高等数学：第十章 无穷级数的概念
高等数学无穷级数知识点总结
高等数学无穷级数知识点总结
无穷级数是高等数学中的一个重要内容，它涉及到很多重要的概念和定理。
以下是一些高等数学无穷级数的知识点总结:
1. 无穷级数的基本概念：无穷级数是指一个数列的项按一定规律相加而成的数列。
其中，无穷级数的定义域可以是实数集或复数集。
2. 无穷级数的分类：无穷级数可以分为数项级数和函数项级数两大类。
数项级数是指以常数项级数的形式表示的无穷级数，而函数项级数则是以函数项的形式表示的无穷级数。
3. 无穷级数的敛散性：无穷级数的敛散性是指级数是否收敛或发散。
如果一个无穷级数收敛，则称其为收敛级数，反之则称为发散级数。
4. 无穷级数的判别法：无穷级数的判别法是指判断一个无穷级数是否收敛的方法。
常用的判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和莱布尼兹判别法等。
5. 无穷级数的和应用：无穷级数在数学中有着广泛的应用，例如求和、积分、微积分等。
在实际应用中，无穷级数往往被用来求解各种问题。
6. 无穷级数的和函数：无穷级数的和函数是指级数的每一项相加得到的总和。
无穷级数的和函数具有很多重要的性质，例如连续性、可导性等。
7. 无穷级数的广义性质：无穷级数的广义性质是指关于无穷级数的一些扩展概念和定理。
例如，无穷级数的前 n 项和的广义性质、
无穷级数的广义收敛性等。
以上是高等数学无穷级数的一些重要知识点总结。
希望能对读者有所帮助。
高等数学：第十章 无穷级数 复习
1. 幂级数的收敛半径
•根据幂级数的系数确定其收敛半径(基于达朗
2.正项级数收敛的充要条件
命题1：正项级数收敛的充分必要条件是其部 分 和序列有上界。
§2 正项级数的收敛判别法
定理1：设两正项级数 un 与 vn 的一般项满足
n1
n1
un vn (n1 2 )，则
(1)由级数 vn 收敛可断定级数 un 也收敛；
n1
n1
(2)由 un 发散可断定 vn 也发散。
(2) 比较审敛法的极限形式
(3) 极限审敛法
设un 0,vn 0 若un与vn 是同阶无穷小
则 un与 vn同敛散
特别 若un ~ vn （等价无穷小）
则 un与 vn同敛散
(4) 比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)
(5) 根值审敛法 (柯西判别法)
3、交错级数及其审敛法 Leibniz定理
k 1
S2，则级数 (ak bk ) 也收敛，并收敛于S1±S2. k 1
(2) 若 ak
收敛于S，则对任意常数c，级数 cak
k 1
k 1
也收敛，并收敛于cS.
3.收敛级数的性质
(3)设有两个级数 ak 与 bk ，若存在一个N，使得
k 1
k 1
ak=bk,当k≥N,
则这两个级数同时收敛或同时发散。
n1
§2 正项级数的收敛判别法
4.正项级数的达朗贝尔判别法（比值判别法）
• 定理3：若正项级数 un (un 0)
满足 lim un1 l,
则
n1
n un
(1)当l 1时级数收敛;
(2)当l 1时级数发散;
(3)当l 1时级数可能收敛也可能发散。
高数第十单元无穷级数
第十单元 无穷级数10－1 常数项级数的概念与审敛法［教学基本要求］高等数学 1. 理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；２．了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与p -级数的敛散性，掌握正项级数的比较审敛法；３．了解交错级数的莱布尼茨定理；4．了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系．微积分 1。
理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；２．了解正项级数的比较审敛法，掌握几何级数与p -级数的敛散性结果,掌握正项级数的比较审敛法；３．了解交错级数的莱布尼茨定理;4．了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系．[知识要点]一、常数项级数的敛散性判别法及其说明除开因lim n n u →∞≠0，而判定n n u ∞=1∑发散外，常用以下方法判别级数的收敛性.)，(2)limn≤，其且其和S u1几何级数(等比级数)n n aq ∞=1∑：当|q |<1时级数收敛；当|q |≥1时级数发散。
p -级数p n n ∞=11∑：当p >1时级数收敛，当p 0<≤1时级数发散。
