初三九年级数学实际问题与二次函数

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人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数(最大利润问题)教案教学设计

4.练习：布置一定数量的练习题，巩固学生对最大利润问题的解决方法。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
6.课后作业：布置与最大利润问题相关的作业，让学生在课后进一步巩固所学知识。
教学评价：
1.课堂表现：关注学生在课堂上的参与程度，积极思考、提问的表现。
2.作业完成情况：评价学生对最大利润问题解决方法的掌握程度。
（2）鼓励学生尝试用不同的方法解决同一问题，提高他们的思维灵活性和创新意识。
3.拓展作业：
（1）引导学生关注生活中的最大利润问题，如超市促销、工厂生产等，要求学生运用所学知识进行分析，并提出解决方案。
（2）鼓励学生查找相关资料，了解二次函数在其他领域的应用，如经济学、管理学等。
4.作业要求：
（1）要求学生在作业本上规范书写，保持卷面整洁。
4.通过对最大利润问题的探讨，培养学生的数感和运用数学知识解决实际问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生合作探究、解决问题的能力。
2.引导学生运用数学建模的思想，从实际问题中抽象出数学模型，提高学生的数学思维能力。
3.运用数形结合的方法，让学生在解决最大利润问题的过程中，深入理解二次函数的性质和图像。
（2）新课：讲解二次函数在实际问题中的应用，通过例题让学生体会最大利润问题的解决方法。
（3）练习：设计不同难度的练习题，让学生在解决最大利润问题的过程中，巩固所学知识。
（4）总结：对本节课的重点知识进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
3.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，实施分层教学，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点

人教版数学九年级上册说课稿22.3《实际问题与二次函数》

人教版数学九年级上册说课稿22.3《实际问题与二次函数》一. 教材分析《实际问题与二次函数》这一节是人教版数学九年级上册第22.3节的内容。

这部分教材主要让学生理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。

通过本节课的学习，学生将能够将所学的二次函数知识应用于解决实际问题，提高他们的数学应用能力。

教材中给出了几个实际问题，让学生通过解决这些问题来理解和掌握二次函数的应用。

二. 学情分析九年级的学生已经学过二次函数的基本知识，他们对二次函数的图像和性质有一定的了解。

但是，将二次函数应用于实际问题可能是他们比较陌生的。

因此，在教学过程中，我需要引导学生将所学的二次函数知识与实际问题联系起来，帮助他们理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次函数在实际问题中的应用，并能够运用二次函数解决实际问题。

2.过程与方法目标：学生通过解决实际问题，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够认识到数学在实际生活中的重要性，增强他们对数学的兴趣和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解二次函数在实际问题中的应用。

2.教学难点：学生能够将所学的二次函数知识应用于解决实际问题，并能够灵活运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：我将以问题为导向，引导学生通过解决实际问题来理解和掌握二次函数的应用。

我会鼓励学生进行合作学习和讨论，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。

2.教学手段：我将使用多媒体教学手段，如PPT和教学软件，来展示二次函数的图像和实际问题的情境，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入：我会通过一个简单的实际问题引入本节课的主题，激发学生的兴趣和好奇心。

2.教学新课：我会引导学生回顾二次函数的基本知识，然后向他们介绍二次函数在实际问题中的应用。

我会通过示例和讲解，让学生理解和掌握二次函数的应用方法。

3.学生练习：我会给出几个实际问题，让学生独立解决。

实际问题与二次函数知识点总结和重难点精析

实际问题与二次函数知识点总结和重难点精析一、实际问题与二次函数的定义和基本性质在九年级数学中，我们学习了二次函数的基本概念、表示方法和性质。

二次函数是指形如y = ax²+bx+c(a≠0)的函数，其中a、b、c为实数。

二次函数的图像是一个抛物线，具有以下基本性质：1.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

2.一次项系数b和二次项系数a共同决定抛物线的对称轴位置。

3.常数项c决定抛物线与y轴的交点。

二、实际问题与二次函数的解题方法解决实际问题时，需要灵活运用二次函数的性质和解题方法。

下面列举几种常见的解题方法：1.图像法：通过观察二次函数的图像，直接得出答案。

例如，在解决几何问题时，可以通过画图直接找出答案。

2.公式法：根据二次函数的公式，直接代入已知数进行计算。

例如，在解决代数问题时，可以运用二次方程求根公式等。

3.配方法：将二次函数化为顶点式，然后根据抛物线的性质进行解题。

例如，在解决最大值或最小值问题时，可以采用配方法。

4.因式分解法：将二次函数化为两个一次因式的乘积，然后通过解方程组得出答案。

例如，在解决某些代数问题时，可以采用因式分解法。

三、重难点精析1.重难点知识点介绍(1)二次函数的图像和性质：如何根据图像判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标等;如何根据性质求出抛物线的最值、单调区间等。

(2)二次函数的应用题：如何根据实际问题建立二次函数模型;如何求解模型得出实际问题的答案;如何验证答案的正确性。

2.解题思路和技巧(1)对于图像题，可以采用数形结合的方法，将抽象的数学问题转化为形象的图像问题，从而简化解题过程。

(2)对于性质题，需要熟练掌握抛物线的各种性质，例如最值、单调性等，从而可以灵活运用到解题中。

(3)对于应用题，需要认真审题，将实际问题转化为数学问题，然后建立模型求解。

同时需要注意答案的合理性和实际意义的符合性。

3.解题错误分析(1)对于图像题，可能出现的错误是将图像中的信息误解或遗漏，导致答案错误。

22.3实际问题与二次函数课件人教版数学九年级上册

【综合拓展类作业】
(2)设利润为w 当22≤x≤30 时，w=(x-20)(-x+70)=-x²+90x-1400=-(x45)²+625 ∵在22≤x≤30 范围内，w 随着x的增大而增大， ∴当x=30 时，w 取得最大值为400;
当30<x≤45 时，w=(x-20)(-2x+100)=-2x²+140x-2000=2(x-35)²+450 ∴当x=35 时，w 取得最大值为450 ∵450>400,
篱笆总长为900 m (篱笆的厚度忽略不计),当AB=_ 150 _m 时，矩形土
地ABCD 的面积最大.
B
F
C
【知识技能类作业】选做题：
3. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A, B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90 米), 以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( B )
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少? (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解：1)S=x(24 -4x)=-4x²+24x(0<x<6)
2)当
时，
3)∵墙的可用长度为8米 ∴0<24 -4x ≤8 ∴4≤x<6 ∴当x=4cm时，S最大值=32平方米
有关抛物线形的实际问题的一般解题思路。 (1)建立适当的平面直角坐标系。 (2)根据题意找出已知点的坐标。 (3)求出抛物线解析式。 (4)直接利用图象解决实际问题。

