1-3傍轴条件下的单球面折射成像解析
1-3傍轴条件下的单球面折射成像资料
y ' ns ' #
y n's
f ' n' ，代入 #式，得 fn
f x'
x f'
2)
tan(u) h u Q
s
y
n
l -u
tan(u) h u s
P -s
代入#式，得：
y y
nu n u
-i A n’
h -i’ l’
d
u’
O rC
P’ -y’
s’
Q’
拉格朗日—亥姆霍兹不变式
y' y
P Q C ∽ P Q C , yP C s r
y P Cr s
由 物 像 公 式 n ' n n ' n ， 变 形 得 ： s r n s
s ' s r
s r n s
y' ns' #
y n's
12
1)利用s ( f x),s' ( f ' x'), 牛顿公式xx' ff ',
焦物距x：物方焦点到物点的距离
焦象距x'：象方焦点到象点的距离
n -x -f
•P F• -s
n'
f'
x' P’
F• ' •
s'
f f 1 s s
根据上面的定义, 有：s=x+f , s'=x'+f '
代入高斯公式，得
f ' f 1
f 'x' f x
整理得 xx'ff' ---牛顿公式(普适公式)
1-3傍轴条件下的单球面折 射成像
2011 应用光学-1.3
αγ = β
拉亥不变量J（拉格朗日—亥姆霍兹不变量 亥姆霍兹不变量） 1.3.5 拉亥不变量 （拉格朗日 亥姆霍兹不变量）
nuy = n u y = J
' ' '
--拉格朗日 亥姆霍兹恒等式 --拉格朗日—亥姆霍兹恒等式 拉格朗日
上式表明，在一对共轭平面内，成像的物高y， 成像光束的孔径角u和所在介质的折射率n三者的乘 积是一个常数 常数—J。 常数
n' ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ = β1β 2 n
对A1和A2两物点分别应用
n' n n'−n n' n − = = − l2 ' l2 r l1 ' l1
β1和β2分别为物在 A1和A2两点的垂轴放大率
3、角放大率γ 角放大率γ
u' 令： γ = 称为角放大率 u l n 1 = = ⋅ l ' n' β
三个放大率的关系： 三个放大率的关系：
n' n n'−n − = l' l r
对上式求微分
dl ' nl ' n' 2 = 2= β α= dl n' l n
---只在物体轴向尺寸很小时适用
2
(2) 平均轴向放大率
如果物体轴向尺寸足够 大，如图右则轴向放大率 表示。 用 表示。
α
l2 '−l1 ' α = l2 − l1 l2 '−l1 ' nl1 ' l2 ' α = = l2 − l1 n' l1l2
共轭面上垂轴放大率只与共轭面的位置有关， 而与物在共轭面的位置无关，即同一对共轭面 上垂轴放大率为常数，物像相似。 当β<0时，表示 y ′ 和y异号，成倒像 β 倒像；同时 倒像 l和 l ′异号表示物像处于球面两侧 实物成实 物像处于球面两侧，实物成实 物像处于球面两侧 像，虚物成虚像。 虚物成虚像 当β>0 β>0时， ′ 和y同号，成正像 正像；同时l和 l ′ β>0 正像 y 物像处于球面的同侧，实物成虚像 同号物像处于球面的同侧 实物成虚像，虚 物像处于球面的同侧 实物成虚像， 物成实像。 物成实像
单球面反射和折射
5. 特例
（1）球面反射
n n'
1 1 2 p p' r
平行光线入射，p ，代入物像公式 1 1 2 得 pf'' 2r 2r，f ' 此时对应的像点叫焦点（fpocusp）' r 焦点到顶点的距离— 焦距（focal length）
物像公式为
11 1 p p' f '
（Gauss公式）
1.5 1.0
(8) (1)
1.2
,即成正立、放大的实像。
总的横向放大率
1
2
3
0.5 (
1) 1.2 3
为20cm和15cm，薄透镜折射率为1.5，在凸面 镀银。在球面前方40处的主轴上置一高为1cm 的物，求像的位置和成像的性质。
[解]（1）P经凹球面折射成像：
p1=-40cm，n=1.0，n’=1.5，r1=-20cm，代入
n' n n'n p1' p1 r1
1
np1 ' n' p1
1 2
,
1.5 1.0 0.5 p1' 40 20
三、傍轴球面折射的物象关系式
nn'n (u(' u in)) unn('(n'('niu'))') n
p
u
i o
