专题3.2 三角函数化简以及恒等变换(解析版)
3.2三角函数化简及恒等变换
一、选择题：每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.【四川省绵阳市2020届高三上期第一次诊断性考试数学（理）试题】 函数)0)(6sin()(>+
=w wx x f π
在??
?
??22-
ππ，上单调递增，且图像关于π-=x 对称，则w 的值为（ ） A.
32 B.35 C.2 D.3
8
【答案】A 【解析】
函数)0)(6
sin()(>+
=w wx x f π的递增区间)(22
622
-Z k k x k ∈+≤
+
≤+ππ
πωππ
，化简得：
).(23232-Z k k x k ∈+≤≤+ωπωπωπωπ已知在??? ??22-ππ，单增，所以.320.2
32-32-<
?≥≤ωπωππωπ
，又因为图像关于π-=x 对称，).(2
6
Z k k x ∈+=
+ππ
π
ω
所以)(3
Z k k w ∈--
=π
.因为0>ω此时k=-1,所以3
2=
ω 【方法总结】此题考查三角函数的对称轴和单调区间，涉及在知识的交叉点命题思路，这是高考命题的思路。题目综合性强，需要逆向思维。题目属于中等难度。
2. 【湖北省华中师大一附中2017级高三上学期理科数学期中考试试题】
已知函数()2sin()(0,||)f x x ω?ω?π=+><的部分图像如右图所示，且(,1),(,1)2
A B π
π-，则?的值为 （ ）
A.
56
π
B.
6
π
C. 56π-
D. 6
π
- 【答案】C
【解析】由已知得：1,2==ωπT ，图像经过(,1),(,1)2A B π
π-6
5-π?=
3. 【2019-2020学年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三年级上学期期中考试理科数学】
已知将函数()()πcos 202f x x ???
?=+<< ???
的图象向左平移?个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()
g x 的图象关于原点对称，则π3f ??
= ???
（ ）
A ．
B
C ．12
-
D ．
12
【答案】A
【解析】()()πcos 202f x x ???
?=+<< ??
?的图象向左平移?个单位长度后,得到函数
()g x []?32cos +=x ,因为()g x 的图象关于原点对称,所以[]030cos )0(=+=?g ，所以6
π
?=
，
π3f ??
= ???
23)362(cos -=+?ππ .
4.【2019·四川棠湖中学开学考试】
在平面直角坐标系中，点O (0，0)，P (6，8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得到向量OQ →
，则点Q
的坐标是( )
A.(－72，－2)
B. (－72， 2)
C.(－46，－2)
D.(－46，2) 【答案】 A
【解析】 因为点O (0，0)，P (6，8)，所以OP →
＝(6，8)， 设OP →
＝(10cos θ，10sin θ)，则cos θ＝35，sin θ＝45，
因为向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4
后得到OQ →
，
设Q (x ，y )，则x ＝10cos ????θ＋3π4＝10????cos θcos 3π4－sin θsin 3π
4＝－72， y ＝10sin ????θ＋3π4＝10????sin θcos 3π4＋cos θsin 3π
4＝－2， 所以点Q 的坐标为()－72，－2，故选A.
5．函数()2π2cos cos 26f x x x ?
?=+- ??
?图象的一条对称轴方程为( )
A ．π6x =
B ．π4x =
C ．π3x =
D ．π
2
x = 【答案】A
【解析】∵()2ππ2cos cos 21sin 266f x x x x ???
?=+-=-+ ? ????
?，∴ππ2π62x k +=+（k ∈Z ），
∴ππ26
k x =
+（k ∈Z ），当k ＝0时，π6x =．
6. 【2019山东济南月考】
M ，则下列结论中正确的是( )
A ．图象M
B ．将2sin2y x =M
C ．图象M
D ．()f x 【答案】C
【解析】将2sin 2y x =的图象向左平移
,故B 错；
()f x D 错；
M A 错误，C 正确，
故选C ．
7.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数
②f (x )在区间（
2
π，π）单调递增
③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2
其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④
D ．①③
【答案】C
【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．
当
ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π??
π ???
单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--
2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．
当[](
)2,2x k k k *
∈ππ+π∈N
时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *
∈π+ππ+π∈N 时，
()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．
综上所述，①④正确，故选C ．
【名师点睛】本题也可画出函数()sin sin f x x x =+的图象（如下图），由图象可得①④正确．
7. 【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一数学试题】
函数()[]()
cos 2π,2πf x x x =∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ）
A ．5π3
B ．2π
C ．7π6
D ．π
【答案】B
【解析】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2
x =. 又[]π,2πx ∈-，所以2x π=-
或32x π=或π6x =或5π6
x =， 所以函数()[]()
cos 2π,2πf x x x =∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和为
π3ππ5π
2π2266
-+++=. 故选B.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.求解时，根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 8. 【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学文试题】 已知函数π()sin()(0)6f x x ωω=+
>的相邻对称轴之间的距离为π2
，将函数图象向左平移6π
个单位得到函
数()g x 的图象，则()g x =（ ） A ．π
sin()3
x +
B ．πsin(2)3
x +
C ．cos2x
D ．πcos(2)3
x +
【答案】C
【解析】函数π()sin()(0)6f x x ωω=+>的相邻对称轴之间的距离为π2
， 则
π
22
T =， 解得：πT =， 所以2π
πω
=
，解得2ω=，
将函数π()sin(2)6f x x =+
的图象向左平移6π
个单位，
得到ππ
ππ()sin[2()]sin 2cos 26
6
36g x x x x ??
