解析几何&二次曲面期末复习资料

3. 2 其它二次曲面本节主要从曲面的方程出发，考虑三类二次曲面，运用用平面截线法来讨论其几何特征及图像。

一般二次曲面的方程设为：2221112221323332220a x a xy a y a xz a yz a z Ax By Cz D +++++++++=上节我们以讨论过二次锥面，即2222220x y z a b c+-=。

本节讨论下面三类二次曲面2222221x y z a b c++= (椭球面)， 2222221x y z a b c +-=± (单叶，双叶双曲面) 22222x y z a b += (椭圆抛物面)，22222x y z a b-= (双曲抛物面)3.2.1 椭球面在空间直角坐标系下，由方程2222221x y z a b c++= (其中,,a b c 为正常数) (3．2．1) 所确定的曲面称为椭球面．特别，当,,a b c 有两个相等时，(3．2．1)表示旋转椭球面，当a b c ==时，(3．2．1)表示球面．下面来讨论椭球面的几何特征及其图像．1）范围由方程(3．2．1)可知，x a ≤，y b ≤，z c ≤．故曲面包含在由六个平面x a =±，y b =±，z c =±所围成的立方体中．2）对称性x 用x -，y 用y -，z 用z -来代替，方程(3．2．1)不变，这表明椭球面关于三个坐 标面，三个坐标轴及原点都是对称的，此时原点称为椭球面的中心．3）与三个坐标轴的交点及与平行于坐标面的平面的交线椭球面与三个坐标轴交点分别为(,0,0)a ±，(0,,0)b ±，(0,0,)c ±，这六个点称为椭球面的顶点，若 a b c >>，则,,a b c 分别称为椭球面的长半轴，中半轴，短半轴．用平行于Oxy 面的平面z h =来截椭球面，交线方程为2222221,.x y z ab c z h ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩(3．2．2) 当0h =时, (3．2．2) 表示Oxy 面上的椭圆． 当0h c =≠时，(3．2．2))表示交线退化成z 轴上的一点(0,0,)c 或(0,0,)c -．当0h c ≠<时，(3．2．2))表示平面z h =上的一个椭圆，它的两个半轴分别为它们随h 的增大而减小．当0h c >>时，平面 z h =与曲面无交线．类似地，用平面y h =，x h =分别截椭球面，所得交线也是椭圆，讨论方法同上．由上面的讨论可知，椭球面的形状如图3-11．3.2.2 双曲面（一） 单叶双曲面在空间直角坐标系下, 由方程2222221x y z a b c+-= (,,a b c 为正常数) (3．2．3)所确定的曲面称为单叶双曲面．下面来讨论单叶双曲面的形状.1) 对称性 曲面关于三个坐标面，三个坐标轴及坐标原点均对称． 2) 与坐标轴的交点及与平行于坐标面的平面的交线曲面与x 轴，y 轴分别交于点(,0,0)a ±，(0,,0)b ±，与z 轴不相交．若用平面z h =截 单叶双曲面，则截线方程为2222221,.x y h ab c z h ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩(3．2．4)当0h =时，交线(3．2．4)表示Oxy 面上的椭圆，该椭圆称为单叶双曲面的腰椭圆． 当0h ≠时，（3．2．4)表示椭圆，它的两半轴长分别为，h 的增大而增大．若用平面y h =去截单叶双曲面，所得截线方程为2222221,.x z h a cb y h ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩（3. 2. 5） 当h b =时，（3．2．5）变成两条直线．即0,,x za c yb ⎧±=⎪⎨⎪=⎩ 或0,.x za cy b ⎧±=⎪⎨⎪=-⎩ 当h b <时，（3．2．5)表示实轴平行于x 轴，虚轴平行于z轴的双曲线，实半轴长为，其顶点(,0)h ±在腰椭圆上．当h b >时，（3．2．5)表示实轴平行于z 轴，虚轴平行于x轴的双曲线．实半轴长为，虚半轴长为，其顶点(0,,h ±在Oyz 面上的双曲线22221y z b c-=上．类似地可讨论平面x h =与单叶双曲面的交线的情况，单叶双曲面的形状如图3-12．