中考专题：代数综合问题的解决方法
中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案
中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案一、教学目标：1. 让学生掌握代数应用性问题的基本类型及解题方法。
2. 提高学生将实际问题转化为代数问题的能力。
3. 培养学生运用代数知识解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 代数应用性问题的基本类型：方程问题、不等式问题、函数问题。
2. 解题方法：列方程、列不等式、列函数关系式。
3. 实际问题转化为代数问题的步骤：（1）理解实际问题的背景，找出关键信息。
（2）设未知数，找出已知数。
（3）根据实际问题建立代数模型。
（4）解代数方程（不等式、函数）。
（5）检验解的合理性，解释实际意义。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：代数应用性问题的基本类型及解题方法。
2. 教学难点：实际问题转化为代数问题的步骤，解题方法的灵活运用。
四、教学过程：1. 导入：通过一个简单的实际问题，引发学生对代数应用性问题的思考。
2. 讲解：介绍代数应用性问题的基本类型及解题方法，结合实际问题引导学生转化为一元一次方程、一元一次不等式、函数关系式。
3. 案例分析：分析几个典型代数应用性问题，引导学生掌握解题思路。
4. 练习：布置一些代数应用性问题，让学生独立解答，巩固所学知识。
五、课后作业：1. 总结代数应用性问题的解题步骤。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 收集一些实际问题，尝试将其转化为代数问题，提高解决实际问题的能力。
六、教学策略：1. 案例教学：通过分析具体案例，让学生了解代数应用性问题的特点和解题方法。
2. 问题驱动：引导学生从实际问题中发现问题、提出问题，激发学生解决问题的兴趣。
3. 分组讨论：组织学生分组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高解决问题的能力。
4. 反馈与评价：及时给予学生反馈，鼓励学生积极参与，提高课堂效果。
七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估学生对代数应用性问题的理解和掌握程度。
中考数学第二轮复习专题(14个)
中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
【范例讲析】： 例1： 填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。
2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。
3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。
例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。
例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值 （ ） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。
4. 解方程： 211()65()11x x +=--对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法． 【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。
（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。
中考数学题如何利用高中数学教学方法
中考数学题如何利用高中数学教学方法
利用高中数学教学方法来解决中考数学题，可以采取以下几点策略：
1. 立体几何的题目，可以运用高中数学中的向量、空间几何等知识。
例如，对于求体积、表面积等问题，可以利用向量法或空间几何的相关定理来解决。
2. 代数方程问题，可以运用高中代数中的方程解法、简化等方法来解决。
例如，对于一些复杂的方程组，可以运用高中代数的解法，如消元、代入等方法，将其转化为较简单的方程进行求解。
3. 函数问题，可以利用高中函数的知识进行解答。
例如，对于求函数的极值、图像的性质等问题，可以运用高中函数的极值点、图像变换等知识来解决。
4. 统计与概率问题，可以运用高中统计与概率的知识进行解答。
例如，对于某些概率问题，可以利用高中概率的相关概念、计算方法等进行分析和计算。
在应用高中数学教学方法解决中考数学题时，还应考虑题目难度适应性和学生的基础水平。
需要根据学生的实际情况，提供相关的数学知识、原理和解题方法，并进行多种角度和途径的讲解，引导学生理解题意、分析问题、选择适当的解题方法，并进行反复练习和巩固。
同时，还可以引导学生灵活应用数学知识，培养他们的思维能力和解决问题的能力。
2022年中考数学压轴题讲义 利用代数求解最值问题
利用代数求解最值问题1、问题提出：（1）如图1，点B 、C 在O 上且BC=2，过点O 作OE ⊥BC ，交BC 于点A ，交O 于点E ，连接BE 、CE ，若∠CBE =30°,则线段AE 的长度为_____________问题探究：（2）如图2，在ABC 中，BC=2，∠BAC=45°，求边AC 长度的最大值: 问题解决：（3）如图3，某城市拟在河流m 、n 所夹半岛区城建一个湿地公园，公园的周长由亲水廊桥AB 、AD 、CD 和绿化带BC 四部分构成，其中B 、C 两定点间的距离为2000米，根据规划要求，A 、D 两点间的距离为600米，A 、D 两点到直线BC 的距离相等，AD 的中点E 到BC 的距离比点A 到BC 的距离多1003米。
若修建时需保证∠B 与∠C 的和为120度，请判断这个湿地公园的周长是否存在最大值？若存在，请求出最大值，若不存在，请说明理由. (结果保留π)图1 图2 图32、问题探究：（1）如图1，平行四边形ABCD ，∠ABC ＝60°，AB ＝3，BC ＝5，M 、N 分别为AD 、DC 上的点，且DM +DN ＝4，则四边形BMDN 的面积最大值是 ． （2）如图2，∠ACB ＝90°，且AC +BC ＝4，连接AB ，则△ABC 的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决EDC AO E C BBAB Cmn（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值．3、如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB∥CD．AB＝5，AD＝6，∠A＝60°，在AD边上确定一点E，使得∠BEC＝60°，则AE＝（）A．4−√6B．6﹣2√3C．5−√13D．3√324、【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，若AP=2，PC=2DP，则BC=____________（2）如图2，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=10，AD=13，点E在线段BC上且BE=6，连接DE，作DE⊥EF，交AB于点F，则四边形ADEF的面积为___________【问题解决】（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，四边形ABCD中，AB=4厘米，点C到AB的距离为5厘米，∠C=90°，且BC=2CD，在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低，已知这种金属材料每平方厘米造价50元，请问一个这种四边形金属部件的造价最低是多少元？图1 图2 图35、如图，已知30MAN ∠=，点P 为MAN ∠内部一点，PEF 为等边三角形，点F 落在AM 上，点E 落在AN 上，过点P 做PC AN ⊥于点C ，PD AM ⊥于点D ，设PC 的长为x ，PEF 的面积为y ，若43AC =y 与x 之间的函数关系式；6、如图，等腰Rt △DEF 的三个顶点分别在等边△ABC 的三条边上，∠EDF=90°，已知AB=3√3+3，则△DEF 面积的最小值是_____________C DCB A D CFM NAP EFCABED7、问题提出（1）如图1，已知三角形ABC ，请在BC 边上确定一点D ，使得AD 的值最小． 问题探究（2）如图2，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点P 是AC 边上一动点，分别过点A ，点C 作线段BP 所在直线的垂线，垂足为点D ，E ，若AB ＝5，BC ＝6，求线段BP 的取值范围，并求AD +CE 的最大值．问题解决（3）如图3，正方形ABCD 是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，四个顶点处都建有一个蔬菜采购点，根据运输需要，经过顶点A 处和BC 边的两个三等分点E 、F 之间的某点P 建设一条向外运输的快速通道，其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨道，分别为BB ′、CC ′、DD ′．若你是此次项目设计的负责人，要使三条运输轨道的距离之和（BB ′+CC ′+DD ′）最小，你能不能按照要求进行规划，请通过计算说明．8、（1）问题初探：在直角三角形中，两直角边的长度之和是10，当两直角边分别是_____，_______时，直角三角形的面积最大；（2）问题解决：如图，在一个t R EFG 的内部作一个矩形ABCD ，其中点A 和点D 分别在两直角边上，BC 在斜边上，EF=30cm ，FG=40cm ，矩形面积最大是多少？（3）问题拓展：如图，矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=30cm ，点E 是AD 边上的动点（点E 与A,D 两点不重合），连接BE 、CE ，点F 是BC 边上的动点，过F 作FG ∥CE 交BE 于点G ，求三角形EFG 面积的最大值。
2023年中考数学《代数式和方程中常见的易错问题》重点知识及例题解析
2023年中考数学《代数式和方程中常见的易错问题》重点知识及例题解析◆题型一：直线定点和代数式的值和某字母无关一次函数y=mx+m-1过定点【解析】一次函数过定点问题和整式中和某字母取值无关是同一类题:一次函数过定点实质上指的是和m的取值无关。
按照这种思路过可以解决很多的定点问题。
把一次函数解析式变形：y=m（x+1）-1，我们把（x+1）看作m的系数，若和m的取值无关，则系数（x+1）=0，即x=1，此时y=-1.因此，此一次函数过定点（-1，-1）。
1. 2022·江苏泰州·三模）小明经探究发现：不论字母系数m 取何值，函数()224365y x m x m =−+++的图像恒过一定点P ，则P 点坐标为______． 【答案】3,142⎛⎫− ⎪⎝⎭【分析】根据不论字母系数m 取何值图像恒过一定点P ，取值与m 无关，则字母m 的系数为0，进而可得答案．【详解】解：()224365y x m x m =−+++()224635y x x m x =+−++当46=0x +，即32x =−时，14y =， 所以无论字母系数m 取何值时，图像恒过一定点P 3,142⎛⎫− ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，知道字母m 的系数为0时，才与m 的取值无关．2. 整式（ax 2+bx -1）-（4x 2+3x ）的最后结果与x 的取值无关，求a ，b 的值。
解：由（1）（ax 2+bx-1）-（4x 2+3x ）化简的结果是（a-4）x 2+（b-3）x-1，得a=4，b=3.1．（2022·重庆八中二模）对于五个整式，A ：2x 2；B ：x +1；C ：﹣2x ；D ：y 2；E ：2x-y 有以下几个结论：①若y 为正整数，则多项式B ⋅C +A +B +E 的值一定是正数；②存在实数x ，y ，使得A+D+2E 的值为-2；③若关于x 的多项式M =3(A −B)+m ⋅B ⋅C (m 为常数)不含x 的一次项，则该多项式M 的值一定大于-3．上述结论中，正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【分析】根据整式的四则运算法则逐个运算即可判断．【详解】解：对于①：B ⋅C +A +B +E =(x +1)(−2x)+2x 2+x +1+2x −y =x −y +1，显然当x =−100,y =1时代入化简后的式子中结果为负数，故①错误；对于②：A +D +2E =2x 2+y 2+2(2x −y)=2x 2+y 2+4x −2y =−2时，整理得到：2(x +1)2+(y −1)2−1=0，显然当x =−1,y =2时代入化简后式子中满足，故②正确；对于③：M =3(A −B)+m ⋅B ⋅C =3(2x 2−x −1)+m(x +1)(−2x)=(6−2m)x 2−(3+2m)x −3， ∵不含x 的一次项，∴320m +=，解出m =−32，此时M =9x 2−3≥−3，即M 的值一定大于等于-3，故③错误；故选：B ．【点睛】本题考查了整式的四则运算，属于基础题，熟练掌握整式的四则运算法则是解题的关键． 2．（2022·重庆市育才中学二模）已知多项式A =x 2+2y +m 和B =y 2−2x +n （m ，n 为常数），以下结论中正确的是（ ）①当2x =且m +n =1时，无论y 取何值，都有A +B ≥0；②当m =n =0时，A ×B 所得的结果中不含一次项；③当x y =时，一定有A ≥B ；④若m +n =2且A +B =0，则x y =；⑤若m =n ，A −B =−1且x ，y 为整数，则|x +y |=1．A ．①②④B ．①②⑤C ．①④⑤D ．