函数的性质奇偶性PPT
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高中数学人教A版 必修1《3.2.2函数的奇偶性》课件（16张PPT）
一看
二找
三判断
看定义域 是否关于 原点对称
找 f x与
f x的
下结
关系
论
函数奇偶性的判断
变式训练1 判断下列函数的奇偶性：——定义法
（1）f x 4 x2 （2）f x x2x 1
x 1
（3）f x 0
按照奇偶性将函数分类为：
①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶函数 ④既奇又偶函数
函数奇偶性的判断 ——图象直观感知
利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以 及复合函数的奇偶性判断.
f x
偶
偶
奇
奇
gx
偶
奇
奇
偶
f x gx
f x gx
f x gx
f g(x)
研究题 借助几何画板绘制大量函数图象并归纳函数的单调
性与函数的奇偶性的关系。来自f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)
不同点
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
补充：奇偶性是函数在其定义域上的整体性质
函数奇偶性的判断
例6 判断下列函数的奇偶性： ——定义法
（1）f x x4
偶函数 （2） f x x5 奇函数
（3）f x x 1
x
奇函数
（4）
f
x
1 x2
偶函数
归纳： 根据定义判断函数的奇偶性的步骤：
f x x2
…
9
4
1
0
14
…
9
gx 2 | x | … -1
0
1
2
1
0
…
-1
f 3 9 f 3 f 2 4 f 2 f 1 1 f 1
几何画板
当自变量取一对相反数时， 相应的两个函数值相等
《函数的奇偶性》函数 PPT教学课件
∴f(x)是偶函数.
解:(1)∵由
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
(4)设 f(x)=(x-2)
∵由
+2
-2
≥ 0,
思维辨析
当堂检测
+2
.
-2
得 x≤-2 或 x>2,
-2 ≠ 0,
∴函数的定义域为(-∞,-2]∪(2,+∞),
不关于原点对称.
∴f(x)=(x-2)
+2
既不是奇函数也不是偶函数.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数是偶函,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为(
A.y=x-1
B.y=3x2
1
C.y=2
答案:D
D.y=-x|x|
)
课前篇
探究三
思维辨析
当堂检测
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当
x∈(0,+∞)时,f(x)=
.
解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,
D.f(x)=x2+x4
答案:AD
当堂检测
)
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
解:(1)∵由
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
(4)设 f(x)=(x-2)
∵由
+2
-2
≥ 0,
思维辨析
当堂检测
+2
.
-2
得 x≤-2 或 x>2,
-2 ≠ 0,
∴函数的定义域为(-∞,-2]∪(2,+∞),
不关于原点对称.
∴f(x)=(x-2)
+2
既不是奇函数也不是偶函数.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数是偶函,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为(
A.y=x-1
B.y=3x2
1
C.y=2
答案:D
D.y=-x|x|
)
课前篇
探究三
思维辨析
当堂检测
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当
x∈(0,+∞)时,f(x)=
.
解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,
D.f(x)=x2+x4
答案:AD
当堂检测
)
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
函数的奇偶性对称性周期性课件共19张PPT
(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！
人教版函数的奇偶性-高中数学(共41张PPT)教育课件
f(－x)＝ f(x) 函数f(x)叫作偶函数
图象关于 y轴 对称
f(－x)＝ －f(x) 函数f(x)叫作奇函数 图象关于 原点 对 称
3
知识点聚焦：
• 二、奇偶性
定义
如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么就说函数 f(x)具有 奇偶性
图象特征 奇(偶)函数 图象关于原点或y轴对称
4
探究一 函数奇偶性的判断
∵f(x)是奇函数，
•
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)(1＋x)]＝x(1＋x)．
• 【答案】B
37
随堂训练
• 5．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数且f(1)＝－2，那么f(－1)＋f(0)＝( )
•
A．－2
B．0
C．1
D．2
38
解析：
• 【解析】函数f(x)是定义域为R的奇函数且f(1)＝－2，
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
3.2.1 函数的奇偶性 课件(共26张PPT)(2024年)
f(x)
g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x)
偶函数 偶函数 偶函数
f(x)g(x
)
f[g(x)]
注
意:f[g(x)]
偶函数 偶函数 偶函数 中,g(x)的
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 值域是f(x)
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 的定义域
奇函数 奇函数 奇函数
活动二：新知探究
偶函数的定义：
一般地，设函数 f（x）的定义域为 I ，如果∀x∈I,都
有-x∈I,且f(-x)=f(x), 那么函数 f（x）就叫做偶函数.
