流体力学第七章

2
ui xi
2 3
u
i j
对于不可压缩流体,有：u 0
如果用坐标系表示，有： ij
u j xi
ui x j
i j
-
p
2
ui xi
i j
粘性切应力：
xy
2 xy
u y x
ux y
yz
2 yz
uz y
u y z
zx
2 zx
ux
z
uz x
法向应力：
xx
p 2
ux x
p 2xx
（3）当流体静止时，变形率为零，流体中的应力为流体静 压强。
由第三条件假定可知，在静止状态下，流体的应力只有正 应力，无切应力。即：
xx yy zz p0
因此，在静止状态下，流体的应力状态为
1 0 0
p0 0 1 0 p0I
0 0 1
根据第一条假定，并受第三条假定的启发，可将应力矩阵 与变形率矩阵写成如下线性关系式（本构关系）。
xx yx
zx
xy yx
xy
xz
yy yz
zy
zz
xz zx yz zy
（1）在理想流体中，不存在切应力，三个法向应力相等，
等于该点压强的负值。即
xx yy zz p
1 0 0
p0 1 0
0 0 1
（2）在粘性流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的 法向应力之和一个不变量，并定义此不变量的平均值为 该点的平均压强的负值。即 p xx yy zz
ux z
z
-
1 2
u y x
ux y
y
1 ux 2 z
uz x
z
ux (x, y, z,t) (yz zy) xxx xyy xzz
对于y,z方向的速度分量，也可得到
uy(x
x,
y
y,
z
z, t )
uy (x,
y,
z,t)
u y x
x
u y y
y
u y z
z
uy (x, y, z, t) (zx xz) xyx yyy zyz
定义如下： 流体微团平动速度：ux (x, y, z,t), uy (x, y, z,t), uz (x, y, z,t)
流体微团线变形速度： xx
ux x
, yy
u y y
, zz
uz z
流体微团角变形速度（剪切变形速度）：
xy
1 2
u y x
ux y
, xz
1 uz 2 x
ux z
,
yz
平动
转动
线变形
角变形
2、速度分解定理
德国物理学家 Helmholtz（1821-1894）1858年提出的 流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设 在流场中，相距微量的任意两点，按泰勒级数展开给出分解。
在 M 0 (x, 速y, z度) 为
ux (x, y, z,t) uy (x, y, z,t) uz (x, y, z,t)
uy x
说明应力矩阵与变形率矩阵成正比。对于一般的三维流动， Stokes（1845年）通过引入三条假定，将牛顿内摩擦定律进 行推广，提出广义牛顿内摩擦定理。
2、Stokes假设（1845年）
（1）流体是连续的，它的应力矩阵与变形率矩阵成线性关 系，与流体的平动和转动无关。
（2）流体是各向同性的，其应力与变形率的关系与坐标系 的选择和位置无关。
zz
p 2
uz z
p 2 zz
yy
p 2
u y y
p 2 yy
➢本构方程：应力与变形速率之间的关系称为本构关系
对于剪切流动的简单情况， 牛顿内摩擦定律：
du
dy
对于剪切流动的复杂情 况，牛顿内摩擦定律：
根据各向同性假设有 x,y,z三个切向应力：
xy
( v
x
u ) y
4、变形率矩阵（或变形率张量，或应变率张量）
在速度分解定理中，最后一项是由流体微团变形引起的，
其中 称为变 形率矩阵，或变形率张量。该项与流体微团的
粘性应力存在直接关系。
定义，流体微团的变形率矩阵为
xx
xy
xz
yx yy yz
zx
zy
zz
该矩阵是个对称矩阵，每个分量的大小与坐标系的选择有 关，但有三个量是与坐标系选择无关的不变量。它们是：
uz x
z
如果令：
xx
ux x
xy
1 2
u y x
ux y
, xz
1 uz 2 x
ux z
z
1 2
u y x
ux y
, y
1 ux 2 z
uz x
综合起来，有：
ux (x x, y y, z z,t)
ux (x,