级数ln pn n n∞=21∑,当p >1时级数收敛，当p 0<≤1时级数发散. 二、正项级数判敛的一般程序：nu∞=1∑ ρ=1 n u n n u ∞=1∑发散 n n u ∞=1∑发散,n n u ∞=1∑收敛三、任意项级数的判敛程序：收敛 n n u ∞=1∑条件收敛nn u∞=1∑发散nn u∞=1∑绝对收敛nn u∞=1∑发散［错误诊断］例1 判别下列级数的敛散性：(1）n ∞=1 （2）()nn n ∞=14+-12∑． （1）［错解］因为n =0，故该级数收敛．［错误分析］ lim n n u →∞=0是级数n n u ∞=1∑收敛的必要条件，不是充分条件．因此不能用一般项的极限为零判别级数收敛，但如果lim n n u →∞≠0,级数n n u ∞=1∑一定发散.[正确解法］因n n ==1,由n n ∞=11∑发散，知该级数发散． (2）[错解］因为()()()lim lim lim[()]n n n n n nn n n n nu u +1+1+1+1→∞→∞→∞4+-14+-14+-1==2224+-1不存在,所以该级数发散． ［错误分析]正项级数的比值判别法只是正项级数收敛的充分条件，不是必要条件．也就是说，正项级数n n u ∞=1∑收敛，并不一定有limn n nu u ρ+1→∞=<1．［正确解法］因为该级数是正项级数，且当n ≥1时，()n n n n u 4+-15=≤22．由于等比级数nn ∞=152∑收敛，由比较判别法知所给级数收敛．例２ 若n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑皆收敛，且对于一切自然数n 有n n n u c v ≤≤，证明n n c ∞=1∑也收敛．[错误证明］由于n n c v ≤，且n n v ∞=1∑收敛，故由比较判别法可知n n c ∞=1∑收敛．［错误分析]上述证明的依据是级数的比较判别法，但是这个判别法只适用于正项级数．而题中并没有指明n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑为正项级数，因此上述证明方法不正确．［正确证法]由于n n n u c v ≤≤，因此n n n n c u v u 0≤-≤-，即()n n n c u ∞=1-∑与()n n n v u ∞=1-∑皆为正项级数．由于n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑都收敛，因此()n n n v u ∞=1-∑收敛．由正项级数的比较判别法可知()n n n c u ∞=1-∑收敛．又()n n n n c u c u =+-，由级数的性质可知n n c ∞=1∑收敛．[典型例题补充］例1 选择题 下列命题中正确的是（ ）．A ． 若nn u∞=1∑与n n v ∞=1∑都收敛，则()n n n u v ∞=1+∑可能发散．B ． 若nn u∞=1∑收敛,n n v ∞=1∑发散，则()n n n u v ∞=1+∑必定发散．C ． 若nn u∞=1∑与n n v ∞=1∑都发散,则()n n n u v ∞=1+∑必定发散．D ． 若()nn n uv ∞=1+∑收敛，则n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑必定收敛．解 正确答案是B ．由级数的性质知命题A 错误．由反正法知命题B 正确．事实上，假设()n n n u v ∞=1+∑收敛，由n n u ∞=1∑收敛及()n n n n v u v u =+-知，n n v ∞=1∑也收敛，这与已知矛盾．故()n n n u v ∞=1+∑必定发散．若设n n n u ∞∞=1=1=1∑∑发散,()n n n v ∞∞=1=1=-1∑∑也发散，但是()()n n n n u v ∞∞=1=1+=1-1=0∑∑收敛．可知命题C 与D 都不正确．说明 若n n u ∞=1∑收敛，n n v ∞=1∑发散，则()n n n u v ∞=1±∑必定发散可以作为判定级数()n n n u v ∞=1±∑发散的充分条件使用．例1表明有限项相加的性质不能随意使用到无穷多项相加之中． 例2 判别下列级数的敛散性：（1）()n nn n n ∞=131+∑；(2） (cos )n n ∞=111-∑;（3)nn n n ∞=1⎛⎫⎪2+1⎝⎭∑;（4) !()n n n a n a n ∞=1>0∑． 解 （1）因为lim lim()n n n n u e n→∞→∞13=3=≠011+，所以n n u ∞=1∑发散． (2)分析：由于lim(cos )n n →∞11-=0，而cos sin n u n n211=1-=2>02 注意：sin ()lim lim lim ()sinn n n n nu n u n n n222+1→∞→∞→∞212⎡⎤112+1⎛⎫===1 ⎪⎢⎥12+12⎝⎭⎣⎦22 可知所给级数不能利用比值判别法判定．解法1 注意 cossin n u n n211=1-=2>02 由于当x >0时，sin x x <,可知sin n n 11<22，sin n n 2211<24 正项级数n n ∞2=114∑为收敛级数，由比较判别法可知(cos )n n ∞=111-∑收敛．解法2 由于当x →0时,sin x ～x ．可知当n →∞时sin n u n 21=22～n v n21=2则 sin lim lim n n n nu n u n 2+1→∞→∞2122==112,由于n n ∞2=11∑收敛，可知(cos )n n ∞=111-∑收敛． （3）因为n n 1==<12，所以nn n n ∞=1⎛⎫ ⎪2+1⎝⎭∑收敛． （4)分析：题中的a 没有限制其值，因此应该对a 加以讨论．