球的内接与外接课件
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8.3.2球的内接与外切类型总结课件(人教版)
和该长方体的5个面相切。
例如，装乒乓球的盒子
如果一个长方体有内切球，那么它一定是 正方体
类型二：长方体方体
长方体的外接球
=
+ +
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则a 2 b 2 c 2 (2 R) 2。
反馈练习
3、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且
4 3
球的体积公式 ：V R
3
2
●
R
球的截面问题
例1、一个距离球心为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表
8π
面积为_______。
解：作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得OO′=1，设截
面圆的半径为r，球的半径为R，
因为截面圆的面积为π，所以可得πr2=π，解得r=1
又由R2=OO′2+r2=2，所以 R 2
同一个球面上，且CA CB CC1 a,
ACB 60，求该球的表面积。
O1
O
O2
结论2.直棱柱（圆柱）外接球半径
球心是上、下底面外接圆
圆心所连线段的中点；
o1 r
R
o
h 2
R r ( )
2
2
●
o2
2
（r为底面外接圆半径，h为体高）
1、已知一长方体的一个顶点处的三条棱长分别是 3， 3， 6
的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，所以球的半径为 1，
4
4π
其体积是 ×π×13＝ .
3
3
5.圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为
100π
例如，装乒乓球的盒子
如果一个长方体有内切球，那么它一定是 正方体
类型二：长方体方体
长方体的外接球
=
+ +
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则a 2 b 2 c 2 (2 R) 2。
反馈练习
3、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且
4 3
球的体积公式 ：V R
3
2
●
R
球的截面问题
例1、一个距离球心为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表
8π
面积为_______。
解：作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得OO′=1，设截
面圆的半径为r，球的半径为R，
因为截面圆的面积为π，所以可得πr2=π，解得r=1
又由R2=OO′2+r2=2，所以 R 2
同一个球面上，且CA CB CC1 a,
ACB 60，求该球的表面积。
O1
O
O2
结论2.直棱柱（圆柱）外接球半径
球心是上、下底面外接圆
圆心所连线段的中点；
o1 r
R
o
h 2
R r ( )
2
2
●
o2
2
（r为底面外接圆半径，h为体高）
1、已知一长方体的一个顶点处的三条棱长分别是 3， 3， 6
的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，所以球的半径为 1，
4
4π
其体积是 ×π×13＝ .
3
3
5.圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为
100π
正方体内切球、外接球、棱切球、图例演示ppt课件
2
S 4R2 3a 2
D A
D A11
D A
D A11
C B O
C1
B1
C B O
C1
B1
正方体的外接球
正方体的外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
A1
C
O
C1
正方体的外接球直径是体对角线
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球
球的表面积和体积
D1
A1
d
D
S
A
a
C1
c B1
C
b
B
d2 a2 b2 c2
球的体积
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。 球(即球体):球面所围成的几何体。
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积：V 4R3
3
2、球的表面积
S 4πR2
练习一：
(1)球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原 来的——8 倍.
O的表面积。
略解：RtB1 D1ຫໍສະໝຸດ D中 :(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得 R 3a
2
S 4R2 3a 2
D A
D A11
D A
C B
O C1
B1
C B
D A11
O C1
B1
正方体的棱切球
正方体的棱切球直径是面对角线长
(2)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变
2
为原来的——倍。
(3)若球半径变为原来的2倍，则表面积变
4
为原来的——倍。
(4)若两球表面积之比为1:2，则其体积之
S 4R2 3a 2
D A
D A11
D A
D A11
C B O
C1
B1
C B O
C1
B1
正方体的外接球
正方体的外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
A1
C
O
C1
正方体的外接球直径是体对角线
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球
球的表面积和体积
D1
A1
d
D
S
A
a
C1
c B1
C
b
B
d2 a2 b2 c2
球的体积
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。 球(即球体):球面所围成的几何体。
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积：V 4R3
3
2、球的表面积
S 4πR2
练习一：
(1)球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原 来的——8 倍.