③④⑤ 【答案】B【分析】主要是运用整式的运算法则及因式分解等知识对各项进行一一判断即可．【详解】①当2x =且m +n =1时，A+B=4+2y +m +y 2−4+n =y 2+2y +1=(y +1)2，∵无论y 取何值，总有(y +1)2≥0，∴无论y 取何值，都有A +B ≥0，故①正确；②当m =n =0时，A ×B =(x 2+2y )(y 2−2x )=x 2y 2−2x 3+2y 3−4xy ，∴A ×B 所得的结果中不含一次项；故②正确；③当x y =时，A −B =x 2+2y +m −(y 2−2x +n )=x 2+2x +m −x 2+2x −n =4x +m −n ， 其结果与0无法比较大小，故③错误；④若m+n=2且A+B=0，则A+B=x2+2y+m+y2−2x+n=x2+y2+2y−2x+2=0，变形得：(x−1)2+(y+1)2=0，∴x=1，y=-1，∴x=-y，故④错误；⑤若m=n，A−B=−1且x，y为整数，则A−B=x2+2y+m−(y2−2x+n)=x2+2y−y2+2x=−1x2−y2+2x+2y+1=0变形得：(x+1)2−(y−1)2=−1，因式分解得：(x+y)(x−y+2)=−1，∵x，y为整数，则必有|x+y|=1．故⑤正确；故选：B【点睛】本题主要考查的是整式运算及因式分解的应用，解决本题的关键是熟练掌握运用乘法公式进行计算及因式分解．3．（2022·江苏泰州·三模）小明经探究发现：不论字母系数m取何值，函数y=2x2+(4m−3)x+6m+5的图像恒过一定点P，则P点坐标为______．,14)【答案】(−32【分析】根据不论字母系数m取何值图像恒过一定点P，取值与m无关，则字母m的系数为0，进而可得答案．【详解】解：y=2x2+(4m−3)x+6m+5y=2x2+(4x+6)m−3x+5时，y=14，当4x+6=0，即x=−32,14)．所以无论字母系数m取何值时，图像恒过一定点P(−32【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，知道字母m的系数为0时，才与m的取值无关．4．（2021·河北唐山·一模）老师写出一个整式（ax2+bx-1）-（4x2+3x）（其中a、b为常数，且表示为系数），然后让同学给a 、b 赋予不同的数值进行计算，(1)甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为2x 2-3x -1，则甲同学给出a 、b 的值分别是a =_______，b =_______；(2)乙同学给出了a =5，b =-1，请按照乙同学给出的数值化简整式；(3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与x 的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果． 【答案】(1)6、0(2)241x x −−(3)丙同学的计算结果是-1．【分析】（1）将所求式子化简，然后根据计算的结果为2x2-3x-1，即可得到a 、b 的值；（2）将a 、b 的值代入（1）中化简后的结果，即可解答本题；（3）根据（1）中化简后的结果和题意，可以写出丙同学的计算结果．【详解】（1）解：（ax2+bx-1）-（4x2+3x ）=ax2+bx-1-4x2-3x=（a-4）x2+（b-3）x-1，∵甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为2x2-3x-1，∴a-4=2，b-3=-3，解得a=6，b=0，故答案为：6，0；（2）解：由（1）（ax2+bx-1）-（4x2+3x ）化简的结果是（a-4）x2+（b-3）x-1，∴当a=5，b=-1时，原式=（5-4）x2+（-1-3）x-1=x2-4x-1，即按照乙同学给出的数值化简整式结果是x2-4x-1；（3）解：由（1）（ax2+bx-1）-（4x2+3x ）化简的结果是（a-4）x2+（b-3）x-1，∵丙同学给出一组数，计算的最后结果与x 的取值无关，∴原式=-1，即丙同学的计算结果是-1．【点睛】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的结果．5．（2021·河北唐山·一模）定义：若A−B=m，则称A与B是关于m的关联数．例如：若A−B=2，则称A与B是关于2的关联数；(1)若3与a是关于2a的关联数，则a=__________．(2)若(x−1)2与x+1是关于-2的关联数，求x的值．(3)若M与N是关于m的关联数，M=2mn−n+3，N的值与m无关，求N的值．【答案】(1)1(2)x1=1，x2=2(3)2.5【分析】（1）直接利用关联数列出方程进行计算即可；（2）直接利用关联数列出方程进行计算即可；（3）直接利用关联数列出M-N=m的方程，将M=3mn+n+3代入，用m、n的式子表示出N，再利用N的值与m无关进行计算即可．(1)解：∵3与a是关于2a的关联数，∴3-a=2a，∴a=1，故答案为：1(2)解：(x−1)2−(x+1)=−2，整理得x2−3x+2=0则(x−2)(x−1)=0解得：x1=1，x2=2．∴x的值为1或2；(3)解：(2mn−n+3)−N=m，N=2mn−m−n+3=m(2n−1)−n+3，∵N的值与m无关，∴2n−1=0，∴n=0.5，∴N=2.5．【点睛】本题考查了新型定义题型，解一元一次方程、解一元二次方程，整式的值与字母无关，解题的关键是准确理解题干，列出方程，进行解答．6．（2021·浙江·杭州育才中学二模）已知多项式M=(2x2+3xy+2y)−2(x2+x+yx+1)．(1)当|x−1|+(y−2)2=0，求M的值；(2)若多项式M与字母x的取值无关，求y的值．【答案】(1)M=2(2)y=2【分析】（1）先化简M，进而根据非负数的性质求得x,y的值，进而代入求解即可；（2）根据（1）中M的化简结果变形，令含x项的系数为0，进而求得y的值【详解】（1）解：M=(2x2+3xy+2y)−2(x2+x+yx+1)=2x2+3xy+2y−2x2−2x−2yx−2=xy+2y−2x−2|x−1|+(y−2)2=0∴x=1,y=2原式=1×2+2×2−2×1−2=2（2）∵M=xy+2y−2x−2=(y−2)x+2y−2与字母x的取值无关，∴y−2=0解得y=2【点睛】本题考查了整式加减化简求值，整式无关类型，掌握整式的加减运算是解题的关键．◆题型二：特殊代数式求值①若m，n是方程2x2−4x−7=0的两个根，则2m2−3m+n的值为【解析】一次代入无法求得结果，出现这种情况，我们可以从先代高次再代低次！把2m2=4m+7代入，原式=m+n+7，然后用韦达定理即可求值。
专题03 整体代入法(解析版)中考二轮专题复习之数学思想和方法以及常见题型满分练(全国通用)
专题03 整体代入法【规律总结】整体代入法，在求代数式值中应用求代数式的值最常用的方法，即把字母所表示的数值直接代入，计算求值。
有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难求出字母的值或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入，求值时方便又快捷，这种整体代入的技法经常用到。
【典例分析】例1、在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2.当AD−AB=2时，S2−S1的值为()A. 2aB. 2bC. 2a−2bD. −2b【答案】B【解析】解：S1=(AB−a)⋅a+(CD−b)(AD−a)=(AB−a)⋅a+(AB−b)(AD−a)，S2=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)，∴S2−S1=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)−(AB−a)⋅a−(AB−b)(AD−a)=(AD−a)(AB−AB+b)+(AB−a)(a−b−a)=b⋅AD−ab−b⋅AB+ab=b(AD−AB)=2b．故选：B．利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．本题考查了整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．例2、若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则6m2−9m+2015的值为______．【答案】2018【解析】解：由题意可知：2m2−3m−1=0，∴2m2−3m=1∴原式=3(2m2−3m)+2015=2018故答案为：2018根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．例3、解下列各题：(1)若n满足(n−2023)(2021−n)=−6，求(n−2023)2+(2021−n)2的值．(2)已知：m2=n+2，n2=m+2(m≠n)，求：m3−2mn+n3的值．【答案】解：(1)∵(n−2023)(2021−n)=−6，∴原式=(n−2023+2021−n)2−2(n−2023)(2021−n)=(−2)2−2×(−6)=4+12=16；(2)∵m2=n+2①，n2=m+2(m≠n)②，∴m2−n=2，n2−m=2，∵m≠n，∴m−n≠0，∴①−②得m2−n2=n−m∴(m−n)(m+n)=−(m−n)，∵m−n≠0，∴m+n=−1∴原式=m3−mn−mn+n3=m(m2−n)+n(n2−m)=2m +2n=2(m +n)=2×(−1)=−2．【解析】本题主要考查的是代数式求值，完全平方公式，运用了整体代入法的有关知识．(1)将给出的代数式进行变形为(n −2023+2021−n)2−2(n −2023)(2021−n)，然后整体代入求值即可；(2)先根据m 2=n +2，n 2=m +2(m ≠n)，求出m +n =−1，然后将给出的代数式进行变形，最后整体代入求解即可．【好题演练】一、选择题1. 已知a +b =12，则代数式2a +2b −3的值是( ) A. 2B. −2C. −4D. −312 【答案】B 【解析】解：∵2a +2b −3=2(a +b)−3，∴将a +b =12代入得：2×12−3=−2故选：B ．注意到2a +2b −3只需变形得2(a +b)−3，再将a +b =12，整体代入即可此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可．2. 若α、β为方程2x 2−5x −1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为( ) A. −13B. 12C. 14D. 15【答案】B【解析】【分析】 本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a，x 1x 2=c a .也考查了一元二次方程解的定义． 根据一元二次方程解的定义得到2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5(α+β)+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β=52，αβ=−12，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵α为2x 2−5x −1=0的实数根，∴2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5(α+β)+3αβ+1，∵α、β为方程2x 2−5x −1=0的两个实数根，∴α+β=52，αβ=−12，∴2α2+3αβ+5β=5×52+3×(−12)+1=12． 故选B ．3. 如果a 2+2a −1=0，那么代数式(a −4a ).a 2a−2的值是( )A. −3B. −1C. 1D. 3【答案】C【解析】【分析】 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a 2+2a −1=0，可以得到a 2+2a =1，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：(a −4a )⋅a 2a−2=a 2−4a ⋅a 2a−2=(a+2)(a−2)a ⋅a 2a−2=a 2+2a ，由a 2+2a −1=0得a 2+2a =1，故原式=1．故选C ．4.已知1x −1y=3，则代数式2x+3xy−2yx−xy−y的值是()A. −72B. −112C. 92D. 34【答案】D【解析】解：∵1x−1y=3，∴y−xxy=3，∴x−y=−3xy，则原式=2(x−y)+3xy(x−y)−xy=−6xy+3xy−3xy−xy=−3xy−4xy=34，故选：D．由1x −1y=3得出y−xxy=3，即x−y=−3xy，整体代入原式=2(x−y)+3xy(x−y)−xy，计算可得．本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用．5.已知x1，x2是方程x2−3x−2=0的两根，则x12+x22的值为()A. 5B. 10C. 11D. 13【答案】D【解析】【分析】本题考查了完全平方公式以及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca，利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=−2，再利用完全平方公式得到x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=−2，所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=32−2×(−2)=13．故选：D．6.