线性空间和欧式空间

第六章 线性空间与欧式空间§1 线性空间及其同构一 线性空间得定义设V 就是一个非空集合,K 就是一个数域,在集合V 得元素之间定义了一种代数运算,叫做加法;这就就是说,给出了一个法则,对于V 中任意两个元素α与β,在V 中都有唯一得一个元素γ与她们对应,成为α与β得与,记为βαγ+=。

在数域K 与集合V 得元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法,即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α,在V 中都有唯一得一个元素δ与她们对应,称为k 与α得数量乘积,记为αδk =,如果加法与数量乘法满足下述规则,那么V 称为数域K 上得线性空间。

加法满足下面四条规则:1)αββα+=+;交换律2))()(γβαγβα++=++;结合律3)在V 中有一个元素0,对于V 中任一元素α都有αα=+0(具有这个性质得元素0称为V 得零元素); 存在零元4)对于V 中每一个元素α,都有V 中得元素,使得0=+βα(β称为α得负元素)、存在负元数量乘法满足下面两条规则:5)αα=1; 存在1元6)αα)()(kl l k =、 数得结合律数量乘法与加法满足下面两条规则:7)αααl k l k +=+)(; 数得分配律8)βαβαk k k +=+)(、 元得分配律在以上规则中,l k ,表示数域中得任意数;γβα,,等表示集合V 中任意元素。

例1． 元素属于数域K 得n m ⨯矩阵,按矩阵得加法与矩阵得与数得数量乘法,构成数域K 上得一个线性空间,记为,()m n M K 。

例2． 全体实函数(连续实函数),按函数得加法与数与函数得数量乘法,构成一个实数域上得线性空间。

例3． n 维向量空间n K 就是线性空间。

例4． 向量空间得线性映射得集合(,)m n K Hom K K 就是线性空间。

二.简单性质1.零元素就是唯一得。

2.负元素唯一。

3.00=α,00=k ,αα-=-)1(。

4.若0=αk ,则0=k 或者0=α。

三、同构映射定义:设,V V '就是数域K 上得线性空间、 (,)K A Hom V V '∈就是一个线性映射、如果A 就是一一映射,则称A 就是线性空间得同构映射,简称同构。

线性空间V 与'V 称为同构得线性空间。

定理 数域P 上两个有限维线性空间同构得充分必要条件就是她们有相同得维数。

同构映射得逆映射以及两个同构映射得乘积还就是同构映射。

⇒同构线性空间分类⇐维数§2 线性子空间得与与直与子空间得与:设12,W W 就是线性空间V 得子空间,则集合121122{}W W W αααα=+∈∈|或也就是一个线性子空间,称为12,W W 得与,记为12W W +、两个线性子空间得与12W W +就是包含这两个线性子空间得最小子空间、满足交换律、结合律设1,,s αα与1,,t ββ就是V 得两个向量组、则1111(,,)(,,)(,,,,,)s t s t L L L ααββααββ+=线性子空间中得线性无关向量组都能被扩充成这个子空间得一个基。

定理:(维数公式)如果12,W W 就是线性空间V 得两个子空间,那么1dim()W + 2dim()W =12dim()W W ++ 12dim()W W ⋂由此可知,与得维数要比维数得与来得小。

推广到有限个线性子空间得与空间维数推论:如果n 维线性空间V 中两个子空间21,V V 得维数之与大于n ,那么21,V V 必含有非零得公共向量。

直与:设12,W W 就是线性空间V 得子空间,如果12W W +中得每个向量α都能被唯一地表示成21ααα+= 1122,W W αα∈∈、则称12W W +为直与,记为12W W ⊕。

