何中的一种基本图形，通常用来描述圆的一部分。

计算扇形的面积需要用到相关的公式，本文将详细介绍扇形的面积计算方法及相关公式。

一、扇形的定义和性质在几何学中，扇形是由一条半径和一条弧所围成的区域。

它是圆的一部分，其中心角表示了扇形占据的角度大小。

扇形的中心角可以通过两个弧的端点和圆心连接而成。

扇形还具有以下性质：1. 扇形的面积是由扇形所占据的圆心角度和圆的半径共同决定的；2. 扇形的面积永远小于或等于圆的面积；3. 扇形的面积与圆心角成正比，即圆心角越大，扇形的面积越大。

二、扇形面积的计算公式1. 已知圆心角度和圆的半径当我们已知扇形的圆心角度和圆的半径时，可以使用以下公式计算扇形的面积：扇形的面积= (θ/360°) * π * r²其中，θ为扇形的圆心角度，r为圆的半径。

这个公式是通过扇形的圆心角度与圆的面积之间的比例关系得出的。

2. 已知弧长和圆的半径若已知扇形的弧长和圆的半径，可通过以下公式计算扇形的面积：扇形的面积 = (l * r) / 2其中，l为扇形的弧长，r为圆的半径。

这个公式是通过扇形的弧长与圆的面积之间的比例关系得出的。

三、实例演算为了更好地理解和应用上述公式，接下来将通过实例演算进行说明。

例1：已知扇形圆心角度为60°，圆的半径为5cm，求扇形的面积。

根据公式：扇形的面积= (θ/360°) * π * r²代入已知数据，有：扇形的面积= (60°/360°) * π * 5² = (1/6) * π * 25 = 25/6π ≈ 13.09cm²所以，扇形的面积约为13.09平方厘米。

例2：已知扇形的弧长为8cm，圆的半径为3cm，求扇形的面积。

根据公式：扇形的面积 = (l * r) / 2代入已知数据，有：扇形的面积 = (8cm * 3cm) / 2 = 12cm²所以，扇形的面积为12平方厘米。

第十五讲圆和扇形的面积

第十五讲圆和扇形的面积【典型例题1】在一个圆形喷水池的周长是62.8米，绕着这个水池修一条宽2米的水泥路．求路面的面积．解析：1014.328.622=⨯==πC r （米） S=S 大圆-S 小圆=πr 2-πR 2=3.14×（10+2）2-3.14×102=138.16（平方米）答:路面的面积是138.16平方米．点评：绕着这个水池修一条宽2米的水泥路的情况如图所示，因此路的面积就是大圆面积减小圆面积，其中大圆的半径是小圆半径加上2米．【知识点】1. 圆周长公式用字母C 表示圆的周长，d 表示直径，r 表示半径，那么C=πd 或C=2πr ．能解根据实际问题中的半径或直径求周长，能解根据圆的周长求圆的半径或直径．2．圆的面积圆所占的平面的大小叫做圆的面积．3．圆的面积公式设圆的半径为r ，面积为S ，那么圆的面积S=πr 2．【基本习题限时训练】1、一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，在纸上剪一个最大的圆，还剩下（）平方厘米的纸没用A 、2226B 、106.5C 、286D 、656【解】C2、如图阴影部分的面积是（）A 、19.625B 、78.5C 、39.25D 、以上都不对【解】A3、将半径为3厘米的圆，扩大到半径为5厘米的大圆，面积增加了（）A 、9π平方厘米B 、725π平方厘米C 、15π平方厘米D 、16π平方厘米【解】D【拓展题1】用同样的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，它们的面积是否相等？如果不相等，哪个面积大，为什么？【解析】面积不相等，圆的面积大.设铁丝的长为x，由此分别算出正方形的边长是a=x4，圆的半径r=x2π，那么S正方形=x216，S圆=x24π.因为16＞4π，所以x216＜x24π.【点评】圆的周长和面积的大小都由半径的长度决定，所以先由周长表示出半径，再由半径求出面积，再与正方形相比较。