O的表面积。
略解：RtB1 D1ຫໍສະໝຸດ D中 :(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得 R 3a
2
S 4R2 3a 2
D A
D A11
D A
C B
O C1
B1
C B
D A11
O C1
B1
正方体的棱切球
正方体的棱切球直径是面对角线长
(2)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变
2
为原来的——倍。
(3)若球半径变为原来的2倍，则表面积变
4
为原来的——倍。
(4)若两球表面积之比为1:2，则其体积之
3.8 圆内接正多边形 课件 (29张PPT) 2023-2024学年北师大版数学九年级下册
归纳
圆内接正多边形的辅助线
F
E
A
O·
D
rR
BMC
1.连半径，得中心角； 2.作边心距，构造直角三角形.
半径R
O 中心角一半 边心距r
C
M
边长一半
例2 如图2,正六边形的边长为2,分别以正六边形的六条边为直径向外
作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和(阴影部分
面积)是( A ) A.6 3-π
.O
分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为 60º ，所以正六边形的边长 与圆的半径 相等 .因此， 在半径为r的圆上依次截取等于 r 的弦， 即可将圆六等分.
作法：(1)作⊙O的任意一条直径FC；
(2)分别以F，C 为圆心，以 r 为半径作弧，与⊙O 交于点E，A和D，B；
(3)依次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，便得到正六边形ABCDEF
2
2
F
E
A
O
D
4m
r
B PC
5.（2023武汉）如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，
即为所求.
E
D
F
.O C
A
B
针对训练
1.下列说法中，不正确的是( D ) A．正多边形一定有一个外接圆和一个内切圆 B．各边相等且各角相等的多边形是正多边形 C．正多边形的内切圆和外接圆是同心圆 D．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
二 圆内接正多边形的有关计算
正n边形的一个内角的度数是多少？ 中心角呢？正多边形的中心角与外角 的大小有什么关系？
A. 2
B. 4
C. 2 2
D. 4 2
A
D
O
内接法与外接法ppt课件
比较 RV
R
与
R RA
哪个更大
RV R R RA
外接法
RV R R RA
内接法
2、若不知道被测电阻的大概阻值：
试触法：
C V
R AA B
将电压表的C端分别快速的与电路中的A点B点 接触一下，观察两个表示数的变化。
6
选择的方法
2、若不知道被测电阻的大概阻值：
试触法：
C V
R AA B
若电压表变化更明显： 内接时，电流表的分压影响较大； 应选择外接法 若电流表变化更明显： 外接时，电压表的分流影响较大； 应选择内接法
7
内接法与外接法
V R
A
V R
A
误差来源： 电流表分压
误差结果： R测 R真 RA 偏大
如何选择：
若：R>>RA
RV R R RA
RA已知
选择内接法
电压表分流
R测
R真 RV R真 RV
偏小
若：RV>>R
RV R R RA
选择外接法
8
如图所示，保持电路两端电压 a R1 Ｕ不变，已知Ｒ1=2kΩ，R2= 3kΩ，电压表内阻为6kΩ，示 数为6V，若把它接在ab之间， 示数为多少？
由于电压表分流， 使得电流测量值偏大， 电阻测量值偏小；
内接法
外接法
如何选择接法呢？
3
两种接法的分析
内接法 V
R
A RA
R测
U I
UR UA I
R真 RA
R测是R与RA串联总电阻
当R真 RA时： R测 R真
外接法 V
R A
R测
U I
U IR IV
球专题几何体的外接球与内切球问题(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
温故知新
请同学回顾球的表面积与体积公式
(1)设球的半径为 R,则球的表面积 S=4πR 2 .
(2)设球的半径为 R,则球的体积 V= πR 3 .
例题解析
1
球的截面问题
用一个平面去截球，截面一定是圆面.
截面过球心，圆为球的大圆(如地球仪上
的赤道圈)；截面不过球心，圆为球的小
圆
例题解析
所以球的表面积
为2，求球的表面积.