n' h i' c u '
p'
u h p'
r
p
p'
u h p
h
n n nn
p' p r
物像关系式
r
定义 光焦度
Φ n'n r
单球面物象折射公式及其应用
引言（绪论）光学中以光线概念为基础研究光的传播和成像规律的一个重要分支是几何光学.在几何光学中，折射定律的发现标志着光线传播定律的最终确立，费马原理即是解释、证明和概括光线传播实验定律的途径之一. 本文依据费马原理，推导出了近轴光线条件下的单球面物像折射公式.应用近轴光线条件下的单球面物像折射公式，可以推导出多种情况下的成像公式，为研究复杂的光学系统成像提供了基础性的理论依据，以说明单球面物像折射公式在几何光学中的基础重要性.1 符号法则为了研究光线经由球面反射和折射后的光路，必须先说明一些概念以及规定适当的符号法则，以便使所得的结果能普遍适用，方便读者阅读.图1 主平面内的球面反射图1中的AOB表示球面的一部分.这部分球面的中心点O称为顶点，球面的球心C 称为曲率中心，球面的半径称为曲率半径，连接顶点和曲率中心的直线CO称为主轴，通过主轴的平面称为主平面.主轴对于所有的主平面具有对称性.因此只需讨论一个主平面内光线的反射情况.图1表示球面的一个主平面.在计算任一条光线的线段长度和角度时，对符号作如下规定：（1）线段长度都从顶点算起，凡光线和主轴的交点在顶点右方的，线段长度的数值为正；凡光线和主轴的交点在顶点左方的，线段长度的数值负.物点或像点至主轴的距离，在主轴上方的为正，下方的为负.（2）光线方向的倾斜角度都从主轴（或球面法线）转向有关光线时，若沿顺时针方向移动，则该角度为正；若沿逆时针方向转动，则该角度为负（再考虑角度的符号时，不必考虑组成该角的线段的符号）.（3）在图中出现的长度和角度（几何量）只用正值.例如s表示的某线来表示该线段的几何长度.下讨论都假定光线自左向右传段的值是负的，则应用s播.（4）特俗情况下的，文中均在相应位置另有特殊解释说明.2 单球面物象折射公式的推导2.1 球面折射的一般分析设有两种透明均匀的各向同性的介质，界面∑为球面的一部分，两侧介质折射率分别为n 和'n 且n<'n ，如图2所示，折射球面∑的曲率中心C 与顶点O 的连线为主光轴，简称主轴（∑面关于主轴的旋转对称面）.图2 光在单球面上的折射设主光轴上面顶点O 的左方有一真实发光点P ，他发出的同心光束的任意一条光线自左向右入射到∑面上的M 点，相应的折射与主轴交与'P 点.以球面顶点O 为计量原点，记球面曲率半径,'',,OC s OP s OP r ===,l PM =''l MP =ϕ=∠MOC . 则PMP’的光程为∆'PMP =''l n nl +在PMC ∆和'MCP ∆中应用余弦定理，并注意()ϕπϕ--=c o s c o s()r s PC +-= r s CP -=''可得 ()()ϕcos 222s r r r s r l --+-=()()ϕcos '2''22r s r r r s l -++-=因此，光线PMP 的光程可写成∆'P M P =ϕϕcos )'(2)'('cos )(2)(2222r s r r s r n s r r s r r n -+-++---+ 式（2-1）根据费马原理，光程变化率应为0，即0d d =ϕl 式（2-2） 代入∆'PMP 的表达式进行求导，有ϕϕϕϕcos )'(2)'(sin )'(2'cos )(2)(sin )(22222r s r r s r r s r n s r r s r r s r r n -+-+--=---+-经计算整理后可得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---=---)'('1)(1)cos 1(2)'('')(22222222r s n s r n r r s n s s r n s ϕ 式（2-3） 给定s 和ϕ可由式(2-3)定出.一般来说，'s 与ϕ有关，这意味着由同一P 点发出的同心光束中的各条光线，经∑面折射后，不再汇交与一点，即球面折射破坏了光束的同心性，使轴上发光点不能成像.有两种特殊情况值得注意.其一，令式(2-3)两端同时等于零，即222222)'('')(s r s n s s r n ---=0 式（2-4))'('1)(122r s n s r n -+-=0 式（2-5）求解这组联立方程的解，从而把s 和s’同时确定下来，它们均与ϕ无关，此时的P 和'P 是一对特殊的共轭点，称为球面折射的齐明点或不晕点.