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下()A. 31元B. 30元C. 25元D. 19元【答案】A【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设每支玫瑰x元，每支百合y元，根据总价=单价×数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于x，y的二元一次方程，整理后可得出y=x+7，再将其代入5x+3y+10−8x中即可求出结论．【解答】解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，依题意，得：5x+3y+10=3x+5y−4，∴y=x+7，∴5x+3y+10−8x=5x+3(x+7)+10−8x=31．故选A．二、填空题7.已知ab=a+b+1，则(a−1)(b−1)=______．【答案】2【解析】【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用，属于基础题．将ab=a+b+1代入原式=ab−a−b+1，合并即可得．【解答】解：当ab=a+b+1时，原式=ab−a−b+1=a+b+1−a−b+1=2，故答案为：2．8.将抛物线y=ax2+bx−1向上平移3个单位长度后，经过点(−2,5)，则8a−4b−11的值是______．【答案】−5【解析】解：将抛物线y=ax2+bx−1向上平移3个单位长度后，表达式为：y=ax2+bx+2，∵经过点(−2,5)，代入得：4a−2b=3，则8a−4b−11=2(4a−2b)−11=2×3−11=−5，故答案为：−5．根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点(−2,5)代入，得到4a−2b=3，最后将8a−4b−11变形求值即可．本题考查了二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出平移后的表达式．9.若a+b=1，则a2−b2+2b−2=______．【答案】−1【解析】解：∵a+b=1，∴a2−b2+2b−2=(a+b)(a−b)+2b−2=a−b+2b−2=a+b−2=1−2=−1．故答案为：−1．由于a+b=1，将a2−b2+2b−2变形为a+b的形式，整体代入计算即可求解．本题考查了平方差公式，注意整体思想的应用．10.若实数x满足x2−2x−1=0，则2x3−7x2+4x−2017=______．【答案】−2020【解析】【分析】把−7x2分解成−4x2与−3x2相加，然后把所求代数式整理成用x2−2x表示的形式，然后代入数据计算求解即可．本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．【解答】解：∵x2−2x−1=0，∴x2−2x=1，2x3−7x2+4x−2017=2x3−4x2−3x2+4x−2017，=2x(x2−2x)−3x2+4x−2017，=6x−3x2−2017，=−3(x2−2x)−2017=−3−2017=−2020，故答案为−2020．11.已知|x−y+2|+√x+y−2=0，则x2−y2的值为________．【答案】−4【解析】【分析】本题考查了非负数的性质，解题关键是掌握几个非负数的和等于0，那么这几个非负数都等于0.由非负数的性质得出x、y的值，再代入所求代数式求解即可．【解答】解：∵|x−y+2|+√x+y−2=0，∴x−y+2=0，x+y−2=0，即x−y=−2，x+y=2，∴x 2−y 2=(x +y)(x −y)=2×(−2)=−4，故答案为−4．12. 已知m +n =3mn ，则1m +1n 的值为______．【答案】3【解析】【试题解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，利用通分将原式变形为m+n mn 是解题的关键．原式通分后可得出m+n mn ，代入m +n =3mn 即可求出结论．【解答】解：原式=1m +1n =m+n mn ，又∵m +n =3mn ，∴原式=m+n mn =3．故答案为：3．三、解答题13. 已知x =√2+1，y =√2−1，分别求下列代数式的值；(1)x 2+y 2；(2)y x +x y ．【答案】解：(1)∵x =2+1=√2−1，y =2−1=√2+1，∴x −y =−2，xy =2−1=1，∴x 2+y 2=(x −y)2+2xy =(−2)2+2×1=6；(2)∵x 2+y 2=6，xy =1，∴原式=x 2+y 2xy =61=6．【解析】本题考查二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础题型．(1)先将x 、y 进行分母有理化，得到x =√2−1，y =√2+1，再求出x −y 与xy 的值，然后根据完全平方公式得出x 2+y 2=(x −y)2+2xy ，再整体代入即可；(2)将所求式子变形为x 2+y 2xy ，再整体代入即可．14. 阅读材料，然后解方程组．材料：解方程组{x −y −1=0, ①4(x −y)−y =5. ②由①得x −y③，把③代入②，得4×1−y =5．解得y =−1．把y =−1代入③，得x =0．∴{x =0y =−1这种方法称为“整体代入法”.你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组{2x −3y −2=0,①2x−3y+57+2y =9．②． 【答案】解：由①得：2x −3y =2③，将③代入②得：1+2y =9，即y =4，将y =4代入③得：x =7，则方程组的解为{x =7y =4．【解析】由第一个方程求出2x −3y 的值，代入第二个方程求出y 的值，进而求出x 的值，即可确定出方程组的解．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．15. 阅读材料，善于思考的小军在解方程组{2x +5y =3①4x +11y =5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x +10y +y =5即2(2x +5y)+y =5③把方程①代入③得2×3+y =5∴y =−1把y =−1代入①得x =4∴方程组的解为{x =4y =−1请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组{3x −2y =5 ①9x −4y =19② (2)已知x 、y 满足方程组{5x 2−2xy +20y 2=822x 2−xy +8y 2=32，求x 2+4y 2的值； 【答案】解：(1)由②得：3x +6x −4y =19，即3x +2(3x −2y)=19③，把①代入③得：3x +10=19，即x =3，把x =3代入①得：y =2，则方程组的解为{x =3y =2； (2)由5x 2−2xy +20y 2=82得：5(x 2+4y 2)−2xy =82，即x 2+4y 2=82+2xy 5， 由2x 2−xy +8y 2=32得：2(x 2+4y 2)−xy =32，即2×82+2xy 5−xy =32， 整理得：xy =4，∴x 2+4y 2=82+2xy 5=82+85=18．【解析】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．(1)模仿小军的“整体代换”法，求出方程组的解即可；(2)方程组第一个方程变形表示出x 2+4y 2，第二个方程变形后代入求出xy 的值，进而求出x 2+4y 2的值．16. (1)已知x 3⋅x a ⋅x 2a+1=x 31求a 的值；(2)若n 为正整数，且x 2n =4，求(3x 3n )2−4⋅(x 2)2n 的值。
中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)
中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。
2020年中考代数综合第2讲：二次函数图象与线段公共点问题
2020 年中考代数综合第 2 讲：二次函数图象与线段公共点问题【案例赏析】1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3，当a＝0 时，抛物线与y 轴交于点A，将点A 向右平移4 个单位长度，得到点B．（1）求点B 的坐标；（2）将抛物线在直线y＝a 上方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M 与线段AB 恰有两个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．2.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n．（1）当m＝2 时，①求抛物线的对称轴，并用含n 的式子表示顶点的纵坐标；②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是；（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n＝3时，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．3.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2+2x+a﹣3，当a＝0 时，抛物线与y 轴交于点A，将点A 向左平移4 个单位长度，得到点B．（1）求点B 的坐标；（2）抛物线与直线y＝a 交于M、N 两点，将抛物线在直线y＝a 下方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，即为图形M．①求线段MN 的长；②若图形M 与线段AB 恰有两个公共点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）和点A（0，﹣3），将点A 向右平移2 个单位，再向上平移5 个单位，得到点B．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线C1 的对称轴；（3）把抛物线C1 沿x 轴翻折，得到一条新抛物线C2，抛物线C2 与抛物线C1 组成的图象记为G，若图象G 与线段AB 恰有一个交点时，结合图象，求a 的取值范围．5.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与y 轴交于点A，其对称轴与x 轴交于点B．（1）求点A，B 的坐标；（2）点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且与点B的距离都为2，若该抛物线与线段CD 有两个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围．【专项突破】6.在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝2x﹣3 与y 轴交于点A，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l，直线l 与直线y＝2x﹣3 交于点C．（1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC 有唯一公共点，求n 的取值范围．7.已知：过点A（3，0）直线l1：y＝x+b 与直线l2：y＝﹣2x 交于点B．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B．（1）求点B 的坐标；（2）如果抛物线y＝ax2+bx+c 经过点A，求抛物线的表达式；（3）直线x＝﹣1 分别与直线l1，l2 交于C，D 两点，当抛物线y＝ax2+bx+c 与线段CD 有交点时，求 a 的取值范围．8.已知：抛物线y＝ax 2+4ax+4a （a＞0）（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线经过点A（m，y1），B（n，y2），其中﹣4＜m≤﹣3，0＜n≤1，则y1 y2（用“＜”或“＞”填空）；（3）如图，矩形CDEF的顶点分别为C（1，2），D（1，4），E（﹣3，4），F（﹣3，2），若该抛物线与矩形的边有且只有两个公共点（包括矩形的顶点），求a的取值范围．9.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1 与y 轴交于点A，其对称轴与x 轴交于点B．（1）当△OAB 是等腰直角三角形时，求n 的值；（2）点C的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC有且只有一个公共点，结合函数的图象求n 的取值范围．10.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于C 点，tan∠ABC＝2．（1）求抛物线的表达式及其顶点D 的坐标；（2）过点A、B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点E、F，将抛物线沿其对称轴向上平移m 个单位，使抛物线与线段EF（含线段端点）只有 1 个公共点．求m 的取值范围．11.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2 的顶点为D．线段AB 的两个端点分别为A（﹣3，m），B（1，m）．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；（3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围．12.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（1）当抛物线的顶点在x 轴上时，求该抛物线的解析式；（2）不论m 取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式；（3）若有两点A（﹣1，0），B（1，0），且该抛物线与线段AB始终有交点，请直接写出m 的取值范围．13.已知：直线l：y＝x+2与过点（0，﹣2），且与平行于x轴的直线交于点A，点A关于直线x＝﹣1 的对称点为点B．