（二）双叶双曲面在空间直角坐标系下，由方程2222221x y z a b c +-=- (,,a b c 为正常数) (3．2．6) 所确定的曲面称为双叶双曲面．1） 对称性 它关于三个坐标面，三个坐标轴及坐标原点均对称．2）与三个坐标轴的交点及与平行坐标面的平面的交线双叶双曲面与z 轴相交于点(0,0,)c ±，与x 轴，y 轴无交点．用平面z h =去截双叶双曲面，所得截线方程2222221,.x y h ab c z h ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩(3．2．7)当h c <时，平面z h =与曲面无交线．当h c =时，截线退化为一点(0,0,)c 或(0,0,)c -． 当h c >时，截线(3.2.7)表示椭圆，它的两个半轴长分别为h 增大而增大．类似可讨论双叶双曲面与平面x h =和y h =的交线分别为双曲线. 双叶双曲面的形状如图3-13.3. 2. 3 抛物面（一） 椭圆抛物面由方程22222x y z a b += (,a b 为正常数) (3．2．8) 所确定的曲面称为椭圆抛物面． 1) 范围 曲面在Oxy 平面的上方．2）对称性 它关于Oxz 平面，Oyz 平面对称, 且关于z 轴对称．3）与坐标轴的交点与平行于坐标面的平面的交线 曲面与各坐标轴交于原点，与平面z h =的交线为22222,0.x y h a b z h ⎧+=⎪⎨⎪=≥⎩(3．2．9)当0h =时，(3．2．9)退化为一点，即原点．当0h >时，(3．2．9)表示椭圆，它的两个半轴长分别为，它们随h 的增大而增大．曲面与平面x h =的交线为抛物线22222(),2.y h z b a x h ⎧=-⎪⎨⎪=⎩(3．2．10)它的顶点22(,0,)2h h a 在Oxz 平面上的抛物线222x a z =上，因此椭圆抛物面可看成由抛物线(3．2．10)沿抛物线222,0.x a z y ⎧=⎨=⎩平行移动所得的曲面．类似地，我们也可讨论曲面与平面y h =的交线．椭圆抛物面也可看成由抛物线22222(),2x h z a b y h ⎧=-⎪⎨⎪=⎩沿抛物线222,0y a z x ⎧=⎨=⎩平行移动所得的曲面（如图3-14）.（二） 双曲抛物面由方程22222x y z a b-= (,a b 为正常数) (3．2．11)所确定的曲面称为双曲抛物面．1）对称性 曲面关于Oyz 平面与Oxz 平面对称，关于z 轴对称． 2）与坐标轴交点及与平行于坐标面的平面的交线曲面与各坐标轴交于原点，它与平面z h =的交线称为22222x y h a b z h ⎧-=⎪⎨⎪=⎩(3．2．12)当0h =时，(3．2．12)表示两条过原点的直线．当0h >时，(3．2．12)表示实轴平行于x 轴，虚轴平行于y轴的双曲线，顶点()h ±在Oxz 平面上的抛物线222x a z =上．当0h <时，(3．2．12)表示实轴平行y 轴，虚轴平行于x 轴的双曲线，顶点(0,)h ±在Oyz 面上的抛物线222y b z =-上．双曲抛物面与平面y h =的交线为抛物线22222(),2.h x a z b y h ⎧=+⎪⎨⎪=⎩它的顶点22(0,,)2h h b -在Oyz 平面上的抛物线222y b z =-上，曲面与平面x h =的交线也有类似的结果．因而整个曲面可看成抛物线222,0x a z y ⎧=⎨=⎩沿抛物线222,0y b z x ⎧=-⎨=⎩平行移动的轨迹，也可看成抛物线222,0y b z x ⎧=-⎨=⎩沿抛物线222,x a z y ⎧=⎨=⎩平行移动的轨迹．它经过原点，且在原点附近的一小块形状像马鞍，因此双曲抛物面称为马鞍面（如图3-15）．例3.2.1 设二次曲面关于坐标平面对称，且它上面有两条曲线221,4y x z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩221,28x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩求该二次曲面的方程．