解析几何&二次曲面期末复习资料

3. 2 其它二次曲面

本节主要从曲面的方程出发，考虑三类二次曲面，运用用平面截线法来讨论其几何特征及图像。

一般二次曲面的方程设为：

2221112221323332220a x a xy a y a xz a yz a z Ax By Cz D +++++++++=

上节我们以讨论过二次锥面，即222

2220x y z a b c

+-=。

本节讨论下面三类二次曲面

222

2221x y z a b c

++= (椭球面)， 222

222

1x y z a b c +-=± (单叶，双叶双曲面) 22222x y z a b += (椭圆抛物面)，22

222x y z a b

-= (双曲抛物面)

3.2.1 椭球面

在空间直角坐标系下，由方程

2222221x y z a b c

++= (其中,,a b c 为正常数) (3．

2．1) 所确定的曲面称为椭球面．特别，当,,a b c 有两个相等时，(3．2．1)表示旋转椭球面，当

a b c ==时，(3．2．1)表示球面．

下面来讨论椭球面的几何特征及其图像．

1）范围

由方程(3．2．1)可知，x a ≤，y b ≤，z c ≤．故曲面包含在由六个平面x a =±，

y b =±，z c =±所围成的立方体中．

2）对称性

x 用x -，y 用y -，z 用z -来代替，方程(3．2．1)不变，这表明椭球面关于三个坐 标面，三个坐标轴及原点都是对称的，此时原点称为椭球面的中心．

3）与三个坐标轴的交点及与平行于坐标面的平面的交线

椭球面与三个坐标轴交点分别为(,0,0)a ±，(0,,0)b ±，(0,0,)c ±，这六个点称为椭球面的顶点，若 a b c >>，则,,a b c 分别称为椭球面的长半轴，中半轴，短半轴．

用平行于Oxy 面的平面z h =来截椭球面，交线方程为

2222221,

.x y z a

b c z h ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩

(3．2．2) 当0h =时, (3．2．2) 表示Oxy 面上的椭圆． 当0h c =≠时，(3．2．2))表示交线退化成z 轴上的一点(0,0,)c 或(0,0,)c -．

当0h c ≠<时，(3．2．2))表示平面z h =上的一个椭圆，

它的两个半轴分别为

它们

随h 的增大而减小．

当0h c >>时，平面 z h =与曲面无交线．

类似地，用平面y h =，x h =分别截椭球面，所得交线也是椭圆，讨论方法同上．由上面的讨论可知，椭球面的形状如图3-11．

3.2.2 双曲面

（一） 单叶双曲面

在空间直角坐标系下, 由方程

222

2

221x y z a b c

+-= (,,a b c 为正常数) (3．2．3)所确定的曲面称为单叶双曲面．

下面来讨论单叶双曲面的形状.

1) 对称性 曲面关于三个坐标面，三个坐标轴及坐标原点均对称． 2) 与坐标轴的交点及与平行于坐标面的平面的交线

曲面与x 轴，y 轴分别交于点(,0,0)a ±，(0,,0)b ±，与z 轴不相交．若用平面z h =截 单叶双曲面，则截线方程为

2222221,

.x y h a

b c z h ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩

(3．2．4)

当0h =时，交线(3．2．4)表示Oxy 面上的椭圆，该椭圆称为单叶双曲面的腰椭圆． 当0h ≠时，（3．2．4)

表示椭圆，它的两半轴长分别为

，h 的

增大而增大．

若用平面y h =去截单叶双曲面，所得截线方程为

2222221,

.x z h a c

b y h ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩

（3. 2. 5） 当h b =时，（3．2．5）变成两条直线．即

0,

,x z

a c y

b ⎧±=⎪⎨⎪=⎩ 或

0,

.

x z

a c

y b ⎧±=⎪⎨⎪=-⎩ 当h b <时，（3．2．5)表示实轴平行于x 轴，虚轴平行于z

轴的双曲线，实半轴长为

，其顶点

(,0)h ±在腰椭圆上．

当h b >时，（3．2．5)表示实轴平行于z 轴，虚轴平行于x

轴的双曲线．实半轴长为

，虚半轴长为

，其顶点

(0,,h ±在Oyz 面上的双曲线22

221y z b c

-=上．

类似地可讨论平面x h =与单叶双曲面的交线的情况，单叶双曲面的形状如图3-12．

（二）双叶双曲面

在空间直角坐标系下，由方程

222

222

1x y z a b c +-=- (,,a b c 为正常数) (3．

2．6) 所确定的曲面称为双叶双曲面．

1） 对称性 它关于三个坐标面，三个坐标轴及坐标原点均对称．

2）与三个坐标轴的交点及与平行坐标面的平面的交线

双叶双曲面与z 轴相交于点(0,0,)c ±，与x 轴，y 轴无交点．用平面z h =去截双叶双

曲面，所得截线方程

222

2221,

.x y h a

b c z h ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩

(3．2．7)当h c <时，平面z h =与曲面无交线．

当h c =时，截线退化为一点(0,0,)c 或(0,0,)c -． 当h c >时，截线(3.2.7)表示椭圆，它的两个半轴长分

别为

h 增大而增大．

类似可讨论双叶双曲面与平面x h =和y h =的交线分别为双曲线. 双叶双曲面的形状如图3-13.

3. 2. 3 抛物面

（一） 椭圆抛物面

由方程

22

22

2x y z a b += (,a b 为正常数) (3．2．8) 所确定的曲面称为椭圆抛物面． 1) 范围 曲面在Oxy 平面的上方．

2）对称性 它关于Oxz 平面，Oyz 平面对称, 且关于z 轴对称．

3）与坐标轴的交点与平行于坐标面的平面的交线 曲面与各坐标轴交于原点，与平面z h =的交线为

22

222,0.x y h a b z h ⎧+

=⎪⎨⎪=≥⎩

(3．2．9)

当0h =时，(3．2．9)退化为一点，即原点．

当0h >时，(3．2．9)

表示椭圆，它的两个半轴长分别为

，它们随h 的增大而增大．

曲面与平面x h =的交线为抛物线

22222(),

2.y h z b a x h ⎧=-⎪⎨⎪=⎩

(3．2．

10)