（1）求A，B 两点的坐标；（2）若抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过A，B 两点，求抛物线解析式；（3）若抛物线y＝﹣x2+bx+c 的顶点在直线l 上移动，当抛物线与线段AB 有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．14.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y 轴交于点A，将点A 向右平移2 个单位长度，得到点B，点B 在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．15.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a 经过点A，将点B 向右平移5 个单位长度，得到点C．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．16.在平面直角坐标系xOy 中，过点（0，2）且平行于x 轴的直线，与直线y＝x﹣1 交于点A，点A 关于直线x＝1 的对称点为B，抛物线C1：y＝x2+bx+c 经过点A，B．（1）求点A，B 的坐标；（2）求抛物线C1 的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．17.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x 轴交于A、B 两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AB＝4，点D为抛物线的顶点．（1）求点A 和顶点D 的坐标；（2）将点D 向左平移4 个单位长度，得到点E，求直线BE 的表达式；（3）若抛物线y＝ax2﹣6 与线段DE 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1 与y 轴交于点C．（1）试用含m 的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D．若m＞0，CD＝8，求m 的值；（3）已知A（2k，0），B（0，k），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1 只有一个公共点时，直接写出k 的取值范围．19.直线y＝﹣3x+3 与x 轴、y 轴分别父于A、B 两点，点A 关于直线x＝﹣1 的对称点为点C．（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线y＝mx2+nx﹣3m（m≠0）经过A、B、C 三点，求抛物线的表达式；（3）若抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A，B 两点，且顶点在第二象限．抛物线与线段AC 有两个公共点，求a 的取值范围．20.在平面直角坐标系xOy 中．已知抛物线y＝ax2+bx+a﹣2 的对称轴是直线x＝1．（1）用含a 的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A（0，﹣4），B（2，﹣3），若抛物线与线段AB没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若抛物线与x轴的一个交点为C（3，0），且当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y ≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m，n 的值．21.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2），抛物线F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2．（1）求抛物线F的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）当抛物线F 与线段AB 有公共点时，直接写出m 的取值范围．参考答案与试题解析1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3，当a＝0 时，抛物线与y 轴交于点A，将点A 向右平移4 个单位长度，得到点B．（1）求点B 的坐标；（2）将抛物线在直线y＝a 上方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M 与线段AB 恰有两个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．【分析】（1）由题意直接可求A，根据平移点的特点求B；（2）图形M 与线段AB 恰有两个公共点，y＝a 要在AB 线段的上方，当函数经过点A 时，AB 与函数两个交点的临界点；【解答】解：（1）当a＝0时，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3 A（0，﹣3），∵将点A 向右平移4 个单位长度，得到点B．∴B（4，﹣3）；（2）当函数经过点A 时，a＝0，有三个交点．∵图形M 与线段AB 恰有两个公共点，∴y＝a 要在AB 线段的上方，∴a＞﹣3∴﹣3＜a＜0，当a＝1 时，y＝x2﹣2x+a﹣3 沿着y＝1 翻折，此时，图形M 与线段AB 恰有两个公共点．综上所述：﹣3＜a＜0 或a＝1．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键．2.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n．（1）当m＝2 时，①求抛物线的对称轴，并用含n 的式子表示顶点的纵坐标；②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2 或x2＞4 ；（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n＝3时，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．【分析】（1）①把m＝2 代入抛物线解析式，利用x＝﹣，求出对称轴，然后把顶点横坐标代入，即可用含n 的式子表示出顶点的纵坐标；②利用抛物线的对称性，及开口向上，可知离对称轴越远，函数值越大，从而可解；（2）把n＝3代入，再分抛物线经过点Q，抛物线经过点P（﹣1，2），抛物线的顶点在线段PQ 上，三种情况分类讨论，得出相应的m 值，从而得结论．【解答】解：（1）①∵m＝2，∴抛物线为y＝x2﹣2x+n．∵x＝﹣＝1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1．∵当线x＝1 时，y＝1﹣2+n＝n﹣1，∴顶点的纵坐标为：n﹣1．②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，x＝﹣2 到x＝1 的距离为3，∴点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2或x2＞4，故答案为：x2＜﹣2 或x2＞4．（2）∵点P（﹣1，2），向右平移4个单位长度，得到点Q．∴点Q的坐标为（3，2），∵n＝3，抛物线为y＝x2﹣mx+3．当抛物线经过点Q（3，2）时，2＝32﹣3m+3，解得；当抛物线经过点P（﹣1，2）时，2＝（﹣1）2+m+3，解得m＝﹣2；当抛物线的顶点在线段PQ 上时，＝2，解得m＝±2．结合图象可知，m 的取值范围是m≤﹣2 或m＝2 或．故答案为：m≤﹣2 或m＝2 或．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的对称性和抛物线与线段交点个数的问题，属于中等难度的题目．3.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2+2x+a﹣3，当a＝0 时，抛物线与y 轴交于点A，将点A 向左平移4 个单位长度，得到点B．（1）求点B 的坐标；（2）抛物线与直线y＝a 交于M、N 两点，将抛物线在直线y＝a 下方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，即为图形M．①求线段MN 的长；②若图形M 与线段AB 恰有两个公共点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．【分析】（1）求出A（0，﹣3），即可得到B（﹣4，﹣3）；（2）令x2+2x+a﹣3＝a 即可求出MN 的长；（3）顶点（﹣1，a﹣4），关于y＝a的对称点为（﹣1，a+4），当a+4＝﹣3时，a＝﹣7，此时图形M 与线段AB 恰有两个公共点，当a＝﹣6 时，y＝x2+2x﹣9，y＝﹣6，y＝x2+2x ﹣9 关于y＝﹣6 翻折部分的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣4，当x＝0 时，y＝﹣4，当a＝﹣6 时，图形与y＝﹣6 有三个交点，由此可知在﹣6≤a＜﹣7 时，图形与y＝a 有三个交点，y＝a 要在线段AB 的下方，a＜﹣3，故﹣6＜a＜﹣3 且a＝﹣7．【解答】解：（1）当a＝0时，A（0，﹣3），∴B（﹣4，﹣3）；（2）①∵抛物线y＝x2+2x+a﹣3 与直线y＝a 交于M、N 两点，∴x2+2x+a﹣3＝a 即x2+2x﹣3＝0，∴MN＝4；②顶点（﹣1，a﹣4），关于y＝a的对称点为（﹣1，a+4），当a+4＝﹣3 时，a＝﹣7，此时图形M 与线段AB 恰有两个公共点，当a＝﹣6 时，y＝x2+2x﹣9，y＝﹣6，y＝x2+2x﹣9 关于y＝﹣6 翻折部分的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣4，当x＝0 时，y＝﹣4，当a＝﹣6 时，图形与y＝﹣6 有三个交点，∴在﹣6≤a＜﹣7 时，图形与y＝a 有三个交点，∴y＝a 要在线段AB 的下方，∴a＜﹣3，∴﹣6＜a＜﹣3 且a＝﹣7．【点评】本题考查二次函数的图象与性质；能够画出M 图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）和点A（0，﹣3），将点A 向右平移2 个单位，再向上平移5 个单位，得到点B．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线C1 的对称轴；（3）把抛物线C1 沿x 轴翻折，得到一条新抛物线C2，抛物线C2 与抛物线C1 组成的图象记为G，若图象G 与线段AB 恰有一个交点时，结合图象，求a 的取值范围．【分析】（1）根据坐标平移的特点是左减右加、上加下减可以求得点B 的坐标；（2）根据抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）可以求得该抛物线的对称轴；（3）根据翻折的性质和二次函数的性质可以求得a 的取值范围，本题得以解决．【解答】解：（1）∵点A（0，﹣3），将点A向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点B，∴点B的坐标为（2，2）；（2）∵抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴对称轴是直线x＝﹣＝1；（3）当抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a 过点A（0，﹣3）时，此时﹣3a＝﹣3，得a＝1，∵对称轴是直线x＝1，∴当x＝2 时，y＜3，点B 在抛物线C2 下方，此时抛物线C1 与线段AB 一个交点，抛物线C2 与线段AB 没有交点，当抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a 过点（0，﹣2）时，﹣3a＝﹣2，得a＝，∵对称轴是直线x＝1，∴当x＝2 时，y＝2，点B 在抛物线C2 上，此时抛物线C1 与线段AB 一个交点，抛物线C2 与线段AB 有一个交点，∴a 的取值范围是；同理可得，当抛物线C2：y＝﹣ax2+2ax+3a 过点A（0，﹣3）或（0，﹣2）时，可以求得a＝﹣1 或a＝﹣，∴a 的取值范围是﹣1≤a＜﹣，由上可得，a 的取值范围是﹣1≤a＜﹣或．【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．5.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与y 轴交于点A，其对称轴与x 轴交于点B．（1）求点A，B 的坐标；（2）点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且与点B的距离都为2，若该抛物线与线段CD 有两个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围．【分析】（1）求出x＝0 时y 的值与y＝0 时x 的值即可得答案；（2）分m＞0 和m＜0 两种情况，结合函数图象可得．【解答】解：（1）由题意，当x＝0时，y＝2．∴A（0，2）．∵y＝mx2﹣2mx+2＝m（x﹣1）2+2﹣m，∴对称轴为直线x＝1．∴B（1，0）．（2）由题意，C（﹣1，0），D（3，0）．①当m＞0 时，结合函数图象可知，满足题意的抛物线的顶点须在x 轴下方，即2﹣m＜0．∴m＞2．②当m＜0 时，过C（﹣1，0）的抛物线的顶点为E（1，）．结合函数图象可知，满足条件的抛物线的顶点须在点 E 上方或与点E 重合，即2﹣m≥．∴m≤．综上所述，m 的取值范围为m＞2 或m≤．【点评】本题主要考查抛物线与x 轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．6.