=++=++= ??
?
的图象， 故选C ．
【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．求解时，首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果． 9. 【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理)试题】
将函数π()2sin 26f x x ?
?=+ ??
?的图象向右平移π6个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2
倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数()g x 1
B ．函数()g x 的最小正周期为π
C ．函数()g x 的图象关于直线π
3
x =对称
D ．函数()g x 在区间π2,6π3??
????
上单调递增 【答案】D
【解析】将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度得：πππ()2sin 22sin 2666h x x x ?????
?=-+=- ? ????
?????的
图象，
再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得：()π2sin 6g x x ??=-
??
?
， ()g x 的最大值为2，可知A 错误； ()g x 的最小正周期为2π，可知B 错误；
π3x =
时，ππ66x -=，则π
3x =不是()g x 的图象的对称轴，可知C 错误； 当2,
63ππx ??
∈????时，ππ0,62x ??-∈????
，此时()g x 单调递增，可知D 正确. 本题正确选项为D.
【名师点睛】本题考查三角函数图象平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.求解时，根据平移变换和伸缩变换的原则可求得()g x 的解析式，依次判断()g x 的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果.
10【湖南省岳阳市第一中学2019届高三第一次模拟（5月）数学试题】
设函数π()sin 6f x x ?
?=- ???，若对于任意5ππ,6
2α??∈--????，在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为（ ）
A ．π6
B ．
π2
C ．7π6
D ．π
【答案】B
【解析】当5ππ,62α??
∈-
-????时，有π2π,63πα??-∈--????，所以()[f α∈. 在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，
所以存在唯一确定的β，使得()()[0,
]2
f f βα=-∈. []πππ0,,[,]666m m ββ∈-∈--，所以ππ2ππ5π
[,
),[,)63326
m m -∈∈. 故选B.
【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系
是解题的关键，属于中档题.求解时，先求()[f α∈，再由存在唯一确定的β，使得
()()[0,2
f f βα=-∈，得ππ2π[,)633m -∈，从而得解. 10. 【福建省厦门市厦门外国语学校2019届高三最后一模数学试题】
已知函数()cos f x x x ωω=+(>0)ω的零点构成一个公差为π
2
的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移
π
6个单位，得到函数()g x 的图象，关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ） A ．在[,]42ππ上是增函数 B ．其图象关于π4
x =-对称
C ．函数()g x 是奇函数
D ．在区间π2π
[,]63
上的值域为[?2，1]
【答案】D
【解析】()cos f x x x ωω=+可变形为π()2sin()6
f x x ω=+，
因为()y f x =的零点构成一个公差为
π
2
的等差数列，所以()y f x =的周期为π， 故2ππω=，解得2ω=，所以π()2sin(2)6
f x x =+，
函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π
6
个单位后得到
()()22sin[()]sin()cos(22)222
x g f x x x x ++===++=πππ666π
，
选项A ：222,k x k k -
+≤≤∈πππZ ，解得：k x k k 2
-+≤≤∈π
ππ,Z ， 即函数()y g x =的增区间为π[π,π],2k k k -
+∈Z ，显然π
[,][π,π]422
k k ππ?-+，故选项A 错误； 选项B ：令2π,x k k =∈Z ，解得：k x k 2=
∈π,Z ，即函数()y g x =的对称轴为k x k 2
=∈π
,Z ， 不论k 取何值，对称轴都取不到π
4
x =
，所以选项B 错误； 选项C ：()y g x =的定义域为R ，因为2cos02(00)g ==≠，所以函数()y g x =不是奇函数，故选项C 错误；
选项D ：当π2π
[,
]63x ∈时，故42[,]33
x ∈ππ，根据余弦函数图象可得，2cos(2[)2(),1]x g x ∈-=，故选项
故本题应选D.
【名师点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了图象平移的规则，整体法思想是解决本题的思想方法.根据()y f x =的零点构成一个公差为
π
2
的等差数列可得函数()y f x =的周期，从而得出函数()y f x =的解析式，沿x 轴向左平移
π
6
个单位，便可得到函数()g x 的解析式，由()y g x =的解析式逐项判断选项的正确与否即可.
11.【2019全国Ⅲ理12】设函数()f x =sin （5
x ωπ
+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：
①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点
③()f x 在（0,
10
π
）单调递增 ④ω的取值范围是[1229
510
，)
其中所有正确结论的编号是（ ）
A ． ①④
B ． ②③
C ． ①②③
D ． ①③④ 【答案】D
【解析】 当[0,2]x ∈π时，,2555x ωωπππ??+
∈π+????
， 因为()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，所以5265
ωπ
ππ+<π?， 所以
1229510
ω
)10x π
∈时，(2),5510x ωωππ+π??+∈????，
若()f x 在0,10π??
???
单调递增， 则
(2)102ω+ππ<，即3ω<，因为1229510
ω
12.【2019天津理7】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?π=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π
，且π4g ??
