抛物线常用性质总结

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抛物线性质归纳、证明和应用

抛物线性质归纳、证明和应用抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线（定点在定直线外）的距离的点的轨迹，它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线，它只有一支（双曲线有两支），只有一条对称轴，没有渐近线和对称中心，属于无心曲线．抛物线的焦半径、焦点弦性质丰富多彩，此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨，抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点，这里就它的一些性质加以归纳，说明和证明，及其在历年高考和模拟考试出现的典例．一、焦半径、焦点弦性质如图，AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，AD、BC是准线的垂线，垂足分别为D、C，M是CD的中点，N是AB的中点．设点A(x1，y1)、点B(x2，y 2)，直线AB交y轴于点K(0，y3)，则：⑴①y1y2＝－p2；②x1x2＝p24；③1y1＋1y2＝④|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ（θ为⑤S△OAB＝p22sinθ，S梯形ABCD＝2p2sin3θ..⑵1|AF|＋1|BF|＝2p；⑶∠AMB＝∠DFC＝Rt∠；⑷AM、BM是抛物线的切线；⑸AM、BM分别是∠DAB和∠CBA的平分线；⑹AM、DF、y轴三线共点，BM、CF、y轴三线共点；⑺A、O、C三点共线，B、O、D三点共线；⑻若|AF |：|BF |＝m ：n ，点A 在第一象限，θ为直线AB 的倾斜角.则cos θ＝m －nm ＋n；⑼以AF 为直径的圆与y 轴相切，以BF 为直径的圆与y 轴相切；以AB 为直径的圆与准线相切.⑽MN 交抛物线于点Q ，则，Q 是MN 的中点.⑴①y 1y 2＝－p 2；②x 1x 2＝p 24；③1y 1＋1y 2＝1y 3④|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ（θ为AB 的倾斜角）；⑤S △OAB ＝p22sin θ，S 梯形ABCD ＝2p2sin 3θ.【证明】设过焦点F (p 2，0)的AB 的直线方程为x ＝my ＋p 2，代入抛物线方程y2＝2px 得y 2－2pmy －p 2＝0，因此①y 1y 2＝－p 2，y 1＋y 2＝2pm .另由⑶得在Rt△CFD 中，FR ⊥CD ，有|RF |2＝|DR |·|RC |，而|DR |＝|y 1|，|RC |＝|y 2|，|RF |＝p ，且y 1y 2＜0∴y 1y 2＝－p 2.②又点A 、B 在抛物线上，有x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p，因此x 1x 2＝y 212p ·y 222p＝(y 1y 2)24p 2＝p24.③1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝2pm －p 2＝－2mp，在直线AB 方程x ＝my ＋p 2中令x ＝0，得y 3＝－p2m ，代入上式得1y 1＋1y 2＝1y 3④【证法一】根据抛物线的定义，|AF |＝|AD |＝x 1＋p2BF |＝|BC |＝x 2＋p 2，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p又|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝1＋m 2|y 2－y 1|＝1＋m 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝1＋m 24m 2p 2＋4p 2＝2p (1＋m 2)当m ≠0时，m ＝1k ＝1tan θ＝cos θsin θ，有1＋m 2＝1＋cos 2θsin 2θ＝1sin 2θ（k 为直线AB 的斜率）当m ＝0时，θ＝90︒，1＋m 2＝1也满足1＋m 2＝1sin 2θ∴|AB |＝2p (1＋m 2)＝2p sin 2θ.CDB (x 2，y 2)R A (x 1，y 1)xyOθA 1B 1F 图2【证法二】如图2，过A 、B 引x 轴的垂线AA 1、BB 1，垂足为A 1、B 1，那么|RF |＝|AD |－|FA 1|＝|AF |－|AF |cos θ，∴|AF |＝|RF |1－cos θ＝p1－cos θ同理，|BF |＝|RF |1＋cos θ＝p1＋cos θ∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2psin 2θ.【证法三】极坐标法，设抛物线的极坐标方程为ρ＝p1－cos θ，则|AF |＝ρ1＝p 1－cos θ，|BF |＝ρ2＝p 1－cos(π＋θ)＝p1＋cos θ.∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2psin 2θ.⑤S △OAB ＝S △OAF ＋S △OBF ＝12|OF ||y 1|＋12|OF ||y 1|＝12·p2·(|y 1|＋|y 1|)∵y 1y 2＝－p 2，则y 1、y 2异号，因此，|y 1|＋|y 1|＝|y 1－y 2|∴S △OAB ＝p 4|y 1－y 2|＝p 4(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p 44m 2p 2＋4p 2＝p 221＋m 2＝p 22sin θ.又∵|CD |＝|AB |sin θ＝2p sin θ，|AD |＋|BC |＝|AB |＝2p sin 2θ.∴S 梯形ABCD ＝12(|AD |＋|BC |)·|CD |＝12×2p sin θ×2p sin 2θ＝p2sin 3θ.【例1】设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →＝······················································（）A.34B.－34C.3D.－3【解】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－34，故选B.【例2】过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 作倾斜角为45︒的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝.【解】由性质⑴得|AB |＝2p sin 2θ＝2psin 245︒＝8，∴p ＝8×122＝4.⑵1|AF |＋1|BF |＝2p【证法一】由⑴x 1x 2＝p 24，且|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2.∴1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p (x 1＋p 2)·(x 2＋p 2)＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝x 1＋x 2＋p p 24＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝x 1＋x 2＋p p2(x 1＋x 2＋p )＝2p【证法二】由|AF |＝ρ1＝p 1－cos θ，|BF |＝ρ2＝p 1－cos(π＋θ)＝p 1＋cos θ.∴1|AF |＋1|BF |＝1ρ1＋1ρ2＝1－cos θp ＋1＋cos θp ＝2p【例3】过抛物线y ＝ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则1p ＋1q 等于··················（）A.2aB.12aC.4aD.4a【解】由y ＝ax 2得x 2＝1a y ，（抛物线焦点到准线的距离为12a ），由此得1p ＋1q ＝4a ，故选C.⑶∠AMB ＝∠DFC ＝Rt∠，先证明：∠AMB ＝Rt∠【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图3，则△ADM ≌△ECM ，∴|AM |＝|EM |，|EC |＝|AD |∴|BE |＝|BC |＋|CE |＝|BC |＋|AD |＝|BF |＋|AF |＝|AB |∴△ABE 为等腰三角形，又M 是AE 的中点，∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt∠【证法二】取AB 的中点N ，连结MN ，则|MN |＝12(|AD |＋|BC |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，∴|MN |＝|AN |＝|BN |∴△ABM 为直角三角形，AB 为斜边，故∠AMB ＝Rt∠.【证法三】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p 2，y 1)，由此得M (－p 2，y 1＋y 22).∴k AM ＝y 1－y 1＋y 22x 1＋p 2＝y 1－y 22·y 212p＋p ＝p (y 1－y 2)y 21＋p 2＝p (y 1－－p 2y 1)y 21＋p 2＝p y 1，同理k BM ＝p y 2∴k AM ·k BM ＝p y 1·p y 2＝p 2y 1y 2＝p 2－p2＝－1∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt∠.CD B (x 2，y 2)R A (x 1，y 1)xyOFENM 图3【证法四】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p 2，y 1)，由此得M (－p 2，y 1＋y 22).∴MA →＝(x 1＋p 2，y 1－y 22)，MB →＝(x 3＋p 2，y 2－y 12)∴MA →·MB →＝(x 1＋p 2)(x 2＋p 2)＋(y 1－y 2)(y 2－y 1)4＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24－(y 1－y 2)24＝p 24＋p 2(y 212p ＋y 222p )＋p 24－y 21＋y 22－2y 1y 24＝p 22＋y 1y 22＝p 22＋－p 22＝0∴MA →⊥MB →，故∠AMB ＝Rt∠.【证法五】由下面证得∠DFC ＝90︒，连结FM ，则FM ＝DM .又AD ＝AF ，故△ADM ≌△AFM ，如图4∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4∴∠2＋∠3＝12×180︒＝90︒∴∠AMB ＝Rt∠.接着证明：∠DFC ＝Rt∠【证法一】如图5，由于|AD |＝|AF |，AD ∥RF ，故可设∠AFD ＝∠ADF ＝∠DFR ＝α，同理，设∠BFC ＝∠BCF ＝∠CFR ＝β，而∠AFD ＋∠DFR ＋∠BFC ＋∠CFR ＝180︒∴2(α＋β)＝180︒，即α＋β＝90︒，故∠DFC ＝90︒CD BR Axy O F 图41234M【证法二】取CD 的中点M ，即M (－p 2，y 1＋y 22)由前知k AM ＝p y 1，k CF ＝－y 2＋p 2＋p 2＝－y 2p ＝py 1∴k AM ＝k CF ，AM ∥CF ，同理，BM ∥DF ∴∠DFC ＝∠AMB ＝90︒.【证法三】∵DF →＝(p ，－y 1)，CF →＝(p ，－y 2)，∴DF →·CF →＝p 2＋y 1y 2＝0∴DF →⊥CF →，故∠DFC ＝90︒.