解 因为()!!lim limlim ()n n n n n n n n n nu a n a n a au e n n n +1+1+1→∞→∞→∞+1===+11⎛⎫1+ ⎪⎝⎭故当a e >时,原级数发散;当a e <时，原级数收敛;当a e =时，不能用比值判别法判定所给级数的收敛性．但注意到数列nn ⎧⎫1⎪⎪⎛⎫1+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为单调增加且有上界，由于n n u u +1≥，又lim n n nu u +1→∞=1,由极限的性质可知当n 充分大时,必有n n u u +1>>0，因此lim n n u →∞≠0．故!n n n a n n ∞=1∑发散．例3 讨论级数ln ()pn np n∞=3>1∑的敛散性． 分析:通项中有ln n 因子,可考虑用积分判别法．解 令ln ()p x f x x =，当x ≥3时()f x ≥0，又ln ()()p p xf x p x +11-'=<0>1，故()f x 在[,)3+∞是正的单调递减函数，且ln ()p nf n n=，ln ()ln pp px x x f x dx dx xdx p p xx +∞1-1-+∞+∞+∞33331==-⋅1-1-⎰⎰⎰ln ()p ppp 1-1-233=-3<+∞1-1- 故由积分判别法知级数收敛．例4 设()ln nn n u n +1=-1，试判定n n u ∞=1∑与n n u ∞2=1∑的收敛性，并指出是绝对收敛，还是条件收敛？分析:n n u ∞=1∑是交错级数，n n u ∞2=1∑是正项级数．由于||ln ln()n n u n n+11==1+，注意到x →0时，ln()x x1+等价．解 因为ln()()n nn 111+→∞，所以lim ln ()n n n →∞111+=1，由于n n∞=11∑为发散的调和级数，因此lnn n n∞=1+1∑为发散级数． 因为ln()ln()n n 111+>1++1，且lim ln()lim n n n n →∞→∞111+==0，则由莱布尼兹定理知()ln n n n n ∞=1+1-1∑收敛．从而知其条件收敛．因ln ()nu n 221=1+，且lim ln ()lim()n n n n nn 2222→∞→∞11111+==1 由于级数n n ∞2=11∑为收敛级数，故由极限形式的比较判别法可知n n u ∞2=1∑收敛．［课堂练习］一、填空题１．若正项级数n n u ∞=1∑收敛，则n ∞=1是 级数．２．已知lim ()n n nu k →∞=≠0，则n n u ∞=1∑是 级数．３．已知lim n n a a b →∞=>>0，则nn n b a ∞=1⎛⎫⎪⎝⎭∑是 级数．４．级数(ln )nnn ∞=153∑的和为 ． ５．级数()()()n n n n n n 3∞=1-2+52-12+12+3∑是 级数．二、选择题1．下列命题中正确的是（ ）．A ．若n n u ∞=1∑收敛，则必有lim n n u →∞=0； Ｂ．若n n u ∞=1∑发散，则必有lim n n u →∞≠0;Ｃ．若lim n n u →∞=0,则n n u ∞=1∑必定收敛； Ｄ．若lim n n u →∞=0，则n n u ∞=1∑必定发散．2．下列命题中正确的是（ ）．A ．若||n n u ∞=1∑收敛，则n n u ∞=1∑必条件收敛；Ｂ．若n n u ∞=1∑发散，则||n n u ∞=1∑必定发散;Ｃ．若||n n u ∞=1∑发散，则n n u ∞=1∑必定发散； Ｄ．若n n u ∞=1∑收敛,则||n n u ∞=1∑必定收敛．3．若级数n n u ∞=1∑收敛于S ，则级数()n n n u u ∞+1=1+∑( ）．A ．收敛于S 2； Ｂ．收敛于S u 12+； Ｃ．收敛于S u 12-； Ｄ．发散．4．若级数nn a ∞2=1∑和nn b ∞2=1∑都收敛,则级数n n n a b ∞=1∑（ ）A ．一定条件收敛；Ｂ．一定绝对收敛；Ｃ．一定发散；Ｄ．可能收敛可能发散． ５．设a为常数，则sin ()n na n ∞2=1-∑为（ ）． A ．绝对收敛； Ｂ．条件收敛； Ｃ．发散；Ｄ．收敛性与a 有关．三、判别下列级数的敛散性1．n n 1∞3=11⎛⎫ ⎪⎝⎭∑； 2．nn n 1∞=11⎛⎫⎪⎝⎭∑； 3．n ∞=1．四、判别下列级数的敛散性,若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？ 1．ln()()nn n n ∞=11+-11+∑； 2． ()(cos )n n n α∞=1-11-∑ （α>0为常数）．答案 一、1．收敛;2．发散;3．收敛；４．ln 33-5；5．发散．二、1．A ； 2．B ； ３．C; ４．B; ５．C三、１．发散,p 级数;→1； ３．收敛． 四、1．条件收敛； 2．绝对收敛．10－2 幂级数［教学基本要求］高等数学 1。
高等数学-无穷级数ppt
根据级数项的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意 项级数。