解：如图所示，作出轴截面，因为ΔABC为正三角形，
练习巩固
练习巩固
练习3:已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面
得到圆M.若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于
解析:由题意得圆 M 的半径 r=
由勾股定理得 R2=r2+
答案:16π
,解得
,又球心到圆
1
球的截面问题
练习巩固
1
球的截面问题
练习： 过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离是球
半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球的表面积是多少？
课堂探究
2
球与几何体外接、内切问题
解决与球有关的外接、内切问题的关键
1、确定球心位置
重
要！
2、构造直角三角形，确定球的半径
球与多面体
1、多面体外接球：多面体顶点均在球面上；球心到各顶点距离为R
2、多面体内切球：多面体各面均与球面相切；球心到各面距离为R
球与旋转体
旋转体的外接球与内切球：球心都在旋转轴上
球与旋转体
①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；
②正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.
例题解析
2
请同学回顾球的表面积与体积公式
(1)设球的半径为 R,则球的表面积 S=4πR 2 .
(2)设球的半径为 R,则球的体积 V= πR 3 .
例题解析
1
球的截面问题
用一个平面去截球，截面一定是圆面.
截面过球心，圆为球的大圆(如地球仪上
的赤道圈)；截面不过球心，圆为球的小
圆
例题解析
所以球的表面积
为2，求球的表面积.
解：如图所示，作出轴截面，因为ΔABC为正三角形，
练习巩固
练习巩固
练习3:已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面
得到圆M.若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于
解析:由题意得圆 M 的半径 r=
由勾股定理得 R2=r2+
答案:16π
,解得
,又球心到圆
1
球的截面问题
练习巩固
1
球的截面问题
练习： 过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离是球
半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球的表面积是多少？
课堂探究
2
球与几何体外接、内切问题
解决与球有关的外接、内切问题的关键
1、确定球心位置
重
要！
2、构造直角三角形，确定球的半径
球与多面体
1、多面体外接球：多面体顶点均在球面上；球心到各顶点距离为R
2、多面体内切球：多面体各面均与球面相切；球心到各面距离为R
球与旋转体
旋转体的外接球与内切球：球心都在旋转轴上
球与旋转体
①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；
②正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.
例题解析
2
《圆内接正多边形》圆PPT教学课件
【检查评价】
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
布置作业： 1、教科书习题3.10第1题，第2题，第3题．（必做题） 2、教科书习题3.10第4题，第5题．（选做题）
谢谢观看！
第三章 圆
3.8 圆内接正多边形
学习目标
1.掌握正多边形和圆的关系； 2.理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；(重点) 3.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题； （难点） 4.会运用多边形知和圆的有关知识画多边形.
若n为偶数，则其为中心对称图形.
A
B O
A
E
B
F
O
C
D
C
E
D
知识讲解
【归纳】正多边形的性质
1.各边相等，各角相等. 2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份. 3.圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成n等份. 4.每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个圆是同心圆，圆心就是正 多边形的中心.
追问1：除了上述方法作圆的内接正六边形外，你还有其他方法吗？
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【讲授新知】
追问2：你会用用圆规和直尺来作一个已知圆的内接正方形吗？你是怎么做的？ 与同伴交流．
【| 下册
学生练习1：课本98页随堂练习． 学生练习2：用等分圆周的方法画出下列图案．
__各__边__相__等___，___各__角__也__相__等__的多边形叫做正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边
形.
合作探究
怎样找圆的内接正三角形？
怎样找圆的外切正三角形？
H
A
D
E
0
B
C
【课件】球与多面体的内切、外接课件2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
o2
o
5πa2
●
R
r o1
课堂练习
2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球
32π
的体积为
，那么这个正三棱柱的体积是(
3
A．96 3
C．24 3
)
B．16 3
√D．48
3
1 3
3
设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径 R＝ × a＝ a，
3 2
6
3
正三棱柱的高为 a.
3
4 3 32π
三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造长方体或
A
正方体．
P
B
C
探究新知
总结：正四面体的棱长与外接球、内切球的半径总结的关系
1.若正四面体棱长为a，外接球半径为R，内切球半径为r，则
r PO R
6
R
a
4
R : r 3 :1
6
r
a
12
6
6
6
a
a
a.
3
4
12
P
P
a
a
A
V 球＝ πR ＝ .∴a＝4 3.
3
3
3
3
2
∴V 柱＝ ×(4 3) × ×4 3＝48 3.