【证法四】由于|RF |2＝p 2＝－y 1y 2＝|DR |·|RC |，即|DR ||RF |＝|RF ||RC |，且∠DRF ＝∠FRC ＝90︒∴△DRF ∽△FRC∴∠DFR ＝∠RCF ，而∠RCF ＋∠RFC ＝90︒∴∠DFR ＋∠RFC ＝90︒∴∠DFC ＝90︒【例4】如图7，过抛物线y 2＝2px （P ＞0）的焦点F 的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向准线l 作垂线，垂足分别为M 1、N 1，求证：FM 1⊥FN 1CDB (x 2，y 2)R A (x 1，y 1)xy O F M 图6G HD 1N 1N MxyO F 图7M 1l⑷AM 、BM 是抛物线的切线【证法一】∵k AM ＝p y 1，AM 的直线方程为y －y 1＝py 1(x －y 212p)与抛物线方程y 2＝2px 联立消去x 得y －y 1＝p y 1(y 22p －y 212p)，整理得y 2－2y 1y ＋y 21＝0可见△＝(2y 1)2－4y 21＝0，故直线AM 与抛物线y 2＝2px 相切，同理BM 也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y 2＝2px ，两边对x 求导，(y 2)'x ＝(2px )'x ，得2y ·y 'x ＝2p ，y 'x ＝p y ，故抛物线y 2＝2px 在点A (x 1，y 1)处的切线的斜率为k 切＝y 'x |y ＝y 1＝p y 1.又k AM ＝py 1，∴k 切＝k AM ，即AM 是抛物线在点A 处的切线，同理BM 也是抛物线的切线.【证法三】∵过点A (x 1，y 1)切线方程为y 1y ＝p (x ＋x 1)，把M (－p 2，y 1＋y 22)代入左边＝y 1·y 1＋y 22＝y 21＋y 1y 22＝2px 1－p 22＝px 1－p 22，右边＝p (－p 2＋x 1)＝－p 22＋px 1，左边＝右边，可见，过点A 的切线经过点M ，即AM 是抛物线的切线，同理BM 也是抛物线的切线.CDB (x 2，y 2)R A (x 1，y 1)xy OF M 图8D 1⑸AM 、BM 分别是∠DAB 和∠CBA 的平分线【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图9，则△ADM ≌△ECM ，有AD ∥BC ，AB ＝BE ，∴∠DAM ＝∠AEB ＝∠BAM ，即AM 平分∠DAB ，同理BM 平分∠CBA .【证法二】由图9可知只须证明直线AB 的倾斜角α是直线AM 的倾斜角β的2倍即可，即α＝2β.且M (－p 2，y 1＋y 22)∵tan α＝k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 222p －y 212p＝2py 1＋y 2.tan β＝k AM ＝y 1－y 1＋y 22x 1＋p 2＝y 1－y 22·y 212p ＋p ＝p (y 1－y 2)y 21＋p 2＝p (y 1－－p 2y 1)y 21＋p 2＝p y 1.∴tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2py 11－(p y 1)2＝2py 1y 22－p 2＝2py 1y 22＋y 1y 2＝2p y 1＋y 2＝tan α∴α＝2β，即AM 平分∠DAB ，同理BM 平分∠CBA .⑹AM 、DF 、y 轴三线共点，BM 、CF 、y 轴三线共点【证法一】如图10，设AM 与DF 相交于点G 1，由以上证明知|AD |＝|AF |，AM 平分∠DAF ，故AG 1也是DF 边上的中线，∴G 1是DF 的中点.CDB (x 2，y 2)R A (x 1，y 1)xyOFENM 图9设AD 与y 轴交于点D 1，DF 与y 轴相交于点G 2，易知，|DD 1|＝|OF |，DD 1∥OF ，故△DD 1G 2≌△FOG 2∴|DG 2|＝|FG 2|，则G 2也是DF 的中点.∴G 1与G 2重合（设为点G ），则AM 、DF 、y 轴三线共点，同理BM 、CF 、y 轴也三线共点.【证法二】AM 的直线方程为y －y 1＝py 1(x －y 212p)，令x ＝0得AM 与y 轴交于点G 1(0，y 12)，又DF 的直线方程为y ＝－y 1p (x －p 2)，令x ＝0得DF 与y 轴交于点G 2(0，y 12)∴AM 、DF 与y 轴的相交同一点G (0，y 12)，则AM 、DF 、y 轴三线共点，同理BM 、CF 、y 轴也三线共点H ．由以上证明还可以得四边形MHFG 是矩形.⑺A 、O 、C 三点共线，B 、O 、D 三点共线【证法一】如图11，k OA ＝y 1x 1＝y 1y 212p＝2p y 1，k OC ＝y 2－p 2＝－2y 2p ＝－2py 2p 2＝－2py 2－y 1y 2＝2py 1∴k OA ＝k OC ，则A 、O 、C 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线.CDB (x 2，y 2)R A (x 1，y 1)xy OF 图11CDB (x 2，y 2)R A (x 1，y 1)xy O F M 图10G HD 1【证法二】设AC 与x 轴交于点O '，∵AD ∥RF ∥BC∴|RO '||AD |＝|CO '||CA |＝|BF ||AB |，|O 'F ||AF |＝|CB ||AB |，又|AD |＝|AF |，|BC |＝|BF |，∴|RO '||AF |＝|O 'F ||AF |∴|RO '|＝|O 'F |，则O '与O 重合，即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线.【证法三】设AC 与x 轴交于点O '，RF ∥BC ，|O 'F ||CB |＝|AF ||AB |，∴|O 'F |＝|CB |·|AF ||AB |＝|BF |·|AF ||AF |＋|BF |＝11|AF |＋1|BF |＝p 2【见⑵证】∴O '与O 重合，则即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线.【证法四】∵OC →＝(－p 2，y 2)，OA →＝(x 1，y 1)，∵－p 2·y 1－x 1y 2＝－p 2·y 1－y 212py 2＝－py 12－y 1y 2y 12p ＝－py 12＋p 2y 12p ＝0∴OC →∥OA →，且都以O 为端点∴A 、O 、C 三点共线，同理B 、O 、D 三点共线.【推广】过定点P (m ，0)的直线与抛物线y 2＝2px （p ＞0）相交于点A 、B ，过A 、B 两点分别作直线l ：x ＝－m 的垂线，垂足分别为M 、N ，则A 、O 、N 三点共线，B 、O 、M 三点也共线，如下图：【例5】设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O .【证法一】因为抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F (－p2，0)，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p 2；代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，∴y 1y 2＝－p2因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p 2上，故C (－p2，y 2)，∴直线CO 的斜率为k OC ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1＝k OA .∴直线AC 经过原点O .【证法二】如图13，过A 作AD ⊥l ，D 为垂足，则：AD ∥EF ∥BC，连结AC 与EF 相交于点N ，则|EN ||AD |＝|CN ||AC |＝|BF ||AB |，|NF ||BC |＝|AF ||AB |CB (x 2，y 2)R A (x 1，y 1)xyOF 图12CDB (x 2，y 2)E A (x 1，y 1)xy OF 图13N由抛物线的定义可知：|AF |＝|AD |，|BF |＝|BC |∴|EN |＝|AD |·|BF ||AB |＝|AF |·|BC ||AB |＝|NF |.即N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O .⑻若|AF |：|BF |＝m ：n ，点A 在第一象限，θ为直线AB 的倾斜角.则cosθ＝m －nm ＋n；【证明】如图14，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D ，C ，过B 作BE ⊥AD 于E ，设|AF |＝mt ，|AF |＝nt ，则|AD |＝|AF |，|BC |＝|BF |，|AE |＝|AD |－|BC |＝(m －n )t∴在Rt△ABE 中，cos∠BAE ＝|AE ||AB |＝(m －n )t (m ＋n )t ＝m －nm ＋n∴cos θ＝cos∠BAE ＝m －nm ＋n.【例6】设经过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线相交于两点A 、B ，且|AF |：|BF |＝3：1，则直线AB 的倾斜角的大小为.【答案】60︒或120︒.⑼以AF 为直径的圆与y 轴相切，以BF 为直径的圆与y 轴相切；以AB 为直径的圆与准线相切.【说明】如图15，设E 是AF 的中点，则E 的坐标为(p 2＋x 12，y 12)，则点E 到y 轴的距离为d ＝p2＋x 12＝12|AF |C DB R Axy OθEF图14lC DBR AxyOF图15l M N E故以AF 为直径的圆与y 轴相切，同理以BF 为直径的圆与y 轴相切.【说明】如图15，设M 是AB 的中点，作MN ⊥准线l 于N ，则|MN |＝12(|AD |＋|BC |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |则圆心M 到l 的距离|MN |＝12|AB |，故以AB 为直径的圆与准线相切.⑽MN 交抛物线于点Q ，则Q 是MN 的中点.【证明】设A (y 212p ，y 1)，B (y 222p ，y 1)，则C (－p2，y 2)，D (－p2，y 1)，M (－p 2，y 1＋y 22)，N (y 21＋y 224p，y 1＋y 22)，设MN 的中点为Q '，则Q '(－p 2＋y 21＋y 224p 2，y 1＋y 22)∵－p 2＋y 21＋y 224p 2＝－2p 2＋y 21＋y 228p ＝2y 1y 2＋y 21＋y 228p ＝2p ∴点Q '在抛物线y 2＝2px 上，即Q 是MN 的中点.图16二、定点、定值、定直线问题（共9个结论）★⑴平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点，如图17.【证明】如图17，设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），直线AB∥x轴，点A的坐标为(x0，y)，则过A点的切线方程为y0y＝p(x＋x)，直线l的斜率为k＝py，直线AB到l的角为α，则tanα＝py0，设直线AF的斜率为k1，则k1＝yx－p2＝2pyy2－p2，设直线l到AF的角为β，则tanβ＝k1－k1＋k0k1＝2pyy2－p2－py1＋py·2pyy2－p2＝p(y2＋p2)y(y2＋p2)＝py.∴tanα＝tanβ，又α、β∈[0，π)，则α＝β，也就是说平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点.【例7】如图18，从点M(x，2)发出的光线沿平行于抛物线y2＝4x的轴的方向射向抛物线的点P，反射后经焦点F又射向直线l：x－2y－7＝0上的点N，再反射后又设回点M，则x0＝.图17FA BxOTl图18FP MxOQ NyM'【解】PM ∥x 轴，点P 在抛物线上，得P 的坐标为(1，2)，经过F (1，0)点后反射在Q 点，则Q 的坐标为(1，－2)，经Q 反射后点N 的坐标为(3，－2)，设M 关于l 对称的点为M '，依题意，Q 、N 、M '共线.故可设M '(x 1，－2)，由此得·12＝－1―2·2－22―7＝0，解得x 0＝6.【另解】若设Q 关于直线l 的对称点为Q '，设Q '(a ，b )，由于Q 、Q '关于直线l 对称，由此得·12＝－1―2·b －22―7＝0＝95＝－185则Q '的坐标为(95，－185)，又M 、N 、Q '三点共线，k MN ＝k NQ '，即－185＋195－3＝2＋2x 0－3，∴x 0＝6.⑵若C (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的任一点，过C 引两条互相垂直的直线交抛物线于A 、B ，则直线AB 过定点(2p ＋x 0，－y 0).