2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章实际问题与二次函数》同步练习题附答案(人教版)

2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章实际问题与二次函数》同步练习题附答案（人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是y=﹣112x 2+23x+53．则他将铅球推出的距离是（）m ． A ．8B ．9C ．10D ．112．某海滨浴场有100个遮阳伞，每个每天收费10元时，可全部租出，若每个每天提高2元，则减少10个伞租出，若每个每天收费再提高2元，则再减少10个伞租出，…，为了投资少而获利大，每个每天应提高（） A ．4元或6元B ．4元C ．6元D ．8元3．为了响应“足球进校园”的目标，兴义市某学校开展了多场足球比赛．在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式 ℎ=−5t 2+v 0t 表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，v 0(m ／s)是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大度达到20m ，那么足球被踢出时的速度应该达到（） A ．5m ／sB ．10m ／sC ．20m ／sD ．40m ／s4．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y 与月份n 之间的函数关系式是y ＝－n 2＋15n －36，那么该企业一年中应停产的月份是（） A ．1月，2月 B ．1月，2月，3月 C ．3月，12月D ．1月，2月，3月，12月5．小杰把班级勤工俭学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x ，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本利和为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为（） A ．y=500(x+1)2B ．y=x 2+500C ．y=x 2+500xD ．y=x 2+5x6．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过t 秒时球的高度为h 米，h 和t 满足公式：表示球弹起时的速度，g 表示重力系数，取 g =10 米/秒2) ，则球不低于3米的持续时间是（） A ．0.4 秒B ．0.6 秒C ．0.8 秒D ．1秒7．如图所示，赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为 y =−125x 2 ，当水面宽度 AB 为20m 时，此时水面与桥拱顶的高度 DO 是（）A．2m B．4m C．10m D．16m8．如图，已知二次函数y=mx2-4mx+3m(m>0)的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，若CA平分∠OCB，则m的值为（）A．√3B．√2C．√22D．√33二、填空题9．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y=−2x2+4x+1喷出水珠的最大高度是m .10．廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=−140x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是米.(精确到1米)11．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于．12．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为9m，则水管的长度OA是m.三、解答题13．建立适当的坐标系，运用函数知识解决下面的问题：如图，是某条河上的一座抛物线形拱桥，拱桥顶部点E到桥下水面的距离EF为3米时，水面宽AB为6米，一场大雨过后，河水上涨，水面宽度变为CD，且CD=2√6米，此时水位上升了多少米？14．学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润．（1）求每套课桌椅的成本；（2）求商店获得的利润．15．某造纸厂生产甲、乙两种生活用纸的相关信息如下表，其中x（吨）表示甲、乙两种生活用纸的月产量，请根据表中的信息解答后面的问题：种品价目出厂价（元/吨）成本价（元/吨）排污处理费甲种生活用纸48002200200（元/吨）每月还需支付设备管理、维护费20000元乙种生活用纸7000﹣10x1600400（元/吨）（1）设该造纸厂每月生产甲、乙两种生活用纸的利润分别为y 1元和y 2元，分别求出y 1和y 2与x 的函数关系式（注：利润=总收入﹣总支出）；（2）若某月要生产甲、乙两种生活用纸共300吨，求该月生产甲、乙两种生活用纸各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？16．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x 米，面积为S ．（1）求S 与x 的函数关系式；（2）并求出当AB 的长为多少时，花圃的面积最大，最大值是多少？17．某水晶厂生产的水晶工艺品非常畅销，某网店专门销售这种工艺品.成本为30元/件，每天销售y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，当x=40时，y=300；当x=55时，y=150．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该工艺品销售单价的范围．18．如图，抛物线L ：y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B （3，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，3），已知对称轴x=1．（1）求抛物线L的解析式；（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．参考答案1．C2．C3．C4．D5．A6．A7．B8．D9．310．8√511．√512．15413．解：以点E为原点、EF所在直线为y轴，垂直EF的直线为x轴建立平面直角坐标系根据题意知E（0，0）、A（﹣3，﹣3）、B（3，﹣3）设y=kx2（k＜0）将点（3，﹣3）代入，得：k=﹣13x2∴y=﹣13将x=√6代入，得：y=﹣2∴上升了1米．14．（1）解：设每套课桌椅的成本为x元，根据题意得：60×100﹣60x=72×（100﹣3）﹣72x，解得：x=82 答：每套课桌椅的成本为82元（2）解：60×（100﹣82）=1080（元）答：商店获得的利润为1080元15．解：（1）依题意得：y 1=（4800﹣2200﹣200）x ﹣20000=2400x ﹣20000 y 2=（7000﹣10x ﹣1600﹣400）x=﹣10x 2+5000x ；（2）设该月生产乙种生活用纸m 吨，则生产甲种生活用纸（300﹣m ）吨，总利润为W 元依题意得：W=2400（300﹣m ）﹣20000﹣10m 2+5000m =720000﹣2400 m ﹣20000﹣10 m 2+5000m =﹣10 m 2+2600 m+700000 ∵W=﹣10（m ﹣130）2+869000． ∵﹣10＜0∴当m=130时，W 最大=869000即生产甲、乙生活用纸分别为170吨和130吨时总利润最大，最大利润为869000元． 16．（1）解：∵围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃 AB=EF=CD=x 米，BC=（24-3x ）米 S=（24-3x ）x =-3x 2+24x （平方米） ∵x > 0,且 15≥24-3x > 0 ∴3≤x <8S=-3x 2+24x （ 3≤x <8 ）（2）解：S=（24-3x ）x =-3x 2+24x =-3（x-4）2+48 ∵a=-3<0，二次函数图形开口向下，函数有最大值当x=4时，S 最大=48平方米∴当AB 长为4m ，宽BC 为12m 时，有最大面积，最大面积为48平方米． 17．（1）解：设y 与x 之间的函数关系式： y =kx +b 由题意得： {40k +b =30055k +b =150 ，解得： {k =−10b =700∴y 与x 之间的函数关系式为： y =−10x +700 （2）解：设利润为 w 元由题意，得 −10x +700≥240 ，解得 x ≤46 则 w =(x −30)(−10x +700) =−10x 2+1000x −21000=−10(x −50)2+4000 ∵−10<0∴x <50 时， w 随 x 的增大而增大 ∴x =46 时答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元（3）解： w −150=−10x 2+1000x −21000−150=3600 −10(x −50)2=−250 解得： x 1=55 结合二次函数图象可得：当 45≤x ≤55 时，捐款后每天剩余利润不低于3600元 18．（1）解：∵抛物线的对称轴x=1，B （3，0） ∴A （﹣1，0）∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点C （0，3） ∴当x=0时，c=3．又∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点A （﹣1，0），B （3，0） ∴{a −b +3=09a +3b +3=0 ∴{a =−1b =2∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2+2x+3 （2）解：∵C （0，3），B （3，0） ∴直线BC 解析式为y=﹣x+3 ∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4 ∴顶点坐标为（1，4）∵对于直线BC ：y=﹣x+1，当x=1时，y=2；将抛物线L 向下平移h 个单位长度 ∴当h=2时，抛物线顶点落在BC 上；当h=4时，抛物线顶点落在OB 上∴将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内（包括△OBC 的边界）则2≤h≤4（3）解：设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n）①当P点在x轴上方时，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N 点，如图所示：∵B（3，0）∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形∴∠BPQ=90°，BP=PQ则∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP在△PQM和△BPN中∴△PQM≌△BPN（AAS）∴PM=BN∵PM=BN=﹣m2+2m+3，根据B点坐标可得PN=3﹣m，且PM+PN=6∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6解得：m=1或m=0∴P（1，4）或P（0，3）．②当P点在x轴下方时，过P点作PM垂直于l于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点同理可得△PQM≌△BPN∴PM=BN∴PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=m2﹣2m﹣3则3+m=m2﹣2m﹣3解得m= 3+√332或3−√332．∴P（3+√332，−√33−92）或（3−√332，√33−92）．综上可得，符合条件的点P的坐标是（1，4），（0，3），（3+√332，−√33−92）和（3−√332，√33−92）．。