活动二：新知探究
偶函数的几点说明：
（1）偶函数的定义域必关于原点对称，即若 x 是定义域内的
一个值，则 –x 也一定在定义域内.
（2）“函数 f（x）为偶函数”是“函数 f（x）图象关于y轴对
奇函数 偶函数 奇函数 的子集.
活动二：新知探究
类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象
关于y轴对称”这一特征吗？
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况
x
···
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
f(x)=x²
···
9
4
1
0
1
4
9
···
g(x)=2-|x|
···
-1
0
1
2
1
0
-1
···
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
称”的充要条件.
活动二：新知探究
1
探究：观察函数 f(x)=x和g(x)= 的图象，你能发现这两个函数
函数的奇偶性共课时省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
思索3:普通地，若函数y=f(x)图象关于坐标
原点对称，则f(x)与f(-x)有什么关系？反之
成立吗？
f(x)=-f(-x)
思索4:我们把含有上述特征函数叫做奇函数， 那么怎样定义奇函数？
假如对于函数f(x)定义域内任意一个x， 都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇 函数.
第7页
思索5:等式f(-x)=-f(x)用文字语言怎样表 述？
第9页
例3 确定函数 f (x) x2 2 | x | 3单调区间.
y
x -1 o 1
第10页
作业: P36练习：1，2
第11页
1.3.2 函数奇偶性 第二课时 函数奇偶性性质
第12页
问题提出
1.奇函数、偶函数定义分别是什么？ 2.奇函数和偶函数定义域、图象分别有 何特征？ 3.函数奇偶性有那些基本性质？
f(x) + f(-x)是偶函数 f(x) - f(-x)是奇函数
第16页
思索3:二次函数 f (x) ax2 bx c 是偶函
数条件是什么？ 一次函数 f (x) kx b 是奇函数条件
是什么？ b=0
第17页
理论迁移
例1 已知f(x)是奇函数，且当 x 0时，
f (x) x2 3x
思索5:常数函数 f (x) a(a 0) 含有奇）
思索1:假如函数f(x)和g(x)都是奇函数，那 么f(x) + g(x)，f(x) - g(x)， f(x)×g(x) ，f(x)÷g (x)奇偶性怎样？
思索2:假如f(x)是定义在R上任意一个函数， 那么f(x) + f(-x)，f(x) - f(-x)奇偶性怎 样？
第2页
知识探究（一）
函数的奇偶性课件(共14张PPT)
y
则f (x) f (x) 2x
即2 f (x) 2x
2
即f (x) x
-2 o
2
x
故解集为：- 2，-1 0,1
-2
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式2：定义在R 上的函数 f (x), 对任意x, y R都有 f (x y) f (x) f ( y) 1, 且x 0时，f (x) 1, f (1) 2
f (x)单调递减，则f (1 m) f (m) 成立的 m 取值范围 是 ________。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
例2：定义在 3,3 上的函数 f (x), g(x)分别为偶函数、
奇函数，图像如下，则不等式 f (x) 0的解集是：
g(x)
(_2_,_1_)__(_0_,1_) __(_2,_3_) 。
(1)求证：f (x)是R上的增函数； (2)解不等式： f (3x 1) 7; (3)求证：g(x) f (x) 1是奇函数。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
课堂总结：
1：函数奇偶性的定义： “数”与“形”的特征
2：利用函数的奇偶性求值、求解析式
3：函数奇偶性与单调性的联系： “模拟图像”
题型三：奇偶性与单调性的联系：
例：已知函数 y f (x)(x 0)为奇函数，在 x 0,
上为单调增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 f (2x 1) 0 解集为__________.