对一对齐明点，宽光束经球面折射后仍能成像.其二是把光束限制在近轴区域内，即1cos ≈ϕ，此种的讨论，详见下文.2.2 近轴光线的单球面折射2.2.1 物象距公式在近轴光线的条件下，ϕ值很小，在一级近似下，1cos ≈ϕ，因此式(2-3)中的0)cos 1(≈-ϕ,'s 与ϕ近似无关，则有 222222)'('')(r s n s r s n s -=- 式（2-6）将上面等式两端同时开放，经数学处理后，可得如下简单关系式： rn n s n s n -=-''' 式（2-7） 上式表明，在n 、'n 和r 给定的条件下，在近轴区，轴上物点P 经球面∑折射后可在轴上得一相应的像点'P .从球面顶点O 到像点'P 的距离's 称为像距；从球面顶点O 到P 的距离s 称为物距；'n 和n 分别称为像方折射率和物方折射率，式(2-7)称为球面折射近轴成像的物象距公式.此式对凹球面同样成立.2.2.2 焦距公式如果位于主轴上的物点位置改变，则与之共轭的像点在主轴上的位置必有相应改变.轴上无限远处物点的共轭像点称为折射面的像方焦点，记作'F ；面顶点O 到像方焦点'F 的距离称为像方焦距，记作'f ,轴上无限远处像点的共轭物点称为折射球面的物方焦点，记作F ；球面顶点O 到物方焦点F 的距离称为物方焦距，记作f .由前文关于物距、像距的的符号规则可知：当'F 在O 点右方时'f >0,在O 点左方时'f <0；当F 在O 点左方时f>0,在O 点右方时f<0.根据式(2-7)及上述焦点的定义，可知：当 -∞=s 时nn r n s f -=='''' 式(2-8） 当 ∞='s 时 n n nr s f --==' 式(2-9） 可见，折射球面的两个焦距与它的几何形状（r ）及其两侧介质折射率（n ,'n ）有关，由式(2-8)和式(2-9)可得两个焦距之比为 nn f f ''-= 式(2-10) 上式表明，折射球面的两个焦距数值一般不等，但符号相反，因此，相应的两个焦点必定分居球面顶点两侧不等距离处.2.2.3 球面折射近轴物点近轴成像如图2所示，主轴上的P 、'P 是一对共轭点.设想将主轴绕折射球面曲率中心C 并在图面内沿顺时针方向旋转一小角度θ，主轴变成副轴，P 、'P 点分别转到Q 、'Q 点.由于球对称性，Q 、'Q 必然也是一对共轭点，这就证明了近轴物点可以成像.由于θ角很小（在近轴区），可以认为弧PQ ≈PQ ，弧''Q P ≈''Q P ,且''P Q QP 和近似地垂直于主轴，P 、'P 点分别是Q 、'Q 点在主轴上的的垂足，所以s 和's 分别为近轴物点Q 的物距和像点'Q 的像距，它们满足式(2-7).近轴物点及其共轭像点到主轴的距离分别为物高和像高，用y 和'y 表示.引入横向放大率β,其定义为像高和物高之比，即 yy '≡β 式（2-11）在近轴区的条件下，i i =sin ，又由折射定律，可得''i n ni = 式（2-12）图3 单球面折射近轴物点成像即有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-'''s y n s y n 式（2-13） 由式(2-11)，可以得到横向放大率公式 sn ns ''=β 式（2-14） 3.单球面物像折射公式的应用3.1 高斯公式的推导把式(2-8)和式(2-9)代入式(2-7)可得，''''f n f n s n s n =-=- 或 1''=+sf s f 式（3-1） 此式便是普遍的物像公式，称为高斯物像公式.3.2 牛顿公式的推导如图4，在确定物点P 和像点'P 的位置后，我们把物距和像距分别从物方焦距和像方焦距算起.物点在F 之左的，物距FP 用x -表示；像点在'F 之右的，像距P F '用'x +表示.反之亦然.这样就有()()f x s -+-=- ()()'''x f s +++=图4 顶点为物方和像方焦点时的物距和像距示意图代入式(3-1)可得1'''=+++fx f f x f 即有''ff xx = 式（3-2） 此式便是牛顿公式.3.3 近轴光线单球面反射公式的推导对于反射情况，这里利用焦距和折射率的关系，从两方面入手进行讨论与推导.下面先就焦距与折射率的关系开始进行讨论.关于焦距和折射率的关系，已在上文中给出了具体的关系式，即式（2-10）. 在球面反射的情况中，物空间与像空间重合，且反射光线与入射光线的传播方向恰恰相反.这一情况，在数学处理上可以认为像方介质的折射率'n 等于物方介质折射率n 的负值，即nn -='（这仅在数学上有意义）。