4
3
例题讲解
（4）正棱锥、圆锥 ①内切球
P
例6 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与
它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积．
A
解1：如图，P-ABC为正三棱锥,
设球的半径为r，底面中心为D,取BC边中点E ∴PD=2,易知
1
V锥体 Sh
3
内接法与外接法(PPT课件)
内接法与外接法
18
2020-12-09
内接法与外接法
19
练习:为了测定一个6V、3W的小电珠在不同 电压下的功率,所需的实验器材如图所示.已 知电流表的内阻可忽略,滑线电阻的阻值为 10Ω,各电表的量程如图.测量时要求电珠两 端的电压从0伏开始连续调节,测 得多组数据. 请按要求在 实物图上连线.
2020-12-09
内接法与外接法
12
• 若待测电阻的阻值比滑动变阻器总电阻大得多， 以至在限流电路中，滑动变阻器的滑动触头从一 端滑到另一端时，待测电阻上的电流或电压变化 范围不够大，此时，应改用分压电路。
• ⑶若实验中要求电压调节从0开始连续可调，能 够测出多组数据，则必须采用分压式电路。
• ⑷当电路对限流和分压没有明确要求时，采用限 流接法比分压接法节能
说明：误差来源于电压表的分流，分流越小，误
差越小．所以该电路适合测量小电阻，即RRV
2020-12-09
内接法与外接法
4
电流表内接法
电压表示数 U VU RR AU R
电流表示数 IA IR
R测
UV IA
>
R真
UR IR
V
A R
测量值偏大,适于测量大阻值电阻.
说明：误差来源于电流表的分压，分压越少，误
较小
分压式
0~E
较小阻值 较大
2020-12-09
内接法与外接法
11
• 限流电路和分压电路选择
• ⑴若采用限流式不能控制电流满足实验要求，即滑 动变阻器阻值调至最大时，待测电阻上的电流（或 电压）仍超过电流表（或电压表）的量程，或超过 待测电阻的额定电流，则必须选择分压式。
• ⑵ 限流式适合测量阻值小的电阻（跟滑动变阻器的 总电阻相比相差不多或比滑动变阻器的总电阻还 小）。分压式适合测量阻值较大的电阻（一般比滑 动变阻器的总电阻要大）。
【高中数学】立体几何中外接球内切球 专题课件 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
A．4π B．3π C．2π D．π
答案 A 解析 由已知， 2R 12 12 ( 2)2 2 ， S球 4 R2 4 π．
(4)在正三棱锥 S－ABC 中，M，N 分别是棱 SC，BC 的中点，
且 AM MN ，若侧棱 SA 2 3 ，则正三棱锥 S－ABC 外接球的表面
积是________．
2
空间几何体的外接球与内切球十大模型
1．墙角模型； 2．对棱相等模型； 3．汉堡模型； 4．垂面模型； 5．切瓜模型； 6．斗笠模型； 7．鳄鱼模型； 8．已知球心或球半径模型； 9．最值模型； 10．内切球模型．
3
一、墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模
型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线 长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R， 则 2R＝ a2＋b2＋c2．)，秒杀公式：R2＝a2＋b2＋c2。可求出球的半径
4
2
7a 2
7
， a 2
．在正四面体
A BCD 的边长为 2，外接球的半径 R
6a 4
6
2 ，外接球的体积
V 4 R3
3
6 ．
12
(5) 已 知 三 棱 锥 A BCD ， 三 组 对 棱 两 两 相 等 ， 且
AB CD 1 ， AD BC 3 ，若三棱锥 A BCD 的外接球表面
足为 BC 的中点 M．又 AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，
所以球 O 的半径 R＝OA＝
5 2
2＋62＝13． 2
另解 过 C 点作 AB 的平行线，过 B 点作 AC 的
平行线，交点为 D，同理过 C1 作 A1B1 的平行线，过 B1 作 A1C1 的 平行线，交点为 D1，连接 DD1，则 ABCD－A1B1C1D1 恰好成为球
答案 A 解析 由已知， 2R 12 12 ( 2)2 2 ， S球 4 R2 4 π．
(4)在正三棱锥 S－ABC 中，M，N 分别是棱 SC，BC 的中点，
且 AM MN ，若侧棱 SA 2 3 ，则正三棱锥 S－ABC 外接球的表面
积是________．
2
空间几何体的外接球与内切球十大模型
1．墙角模型； 2．对棱相等模型； 3．汉堡模型； 4．垂面模型； 5．切瓜模型； 6．斗笠模型； 7．鳄鱼模型； 8．已知球心或球半径模型； 9．最值模型； 10．内切球模型．
3
