二次根式及其有意义的条件 (2)

【考点精讲】

1. a≥0）的式子叫做二次根式，其中称为二

次根号，“a”叫做被开方数。

2. 当a ＞0a 0； 当a ＝000。 a ≥0）是一个非负数。

【典例精析】

例题1 下列各式中，是二次根式的有（ ）

10，32+x ，315，π，5-

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

思路导航：315的根指数为3；5-的被开方数是负数，所以不是二次根式；10，

32+x ，π符合二次根式的条件，所以是二次根式的有3个。

答案：C

点评：二次根式必须满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数。这两个条件缺一不可。利用这两个条件逐一判断即可。

例题2 当x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？

（1）2

)3(-x ；（2）x 34-；（3）

1

1

-x 思路导航：要使被开方数有意义，则被开方数必须是非负数，如果分母中有根式，那么被开方数必须是正数，因为零不能作分母。

答案：解：（1）因为（x －3）2≥0，所以无论x 取任何实数，2

)3(-x 都有意义；

（2）若x 34-有意义，则必有4－3x≥0，即当x≤

3

4

时，x 34-有意义； （3）若11-x 有意义，则必有x －1＞0，即当x ＞1时，1

1

-x 有意义。

点评：本题考查了二次根式及分式有意义的条件。用到的知识点：要使分式有意义，分母不能为0；二次根式的被开方数是非负数。本题应注意在求得取值后应排除不在取值范围内的值。

例题3 已知x 、y 为实数，

y=1

2

x -，试求3x+4y 的值。

思路导航：根号内是非负数，分母不为0来综合考虑，得到相应的未知字母的值。

答案：解：依题意得⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-0

4042

2x x ，所以x 2

=4，所以x=±2，又因为x －2是原式分母，所以x －2≠0，所以x≠2，所以x=－2，此时，y=－41，所以3x+4y=3×（－2）+4×（－4

1

）

=－7。

点评：用到的知识点为：互为相反数的两个数都是被开方数，那么这两个数都为0。

【总结提升】

1. 正确理解二次根式的概念，要注意以下几点：

（

1

。 （2）

的根指数为2

，即，我们一般省略根指数

2

2. 需要掌握三个具有非负性的式子：①a 2≥0；②

|a|≥0（a≥0）。

（y －1）2

+|z|=0，（y －1）2=0，|z|=0，则x=－1，y=1，z=0。 3.

如果将公式

2

a =（a≥0

）逆用，即2

a =

（a≥0）

，就可以把一个非负数写成

一个数的平方的形式。例如：2

3=

，2

a b -=。（a －b≥0）

这一公式常用在因式分解中，如：

2

22

5(a a a a -=-=

。

（答题时间：20分钟）

1. 下列式子中，是二次根式的是（ ）

A.

B.

C. D. x

2. 要使

b

a

是二次根式，则应满足的条件是（ ） A. a≥0且b≥0

B. a≥0且b ＞0

C. b a ＞0

D. b

a ≥0且b≠0 3. 函数2

1

-=x y 中自变量的取值范围在数轴上表示为（ ）

A. B.

C.

D.

4. x 有（ ）个

A. 0

B. 1

C. 2

D. 无数

5. 已知a -12是正整数，则实数a 的最大值为（ ） A. 12 B. 11 C. 8 D. 3

6. 若22112----=

n n m ，则ｍ=_______，ｎ＝ 。

7.

有意义，则x 应满足________。

8. 1的数，那么满足条件的最小的整数a=____。

9. x 取什么实数时，下列各式有意义？ （1）x 43-； （2）23-x ； （3）

2

)3(-x ；

（4）x x 3443-+-

10. 已知a 、b 、c 为实数，且()01232

=-+++-c b a ，求a 、b 、c 的值。

1. A 解析：二次根式满足两个条件：①根指数是2；②被开方数为非负数，故选A 。

2. D 解析：根据二次根式的意义，被开方数

b

a

≥0；又根据分式有意义的条件，b≠0。 3. D 解析：根据题意，得x －2＞0，解得x ＞2，在数轴上表示为

故选D 。

4. B 解析：2(5)0x --≥即2(5)0x -≤，所以50x -=，即x=5，有1个值，故选B 。

5. B 12－a>0，a<121=时，a=11，即为最大，故选B 。

6. 2-=m 21=n 解析：210n -≥，120n -≥，所以1

2

n =，此时，m=－2。 7. 根据题意得：3－x≥0且2x －1＞0，解得：1

2

＜x≤3。

8. 7a 也是整数，∴a 是

一个完全平方数，∴a=1。 9. （1）43≤

x （2）32≥x （3）任意实数 （4）3

4=x 10. 3=a b =－2 c =1

0=，2

(2)0b +=，|1|0c -= ∴a=3，b=－2，c=1