设12,W W 就是线性空间V 得子空间,则下列结论互相等价:设W 就是线性空间V 得一个子空间,那么一定存在V 得一个线性子空间U ,使得 V W U =⊕ 满足上述条件得线性子空间U 称为W 得补子空间、推广到有限多个线性子空间也可以定义它们得直与.dim dim )dim(3;0,,1211111m m j i m j j i m W W W W W W m i W W ++=++=⋂=++∑≠≤≤ ）（有）对（是直和；）（§3 欧式空间定义 设V 就是实数域R 上得有限维线性空间,在V 上定义了一个二元实函数,称为内积,记作),(βα,满足以下四条公理:1)对称性 ),(),(αββα=;2)关于标量乘法线性性质 ),(),(βαβαk k =;3) 关于向量加法得线性性质),(),(),(γβγαγβα+=+;4)正定性0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα这里γβα,,就是V 任意得向量,k 就是任意实数,这样得线性空间V 称为欧几里得空间、12121212(1)(2)0;(3)dim()dim dim .W W W W W W W W +⋂=+=+是直和；12m W W W V 设，，，是的线性子空间，则下列结论相互等价：例1 在线性空间n R 中,对于向量),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,定义内积.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1)则内积(1)适合定义中得条件,这样n R 就成为一个欧几里得空间、3=n 时,(1)式就就是几何空间中得向量得内积在直角坐标系中得坐标表达式、例2 在n R 里, 对于向量),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,定义内积.2),(2211n n b na b a b a +++= βα则内积(1)适合定义中得条件,这样nR 就也成为一个欧几里得空间、对同一个线性空间可以引入不同得内积,使得它作成欧几里得空间、例 3 在闭区间],[b a 上得所有实连续函数所成得空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积 ⎰=ba dx x g x f x g x f )()())(),((、 (2) 对于内积(2),),(b a C 构成一个欧几里得空间、同样地,线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间、例4 令H 就是一切平方与收敛得实数列+∞<=∑∞=1221),,,,(n n n x x x x ξ所成得集合,则H 就是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间、定义 非负实数),(αα称为向量α得长度,记为α、显然,向量得长度一般就是正数,只有零向量得长度才就是零,这样定义得长度符合熟知得性质:αα||k k = (3)这里V R k ∈∈α,、长度为1得向量叫做单位向量、如果,0≠α由(3)式,向量αα1就就是一个单位向量、用向量α得长度去除向量α,通常称为把α单位化、(Cauchy-Buniakowski 不等式)对任意得向量,,αβ有|(,)|||||,αβαβ≤而且等号成立当且仅当,,αβ线性相关、(保证向量夹角定义得合理性)定义 非零向量βα,得夹角><βα,规定为πβαβαβαβα≤≤>=<,0,),(arccos ,根据柯西-布涅柯夫斯基不等式,有三角形不等式βαβα+≤+、定义 如果向量βα,得内积为零,即0),(=βα那么βα,称为正交或互相垂直,记为βα⊥、 两个非零向量正交得充要条件就是它们得夹角为2π、只有零向量才与自己正交、 勾股定理:当βα,正交时, .222βαβα+=+推广:如果向量两m ααα,,,21 两两正交,那么 22221221m m αααααα+++=+++ 、(),(,)ij nn ij i j A a a ηη==称为基n εεε,,,21 得度量矩阵、度量矩阵完全确定了内积、(,)T X AY αβ=标准欧式空间(其内积关于自然基得度量矩阵就是n 阶单位阵)定义 欧氏空间V 得一组非零得向量,如果它们两两正交,就称为一个正交向量组、由单个非零向量所成得向量组也就是正交向量组、在n 维欧氏空间中,两两正交得非零向量不能超过n 个、正交向量组一定就是线性无关得。

若正交向量组中得向量都就是单位向量,则称为规范正交组。

定义 在n 维欧氏空间中,由n 个向量组成得正交向量组称为正交基;由单位向量组成得正交基称为规范正交基组、对一组正交基进行单位化就得到一组规范正交基、欧式空间得线性子空间必存在规范正交基。