一、墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模
型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线 长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R， 则 2R＝ a2＋b2＋c2．)，秒杀公式：R2＝a2＋b2＋c2。可求出球的半径
4
2
7a 2
7
， a 2
．在正四面体
A BCD 的边长为 2，外接球的半径 R
6a 4
6
2 ，外接球的体积
V 4 R3
3
6 ．
12
(5) 已 知 三 棱 锥 A BCD ， 三 组 对 棱 两 两 相 等 ， 且
AB CD 1 ， AD BC 3 ，若三棱锥 A BCD 的外接球表面
足为 BC 的中点 M．又 AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，
所以球 O 的半径 R＝OA＝
5 2
2＋62＝13． 2
另解 过 C 点作 AB 的平行线，过 B 点作 AC 的
平行线，交点为 D，同理过 C1 作 A1B1 的平行线，过 B1 作 A1C1 的 平行线，交点为 D1，连接 DD1，则 ABCD－A1B1C1D1 恰好成为球
球与正方体的内接与外切 课件11
三.学以致用
例1.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各棱, 一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________. 3 1: 2 2 : 3
例2.已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方 体的表面积为6a2，求球O的
C′
表面积和体积.
o
A
欢迎指导 谢谢！
二.温故知新
同学们，请看下面球与正方体的三种组合体，你能从中得到什 么结论呢？ D C
A
D1 O
B
C1 B1 球外切正方体（切面） 球外切正方体（切棱）
A1
球内接正方体
结论：
1.正方体的外接球的球心是体对角线的交点，半径是体对角线的一半 2.正方体的内切球的球心是体对角线的交点，半径是棱长的一半 3.与正方体的棱都相切的球的球心是体对角线的交点，半径是面对角线长的一 半
几何体的体积之间的关系几何体的体积之间的关系柱体锥体台体的表面积圆台圆锥如图圆柱的底面直径与高都等于球的直径求证
1.3.2球的体积和表面积
（球与正方体的内接与外切）
高一级数学备课组
学习目标
1.熟练应用球的体积与表面积公式； 2.掌握球与正方体的“内接与外切”组合体中 球半径与棱长之间的关系，并能熟练解决数学中 的实际问题;
圆台
S π(r 2 r 2 r l rl )
S πr (r l )
3
球的表面积
S球表 =4 R
理论迁移
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径， 求证：（1）球的体积等于圆柱体积的三分之二 ； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
变式1.把上一题的圆柱改为正方体,且正方体的棱长为 a, 球的半径为多少？ 变式2：若把球吹大到内切于正方体的棱，且正方体 的棱长为a,此时球的半径又为多少？ 变式3：若球接着吹大到刚好包围整个正方体即球各 个顶点都在球面上，且正方体的棱长为a,此时球的半 径又为多少？
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2 2
2 3 6 2 ，解得R 在RtAOO1中，由勾股定理得， R R , 3 3 4
3
4 3 4 6 6 V球 R . 3 3 4 8
六、寻求轴截面圆半径法
例1、正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱 长都为 2，点S,A,B,C,D都在同一球面上， 则此球的体积为 .
ASC是以AC为斜边的Rt. AC 1 是外接圆的半径，也是 2
V球 4 3
O1
S
D O1 图3 B
C
外接球的半径.故
几何体的内切球
例、正四面体的棱长为a，则其内 切球和外接球的半径是多少？
解：如图1所示，设点o是内切球的球心，正四面体 棱长为a．由图形的对称性知，点o也是外接球的球 心．设内切球半径为r，外接球半径为R． 正四面体的表面积 S 4 43 a 3a
解 设正四棱锥的底面中心为 ，外接球的球心为O， 如图3所示.∴由球的截面的性质， 可得 OO1 平面ABCD 又 SO1 平面ABCD ，∴球心O必在 SO1 所在的直线上. A ∴ ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆 的半径就是外接球的半径. 在 ASC中，由 SA SC 2 , AC 2, 得SA2 SC2 AC 2 .