=
???3π8f ??
= ???
（ ） A.2-
B.
D.2 【答案】C
【解析】 因为()f x 是奇函数，所以0?=，()sin f x A x ω=.
将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x ，即
()1sin 2g x A x ω??= ???
，
因为()g x 的最小正周期为2π，所以
2212
ωπ
=π，得2ω=， 所以()sin g x A x =，()sin 2f x A x =.
若4g π??
=
???
sin 442g A A ππ??=== ???
2A =， 所以()2sin 2f x x =
，332sin 22sin 2884f ππ3π????
=?=== ? ?????
故选C ．
13.将函数()2cos2f x x =的图象向右平移
6π个单位后得到函数()g x 的图象,若函数()g x 在区间0,3a ??
????
和72,
6a π?
?
???
?
上均单调递增,则实数a 的取值范围是（ ） A ．,32ππ???
??? B ．,62ππ?????? C.,63ππ?????? D ．3,48ππ??????
【答案】A
14.若将函数()sin2cos2f x x x =+的图象向左平移()0??>个单位,所得的图象关于y 轴对称,则?的最
小值是（ ） A.
4π B. 8π C. 38π D. 58
π 【答案】B
【解析】函数()sin2cos22sin 24f x x x x π?
?=+=
+ ??
?的图象向左平移()0??>个单位,得到
2sin 224y x π??
?=++ ??? 图象关于y 轴对称,即()242k k Z ππ?π+=+∈,解得1=28k π?π+,又0?>,当
0k =时, ?的最小值为
8
π
,故选B. 15. 【2019四川遂宁、广安、眉山、内江四高三上学期第一次联考】
已知不等式262sin cos 6cos 0444x x x m +--≥对于,33x ππ??
∈-????恒成立,则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(,2?-∞-?
B ．2,2??
-∞ ? ?? C ．2,22????? D ．)
2,?+∞? 【答案】B
【点评】解决恒成立问题的关键是将其进行等价转化,使之转化为函数的最值问题,或者区间上的最值问题,使问题得到解决．具体转化思路为：若不等式()f x A >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()f x 的最小值大于A ；若不等式()f x B <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()f x 最大值小于B ． 16.已知实数,x y 满足2
2
1x y +=,则()()11xy xy -+有（ ）
A ．最小值21和最大值1
B ．最小值43
和最大值1 C ．最小值21和最大值4
3
D ．最小值1,无最大值
【答案】B
【解析】由22
1x y +=,可设cos ,sin x y θθ== ,则
()()11xy xy -+=111sin 21sin 222θθ????-
+ ???????2131sin 2,144θ??
=-∈????
,故选B 17.【四川省成都市成都第七中学万达学校高2020届高三（上）第一次月考数学（文科）试题】
定义在??
?
??20π，上的函数)(x f y =满足：x x f x f tan )()('
>恒成立，则下列不等式中成立的是（ ）
A ．)3
()6(3π
πf f > B ．1sin )3(332)1(πf f >
C ．)4()6(2ππf f >
D ．)3
(2)4(3π
πf f > 【答案】A
【解析】分析：x x f x f tan )()('
>?0tan )(-)('
>x x f x f ?0)(sinx -)(cos '
>x f x xf ，
故此构造函数)(sin x f x x F =）
（，)(x F 在??? ??20π，上上增函数。??
?
??>6)3(ππF F ,化简可得，A 为正确选项
【点睛】此题是函数压轴考查构造函数。
二、填空题：每小题5分。 18.【2020,9月，资阳一诊】
已知当x θ=且tan 2θ=时，函数()sin (cos sin )f x x a x x =+取得最大值，则a 的值为__________． 【答案】
3
4
【解析】由题意可得：(),2sin 41
4)sin cos (sin )(2?θ-+=+=a x x a x x f 其中a 1tan =?，
∴2
11sin a +=
?，2
1cos a a +=
?.因为tan 2θ=()().5
3
2cos ,5
42sin -==?θθ
(),2sin 4
1
4)sin cos (sin )(2?θ-+=+=a x x a x x f 要取得最大值，1)2sin(=-?θ，
(),1sin 2cos cos )2sin(=-?θ?θ带入以上所求，化简：0162492=+-a a ，解：.3
4
=a
19.函数πsin 23y x ??
?=+- ??
?（φ∈R ）为偶函数，则|φ|的最小值为________．
【答案】
π6
【解析】由已知，得πππ32k ?-
=+（k ∈Z ），∴5ππ6k ?=+（k ∈Z ），∴min π6
?=． 20.【北京市平谷区2019届高三第二学期3月质量监控试题数学试题】 已知函数()()sin 2f x x ?=+(其中?为实数)，若()π6f x f ??
≤ ???
对x ∈R 恒成立，则满足条件的?值为______________(写出满足条件的一个?值即可)
【答案】答案不唯一，如：
π6 【解析】由题意，f （x ）≤|f （π6）|对x ∈R 恒成立，可得x π
6
=时，f （x ）取得最大值或最小值．
若x π6=时，f （x ）取得最大值，可得π
6
?=+2k π，k ∈Z ；
21.已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．
【答案】2
-
【解析】()()2
12cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ??'=+=+-=+- ???
