线性空间和欧式空间

第六章 线性空间与欧式空间

§1 线性空间及其同构

一 线性空间得定义

设V 就是一个非空集合,K 就是一个数域,在集合V 得元素之间定义了一种代数运算,

叫做加法;这就就是说,给出了一个法则,对于V 中任意两个元素α与β,在V 中都有唯一得一个元素γ与她们对应,成为α与β得与,记为βαγ+=。在数域K 与集合V 得元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法,即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α,在V 中都有唯一得一个元素δ与她们对应,称为k 与α得数量乘积,记为αδk =,如果加法与数量乘法满足下述规则,那么V 称为数域K 上得线性空间。

加法满足下面四条规则:

1)αββα+=+;交换律

2))()(γβαγβα++=++;结合律

3)在V 中有一个元素0,对于V 中任一元素α都有αα=+0(具有这个性质得元素0

称为V 得零元素); 存在零元

4)对于V 中每一个元素α,都有V 中得元素,使得0=+βα(β称为α得负元素)、存

在负元

数量乘法满足下面两条规则:

5)αα=1; 存在1元

6)αα)()(kl l k =、 数得结合律

数量乘法与加法满足下面两条规则:

7)αααl k l k +=+)(; 数得分配律

8)βαβαk k k +=+)(、 元得分配律

在以上规则中,l k ,表示数域中得任意数;γβα,,等表示集合V 中任意元素。

例1． 元素属于数域K 得n m ⨯矩阵,按矩阵得加法与矩阵得与数得数量乘法,构成数

域K 上得一个线性空间,记为,()m n M K 。

例2． 全体实函数(连续实函数),按函数得加法与数与函数得数量乘法,构成一个实数

域上得线性空间。

例3． n 维向量空间n K 就是线性空间。

例4． 向量空间得线性映射得集合(,)m n K Hom K K 就是线性空间。

二.简单性质

1.零元素就是唯一得。

2.负元素唯一。

3.00=α,00=k ,αα-=-)1(。

4.若0=αk ,则0=k 或者0=α。

三、同构映射

定义:设,V V '就是数域K 上得线性空间、 (,)K A Hom V V '∈就是一个线性映射、如果A 就

是一一映射,则称A 就是线性空间得同构映射,简称同构。线性空间V 与'V 称为同构

得线性空间。

定理 数域P 上两个有限维线性空间同构得充分必要条件就是她们有相同得维数。

同构映射得逆映射以及两个同构映射得乘积还就是同构映射。

⇒同构

线性空间分类⇐维数

§2 线性子空间得与与直与

子空间得与:设12,W W 就是线性空间V 得子空间,则集合121122{}W W W αααα=+∈∈|或

也就是一个线性子空间,称为12,W W 得与,记为12W W +、

两个线性子空间得与12W W +就是包含这两个线性子空间得最小子空间、

满足交换律、结合律

设1,,s αα与1,,t ββ就是V 得两个向量组、则

1111(,,)(,,)(,,,,,)s t s t L L L ααββααββ+=

线性子空间中得线性无关向量组都能被扩充成这个子空间得一个基。

定理:(维数公式)如果12,W W 就是线性空间V 得两个子空间,那么

1dim()W + 2dim()W =12dim()W W ++ 12dim()W W ⋂

由此可知,与得维数要比维数得与来得小。推广到有限个线性子空间得与空间维数

推论:如果n 维线性空间V 中两个子空间21,V V 得维数之与大于n ,那么21,V V 必含有非零

得公共向量。

直与:设12,W W 就是线性空间V 得子空间,如果12W W +中得每个向量α都能被唯一地表

示成21ααα+= 1122,W W αα∈∈、则称12W W +为直与,记为12W W ⊕。

设12,W W 就是线性空间V 得子空间,则下列结论互相等价:

设W 就是线性空间V 得一个子空间,那么一定存在V 得一个线性子空间U ,使得 V W U =⊕ 满足上述条件得线性子空间U 称为W 得补子空间、

推广到有限多个线性子空间也可以定义它们得直与

.dim dim )dim(3;

0,,1211111m m j i m j j i m W W W W W W m i W W ++=++=⋂

=++∑≠≤≤ ）（有）对（是直和；）（

§3 欧式空间

定义 设V 就是实数域R 上得有限维线性空间,在V 上定义了一个二元实函数,称为内积,记作),(βα,满足以下四条公理:

1)对称性 ),(),(αββα=;

2)关于标量乘法线性性质 ),(),(βαβαk k =;

3) 关于向量加法得线性性质),(),(),(γβγαγβα+=+;

4)正定性0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα

这里γβα,,就是V 任意得向量,k 就是任意实数,这样得线性空间V 称为欧几里得空间、

12121212(1)(2)0;

(3)dim()dim dim .

W W W W W W W W +⋂=+=+是直和；

12m W W W V 设，，

，是的线性子空间，则下列结论相互等价：

例1 在线性空间n R 中,对于向量

),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,

定义内积

.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1)

则内积(1)适合定义中得条件,这样n R 就成为一个欧几里得空间、

3=n 时,(1)式就就是几何空间中得向量得内积在直角坐标系中得坐标表达式、

例2 在n R 里, 对于向量

),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,

定义内积

.2),(2211n n b na b a b a +++= βα

则内积(1)适合定义中得条件,这样n

R 就也成为一个欧几里得空间、

对同一个线性空间可以引入不同得内积,使得它作成欧几里得空间、

例 3 在闭区间],[b a 上得所有实连续函数所成得空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积 ⎰=b

a dx x g x f x g x f )()())(),((、 (2) 对于内积(2),),(

b a C 构成一个欧几里得空间、

同样地,线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间、

例4 令H 就是一切平方与收敛得实数列

+∞<=∑∞

=1221),,,,(n n n x x x x ξ

所成得集合,则H 就是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间、

定义 非负实数),(αα称为向量α得长度,记为α、

显然,向量得长度一般就是正数,只有零向量得长度才就是零,这样定义得长度符合熟知得性质:

αα||k k = (3)

这里V R k ∈∈α,、

长度为1得向量叫做单位向量、如果,0≠α由(3)式,向量

αα1

就就是一个单位向量、用向量α得长度去除向量α,通常称为把α单位化、