变式2：一个长方体的各顶点均在同一球面 上，且一个顶点上的三条棱长分别为 1,2,3 ，则此球的表面积为 14 .
变式3：已知各顶点都在一个球面上的正四 棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积 为（ C ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 32
一、直接法
r
.
a
内切球的直径等于正方体的棱长。
为、已知球O的面上四点A、B、C、D， DA 平面ABC，AB BC, DA AB BC 3 则球O的体积为 9 。
2
例5、 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外 接球的表面积。
变式题：一个四面体的所有棱长都为 2 ，四 A 个顶点在同一球面上，则此球的表面积（ ） A. 3 B. 4 C.3 3 D. 6
2
乙图 丙图 正方形的对角线 等于球的直径。 球的内接正方体的对 角线等于球直径。
2 S 4 R S甲 4 R1 = 乙 2 =2
S丙 4 R3 2 =3
二、构造法
1、构造正方体
例1、（2012辽宁16）已知正三棱锥P-ABC，点 P,A,B,C都在半径为 3 的球面上，若PA,PB,PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离
2 2 表
图1
正四面体的体积
1 S 表 r V A BCD 3
BO 在 Rt BEO中， 得 R 3r
2
1 3 2 3 2 V A BCD a AE a AB 2 BE 2 3 4 12 2 3 3 a 3V A BCD 6 12 r a S表 12 3a 2
求正多面体外接球的半径 求正方体外接球的半径
2、构造长方体
已知点A、B、C、D在同一个球面上， BC DC ， AB 平面BCD ，AB 6, AC=2 13,AD=8 ，则B、C 两点间的球面距离是( 4 ).
3
变式、(2013郑州质检)在三棱锥 A BCD 中，
AB CD 6, AC BD AD BC 5 ,则该三棱 锥的内接球的表面积为 43 。
一、直接法
球内切于正 方体的各条 棱
内切球的直径等于正方体的面对角线长。
例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( A ) A. 1:2:3 B. 1: 2: 3 C. 1: 3 4: 3 9 D. 1: 8: 27
甲图 球的外切正方 体的棱长等于 球直径。
3
思考题：半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧 面、两底面都相切)的表面积为____ 6 R 2，体积____ 2 R 3．
五、构造直角三角形
例13、求棱长为1的正四面体外接球的体积。
解：设SO1是正四面体S ABCD的高，外接球的球心 O在SO1上，设外接球半径为 R, AO1 r , 则在ABC中，用解直角三角形知 识得，r 3 1 2 2 , 从而SO1 SA2 AO1 1 , 3 3 3
一、直接法
D A O D1 A1 C1 C 对角面
B
A
C
2R 3
O
设棱长为1
A1
2
C1
B1
球的内接正（长）方体的对角线等于球 直径。
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同 一球面上，则该球的表面积为 27 .
变式1：一个正方体的各顶点均在同一球的球 面上，若该正方体的表面积为24，则该球的 4 3 体积为 .
2
3 2 2 3 2 2 3 a a a 3 12 a 12
BE EO
2
2
6 3 2 2 R a 即 R a r ，得 4 3
2013辽宁10
2011辽宁12
三、确定球心位置法
例、在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将 矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则 Ｃ 四面体 ABCD 的外接球的体积为 ( ) 125
A. 12
125 B. 9
125 C. 6
125 D. 3
D
A
O 图4 B
C
四、公式法
例、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直 于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 9 且该六棱柱的体积为 ，底面周长为３，则这个 8 4。 球的体积为
2 3 6 2 ，解得R 在RtAOO1中，由勾股定理得， R R , 3 3 4
3
4 3 4 6 6 V球 R . 3 3 4 8
六、寻求轴截面圆半径法
例1、正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱 长都为 2，点S,A,B,C,D都在同一球面上， 则此球的体积为 .
