高等数学：第十章 无穷级数的概念

第十章 无穷级数（Infinite Series）
主要内容
第一节 常数项级数的概念与性质 第二节 常数项级数的审敛法 第三节 幂级数 第四节 函数展开成幂级数 第五节 函数的幂级数展开式的应用 第六节 傅立叶级数
2019年12月19日星期四
1
目录
上页
下页
返回
第十章
第一节 常数项级数的概念和性质
（Conception and property of constant term series）
也收敛 , 其和为 c S .
n
n
证: 令 Sn uk , 则 n c uk c Sn ,
k 1
k 1

lim
n

n
cS
这说明
收敛 , 其和为 c S .
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
2019年12月19日星期四
8
目录
上页
下页
返回
性质2 则级数
设有两个收敛级数


246
2019年12月19日星期四
10
目录
上页
下页
返回
性质3 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
的敛散性.

证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数
n1
的部分和为
Skn Sk
数敛散性相同.
极限状况相同, 故新旧两级
当级数收敛时, 其和的关系为 类似可证前面加上有限项的情况 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则课本给出了另 外两种证法！
但
S2n Sn
1 1 1 1
n1 n 2 n3
2n
Fra Baidu bibliotek
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
2019年12月19日星期四
14
目录
上页
下页
返回
例6 判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
例如，(11) (11) 0 , 但
发散.
2019年12月19日星期四
12
目录
上页
下页
返回

性质 5（级数收敛的必要条件） 如果级数 un 收敛， n1
则当
n
无限增大时，它的一般项
un
趋于零，即
lim
n
un

0
．
证: un Sn Sn1
(1

1)


1 2

3 4



1 22

32 42



1 3n1

2n1

4n1

的敛散性．若收敛时求出它的和．
解：由于1 1 1
2 22
1 2n1
与1 3 32 4 42
3n1 4n1
都是公比小于1 的等比级数，所以它们都收敛，且其和分别为
一、常数项级数的基本概念 二、收敛级数的基本性质 三、小结与思考练习
2019年12月19日星期四
2
目录
上页
下页
返回
一、常数项级数的基本概念
定义 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依

次相加, 简记为 un , 即
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
易知，当 n 为奇数时， sn 1；当 n 为偶数时， sn 0 ． 所以没有极限，故原级数发散．
2019年12月19日星期四
5
目录
上页
下页
返回
例3 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
因此级数收敛 , 其和为
因此级数发散 .
2019年12月19日星期四
n1
解：由于 sn 1 2
n n(n 1) , 则 2
n(n 1)
lim
n
sn

lim
n
2

所以该级数发散．
的敛散性．
例 2 讨论级数1 1 1 1 (1)n1 的敛散性．
解：部分和数列 s1 1 ， s2 11 0 ， s3 111 1 ， ， sn 1 1 1 1 ( n11 ．)
6
从而
从而
目录
上页
下页
返回
2) 若
则 级数成为
因此级数发散 ;
因此
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知,
时, 等比级数收敛 ; 时, 等比级数发散 .
2019年12月19日星期四
7
目录
上页
下页
返回
二、收敛级数的基本性质
性质1 若级数 收敛于 S , 即
则各项
乘以常数 c 所得级数

lim
n
un

lim
n
Sn

lim
n
Sn1

S

S

0
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如,
其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
2019年12月19日星期四
13
目录
上页
下页
返回
注意:
lim
n
un

0
并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
级数的前 n 项和
称为级数的部分和.
2019年12月19日星期四
3
则称无穷级数
目录
上页
下页
返回
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
2019年12月19日星期四
4
目录
上页
下页
返回

例 1 判别无穷级数 n 1 2 3 n
2019年12月19日星期四
11
目录
上页
下页
返回
性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
的和.

证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
n1
则新级数的部分和序列
为原级数部分和
序列 Sn ( n 1, 2 , )的一个子序列, 因此必有
S
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.

S un,
n1

vn
n1
也收敛, 其和为
n
n
证: 令 Sn uk , n vk , 则
k 1
k 1
n
n (uk vk )
S ( n )
k 1
这说明级数
也收敛, 其和为
2019年12月19日星期四
9
目录
上页
下页
返回
例 4 判别级数
2019年12月19日星期四
15
目录
上页
下页
返回
内容小结
1. 常数项级数的基本概念: 常数项级数、 收敛、发散、等比级数、调和级数
2 和 4，由性质 2 知所给级数收敛，其和为
(1

1)


1 2

3 4



1 22

32 42



1 2n1

3n1 4n1


1
1 2

1 22

1 2n1


1

3 4

32 42


3n1 4n1