【证明】设A (s 22p ，s )、B (t 22p，t )（s ，t ，y 0互不相等）那么，由AC ⊥BC 得k AC ·k BC ＝y 0－s x 0－s 22p ·y 0－tx 0－t 22pxyOA (s 22p，s )图19B (t 22p，t )C (x 0，y 0)＝y 0－s y 202p －s 22p ·y 0－ty 202p －t 22p＝4p2(y 0＋s )(y 0＋t )＝－1∴4p 2＝－(y 0＋s )(y 0＋t )∴st ＝－4p 2－(s ＋t )y 0－y 20①又直线AB 的方程为y －s t －s ＝x －s 22pt 22p －s 22p，整理得，y ＝2px ＋st s ＋t ②把①代入②得y ＝2px －4p 2－(s ＋t )y 0－y 2s ＋t＝2px －4p 2－2px 0s ＋t －y 0＝2p s ＋t(x －2p－x 0)－y 0令x －2p －x 0＝0，即x ＝2p ＋x 0，得y ＝－y 0.故直线AB 过定点(2p ＋x 0，－y 0).特别地，当C 是抛物线的顶点时，定点P 的坐标为(2p ，0).【拓展】C (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的一定点，直线AB 与抛物线相交于A 、B 两点（都异于C ），若直线CA 、CB 的斜率k CA 、k CB 的乘积为定值m，那么，直线AB 过定点(x 0－2pm，－y 0).【例8】如图20，设点A 和B 为抛物线y 2＝4px （p ＞0）上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．【解法一】点A ，B 在抛物线y 2＝4px 上，设A (y 2A 4p ，y A )，B (y 2B4p ，y B )，OA 、OB 的斜率分别为k OA 、k OB ．∴k OA ＝y A y 2A 4p ＝4p y A ，k OA ＝4p y B ，k AB ＝y B －y Ay 2B 4p －y 2A4p ＝4p y A ＋y B .由OA ⊥OB ，得k OA ·k OB ＝16p2y A y B＝－1·········①∴直线AB 方程为，y －y A ＝4py A ＋y B (x －y 2A 4p )，即(y A ＋yB )(y －y A )＝4p (x －y 2A 4p)②由OM ⊥AB ，得直线OM 方程y ＝y A ＋y B4p·········③设点M (x ，y )，则x ，y 满足②、③两式，将②式两边同时乘以－x4p ，并利用③式整理得，x 4p y A 2＋yy A －(x 2＋y 2)＝0·············④由③、④两式得－x 4p＋y B y A －(x 2＋y 2)＝0，xyOA (x A ，y A )图20B (x B ，y B )MP由①式知，y A y B ＝－16p 2，所以x 2＋y 2－4px ＝0．因为A 、B 是原点以外的两点，所以x≠0．所以点M 的轨迹是以(2p ，0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点．【解法二】由性质(2)易知AB 经过定点P (4p ，0)，由于OM ⊥AB ，那么，M 的轨迹以(2p ，0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点．其轨迹方程为x 2＋y 2－4px ＝0（x ≠0）.⑶抛物线y 2＝2px （p ＞0）的弦AB 的中点D 恰好在定直线l ：x ＝m （m ＞0）上，则线段AB 的垂直平分线过定点M (m ＋p ，0).【证明】如图22，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (m ，y 0)，那么21＝2px 1…………①22＝2px 2…………②①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)∴直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p y 0∴直线DM 的斜率k DM ＝－1k AB ＝－y 0p∴DM 的直线方程为y －y 0＝－y 0p(x －m )令y ＝0，得x ＝m ＋p∴直线AB 的垂直平分线恒过定点(m ＋p ，0).图21xyOA (x A ，y A )B (x B ，y B )MP 图22【例9】若A、B是抛物线y2＝4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x＞2时，点P(x，0)存在无穷多条“相关弦”．给定x＞2．⑴证明：点P(x，0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；⑵（略）【说明】应用性质⑶，由已知得p＝2，由定点P(x0，0)得m＋p＝x，故m＝x－2∴“相关弦”的中点的横坐标为x－2.⑷设直线l与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，那么①若直线l过抛物线对称轴的定点M(a，0)，则y1y2＝－2ap，x1x2＝a2；反之②若y1y2＝k（定值），则直线l恒过定点N(－k2p，0).③若直线l与y轴相交于点(0，y3)，则1y1＋1y2＝1y3.【证明】①设过点M(a，0)的直线方程为x＝my＋a，代入抛物线方程y2＝2px得y2－2pmy－2pa＝0，因此y 1y2＝－2ap，x1x2＝y212p·y222p＝(y1y2)24p2＝4a2p24p2＝a2.②设直线l方程为x＝my＋b，代入抛物线方程y2＝2px 得y2－2pmy－2pb＝0，即方程的根y1、y2是P、Q两点的纵坐标∴y1y2＝－2pb，又y1y2＝k.∴－2pb＝k，即b＝－k2p ，则直线l方程为x＝my－k2pxyOA(x1，y1)图23B(x2，y2)令y ＝0，得x ＝－k 2p ，则直线l 恒过定点N (－k2p ，0).③由l 的方程x ＝my ＋a 中，令x ＝0得y 3＝－am，y 1＋y 2＝2pm∴1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝2pm －2ap ＝－m a ＝1y 3.【例10】如图24，O 为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别为a 和b （a ＞0，b ≠0），且交抛物线y 2＝2px （p ＞0）于M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)两点.⑴写出直线l 的截距式方程；⑵证明：1y 1＋1y 2＝1b.⑴【解】直线l 的截距式方程为x a ＋yb＝1.⑵由上面性质⑶证明可得1y 1＋1y 2＝1b.⑸过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且与准线交于点M ，设MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，则λ＋μ＝0.【证法一】设过点F (p 2，0)的直线方程为x ＝my ＋p 2，代入抛物线方程y 2＝2px 得y 2－2pmy －p 2＝0，因此y 1y 2＝－p 2，y 1＋y 2＝2pm 令x ＝－p 2，得y M ＝－pm由MA →＝λAF →得(x 1＋p 2，y 1＋p m )＝λ(p 2－x 1，－y 1)∴y 1＋p m ＝－λy 1，λ＝1＋p my 1，同理，μ＝1＋pmy 2N (x 2，y 2)M (x 1，y 1)xyO a 图24bB (x 2，y 2)A (x 1，y 1)xyOF 图25M∴λ＋μ＝2＋p my 1＋p my 2＝2＋p (y 1＋y 2)my 1y 2＝2＋p ·2pmm ·(－p 2)＝2－2＝0.【证法二】由已知MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，得λ·μ＜0．则|MA →||MB →|＝－λ|AF →|μ|BF →|··········①过点A ，B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则有：|MA →||MB →|＝|AA 1→||BB 1→|＝|AF →||BF →|②由①②得－λ|AF →|μ|BF →|＝|AF →||BF →|，即λ＋μ＝0.【例11】如图27，已知点F (1，0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →．⑴求动点P 的轨迹C 的方程；⑵过点F 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，交直线l 于点M ，已知MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求λ1＋λ2的值；【略解】⑴动点P 的轨迹C 的方程为：y 2＝4x ；⑵λ1＋λ2＝0.B (x 2，y 2)A (x 1，y 1)xyOF 图26MA 1B 1Oyx1－1lF图27⑹定长为l 的弦AB 的两个端点在抛物线y 2＝2px 上，M 是AB 的中点，M 到y 轴的距离为d ，那么，M 的轨迹方程为：4(y 2＋p 2)(2px －y 2)＝p 2l 2，且①当0＜l ＜2p 时，d 的最小值为l 28p，此时，AB ∥y 轴；②当l ≥2p 时，d 的最小值为l －p2，此时，弦AB 过焦点F .【解】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M 的坐标为(x 0，y 0)，AB 的直线方程为x ＝my ＋b ，代入抛物线方程y 2＝2px得y 2－2pmy －2pb ＝0.∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－2pb .又AB 的中点为M (x 0，y 0)，且点M 在直线AB 上，∴y 0＝y 1＋y 22＝pm ，x 0＝my 0＋b ，m ＝y 0p ，b ＝x 0－my 0＝x 0－y 20p.∴|AB |2＝l 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(my 1＋b －my 2－b )2＋(y 1－y 2)2＝(1＋m 2)(y 1－y 2)2＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝(1＋y 20p 2y 20＋8pb ]＝(1＋y 20p 2y 20＋8p (x 0－y 2p)]整理得，4(y 20＋p 2)(2px 0－y 20)＝p 2l 2.故中点M 的轨迹方程为：4(y 2＋p 2)(2px －y 2)＝p 2l 2.由上可知d ＝x ＝pl 28(y 2＋p 2)＋y 22p，令t ＝y 2＋p 2≥p 2，即y 2＝t －p 2，则d ＝x ＝pl 28t ＋t －p 22p ＝pl 28t ＋t 2p －p 2（t ≥p 2）.令pl 28t ＝t 2p ，得t ＝pl 2.B (x 2，y 2)A (x 1，y 1)xyOF图28M (x 0，y 0)①当0＜l ＜2p 时，p 2＞pl 2，d 在t ∈[p 2，＋∞)上是增函数，∴当t ＝p 2，即y ＝0时，d min ＝pl 28p 2＋p 22p －p 2＝l 28p，此时，m ＝0，即AB ∥y轴.②当l ≥2p 时，p 2≤pl 2，∴d ＝pl 28t ＋t 2p －p2≥2ptt pl 282⨯－p 2＝l －p 2.当且仅当pl 28t ＝t 2p ，即t ＝pl 2≥p 2时取等号，故d 的最小值为l －p2.②【证法二】当l ≥2p 时，过A 、B 、M 作准线x ＝－p2的垂线，垂足为A '、B '、M '，则|MM '|＝d ＋p 2＝12(|AA '|＋|BB '|)＝12(|AF |＋|BF |)≥12|AB |＝12l .上式当且仅当|AF |＋|BF |＝|AB |，即弦AB 过抛物线的焦点M 时取等号，则d 的最小值为12l －p 2＝l －p 2.【说明】经过焦点F 的最短弦是通经2p ，因此当弦AB 的长l ＜2p 时，不能用证法二证明d 的最小值为l 28p.【例12】长度为a 的线段AB 的两个端点在抛物线x2＝2py （a ≥2p ＞0）上运动，以AB 的中点C 为圆心作圆与抛物线的准线相切，求圆C 的最小半径.B Ax y OF图29MA 'M 'B 'BAxyO图30CF【解】依题意，问题转化为定长的弦的两个端点在抛物线上，弦的中点C 到y轴的距离的最值问题，由上面的性质可知当弦AB 经过焦点F 时，点C 到准线的距离为最小值.如图30.∴圆C 的最小半径为r ＝a2.