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式：定义在 2,2上的偶函数 f (x)，当x 0 时，
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
新人教版高中数学必修第一册3.2.2函数的奇偶性(课件)
奇(偶)函数的性质及应用
【拓展】（2）奇偶函数的运算性质及符合函数的奇偶性： 设 ， 的定义域分别是A和B，在公共定义域上有：
偶
偶
偶
奇
偶
偶
偶
奇
偶
偶
【注】上表中不考虑
和
中需
，
.
奇
奇
奇
偶
奇
奇
偶
奇
奇
偶
的情况；
【1】已知 是偶函数， 是奇函数，将下面的图像补充完整.
【解】根据奇偶函数的对称性，分别将偶函数沿着y轴作对称； 把奇函数沿着原点作中心对称，答案见图上.
【解】(1)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断：
所以此函数是偶函数；
【解】(2)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断： 所以此函数是奇函数；
【解】(3)首先判断定义域为
，关于y轴对称，再判断：
判断函数奇 偶性，首先 要看定义域.
【解】(3)首先判断定义域为
所以此函数是奇函数； ，关于y轴对称，再判断： 所以此函数是偶函数.
“ THANKS ”
【2】几何法，函数的图像关于y轴对称，那么函数就是偶函数
要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠f(x0)即可
偶函数 偶函数
图像关于y轴对称
本资料分享自高中数学 同步资源千人教师QQ群 483122854 本群专注同 代数特步入征资与源分收享集 期待你的加
几何特征
定义中，
函数奇偶性的判断
利用定义判断函数奇偶性的方法： 【1】一看定义域：奇函数和偶函数的定义域一定关于y轴对称，如果一个函数的定
义域关于y轴对称，那么它才有可能是奇函数或者偶函数，否则就没有探究下 去的必要.
1 第1课时 函数奇偶性的概念(共45张PPT)
【解】 (1)因为 x∈R， 所以－x∈R， 又因为 f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|) ＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数. (2)因为函数 f(x)的定义域为{－1，1}， 关于原点对称，且 f(x)＝0， 所以 f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， 所以 f(x)既是奇函数又是偶函数.
解：(1)由题意作出函数图象如图所示：
(2)由图可知，单调递增区间为(－1，1). (3)由图可知，使 f(x)<0 的 x 的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞).
巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象. (3)根据奇(偶)函数关于原点(y 轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的 函数图象. [注意] 作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称 点为(－x0，－y0)，关于 y 轴的对称点为(－x0，y0).
C.坐标原点对称
D.直线 y＝x 对称
解析：选 C.函数 f(x)＝1x－x 是奇函数，其图象关于坐标原点对称.
3.(2020·武汉高一检测)函数 f(x)＝x＋x22＋a＋8 3为奇函数，则实数 a＝
(
)
A.－1
B.1
C.－32
D.32
解析：选 C.由题得 f(x)为奇函数，则 f(0)＝0，即 0＋2a＋3＝0，所以 a＝
探究点 2 奇、偶函数的图象 已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≤0 时，f(x)＝x2＋2x.
现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象，如图所示.
(1)请补出完整函数 y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数 y＝f(x)的递增区间； (3)根据图象写出使 f(x)<0 的 x 的取值集合.