人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》说课稿1

人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》说课稿1一. 教材分析《人教版数学九年级上册》第26章第3节《实际问题与二次函数》是整个九年级上册数学知识的重点和难点。

这一节的内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行讲解的，通过实际问题引导学生将所学的二次函数知识应用到实际问题中，培养学生的解决问题的能力。

教材通过丰富的例题和练习题，使学生能够更好地理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。

但是，将二次函数应用于实际问题中，可能会遇到一些困难。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生能够理解和掌握二次函数在实际问题中的应用，能够独立解决一些与二次函数相关的实际问题。

2.过程与方法目标：通过实际问题的引导，培养学生的解决问题的能力和合作能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数在实际问题中的应用。

2.教学难点：如何将实际问题转化为二次函数模型，并解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生自主探究和解决问题。

2.教学手段：利用多媒体课件和黑板进行教学，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的实际问题，引导学生思考二次函数在实际问题中的应用。

2.讲解：讲解二次函数在实际问题中的应用，通过例题使学生理解并掌握解决实际问题的方法。

3.练习：让学生通过练习题，巩固所学的知识，提高解决问题的能力。

4.总结：对本节课的内容进行总结，使学生明确二次函数在实际问题中的应用。

5.布置作业：布置一些与实际问题相关的练习题，让学生独立解决。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出本节课的重点和难点。

人教版数学九年级上册实际问题与二次函数课件

对称轴：x=2；
3
对称轴：x=− ；
2
顶点坐标：(2，－9)；
顶点坐标：( − ，
最小值：－9；
3
2
最大值：
25
4
.
25
4
)；
新知探究
问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h(单位：m)与小球的运
动时间 t(单位：s)之间的关系式是h= 30t － 5t 2 (0≤t≤6)．小球的运动时间
是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
是多少？(铝合金型材宽度不计)
解：设矩形窗框的宽为x m，则高为
这里应有x＞0，
6−3
＞0，
2
6−3
m.
2
故0＜x＜2.
矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是：
=∙
6−3
2
x
例题探究
当 =

− 时，二次函数
2
值 =
4−2
．
4
y = ax 2 ＋ bx ＋ c 有最小(大)
h/m
=

−
2
=
30
−
2×(−5)
ℎ=
4−2
4
−302
4×(−5)
=
= 3，
40
= 45．
20
O
h= 30t － 5t 2 (0≤t≤6)
1
2 3
4
5 6 t/s
小球运动的时间是 3s 时，小球最高. 小球运动中的最大高度是 45 m．
墙长18m，这个矩形的长、宽
各为多少时，菜园的面积最大，问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？
则如何表示另一边？
最大面积是多少？

实际问题与二次函数(拱桥问题)课件人教版数学九年级上册

例2如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在1时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，求抛物线的关系式．
例3.如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB=18m．一同学站在门内，在离门脚点1m远的D处，垂直地面立起一根长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处．根据这些条件，请你求出该大门的高h．
【分析】：把x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)代
入（1）中的函数关系式计算，结果与5比较即可判断.
（2）当x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)时， y=4.5＜5 ∴不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆；
例4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6 米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
讲授新课
一利用二次函数解决实物抛物线形问题
合作探究
你能想出办法来吗？建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？
•【分析】解决抛物线的问题，需要合理地建立平面直角坐标系，用二次函数的性质解答，建立直角坐标系的方法有多种，大体是以抛物线对称轴为y轴（包括顶点在原点），抛物线经过原点等等
例4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图1所示)．
第二十二章二次函数