【拓展题2】把三角板放在桌面上，绕着点C将三角板旋转一周后形成如下的图形，如果AB=4厘米，BC=3厘米，AC=5厘米，那么直角边AB所覆盖的面积是多少平方厘米？【解析】S= S大圆-S小圆=πAC2-πBC2=25π-9π=16π=50.24（平方厘米）【点评】AB所覆盖的面积是一个环形，其中外圆的半径是AC的长，内圆的半径是BC的长【典型例题2】一块正方形的草皮，边长为4米，在两个相对的角上各有一棵树，树上各栓一只羊，绳长4米，问两只羊都能吃到的草的草皮有多少？解析： πππ44414122=⨯⨯=r （平方米） 21绿色阴影部分=4π-21×4×4=4π-8（平方米）阴影部分面积=2×（4π-8）=8π-16=8×3.14-16=9.12（平方米）答阴影部分的面积是9.12平方米．点评：根据题意先画出图1，由于栓羊的绳长4米，所以一只羊只能草的的面积正好是以树心为圆心，4米长为半径的圆的四分之一，故两只羊都能吃到的草的面积就是绿色的阴影部分图2．先求阴影部分的一半如图3、图4．【知识点】圆的面积公式设圆的半径为r ，面积为S ，那么圆的面积S=πr 2．【基本习题限时训练】1、有一只羊栓在草地的木桩上，绳子的长度是4米，这只羊最多可以吃到（）平方米的草A 、50.24B 、25.12C 、12.56D 、 16【解】A2、学校的操场由一个长方形和两个半圆组成，则这个操场的面积是（）平方米。

圆与扇形的面积运算

圆与扇形的面积运算在几何学中，圆和扇形是常见的图形，它们的面积计算是基础知识。

下面我将分别介绍圆和扇形的面积运算方法。

一、圆的面积运算圆是一个闭合于一个平面上所有点到一个固定点的距离相等的图形。

圆的面积计算公式为：面积= π * r^2，其中π是一个常数，约等于3.14159，r是圆的半径。

例如，如果给定一个圆的半径为5 cm，则该圆的面积为：面积= π * 5^2= 3.14159 * 25≈ 78.53975 平方厘米二、扇形的面积运算扇形是由一个圆心角和与其相应的两条半径所围成的图形。

扇形的面积计算依赖于圆的面积，根据圆的面积比例可以得到扇形的面积计算公式。

扇形的面积计算公式为：面积= (θ/360°) * π * r^2，其中θ是圆心角的度数，r是扇形的半径。

例如，如果给定一个扇形的圆心角为60°，半径为5 cm，则该扇形的面积为：面积 = (60/360) * 3.14159 * 5^2≈ 0.16667 * 3.14159 * 25≈ 13.08996 平方厘米在实际问题中，我们常常需要计算不完整的扇形面积。

如果给定的圆心角θ小于360°，我们可以使用相应的圆心角和整个圆的面积比值，再乘以整个圆的面积，即可得到不完整扇形的面积。

例如，如果给定的圆心角θ为120°，半径仍为5 cm，我们可以计算不完整扇形的面积如下：面积 = (120/360) * 3.14159 * 5^2≈ 0.33333 * 3.14159 * 25≈ 26.17993 平方厘米结论：通过以上的解释与计算实例可知，圆和扇形的面积计算方法相对简单。

圆的面积只需根据圆的半径运用公式Area = π * r^2进行计算，而扇形的面积则需要额外考虑圆心角的影响，应用公式Area = (θ/360°) *π * r^2来计算。

