直线和圆锥曲线的位置关系PPT教学课件

由
y kx x2 3y2
1
得：x2 3
3(kx1)2
3 xN
1
6k 3k
2
AN
1 k2 xN
1
3k
2
6k 1 3k
2
以 1 代入上式的k，得：AM＝ k
1＋3k 2
6 k2 3
k 1 K的值，从而确定三角形个数 1 3k 2 k 2 3
A到直线MN的距离d
b 1 又 MN 1 k2
直线和圆锥曲线的位置关系(一)
引例：
已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在X轴上，
且右焦点到直线 x y 2 2 0 的距离为3。
求：椭圆方程
解：由题意得：
椭圆的中心在坐标原点。顶点坐标为 A(0,1)知b 1
c2 2
设右交点F(c,0)(c 0)则： 2 3 c 2
a2 b2 c2 3 椭圆的方程为 x2 y2 1
6bk 3k
2
;
x1x2
3b2 3 1 3b2
AP MNKAP KMN 1
p(
1
3bk 3k
2
,
1
b 3k
2
)
K AP
3k 2 b 1 1 3k 2
1 k
b
1 3k 2
2
由＝36b2k 2 12(1 3k 2 )(3b2 3) 9(1 3k 2 )(1 k 2 ) 0
1 k 2 0得：1 k 1
拓展延伸：
对于椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的下顶点为A(0, b),
是否存在以A为直角顶点的内接等腰直角三角形AMN？
若存在，这样的三角形可能有几个？叙述并证明你的
结论。
拓展延伸
对于椭圆x2 a2 y2 a2 (a 1),是否存在一个以A(0,1) 为直角顶点的等腰直角三角形内接椭圆？
2 1k2
5k 2 3b2 3 (1 3k 2 )2
AM 2 ( MN )2 d 2 2
(b 1)2 (1 k 2 ) 5k 2 3b2 3
1 k2
(1 3k 2 )2
......
体现：函数思想
繁
设M (x1, y1)N (x2 , y2 )
MN的中点为P（x,y)
x1
x2
1
当 1 k 1时，存在这样的直线 使得 AM AN
体现：函数与方程的思想
x2 y2 1 3
猜一猜谜语
船出长江口(猜一行政单位)
二、上海概况
上海--东方的明珠，这个充满生机和活力的国际 化大都市正在迅速崛起。上海简称沪，位于长江入海 口，居中国南北海岸线中心，具有"东方明珠"之美誉。 上海土地总面积为6341平方千米，其中浦东新区为 523平方千米，上海境内有我国第三大岛--崇明岛。 上海为中国最大城市，人口1350多万。上海旅游资 源丰富，都市风光、都市文化和都市商业为上海的旅 游特色，主要旅游景点有："万国建筑"外滩建筑群、 孙中山故居、浦东新区、东方明珠广播电视塔、 豫 园、龙华寺、南京路商业街等。
(3)当a 3时， 0, 方程（1）有两个不等的根
综上所述：当0 a 3时，存在一个内接等腰直角三角形
当a 3时，存在三个内接等腰直角三角形
体现： 分类讨论的数学思想
略解：
设MN的直线方程为y kx b，MN的中点为p(x, y)
AMN为等腰直角三角形
AP 1 MN 2
1＋b 1 36b2k 2
想一想：要求变量的范围，如何根据条件建立不等式呢？ 让直线方程与椭圆方程 联立，消 y后得到关于 x的二次方程， 令 0
体现：函数与方程的思想
(0,x-321) y2 1
猜一猜：
是否存在以A（0，-1）为直角顶点的等
腰直角三角形内接于椭圆？
一定存在
方法1：设MN的直线方程为y kx b
由 AP＝1 MN，结合b 1 3k 2
2
2
得到k的方程，求得k值
方法2：向量法
x2 y2 1 3
想一想：
若存在一条斜率不为0的直线l，交椭圆于 M，N，使得三角形AMN为等腰三角形。
你能求出AM的范围吗？
方法1 写出AM的关系式，然后试图求值域。
方法2 考虑以A(0,1)为圆心，AM 为半径的圆
体现：转化思想 数形结合的思想
（0，-1）
即：x1 x2 y1 y2 y1 y2 1 0
3b2 3 1 3k 2
2b 1 3k 2
b2 3k 2 1 3k 2
1
0b
1 3k 2 2
3k 2 2b 1代入得2b2 b 1 0
b 1(舍)或b 1 k 0 2
解： 由题意得：M,N必在y轴两侧
设AN斜率为k(k 0),则AM的斜率为－1 k
3b2 3
k2 1 2
(3k 2 1)2 4 3k 2 1
b 1 3k 2 ,化简得：(3k 2 1)k 2 (4 3k 2 ) 0 2
k 0此时， 0 于是存在一个等腰直角 三角形内接与椭圆
略解：(向量法）
设M (x1, y1), N (x2 , y2 ) AM (x1, y1 1) AN (x2 , y2 1) AM AN AM AN 0
2
AM
1
k2
1
2a2k a2k
2
AM AN （k 1) k 2 (1 a2 )k 1 0
k=1 或 k 2 (1 a2 )k 1 0....(1)
对于（1）中，＝（1－a2 )2 4
讨论： (1)当a 3时，＝0方程（1）有两个等根，都为1
（2）当0 a 3时， 0, 方程（1）无根
3
问题2：
若一条直线L过A（0，-1）与椭圆交于一点B。当L绕着A点旋 转时 ，线段AB的中点P的轨迹是什么？
解：设B(x0 , y0 ), AB的中点为 P（x, y)
x
y
x0 2 y0 1
2
得：xy00
2x 2y
1
x2 y2 1 3
B（2x,2y+1）在椭圆上 ，代入椭圆方程得:
若存在，最多几个？若不存在，说明你的理由。
略解： 设AN的直线方程为： y kx 1; (k 0)
则AM的直线方程为 y 1 x 1 k
y kx1
x
2
a2
y2
消y得：x2 a2
a2 (kx1)2
a2
得Leabharlann BaiduxN
2a2k 1 a2k2
;
x2 y2 1 3
AN
1 k2 xN
1
k
2
2a2k 1 a2k
2x
3
2
(2 y 1)2
1
化简得 x2 3
(y 1)2 2
1
1( y 1)
4
4
所以中点p的轨迹是以（0，－ 1 ）为中心，3为长轴的椭圆，
2
除A（0，－1）外
问题3：
能否找到一条斜率为k的直线l与此椭圆交于两个不同 的点M , N.使得 MA NA ,其中A(0,1)?若存在，试 求出k的范围；若不存在，请说明理由。