在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝2x﹣3 与y 轴交于点A，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l，直线l 与直线y＝2x﹣3 交于点C．（1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC 有唯一公共点，求n 的取值范围．【分析】（1）根据题意分别求出点A、B、C 的坐标；（2）求得抛物线的对称轴，顶点的坐标；再分类讨论①当n＞3 时；②当n＝3 时；③ 当0＜n＜3 时，抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC 有唯一公共点，求n 的取值范围．【解答】解：（1）∵直线y＝2x﹣3与y轴交于点A（0，﹣3），∴点A关于x轴的对称点B（0，3），l为直线y＝3，∵直线y＝2x﹣3 与直线l 交于点C，∴点C坐标为（3，3），（2）∵抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0），∴y＝nx2﹣4nx+4n+n＝n（x﹣2）2+n（n＞0）∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，n），∵点B（0，3），点C（3，3），①当n＞3 时，抛物线的最小值为n＞3，与线段BC 无公共点；②当n＝3时，抛物线的顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；③当0＜n＜3 时，抛物线最小值为n，与线段BC 有两个公共点；如果抛物线y＝n（x﹣2）2+n 经过点B，则3＝5n，解得n＝，由抛物线的对称轴为直线x＝2，可知抛物线经过点（4，3），点（4，3）不在线段BC 上，此时抛物线与线段BC 有一个公共点B；如果抛物线y＝n（x﹣2）2+n 经过点C，则3＝2n，解得n＝，由抛物线的对称轴为直线x＝2，可知抛物线经过点（1，3），点（1，3）在线段BC 上，此时抛物线与线段BC 有两个公共点；综上所述，当≤n＜或n＝3 时，抛物线与线段BC 有一个公共点．【点评】本题主要考查二次函数的性质，以及一次函数的性质，根据题意得出关于n 的不等式组是解题的关键．7.已知：过点A（3，0）直线l1：y＝x+b 与直线l2：y＝﹣2x 交于点B．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B．（1）求点B 的坐标；（2）如果抛物线y＝ax2+bx+c 经过点A，求抛物线的表达式；（3）直线x＝﹣1 分别与直线l1，l2 交于C，D 两点，当抛物线y＝ax2+bx+c 与线段CD 有交点时，求 a 的取值范围．【分析】（1）将点A 的坐标代入直线l1，求出其函数表达式，联立直线l1、l2 表达式成方程组，解方程组即可得出点B 的坐标；（2）设抛物线y＝ax2+bx+c 的顶点式为y＝a（x﹣h）2+k，由抛物线的顶点坐标即可得出y＝a（x﹣1）2﹣2，再根据点C 的坐标利用待定系数法即可得出结论；（3）根据两直线相交，求出点C、D 的坐标，将其分别代入y＝a（x﹣1）2﹣2 中求出a 的值，由此即可得出抛物线y＝ax2+bx+c 与线段CD 有交点时，a 的取值范围．【解答】解：（1）将A（3，0）代入直线l1：y＝x+b中，0＝3+b，解得：b＝﹣3，∴直线l1：y＝x﹣3．联立直线l1、l2 表达式成方程组，，解得：，∴点B的坐标为（1，﹣2）．（2）设抛物线y＝ax2+bx+c 的顶点式为y＝a（x﹣h）2+k，∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（1，﹣2），∴y＝a（x﹣1）2﹣2，∵抛物线y＝ax2+bx+c 经过点A，∴a（3﹣1）2﹣2＝0，解得：a＝，∴抛物线的表达式为y＝（x﹣1）2﹣2．（3）∵直线x＝﹣1 分别与直线l1，l2 交于C、D 两点，∴C、D两点的坐标分别为（﹣1，﹣4），（﹣1，2），当抛物线y＝ax2+bx+c 过点C 时，a（﹣1﹣1）2﹣2＝﹣4，解得：a＝﹣；当抛物线y＝ax2+bx+c 过点D 时，a（﹣1﹣1）2﹣2＝2，解得：a＝1．∴当抛物线y＝ax2+bx+c 与线段CD 有交点时，a 的取值范围为﹣≤a≤1 且a≠0．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、两直线相交与平行、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的三种形式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出直线l1的表达式；（2）将二次函数一般式改写为顶点式；（3）分别代入C、D点的坐标求出a 值．8.已知：抛物线y＝ax 2+4ax+4a （a＞0）（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线经过点A（m，y1），B（n，y2），其中﹣4＜m≤﹣3，0＜n≤1，则y1＜y2（用“＜”或“＞”填空）；（3）如图，矩形CDEF的顶点分别为C（1，2），D（1，4），E（﹣3，4），F（﹣3，2），若该抛物线与矩形的边有且只有两个公共点（包括矩形的顶点），求a的取值范围．【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得其顶点坐标；（2）由抛物线的对称性可知当开口向上时，离对称轴越近其函数值则越小，则可求得答案；（3）由于抛物线的顶点确定，且开口向上，所以当抛物线开口越大时a 的值越小，当抛物线开口越小时a 的值越大，可知当抛物线过C 时a 有最小值，当抛物线过F 时a 有最大值，则可求得a 的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝a （x 2+4x+4 ）＝a （x+2 ）2，∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，0）；（2）∵a＞0，且对称轴为直线x＝﹣2，∴当函数图象上的点离对称轴越近时其函数值越小，∵﹣4＜m≤﹣3，0＜n≤1，∴A 点离对称轴x＝﹣2 近，∴y 1＜y 2，故答案为：＜；（3）∵y＝a（x+2）2开口向上，且顶点为（﹣2，0），∴当开口越大时a 的值越小，当开口越小时 a 的值越大，∴当抛物线过点C 时 a 有最小值，当抛物线过点F 时a 有最大值代入点C（1，2），得a＝，代入点F（﹣3，2），得a＝2，∴＜a＜2．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质、二次函数的开口大小、二次函数的比较大小及数形结合思想等知识．在（1）中把二次函数解析式化为顶点式是解题的关键，在（2）中掌握抛物线上的点离对称轴的距离的远近与函数值的大小关系是解题的关键，在（3）中掌握抛物线的开口大小与二次项系数的关系是解题的关键．本题考查知识点不多，但综合性很强，难度适中．9.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1 与y 轴交于点A，其对称轴与x 轴交于点B．（1）当△OAB 是等腰直角三角形时，求n 的值；（2）点C的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC有且只有一个公共点，结合函数的图象求n 的取值范围．【分析】（1）先求得点B 的坐标，再根据△OAB 是等腰直角三角形得出点A 的坐标，代入求得n 即可；（2）分两种情况：抛物线的顶点在x 轴上和抛物线的顶点在x 轴下方两种情况求解可得．【解答】解：（1）二次函数的对称轴是x＝﹣＝1，则B的坐标是（1，0），当△OAB 是等腰直角三角形时，OA＝OB＝1，则A的坐标是（0，1）或（0，﹣1）．抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与y轴交于点A的坐标是（0，n﹣1）．则n﹣1＝1 或n﹣1＝﹣1，解得n＝2 或n＝0；（2）①当抛物线的顶点在x 轴上时，△＝（﹣2）2﹣4（n﹣1）＝0，解得：n＝2；②当抛物线的顶点在x 轴下方时，如图，由图可知当x＝0 时，y＜0；当x＝3 时，y≥0，即，解得：﹣2≤n＜1，综上，﹣2≤n＜1 或n＝2．【点评】本题考查了二次函数的图象和等腰直角三角形的性质，明确等腰直角三角形中两条边相等，解题的关键是根据抛物线与线段OC 有且只有一个公共点得出x＝0 时y＜0；x＝3 时，y≥0 的结论．10.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于C 点，tan∠ABC＝2．（1）求抛物线的表达式及其顶点D 的坐标；（2）过点A、B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点E、F，将抛物线沿其对称轴向上平移m 个单位，使抛物线与线段EF（含线段端点）只有 1 个公共点．求m 的取值范围．【分析】（1）由OC＝8、tan∠ABC＝2 得点 B 坐标，将点A、B 坐标代入求解可得；（2）先求出直线CD 解析式和点E、F 坐标，设平移后解析式为y＝﹣（x﹣1）2+9+m，结合图象根据抛物线与线段EF（含线段端点）只有1 个公共点，求得临界时m 的值，从而得出答案，【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，点C（0，8），即OC＝8；Rt△OBC 中，OB＝OC•tan∠ABC＝8×＝4，则点B（4，0）．将A、B 的坐标代入抛物线的表达式中，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8，∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴抛物线的顶点坐标为D（1，9）．（2）设直线CD 的表达式为y＝kx+8，∵点D（1，9），∴直线CD 表达式为y＝x+8．∵过点A、B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点E、F，可得：E（﹣2，6），F（4，12）．设抛物线向上平移m个单位长度（m＞0），则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+9+m；当抛物线过E（﹣2，6）时，m＝6，当抛物线过F（4，12）时，m＝12，∵抛物线与线段EF（含线段端点）只有1 个公共点，∴m 的取值范围是6＜m≤12．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式及抛物线与直线的交点问题，利用图象与线段只有一个交点得出临界是m 的值是解题关键11.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2 的顶点为D．线段AB 的两个端点分别为A（﹣3，m），B（1，m）．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；（3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围．【分析】（1）由y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2＝（x﹣m）2﹣m+2，于是得到结论；（2）由于抛物线经过点B（1，m），得方程于是得到结论；（3）根据题意得到线段AB：y＝m（﹣3≤x≤1），与y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2联立得到x2﹣2mx+m2﹣2m+2＝0，令y′＝x2﹣2mx+m2﹣2m+2，若抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2 与线段AB 只有1 个公共点，于是得到结论．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2＝（x﹣m）2﹣m+2，∴D（m，﹣m+2）；（2）∵抛物线经过点B（1，m），∴m＝1﹣2m+m2﹣m+2，解得：m＝3 或m＝1；（3）根据题意：∵A（﹣3，m），B（1，m），∴线段AB：y＝m（﹣3≤x≤1），与y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2 联立得：x2﹣2mx+m2﹣2m+2＝0，令y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+2，若抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2 与线段AB 只有1 个公共点，即函数y 在﹣3≤x≤1 范围内只有一个零点，当x＝﹣3 时，y＝m2+4m+11＞0，∵△＞0，∴此种情况不存在，当x＝1 时，y＝m2﹣4m+3≤0，解得1≤m≤3．解法二：由题意或，解得1≤m≤3．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查了转化思想和数形结合的数学思想．12.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（1）当抛物线的顶点在x 轴上时，求该抛物线的解析式；（2）不论m 取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式；（3）若有两点A（﹣1，0），B（1，0），且该抛物线与线段AB始终有交点，请直接写出m 的取值范围．【分析】（1）利用配方法求出抛物线的顶点坐标是（m，﹣m+1），根据顶点在x轴上，得出﹣m+1＝0，求出m＝1，即可得出抛物线的解析式；（2）由于抛物线的顶点坐标是（m，﹣m+1），即可得出顶点在直线y＝﹣x+1上；（3）把点A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，求出m 的值，再把B（1，0）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，求出m 的值，即可求解．