⑺过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的对称轴上的定点M (m ，0)（m ＞0），作直线AB与抛物线相交于A ，B 两点．点N 是定直线l ：x ＝－m 上的任一点，则直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列.【证明】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (－m ，n )，由性质⑶有y 1y 2＝－2pm ，则直线AN 、BN 的斜率为k AN ＝y 1－n x 1＋m ，k BN ＝y 2－n x 2＋m∴k AN ＋k BN ＝y 1－ny 212p ＋m＋y 2－ny 222p＋m＝2p (y 1－n )y 21＋2pm ＋2p (y 2－n )y 22＋2pm ＝2p (y 1－n )y 21－y 1y 2＋2p (y 1－n )y 22－y 1y 2＝2p [y 2(y 1－n )－y 1(y 2－n )]y 1y 2(y 1－y 2)＝2pn (y 1－y 2)y 1y 2(y 1－y 2)＝2pn y 1y 2＝2pn －2pm ＝－n m又∵直线MN 的斜率为k MN ＝n －0－m －m ＝－n2m.∴k AN ＋k BN ＝2k MN∴直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列.ABN M (m ，0)(－m ，n )x ＝－mOxy图31⑻抛物线的一组平行弦的中点共线，且所在直线平行于对称轴或与对称轴重合.【证明】设斜率为k （k 为常数）的一组平行线与抛物线y 2＝2px （p ＞0）交于点A i 、B i （i ＝1，2，…），弦A i B i 的中点为M i ，（即M 1，M 2，…，M n ），且A i B i 的直线方程为y ＝kx ＋b i （b i 为直线A i B i 在y 轴上的截距），A i (x 1，y 1)，B i (x 2，y 2)，M i (x i ，y i ).2＝2px ＝kx ＋b i ，消去x 得k 2p y 2－y ＋b i ＝0∴y 1＋y 2＝2pk，又M i 是A i B i 的中点∴y i ＝y 1＋y 22＝p k ，则M 1，M 2，…，M n 在平行于x 轴的直线y ＝p k上.当直线A i B i 与x 轴垂直（即直线A i B i 的斜率不存在时），易知M 1，M 2，…，M n 在x 轴上.【例13】已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．⑴证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；【证明】如图34，设A (x 1，2x 21)，B (x 1，2x 22)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2得2x 2－kx －2＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝k2，x 1x 2＝－1，∴x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，即N 点的坐标为(k 4，k 28)设抛物线在点N 处的切线l 的方程为y －k 28＝m (x －k4)，A iB i M ixyO图33x Ay112M N BO 图34将y ＝2x 2代入上式得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0，∵直线l 与抛物线C 相切，∴ ＝m 2－8(mk 4－k 28)＝0，解得m ＝k ，即l ∥AB .【说明】其实，也就是与AB 平行的弦，它们的中点在过AB 中点且与对称轴（x轴）平行的直线上，它与C 的交点N ，此时的切点就是这些弦的缩点，故过N 点的抛物线C 的切线与AB 平行.⑼过定点P (x 0，y 0)作任一直线l 与抛物线y 2＝2px （p ＞0）相交于A 、B 两点，过A 、B 两点作抛物线的切线l 1、l 2，设l 1，l 2相交于点Q ，则点Q 在定直线px －y 0y ＋px 0＝0上.【证明】设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，因为过点P 与x 轴平行的直线与抛物线只有一个交点，所以直线AB 与x 轴不平行，故可设AB 的方程为x －x 0＝m (y －y 0).2＝2px－x 0＝m (y －y 0)，消去x 得12py 2－my ＋my 0－x 0＝0∴y 1y 2＝2p (my 0－x 0)又过A 、B 两点的抛物线的切线方程为y 1y ＝p (x ＋x 1)和y 2y ＝p (x ＋x 21y ＝p (x ＋x 1)2y ＝p (x ＋x 2)解得P ABQOxy图35x Q ＝x 1y 2－x 2y 1y 1－y 2＝－y 212p ·y 2－y 222p ·y 1y 1－y 2＝y 1y 22p ＝my 0－x 0①y Q ＝p ·x 1－x2y 1－y 2＝pm ·······································②由②得m ＝y Q p 代入①得x Q ＝y Qpy 0－x 0，∴点Q 在直线px －y 0y ＋px 0＝0上.【例14】如图36，对每个正整数n ，A n (x n ，y n )是抛物线x 2＝4y 上的点，过焦点F 的直线FA n 交抛物线于另一点B n (s n ，t n ).⑴试证：x n s n ＝－4（n ≥1）；⑵取x n ＝2n，并记C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点.试证：|FC 1|＋|FC 2|＋…＋|FC n |＝2n－2－n ＋1＋1.【说明】本题第⑴小题就是抛物线的焦点弦的性质y 1y 2=－p 2.第⑵小题两条切线的交点C n 就是上面抛物线的性质，即点C n 必在直线y ＝－1上.【例15】如图，设抛物线方程为x 2＝2py（p ＞0），M 为直线y ＝－2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .⑴求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；⑵⑶略.【证明】由题意设A (x 1，x 212p )，B (x 2，x 222p)，x 1＜x 2，M (x 0，－2p )A nA 2A 1B nB 1B 2F OC nxy图36yxBAO M －2p图37由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，y ＝xp所以，k MA ＝x 1p ，k MB ＝x 2p，因此直线MA 的方程为y ＋2p ＝x 1p (x －x 0)，直线MB 的方程为y ＋2p ＝x 2p (x －x 0)，所以，x 212p＋2p ＝x 1p (x 1－x 0)…………①，x 222p＋2p ＝x 2p (x 2－x 0)…………②，①－②得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2p ＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)p －x 0(x 1－x 2)p∴x 1＋x 22＝x 1＋x 2－x 0，即2x 0＝x 1＋x 2所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列.⑽过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|AB ||FM |＝2.【证明】设过焦点F (p2，0)的直线AB 的方程为x ＝my ＋p2（m ≠0），且A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，把x ＝my ＋p 2代入y 2＝2px ，得y 2＝2pmy ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1·y 2＝－p2∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋p ＝2pm 2＋p ，∴AB 的中点N 的坐标为(pm 2＋p2，pm )AB 的垂直平分线方程为y －pm ＝－m (x －pm 2－p2)令y ＝0，得M 的横坐标为x ＝pm 2＋3p2∴|FM |＝|x M －p 2|＝pm 2＋p ＝p (m 2＋1)，又|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p (m 2＋1).∴|AB ||FM |＝2p (m 2＋1)p (m 2＋1)＝2【证法二】设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，过A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为C 、D ，则C (－p2，y 1)、D (－p 2，y 2)，则CD 的中点E 的坐标为(－p 2，y 1＋y 22)，由证法一知y 1＋y 2＝2pm ，∴E (－p2，pm )，所以k EF ＝pm －p 2－p 2＝－m又k AB ＝1m ，所以k AB ·k EF ＝(－m )·1m ＝－1∴EF ⊥AB ，又MN ⊥AB ，所以EF ∥MN 又EN ∥x 轴，所以四边形EFMN 为平行四边形∴|FM |＝|EN |＝12(|AC |＋|B D |)＝12|AB |所以|AB ||FM |＝2⑾P 是过抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的一定点，过P 作与x 轴平行的直线m ，过OP 的直线为n ，直线l ⊥x 轴，l 与m 、n 分别相交于A 、B 两点，则AB 的中点M在点P 处的切线.【证明】设P (t 22p，t )，则m 的方程为y ＝t ，直线n （即OP ）的方程为y ＝2ptx ，设直线l 的方程为x ＝s （s ≠t 22p），那么A 的坐标为(s ，t )，B 的坐标为(s ，2pst )，AB 的中点M 的坐标为(t ，t ＋2pst 2)，即(t ，2ps ＋t 22t )又过点P (t 22p ，t )的抛物线的切线方程为yt ＝p (x ＋t 22p )∴y ＝p t (x ＋t 22p)当x ＝x M ＝s 时，y ＝p t (s ＋t 22p )＝ps t ＋t 2＝2ps ＋t 22t＝y M可见点M 在点P 处的切线n 上.⑿点P (a ，0)（a ≠0）是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的对称轴上的一点，过P 的直线l 与抛物线相交于两点A 、B ，A 关于x 轴的对称的点为A '，又点Q (－a ，0)，那么A '、B 、Q 三点共线.【证明】设直线l 的方程为x ＝my ＋a ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则A '(x1，－y 1)，联立方程组2＝2px＝my ＋a ，消去x 得y 22p－my －a ＝0，那么y 1y 2＝－2pa ，又QA '→＝(x 1＋a ，－y 1)，QB '→＝(x 2＋a ，y 2)，∵(x 1＋a )y 2＋(x 2＋a )y 1＝(y 212p ＋a )y 2＋(y 222p＋a )y 1＝y 21y 22p ＋y 22y 12p＋a (y 1＋y 2)＝y 1y 2(y 1＋y 2)2p ＋a (y 1＋y 2)＝(y 1＋y 2)(y 1y 22p ＋a )＝(y 1＋y 2)(－2pa2p ＋a )＝0∴QA '→∥QB '→∴Q 、A '、B 三点共线.【例16】给出一个抛物线，根据其性质，用尺规作图求出该抛物线的对称轴、顶点和焦点.图a图b【作法】1.任意作两条平行弦A 1B 1和A 2B 2；2.分别取A 1B 1和A 2B 2的中点M 、N ，过M 、N 作直线m ；3.作直线CD ⊥m ，交抛物线于C 、D ；4.取CD 的中点E ；5.过E 作直线l ∥m ，交抛物线于点O .则直线l 为抛物线的对称轴，O 为抛物线的顶点，如图a .6.过顶点O 作两条互相垂直的弦OP 、OQ ；7.设PQ 与对称轴l 相交于点G ；8.取OG 的靠近O 的四等分点F .则F 为抛物线的焦点.【说明】1.根据性质⑻，平行弦的中点共线，且与对称轴平行；2.垂直于对称轴的弦CD 的中点在对称轴上，故l 为抛物线的对称轴；3.根据性质⑵得PQ 过顶点(2p ，0)，故F 为抛物线的焦点.。