函数的奇偶性(数学教学课件)课件
例如
$f(x)=x^3$，满足$f(-x)=-x^3=f(x)$，是奇函数。
偶函数实例
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
例如
$f(x)=x^2$，满足$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，是偶函数。
THANKS
函数的奇偶性
目录
• 奇偶性定义 • 奇偶性判断 • 奇偶性性质 • 奇偶性应用 • 奇偶性实例
01
奇偶性定义
Chapter
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$，$f(-x)=-(-x)^3=-x^3=-f(x)$，满足奇 函数的定义。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义 域内任意一个$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函 数。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，满足偶函 数的定义。
02
奇偶性判断
Chapter
奇函数判断
1 2 3
奇函数定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数性质
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(x)$是奇 函数，那么其图像在$x$轴上方的部分与下方的 部分关于原点对称。
奇函数举例
例如，函数$f(x)=x^3$和$f(x)=sin(x)$都是奇函 数。
$f(x)=x^3$，满足$f(-x)=-x^3=f(x)$，是奇函数。
偶函数实例
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
例如
$f(x)=x^2$，满足$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，是偶函数。
THANKS
函数的奇偶性
目录
• 奇偶性定义 • 奇偶性判断 • 奇偶性性质 • 奇偶性应用 • 奇偶性实例
01
奇偶性定义
Chapter
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$，$f(-x)=-(-x)^3=-x^3=-f(x)$，满足奇 函数的定义。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$的定义 域内任意一个$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函 数。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，满足偶函 数的定义。
02
奇偶性判断
Chapter
奇函数判断
1 2 3
奇函数定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数性质
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(x)$是奇 函数，那么其图像在$x$轴上方的部分与下方的 部分关于原点对称。
奇函数举例
例如，函数$f(x)=x^3$和$f(x)=sin(x)$都是奇函 数。
人教版高中数学函数的奇偶性(共15张PPT)教育课件
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
■
电
:
“
口
罗
部
爬
一
，
1
戏
有
上
来
的
我
个
5
分
钟
后
你
还
色
其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆
怯
，
像
运
作
这
个
东
西
(
，
下
不
耐
烦
像
如
果
我
自
己
弄
费
电
影
一
五
分
钟
男
女
实
里
拍
个
就
弄
尼
摄
)
所
镜
完
所
以
最
是
拍 以
后
通
不
第
一
为
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
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2
5 2
f (1)
4
5 2 3 2 4
7.判断抽象函数的奇偶性 例.已知f(+b)=f(a)+f(b)对任意实数a,b都成立，则 函数f(x)的奇偶性是（ 奇函数 ）
解：f(0)=f(0)+f(0) f(0)=0 f(x)+f(-x)=f(0)=0 所以f(-x)=-f(x)
8. 已知奇偶性，求参量.(待定系数法)
奇偶性定义
• 偶函数： • 对于函数y=f(x)的定义域D(关于原点对称） 内的任意实数x，都有f(-x)=f(x) • 奇函数： • 对于函数y=f(x)的定义域D(关于原点对称） 内的任意实数x，都有f(-x)=-f(x)