， 所以当1cos 2x <
时函数单调递减，当1
cos 2
x >时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ??--∈????Z ，函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ?
?-+∈???
?Z ，
所以当π
2π,3
x k k =-
∈Z 时，函数()f x 取得最小值，此时sin x x ==
所以()min
2222f x ?=?--=- ??
，故答案是2-. 【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值. 22. 【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）数学试题】 若函数()2sin()(0,f x x ω??=+>0π)?<<的图象经过点π,26??
???
，且相邻两条对称轴间的距离为π2，
则π()4
f 的值为______．
【解析】因为相邻两条对称轴的距离为
π2，所以
2π
πω
=，2ω∴=， 所以()2sin(2)f x x ?=+，因为函数的图象经过点π,26??
???
，所以πsin 13???
+= ???，
0π?< ?，所以π()2sin 26f x x ? ?=+ ?? ? ，所以 πππ2sin 426f ???? =+= ? ????? . 【名师点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，熟记性质准确计算是关键，是基础题．求解时，根据函数f （x ）的图象与性质求出T 、ω和φ的值，写出f （x ）的解析式，求出f （π 4 ） 三、解答题： 23.【2019浙江18】设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ= 或3π2 ． （2）2 2 22ππππsin sin 124124y f x f x x x ? ???????????=+++=+++ ? ? ? ???????????? ????? ππ1cos 21cos 2136212sin 22222x x x x ??? ?-+-+ ? ? ?????=+=--???? π123x ? ?=+ ?? ?． 因此，函数的值域是[1- +． 24．已知函数2 1 ()(2cos 1)sin 2cos 42 f x x x x =-+ （1）求()f x 的最小正周期及最大值； （2）若( ,)2 π απ∈，且()f α= ，求α的值． 【解析】：（1）2 1 ()(2cos 1)sin 2cos 42 f x x x x =-+ 1cos 2sin 2cos 42x x x =+11 sin 4cos 422x x =+ )24 x π = + 所以，最小正周期242 T ππ = = 当424 2 x k π π π+ =+ (k Z ∈)，即216 k x ππ = +(k Z ∈)时，max ()f x = （2）因为()sin(4)242f παα= +=，所以sin(4)14 π α+=， 因为 2π απ<<，所以 9174444 πππ α<+< ， 所以5442ππα+=，即916 π α=． 25.【2019河南省天一大联考】已知函数2()2cos f x x x m = --． （1）求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间； （2）若53,244x ππ?? ∈? ?? ?时,函数()f x 的最大值为0,求实数m 的值． 【分析】（1）()f x 化为1sin(2)62x m π ---,可得周期22T ππ==,由222262 k x k πππ ππ-+≤-≤+可得单调递增区间；（2）因为53,244x ππ?? ∈???? ,所以42,643x πππ??-∈????,进而()f x 的最大值为1102m --=,解 得1 2 m = . 【解析】（1）23()sin 2cos f x x x m = --31cos 2sin 22x x m +=--1 sin(2)62 x m π=---, 则函数()f x 的最小正周期T π=, 根据2222 6 2 k x k π π π ππ- +≤- ≤ +,k Z ∈,得6 3 k x k π π ππ- +≤≤ +,k Z ∈, 所以函数()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ?? - ++???? ,k Z ∈． （2）因为53,244x ππ?? ∈???? ,所以42,643x πππ??-∈????,则当262x ππ-=,3x π=时,函数取得最大值0, 即1102m -- =,解得1 2 m =． 【点评】三角函数的最值问题,大多是含有三角函数的复合函数最值问题,常用的方法为：化为代数函数的最值,也可以通过三角恒等变形化为求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最值；或化为关于sin x (或cos x )的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的最值. 26.已知函数2()[2sin()sin ]cos 33 f x x x x x π =+ +． (1)若函数)(x f y =的图像关于直线(0)x a a =>对称,求a 的最小值; (2)若存在05[0, ],12 x π ∈使0()20mf x -=成立,求实数m 的取值范围. 【分析】(1)先利用降幂公式进行化简,然后利用辅助角公式将)(x f 化为)3 2sin(2)(π +=x x f ,最后根据正 弦函数的对称性求出对称轴,求出a 的最小值即可； (2)根据05[0, ],12x π∈的范围求出320π +x 的范围,再结合正弦函数单调性求出函数f (x 0)的值域,从而可求出m ＝00 2 1 20()sin(2)3 m f x x π-=?= = +的取值范围． 【解析】(1)首先将函数)(x f y =的解析式化简为： 2()[2sin()sin ]cos 33f x x x x x π =++-x x x x 22sin 3cos 3cos sin 2-+= x x 2cos 32sin +=)3 2sin(2π + =x ,又因为函数)(x f y =的图像关于直线(0)x a a =>对称,所以 Z k k a ∈+ =+ ,232π ππ ,即Z k k a ∈+= ,122ππ,又因为0>a ,所以a 的最小值为12 π． (2)000 21 ()20()sin(2)3mf x m f x x π-=?== + 0057[0, ],212336 x x ππππ ∈≤+≤ Q 01sin(2)123 x π ∴-≤+≤ 故(,2][1,)m ∈-∞-?+∞． 27.【四川省资阳市2017级高三（2020届）第一次诊断性考试数学(理科)】 已知函数()sin(2)cos(2)63f x x x ππ=++-． （1）求()f x 在[0]π，上的零点； （2）求()f x 在[]44ππ -，上的取值范围． 【答案】（1）5π12，11π 12 ．（2）[2] 【解析】 （1）11()2cos2cos2222f x x x x x = ++，π2cos22sin(2)6 x x x =+=+． 令()0f x =，即πsin(2)06x +=，则π26x +πk =，k ∈Z ，得1π π212x k =-，k ∈Z ， 由于[0]x ∈π，，令1k =，得5π12x =；令2k =，得11π12x =． 所以，()f x 在[0]π，上的零点为 5π12，11π12 ． （2）由[]44 x ππ∈-，，则ππ2π 2[,]633x +∈-．所以，πsin(2)16x +≤， 故()f x 在[]44 ππ -，上的取值范围是[2]． 28【浙江省温州市2019—2020学年11月份普通高中高考适应性测试一模数学试题】 在锐角．．ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3b =，sin sin A a B += （1）求角A 的值； （2）求函数()()22cos cos f x x A x =--（0,2x π?? ∈???? ）的值域． 【答案】（1）.3π 【解析】 (Ⅰ)由正弦定理，得sin sin 3sin a B b A A ==，则sin sin 4sin A a B A +==sin A =， 又A 为锐角，故3 A π= ； (Ⅱ 因02x π≤ ≤ ，故22333x πππ--≤≤， 即()f x 的值域为 高考数学（文）难题专项训练：三角函数及三角恒等变换 1.已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心，且θ=∠A 若 AO m AC B C AB C B 2sin cos sin cos =+则=m （ ） A ．