抛物线及其性质知识点大全

抛物线及其性质1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向右左上下标准方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦点位置 X 正X 负Y 正Y 负焦点坐标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶点坐标（0,0）离心率 1e =通径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||．弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。

抛物线经典性质总结30条

抛物线经典性质总结30条1.已知抛物线y=2px(p>0)，AB是抛物线的焦点弦，点C 是AB的中点。

AA’垂直准线于A’，BB’垂直准线于B’，CC’垂直准线于C’，CC’交抛物线于点M，准线交x轴于点K。

证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，即|AB|=2|CC’|。

2.证明：|BF|=x^2/(2p)。

3.证明：CC’=AB=(AA’+BB’)/2.4.证明：以AB为直径的圆与准线L相切。

5.证明：∠A’FB’=90°。

6.证明：AA’FK，∴∠A’FK=∠FA’A；|AF|=|AA’|，∴∠AA’F=∠AFA’；同理可证∠B’FK=∠XXX，得证。

7.证明：C’F= A’B’=C’A’=C’B’。

8.证明：AC’平分∠A’AF，BC’平分∠B’BF，A’F平分∠AFK，B’F平分∠XXX。

9.证明：C’F垂直AB，即C’F⋅AB=0.10.证明：AF=(y+y1)/2p(1-cosα)，BF=(y2-y)/(2p(1+cosα))。

11.证明：AF/BF=p/(1-cosα)。

12.证明：点A处的切线为y=y1+p(x+x1)。

1.证明y = 2px的两种方法：方法一：代入y = kx^2求解k，得到k = 2p，证毕。

方法二：对y = 2px两边求导得到2yy' = 2p，解出y' = p/x，证毕。

2.证明切线AC'和BC'交于焦点F：易证点A处的切线为y = px + py1，点B处的切线为y = px + py2，解得两切线的交点为C'(-p(y1-y2)。

(y1+y2)/2)，证毕。

3.对于抛物线y^2 = 2px，过准线上任一点P(-2p。

t)作切线，证明过两切点Q1、Q2的弦必过焦点，且PQ1⊥PQ2：设切点为Q(x。

y)，则有y' = p/x，代入y^2 = 2px得到x = y^2/(2p)，进而得到Q1、Q2的坐标。

抛物线经典性质总结30条

抛物线经典性质总结30条抛物线焦点弦性质总结30条基础回顾1.以AB为直径的圆与准线L相切;2.W上；43∙y∣∙^2 = -p2；4∙AAC1B = W；5.SFBy 90；6.I^I = X l+x2÷p = 2(x3 + ⅜= 2f2 Sln α7 _Li=I・PFI IBFI P，8.A、0、B三点共线；10.29.B、0、A三点共线；P2SbAoB = ---- ；2sinα10.3切线方程 y 0y m xx质深究）焦点弦与切线 1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论 1：交点在准线上先猜后证：当弦 AB x 轴时，则点 P 的坐标为2p ,0在准线上．证明 : 从略2.PP；AF1 cosBF 1 cos4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 1 2 PK AB = y3 tanCC' 1AB ( AA' BB')；11 12A'B' C'F y 2; p x 2-24 AF BF ;1 A'B' . 213. 性（P2）3（定值）； 3. BC '垂直平分 B 'F ；AC '垂直平分 A 'F ； C 'F AB；AB 2P ；S V2AOBAB结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论 3 弦AB不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．2、上述命题的逆命题是否成立？结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切，则过两切点AB的弦必过焦点．结论 5 过准线上任一点作抛物线的切线，过两切的弦最短时，即为通径．3、AB是抛物线y22px （p> 0）焦点弦，Q 是的中点，l 是抛物线的准线，AA 1ABBB1 l ，过A， B 的切线相交于P，与抛物线交于点M．则有结论6PA⊥ PB．结论7PF⊥ AB．结论8 M平分PQ．结论9 PA平分∠ A1AB，PB平分∠ B1BA．结论10FA FB 2 PF二）非焦点弦与切线思考：当弦 AB 不过焦点，切线交于 P 点时，也有与上述结论类似结果：相关考题1、已知抛物线 x 24y 的焦点为 F ，A ，B 是抛物线上的两动点，且 AF FB （ >0），过 A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M ，1）证明： FM AB 的值；（ 2）设 ABM 的面积为 S ，写出 S f 的表达式，并求 S 的最小值．2、已知抛物线 C 的方程为 x 24 y ，焦点为 F ，准结论 11 SPAB min结论 12结论 13 结论 14 结论 15 结论 16 xpy 1y2 ，2py py 1 y 22PA 平分∠ A 1AB ，同理 PB 平分∠ B 1BA ． PFA PFB 点 M 平分 PQ FA FB PF线为l ，直线m交抛物线于两点A，B；（1）过点A 的抛物线C的切线与y 轴交于点D，求证：AF DF ；（2）若直线m过焦点F，分别过点A，B 的两条切线相交于点M，求证：AM⊥BM，且点M在直线l 上．3、对每个正整数n，A n x n,y n 是抛物线x24y上的点，过焦点F的直线FA n交抛物线于另一点B n s n,t n ，（1）试证：x n s n 4（n≥1）（2）取x n 2n，并C n为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点，求证：FC1 FC2 FC n 2n2 n 11（n≥ 1）抛物线的一个优美性质几何图形常常给人们带来直观的美学形象，我们在研究几何图形时也会很自然地想得到有关这个几何图形的美妙的性质，作为几何中的圆锥曲线的研究，正是这方面的一个典型代表，作为高中数学中的必修内容，对于培养学生对于数学美的认识，起着相当重要的作用。

抛物线经典性质总结30条

抛物线性质30条已知抛物线22(0)y px p =>，AB 是抛物线的焦点弦，点C 是AB 的中点. AA’垂直准线于A ’， BB ’垂直准线于B ’， CC’垂直准线于C ’，CC ’交抛物线于点M ，准线交x 轴于点K. 求证：1.12||,||,22p pAF x BF x =+=+ 2.11()22CC AB AA BB '''==+；3.以AB 为直径的圆与准线L 相切；证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，||||||||||2||2AB AF BF AA BB CC r '''=+=+==4.90AC B '∠=；(由1可证)5.90A FB ''∠=；,,||||,,1,2AA FK A FK FA A AF AA AA F AFA A FK AFK '''∴∠=∠'''=∴∠=∠'∴∠=∠证明：同理：1,2B FK BFK '∠=∠得证. 6.1C F A B 2'''=.证明：由90A FB ''∠=得证.7.AC '垂直平分A F '；BC '垂直平分B F '；证明：由1C F A B 2'''=可知，1||||||,2C F A B C A '''''==||||,.AF AA '=∴又得证同理可证另一个.8.AC '平分A AF '∠，BC '平分B BF '∠,A’F 平分AFK ∠，B ’F 平分BFK ∠. 证明：由AC '垂直平分A F '可证. 9.C F 'AB ⊥；证明：122121(,)(,)2y y C F AB p x x y y +'⋅=-⋅--22222212211221()02222y y y y y y p x x --=-+=-+=10.1cos P AF α=-；1cos PBF α=+；证明：作AH 垂直x 轴于点H ，则||||||||||c o s ,||1c o s pA F A A K F F H p A F A F αα'==+=+∴=-.同理可证另一个. 11.112AF BF P+=; 证明：由1cos P AF α=-；1cos PBF α=+；得证.12. 点A 处的切线为11()y y p x x =+;证明：（方法一）设点A 处切线方程为11()y y k x x -=-，与22y px =联立，得21122()0,ky py p y kx -+-= 由2110220,x k y k p ∆=⇒-+=解这个关于k 的一元二次方程（它的差别式也恰为0）得：111,2y pk x y ==得证. 证法二：（求导）22y px =两边对x 求导得1122,,|,x x p p yy p y y y y ='''==∴=得证. 13.AC’是切线，切点为A ；B C’是切线，切点为B ；证明：易求得点A 处的切线为11()y y p x x =+，点B 处的切线为22()y y p x x =+，解得两切线的交点为12(,)22y y p C +'-,得证. 14. 过抛物线准线上任一点P 作抛物线的切线，则过两切点Q 1、Q 2的弦必过焦点;并且12.PQ PQ ⊥证明：设点(,)()2pP t t R -∈为准线上任一点，过点P 作抛物线的切线，切点为2(,)2y Q y p , 22y px =两边对x 求导得22222,,,20,22PQ p p y tyy p y K y ty p y y y pp -''==∴==∴--=+ 显然22440,t p ∆=+>切点有两个，设为2221211221212(,),(,),2,,22y y Q y Q y y y t y y p p p+==-则 1212122222221212222222FQ FQ y y py py k k y y y p y p pp p p ∴-=-=----- 1222121211221222220,py py p py y y y y y y y y y =-=-=++++ 所以Q 1Q 2过焦点. 22222222121212121212122(,)(,)()2222444y y y y y y p p p PQ PQ y t y t y y t y y t p p p+⋅=+-⋅+-=+++-++ 22222222222121212()2420,242424y y y y y y p p p t p t t t ++-+=-+-=-+-=-+-=12.PQ PQ ∴⊥15.A 、O 、B '三点共线；B 、O 、A '三点共线；证明：A 、O 、B '三点共线2211212112.222OA OB y p pk k x y y y y y y p p '⇐=⇐=-⇐=-⇐=-同理可证：B 、O 、A '三点共线.16.122y y p ⋅=-；1224p x x ⋅=证明：设AB 的方程为()2py k x =-，与22y px =联立，得2220,ky py kp --= 212122,,p y y y y p k∴+==- 224212122.2244y y p p x x p p p ∴=⋅== 17.1222sin pAB x x p α=++=证明：1212,2p pAB AFFB x x x x p =+=+++=++||2AB ===222.sin pα==得证.18.22sin AOB p S α∆=；证明：122AOB OFA OFB p S S S ∆∆∆=+=⋅=22sin p α===. 19.322AOB S p AB ∆⎛⎫= ⎪⎝⎭（定值）；证明：由22sin pAB α=、22sin AOB p S α∆=得证. 20．22sin ABC p S α'∆= 证明：11||||222ABC S AB PF '∆=⋅=⋅ 22221(1)sin p p k α==+=21.2AB p ≥；证明：由22sin pAB α=得证. 22.122AB pk y y =+；证明：由点差法得证.23.121222tan P P y y x x α==--; 证明：作AA 2垂直x 轴于点A 2,在2AA F ∆中，2121tan ,2AA y FA p x α==-同理可证另一个.24.2A B 4AF BF ''=⋅;证明：2212124||4()()22p p A B AF BF y y x x ''=⋅⇔-=++ 2222121212121212242224y y y y x x px px p y y x x p ⇔+-=+++⇔-=+，由122y y p ⋅=-，1224p x x ⋅=得证.25. 设CC ’交抛物线于点M ，则点M 是CC ’的中点；证明：12121212(,),(,),CC ,22224x x y y y yx x p p C C ++++-''-∴中点横坐标为把122y y y +=代入22y px =，得2221212121222222,2,.444y y y y px px p x x ppx px x +++-+-=∴==所以点M 的横坐标为12.4x x px +-=点M 是CC ’的中点.当弦AB 不过焦点时，设AB 交x 轴于点(,0)(0)D m m >,设分别以A 、B 为切点的切线相交于点P ，求证：26.点P 在直线x m =-上证明：设:,AB x ty m =+与22y px =联立，得21212220,2,2y pty pm y y pt y y pm --=∴+==-，又由221112121222:()(),,222:()PA y y p x x y y y yy y y y PB y y p x x =+⎧+-=-∴=⎨=+⎩，相减得代入11()y y p x x =+得，22112112,2,,22y y y y px y y px x m +=+∴=∴=-得证.27. 设PC 交抛物线于点M ，则点M 是PC 的中点；证明：121212122(,),(,),,2224x x y y y y x x mC P m PC ++++--∴中点横坐标为把122y y y +=代入22y px =，得221212121212222422,2,2,.444y y y y px px pm x x mpx y y pm px x +++-+-==-∴==所以点M 的横坐标为122.4x x mx +-=点M 是PC 的中点.28.设点A 、B 在准线上的射影分别是A 1，B 1，则PA 垂直平分A 1F ， PB 垂直平分B 1F ，从而PA 平分1A AF ∠，PB 平分1B BF ∠ 证明：1111110()1,,()22PA A F y y p p k k PA A F y p p y p-⋅=⋅=⋅-=-∴⊥-- 又1||||AF AA =，所以PA 垂直平分A 1F. 同理可证另一个. 证法二：1112221112,,0,22AF AP AA y py pk k k y y y p p p ====-- 111tan tan 11AP AA AF APAF AP AP AA k k k k FAP PAA k k k k --∴∠-∠=-+⋅+⋅ 12222231111111222221111111122111202()022()101py p p p py y p y y p y y py p p p p ppy p y y y y p y p p y y p y y y p -----+=-=-=-=-=-+++⋅+⋅- 11tan tan ,.FAP PAA FAP PAA ∴∠=∠∴∠=∠ 同理可证另一个29.PFA PFB ∠=∠证明：11111,,,PAA PAF PFA PA A PFB PB B PA A PB B ∆≅∆⇒∠=∠∠=∠∴∠=∠同理：只需证易证：111111||||||,,PA PF PB PA B PB A ==∴∠=∠11,PA A PB B ∴∠=∠30．2||||||FA FB PF ⋅=证明：22222212121212122||||()()(),2224444y y y y p p p p p AF BF x x x x x x p+⋅=++=+++=++ 1212(,),22y y y y P p +22222222121212122||,222444y y y y y y y y p p PF p p ++⎛⎫⎛⎫∴=-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得证.例1：（2007江苏高考第19题）如图，过C （0，c ）（c>0）作直线与抛物线y=x 2相交于A 、B 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线y+c=0交于P 、Q 。