成像的基本概念
( x ) ( f) P xP f
f x P
f f 1 代入高斯公式 P P f f 1 f x f x
牛顿公式
f x x f
四、单球面反射成像 反射定律是折射定律的一个特例 （n2= － n1 ）
n = -n´
-μ Q C -r Q´
tan 中央光线和边缘光线的夹角 sin
（2）波动学要求
由物点发出的光波经光学系统到达像 点时，各光线间的最大程差不超过光波波 长的1/4。 改善像质，就要限制非近轴光线进入 光学系统。或采用加工极为复杂的非球面 系统。 在近轴条件下，一个确定的光学系统 物像之间具有一一对应的变换关系。 物像共轭：把物放在像的位置，则其像就 成在物原来的位置上。
§1-2 成像的基本概念
一、像 物点发出的球面波经光学系统后形成 的新球面波的球心称为该物点是实际光线的会聚 点，能用屏幕接收到。 虚像：发散球面波球心是实际光线的反向 延长线的交点，不能用屏幕接收到。 实物：物点发出的是发散的球面波 虚物：物点发出的是会聚的球面波 光学系统：光学元件以及元件间的间隔作为 一个整体。各光学元件的对称轴为主光轴 二、几何光学成像的近轴条件 （1）几何学要求
（2）平行光线照在反射镜上，仍以平行 光线反射，镜面反射的光线，再次经过球 面折射，此时仍用球面折射公式
(nn ) n n P P r 2 2
n h -h -2R
n´
此时，光线自右向左进行，球面右方是 物空间，折射率为 n´：左方是像空间，折 射率为 n ，公式中 n´与 n互易。 将 P ,r R 代入折射公式得 2
i
-i´ - μ´ -P´ O
-P
将 n´= － n 代入球面折射公式即可得到 球面反射公式。
符号法则单个折射球面成像
几何光学基础
1
§1.3 光路计算
所谓成像过程，就是物光束经光学系统逐次折、反射 的结果。
光在各向同性、均匀介质中总是沿直线传播的改变方 向只有在界面上进行，所以，把单个折射球面的问题搞清 楚了，那么由多个球面组成的系统的问题亦就迎刃而解。
2
一、 基本概念与符号规则
设在空间存在如下一个折射球面：
讨论:
① 当 n n' 时 1 无折射面 ② 0 正像, 物像同方向, y, y' 同号
③ 0 倒像,物像逆方向, y, y' 异号
④ 0 l,l' 同号物像虚实相反(物像同侧) ⑤ 0 l,l' 异号物像虚实相同（物像异侧）
⑥ 1 放大， 1 缩小
⑦ 0 l 即无穷远物将在某点缩
在近轴区域内，通过物点的光线经过光学系统后，必然通过 相应的像点，这样一对共轭光线与光轴夹角u 和u′的比值，称 为角放大率，以希腊字母γ表示
u
u
利用关系式 lu lu ,上式可写为
l
l
可得 n ·1
n
4.三放大率之间的关系
n 2·n ·1
n n
27
5.拉亥不变量J
由公式 y / y nl / nl
n
由此式可见，如果物体是一个沿轴放置的正方形，因垂轴放 大率和轴向放大率不一致,则其像不再是正方形。还可以看出， 折射球面的轴向放大率恒为正值，这表示物点沿轴移动，其 25 像点以同样方向沿轴移动。
补充一点：
一个沿轴向有一定厚度的物经成像后，其轴向 高度将不再与物相似。
如图所示
26
3.角放大率γ
反射定律可由折射定律在 n n 时导出。因此， 在折射面的公式中，只要使 n n, 便可直接得到
2 傍轴球面成像
光学成像系统
虚物点P
实像(real image)
出射光束为会聚同心光束
光学ห้องสมุดไป่ตู้像系统
会 聚 出 射 光 束
实像点
P’
虚像(real image)
出射光束为发散同心光束
虚像点
P’
光学成像系统
发 散 出 射 光 束
A
A'
A A'
（1）
（2）
A
A'
A' A
（3）
（4）
虚像能够被人看到或被屏幕接收吗？？
2）拉赫不变式：
u
A
A
u
C
B
y
l
O
r
l
J uy uy
l
l
总结重难点：
1、实像和虚像（联系与区别） 2、物像距公式（及高斯形式） 3、焦距公式（物像焦距的关系） 4、符号法则 5、横向、轴向、角放大率的计算
谢谢！
记得及时做作业哟！ 作业：P14, 14. 17. 21.