θsin B. θcos C. θtan D. 不能确定 2.设函数)(x f 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意)(D M M x ?∈，有 D l x ∈+，且)()(x f l x f ≥+，则称)(x f 为M 上的高调函数. 现给出下列命题： ①函数x x f -=2 )(为R 上的1高调函数； ②函数x x f 2sin )(=为R 上的高调函数； ③如果定义域为),1[+∞-的函数2 )(x x f =为),1[+∞-上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是),2[+∞； ④函数)12lg()(+-=x x f 为),1[+∞上的2高调函数. 其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3. 已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30< 4. 在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且c b a b 2sin 2sin log log ,22<>， bc a c b 3222+=+,若0 三角函数恒等变换 ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±= ?-↓= -m m 说明：和差角公式和二倍角公式主要用于诱导公式无法使用的复合角求值问题，对于已知部分，要尽量和所求部分找出角度之间的关系。公式优先级：二倍角》诱导公式》和差角。 题型一，和差角公式的直接应用 分为展开计算和合并计算两类。对于展开计算即给角求角问题，无论所给的是否为单角，一律看成单角并用其凑出所求角；合并计算针对于给出正余弦的和差式，要想法朝角度的和差角展开式式凑，具体为先统一为两角再合并。 1计算： （1）??+??20sin 80sin 20cos 80cos = ； （2）??+??55cos 10cos 35cos 80cos = ； （3）cos 5πcos 103π-sin 5πsin 103π＝ ； （4）－sin 3πcos 6π+sin 6πcos 3π =__________； （5） sin 2πcos 6π－cos 2πsin 6π = _________ ； （6）cos 3πcos 6π+sin 6πsin 3π =____________； （7）cos 4πcos 2π－sin 2πsin 4 π =_____________； 两角和与差的正弦、余弦、正切 1. 利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换;2?利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2?灵活使用（正用、逆用、变形用）两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键? 知识点回顾 1 ?两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos( a—0)= cos acos0+ sin ocsin0(C a- 0 cos( a+ 0)= cos. acos _ 0— sin__ asin_ 0(C a+ 0 sin( a—0 = sin a cos0- cos ocsin (S a—0 sin( a+ 0 = sin a cos0+ cos ocsin0(S a+ 0 tan a—tan 卩 tan( a—? ；(T a—0 1 + tan atan 卩 tan a+ tan 卩 tan(%+ ? = (T a + 0 1 —tan %tan 0 2 ?二倍角公式 sin 2 a= 2sin ： cos：； cos 2 a= cos2a—sin2a= 2cos 2a—1 = 1 —2sin2a； 2ta n a tan 2 a= . 1 —tan a 3 ?在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等?如 T a±0可变形为 tan a± tan 0= tan( a± 0(1? tan_ %tan_ 0, tan a+ tan 0 tan a—tan 0 tan %tan 0= 1 —= —1. tan a+ 0 tan a—0 4 ? 函数f( a= a cos a+ b sin a(a, b 为常数),可以化为f( a = \i a2+ b2sin( a+ 0)或f( %)='：：：［a2+ 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 2019年 1.（2019北京9）函数f (x )=sin 2 2x 的最小正周期是 ________. 2.（2019全国Ⅲ理12）设函数()f x =sin （5 x ωπ + ）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0, 10 π ）单调递增 ④ω的取值范围是[1229 510 ，) 其中所有正确结论的编号是 A ． ①④ B ． ②③ C ． ①②③ D ． ①③④ 3.（2019天津理7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?π=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π ，且π4g ??= ???3π8f ?? = ??? A.2- B. D.2 4.（2019全国Ⅱ理10）已知α∈(0， 2 π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α= A ． 15 B ． 5 C ． 3 D 5 5.（2019江苏13）已知tan 2 π3tan 4αα=-? ?+ ?? ?，则πsin 24α??+ ?? ?的值是_________. 6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅲ)若1 sin 3 α=，则cos2α= A ． 89 B ． 79 C ．79 - D ．89 - 2．（2016年全国III ）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= A ． 6425 B ．4825 C ．1 D ．1625 3．（2016年全国II ）若3 cos( )45π α-=，则sin 2α=（ ） A ．7 25 B ．15 C ．15- D ．725- 4．（2015新课标Ⅰ）sin 20cos10cos160sin10-= A ． B C ．12- D ．1 2 5．（2015重庆）若tan 2tan 5 π α=，则 3cos()10sin() 5 π απ α- -＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．（2014新课标Ⅰ）若0tan >α，则 A ．0sin >α B ． 0cos >α C ． 02sin >α D ． 02cos >α 7．（2014新课标Ⅰ）设(0, )2π α∈，(0,)2 π β∈，且1sin tan cos βαβ+= ，则 A ．32 π αβ-= B ．22 π αβ-= C ．32 π αβ+= D ．22 π αβ+= 8．（2014江西）在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则 2222sin sin sin B A A -的值为（ ） A ．19- B ． 13 C ．1 D ．72 两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换； 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β (T α－β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β (T α＋β) 2． 二倍角公式 sin 2α＝ααcos sin 2； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α 1－tan 2α . 3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如 T α±β可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β＝tan α－tan β tan α－β－1. 