解 设二次曲面的方程为2222221x y z a b c++=，它与z =2222231,x y ab c z ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩由题意得22223(1)1,3(1) 4.a cb c ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩(3.2.13)又曲面与z =2222221,x y a b c z ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩由题意得22222(1)2,2(1)8.a cb c ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩(3. 2. 14)联立（3. 2. 13）与（3. 2. 14），解得2224,4,16c a b ===，所以二次曲面的方程为22214164x y z ++=． 例3.2.2 已知椭球面方程2222221x y z a b c++= ()c a b <<，试求过x 轴且与椭球面的交线是圆的平面．解 不妨设过x 轴的平面z ky =，它与椭球面的交线为222222221,.x c b k y a b c z ky ⎧++=⎪⎨⎪=⎩（3．2．15） 如果该交线是圆，则圆心为原点，又因交线关于x 轴对称并且(,0,0)a ±在这条交线上，故该圆可看成以原点为球心，以a 为半径的球与平面z ky =的交线，即22222(1)1,.x k y a a z ky ⎧++=⎪⎨⎪=⎩(3．2．16) 比较(3．2．15)与(3．2．16)得2222222()()c b a k b a c -=-，故所得平面的方程为0= 及0． 注 读者自行可考虑如下问题：是否存在一张平面，使得它与其它的二次曲面．如单(双)叶双曲面、椭圆抛物面的截线是圆(见习题)？3.3 二次直纹面定义3.3.1 由一族直线构成的曲面称为直纹面，构成曲面的每一条直线称为直纹面的直母线．定义3．3．1表明一张曲面是直纹面当且仅当下面两个条件同时成立 1) 曲面上存在一族直线;2) 对曲面上每一点，必有族中的一条直线通过它．在前面两节中介绍过的二次曲面中，柱面(如椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面等)和锥面（如二次锥面）都是直纹面，那么椭球面，双曲面和抛物面是否是直纹面？首先注意到椭球面是有界曲面，而直线可无限延伸，因此椭球面上不可能存在直线，因而不可能是直纹面．双叶双曲面位于Oxy 面的上方，如果该曲面上存在直线的话，它必平行于Oxy 平面，但平行于Oxy 面的平面与双叶双曲面的交线是椭圆，从而双叶双曲面上不存在直线，当然不可能是直纹面，类似地可说明椭圆抛物面也不是直纹面．单叶双曲面与双曲抛物面上都存在直线．下面来考虑它们的直纹性．3.3.1 单叶双曲面的直纹性 设单叶双曲面S 的方程为2222221x y z a b c+-=. (3．3．1)方程(3．3．1)可改写成()()(1)(1)x z x z y y a c a c b b+-=+-. 不难验证对任一组不全为零的实数,λμ及,λμ''，直线族（1） :()(1),:()(1),x z y a c b l x z y a cb λμλμμλ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩ (3．3．2)及（2） :()(1),:()(1).x z ya c bl x z y a c bλμλμμλ''⎧''+=+⎪⎪'⎨⎪''-=-⎪⎩ (3．3．3)均在曲面S 上．由于它们依赖于比值:λμ或:λμ''，从而可将它们看成单参数直线族，从而单叶双曲面S 上存在两族单参数直线族1L ={:,l λμλμ不全为零}, 2L ={:,l λμλμ'''''不全为零}.注1：如果0λ≠设v μλ=设上面方程组可写为 ()(1),1()(1),x zy v a c bx z y a cv b ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩ 加上方程组()0,(1)0,x z a c y b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩0v →（即0μ=），()0,(1)0,x z a cy b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩v →∞（即0λ=）。