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1＝﹣（x﹣m）2﹣m+1，∴顶点坐标是（m，﹣m+1），∵抛物线的顶点在x 轴上，∴﹣m+1＝0，∴m＝1，∴y＝﹣x2+2x﹣1；（2）∵抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1的顶点坐标是（m，﹣m+1），∴抛物线的顶点在直线y＝﹣x+1 上；（3）当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1 过点A（﹣1，0）时，﹣1﹣2m﹣m2﹣m+1＝0，解得m1＝0，m2＝﹣3，当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1 过点B（1，0）时，﹣1+2m﹣m2﹣m+1＝0，解得m1＝0，m2＝1，故﹣3≤m≤1．【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，求直线的解析式等知识，有一定难度．把求二次函数与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程是解题的关键．13. 已知：直线 l ：y ＝x +2 与过点（0，﹣2），且与平行于 x 轴的直线交于点 A ，点 A 关于直线 x ＝﹣1 的对称点为点 B ．（1） 求 A ，B 两点的坐标；（2） 若抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 经过 A ，B 两点，求抛物线解析式；（3） 若抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 的顶点在直线 l 上移动，当抛物线与线段 AB 有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标 t 的取值范围．【分析】（1）由点 A 在直线 l 上可得 A 的坐标，根据点 A 、B 关于直线 x ＝﹣1 对称可得点 B 坐标；（2） 根据（1）中 A 、B 两点坐标，利用待定系数法可求得解析式；（3） 由顶点在直线 l 上可设顶点坐标为（t ，t +2），继而可得抛物线解析式为 y ＝﹣（x﹣t ）2+t +2，根据抛物线与线段 AB 有一个公共点，考虑抛物线过点 A 或点 B 临界情况可得 t 的范围．【解答】解：（1）由题可知 A 点的纵坐标为﹣2，∵点 A 在直线 l ：y ＝x +2 上，∴A （﹣4，﹣2），由对称性可知 B （2，﹣2）；（2） ∵抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 过点 A 、B ，，∴抛物线解析式为 y ＝﹣x 2﹣2x +6；（3） ∵抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 顶点在直线 y ＝x +2 上，由题可知，设抛物线顶点坐标为（t ，t +2），∴抛物线解析式可化为 y ＝﹣（x ﹣t ）2+t +2．把 A （﹣4，﹣2）代入解析式可得﹣2＝﹣（﹣4﹣t ）2+t +2，解得：t ＝﹣3 或 t ＝﹣4．∴﹣4≤t ＜﹣3，把 B （2，﹣2）代入解析式可得﹣2＝﹣（2﹣t ）2+t +2．∴解得：，解得：t＝0 或t＝5，∴0＜t≤5．综上可知t 的取值范围时﹣4≤t＜﹣3 或0＜t≤5．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质，待定系数求解析式是解题的根本、前提，将抛物线与线段AB 有一个公共点转化为方程问题是解题关键．14.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y 轴交于点A，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B，点B 在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【分析】（1）A（0，﹣）向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣）；（2）A 与B 关于对称轴x＝1 对称；（3）①a＞0 时，当x＝2 时，y＝﹣＜2，当y＝﹣时，x＝0 或x＝2，所以函数与AB 无交点；②a＜0 时，当y＝2 时，ax2﹣2ax﹣＝2，x＝或x＝当≤2 时，a≤﹣；【解答】解：（1）A（0，﹣）点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣）；（2）A 与B 关于对称轴x＝1 对称，∴抛物线对称轴x＝1；（3）∵对称轴x＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax﹣，①a＞0 时，当x＝2 时，y＝﹣＜2，当y＝﹣时，x＝0 或x＝2，∴函数与PQ 无交点；②a＜0 时，当y＝2 时，ax2﹣2ax﹣＝2，x＝或x＝当≤2 时，a≤﹣；∴当a≤﹣时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点；【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．15.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a 经过点A，将点B 向右平移5 个单位长度，得到点C．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B 的坐标，根据平移的性质可求点C 的坐标；（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A 的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC 上；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，∴B（0，4），∵点B 向右平移 5 个单位长度，得到点C，∴C（5，4）；（2）与x 轴交点：令y＝0 代入直线y＝4x+4 得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵点B 向右平移 5 个单位长度，得到点C，将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a 中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a 经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），①a＞0 时，如图1，将x＝0 代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC 恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，a＞﹣，将x＝5 代入抛物线得y＝12a，∴12a≥4，a≥，∴a≥；②a＜0 时，如图2，将x＝0 代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC 恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，a＜﹣；③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，解得a＝﹣1．综上所述，a≥ 或a＜﹣或a＝﹣1．。
中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题四代数与几何综合问题的基本类型和解题策略第一节用数学思想方法解
专题四 代数与几何综合问题根本类型与解题策略 类型与策略 几何与代数综合题一般题量较大、梯度明显，是初中数学中覆盖面最广、综合性最强题型，试题中综合题大多以代数与几何综合题形式出现，而且留有自主探究空间，表达个性开展与新课程标准理念，代数与几何大型综合题为以下类型：①在几何图形背景下建立函数或方程；②坐标系下几何图形；③函数图象与几何图形相结合问题：近几年来中考几何与代数综合题主要以压轴题形式出现，涉及到题型有关开放性探索问题、动点问题、存在性问题等居多．解答这类综合题，一般要仔细读题，细致分析，找到切入点，迅速解决第一问，然后抓住关键，由此及彼，逐层深入，合理猜测，细致演练确保第二问正确，在时间充裕情况下攻克第三问，需综合运用几何、代数方法及分类讨论思想逐一解决．规律与预测纵观遵义近5年中考，其综合压轴题，一般以二次函数为背景与几何图形综合，由浅入深设置多问，难度较大，考察方式综合运用知识与解决问题能力，预计2021年遵义中考压轴题也会是代数几何综合题，要有针对性剖析训练．第一节 用数学思想方法解决问题,中考重难点突破)数学思想方法是指对数学知识与方法形成规律性理性认识，是解决数学问题根本策略．数学思想方法提醒概念、原理、规律本质，是沟通根底知识与能力桥梁，是数学知识重要组成局部．数学思想方法是数学知识在更高层次上抽象与概括，它蕴含于数学知识发生、开展与应用过程中．中考常用到数学思想方法有：整体思想、化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它实质，就可以把所学知识融会贯穿，解题时可以举一反三．【例1】(2021遵义二中二模)如图，菱形ABCD 对角线长分别为3与4，P 是对角线AC 上任一点(点P 不与A ，C 重合)，且PE∥BC 交AB 于点E ，PF ∥CD 交AD 于点F ，那么图中阴影局部面积________．【学生解答】3【规律总结】在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目题设与结论中所隐含信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．【例2】(2021随州中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)局部图象如下图，图象上点(－1，0)，对称轴为直线x ＝2，以下结论：①4a＋b ＝0；②9a＋c>3b ；③8a＋7b ＋2c>0；④假设点A(－3，y 1)，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，y 2，点C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫72，y 3在该函数图象上，那么y1<y3<y2；(5)假设方程a(x＋1)(x－5)＝－3两根为x1与x2，且x1<x2，那么x1<－1<5<x2.其中正确结论有( )A．2个B．3个C．4个D．5个【学生解答】B【例3】(2021遵义六中二模)⊙O半径为2，弦BC＝23，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，那么AD长为________．【学生解答】1或3【规律总结】在几何题没有给出图形时，最好先画出图形，运用数形结合与分类讨论数学思想进展解答，防止出现漏解．【例4】(2021三明中考)如图，AB是⊙O直径，分别以OA，OB为直径作半圆．假设AB＝4，那么阴影局部面积是________．【学生解答】2π【规律总结】此类题就是化未知为、化繁为简、化难为易，通过一定策略与手段，使复杂问题简单化，陌生问题熟悉化，抽象问题具体化．具体地说，比方把隐含数量关系转化为明显数量关系；把从这一个角度提供信息转化为从另一个角度提供信息，转化内涵非常丰富，与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题转机．模拟题区1．(2021遵义航中二模)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，假设△PAD与△PBC 是相似三角形，那么满足条件点P个数是( C)A．1个B．2个C．3个D．4个(第1题图)(第2题图)2．(2021红花岗二模)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象如下图，那么以下结论：①ac＞0；②方程ax2＋bx＋c＝0两根之与大于0；③y随x增大而增大；④a －b＋c＞0，其中正确是( A)A．②B．②④C．①②④D．①②③④3．(2021金华中考)在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH 垂直平分AC，点H为垂足．设AB＝x，AD＝y，那么y关于x函数关系用图象大致可以表示为( D),A) ,B),C) ,D)4．(2021淄博中考)如图，△ABC面积为16，点D是BC边上一点，且BD＝14BC ，点G 是AB 上一点，点H 在△ABC 内部，且四边形BDHG 是平行四边形，那么图中阴影局部面积是( B )A ．3B ．4C ．5D ．6(第4题图)(第5题图)5．(2021岳阳中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b(k 、b 为常数，且k≠0)与反比例函数y ＝4x (x>0)图象交于A ，B 两点，利用函数图象直接写出不等式4x<kx ＋b 解集是__1<x<4__．6．(2021 遵义十一中二模)如图，正方形边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，那么图中阴影局部面积为__8－2π__．(结果用含π式子表示)中考真题区7．(2021 温州中考)假设a ＋b ＝22，ab ＝2，那么a 2＋b 2值为( B ) A ．6 B ．4 C ．3 2 D ．238．(2021凉山中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象如图，那么反比例函数y ＝－a x与一次函数y ＝bx －c 在同一坐标系内图象大致是( C ) ,A ) ,B ),C ) ,D )9．(2021 牡丹江中考)矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，点P 是直线BD 上一点，且DP ＝DA ，直线AP 与直线BC 交于点E ，那么C E ＝__5－2或5＋2__．10．(2021德州中考)如图，半径为1半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧中点M 与圆心O 重合，那么图中阴影局部面积是__32－π6__．。