4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝ a 2＋ b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α －φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 三角函数 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，(C (α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，(C (α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，(S (α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β ，(T (α－β)) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β .(T (α＋β)) 2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α . 3．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2 . 4．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋ b 2，cos φ＝ a a 2＋ b 2. 练习题： 1．sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°的值是( ) A.22 B.12 C.32 D ．－22 2.(2016·全国丙卷)若tan α＝34 ，则cos 2α＋2sin 2α等于( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 3．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010 ，则sin C 等于( ) A.255 B ．－255 C.55 D ．－55 4．若函数f (x )＝－sin 2 x ＋12 (x ∈R)，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π2 的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 §6.3 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 【复习目标】 1．掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式； 2．能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值． 3．能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式证明． 【双基诊断】 （以下巩固公式） 1、163°223°253°313°等于 （ ） A.－2 1 B.2 1 C.－ 2 3 D. 2 3 2、在△中，已知2，那么△一定是 （ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 3、??-?70sin 20sin 10cos 2的值是 （ ） A.2 1 B. 2 3 C. 3 D.2 4、已知α－β=2 1，α－β=3 1，则（α－β）. 5、已知5 3sin ),,2 (=∈αππα，则=+)4 tan(πα 。 6、若 t =+)sin(απ，其中α是第二象限的角，则 =-)cos(απ 。 7、化简 1tan151tan15 +-等于 （ ） ()A () B () C 3 () D 1 8、(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++= （ ） ()A 2 ()B 4 ()C 8 ()D 16 9、已知α和（4 π－α）是方程2 0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 （ ） B.2 10、0015tan 75tan += 。 11、设14°14°，16°16°， 6 6，则a 、b 、c 的大小关系是 （ ） ＜b ＜c ＜c ＜b ＜c ＜a ＜a ＜c 12、△中，若2a ，60°，则. 13、f （x ）= x x x x cos sin 1cos sin ++的值域为 （ ） A.（－3 －1，－1）∪（－1， 3 －1） B. （21 3-- ，2 13-） C.［2 1 2--，－1］∪（－1， 2 12-） D. ［21 2-- ，2 12-］ 14、已知∈（0，2 π），β∈（2 π，π），（α+β）=65 33，β=－ 13 5 ，则α. 15、下列各式中，值为2 1的是 ( ) 15°15° B.2 2 12 π－ 1 C. 2 30cos 1? + D. ? -?5.22tan 15.22tan 2 16、已知2θ 2θ3 32，那么θ的值为，2θ的值为. 17、=000080cos 60cos 40cos 20cos 。 三角函数 三角恒等变换知识点总结 一、角的概念和弧度制： （1）在直角坐标系讨论角： 角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0 Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ； ②一些特殊角集合的表示： 终边在坐标轴上角的集合： ； 终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示： ①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ； 第一、三象限角： ； ②写出图中所表示的区间角： （4）正确理解角： 要正确理解“o o 90~0间的角”= ； “第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o 90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2 α 所在的象限。 来判断 3 α 所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一 已知角α的弧度数的绝对值r l = ||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。 （7）弧长公式： ；半径公式： ； 扇形面积公式： ； 二、任意角的三角函数： （1）任意角的三角函数定义： 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个 异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ； =αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ； 如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线； 比较)2 , 0(π ∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。 （三、同角三角函数的关系与诱导公式： （1）同角三角函数的关系 三角函数知识点总结 1、任意角。 2、角α的顶点与 重合，角的始边与 重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、 叫做1弧度． 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ． 6、弧度制与角度制的换算公式 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则L= ． S= 8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是 () 220r r x y =+>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限 余弦为正． 10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、同角三角函数的基本关系：(1) ;(2) 。 12、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ???．()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ???． 口诀：奇变偶不变，符号看象限． 重要公式 ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 函数、三角函数、三角恒等变换重要公式 1. B A = {|,}x x A x B ∈∈或 ;B A = {|,}x x A x B ∈∈且; {|,}U C A x x U x U =∈?