人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数(1)》说课稿

人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数（1）》说课稿一. 教材分析人教版数学九年级上册22.3《实际问题与二次函数（1）》这一节主要讲述了二次函数在实际问题中的应用。

教材通过引入生活中的实例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用，培养学生的数学应用能力。

教材内容安排合理，由浅入深，通过具体的实例引导学生掌握二次函数解决实际问题的方法。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。

但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题，因此在教学过程中，需要引导学生将实际问题与二次函数知识相结合。

三. 说教学目标1.让学生了解二次函数在实际问题中的应用，培养学生的数学应用意识。

2.引导学生学会将实际问题转化为二次函数问题，提高学生的数学思维能力。

3.通过解决实际问题，巩固学生对二次函数图像和性质的理解。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数在实际问题中的应用，如何将实际问题转化为二次函数问题。

2.教学难点：引导学生理解实际问题与二次函数之间的联系，以及如何运用二次函数解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索二次函数在实际问题中的应用。

2.利用多媒体课件，直观展示二次函数的图像，帮助学生更好地理解二次函数的性质。

3.通过小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。

六. 说教学过程1.引入新课：通过生活中的实例，引导学生了解二次函数在实际问题中的应用。

2.讲解实例：分析实例中的问题，将其转化为二次函数问题，讲解如何运用二次函数解决实际问题。

3.巩固知识：通过练习题，让学生巩固对二次函数解决实际问题的方法。

4.小组讨论：让学生分组讨论如何将实际问题转化为二次函数问题，并分享讨论成果。

5.总结提升：总结本节课的重点内容，强调二次函数在实际问题中的应用。

七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出本节课的重点内容。

人教版数学九年级上册22.3实际问题与二次函数(教案)

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
4.二次函数图像与实际问题的联系，通过图像分析实际问题，求解最优解。
本节内容将结合具体案例，让学生在实际问题中理解和掌握二次函数的性质和应用，培养他们运用数学知识解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标主要包括：
1.培养学生运用数学知识，特别是二次函数知识解决实际问题的能力，提高数学应用意识；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，它在生活中有着广泛的应用。它可以帮助我们解决最优化问题，如成本最小化、利润最大化等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设一个工厂的成本与生产数量之间的关系是二次函数，如何求解成本最小时的生产数量？通过这个案例，展示二次函数在实际中的应用。
在小组讨论环节，学生们的表现让我感到欣慰。他们能够围绕二次函数在实际生活中的应用展开讨论，并提出自己的观点。这说明他们在思考问题和解决问题的能力上有了很大的提升。但在引导讨论时，我意识到需要提出更具针对性和启发性的问题，以激发学生的思考和创新能力。
最后，总结回顾环节，学生们对今天的学习内容有了较好的掌握。但我也发现，仍有一些学生对二次函数的应用不够熟练。在今后的教学中，我会加强对这部分学生的辅导和关注，确保他们能够跟上教学进度。

九年级数学实际问题与二次函数

一、基础知识（一）二次函数解实际问题的步骤列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．（二）建立二次函数模型求解实际问题的一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．二、重难点分析本课教学重点：建立直角坐标系解决实际问题用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.本题教学难点：二次函数解决极值问题常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.根据函数顶点坐标或实际范围求解极值。

典例精析：例1．如图所示是永州八景之一的愚溪桥，桥身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉．已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点离水面8m，以水平线AB为x轴，AB的中点为原点建立坐标系．①求此桥拱线所在抛物线的解析式．②桥边有一船浮在水面部分高4m，最宽处122m的河鱼餐船，试探索此船能否开到桥下?说明理由．【考点】人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.3实际问题与二次函数三、感悟中考1.（2013年衢州）某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种10棵橘子树，橘子总个数最多．【考点】人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.3实际问题与二次函数2. （2013年鞍山）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【解析】四、专项训练。