实物光线进入人眼
实像光线进入人眼
虚像光线进入人眼
人眼在像点发光范围内可见它
区别: 1、物点向一切方向发光，人眼无论在何处均可看见它 2、像点发光范围受仪器（透镜、面镜等）限制，人眼 只能在其发光范围内可看见它 3、实像点确有光线通过，虚像点根本没有光线通过
物空间(object space)和像空间(image space)
II. 线段： ⑴ 沿光轴的线段：以顶点为起始点，线段在顶点的右侧，其值为正；线 段在顶点的左侧，其值为负。 ⑵ 垂直于光轴的线段：以线段和光轴的交点为起始点，在光轴上方的线 段，其值为正；在光轴下方的线段，其值为负。 ⑶ 和光轴成一定夹角与折射球面相交的线段：以和折射球面的交点为起 始点，线段在交点的右则，其值为正；线段在交点的左则，其值为负。 III. 角度： ⑴ 光线和光轴的夹角：以光轴为起始轴，顺时针转向光线所成的角，其 值为正；逆时针转向光线所成的角，其值为负。 ⑵ 光线和法线的夹角：以光线为起始轴，顺时针转向法线所成的角，其 值为正；逆时针转向法线所成的角，其值为负。 ⑶ 光轴和法线的夹角：以光轴为起始轴，顺时针转向法线所成的角，其 值为正；逆时针转向法线所成的角，其值为负。 IV. 折射面间隔：由前一面顶点到后一面顶点，顺光线传播方向其值为正， 逆光线传播方向其值为负。在折射型光学系统中，折射面间隔恒为正。 V. 折射率
基础光学
第一章 几何光学
§1.1几何光学的基本定律和费马原理 1.1 基本定律 光源、 点光源、 光线、 光束 1 .光的直线传播定律 2 .光的独立传播定律 3 .光的反射定律 4 .光的折射定律 由上述定律可得出光路可逆性原理。
* 几何光学实验定律成立的条件
1.
被研究对象的几何尺寸D远大于入射光波 波长 D/ >>1 衍射现象不明显，定律适用。 D/ ~ 1 衍射现象明显，定律不适用。
( n1 l1 n2 l 2 ) 0 x ( n1 l1 n2 l 2 ) 0 的路径。 z
将l1、l2的表达式代入上式有
l ACB n1l1 n2 l 2
其中： l1 y ( x x1 ) z
2 1 2
l2
y
2 2
2 2
物和像
物点和像点：实物、虚物 、实象、虚象
物面和像面：物点、像点的集合
光学系统: 单个或多个光学元件组成的系统 物方空间：实际的入射光线所在的空间 像方空间：实际的出射光线所在的空间 对应的有物方折射率和像方折射率
Ⅰ
Ⅱ
S2 S1’
S2’ S3 S3’
Ⅲ
n1
n2
n3
n4
2. 2 理想光学系统 同心光束通过系统后仍能保持为同心光束 理想光学系统成像的性质： 1 . 物象之间的共轭性；
前 言
一、光学的研究对象及学习光学的意义 1. 光学的研究对象 光学是研究光的本性、光的产生与控 制、光的传输与检测、光与物质的相互作 用，以及它的各种应用的学科。 2. 学习光学的意义 光学是物理学中一门重要的基础学科， 也是一门应用性很强的学科。
二、 光学发展简史 光是什么？
球面反射和球面折射成像
球面反射成像
一、凹面镜的反射成像
1
2
3
4
5
f
c
F
成像公式
焦距公式
横向放大率
物点在焦点之内，凹面镜成虚像
y
f
l
l’
y’
c
2
1
F
物点在焦点之外，凹面镜成实像
f
c
l
y
l’
y’
1
1
2
2
F
二、凸面镜的反射成像
f
1
2
3
F
y
1
2
1
2
y’
fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
l’
所以成的是缩小正立的虚像，位于镜前右方10 cm处。
解 按题意，l=-30cm，r =30cm，y=10mm
由成像公式可得 cm
二、球面折射成像公式
物方焦距
-
像方焦距
Q
Q´
O
n
n´
r
C
l´
P´
P
y´
y
三、横向放大率
Q
Q´
O
n
n´
r
C
l´
P´
P