收敛与发散性质பைடு நூலகம்
收敛性质
如果无穷级数的部分和数列有极限， 则称该无穷级数收敛，此时极限值称 为级数的和。
发散性质
如果无穷级数的部分和数列没有极限 ，或者极限为无穷大，则称该无穷级 数发散。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛
如果无穷级数的每一项的绝对值所构 成的级数收敛，则称原级数为绝对收 敛。
在量子力学中，波函数通常表示为无穷级数形式，用于 描述微观粒子的状态和行为。
电磁学中的场强计算
通过无穷级数的展开，可以计算电磁场中各点的场强分 布，进而分析电磁现象。
在工程学中的应用，如信号处理、控制系统设计等
信号处理中的滤波
在信号处理领域，利用无穷级数设计的滤波器可以对 信号进行平滑处理、降噪等操作。
要点二
洛朗级数展开
将函数f(z)在圆环域D内展开成双边幂级数形式，即f(z) = ... + a-2/z^2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z^2 + ...，其中an是 洛朗系数，可通过计算f(z)在D内的各阶导数求得。
泰勒级数与洛朗级数的比较
适用范围不同
泰勒级数适用于在一点处展开 的情况，而洛朗级数适用于在 圆环域内展开的情况。
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法 ，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计 。
THANK YOU
感谢聆听
幂级数展开
幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$的级数，其 中$a_n$为常数。幂级数在收敛域内可以逐项求导和逐项积 分，具有连续性和可微性。
高数无穷级数知识点总结
高数无穷级数知识点总结一、引言无穷级数是数学中一个重要的概念，它在数学和其他学科的研究中有着广泛的应用。
在高等数学中，无穷级数是一个重要的知识点。
本文将从无穷级数的基本概念、收敛性与发散性、常见的收敛判别法和应用等方面，对高数无穷级数进行总结。
二、无穷级数的基本概念无穷级数是指由一个数列的项求和而得到的数值。
具体地说，对于一个实数数列{an}，其无穷级数可以表示为∑an。
其中，an表示数列的第n项，∑表示对数列的所有项进行求和。
三、收敛性与发散性1. 收敛性当无穷级数的部分和Sn在n趋于无穷大时存在有限极限L，即lim (n→∞) Sn = L时，称该无穷级数收敛，L称为该无穷级数的和。
2. 发散性当无穷级数的部分和Sn在n趋于无穷大时不存在有限极限，即lim (n→∞) Sn不存在或为无穷大时，称该无穷级数发散。
四、常见的收敛判别法1. 正项级数判别法对于无穷级数∑an，若该级数的每一项an都是非负数，并且该级数的部分和Sn有上界，则该级数收敛；若Sn没有上界，则该级数发散。
2. 比值判别法对于无穷级数∑an，若lim (n→∞) |an+1/an| = L，其中L为常数，若L<1，则该级数收敛；若L>1，则该级数发散；若L=1，则判别不出。
3. 根值判别法对于无穷级数∑an，若lim (n→∞) |an|^1/n = L，其中L为常数，若L<1，则该级数收敛；若L>1，则该级数发散；若L=1，则判别不出。
4. 整项判别法对于无穷级数∑an，若存在另一个级数∑bn，使得|an|≤bn，且∑bn 收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。
五、应用无穷级数在数学和其他学科中有广泛的应用，下面举几个例子进行说明。
1. 泰勒级数泰勒级数是一种用无穷级数表示函数的方法。
根据泰勒级数，我们可以将一个函数在某个点的邻域内展开为无穷级数的形式，从而可以近似计算函数的值。
2. 统计学中的无穷级数在统计学中，无穷级数经常用于描述随机变量的分布。
第十章 无穷级数
第十章 无穷级数一、概念 1.定义无穷数列}{n u 中：∑∞==++++121......n nn uu u u无穷数列}{n u 的各项之和∑∞=1n nu叫无穷级数，简称级数。
n u 叫∑∞=1n nu的一般项（通项）；......21++++n u u u 为展开式。
【例】 ①∑∞=++++⨯+⨯=+1...)1(1...321211)1(1n n n n n ②...ln ...3ln 2ln 1ln ln 1+++++=∑∞=n n n③ (323)21++++=∑∞=nn nne e e e ne④......32321++++=∑∞=n x x x x nx nn n 2.级数的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∑∞=),1x u u u n n n n （其中函数项级数：（数项级数）是具体数字常数项级数：每一项都①两个特殊的数项级数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⋅-≥∑∑∞=∞=0,1011n n n n n n n u u u u ）（交错级数：中，正项级数：②一个特殊的函数项级数∑∞=1)(n nx u中，nn n x a x u ⋅=)(（常数乘以x 的幂级数），即∑∞=1n nn xa 称为幂级数。