2023中考九年级数学分类讲解 - 第二讲 代数式(含答案)(全国通用版)
第二讲代数式专项一列代数式知识清单1.代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或__________连接起来的式子叫做代数式.单独一个数或一个字母也是代数式.2.列代数式:（1）关键是理解并找出问题中的数量关系及公式；（2）要掌握一些常见的数量关系，如:路程＝速度×时间，工作总量=工作效率×工作时间，售价＝标价×折扣等；（3）要善于抓住一些关键词语，如:多、少、大、小、增长、下降等.特别地，探索规律列代数式这类考题是近几年中考的热点，这类题通常是通过对数字及图形关系分析，探索规律，并能用代数式反映这个规律.3. 代数式的值:用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式给出的运算计算出的结果，叫做代数式的值.这个过程叫做求代数式的值.考点例析例1 将x克含糖10％的糖水与y克含糖30％的糖水混合，混合后的糖水含糖（）A．20％B．+100%2x y⨯C．+3100%20x y⨯D．+3100%10+10x yx y⨯分析：根据题意，可知混合后糖水中糖的质量为（10%x+30%y）克，糖水的质量为（x+y）克，则混合后的糖水含糖为混合后的糖的质量除以糖水的质量再乘100%．例2将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为．分析：先根据已知图形中黑色圆点的个数得到第n个图形中黑色圆点的个数为()12n n+；然后判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除；再计算出第33个能被3整除的数在原数列中的序数，代入计算即可．归纳：解决数、式或图形规律探索题，通常从给出的一列数、一列式子或一组图形入手去探索研究，通过观察、分析、类比、归纳、猜想，找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论，并用含字母的代数式进行表示.跟踪训练1.某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（）A．先打九五折，再打九五折B．先提价50％，再打六折C．先提价30％，再降价30％D．先提价25％，再降价25％2.（2021·达州）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出的y值为___________.第2题图3.一组按规律排列的式子：a+2b，a2-2b3，a3+2b5，a4-2b7，…，则第n个式子是___________．4.下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形……依此规律，则第n个图形中三角形的个数是_______.第4题图专项二整式知识清单一、整式的加减1．相关概念：表示数或字母的_________的式子叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式；________与______统称为整式.所含字母_________，并且相同字母的_________也相同的项叫做同类项.2. 合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的________，且字母连同它的指数________.3. 去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号_______；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号_______.4. 整式的加减：几个整式相加减，如果有括号就_______，然后再____________.二、幂的运算1. 同底数幂的乘法：a m·a n=________(m，n是整数).2. 同底数幂的除法：a m÷a n=________ (a≠0,m，n是整数).3. 幂的乘方：（a m）n=_______ (m，n是整数).4. 积的乘方：（ab）n=_______(n是整数).三、整式的乘法1. 单项式乘单项式：把它们的__________、__________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的___________作为积的一个因式.2. 单项式乘多项式：p(a+b+c)=pa+pb+pc.3. 多项式乘多项式：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq.4. 乘法公式：①平方差公式：(a+b)(a-b)=_________ ;②完全平方公式：(a±b)2 =a2±2ab+b2.四、整式的除法1. 单项式相除，把__________与__________分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的__________作为商的一个因式.2. 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以___________，再把所得的商相加. 考点例析例1 下列运算正确的是（）A．2x2 +3x3=5x5B．(-2x)3=-6x3C．(x+y)2=x2+y2D．(3x+2)(2-3x)=4-9x2分析：依次根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式进行判断.例2已知10a=20，100b=50，则1322a b++的值是（）A．2B．52C．3D．92分析：将100b变形为102b，根据同底数幂的乘法，将已知的两个式子相乘可得a+2b=3，整体代入求值．例3已知单项式2a4b-2m+7与3a2m b n+2是同类项，则m+n=__________.分析：根据同类项的定义，分别列出关于m，n的方程，求出m，n的值，再代入代数式计算.例4（2021·金华）已知x=16，求(3x-1)2+(1+3x)(1-3x)的值.分析：直接运用完全平方公式、平方差公式将式子展开，然后合并同类项化简，再将x=16代入求值.解：归纳：整式化简求值的关键是把原式化简，然后代入题目中的已知条件求值，其大致步骤可以简记为：一化，二代，三计算．需注意：①无论题目是否指定解题步骤，都应先化简后代入求值；①代入求值时，若代入的是负数或求分数的乘方时要注意添加括号；①当条件给定字母之间的关系时，代入则需要运用整体代入法.跟踪训练1.下列单项式中，a2b3的同类项是（）A．a3b2B．2a2b3C．a2b D．ab32.下列计算中，正确的是（ ） A ．a 5·a 3=a 15 B ．a 5÷a 3=a C ．()423812a b a b -=D ．()222a b a b +=+3.计算：()23a b -=（ ）A ．621a b B ．62a bC ．521a b D ．32a b -4.下列运算正确的是（ ）A ．3a+2b=5abB ．5a 2-2b 2=3C ．7a+a=7a 2D ．（x -1）2=x 2+1-2x 5.计算：（x+2y ）2+(x -2y)(x+2y)+x(x -4y).6.先化简，再求值：（x ﹣3）2+（x +3）（x ﹣3）+2x （2﹣x ），其中x ＝﹣12．专项三 因式分解知识清单1. 定义：把一个多项式化成几个整式的 的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解.2. 因式分解的基本方法：（1）提公因式法：ma+mb+mc = _____________.:::⎧⎪⎨⎪⎩系数取各项系数的最大公约数公因式的确定字母取各项相同的字母指数取各项相同字母的最低次数 （2）公式法：①平方差公式：a 2-b 2=_____________; ②完全平方公式：a 2±2ab+b 2 =___________.3. 因式分解的一般步骤：一提（公因式）；二套（公式）；三检验（是否彻底分解）. 考点例析例1 因式分解：1-4y 2=（ ）A .（1-2y ）(1+2y)B . (2-y)(2+y)C . (1-2y)(2+y)D . (2-y)(1+2y) 分析：先将4y 2化为(2y)2，然后用平方差公式分解因式. 例2 已知xy =2，x -3y =3，则2x 3y -12x 2y 2+18xy 3= ______.分析：先提取多项式中的公因式2xy ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解，最后将xy =2，x -3y =3代入其中求值.归纳：若一个多项式有公因式，应先提取公因式，多项式是二项式优先考虑用平方差公式继续分解，多项式是三项式优先考虑用完全平方公式继续分解，直到不能分解为止.跟踪训练1.因式分解：x3﹣4x＝（）A．x（x2﹣4x）B．x（x+4）（x﹣4）C．x（x+2）（x﹣2）D．x（x2﹣4）2.多项式2x3-4x2+2x因式分解为（）A．2x（x-1）2 B．2x（x+1） 2 C．x（2x-1） 2 D．x（2x+1） 23.因式分解：m2﹣2m=________．4.计算：20212-20202=________．5.因式分解：24ax+ax+a= ___________．6.若m+2n=1，则3m2+6mn+6n的值为___________．7.先因式分解，再计算求值：2x3-8x，其中x=3．专项四分式知识清单一、分式的相关概念1. 定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有_________，那么式子AB叫做分式.分式AB中，A叫做分子，B叫做分母.2. 分式有意义和值为0的条件（1）分式AB有意义⇔_________;（2）分式AB的值为0⇔_________.二、分式的基本性质1. 基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个_____________，分式的值不变.2. 约分：把一个分式的分子与分母的____________约去，叫做分式的约分. 约分的结果必须是最简分式或整式，最简分式是分子、分母没有公因式的分式.3. 通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的____________的分式，叫做分式的通分.通分的关键是确定各分式的____________.三、分式的运算1. 分式的加减同分母分式相加减:a bc c±=____________；异分母分式相加减:a c ad bcb d bd bd±=±=____________.2. 分式的乘除乘法法则：a c b d ⋅=___________；除法法则：a c a d b d b c÷=⋅=___________.3. 分式的乘方法则:把分子、分母分别乘方，如na b ⎛⎫ ⎪⎝⎭=___________. 4. 分式的混合运算:先算___________，再算___________，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 考点例析例1 不论x 取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ） A ．x+1 B ．x 2-1C ．11x + D ．（x+1）2分析：选项A ，B ，D 中都能得到代数式的值为0时x 的值，而选项C 中，分式的分子是1，所以11x +不可能为0．归纳：分式值为0要关注两个条件:（1）分子为0；（2）分母不为0.例2 化简221111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭的结果是（ ） A ．a +1 B ．1a a+ C ．-1a aD ．21a a +分析：根据分式的混合运算法则，先将括号内的两项通分合并，同时将除式中多项式因式分解，再将除法转化为乘法约分化简即可．归纳：分式的化简中，应注意以下几点:（1）若分子、分母为多项式，则应先分解因式，能约分的先约分，再计算；（2）化简过程中要特别注意常见的符号变化，如ｘ-ｙ＝-(ｙ-ｘ)，-ｘ-ｙ＝-(ｘ+ｙ)等；ꎻ （3）在分式和整式加减运算中，通常把整式看成分母为“１”的“分式”，再进行计算； （4）分式运算的最终结果应是最简分式或整式．例3 先化简，再求值：22121121x x x x x x ++⎛⎫+-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 满足x 2-x-2=0．分析：先把原式化简，然后求出方程x 2-x-2=0的解，根据分式有意义的条件确定x 的值，代入计算即可． 解：跟踪训练 1.要使分式12x +有意义，则x 的取值应满足（ ） A ．x≠0B ．x≠-2C ．x ≥-2D ．x ＞-22.计算24541a a a a a --⎛⎫÷+- ⎪⎝⎭的结果是（ ） A ．22a a +-B ．22a a -+C ．()()222a a a-+ D ．2a a+3.已知非零实数x ，y 满足1xy x =+，则3x y xy xy -+的值等于_________．4.已知()()261212ABx x x x x --=----，求A ，B 的值．5.先化简22111369a a a a a a ⎛⎫-+--÷ ⎪--+⎝⎭，然后从-1，0，1，3中选一个合适的数作为a 的值代入求值．专项五 二次根式知识清单一、二次根式的有关概念1. 