2023年九年级数学中考专题：实际问题与二次函数压轴应用题(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：实际问题与二次函数压轴应用题1．某工厂生产A 型产品，每件成本为20元，当A 型产品的销售单价为x 元时，销售量为y 万件．要求每件A 型产品的销售单价不低于20元且不高于28元．经市场调查发现，y 与x 之间满足一次函数关系，且当x ＝23时，y ＝34；x ＝25时，y ＝30． (1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)若某次销售刚好获得182万元的利润，则每件A 型产品的销售单价是多少元？ (3)设该工厂销售A 型产品所获得的利润为w 万元，将该产品的销售单价定为多少元时，才能使销售该产品所获得的利润最大？最大利润是多少万元？2．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为12m ）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB 为m x ，面积为2m S ．(1)求S 与x 的函数表达式．(2)如果要围成面积为245m 的花圃，AB 的长是多少米？(3)根据（1）中求得的函数关系式，判断当x 取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？3．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱，某商店经销吉祥物“冰墩墩”玩具，销售成本为每件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨1元，月销售量就减少10件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：(1)求当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元；(2)商店想在月销售成本不超过9000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，求销售定价应为多少元？4．某大型商场准备购买一批A 型和B 型商品，已知一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多30元，用6000元采购A 型商品的件数是用1200元采购B 型商品的件数的2倍．(1)求一件A ，B 型商品的进价分别为多少元？(2)该商场购进A 型和B 型商品若干，准备采取“买二送一”的优惠销售方案，即：买两件A 型商品赠送一件B 型商品，通过一段试销发现A 型商品每天的销售量y （件）与A 型商品的销售单价x （元）满足：2200y x =-+，若商场继续以上述优惠销售方案进行销售，当A 型商品的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大，并求出此时的最大销售利润．5．某数学兴趣小组想借助如图所示的直角墙角ADC ∠（两边足够长），用20m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，BC 两边）．(1)若围成的花园面积为291m ，求矩形花园AB 的长；(2)在点P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别为12m 和6m ，要能将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），又使得花园面积有最大值，求此时矩形花园AB 的长．6．第一届全国青年运动会射箭项目决赛于10月20-24日在福建省莆田市体育公园举行．我市某工艺厂为青运会设计了一款成本为每件20元的工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数：当售价为20元/件时，每天销售量为800件；当售价为25元/件时，每天的销售量为750件． (1)求y 与x 的函数关系式(2)如果该工艺品售价最高不能超过每件50元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少元?(利润=售价-成本)7．中秋节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低1元，每天的销售量将增加40千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：设降价(0)x x>元，每天所获得的利润为w元．(1)超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？(2)这种水果的销售价定为多少时，可使每天销售利润最大？最大的利润是多少？8．贫困户李大爷在某单位精准扶贫工作队的帮扶下，将一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，经核算，种植成本为18元/千克．今年正式上市销售，通过30天的试销发现：①第1天卖出20千克，以后每天比前一天多卖4千克：①销售价格y（元/千克）与时间x（天）之间满足如下函数关系：76(120)(2030)mx m x xyn x x-≤<⎧=⎨≤≤⎩，为正整数，为正整数，且第12天的售价为32元/千克，第23天的售价为25元/千克．(1)填空：m＝_______，n＝_______；试销中销售量P（千克）与时间x（天）之间的函数关系式为_______；(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润W最大？最大利润是多少元？(3)求试销的30天中，当天利润W不低于870元的天数共有几天？9．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月售出500kg，销售价每涨价1元，月销售量就减少5kg．(1)当销售单价定为60元时，计算月销售量和销售利润．(2)商店想让顾客获得更多实惠的情况下，使月销售利润达到9000元，销售单价应定为多少？(3)当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．10．某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）](1)根据以上信息，求y关于x的函数关系式．(2)①填空：该产品的成本单价是元，表中a的值是．①求该商品日销售利润的最大值．11．小茗同学准备用一段长为50米的篱笆在家修建一个一边靠墙的矩形花圃（矩形ABCD，墙长为25米．设花圃的一边AD为x米．)(1)如图1，写出花圃的面积S（平方米）与x（米）的函数关系式；(2)图1中花圃的面积能为300平方米吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由；(3)为方便进出，小茗同学决定在BC边上留一处长为a米(04)<<的门（如图2)，且最a终围成的花圃的最大面积为325平方米，直接写出a的值．12．包河区发展农业经济产业，在大圩乡种植多品种的葡萄，已知某葡萄种植户李大爷的葡萄成本为10元/kg，如果在未来40天葡萄的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为：120(120)4135(2140)2t t tpt t t⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩，为整数，为整数，且葡萄的日销量y（千克）与时间t（天）的关系如下表：(1)请直接写出y与t之间的变化规律符合什么函数关系？并求在第15天的日销售量是多少千克？(2)在后20天（即2140t≤≤，t为整数），请求出哪一天的日销售利润最大？日销售利润最大为多少？(3)在实际销售的前20天中，李大爷决定每销售1千克水果就捐赠n元利润（8n<）给留守儿童作为助学金，前20天销售完后李大爷发现，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，请求出n的取值范围．13．红灯笼，象征着国家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对，若规定每对乙灯笼的利润不能高于30元，设乙灯笼每对售价为x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．①求出y与x之间的函数解析式；①乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？14．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC 上的点P 处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里OA 表示起跳点A 到地面OB 的距离，OC 表示着陆坡BC 的高度，OB 表示着陆坡底端B 到点O 的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系：2116y x bx c =-++，已知70m OA =，60m OC =，落点P 的水平距离是40m ，竖直高度是30m ．(1)点A 的坐标是_____，点P 的坐标是_______； (2)求满足的函数关系2116y x bx c =-++； (3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC 竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．15．某商家销售一种纪念品．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y 个，销售单价为x 元．(1)在横线上直接写出y 与x 之间的函数关系式；(2)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；(3)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？16．金秋十月，我省某农业合作社有机水稻再获丰收，加工成有机大米后通过实体和电商两种渠道进行销售．该有机大米成本为每千克 14 元，销售价格不低于成本，且不超过25 元/千克，根据各销售渠道的反馈，发现该有机大米一天的销售量y（千克）是该天的售价x（元/千克）的一次函数，部分情况如表：(1)求一天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系式并写出x的取值范围．(2)若某天销售这种大米获利2400 元，那么这天该大米的售价为多少？(3)该有机大米售价定为多少时，当天获利w最大？最大利润为多少？17．某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行18场产品促销会，已知该产品每台成本为4万元，设第x场产品的销售量为y(台)，在销售过程中获得以下信息：信息1：已知第一场销售产品38台，然后每增加一场，产品就少卖出2台；信息2：产品的每场销售单价p(万元)由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场—第10场浮动价与销售场次x成正比，第11场—第18场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如下数据：(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求销售单价p与销售场次x之间的函数关系式；(3)当产品销售单价为6.5万元时，求销售场次是第几场？(4)在这18场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？(结果保留整数) 18．某商场经营A种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元()40x >，请用含x 的代数式表示该玩具的销售量______．(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于450件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润．(3)该商场计划将（2）中所得的利润的一部分采购一批B 种玩具并转手出售，根据调查准备两种方案：方案①：月初出售，获利15%，并可用本和利再投资C 种玩具，到月末又可获利10%；方案①：只到月末出售直接获利30%，但要另支付仓库保管费350元．请问商场如何使用这笔资金，采用哪种方案获利较多？尝试填写以下表格．参考答案：1．(1)y 与x 的函数关系式为280y x =-+，自变量x 的取值范围是2028x ≤≤ (2)每件A 型产品的销售单价是27元(3)该产品的销售单价定为28元时，才能使销售该产品所获得的利润最大，最大利润是192万元2．(1)()232448S x x x =-+≤<； (2)AB 的长为5m ；(3)当4x =时，围成的花圃的面积最大，最大面积为248m ．3．(1)涨10元或30元 (2)80元4．(1)一件A ，B 型商品的进价分别为50元，20元(2)A 型商品的销售单价定为80元时，每天的销售利润最大，最大销售利润为800元5．(1)13m 和7m ． (2)8m6．(1)101000y x =-+(2)当售价定为50元时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为12000元．7．(1)每千克29元(2)定为32元时可使每天销售利润最大，最大的利润是4000元8．(1)12-，25，416P x =+；(2)第18天的利润最大，最大利润为968元； (3)共有12天9．(1)销售单价定为60元时，月销售量为450千克，销售利润为9000元 (2)销售单价应定为60元(3)当售价定为95元时会获得最大利润，求出最大利润为15125元．10．(1)10900y x =-+(2)①40，4560 ①该商品日销售利润的最大值为6250元11．(1)21252S x x =-+(2)能为300平方米，此时x 的值为20 (3)a 的值为112．(1)2120y t =-+；90kg (2)21天，1131元 (3)58n ≤＜13．(1)甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；(2)①222686930y x x =-+-，①乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．14．(1)()0,70A ，()40,30P ； (2)21370162y x x =-++； (3)18m15．(1)()107404452y x x =-+≤≤(2)当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元(3)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w 元最大，最大利润是2640元答案第3页，共3页 16．(1)5501504201yx x(2)18元 (3)当22x =时，w 有最大值3200元．17．(1)240y x =-+ (2)()()1411044541118x x p x x⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩ (3)当产品销售单价为6.5万元时，销售场次是第10场和第18场(4)在这18场产品促销会中，第11场获得的利润最大，最大利润约为74万元18．(1)101000x -+(2)max 11250w =元。