(完整版)抛物线及其性质知识点大全(可编辑修改word版)

抛物线及其性质1. 抛物线定义:平而内到一楚点F 和一条左直线/的距离相等的点的轨迹称为抛物线. Z 抛物线四种标准方程的几何性质：开O 方向焦点位置AF BF AF^BF AF•BF p 3. 抛物线）Q=2pr （p>0）的几何性质：（i ）范圉：因为P>O,由方程可知x>0,所以抛物线在y 轴的右侧，当牙的值增大时，ly 丨也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸・图形0 J参数P 几何意几参数P 表示焦点到准线的距离，P 趙大，开口越阔.标准方程y- = 2 px( p > 0) y-=-2pj(/?>0) F = 2 py( p > 0) 疋=-2 py( p > 0)焦点坐标准线方程(S) 2 p2(/0)2 ~7Z~ 2(Oj) 2p 2y > 0, X € /?y < 0, A- € R对称轴顶点坐标 (0,0) 离心率通径焦半径4(x,, ji) AF = -x +"'2e= 12pAF = y + P '2AF=-y+" •I 2焦点弦长AB（小+七）+ "一("+ -V2 )+/?（比 + ）'2）+〃一（屮+屮）+"焦点弦长AB 的补丄I若AB 的倾斜角为,AS-^11 “汗芳AB 的倾斜用为,81 AB -21： COS'T P ・47以43为直径的圆必与准线/相切1 1 AF + BFAB 2__ =k = _____ = ____________ = _(2) 对称性：对称轴要看一次项，符号决;开口方向・(3) 顶点(0. 0),离心率：e = i.焦点F (上2),准线% = -£,焦准距P ，2 2⑷ 焦点弦：抛物线 y^ = 2px(p> 0)的焦点弦 AB , A(x ,>') > B(x ,y )，贝^llAB l=% + x + p • I I 22I 2弦长:AB|=X I +S ：TP ,当XFX ：时，通径最短为2pcP 4. 焦点弦的相矣性质：焦点弦AB , A(x,o'i)> 8(七』2)，焦点F(—,0)22⑴ 若AB 是抛物线丫2 = 2卩巩卩>0)的焦点弦(过焦点的弦)，且A(Xp Vi)r贝！h 罕、=?，4 yiV2=-p 。

抛物线性质和知识点总结

抛物线性质和知识点总结1. 抛物线的定义和基本形式抛物线是指平面上满足二次方程y=ax^2+bx+c（a≠0）的曲线。

其基本形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，称为抛物线的系数。

a决定抛物线的开口方向，当a>0时抛物线开口朝上，当a<0时抛物线开口朝下；b决定抛物线的位置，c决定抛物线与y轴的交点。

2. 抛物线的顶点和对称轴抛物线的顶点是抛物线的最低点（开口向上）或者最高点（开口向下），对于标准形式的抛物线y=ax^2+bx+c，它的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。

抛物线的对称轴是通过顶点并垂直于x轴的直线，对称轴方程为x=-b/2a。

3. 抛物线的焦点和直线方程抛物线的焦点是到抛物线上所有点的距离到抛物线的对称轴的距离相等的点，焦点的坐标为(-b/2a, 1-1/4a)。

抛物线的直线方程是y=mx+n，其中m和n是常数，直线与抛物线有两个交点。

当直线与抛物线相切时，两个交点重合。

当直线与抛物线没有交点时，这个抛物线不与这条直线相交。

4. 抛物线的焦距和离心率抛物线的焦距是抛物线的顶点到焦点的距离，焦距的大小是2|a|；抛物线的离心率是焦距与顶点到焦点的距离的比值，离心率的大小是1。

5. 抛物线的性质抛物线的性质是抛物线的特征，对于抛物线y=ax^2+bx+c，它的性质包括：a）抛物线的开口方向是由a的符号决定的，a>0时开口向上，a<0时开口向下；b）抛物线的顶点在对称轴上；c）焦点在对称轴上的顶点的上方，离心率等于1；d）与y轴的交点是常数项c；e）抛物线的焦点到直线方程的距离等于抛物线到直线方程的对称轴的距离。

6. 抛物线的知识点抛物线的知识点是在解决抛物线问题时需要掌握的知识，包括：a）抛物线的标准形式、一般形式、顶点形式和焦点形式的相互转化；b）抛物线的顶点、对称轴、焦点和直线方程的求法；c）抛物线与直线的交点和相切点的求法；d）抛物线的焦距和离心率的求法；e）抛物线的方程的实际应用问题。

超详细抛物线知识点归纳总结

引言概述：抛物线是高中数学中的重要内容，具有广泛的应用领域，包括物理、工程、经济等。

本文将对抛物线的相关知识进行归纳总结，从定义、性质、方程、焦点与准线、图形以及应用等多个方面进行详细的阐述。

正文内容：一、定义和性质1.抛物线的定义：抛物线是平面内一点到固定点和固定直线的距离之比等于常数的轨迹。

2.焦点与准线的关系：焦点是抛物线上所有点到准线的距离相等的点。

3.对称性：抛物线具有关于准线对称和关于纵轴对称的性质。

4.切线方程：抛物线上任意一点的切线方程为y=mx+c，其中m 是斜率，c是截距。

5.切线与法线的关系：切线与法线互为垂线且交于抛物线上的点。

二、方程和焦点、准线1.标准方程：抛物线的标准方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c 是常数，a≠0。

2.顶点坐标：抛物线的顶点坐标为(b/2a,f(b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。

3.焦点坐标：抛物线的焦点坐标为(h,f(h+1/4a))，其中h=b/2a。

4.准线方程：抛物线的准线方程为y=f(h+1/4a)1/(4a)。

三、图形展示和性质分析1.抛物线的开口方向：a的正负决定抛物线的开口方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下。

2.抛物线的焦点位置：焦点在抛物线的顶点上方，焦点的纵坐标为f(h+1/4a)+1/(4a)。

3.抛物线的对称轴：对称轴是通过抛物线的顶点和焦点的直线。

4.抛物线的顶点与焦点距离：顶点与焦点的距离等于抛物线的准线长。

四、应用领域1.物理学应用：抛物线可以描述自由落体运动、抛射运动等。

2.工程学应用：抛物线常用于建筑物的设计、桥梁的设计等。

3.经济学应用：抛物线可以用来表示成本、收入和利润的函数关系。

4.生物学应用：抛物线可用于描述某些生物体运动的轨迹。

5.计算机图像处理应用：抛物线可以用于图像处理算法中的平滑处理。

五、总结本文对抛物线的定义、性质、方程、焦点与准线、图形以及应用进行了详细的阐述。

抛物线及其性质知识点大全推荐文档

抛物线及其性质知识点大全推荐文档1. 抛物线的定义：抛物线是一个平面曲线，其定义式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于0。

2.抛物线的图像：抛物线的图像呈现出对称性，它的开口方向由抛物线的系数a的正负决定。

当a大于0时，抛物线向上开口；当a小于0时，抛物线向下开口。

3.抛物线的顶点：抛物线的顶点为曲线上的最低点（向上开口）或最高点（向下开口）。

顶点的横坐标为x=-b/(2a)，纵坐标为y=f(-b/(2a))，其中f(x)为抛物线的函数。

4. 抛物线的焦点：抛物线的焦点是曲线上与直线y = mx + n相交的点的轨迹，其中m、n为常数。

焦点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为y = c - (b^2 - 1)/(4a)。

5.抛物线的对称轴：抛物线的对称轴是通过顶点和焦点的垂直平分线。

对称轴的方程为x=-b/(2a)。

6. 抛物线的判别式：抛物线的判别式为Δ = b^2 - 4ac，其中Δ的值决定了抛物线的性质。

若Δ大于0，则抛物线与x轴有两个交点，即开口向上或向下的抛物线。

若Δ等于0，则抛物线与x轴有一个交点，即开口向上或向下的抛物线。

若Δ小于0，则抛物线与x轴没有交点，即开口向上或向下的抛物线。

7.抛物线的焦距：焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到对称轴的距离，即焦距等于对称轴到顶点的距离。