3.级数∑∞=1n nu的收敛与发散前n 项和n n u u u S +++= (21)数列}{n S 叫∑∞=1n nu的部分和数列。
敛散性：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=→∑∑∑∑∞=→∞∞=∞=∞=→∞→∞发散不存在，则若分和数列的极限）要求级数的和，即求部的和，记为叫收敛，则存在（若1111lim ()lim lim n n n n n n n n n n n n n n u S Su u S u S S S 【例】①∑∞=+1)1(1n n n 111)111(...)3121()211()1(1...321211+-=+-++-+-=+++⨯+⨯=n n n n n S n 1lim =∞→n n S ，∑∞=+∴1)1(1n n n 收敛②∑∞=1ln n n!ln ln ...2ln 1ln n n S n =+++=+∞=∞→n n S lim ，∑∞=∴1ln n n 发散4.几何级数与-p 级数 （1）∑∞=-11n n aq几何级数，首项a ，公比qqq a aq aq a S n n n --=++=-1)1( (1)∞→n 时：⎪⎪⎪⎪⎨⎧∞→⎩⎨⎧=⋅-+-+-=-=∞→∞→===-不存在时时n n n n S n a a a a a S q S n na S q q 0)1(...,1,,11||1Ⅰ：1||<q ，0lim =∞→nn q ，qaS n n -=∞→1limⅡ：1||>q ，∞=∞→nn q lim ，∞=∞→n n S limⅢ：【例】①111)21(2121-∞=∞=⋅=∑∑n n n n 收敛nn n n S 211211)211(2121...21212-=--=+++= ∴1lim =∞→n n S②1111)35(3135-∞=∞=-⋅=∑∑n n n n n ，135>=q 发散（2）-p 级数⇒≤⇒>发散收敛11p p ∑∞=131n n收敛∑∑∞=∞==121111n n n n 发散调和级数 (31)21111+++=∑∞=n n发散二、级数的性质 1.∑∞=1n nu与∑∞=1n nku具有相同敛散性（0≠k ）【例】∑∞=14n n 发散，∑∞=-125n n收敛2.在∑∞=1n nu中增加、减少、改变有限项不改变敛散性。
大一高数无穷级数知识点
大一高数无穷级数知识点在大一高等数学课程中，无穷级数是一个重要的内容，具有广泛的应用。
了解无穷级数的概念、性质和收敛条件等知识点对于学好这门课程是至关重要的。
本文将介绍大一高数无穷级数的基本知识点，并对其应用进行简要探讨。
一、无穷级数的概念无穷级数是由一系列数的和构成的数列。
设a₁、a₂、a₃、⋯、aₙ、⋯是一列实数，将它们相加所得的数列称为无穷级数，表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + ⋯ + aₙ + ⋯二、无穷级数的收敛和发散1. 收敛的定义：若一个无穷级数的部分和数列{Sₙ}收敛于某个实数S，即lim(n→∞)Sₙ = S，则称该无穷级数收敛，否则称为发散。
2. 收敛的必要条件：无穷级数收敛的必要条件是它的通项数列趋于零，即lim(n→∞)aₙ = 0。
3. 通项数列趋于零的充分条件：若无穷级数的通项数列满足aₙ≤aₙ₊₁（n≥N，N为某个自然数），则该无穷级数收敛。
三、常见的无穷级数1. 等差数列的无穷级数：若等差数列a₁、a₂、a₃、⋯、aₙ、⋯的公差不为零，即aₙ₊₁ - aₙ = d ≠ 0，则其部分和数列为等差数列，即Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n-1)d)。
若d>0并且|a₁|/(|a₁ + d| < 1，则该无穷级数收敛，反之发散。
2. 等比数列的无穷级数：若等比数列a₁、a₂、a₃、⋯、aₙ、⋯的公比不为零，即aₙ₊₁/aₙ = q ≠ 0，则其部分和数列为等比数列，即Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q)。
当|q|<1时，该无穷级数收敛，否则发散。
四、收敛级数的运算性质1. 收敛级数的有界性：收敛级数的部分和数列有界。
2. 收敛级数的加法性：有限个收敛级数的和仍然是收敛级数。
3. 收敛级数的乘法性：若级数{aₙ}收敛，级数{bₙ}绝对收敛，则乘积级数{aₙbₙ}收敛。
五、收敛级数的应用无穷级数在数学和实际问题中有广泛的应用，以下介绍两个常见的应用：1. 泰勒级数：泰勒级数是一种无穷级数展开式，用于将函数表示成无穷级数的形式。
高等数学——第十章2
1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , 2 2 3 3 4 n n1 n1
1 lim sn lim (1 ) 1, n n n1
级数收敛, 和为 1.