九年级数学上册22.3实际问题与二次函数

3．在自变量取值范围内，求出二次函数最大值或最小值.
第2页
2．探究二次函数利润问题 1．利润问题计算公式
总利润=总售价-总进价. 总利润=每件利润×销售数量.
第3页
2．探究二次函数利润问题
请大家带着以下几个问题读题！！！
某商品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反应：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品进价为每件40元，怎样定价才能使利润最大？
第9页
4．课后反思，布置作业
教科书习题 22.3 第 2，8 题．
第10页
问题4 在降价情况下，最大利润是多少？请你参考上述讨论，自己得出答案．
第7页
在降价情况下，最大利润是多少？
解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖20x件，实际卖出（300+20x)件，每件利润为（60-40-X）元，所以，得利润
y=（300+20x)(60-40-x)
即y= -20x²+100X+6000 （0≤x≤20）．
九年级上册
22.3 实际问题与二次函数
第1页
1．复习二次函数处理实际问题方法
归纳： 1．因为抛物线 y = ax2 + bx + c 顶点是最低（高）点，当
x b 2a
时，二次函数 y = ax2 + bx + c 有最小（大）值 y 4ac b2 ． 4a
2．列出二次函数解析式，并依据自变量实际意义，确定自变量取值范围；
（1）题目中有几个调整价格方法？（2）题目包括哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了改变？哪个量是函数？（3）当每件涨 1 元时，售价是多少？每星期销量是多少？成本是多少？销售额是多少？利润呢？（4）最多能涨多少钱呢？（5）当每件涨 x 元时，售价是多少？每星期销量是多少？成本是多少？销售额是多少？利润 y 呢？

人教版九年级上册数学实际问题与二次函数(含答案)

实际问题与二次函数一、基础练习。

1．一个正方形的面积是25 cm2，当边长增加a cm时，正方形的面积为S cm2，则S关于a 的函数关系式为__________．2．某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价为y元，则y与x的关系式为____________．3．小强用一根长为8 cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是________ cm2.4．小红想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，设矩形面积为S(单位：平方米)，一边长为x(单位：米)．(1)S与x之间的函数关系式为____________，自变量x的取值范围为____________；(2)当x＝________时，矩形场地面积S最大？最大面积是________平方米．5．水枪喷出的水流可以用抛物线y＝－12x2＋bx来描述，已知水流的最大高度为20米，则b的值为()A．210 B．±210C．－210 D．±10 26．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是()A．有最小值0，有最大值3B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值3D．有最小值－1，无最大值7．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8 m、宽AB为2 m．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m.(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m、宽2.4 m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．8．我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看成是抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m,2.5 m处，绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 m，则学生丁的身高为()A．1.5 m B．1.625 m C．1.66 m D．1.67 m9．某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润y(单位：元/千度)与电价x(单位：元/千度)的函数关系式为y＝－15x＋300(x≥0)．(1)当电价为600元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？(2)为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x(单位：元/千度)与每天用电量m(单位：千度)的函数关系为x＝10m＋500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？二、提高训练。

人教版九年级数学上册《实际问题与二次函数(第1课时)》示范教学课件

实际问题与二次函数（第1课时）
一般地，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 可以通过配方法化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，即_______________________．因此，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是____________，顶点是_________________．
问题
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 y＝ax²．
解：以点 C 为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系（如图）．
y
x
(2，－4)
H
由图象知，抛物线过点(2，－4)， ∴－4＝a×22，a＝－1． ∴ y＝－x2．
装货宽度为 2 m，在图象上为 EF，
即F 点的横坐标为 1．
分析：画出函数 h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象（如图）．
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，
最当 a＞0(a＜0)时，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的顶点是最低（高）点，也就是说，当时，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 有最小（大）值．
当 x＝1 时，y＝－1，即 CG＝1 m． ∵大门的顶部 C 离地面高度为 4 m， ∴CH＝4 m． ∴GH＝4－1＝3 m＞2.5 m． ∴这辆汽车能顺利通过大门．
(2，－4)
抛物线型实际问题
一般步骤
抛物线型运动问题
抛物线型建筑问题
建
设
求
y
O
x
方法 3：以抛物线和水面的两个交点的连线为 x 轴，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系（如图）．