且 2、 当n 为奇数时， a a n n =；当n 为偶数时，a a n n =. 3、 ⑴m n m n a a =()1,,,0*>∈>m N n m a ； ⑵()01 >= -n a a n n ； 4、 运算性质： ⑴()Q s r a a a a s r s r ∈>=+,,0；⑵()()Q s r a a a rs s r ∈>=,,0；⑶()()Q r b a b a ab r r r ∈>>=,0,0. 5、指数函数解析式：()1,0≠>=a a a y x 6、指数函数性质： 7、指数与对数互化式：log x a a N x N =?=； 8、对数恒等式：log a N a N = 9、基本性质：01log =a ，1log =a a . 10、运算性质：当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()N M MN a a a log log log +=；⑵N M N M a a a log log log -=?? ? ??；⑶M n M a n a log log =. 11、换底公式：a b b c c a log log log = ()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a . 12、重要公式：log log n m a a m b b n = 13、倒数关系：a b b a log 1 log = ()1,0,1,0≠>≠>b b a a . 三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2 θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2 2 b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan == x x x ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得???=+=，1 cos sin cos 2sin 2 2x x x x 解这个方程组得.55cos 5 52sin ,55cos 552sin ??? ????-=-=?? ?????==x x x x 2．求 ) 330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(ο ο ο οοο----的值． 解：原式 ) 30360cos()150sin()30720tan() 120360sin()30180cos()180120tan(o οοοοοοοοοο--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=ο οοοοο 3．若 ,2cos sin cos sin =+-x x x x ，求sin x cos x 的值． 解：法一：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，?????? ?=-=?? ? ????-==1010cos 10 103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?- =103 cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换； 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征； 2.灵活使用 (正用、逆用、变形用 )两角和与差的正弦、余弦、 正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－ β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋ β)＝cos_αcos_β－ sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－ β)＝sin_αcos_β－ cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋ β)＝sin_αcos_β＋ cos_αsin_β (S α＋β) tan α－ tan β (T α－ β tan( α－ β)＝ 1＋ tan αtan β ) tan α＋ tan β (T α＋ β tan( α＋ β)＝ 1－ tan αtan β ) 2． 二倍角公式 sin 2α＝ 2 sin cos ； cos 2α＝cos 2α－sin 2 α＝2cos 2α－ 1＝ 1－ 2sin 2α； tan 2 α＝ 2tan α 2 . 1－ tan α 3． 在准确熟练地记住公式的基础上， 要灵活运用公式解决问题： 如公式的正用、 逆用和变形用等． 如 T α±β 可变形为 tan α± tan β＝ tan( α±β)(1tan_ αtan_ β)， tan αtan β＝ 1－ tan α＋ tan β tan α－ tan β ＝ － 1. tan α＋β tan α－ β 4． 函数 f(α)＝ acos α＋ bsin α(a ，b 为常数 )，可以化为 f(α)＝ a 2＋ b 2sin(α＋ φ)或 f(α)＝ a 2＋ b 2 cos(α－ φ)， 其中 φ 可由 a ， b 的值唯一确定． [难点正本 疑点清源 ] 三角变换中的 “三变 ” (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是 “配凑 ”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有 “切化弦 ”、 “升幂与降幂 ”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有 “常值代 换 ”、 “逆用变用公式 ”、 “通分约分 ”、 “分解与组合 ”、 “配方与平方 ”等． 热身训练 2 1 tan α 1． 已知 sin(α＋ β)＝ ， sin(α－ β)＝－ ，则 的值为 _______． 3 5 tan β 三角函数恒等变换 一、三角函数的诱导公式 1、下列各角的终边与角α的终边的关系 2、六组诱导公式 注：诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限。其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。 二、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 . sin α= 2 2tan 21tan 2 α α +, cos α= 22 1tan 21tan 2 αα -+ 3、形如asin α+bcos α的化简 asin α+bcos α22a b +α+β).其中cos β2 2 a b +,sin β2 2 a b + 三、简单的三角恒等变换 1、用cos α表示sin 2 2α,cos 22α,tan 22 α sin 22α = 1cos 2α -; cos 22α=1cos 2α+; tan 22 α=1cos 1cos αα -+ 注：上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用；从右到左起到一个缩角升幂的作用。 2、用cos α表示sin 2α,cos 2α,tan 2 α sin 2α=1cos 2α -± cos 2α=1cos 2 α+± tan 2α= 3、用sin α,cos α表示tan 2 α tan 2α=sin 1cos 1cos sin αααα -= + 四、常用数据: 30456090、 、、的三角函数值 6sin15cos 75- == ,4 2615cos 75sin +== 3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +== 注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+ 2 21cos 1cos cos ,sin 2 222 α ααα +-= = 等. 从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式. ⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备. ⑶三角函数恒等变形的基本策略。 ①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 ②项的分拆与角的配凑。