在规范正交基下,向量得内积可以通过坐标简单地表示出来, 1122(,).T n n x y x y x y X Y αβ=+++=这个表达式正就是几何中向量得内积在直角坐标系中坐标表达式得推广、把一组线性无关得向量变成一单位正交向量组得方法在一些书与文献中称为格拉姆-施密特(Schimidt)正交化方法、 (P314)定义 欧氏空间V 与V '称为同构得,如果存在线性空间得同构(,)R A Hom V V '∈,保持内积,即 ((),())(,)A A αβαβ'=,对任意得,V αβ∈成立,这样得映射A 称为V 到V '得同构映射、同构得欧氏空间必有相同得维数、每个n 维得欧氏空间都与n R 同构、同构作为欧氏空间之间得关系具有反身性、对称性与传递性、由每个n 维欧氏空间都与n R 同构知,任意两个n 维欧氏空间都同构、定理 两个有限维欧氏空间同构⇔它们得维数相等、这个定理说明,从抽象得观点瞧,欧氏空间得结构完全被它们得维数决定、§4 欧式空间中得正交补空间与正交投影S 就是欧式空间V 得一个子集,如果V 中向量α与S 中每个向量都正交,则称α与S 正交,记做S α⊥、正交投影得定义,正交投影得求法(P321-323) V W W ⊥=⊕,则其中每个向量α都能唯一得表示成1212,,W W ααααα⊥=+∈∈ 1W α∈就是α在W 上得正交投影得充要条件就是1W αα⊥-∈、令1:W P V W V αα→⊆则W P 为V 在W 上得正交投影、在W 中取一个规范正交基1,,m ηη,则α在W 上得正交投影为1()(,)m W i i i P ααηη==∑、 正交投影得求法:（1） 用施密特正交化方法求出W 得规范正交基,再用1()(,)m W i i i P ααηη==∑ （2） 设1i W αη=∈∑,则21W ααα⊥=-∈,2(,)0i αη=解齐次线性方程组（3） 把(2)写成矩阵形式,解决T A AX AY =,()W P AX α=V 中任意向量α在子空间W 上得最佳逼近元存在且唯一,就就是α在W 上得正交投 影()W P α、最小二乘法(偏差总与最小——>偏差平方与最小)(P327-328)最小二乘法问题:线性方程组S V ,V ,,{|(,)0}.S S S S V S ααββ⊥⊥=∈=∈定义设是欧几里得空间的一个非空子集中与正交的所有向量组成的集合称为的正交补记作即对所有的.S V S V ⊥命题设是欧几里空间的任意一个非空子集，则是的一个线性子空间.W V V W W ⊥=⊕定理设是欧几里得空间的一个线性子空间，则11,||||,.W V V W W W ααααααββ∈∈-≤-∈定理设是欧几里得空间的子空间，对于是在上的正交投影的充分必要条件为对所有的.||||,.W V V W W W αδβαδαβδα∈-≤-定义设是欧几里得空间的一个子空间，是中的向量如果中存在一个向量使得对所有的有那么称为在上的最佳逼近元⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=-+++=-+++0,0,022112222212111212111n s ns n n s s s s b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 可能无解、即任何一组数s x x x ,,,21 都可能使∑=-+++n i i s is i i b x a x a x a122211)( (1) 不等于零、我们设法找00201,,,s x x x 使(1)最小,这样得00201,,,s x x x 称为方程组得最小二乘解、这种问题就叫最小二乘法问题、下面利用欧氏空间得概念来表达最小二乘法,并给出最小二乘解所满足得代数条件、.,,,112112121212222111211AX x a x a x a Y x x x X b b b B a a a a a a a a a A s j j nj s j j j s j j j s n ns n n s s =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑=== (2) 用距离得概念,(1)就就是2B Y -最小二乘法就就是找00201,,,s x x x 使Y 与B 得距离最短、但从(2),知道向量Y 就就是 .21222122121111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ns s s s n n a a a x a a a x a a a x Y 把A 得各列向量分别记成s ααα,,,21 、由它们生成得子空间为),,,(21s L ααα =、Y 就就是),,,(21s L ααα =中得向量、于就是最小二乘法问题可叙述成:找X 使(1)最小,就就是在),,,(21s L ααα =中找一向量Y ,使得B 到它得距离比到子空间),,,(21s L ααα =中其它向量得距离都短、应用前面所讲得结论,设s s x x x AX Y ααα+++== 2211就是所求得向量,则AX B Y B C -=-=必须垂直于子空间),,,(21s L ααα =、为此只须而且必须0),(),(),(21====s C C C ααα回忆矩阵乘法规则,上述一串等式可以写成矩阵相乘得式子,即120,0,,0.T T T s C C C ααα=== 而12,,,T T T s ααα按行正好排成矩阵T A ,上述一串等式合起来就就是()0T A B AX -=或T T A AX A B =这就就是最小二乘解所满足得代数方程,它就是一个线性方程组,系数矩阵就是T A A ,常数项就是TA B 、这种线性方程组总就是有解得、§5 正交变换与正交矩阵定义 欧氏空间V 得线性变换A 叫做一个正交变换,如果它保持向量得内积不变,即对任意得,都有V ∈βα,,都有(A α,A β)=),(βα、正交变换可以从几个不同方面公平加以刻画、正交群(,)O n R设A 就是n 维欧氏空间得一个正交变换,则有以下结论:（1） 如果n εεε,,,21 就是规范正交基,那么A 1ε, A 2ε,…, A n ε也就是规范正交基;（2） A 保持向量得长度不变,即对于V ∈α,(A α,A α)=(α,α);（3） A 在任一组规范正交基下得矩阵就是正交矩阵T A A E =、（4） 正交变换得乘积与正交矩阵得逆矩阵也就是正交矩阵、如果A 就是正交矩阵,那么由 T AA E =可知 12=A 或者1±=A 、因此,正交变换得行列式等于+1或-1、行列式等于+1得正交矩阵通常称为旋转,或者称为第一类得,特殊正交群(,)SO n R ;行列式等于-1得正交变换称为第二类得、1123410T T A n A A A AA E A -==推论设是一个阶实数矩阵，那么下列条件是等价的：（）是正交矩阵；（）；（）；（）的每个列的元素的平方和等于，不同列的对应元素之积和等于，即：510.A （）的每个行的元素的平方和等于，不同行的对应元素之积和等于。