九年级数学-二次函数与实际问题

第8讲二次函数与实际问题知识导航1．建立数学模型，确定二次函数的解析式；2．利用二次函数的性质，解决实际生活中的最值问题； 3．分段函数关系式的确定.【板块一】球类运动问题方法技巧由几个特征点，确定函数关系式；求字母系数的取值问题，可构造不等式求解.【例】如图，排球运动员站在点O 处练习发球,将球从点O 正上方2m 的A 处发出,把球看成点，其运行的高度y (m ）与运行的水平距离x (m ）満足关系式y ＝a （x －6）2＋h ，已知球网与点O 的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距点O 的水平距离为18m ．（1）当h ＝2.6时,求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变x 的取值范围）；（2）当h ＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网又不出边界，则h 的取值范围是多少?【解析】（1）当h ＝2.6时,y=(a －6）2＋2.6过点（0，2），36a =-0．6,a =160- ，此时y ＝160-（x －6）2＋2.6；（2）当x =9时，y =160-⨯9＋2.6＝2.45＞2.43,所以球能过网；当y ＝0时 160-（x -6）2＋2.6＝0,x 1=6+18，x 2=6-舍去)，故球会出界；（3）y =a (x -6)2+h 过（0,2）,得2=36a ＋h 时,当x =9时,y=9a +h ＞2.43,解得h ＞19375．又当x =18时，y ≤0,得h ≥83．∴h 的取值范围是h ≥83.针对练习11．小明为了检测自己实心球的训练情况，在一次投掷的测试中，实心球经过的抛物线如图所示，其中出手点A 的坐标为（0，169），球在最高点B 的坐标为（3,25)9. (1)求抛物线的解析式;(2)已知某市男子实心球的得分标准如表;求小明在实球训练中的得分;（3）在小明练习实心球的正前方离投掷点7米处有一个身高1.2米的小友在玩耍，问该小朋友是有危险如果实心球在小孩头顶上方飞出为安全，否则视为危险），请说明理由？解：（1）抛物线的解析式是y ＝2125(3)99x --+；（2）将y ＝0代入y ＝2125(3)99x --+；求得x 1=-2(舍去)，x 2=8，小朋友掷出的距离是8米，得分是14分；（3）小朋友有危险，理由如下，将x ＝7代入y ＝2125(3)99x --+=1<1.2, ∴身高1.2米的小朋友有危险.【板块二】桥梁、隧道问题方法技巧建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，并结合函数图象进行分析.题型一水位变化问题【例1】如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE ，ED ．DB组成，已知河底ED 是水平的，ED ＝16米，AE =8米，抛物线的顶点C 到ED 的距离是11米，以FD 所在的直线为x 轴抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系. （1）求抛物线的解析式;（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED 的距离h （单位：米）随时间t （单位：小时）的变化满足函数关系式：h ＝21(19)8(040)128t t --+≤≤．且当水面到顶点C 的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？【解析】（1）题意可得，顶点C 为（0，11），设抛物线解析式y ＝a x 2＋11，由抛线对称性得B （8，8），∴8＝64a ＋11，a =364- ，抛物线解析式为231164y x =-+；（2）画出h ＝21(19)8(040)128t t --+≤≤的图象如右图. 当水面到顶点C 的距离不大于5米时，h ≥6，当h ＝6时，t 2＝35，t 1=3，结合图象变化趋势，禁止通行时间为35－3＝32（小时）答：禁止船只通行时间为32小时.题型二限宽限高问题【例2】如图，东湖隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA 为12m ，宽OB 为4m 隧道顶端D 到路面的距离为10m ，建立如图所示的直角坐标系. （1）求该抛物线的解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m ，宽为4m ，隧道内设双向车道，问这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型供壁上需要安装两排禁示灯，使它们离地面高度相等，如果灯离地面的高度不超过8.5m ,那么，两排灯的水平距离最小是多少米？【解析】（1）依题意D (6，10），C (12，4)，设抛物线解析式为y ＝a （x-6）2+10，过（12，4），得36a ＋10=4,a ＝16- ∴该抛物线解析式为21(6)10;6y x =--+ （2）当x ＝4＋6＝10时，2122(106)106,63y =--+=故这辆货车能安全通过；（3）当y ＝8.5时, 21(6)108.5,6x --+=x 1＝3．x 2＝9，x 2－x 1＝6,又y ≤8,∴两排灯的水平距离最小是6米.针对练习21．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB 的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD 的宽为10米.（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现在有一辆载有救援物资从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥280千米（桥长忽略不计），货车以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶到1小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时0.25米的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处），当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行．试问：汽车按原来速度行驶，能否安全过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米？解：（1）y ＝21;25x -(2)(280－40⨯1)÷40=6(小时)，当x =-5时,y =-1,1÷0.25=4,6＞4∴汽车按原来速度行驶，不能安通过此桥；（280-40⨯1）÷4＝60，∴要使货车安全通过此桥，速度应超过60千米/小时.【板块三】市场销售问题方法技巧通过“利润＝售价-进价”“=100%⨯利润利润率进价”等公式建立函数模型，把利润问题转化成函数问题来解决.【例】武汉市某商业公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m （件）与时间t （天）的关系如下表：未来40天内，该商品每天的价格y （元／件）与时间t （天）的函数关系式为： 125(120,4140(2140,2t t y t t ⎧+≤≤⎪=⎨⎪+≤≤⎩（t 为整数）,根据以上提供的条件解决下列问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数的知识分别确定1≤t ≤20，21≤t ≤40时，满足这些数据的m （件）与t （天）之间的关系式;（2）请预测未来20天中哪一天的日销售利最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润（a ＜40给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐后的日销利润随时间t （天）的增大而增大，求a 的取值范围. 【解析】(1)当1≤t ≤20（t 为整数）时,m ＝一2t ＋100,当21≤t ≤40（t 为整数）时，m ＝t ＋40；{-2100(1204(2140t t m t t +≤≤=+≤≤））.（2）设前20天日销售利润为P 1元，后20天的日销售利调为P 2元，当1≤t ≤20（t 为整数）时，P 1＝（－2t ＋100）211(2520)(15)612.542t t +-=--+，所以t ＝15，P 1有最大值612．5元当21≤t ≤40（t 为整数）时，P 2=（t+40）211(4020)800,22t t -+-=-+所以t ＝21时，P 2有最大值579.5元,综上可得：当t ＝15时，得最大利润为612.5元； (3)当1≤t ≤20（t 为整数）时P 1＝（－2t ＋100）211(2520)(152)500100,42t a t a t a +--=-+++- 对称轴为：t =15+2a,∵前20天中，每天扣除捐后的目利随时间t(天)的增大而増大，且t 为整数， ∴15＋2a ≥20，解得a ≥25，∴2.5≤a＜4．针对练习31.杰明公司生产的某种时令商品每件成本为20元，据市场调分析，五月份的日销售量m (件)与时间t （天）符合一次函数关系m ＝at ＋b 且t ＝2时，m ＝92;t =10时，m ＝76．而且前15人每天的价格y 1（元/件）与时间t （天）的函数关系式为y 1＝0．25t ＋25（1≤t ≤15且为整数），第16天月底每天的价格y 2（元/件）与时间t （天）的函数关系式为y=－0．5t ＋40（16≤t ≤31且t 为整数）（1）求m 与t 之间的函数关系式;(2）请预测五月份中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前15天中，该公司决定每销售一件商品就捐贈a 元利润（a ＜3）给希望工程，公司通过销售记录发现，前15天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t(天）的增大而增大，求a 的取值范围.解：（1）m ＝－2t ＋96；（2）设日销售利润为w ，根据题意，得：①当1≤t ≤15时,w =m (y 1-20)＝（-2t ＋96）（0.25t ＋25-20）=21(14)578,2t --+当t =14时，w 取值最大值，w 最大＝578②当16≤t ≤31时，w ＝m （y 2－20）＝t 2－88t ＋1920＝（t －44）2－16，∵抛物线开口向上，且对称轴t ＝44，∴当15≤t ≤3l 时，w 随t 的增大而减小，∴当t ＝16时，w 取得最大值，w 的最大值为768，∵768＞578，∴第16天销售利润最大，最大值为768元③∵w=2211(14)578(296)(142)48096,22t t a t a t a --+--+=-+++-∴102-<,抛物线开口向下，且前15天中，日销售得润随时间t （天）的增大而增大, 又t 为整数，∴对称轴x ＝2a ＋14≥15，∴a 12≥，又∵a ＜4 ，∴2≤a ＜3． 2．某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y （元）与x （件）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？解：（1）设商家一次购买该种产品x 件时，销售单价恰好为2600元 3000－10（x －10）＝2600，解得x ＝50答：商家一次购买诚种产品50件时，销售单价恰好为2600元. （2）当0≤x ≤10时，y ＝（3000－2400）x ＝600x,当10＜x ≤50时，y ＝x [3000－10（x －10）－2400]＝－10x 2＋700x 当x ＞50时，y =(2600-2400)x =200x∴2600(01010700(1050200(50,x x x y x x x x x x x ≤≤⎧⎪=-+<≤⎨>⎪⎩，且整）且整）且整）（3）因为要满足一次购买的数量越多，所获的利润越大，所以y 应随x 的增大而增大,而y ＝600x 及y ＝200x 均是y 随x 的增大而增大；二次函数y ＝－10x 2＋700x ＝－10（x －35）2＋12250，当10＜x≤35，y 随x 的増大而增大，当35＜x≤50封，y 随x 的增大而减小，因此x 的取值范围只能为10＜x ≤35，即一次购买的数量为35件的销售单价恰好为最低销售单价. ∴当x ＝35时，最低销售单价为3000－10（35－10）＝2750（元）【板块四】图形面积问题方法技巧正确建模，求出函数解析式，利用二次函数图象的性质結合自变量的取值范同，求出最值.【例】如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）（1）要使长方体盒子的底面积为18cm ，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）如果把矩形硬纸板的四周分別剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状，同样大小的矩形，然后折合成一个有盖两长方体盒子，是否有侧面积最大的情況？若有，请求出最大值和此时剪去的正方形的边长；请说明理由.【解析】（1）正方形的边长为1cm（2）设正方形的边长为x cm ，盒子的侧面积为y cm 2．①当在长边上剪去两个形状，大小相同的矩形时，y ＝2x （8－2x ）＋2x ·210-2131696(),266x x =--+当x =136时，y 最大1696=②当在短边上剪去两个形状，大小相同的矩形时，y=2x ·(10-2x)+2x ·28-27986(),233x x =--+当x =73时，y 最大98.3=比较①②知：当剪去的正方形的边长为73cm 时，盒子的面积最大，最大面积为298cm .3针对练习41．在一块□ABCD 的空地上划一块□MNPQ 进行绿化，如图□MNPQ 的顶点在 ABCD 的边上，已知∠A ＝60°，∠AMN ＝90°，且AM ＝PC ＝x m ,已知平行四边形ABCD 的边BC ＝20m ，AB ＝a m ，a 为大于20 m 的常数，设四边形MNHQ 的面积为S m（1）求S 关于x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围; （2）若a ＝40m ，求S 的最大值并求出此时x 的值; （3）若a ＝200,请直接写出S 的最大值.解：（1）S ＝S □ABCD －2S △AMN －2S △BNP 223(2)(20))(020);2a x x xx =---=-+<≤ （2）a ＝40时，S ＝2max ,10,S 2bx a-+=-== （3）a ＝200时，S max ＝ABCDM NPQ。