三、基本性质
性质1. 若级数
乘以常数 k 所得级数
n
sn u1 u2 un ui
i 1
n
当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. sn s时 误差为 rn 显然
s u1 u2 un
sn u1 u2 un ui
i 1
n
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aq n a aq aq 2 aq n (a 0) 的收敛性.
收敛于 S , S un , 则各项 即
n 1
也收敛 , 其和为 kS .即
k un k uk ,
n 1 k 1
n
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
性质2.
设有两个收敛级数 S un , vn
则级数
( un vn ) 也收敛,
收敛则，必有 证: un S n S n 1
lim un lim S n lim S n1 S S 0
n n n
注意
1. 则级数 发散; 发散
1 2 3 n 1 n 例如 ( 1) 2 3 4 n1
2.
则级数
不一定收敛;
n
级数发散 .
1 . 便有 0 ( n ) 这是不可能的 2
n
大一下高数知识点无穷级数
大一下高数知识点无穷级数大一下高数知识点：无穷级数在大一下的高等数学课程中，无穷级数是一个重要的知识点。
无穷级数是由无穷多个数相加（或相减）所得的结果，它在数学和其它科学领域中都有广泛的应用。
本文将着重介绍无穷级数的定义、性质和一些重要的收敛准则。
一、无穷级数的定义无穷级数可以写作以下形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...其中，a₁、a₂、a₃等为级数的各项。
二、常见的无穷级数1. 等差级数等差级数是最常见的一类无穷级数。
它的通项公式一般为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁为首项，d为公差。
例如，等差级数的前5项可以表示为：S₅ = a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + (a₁ + 3d) + (a₁ + 4d)2. 等比级数等比级数的通项公式一般为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中，a₁为首项，r为公比。
例如，等比级数的前5项可以表示为：S₅ = a₁ + a₁r + a₁r² + a₁r³ + a₁r⁴三、无穷级数的性质1. 部分和在无穷级数中，我们通常用部分和来近似计算级数的和。
部分和Sn定义为：Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ其中，n为正整数。
2. 收敛和发散对于无穷级数，如果其部分和Sn在n趋向于无穷大时有极限S，则称该级数收敛，否则称该级数发散。
如果收敛，其收敛值S即为无穷级数的和。
3. 收敛性质无穷级数有以下重要的收敛性质：（1）若级数Sn收敛，则其任意子级数也收敛。
（2）若级数Sn发散，则其任意超级数也发散。
（3）若级数Sn和级数Tn都是收敛的，则它们的和级数Sn + Tn也是收敛的。
4. 绝对收敛和条件收敛若级数的所有项的绝对值构成的级数收敛，则称原级数绝对收敛。
否则，若级数本身收敛但其对应的绝对值级数发散，则称原级数条件收敛。
四、无穷级数的收敛准则在判断无穷级数的收敛性时，有一些常用的收敛准则：1. 正项级数判别法如果级数的所有项都是非负数，并且后一项总是比前一项大或相等，则该级数收敛。
高数大一知识点无穷级数
高数大一知识点无穷级数高数大一知识点：无穷级数无穷级数是数学分析中一个重要的概念，指的是一个由无穷多个数相加或相乘而得到的数列或数列的和。
在大一的高等数学课程中，无穷级数是一个重要的知识点，本文将介绍无穷级数的定义、性质以及一些常见的无穷级数。
1. 无穷级数的定义在数学中，无穷级数的定义如下：设给定一个数列{an}，则称S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...为该数列的无穷级数。
其中，ai为无穷级数的通项。
2. 无穷级数的性质无穷级数具有以下几个性质：2.1 收敛性：如果无穷级数的部分和数列{Sn}存在有限极限s，即lim(n→∞)Sn = s，则称该无穷级数收敛，s为该无穷级数的和。
2.2 敛散性：如果无穷级数的部分和数列{Sn}不存在有限极限，即lim(n→∞)Sn不存在或为无穷大，则称该无穷级数发散。
2.3 绝对收敛性：如果无穷级数的绝对值级数收敛，则称该无穷级数绝对收敛。
2.4 条件收敛性：如果无穷级数收敛但绝对值级数发散，则称该无穷级数条件收敛。
3. 常见的无穷级数3.1 等差数列的无穷级数等差数列的无穷级数是一类常见的无穷级数。
它的通项可以表示为an = a + (n-1)d，其中a为首项，d为公差。
等差数列的无穷级数可以用以下公式进行求和：Sn = n(a + a + (n-1)d)/23.2 等比数列的无穷级数等比数列的无穷级数也是常见的无穷级数类型。
它的通项可以表示为an = ar^(n-1)，其中a为首项，r为公比（不等于0）。
等比数列的无穷级数可以用以下公式进行求和：S = a/(1-r)，当|r|<1时3.3 调和级数调和级数是一类极其重要的无穷级数，它的通项可以表示为an = 1/n。
调和级数的部分和数列可以用以下公式表示：Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n4. 无穷级数的应用无穷级数在数学及其他领域中有广泛的应用。
高等数学：第十章 无穷级数1-2
1 45
1 n(n 1)
也是收敛的
3.收敛级数的性质
(4)将收敛级数的项任意加括号后所成的新级数， 仍然收敛到原级数的和（无穷和的结合律）。
注意: 如果加括号后所成的级数收敛 则 不能断定去括号后原来的级数也收敛。
例如: 级数(11)+(11) + 收敛, 但级数1-11-1 却是发散的.