概念辨析
• 函数y=f(x)的定义域关于原点对称是y=f(x)为偶(奇)函 数的( 必要非充分 )条件 • 函数y=f(x)的图像关于y轴对称是y=f(x)为偶函数的 ( )条件 充要 • 函数y=f(x)的图像关于原点中心对称是y=f(x)为奇函数的 ( 充要 )条件 • 函数y=f(x)过原点是y=f(x)为奇函数的( 非充分非 ) 必要 条件 • 函数y=f(x)过原点是y=f(x),D=R为奇函数的( 必要非充 ) 条件 分
偶函数 非奇非偶函数
奇函数 偶函数 偶函数
• • • •
F7(x)=f1[f2(x)] F8(x)=g1[g2(x)] F9(x)=f1[g1(x)] F10(x)=g1[f1(x)]
奇函数 偶函数 偶函数 偶函数
推广:任意函数f(x)都可表示成一个奇函数与一
个偶函数的和
f x f x f x f x f x 2 2 f x f x 为偶函数 其中: g1 x 2 f x f x g2 x 为奇函数 2
解：f(7.5)=-f(5.5)=-[-f(3.5)]=f(3.5)=-f(1.5) =-[-f(-0.5)]=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5
注：f(x+4)=-f(x+2)=f(x),函数值重复出现，函数具有周期性
是偶函数，求a, b的值。
a 1, b 3
5.求函数解析式(给出一半求另一半)
例：定义在R上得函数f(x)是奇函数，当x>0,f(x)=x3 x2 1， 求函数的解析式。
解： 当x<0, x>0,f ( x)=( x)3 ( x) 2 1 因为函数为奇函数， f ( x) f ( x) f ( x) x3 x 2 1 当x 0, f ( x) 0
ax2 1 例：已知函数f(x)= (a, b, c Z )是奇函数，又f(1)=2,f(2)<3, bx c 求a,b,c的值。 解：函数为奇函数，定义域关于原点对称
ax2 1 1，当b=0,c 0,f(x)= 为偶函数(舍) c c c c 2,当b 0,x , , , 0, c 0 b b b a 1 4a 1 f (1) 2, f (2) 3 b 2b 4a 1 a2 3, 0, 1 a 2, a Z , a 0或a 1 a 1 a 1 1 若a 0, b Z (舍); 若a 1, b 1 Z 2 x2 1 a 1, b 1, c 0, f ( x) x
偶函数
x 1
x (1 x ) x 1
2
x 1
2
2 x2 2, f x x 3 3
4, f x 1 x 2 x 2 1
奇函数 既奇又偶函数
非奇非偶函数
2 2 a 4, 定义域: 已知函数f ( x) ax (b 3) x 3, x 2, a
x3 x 2 1( x 0) f x 0 ( x 0) x3 x 2 1( x 0)
6，函数与方程思想
例：已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)=x2 x 1, 求函数f(x)与g(x)的解析式。
解：f ( x) g ( x) x 2 x 1 f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) x x 1
9,数形结合思想
例:已知函数f(x)为奇函数，在x<0上的图像如图 所示，且f(-2)=0,求不等式xf(x)<0的解集。
2
-2
-2
2
-2
2
x 2,0
0,2
10.等价转化思想
例：设f(x)是定义域为R的奇函数，且 f(x+2)=-f(x),当 0 x 1 ，f(x)=x，求f(7.5) 的值。
题型:
1，函数y ax bx c为偶函数的充要条件（b 0） 2，函数y ax2 bx c为奇函数的充要条件（ ）
2
a 0, c 0
3, 判断(证明)函数的奇 偶性
1, f x
3, f x
•A.定义域关于原点对称; •B.f(-x)与f(x)的关系 •非奇非偶可以通过举例说明
相关结论: f1(x),f2(x)奇函数, g1(x),g2(x)偶函数
• F1(x)=f1(x)+f2(x) 奇函数
• F2(x)=g1(x)+g2(x) • F3(x)=f1(x)+g1(x)
• F4(x)=f1(x)g1(x) • F5(x)=f1(x)f2(x) • F6(x)=g1(x)g2(x)
2
f ( x ) x, g ( x ) x 2 1
例：已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)=2x2 2x , 求f (1)
解：f (1) g (1) 2 12 21 4 f (1) g (1) f (1) g (1) 2 1 21
5 2
f (1)
4
5 2 3 2 4
7.判断抽象函数的奇偶性 例.已知f(+b)=f(a)+f(b)对任意实数a,b都成立，则 函数f(x)的奇偶性是（ 奇函数 ）
解：f(0)=f(0)+f(0) f(0)=0 f(x)+f(-x)=f(0)=0 所以f(-x)=-f(x)