y´
y
定义
|β|>1 放大 |β|<1 缩小
β > 0 像正立 β < 0 像倒立
F
F'
四、近轴光线的作图法
共轴球面系统成像（逐次成像）
01
共轴球面系统所成的最终像，可由第一球面所成之像作为第二球面之物、第二球面所成之像作为第三球面之物逐次计算而得。 光学系统的横向放大率为每次球面成像的横向放大率的乘积。
光学习题集(1-3章)
式和焦距表达式。 解：
n' n n'−n − = p' p r
令 n' =
− n ，代入上式
1 1 r + = p' p 2
有：
−n n −n−n − = p' p r
∴
有：
上式即为球面反射成像公式。由：
f '=
n' r nr ; f =− n'−n n'−n
令 n' =
− n ，代入上两式
有：
f '= f =
解： 利用主光线和边缘光线作图，即从
Q 点出发得一条光线先过入瞳中心，再过孔径光阑 Q 点发出的光线先经过入瞳边缘，再经过孔
中心，最后经出瞳中心出射，另一条从
径光阑边缘，最后经出瞳边缘出射，两条光线的交电
Q ' 即为 Q 点的像点。
第二章
2．1 一维简谐平面波函数 E ( p, t )
光波场的描述
n1 sin i1 = n2 sin i2 = n3 sin i3 = L L = n qsini q ；
即：
sin i
q
=
n1 sin i1 nq
∴ 从多层平行媒质出射的光线反向仅与入射光线方向和最外层媒质的折射有关。 1．4 物点 A 经平面镜成像于像点 A' ， A 和 A' 是一对共轭等光程点吗？ 解：是。 可以证明：从物点 A 到像点 A' 到所有光线都是等光程的。即：
即：
f ' = − f = 195.6(mm)
可见：当把该透镜浸入到水中时，焦距由 50mm 变成了 195.6mm。 1．14 照相机的物镜是焦距为 12cm 的薄透镜，底片距透镜最大距离为 20cm，拍摄物镜前 15cm 处的景物，要在物镜上贴加一个多大焦距的薄透镜？ 解： 由题意知：要求物镜上加一薄透镜后物镜为 15cm，像距为 20cm，设合焦距为
光学课程教学电子教案2.2光在单个球面上的折射与成像
2.2.3 轴上物点的傍轴光线成像
(5) 光在单个球面上的反射成像
球面反射成像的特点：可以看作是球面折射的一种特殊形式，不同之处仅在 于经球面反射的光线方向倒转，变为从右向左传播。
反射成像系统中像距的符号规则：若像点Q'在球面顶点O的左侧，则s'>0。 反之，s'<0。
的物距s、像距s'及折射球面S的曲率半径r时，或球面S上任意一点发出的同
心元光束的光轴与系统主光轴之间的夹角w很小时，则球面S和S'分别与过Q
和Q'点的垂轴平面重合。成像系统的物像共轭面近似简化为一对垂轴平面。
(2.2-18)
③ 傍轴光线、傍轴物条件下的物像关系
(2.2-19) (2.2-20) 结论：傍轴光线和傍轴物条件下，轴外物点与轴上物点服从同一物像关系式。 对于球面反射成像系统的傍轴物点：
r→∞时，球面→平面，球面折射和反射成像→平面折射和反射成像，且有 傍轴光线在平面上的折射成像公式：
(2.2-16)
傍轴光线在平面上的反射成像公式：
(2.2-17)
像似深度：傍轴光线在平面上折射成像时的像距s'。
说明：平面镜是唯一能够理想成像的光学系统，而球面折射、反射以及平 面折射系统则只有在近轴近似条件下才能准确成像。
r
s
s'
球面S'。
图2.2-4 离轴物点的傍轴光线成像
S上各点（如Q、Q1和Q2点）发出的同心元光束（以过该点球面法线为 主光轴）经球面折射后，均成像在S'上（如Q'、Q1'和Q2'点）。
2 光学成像的几何学原理
2.2 光在单个球面上的折射与成像
傍轴球面成像 PPT