这些计算方法在几何学和实际应用中具有广泛的使用场景，对于我们理解和解决与圆和扇形相关的问题非常有帮助。

圆周运动圆心角公式

圆周运动圆心角公式
圆心角公式
扇形面积/圆的面积=圆心角/360°，所以圆心角=360°×扇形面积÷圆形面积，就是公式逆用。

已知扇形半径和弧长θ=L/R(L为弧长,R为半径)。

扇形面积/圆的面积=圆心角/360°,所以圆心角=360°×扇形面积÷圆形面积,就是公式逆用吧。

圆的周长=2πr
弧是圆的一部分，因此弧长=圆的周长（弧所对的圆心角度数/360°) =2πr圆心角/360°
因为2π=360°
所以扇形圆心角=弧长/半径。

所得单位是弧度数,要换为角度数。

圆周运动公式
1、v（线速度）=S/t=2πr/T=ωr=2πrf (S代表弧长,t代表时间,r代表半径) 。

2、ω（角速度）=θ/t=2π/T=2πn （θ表示角度或者弧度）。

3、T（周期）=2πr/v=2π/ω。

4、n（转速）=1/T=v/2πr=ω/2π。

5、Fn（向心力）=mrω^2=mv^2/r=mr4π^2/T^2=mr4π^2f^2 。

6、an（向心加速度）=rω^2=v^2/r=r4π^2/T^2=r4π^2n^2 。

7、vmax（过最高点时的最小速度）=√gr （无杆支撑）。

关于初中数学圆方面的计算公式

1.圆的周长C=2πr=πd2.圆的面积S=πr²3.扇形弧长l=nπr/1804.扇形面积S=nπr²/360=rl/25.圆锥侧面积S=πrl6.圆锥的表面积S=πrl+πr²〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点称为圆心，定长称为半径。

轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。

集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

〖圆的相关量〗1、圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.79...，通常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)。

2、圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

3、圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。

顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

4、内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。

和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

5、扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

圆锥侧面展开图是一个扇形。

这个扇形的半径成为圆锥的母线。

〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d 扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。

【小学奥数】专题：如何计算圆和扇形组合的图形面积

面积的 2 ，那么这个扇形的圆心角是多少度？
5
解：因为 S扇形 n
S 360
所以
2 n , 5 360
n 2, 360 5
解得 n=144
答：扇形的圆心角是144度.
二.应数用学举一例百分
例题5 解答题：
※（2）如果扇形的圆心角变为原来的5倍，半
径变为原来的 1/3 ，那么这个扇形的弧长变为
黄颜色部分的面积 R2 r2
R2 r2
数学一百分三.巩固练习
2．在面积是720平方毫米的圆上，有一个面积为45平方毫米的同半径的扇形，这个扇形的圆心角的度数是多少度？
解： S=720平方毫米，S扇形 45 平方毫米， S扇形 = n , 45 = n , n 22.50. S 360 720 360
例题3 （1）圆的直径是4米，周长是多少米？面积是多少平方米？
解：（1）d=4米，r=2米，
C=πd =3.14×4 =12.56(m) .
S r2 =3.14×4 =12.56(平方米).
答：圆的周长是12.56米，面积是12.56平方米.
数学一百分二.应用举例
例题3 （2）扇形的半径为3厘米，圆心角为 120°，求扇形的面积及扇形的弧长.
20cm，求扇形的面积？
解：（3）r=6cm, l=20-2×6=8(cm),
S扇形
1 lr 2
1 86 2
24
或 l n r , 6 n 8, nπ=240，
180 180
S扇形
n r2
360
240 36 360
24（平方厘米）.
答：扇形的面积为24平方厘米.
数学一百分
二.应用举例