人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案

人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时主要介绍了二次函数在实际问题中的应用。

这部分内容是对前面学习的二次函数知识的巩固和拓展，通过实际问题引导学生将理论知识和实际应用相结合，提高解决问题的能力。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次函数在实际问题中的运用方法。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有了初步的了解。

但是，将二次函数应用于实际问题中，解决实际问题对学生来说还是一个挑战。

因此，在教学过程中，需要关注学生对知识的掌握程度，以及他们在解决实际问题时的思维方式和方法。

三. 教学目标1.了解二次函数在实际问题中的应用。

2.能够将实际问题转化为二次函数问题，利用二次函数解决实际问题。

3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.掌握二次函数在实际问题中的应用。

2.将实际问题转化为二次函数问题。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。

同时，运用讨论法、案例分析法等，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。

2.准备PPT，展示二次函数在实际问题中的应用。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题引出本节课的主题，激发学生的兴趣。

例如：一个农场计划种植两种作物，种植面积一定的条件下，如何安排两种作物的种植面积，使得总收益最大？2.呈现（10分钟）呈现实际问题，引导学生认识到实际问题可以通过二次函数来解决。

通过PPT展示实际问题的图像，让学生观察和分析图像，理解二次函数在实际问题中的应用。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试将实际问题转化为二次函数问题。

每组选择一个实际问题，分析问题中的变量关系，列出二次函数的表达式。