如分拆项：222222sin 2cos (sin cos )cos 1cos x x x x x x +=++=+; 配凑角(常用角变换):2()()ααβαβ=++-、2()()βαβαβ=+--、 2 2 αβ αβ α+-= + 、2 2 αβ αβ β+-= - 、()ααββ=+-等. ③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 ④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。 ⑤引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?=a b 确定。 1、三角函数式的化简 ※相关※ （1）2()k k Z απ+∈，α-，πα±， 2 πα±的三角函数值是化简的主要工具。使用 诱导公式前，要正确分析角的结构特点，然后确定使用的诱导公式； （2）不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能使用诱导公式的角，如： 52()22 π παπα+=++等。 注：若k πα+出现时，要分k 为奇数和偶数讨论。 三角函数恒等变形公式 以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A2+B2)^(1/2) cost=A/(A2+B2)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A2+B2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)] 三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α) cos(3α)=4cos3(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 3.2三角函数化简及恒等变换 一、选择题：每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.【四川省绵阳市2020届高三上期第一次诊断性考试数学（理）试题】 函数)0)(6sin()(>+ =w wx x f π 在?? ? ??22- ππ，上单调递增，且图像关于π-=x 对称，则w 的值为（ ） A. 32 B.35 C.2 D.3 8 【答案】A 【解析】 函数)0)(6 sin()(>+ =w wx x f π的递增区间)(22 622 -Z k k x k ∈+≤ + ≤+ππ πωππ ，化简得： ).(23232-Z k k x k ∈+≤≤+ωπωπωπωπ已知在??? ??22-ππ，单增，所以.320.2 32-32-<ω此时k=-1,所以3 2= ω 【方法总结】此题考查三角函数的对称轴和单调区间，涉及在知识的交叉点命题思路，这是高考命题的思路。题目综合性强，需要逆向思维。题目属于中等难度。 2. 【湖北省华中师大一附中2017级高三上学期理科数学期中考试试题】 已知函数()2sin()(0,||)f x x ω?ω?π=+><的部分图像如右图所示，且(,1),(,1)2 A B π π-，则?的值为 （ ） A. 56 π B. 6 π C. 56π- D. 6 π - 【答案】C 【解析】由已知得：1,2==ωπT ，图像经过(,1),(,1)2A B π π-6 5-π?= 3. 【2019-2020学年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三年级上学期期中考试理科数学】 正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y 同角三角函数间的基本关系式： ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 三角函数恒等变形公式： ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) · 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα ·半角公式： sin(α/2)=正负√((1-cosα)/2) cos(α/2)=正负√((1+cosα)/2) tan(α/2)=正负√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ·其他： sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+…+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+…+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 三角函数恒等变换专题复习 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2 θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2 2 b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan == x x x ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得???=+=，1 cos sin cos 2sin 2 2x x x x 解这个方程组得. 55cos 552sin ,55cos 552sin ???????-=-=?? ?????==x x x x 2．求 ) 330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan( ----的值． 解：原式 ) 30360cos()150sin()30720tan() 120360sin()30180cos()180120tan(o --+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---= 3．若 ,2cos sin cos sin =+-x x x x ，求sin x cos x 的值． 解：法一：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，???????=-=?? ? ????-==1010cos 10 103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?- =103 cos sin x x 法二：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 《三角函数恒等变换》知识归纳与整理 一、 基本公式 1、必须掌握的基本公式 （1） 两角和与差的三角函数 S S C C C βαβαβα =±) ( 同名乘积的和与差 S C C S S βαβαβα±=±) ( 异名乘积的和与差 T T T T T β αβαβα 1) (±=± （2） 二倍角的三角函数 C S S ααα22 = S C S C C 2 22222112ααααα -=-=-= 差点等于1 T T T 2 212α αα -= （3） 半角的三角函数 212 C S α α-± = 2 12 C C α α+± = C C T α α α +-± =112 θ θ θθθsin cos 1cos 1sin 2 -=+= T 2、理解记忆的其他公式 （1） 积化和差 ][21)()(C C C C βαβαβα-++= =S S βα][21)()-(C C βαβα+- ][21)()(S S C S βαβαβα-++= ][21)()(S S S C βαβαβα-+-= （2） 和差化积 ][22 2 C S S S βα βαβα-+=+ ][22 2 C S S S βαβαβα+-=- ][22 2 C C C C βα βαβα-+=+ ][22 2 S S C C βα βαβα-+-=- （3） 万能公式（全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式） T T S 2 2 212α α α+ = T T C 22 2211αα α +-= T T T 2 2 212α α α- = （4） 辅助角公式 )sin(cos sin 2 2 ?++= +x x b x a b a 其中：a b = ?tan 常见的几种特殊辅助角公式： ① )4 sin(2cos sin π + =+x x x ② )3sin(2cos 3sin π +=+x x x ③ )6 sin(2cos sin 3π + =+x x x ④ )4sin(2cos sin π -=-x x x ⑤ )3 sin(2cos 3sin π -=-x x x ⑥ )6 sin(2cos sin 3π -=-x x x三角函数恒等变换(整理)
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