圆的扇形面积公式

圆的扇形面积公式圆是平面上的一个几何图形，由一组到圆心的直线段所组成。

圆的特点是：任意一点到圆心的距离都相等，这个公共的距离称为半径。

半径的长度决定了圆的大小。

在圆上两点之间的连线称为弦，它将圆分成两个部分。

弦的中点恰好位于圆的弧上。

圆上的弧可以通过圆心角来衡量，圆心角是由圆心的两条辅助直线组成的角，其中一条辅助直线是从圆心出发和弦的一端连结起来的。

圆心角的大小与所夹的弧的长度成正比，例如一个圆心角是360度的扇形，所夹的弧长就是圆的周长。

现在我们来推导圆的扇形面积公式。

假设圆的半径为r，圆心角为θ（单位为弧度），我们需要求得与这个圆心角对应的扇形的面积。

首先，我们可以知道整个圆的面积是πr²，而对应的扇形面积是圆的面积乘以圆心角所占的比例。

因此，扇形的面积可以表示为：扇形面积=πr²×(θ/2π)其中，θ/2π表示圆心角所占圆的总角度的比例。

这个比例乘以圆的面积就得到了扇形的面积。

化简上述公式，我们可以得到：扇形面积=(1/2)×πr²×θ/π由于π和π可以约去，所以最终的圆的扇形面积公式为：扇形面积=(1/2)×r²×θ这就是圆的扇形面积公式。

需要注意的是，上述公式是基于圆心角的弧度单位的。

如果所给的圆心角的单位是度数，我们需要将度数转化为弧度再代入公式进行计算。

具体转化方法是将度数乘以π/180。

这个扇形面积公式在解决实际问题中非常常用。

例如，在计算扇形面积时，我们可以根据给定的半径和圆心角来直接代入公式计算出扇形的面积。

这个公式对于计算园艺、建筑、机械等领域中的扇形的面积都很有用。

总结一下，圆的扇形面积公式是由圆的半径和圆心角决定的。

通过计算圆面积和圆心角的比例，我们可以得到扇形的面积。

这个公式在实际问题中具有很强的应用性，可以帮助我们解决各种与扇形面积相关的计算问题。

圆的面积

六年级数学圆的面积公式：圆的周长：C=2πr或C=πdr=C÷π÷2 d=C÷π圆的面积：S = πr2半圆的周长：C半=πr+2r 或 C半=12πd+d 或 C半= 5.14rr=C半÷（π+2）或 r=C半÷5.14半圆的面积：S半=12πr2圆环的周长：C环 = 2πR+2πr 或C环= 2π（R+r）圆环的面积：S环 =πR2-πr2或 S环=π（R2- r2）扇形的面积：S扇 = 2360rn(n是圆心角）（一）圆的面积一、根据条件求各圆的面积。

1、r = 9cm2、d = 12cm3、C = 25.12cm二、判断。

1、直径相等的两个圆，面积不一定相等。

（）2、大圆半径相当于小圆的直径，大圆面积是小圆面积的4倍。

（）3、一个圆的周长扩大到原来的3倍，面积也扩大到原来的3倍。

（）三、填空题。

1、把一个圆沿半径平均分成若干份后可以拼成一个近似长方形，这个长方形的长等于（），宽等于（）。

从而得到圆的面积计算公式是（）。

2、圆的半径扩大3倍，直径扩大（）倍，周长扩大（）倍；面积扩大（）倍。

3、一根铁丝正好围成一个直径2米的圆，这根铁丝长（）米；如果改围成一个正方形，正方形的边长是（）米，面积是（）平方米。

4、小圆半径6厘米，大圆半径8厘米。

大圆和小圆半径的比是（）；直径的比是（）；周长的比是（）；面积的比是（）。

5、用一根长4米的绳子画一个最大的圆，这个圆的半径（）米，周长（）米，面积（）平方米。

6、圆规两脚间距离5厘米，画出圆的周长（）厘米，面积（）平方厘米。

7、在一张长40厘米宽30厘米的长方形纸上剪一个最大的圆，圆的半径（）厘米，周长（）厘米，面积（）平方厘米。

8、一个圆的半径扩大4倍，它的周长扩大（）倍；面积扩大（）倍。

9、长方形、正方形和圆的周长相等时，（）的面积最大，（）的面积最小。

10、用圆规画一个周长50.24厘米的圆，圆规两脚之间的距离是（）厘米，所画的圆的面积是（）平方厘米。

求扇形圆心角度数的公式

求扇形圆心角度数的公式
扇形面积/圆的面积=圆心角/360°，所以圆心角=360°×扇形面积÷圆形面积，就是公式逆用。