ASC是以AC为斜边的Rt. AC 1 是外接圆的半径，也是 2
V球 4 3
O1
S
D O1 图3 B
C
外接球的半径.故
几何体的内切球
例、正四面体的棱长为a，则其内 切球和外接球的半径是多少？
解：如图1所示，设点o是内切球的球心，正四面体 棱长为a．由图形的对称性知，点o也是外接球的球 心．设内切球半径为r，外接球半径为R． 正四面体的表面积 S 4 43 a 3a
解 设正四棱锥的底面中心为 ，外接球的球心为O， 如图3所示.∴由球的截面的性质， 可得 OO1 平面ABCD 又 SO1 平面ABCD ，∴球心O必在 SO1 所在的直线上. A ∴ ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆 的半径就是外接球的半径. 在 ASC中，由 SA SC 2 , AC 2, 得SA2 SC2 AC 2 .
变式2：一个长方体的各顶点均在同一球面 上，且一个顶点上的三条棱长分别为 1,2,3 ，则此球的表面积为 14 .
变式3：已知各顶点都在一个球面上的正四 棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积 为（ C ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 32
一、直接法
r
.
a
内切球的直径等于正方体的棱长。
为、已知球O的面上四点A、B、C、D， DA 平面ABC，AB BC, DA AB BC 3 则球O的体积为 9 。
2
例5、 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外 接球的表面积。
变式题：一个四面体的所有棱长都为 2 ，四 A 个顶点在同一球面上，则此球的表面积（ ） A. 3 B. 4 C.3 3 D. 6
2
乙图 丙图 正方形的对角线 等于球的直径。 球的内接正方体的对 角线等于球直径。
2 S 4 R S甲 4 R1 = 乙 2 =2
S丙 4 R3 2 =3
二、构造法
1、构造正方体
例1、（2012辽宁16）已知正三棱锥P-ABC，点 P,A,B,C都在半径为 3 的球面上，若PA,PB,PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离
2 2 表
图1
正四面体的体积
1 S 表 r V A BCD 3
BO 在 Rt BEO中， 得 R 3r
2
1 3 2 3 2 V A BCD a AE a AB 2 BE 2 3 4 12 2 3 3 a 3V A BCD 6 12 r a S表 12 3a 2
求正多面体外接球的半径 求正方体外接球的半径
2、构造长方体
已知点A、B、C、D在同一个球面上， BC DC ， AB 平面BCD ，AB 6, AC=2 13,AD=8 ，则B、C 两点间的球面距离是( 4 ).
3
变式、(2013郑州质检)在三棱锥 A BCD 中，
AB CD 6, AC BD AD BC 5 ,则该三棱 锥的内接球的表面积为 43 。
一、直接法
球内切于正 方体的各条 棱
内切球的直径等于正方体的面对角线长。
例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( A ) A. 1:2:3 B. 1: 2: 3 C. 1: 3 4: 3 9 D. 1: 8: 27
甲图 球的外切正方 体的棱长等于 球直径。
3
思考题：半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧 面、两底面都相切)的表面积为____ 6 R 2，体积____ 2 R 3．
五、构造直角三角形
例13、求棱长为1的正四面体外接球的体积。
解：设SO1是正四面体S ABCD的高，外接球的球心 O在SO1上，设外接球半径为 R, AO1 r , 则在ABC中，用解直角三角形知 识得，r 3 1 2 2 , 从而SO1 SA2 AO1 1 , 3 3 3
一、直接法
D A O D1 A1 C1 C 对角面
B
A
C
2R 3
O
设棱长为1
A1
2
C1
B1
球的内接正（长）方体的对角线等于球 直径。
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同 一球面上，则该球的表面积为 27 .
变式1：一个正方体的各顶点均在同一球的球 面上，若该正方体的表面积为24，则该球的 4 3 体积为 .
2
3 2 2 3 2 2 3 a a a 3 12 a 12
BE EO
2
2
6 3 2 2 R a 即 R a r ，得 4 3
2013辽宁10
2011辽宁12
三、确定球心位置法
例、在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将 矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则 Ｃ 四面体 ABCD 的外接球的体积为 ( ) 125
A. 12
125 B. 9
125 C. 6
125 D. 3
D
A
O 图4 B
C
四、公式法
例、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直 于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 9 且该六棱柱的体积为 ，底面周长为３，则这个 8 4。 球的体积为