推 论 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散.
k
1
ak收敛
lim
n
Sn存在.
设 lim n
Sn
S.则有
Sn S，Sn-1 S.
从而 an Sn Sn1 0.
2.数项级数及其收敛性概念
(4)级数收敛的充要条件 定理4：对于任意给定的ε>0，存在一 个N,使得
n p
| ak | ,只要n N , p 1. k n1
定理4的证明：
n
便有 0 1 (n ) 2
这是不可能的.
级数发散 .
1
n1 n
调和级数的部分和
sn
1
1 2
1 n
1
把每一项看成是以 n 为高 以 1 为底的的矩形面积
sn 就是图中 n 个矩形的面积之和
由定积分的几何意义 这块面积显然大于定积分
n1 1dx 即
1x
Sn
1
1 2
1 n
n1 1dx ln( n 1) ,
n1
2.数项级数及其收敛性概念
(2)无穷级数的收敛与发散 ㄥ?在亩ý
仪讯 n? Í
篇 ¶ 恐停 , 艨滞蛐{Sn} 蝎轘 蚱? ý
詹移S? 怫? Ç
.琨祸? 恐万衶Sn }恍 蚱? ⅲ
n
高等数学之无穷级数
而
1 ∑vn = ∑n3 2 为收敛的 P- 级数. n=1 n=1
∞ n
∞
∞
sin n 从而知 ∑ (1) 收敛，且为绝对收敛 . 32 n n =1
机动
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结束
例3. 试证：对任何实数
x,
xn 级数 ∑ 绝对收敛. n =1 n !
∞
证：由于对任何实数 x , 都有 n +1 n un +1 x x lim = lim n →∞ u n →∞ ( n + 1)! n! n
n=1
∑(1)
∞
n1 1
n
为条件收敛 .
n=1
∑(1)
∞
n1
n 均为绝对收敛. n 10
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定理5. 定理 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: 设 收敛 , 令
vn = 1 ( un + un ) ( n =1, 2 , ) 2 ∞ 显然 vn ≥ 0 , 且 vn ≤ un , 根据比较判别法 ∑vn 收敛,
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(2) 当 r >1或 r =+∞时, 级数发散 .
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第十章
第三节 任意项级数
一、交错级数 二、绝对收敛与条件收敛
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结束
一 、交错级数
设un > 0 , n =1, 2,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 交错级数 定理6 定理 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
∞
sin nα 因此 ∑ 4 收敛，且为绝对收敛 . n=1 n
高等数学无穷级数 PPT
P时 1收敛、
注意 P 级数在判断正项级数得敛散性方面经常用到,因
此有关 P级数敛散性得结论必须牢记、
例3判定级数
1 25
1 36
n
1
1n
4
得敛散性、
解
因为级数得一般项
1
un n 1n 4
满足
0
n
1
1n
4
1 n2
而级数就是p＝2得P 级数,它就是收敛得,所以原级数
也就是收敛得、
定理3 比较判别法得极限形式:
判别级数
1
n
1
nn
就是否绝对收敛、
n 1
n!
解 因为
n 1n1
lim un1 u n
n
lim n
n 1!
nn
n 1n
lim
n n
n
lim1 n
1 n
n
e
1
n!
故由比值判别法可知级数
un
n 1
n
n
n1 n!
数
1 n 1
n不n 就是绝对收敛、
n 1
n!
发散,从而原级
例10
证明级数
例8
判别级数
n 1
1 n 1
n 3 n 1
得敛散性,说明就是否绝对收
敛、
解 因为
n 1
lim un1 lim 3n lim n 1 1 1
u n n
n n
n 3n 3
3n1
故由比值判别法可知级数
u
n
n 1
n
3 n 1
n 1
数
绝对收敛、 1 n1 n
n 1
3 n 1
高等数学 第十章
确定的有限常数，从而，无穷多个数相加在一定条件下是有
意义的.
二、 常数项级数的概念
定义1 对于无穷数列u1，u2，…，un，… 把它的各项依 次累加的表示式
u1+u2+u3+…+un+…
(1)
称为无穷级数，简称为级数，记为
un
.
其中u1称为级数的
n 1
第1项(或首项)，u2称为级数的第2项， …，un称为级数第n项，
lim
n1
un
0
，则可判定级数
u
n
n 1
一定发散.