II. 线段： ⑴ 沿光轴的线段：以顶点为起始点，线段在顶点的右侧，其值为正；线 段在顶点的左侧，其值为负。 ⑵ 垂直于光轴的线段：以线段和光轴的交点为起始点，在光轴上方的线 段，其值为正；在光轴下方的线段，其值为负。 ⑶ 和光轴成一定夹角与折射球面相交的线段：以和折射球面的交点为起 始点，线段在交点的右则，其值为正；线段在交点的左则，其值为负。
r
1 1 1 2 l' l f r
此时 F 和 F 两个焦点重合
光在单个平面上的折射和反射成像
傍轴光线在平面上的折射成像公式：
n n n n l n l
l l r
n
像距l’通常称为平面折射面像的像似深度。
平面反射面像公式：
1 1 2 l' l r
l l
平面镜是唯一能够理想成像的光学系统。
s2m
n' n n'n s' s r
-
➢ 傍轴物点成像与横向放大率
物P
平 面
y
Q
l
傍轴物点的傍轴光线成像
n
n
i
A
C
i
l'
Q'
y
P
像
平 面
轴外共轭点的傍轴条件为： y2,y2l2,l2和 r2
符号法则补充：光轴之上 y(y) 0 ； 光轴之下 y(y) 0
横向放大率
P
n
n
y
一 虚➢➢像定定横根一是义据向定：球放是面大 的率 横公yy；向式' 实放的；物大推虚所率导Q物成公：所的式成实及的 像正l 实一负像定号一i 是法定A 则 是，实 ；物i 虚l所'C 物成。所的成虚 yQ的像P'
物点P
12球面折射解析
n1 n2或n1 n2
符号规定： 实物、实像取正；虚物、虚像取负。
对着凸面，r取正。
入射光线
对着凹面，r取负。
物像的虚实 实物(real object)
入射到光学系统时的光束为发散 (divergent)的同心光束；
实物点P
发 散 入 射 光 束
成像光学系统 (Imaging optical system)
sin tan
问题:成像规律? —— u 与 v的关系
点光源 球面顶点
h H
曲率中心 球面半径
像 I
（折射定律） 1 1 2 2 （近轴近似） i1 sini1
n sin i n sin i
i2 sini2
n1 i1 n2 i2
i1 i2
n1 n2 n2 n1 tan h / u
tan h / v tan h / r
n1 n2 n2 n1 u v r
（重要结果）
近轴光线的单球面折射成像公式：
n1 n2 n2 n1 u v r
适用情况： 任何凸或凹的球面
例题2 ：已知玻棒n2＝1.5，端面双凸，半 径10cm, u1=30cm，d=40cm 。求：v =？
解：题意如图。 对折射面①
① Q ②
I1 u2
n1＝1.0，n2＝1.5 r1＝10cm, u1＝30cm
u1
r1
d v1
1.0 1.5 1.5 1.0 30 v1 10
物距u2＝d－ v1
n2 i1 ic sin n 1
当 i1 > 临界角ic 时，
---- 临界角（critical angle）
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n' n 1 n' s' ns n(r s ) n' ( s 'r ) 0 或 l' l r l' l 4 l l'
n' n 1 n' s' ns l' l r l' l
对一定的球面和发光点P （S一定），s'与l, l'有关， 即与入射点A有关
2 2 2
l r s r 2r s ' r cos
' 2 ' 2
l s, l ' s ' ,
5
s' r s r 2r s r r s r
2 ' 2 ' ' 2
三、近轴条件下的物像公式
'
n`
O s’
“-”号表示 f 与 f ’永远异号，物、像方焦点一定位于球面两侧
r 球面反射时： f ' f 2
9
四、高斯公式、牛顿公式
1、高斯公式
由
n n n n s s r
两边除以光焦度
n n r n f ' r n n ' n f' ' r n n
物理意义：表示光进入光学系统的折光程度——折光度
7 0 为会聚系统， 0 为发散系统， = 0 为无焦系统 .