y, z,t)
ux x
x
1 2
u y x
ux y
y
1 uz 2 x
1 2
uz y
u y z
流体微团旋转角速度：
z
1 2
u y x
ux y
, y
1 ux 2 z
uz x
,
z
1 2
u y x
ux y
3、有旋运动与无旋运动
流体质点的涡量定义为
i jk
2
u
rotu
x y z
ux uy uz
表示流体质点绕自身轴旋转角速度的2倍。并由涡量是否为 零，定义无旋流动与有旋运动。
第7章 不可压缩粘性流体的流动
流体微团的运动形式与速度分解定理 粘性流体的应力状态 广义牛顿内摩擦定理（本构关系） Navier-Stokes方程
➢ 主要讨论层流问题
边界层理论
流体微团的运动形式与速度分解定理
1、流体微团运动的基本形式
流体微团在运动过程中，将发生刚体运动（平动和转动） 与变形运动（线变形和角变形运动）。
另外两个坐标轴，为切应力在坐标轴向的投影分量。
由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位 和投影方向表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线 方向，第二个下标表示应力分量的投影方向。
如，对于x面的合应力x 可表xxi示为 xy
j
xzk
y面的合应力表达式为
y
yxi yy j yzk
x
dx
BCGF面： ( xz
1 2
xz
x
dx)
B A
F E
ABFE面： yz
1 2
yz
y
dy
CGHD面： ( yz
1 2
yz
y
dy)
C D
z方向上表面力的合力：
G
zz dz dxdy xz dx dydz yz dy dxdz
H
z
x
y
质量力： fz m fz dxdydz
2、粘性流体中的应力状态
在粘性流体运动中，由于存在切向力，过任意一点单位面 积上的表面力就不一定垂直于作用面，且各个方向的大小也 不一定相等。因此，作用于任意方向微元面积上合应力可分 解为法向应力和切向应力。如果作用面的法线方向与坐标轴 重合，则合应力可分解为三个分量，其中垂直于作用面的为 法应力，另外两个与作用面相切为切应力，分别平行于
z面的合应力表达式为
z
zxi zy j zzk
如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么 过该点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。 因此，我们把三个坐标面上的九个应力分量称为该点的应力 状态，由这九个应力分量组成的矩阵称为应力矩阵（或应力 张量）。根据剪力互等定理，在这九分量中，只有六个是独 立的，其中三法向应力和三个切向应力。这个应力矩阵如同 变形率矩阵一样，是个对称矩阵。
b3 0
b1
1 3
然后代入第一式中，有
b2
2 3
如果令
p
xx
yy
zz
3
称为流体压强。则本构关系为：
2 p 2 uI
3
上式即为广义牛顿内摩擦定理（亦为牛顿流体的本构方
程，constructive equation）
用指标形式，上式可表示为
ij
u j xi
ui x j
i j
- p
a bI
式中，系数a、b是与坐标选择无关的标量。参照牛顿内摩 擦定理，系数a只取决于流体的物理性质，可取：
a 2
由于系数b与坐标系的转动无关，因此可以推断，要保 持应力与变形率成线性关系，系数b只能由应力矩阵与变形 率矩阵中的那些线性不变量构成。即令：
b b1( xx yy zz ) b2 ( xx yy zz ) b3
3
（3）在粘性流体中，任意面上的切应力一般不为零。
xy xz 0
§ 7-1 微元体的表面力与本构方程
如图，微元体每个面上有正应力和切应力。第一个角标指 垂直于每轴的面，第二个角标指应力方向（坐标轴上的投 影）共有9个量，构成二阶张量——应力张量：
xx
xy
xz
ij yx yy yz
B A
F E
由Fz m az得：
fz
zz
z
xz
x
yz
y
uz (x
x,
y
y,
z
z, t )
uz (x,
y,
z,t)
uz x
x
百度文库
uz y
y
uz z