8. 已知奇偶性，求参量.(待定系数法)
奇偶性定义
• 偶函数： • 对于函数y=f(x)的定义域D(关于原点对称） 内的任意实数x，都有f(-x)=f(x) • 奇函数： • 对于函数y=f(x)的定义域D(关于原点对称） 内的任意实数x，都有f(-x)=-f(x)
概念辨析
• 函数y=f(x)的定义域关于原点对称是y=f(x)为偶(奇)函 数的( 必要非充分 )条件 • 函数y=f(x)的图像关于y轴对称是y=f(x)为偶函数的 ( )条件 充要 • 函数y=f(x)的图像关于原点中心对称是y=f(x)为奇函数的 ( 充要 )条件 • 函数y=f(x)过原点是y=f(x)为奇函数的( 非充分非 ) 必要 条件 • 函数y=f(x)过原点是y=f(x),D=R为奇函数的( 必要非充 ) 条件 分
偶函数 非奇非偶函数
奇函数 偶函数 偶函数
• • • •
F7(x)=f1[f2(x)] F8(x)=g1[g2(x)] F9(x)=f1[g1(x)] F10(x)=g1[f1(x)]
奇函数 偶函数 偶函数 偶函数
推广:任意函数f(x)都可表示成一个奇函数与一
个偶函数的和
f x f x f x f x f x 2 2 f x f x 为偶函数 其中: g1 x 2 f x f x g2 x 为奇函数 2
解：f(7.5)=-f(5.5)=-[-f(3.5)]=f(3.5)=-f(1.5) =-[-f(-0.5)]=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5
注：f(x+4)=-f(x+2)=f(x),函数值重复出现，函数具有周期性
是偶函数，求a, b的值。
a 1, b 3
5.求函数解析式(给出一半求另一半)
例：定义在R上得函数f(x)是奇函数，当x>0,f(x)=x3 x2 1， 求函数的解析式。
解： 当x<0, x>0,f ( x)=( x)3 ( x) 2 1 因为函数为奇函数， f ( x) f ( x) f ( x) x3 x 2 1 当x 0, f ( x) 0
ax2 1 例：已知函数f(x)= (a, b, c Z )是奇函数，又f(1)=2,f(2)<3, bx c 求a,b,c的值。 解：函数为奇函数，定义域关于原点对称
ax2 1 1，当b=0,c 0,f(x)= 为偶函数(舍) c c c c 2,当b 0,x , , , 0, c 0 b b b a 1 4a 1 f (1) 2, f (2) 3 b 2b 4a 1 a2 3, 0, 1 a 2, a Z , a 0或a 1 a 1 a 1 1 若a 0, b Z (舍); 若a 1, b 1 Z 2 x2 1 a 1, b 1, c 0, f ( x) x
偶函数
x 1
x (1 x ) x 1
2
x 1
2
2 x2 2, f x x 3 3
4, f x 1 x 2 x 2 1
奇函数 既奇又偶函数
非奇非偶函数
2 2 a 4, 定义域: 已知函数f ( x) ax (b 3) x 3, x 2, a
x3 x 2 1( x 0) f x 0 ( x 0) x3 x 2 1( x 0)
6，函数与方程思想
例：已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)=x2 x 1, 求函数f(x)与g(x)的解析式。
解：f ( x) g ( x) x 2 x 1 f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) x x 1
9,数形结合思想
例:已知函数f(x)为奇函数，在x<0上的图像如图 所示，且f(-2)=0,求不等式xf(x)<0的解集。
2
-2
-2
2
-2
2
x 2,0
0,2
10.等价转化思想
例：设f(x)是定义域为R的奇函数，且 f(x+2)=-f(x),当 0 x 1 ，f(x)=x，求f(7.5) 的值。
题型:
1，函数y ax bx c为偶函数的充要条件（b 0） 2，函数y ax2 bx c为奇函数的充要条件（ ）
2
a 0, c 0
3, 判断(证明)函数的奇 偶性
1, f x
3, f x
•A.定义域关于原点对称; •B.f(-x)与f(x)的关系 •非奇非偶可以通过举例说明
相关结论: f1(x),f2(x)奇函数, g1(x),g2(x)偶函数
• F1(x)=f1(x)+f2(x) 奇函数
• F2(x)=g1(x)+g2(x) • F3(x)=f1(x)+g1(x)
• F4(x)=f1(x)g1(x) • F5(x)=f1(x)f2(x) • F6(x)=g1(x)g2(x)
2
f ( x ) x, g ( x ) x 2 1
例：已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)=2x2 2x , 求f (1)
解：f (1) g (1) 2 12 21 4 f (1) g (1) f (1) g (1) 2 1 21