8.抛物线的切线：抛物线上任意一点处的切线与该点的切线斜率相等，切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)，其中f'(x)为抛物线函数的导数。

9.抛物线的性质：抛物线是一条连续曲线，它具有对称性、单调性（a的符号决定）、可导性（除去顶点的地方都可导）、增减性（导数的符号决定）、可微性（除去顶点的地方都可微）、凸凹性（a的符号决定）等性质。

10.抛物线的应用：抛物线在物理学中常用于描述自由落体、抛体运动等；在工程学中常用于设计桥梁、铁轨等；在经济学中常用于描述成本、收益等。

抛物线知识点总结

抛物线知识点总结一、抛物线的定义抛物线是一种特殊的二次曲线，它的数学定义是平面上一点到定点和直线的距离相等，这个定点就是抛物线的焦点，直线就是抛物线的准线。

在直角坐标系中，抛物线的标准方程为：y=ax2+bx+c，其中a≠0。

二、抛物线的性质1. 焦点和准线：抛物线的焦点和准线是抛物线的两个重要属性。

焦点是定点，准线是直线，它们共同决定了抛物线的形状和特性。

2. 对称性：抛物线是关于x轴对称的。

3. 切线和法线：抛物线上的任意一点，它的切线和法线都是经过这个点，且与x轴垂直。

4. 定理一：抛物线的焦点到准线的距离等于焦点到抛物线上任意一点的距离。

5. 定理二：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

6. 焦距：抛物线上所有点到焦点的距离的最小值称为抛物线的焦距。

7. 平行于准线的矩形，被含在抛物线内部并且对称。

8. 定理三：抛物线的离心率等于1。

三、抛物线的方程1. 标准方程：y=ax2+bx+c，其中a≠0。

2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（-b/2a, c-b2/4a）。

3. 焦点坐标：抛物线的焦点坐标为（-b/2a, c-b2/4a+1/4a）。

4. 焦距：抛物线的焦距为1/|4a|。

四、抛物线的应用抛物线作为一种重要的数学曲线，在各种应用中都有着广泛的应用，如物理、工程、建筑等领域。

1. 物理：在物理学中，抛物线曲线被广泛应用于描述抛体运动的轨迹。

比如，抛体在空中的飞行轨迹、抛物线发射器等都涉及到抛物线的运动规律。

2. 工程：在建筑工程和土木工程中，抛物线曲线常常被用于设计拱形结构或者桥梁的曲线轨迹。

抛物线的弧形轨迹具有良好的支撑性能和稳定性，因此在工程设计中得到了广泛应用。

3. 航天航空：在航天航空技术中，抛物线曲线也被用于设计火箭轨迹和飞行器的运动路径。

比如，抛物线曲线可以描述卫星的发射和轨道运行规律。

4. 光学：在光学中，抛物线曲线也被应用于设计反射镜和折射镜的形状。

抛物线反射镜可以将平行光线汇聚到一个焦点上，因此在光学仪器和望远镜中得到了广泛应用。

抛物线方程知识点总结

抛物线方程知识点总结1.抛物线的定义和性质：抛物线可以由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定。

抛物线上的点到焦点和准线的距离相等。

抛物线对称于准线，焦点位于抛物线的对称轴上。

2.抛物线的标准方程：抛物线的标准方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数。

这个方程表示了抛物线的形状和位置。

a 决定了抛物线的开口方向和形状，b 决定了对称轴的位置，c 决定了抛物线的纵轴截距。

3.抛物线的顶点和焦点：抛物线的顶点是抛物线的最高（或最低）点，它位于抛物线的对称轴上。

顶点的坐标可以通过将抛物线方程转换成顶点形式来简化计算。

焦点是抛物线的焦点，它位于抛物线的对称轴上，并且与顶点的距离称为焦距。

4.抛物线的焦距和准线：抛物线的焦距是焦点到抛物线的最高（或最低）点的距离，它等于抛物线参数a的倒数的绝对值。

准线是抛物线上的一条直线，与对称轴平行且与焦点和顶点的距离相等。

准线的公式可以通过将焦点的坐标与焦距相加或相减得到。

5.抛物线的对称性：抛物线是关于对称轴对称的。

这意味着如果(x,y)是抛物线上的一个点，那么对称轴上的点(-x,y)也是抛物线上的一个点。

6.抛物线的与坐标轴的交点：抛物线与x轴的交点称为横轴截距，可以通过令y=0解方程得到。

抛物线与y轴的交点称为纵轴截距，它等于常数项c。

7.抛物线的方程转化和变形：8.二次函数和抛物线的关系：以上是抛物线方程的关键知识点总结。

掌握了这些知识，我们就能够理解和计算抛物线上的点的坐标，进一步应用到实际问题中。

抛物线知识点归纳总结

抛物线知识点归纳总结一、抛物线的定义抛物线是平面上的一个几何图形，它的形状像一个弯曲的弧线，其数学定义为：所有到定点的距离等于到直线的距离的点构成的集合。

这个定点称为焦点，直线称为准线，通常用符号来表示抛物线，可以用二次方程来表示：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，a≠0。