n' n r
球面反射
2n r
8
⑦ 焦点、焦距 A. 像方焦点 F’、像方焦距f ’
n ' n n ' n s' s r
n
-s O s’ f` n n` F`
l
-i1 A
-i2
l'
n’ P`
O
r
u’ C s’
-s
二、球面折射对光束单心性的破坏
入射光线PA, 出射光线AP’， 若点P’与A无关，即: 单心光束单心光束，反之， 单心光束象散光束 光线PAP'的光程为： n P
l
-i1 A
-u
-s
-i2
l'
n’ P`
O
r
u’ C
s’
△ =nPA+n'AP'=nl+n'l'
§1-3 傍轴条件下的单球面折射成像
一．符号规则 二．球面折射对光束单心性的破坏 三．近轴条件下的物像公式
四．高斯公式、牛顿公式
五．垂轴小物成像和放大率
1
单独一个球面不仅是一个简单的光学系 统，而且光学仪器中透镜的表面都是球面的 ，因而球面是组成光学仪器的最基本单元。 研究光经球面折射（和反射）是研究一般光 学系统成像的基础。
当 s 时,由物像公式得 :
' n n' ' ' f s ' r 像方焦距 n n B. 物方焦点F、物方焦距f
当 s 时,由物像公式得 : F n n -s f s ' r 物方焦距 n n -f ' ' f n ' ' C. n n f f ∵ f n
2
一、符号规则（新笛卡儿符号法则）
（1）轴向距离（物、象、焦距、曲率半径等）： 从顶点O算起，右为正，左为负
（2）垂轴距离（物、象、高）：
主轴之上为正，下为负 （3）角度： 以光轴或法线为始边， 沿小于/2 的方向旋转， 顺为正，逆为负 （4）图中标为记均为绝对值。如-s、-i’等
3
n P -u
（l, l‘无正负号）
=n [r2+(-s +r)2-2r(-s +r)cosφ]1/2 +n'[r2+(s' -r)2+2r(s' -r)cosφ]1/2
根据费马原理：（φ可变）
余弦定理 a² =b² +c² -2bccosA
d 1 1 n 2r (s r )sin n ' 2r ( s ' r )sin 0 d 2l 2l '
P
n -u
l
-i1 A
-i2
l'
n’
P`
O
r
u’ C s’
-s
∴同心光束非同心光束，球面折射不能理想成像 在近轴光线条件下，很小，在一级近似下，cos1，
l r r s 2r r s cos
2 2
r r s 2r r s r r s s
s'
s
r
P`
——近轴条件下的物像公式
-s
s’
讨论：
① 当介质和球面一定时（n,n’,r 一定），s‘与s一一对应，即： 在近轴光线条件下光束单心性得到保持。 ② 物像共轭：P物P‘像；P‘物P像 ③ 对凹球面折射同样适用
n' s ④ 平面 r , 则 s ' n
6
讨论：
⑤ 在球面反射中，物像空间重合，且入射光 线与反射光线行进方向相反，在数学处理
x' P’
• • P F -s
• F'
•
s'
根据上面的定义, 有：s=x+f , s'=x'+f ' 代入高斯公式，得 整理得
f' f 1 f ' x' f x
---牛顿公式(普适公式)
xx' ff '
n' n n' n f ' f 11 [注]在球面折射中, ' , ' 1, xx ' ff '三者等效 s s r s s
如果， l s, l ' s ' , 即u,u’张开角度很小， ——近轴条件 -i1 A n l l ' n’ 成像公式近似为： -i2 -u u’ n' n n' n O C P r
n' n 1 n' s' ns l' l r l' l
n ' n n ' n s' s r
-s
方法上，可假设n‘= -n (物理上无意义)则，
物象公式为： 1
P
s’
P’
1 2 s' s r
⑥ 当介质和球面一定时（n,n’,r 一定），*式右端一个常量
定义
n' n r
——球面的光焦度
单位：m－1，称为屈光度，用D表示。1D＝100度
五、垂轴小物成像和放大率
近轴条件： 垂轴小物、 近轴光线 像也垂轴， 物与像相似 Q y P n l -u -i A n’ h -i’ l’ d u’ O r C P’ -y’ s’ n s n n s
将焦距公式代入
得
f f 1 ---高斯公式(普适公式) s s
对任何理想成像过程均适用
10
2. 牛顿公式
焦物距x：物方焦点到物点的距离 焦象距x'：象方焦点到象点的距离 n' n -x -f f'
f f 1 s s