例4 判定级数
3n
n1 5n 4
的敛散性.
解
级数的一般项
un
3n 5n
4
.
因为
lim
n
u
n
lim
n
3n 5n 4
3 5
0
所以由级数收敛的必要条件知，该级数发散.
10.2 常数项级数的审敛法
一、 正项级数的审敛法
每一项都是非负的级数称为正项级数，即级数
un un 0, n 1,2,
为正项级数.
n1
1. 比较审敛法
设 un和 vn 都是正项级数，且un≤vn(n=1，2，…)，
n1
n1
则
(1) 若级数 vn
n 1
(2) 若级数
un
n 1
收敛， 则级数 un
n 1
发散， 则级数
vn
n 1
收敛； 发散.
比较审敛法还有另一种形式(比较审敛法的极限形式).
定义2
对于级数
un
的部分和数列{Sn}， 若n→∞时有
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称为级数的部分和.
2019年12月19日星期四
3
则称无穷级数
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收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
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4
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例 1 判别无穷级数 n 1 2 3 n
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11
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性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
的和.
证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
n1
则新级数的部分和序列
为原级数部分和
序列 Sn ( n 1, 2 , )的一个子序列, 因此必有
S
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
6
从而
从而
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2) 若
则 级数成为
因此级数发散 ;
因此
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知,
时, 等比级数收敛 ; 时, 等比级数发散 .
2019年12月19日星期四
7
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二、收敛级数的基本性质
性质1 若级数 收敛于 S , 即
则各项
乘以常数 c 所得级数
第十章 无穷级数（Infinite Series）
主要内容
第一节 常数项级数的概念与性质 第二节 常数项级数的审敛法 第三节 幂级数 第四节 函数展开成幂级数 第五节 函数的幂级数展开式的应用 第六节 傅立叶级数
2019年12月19日星期四
1
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第十章
第一节 常数项级数的概念和性质
（Conception and property of constant term series）
(1
1)
1 2
3 4
1 22
32 42
1 3n1
2n1
4n1
的敛散性．若收敛时求出它的和．
解：由于1 1 1
2 22
1 2n1
与1 3 32 4 42
3n1 4n1
都是公比小于1 的等比级数，所以它们都收敛，且其和分别为
易知，当 n 为奇数时， sn 1；当 n 为偶数时， sn 0 ． 所以没有极限，故原级数发散．
2019年12月19日星期四
5
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例3 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
因此级数收敛 , 其和为
因此级数发散 .
2019年12月19日星期四
也收敛 , 其和为 c S .
n
n
证: 令 Sn uk , 则 n c uk c Sn ,
k 1
k 1
lim
n
n
cS
这说明
收敛 , 其和为 c S .
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
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8
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性质2 则级数
设有两个收敛级数
2 和 4，由性质 2 知所给级数收敛，其和为
(1
1)
1 2
3 4
1 22
32 42
1 2n1
3n1 4n1Βιβλιοθήκη 1
1 2
1 22
1 2n1
1
3 4
32 42
3n1 4n1
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内容小结
1. 常数项级数的基本概念: 常数项级数、 收敛、发散、等比级数、调和级数
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则课本给出了另 外两种证法！
但
S2n Sn
1 1 1 1
n1 n 2 n3
2n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
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例6 判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
S un,
n1
vn
n1
也收敛, 其和为
n
n
证: 令 Sn uk , n vk , 则
k 1
k 1
n
n (uk vk )
S ( n )
k 1
这说明级数
也收敛, 其和为
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例 4 判别级数
246
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性质3 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
的敛散性.
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数
n1
的部分和为
Skn Sk
数敛散性相同.
极限状况相同, 故新旧两级
当级数收敛时, 其和的关系为 类似可证前面加上有限项的情况 .
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如，(11) (11) 0 , 但
发散.
2019年12月19日星期四
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性质 5（级数收敛的必要条件） 如果级数 un 收敛， n1
则当
n
无限增大时，它的一般项
un
趋于零，即
lim
n
un
0
．
证: un Sn Sn1
一、常数项级数的基本概念 二、收敛级数的基本性质 三、小结与思考练习
2019年12月19日星期四
2
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一、常数项级数的基本概念
定义 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
lim
n
un
lim
n
Sn
lim
n
Sn1
S
S
0
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如,
其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
2019年12月19日星期四
13
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注意:
lim
n
un
0
并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
n1
解：由于 sn 1 2
n n(n 1) , 则 2
n(n 1)
lim
n
sn
lim
n
2
所以该级数发散．
的敛散性．
例 2 讨论级数1 1 1 1 (1)n1 的敛散性．
解：部分和数列 s1 1 ， s2 11 0 ， s3 111 1 ， ， sn 1 1 1 1 ( n11 ．)