二、抛物线的性质1. 焦点和准线：抛物线的焦点位于开口向上或者向下的一端，准线则位于抛物线的中轴线上。

焦点和准线的位置可以通过二次方程的系数a、b、c来确定。

2. 对称性：抛物线具有轴对称性，即抛物线的焦点和准线关于中轴线对称。

3. 焦点的坐标：抛物线的焦点的坐标可以通过二次方程的系数a、b、c来计算得出。

4. 定点的坐标：抛物线上最低点或者最高点称为定点，定点的坐标可以通过二次方程的顶点公式来计算得出。

5. 法线和切线：抛物线的切线是与抛物线相切的直线，而法线是与切线垂直的直线，它们具有一些特殊的性质和公式。

6. 焦距和焦半径：焦距是焦点到准线的距离，焦半径是焦点到抛物线顶点的距离，它们与抛物线的方程之间存在一些重要的关系。

7. 焦直和准直：焦直是焦点在准线上的投影轴，准直是准线在焦点上的投影轴，它们的位置和形状也与抛物线的方程有关。

8. 定义域和值域：抛物线的定义域和值域是指抛物线上的点的集合，它们与抛物线的方程形式、系数和图像的形态有关。

9. 开口方向：抛物线的开口方向是指向上或者向下，它与抛物线的二次方程的系数a的正负有关。

10. 直线与抛物线的位置关系：抛物线与直线的位置关系有相交、切线和相离三种情况，这与抛物线的方程和直线的方程有关。

三、抛物线的应用抛物线在日常生活和工程技术中有着广泛的应用，如抛物面反射天线、汽车大灯光束设计等。

同时，它也在物理学、天文学、工程学等领域有着重要的作用。

1. 抛物线的运动学应用：抛物线是物体在一个力场中运动的轨迹，它在各种自然和人造的运动中都有着广泛的应用，如抛物线轨道的运动、人造卫星的轨迹等。

抛物线性质总结

抛物线性质总结一、抛物线的定义和基本性质抛物线，是数学中一种经典的曲线。

它具有许多令人着迷的性质，在几何学和物理学等领域都有广泛的应用。

本文将总结抛物线的一些基本性质。

抛物线可由以下二次方程表示：y = ax² + bx + c。

其中a、b、c为实数，且a不等于0。

根据该方程，我们可以得出以下基本性质。

1. 对称性：抛物线是关于y轴对称的。

也就是说，对于任意点(x, y)在抛物线上，横坐标为-x的点(-x, y)同样也在抛物线上。

2. 顶点和焦点：抛物线的图像上存在一个顶点，其横坐标为-x₁ = -b / (2a)，纵坐标为y₁ =c - b² / (4a)。

顶点是抛物线的最低点（对于a>0）或最高点（对于a<0）。

此外，抛物线还有一个重要的性质，就是焦点。

焦点是一个点，它到抛物线上任意一点的距离与该点到抛物线的直线称为“准线”的距离相等。

焦点的横坐标为-x₂ = -b / (2a)，纵坐标为y₂ = c - (b² - 1) /(4a)。

3. 对称轴：抛物线的对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线。

对称轴的方程为x = -b / (2a)。

对于对称轴上任意一点(x, y)，其与顶点的距离等于该点到抛物线的任意一点的距离。

二、抛物线的拓展性质除了上述基本性质外，抛物线还有一些拓展性质，值得进一步探讨。

1. 切线与法线：沿着抛物线上的任意一点(x₀, y₀)绘制一条直线，使其与抛物线相切。

这条直线称为该点的切线。

切线的斜率等于抛物线在该点的导数。

类似地，通过抛物线上一点(x₀, y₀)作一个垂直于切线的直线，该直线称为该点的法线。

法线的斜率等于切线的负倒数。

2. 点到抛物线的距离：给定一个点(x, y)和一个抛物线，我们可以求出该点到抛物线的最短距离。

这个最短距离等于点到抛物线的准线的距离。

要计算点(x, y)到抛物线的最短距离，我们可以使用以下公式：d = |y - (ax² + bx + c)| / √(a² + 1)。

抛物线常用性质总结

抛物线常用性质总结抛物线是二次方程的图像，其常见形式为y = ax^2 + bx + c，其中a，b，c是实数常数且a不等于零。

抛物线有许多重要的性质和特点，以下是一些常用的总结和解释。

1. 对称性：抛物线具有轴对称性。

如果抛物线的方程是y = ax^2 + bx + c，轴对称线的方程将是x = -b/2a。

这意味着抛物线关于垂直于x 轴、通过x = -b/2a的直线对称。

2.最高点或最低点：如果a大于零，则抛物线开口向上，且没有最大值。

如果a小于零，则抛物线开口向下，且没有最小值。

抛物线的顶点或底点即为其最高或最低点。

3. 判别式：抛物线的判别式可以帮助我们确定它的性质。

判别式D = b^2 - 4ac表示了二次方程的解的性质。

如果D大于零，则抛物线与x 轴有两个交点，说明它有两个实根。

如果D等于零，则抛物线与x轴有一个交点，说明它有一个实根。

如果D小于零，则抛物线与x轴没有交点，说明它没有实根。

4.对于抛物线的每一个点(x,y)，其关于轴对称线的对称点为(2p-x,y)，其中p为抛物线上任意一点的横坐标。

这一性质可以用来确定抛物线上其他点的坐标。

5.零点：抛物线与x轴的交点称为零点或根。

零点可以通过解二次方程来求得。

如果判别式D大于零，那么二次方程有两个不同的实根；如果判别式D等于零，那么二次方程有一个实根；如果判别式D小于零，那么二次方程没有实根。

6.方向：抛物线的方向由二次项的系数a决定。

如果a大于零，抛物线开口向上；如果a小于零，抛物线开口向下。

7.垂直于x轴的焦点与准线：焦点与准线是抛物线的另外两个重要点。

焦点的坐标为(p,q+1/4a)，其中p=-b/2a为抛物线的对称轴上任意一点的横坐标，q=c-b^2/4a为抛物线的对称轴上任意一点的纵坐标。

准线的方程为y=c-1/4a。

8.对称性性质的应用：由于抛物线的对称性，我们可以通过求解对称点的坐标来简化计算。

例如，如果我们已经求得抛物线上一个点(x,y)的坐标，那么我们也可以直接求解它关于对称轴的对称点(2p-x,y)。

最全抛物线曲线性质总结

最全抛物线曲线性质总结抛物线是一种常见的二次曲线，具有很多特性和性质。

本文将总结抛物线的最全性质。

1. 定义抛物线是平面上所有到定点的距离与到定直线的距离相等的点所组成的曲线。

2. 方程抛物线的一般方程为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

3. 性质以下是抛物线的一些重要性质：对称性- 抛物线关于纵轴对称；- 如果a为正数，则抛物线开口朝上；如果a为负数，则抛物线开口朝下。

零点- 抛物线与x轴交点称为抛物线的零点；- 若抛物线有1个零点，则其为切线，即抛物线与x轴相切；- 若抛物线有2个零点，则其开口朝上；- 若抛物线无零点，则其不与x轴相交。

顶点- 抛物线的顶点即为最高点或最低点；- 顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)为抛物线在顶点横坐标处对应的纵坐标。

平行于坐标轴- 若b等于0，则抛物线与y轴平行；- 若a等于0，则抛物线与x轴平行。

开口方向- 由抛物线的系数a来决定；- 若a大于0，则抛物线开口朝上；- 若a小于0，则抛物线开口朝下。

最值- 若a大于0，则抛物线的最小值为顶点的纵坐标；- 若a小于0，则抛物线的最大值为顶点的纵坐标。

弧长- 抛物线弧长可由积分求解，公式为：L = ∫(1 + (dy/dx)^2)^(1/2) dx，其中dy/dx为抛物线方程的导数。

以上是抛物线的一些常见性质和特点。

对于理解和应用抛物线非常有帮助。

希望本文对您有所启发和帮助。

抛物线常用性质总结

抛物线常用性质总结抛物线是数学中的一种曲线形状，其方程一般为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。

抛物线在几何学、物理学、工程学等领域中都具有广泛的应用。

下面将总结抛物线的一些常用性质。

1.抛物线的形状：抛物线是一种开口向上或向下的曲线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2.对称性：抛物线与y轴对称，其顶点坐标为（-b/2a,c-b^2/4a)。

抛物线也可以与x轴对称，其对称轴与x轴垂直，并通过顶点。

3.焦点和准线：抛物线的焦点F的坐标为（-b/2a,c-b^2/4a+1/4a)，准线的方程为y=(c-b^2/4a)-1/4a。

4.抛物线的平移：抛物线的平移是通过调整方程中的常数b和c来实现的。

平移后的抛物线与原抛物线具有相同的形状，但位置有所变化。

5. 零点：抛物线的零点即为方程的解，可以通过求解ax^2+bx+c=0来得到。

根据一元二次方程的解的性质，当b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b^2-4ac<0时，抛物线与x轴无交点。

6.最值：抛物线的最值即为顶点的纵坐标。

当a>0时，抛物线的最小值为c-b^2/4a；当a<0时，抛物线的最大值为c-b^2/4a。

7.切线和法线：在抛物线上的任意一点，其切线的斜率为抛物线在该点的导数值。

切线与抛物线的切点的坐标可以通过求解方程组来得到。

在抛物线上的任意一点，其法线与切线垂直。

8.弧长：抛物线的弧长表示为y=x^2的积分。

计算抛物线上两点间的弧长可以通过积分计算得到。

9.面积：抛物线与y轴之间的面积可以通过求解抛物线和y轴之间的定积分来计算得到。

抛物线的其中一段与x轴之间的面积可以通过求解抛物线和x轴之间的定积分来计算得到。

10.抛物线的应用：抛物线在现实生活中有很多应用。

例如，在物理学中，抛物线可以描述物体的弹道；在工程学中，抛物线可以描述桥梁、拱门等结构的外形；在经济学中，抛物线可以描述成本、产量等指标的关系。

初三抛物线知识点归纳总结图

初三抛物线知识点归纳总结图抛物线是数学中的重要概念之一，广泛应用于物理、工程等领域。

初中阶段学习抛物线的相关知识，不仅能培养学生的数学思维能力，还能丰富他们的应用能力。

为了帮助初三学生更好地掌握抛物线的知识点，下面将对抛物线的基本性质、标准方程、顶点、焦点以及抛物线在现实生活中的应用进行归纳总结。

一、抛物线的基本性质1. 定义：抛物线是平面上一点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数的轨迹。

这个常数称为离心率，用e表示。

2. 对称性：抛物线关于该抛物线的对称轴对称。

3. 最小值/最大值：抛物线的抛物线口（开口朝上）或拋物线顶（开口朝下）为函数的最小值或最大值。

4. 零点：抛物线与x轴相交的点称为抛物线的零点。

二、抛物线的标准方程1. 零点法：已知抛物线的顶点(h, k)和抛物线上一点(x, y)，可以通过零点法得到抛物线的标准方程为y=a(x-h)²+k。

2. 顶点法：已知抛物线的顶点(h, k)和抛物线经过一点(x, y)，可以通过顶点法得到抛物线的标准方程为y=a(x-h)²+k。

3. 描述法：已知抛物线过顶点(h, k)和另一焦点的坐标(F, k)，可以通过描述法得到抛物线的标准方程为(x-h)²=4a(y-k)。

三、顶点1. 定义：抛物线的顶点是抛物线上距离对称轴最近的点。

对于抛物线y=a(x-h)²+k，顶点为(h, k)。

2. 求解：已知抛物线的标准方程，可以通过求解方程y=a(x-h)²+k=0，求得抛物线的顶点坐标。

四、焦点1. 定义：焦点是到抛物线上所有点距离定直线的距离相等的点。

焦点距离顶点的距离为|4a|。

2. 求解：已知抛物线的标准方程，可以通过计算抛物线的离心率来确定焦点坐标，离心率公式为e=1/|4a|。

五、抛物线的应用1. 物理学：抛物线在物理学中经常用于描述自由落体运动、抛体运动等。

2. 工程学：在工程学中，抛物线被广泛应用于拱桥、天桥、砲台等建筑结构的设计与计算。

最全抛物线曲线知识点总结

最全抛物线曲线知识点总结抛物线是高中数学中经常讨论的曲线之一，具有很多重要的性质和应用。

本文将总结抛物线曲线的相关知识点，帮助读者更好地理解和应用抛物线。

1. 抛物线的定义抛物线是由平面上到定点（焦点）和一条直线（准线）的距离相等的点构成的曲线。

它的数学表达式通常为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

2. 抛物线的性质- 抛物线的对称轴：对称轴是准线的垂直平分线，方程为：x = -b/(2a)。

- 抛物线的焦点：焦点是到定点最短距离的点，焦点的横坐标为：x = -b/(2a)，纵坐标为：y = c - (b^2 - 1)/(4a)。

- 抛物线的顶点：顶点是抛物线的最高（或最低）点，顶点的横坐标为：x = -b/(2a)，纵坐标为：y = c - (b^2 - 1)/(4a)。

- 抛物线的开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 抛物线的单调性：当a > 0时，抛物线在对称轴的左侧单调递增，在对称轴的右侧单调递减；当a < 0时，抛物线在对称轴的左侧单调递减，在对称轴的右侧单调递增。

3. 抛物线的应用抛物线在现实生活中有很多应用，例如：- 物体的自由落体运动：自由落体的运动轨迹是一个抛物线。

- 抛射运动：抛掷物体的运动轨迹也是一个抛物线。

- 抛物面反射：光线在抛物面上反射的规律。

4. 抛物线的变形抛物线有一些常见的变形形式，例如：- 平移：在原抛物线的基础上沿 x 轴或 y 轴方向进行平移。

- 缩放：改变抛物线的 a、b、c 的值，实现抛物线的扁平化或拉长。

以上是抛物线曲线的一些基本知识点总结，希望本文能够帮助读者更好地理解和应用抛物线。

如需深入研究，建议参考相关的数学教材和参考资料。

参考文献：。

抛物线性质总结

抛物线性质总结
抛物线是广泛应用在数学中的一条函数曲线，其涉及到诸多的基本性质，常用的有抛物线的根性，关系式，定积分，交点，端点，极值等等。

抛物线的根性：抛物线的轴对称，一般方程通常有两个不同的根，或是称之为把抛物线绳子或扳手弯曲两次；
抛物线的关系式：当方程是幂函数抛物线式时，可以表示成y=ax²+bx+c，a>0，其中a是抛物线下凹，b和c是顶点x和y的坐标，b和c也是抛物线的转折点；
抛物线的定积分：抛物线的定积分可以表示成f(x)=ɑx+1/2∫g(u) du,其中g(u)为定义域内的函数。

抛物线的定积分就是做抛物线上每两个任意点间的积分；
抛物线的交点：抛物线与其他函数交点，只要求解其他函数与抛物线方程的解、公共解得到；
抛物线的端点：抛物线的端点可以通过关系式求出，为左端点x=-b/2a,y=f(-b/2a)，右端点x=b/2a,y=f(b/2a)。

抛物线的极值：抛物线的极值可以通过求解关系式x=-b/2a，得出结论，抛物线的极值为y=f(-b/2a)。

以上就是抛物线的总体性质，由此可见抛物线在数学和几何中起着重要作用，由此也可以解决许多学术问题，正如此抛物线总结中所述，受到学术界的广泛认可。