z
uz (x, y, z, t) (xy yx) xzx yzy zzz
写成矢量形式：
r u(M1
)
r u(M0
)
r
rr
rr
其中，第一项表示微团的平动速度， 第二项表示微团转动引起的， 第三项表示微团变形（线变形和角变形）引起的。
2
z
xy
yx
( v
x
u ) y
yz
zy
( w
y
v ) z
zx
xz
( u
z
w) x
对于静止流体， xx yy zz p
1 3
(
xx
yy
zz
)
p(热力学压强）
根据斯托克斯假设，在粘性不可压流体中x,y,z三个法向应力的
表达式为：
xx
p
2
u x
yy
p
2
v y
zz
p
2
在 M1(x x, y 点y, z处 ，z,t速) 度为
u u
x y
( (
x x
x, x,
y y
y, y,
z z
z, z,
t) t)
uz (x x, y y, z z,t)
以x方向速度分量为例，由泰勒级数展开，有
ux (x x, y y, z z,t)
ux (x,
y,
z,t)
b
b1(
xx
yy
zz
)
b2 u
b3
式中， b1 b2为b待3 定系数。将a、b代入，有：
2 b1( xx yy zz ) b2 u b3 I
取等式两边矩阵主对角线上的三个分量之和，可得出：
( xx yy zz ) 2 u 3b1( xx yy zz ) 3b2 u 3b3
归并同类项，得到： (1 3b1)( xx yy zz ) (2 3b2 ) u 3b3
在静止状态下，速度的散度为零，且有： ur 0 , ( xx yy zz ) 3 p0
于是，有：
p0 (1 3b1) b3
由于b1和b3均为常数，且要求p0在静止状态的任何情况下
均成立，则
zx
zy
zz
为研究粘性流体的运动，我们需 要找到应力与应变率的关系—— 本构关系
广义牛顿内摩擦定理（本构关系）
1、牛顿内摩擦定理启发
牛顿内摩擦定理得到，粘性流体作直线层状流动时，流层 之间的切应力与速度梯度成正比。即：
dux
dy
如果用变形率矩阵和应力矩阵表示，有：
yx
2 yx
ux y
粘性流体的应力状态
1、理想流体和粘性流体作用面受力差别
流体处于静止状态，只能承受压 力，几乎不能承受拉力和剪力，不具 有抵抗剪切变形的能力。理想流体在 运动状态下，流体质点之间可以存在 相对运动，但不具有抵抗剪切变形的 能力。因此，作用于流体内部任意面 上的力只有正向力，无切向力。
粘性流体在运动状态下，流体质 点之间可以存在相对运动，流体具有 抵抗剪切变形的能力。因此，作用于 流体内部任意面上力既有正向力，也 有切向力。
I1 xx yy zz
I2
xx yy
yy zz
xx zz
2 xy
2 yz
2 zx
xx xy xz I3 yx yy yz
zx zy zz
其中对于第一不变量，具有明确的物理意义。表示速度场 的散度，或流体微团的相对体积膨胀率。
I1
xx
yy zz
ux x
ux x
x
ux y
y
ux z
z
将上式分别加、减下列两项 1 uy y , 1 uz z
2 x
2 x
得到： ux (x x, y y, z z,t)
ux (x,
y, z,t)
ux x
x
1 2
u y x
ux y
y
1 uz 2 x
ux z
z
-
1 2
u y x
ux y
y
1 ux 2 z
w z
将上述三式相加，并根据连续性方程得到：
1 3
( xx
yy
zz )
p
§ 7-2 N-S方程
如图微元体，每个面上正应力 沿外法线方向，切应力沿坐标 轴正向
现分析z方向上表面力 正应力
C D
G H
（ zz
1 2
zz
z
dz)
( zz
1 2
zz
z
dz)
zz
z
dz
切应力
ADHE面： xz
1 2
xz
u y y
uz z
u
5.速度梯度分解
速度梯度是一个二阶张量
u x u x u x
x
y
z
ui x j
u y
x
u y y
u y
z
u z u z u z
x
y
z
i, j x, y, z
ui xj
1 2
ui xj
u j xi
1 2
ui xj
u j xi
S ij
ij
Sij即为变形率张量（应变率张量），γij称为旋转张量。