二次根式：一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式．2. 最简二次根式：（1）被开方数不含 ；（2）被开方数中不含 的因数或因式．满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 二、二次根式的性质 （1）2＝ （a ≥0） ；（2a＝（3= （a ≥0，b ≥0）； （4= （a ≥0，b ＞0）．三、二次根式的运算1. 二次根式的加减：先将二次根式化成 ，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2. 二次根式的乘除：（1＝ （a≥0，b≥0）． （2= （a≥0，b ＞0）． 考点例析 例1 函数()02y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥-1 B ．x ＞2 C ．x ＞-1且x ≠2 D ．x ≠-1且x ≠2分析：根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂的概念列不等式组求解．（a ≥0）， （a <0）；归纳：（1）被开方数ａ≥０；ꎻ（2）观察参数是否在分母位置，分母不能为０；ꎻ （3）观察参数是否有在０次幂的底数位置，底数不能为０. 例2 下列运算正确的是（ ）A 3B ．4=C =D 4=分析：根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐个计算后判断．例3 计算：222122122⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+---．分析：先利用绝对值的性质去掉绝对值符号，同时将后面两个完全平方式展开或利用平方差公式计算，最后再进行加减运算． 解：归纳：进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式、因式分解等来简化运算． 跟踪训练1.0x 的取值范围是（ ）A ．x ＞-1B ．x ≥-1且x ≠0C ．x ＞-1且x ≠0D ．x ≠02.2，5，m ）A ．2m-10B ．10-2mC ．10D ．43.设6a ，小数部分为b ，则(2a b +的值是（ ）A ．6B ．C ．12D ．4.计算=____________．5.的结果是 _____．6.这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a b =则ab=1，记11111S a b =+++，2221111S a b =+++，…，1010101111S a b =+++，则1210S S S +++=__________．专项六 代数式中的数学思想1.整体思想整体思想是指用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.本讲中求代数式的值时，将某一已知代数式的值作为整体代入计算，就运用了整体思想.例1 已知x-y=2，111x y-=，求x2y-xy2的值．11y=变形后得到y-x=xy，再将x2y-xy2因式分解后，整体代入计算．解：2.从特殊到一般的思想从特殊到一般的思想是指在解决问题时，以特殊问题为起点，抓住数学问题的特点，逐步分析、比较、讨论，层层深入，从解决特殊问题的规律中，寻找解决一般问题的方法和规律，又用以指导特殊问题的解决. 例2 观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用Y n表示，则Y9-Y4=（）A．15×24 B．31×24 C．33×24 D．63×24分析：根据前几个图中的树枝数，可发现树枝分杈的规律为Y n=2n-1①从而可求出Y9-Y4．跟踪训练1.已知x2-3x-12=0，则代数式-3x2+9x+5的值是（）A．31 B．-31 C．41 D．-412.按一定规律排列的单项式：a2①4a3①9a4①16a5①25a6①…，第n个单项式是（）A．n2a n+1B．n2a n-1C．n n a n+1D．（n+1）2a n3.若1136xx+=，且0＜x＜1，则221xx-=_______．4.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有________个交点.第4题图参考答案专项一 列代数式例1 D 例2 1275 1．B 2．2 3．()12112n nn a b +-+-⋅ 4．n 2+n -1专项二 整 式例1 D 例2 C 例3 3例4 解：原式=9x 2-6x+1+1-9x 2=-6x+2.当x=16时，原式=-6×16+2=1.1．B 2．C 3．A 4．D5．解：原式=x 2+4xy+4y 2+x 2-4y 2+x 2-4xy=3x 2．6．解：原式＝x 2﹣6x +9+x 2﹣9+4x ﹣2x 2＝﹣2x ．当x ＝﹣12时，原式＝﹣2×12⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1． 专项三 因式分解例1 A 例2 361．C 2．A 3．m （m-2） 4．4041 5．()224a x + 6．37. 解:原式=2x(x 2-4)=2x(x+2)(x-2). 当x=3时，原式=2×3×（3+2）（3-2）=30.专项四 分 式例1 C 例2 B例3 解：原式=2221+12121x x x x x x +-+÷+++=()()2+2+112x x x x x ⋅++=x （x +1）=x 2+x ． 解方程x 2-x-2=0，得x 1=2,x 2=-1． 因为x+1≠0①所以x≠-1． 当x=2时，原式=22+2=6． 1．B 2．A 3．44．解：因为12A B x x ---=()()()()2112A x B x x x -+---=()()()212A+B x A B x x ----=()()2612x x x ---，所以22 6.A B A B +=⎧⎨--=-⎩，解得42.A B =⎧⎨=-⎩，5．原式＝()()()22113331a a a a a a --+--⋅-+＝()()()2113331a a a a a a +--+-⋅-+＝()()221331a a a a +-⋅-+=2a ﹣6． 因为a ＝-1或a ＝3时，原式无意义，所以a 只能取1或0． 当a ＝1时，原式＝2﹣6＝﹣4．（当a ＝0时，原式＝﹣6）专项五 二次根式例1 C 例2 C例3 解：原式112-=441．C 2．D 3．A 4．3 5．6．10专项六代数式中的数学思想例11-=，所以y-x=xy．因为x-y=2，所以y-x=xy=-2．y所以原式=xy(x-y)=-2×2=-4．例2 B1．B 2．A 3．-654．19036。
中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案
中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案第一章：代数应用性问题概述1.1 教学目标让学生了解代数应用性问题的基本概念和特点。
培养学生解决代数应用性问题的基本思路和方法。
1.2 教学内容代数应用性问题的定义和特点。
代数应用性问题解决的步骤和方法。
1.3 教学过程引入代数应用性问题的概念，让学生举例说明。
引导学生分析代数应用性问题的特点，如实际背景、数学模型等。
讲解代数应用性问题解决的步骤，如理解问题、建立方程等。
第二章：一元一次方程的应用2.1 教学目标让学生掌握一元一次方程的基本概念和解法。
培养学生应用一元一次方程解决实际问题的能力。
2.2 教学内容一元一次方程的定义和性质。
一元一次方程的解法和应用。
2.3 教学过程引入一元一次方程的概念，让学生举例说明。
讲解一元一次方程的性质和解法，如加减法、代入法等。
给出实际问题，让学生应用一元一次方程解决。
第三章：二元一次方程组的应用3.1 教学目标让学生掌握二元一次方程组的基本概念和解法。
培养学生应用二元一次方程组解决实际问题的能力。
3.2 教学内容二元一次方程组的定义和性质。
二元一次方程组的解法和应用。
3.3 教学过程引入二元一次方程组的概念，让学生举例说明。
讲解二元一次方程组的性质和解法，如代入法、消元法等。
给出实际问题，让学生应用二元一次方程组解决。
第四章：不等式的应用4.1 教学目标让学生掌握不等式的基本概念和解法。
培养学生应用不等式解决实际问题的能力。
4.2 教学内容不等式的定义和性质。
不等式的解法和应用。
4.3 教学过程引入不等式的概念，让学生举例说明。
讲解不等式的性质和解法，如大小比较、解集表示等。
第五章：整式的应用5.1 教学目标让学生掌握整式的基本概念和运算规则。
培养学生应用整式解决实际问题的能力。
5.2 教学内容整式的定义和性质。
整式的运算规则和应用。
5.3 教学过程引入整式的概念，让学生举例说明。
讲解整式的性质和运算规则，如加减法、乘除法等。
中考常见代数式求值试题归纳及易错分析
中考常见代数式求值试题归纳及易错分析
1. a+b+c+d，其中a=4，b=-2，c=5，d=-3。
2. 3x-5，其中x=-2。
二、易错分析
1. 计算过程中，漏加或漏减符号。
解决方法：在计算时要反复核对符号，避免因符号的错误而导致答案出错。
2. 未将代数式中的各个变量分别代入，而是把代数式看做一个整体直接求值。
解决方法：要将代数式中的各个变量分别代入，以免漏算错算。
3. 在使用“互为相反数”的概念时，未对有符号数进行分析，计算出的结果出现了不合理的情况。
解决方法：要对有符号数进行分析，比较大小，避免出现不合理的结果。
4. 在使用“分配律”、“交换律”等运算规律时，未正确理解规律的意义和应用。
解决方法：要仔细理解运算规律的意义和应用，熟练运用各种运算规律来简化计算。
5. 在计算过程中，过于追求速度，没有认真思考问题，犯了低级错误。
解决方法：要认真思考问题，反复核对计算过程，以免犯低级错误。
2013中考压轴题选讲专题10：代数综合问题(排版+答案)
2012年中考数学压轴题分类解析专题10：代数综合问题授课老师：黄立宗典型例题：例题1：:（2012黑龙江龙东地区10分）国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区。
现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资。
已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：运往地甲地（元/辆）乙地（元/辆）车型大货车720 800小货车500 650（1）求这两种货车各用多少辆？（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费。
例题2：（2012黑龙江绥化10分）在实施“中小学校舍安全工程”之际，某市计划对A、B两类学校的校舍进行改造，根据预算，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．（1）改造一所A类学校的校舍和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？（2）该市某县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所？例题3：（2012黑龙江黑河10分）为了迎接“五·一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价l80元，售价320元；乙种服装每件进价l50元，售价280元．(1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件?(2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润=售价一进价)不少于26700元，且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案?(3)在(2)的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a(0<a<20)元出售，乙种服装价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货?例题4：（2012广西河池10分）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车拥有量逐年增加.据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆.(1)若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个.考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.巩固练习1、（2012湖北孝感12分）已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0．(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x 1、x 2是原方程的两根，且|x 1－x 2|＝，求m 的值和此时方程的两根．115. （2012湖北鄂州10分）某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备 每周（按120工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共360件，且衬衣至少60件。
(中考)用数形结合的方法解决代数式问题
······
把搭第1 把搭第1个正方形的方法看做是先 根再增加3 那么搭n 搭1根再增加3根，那么搭n个正方形就 需要(1+3n 需要(1+3n)根
····· · 上面的一排和下面的一排各用了n根
火柴棒，竖直方向用了(n+1)根火柴棒， 根火柴棒， 火柴棒，竖直方向用了(n+1)根火柴棒 共用了[n+n+(n+1)] 共用了[n+n+(n+1)]根
正方形个数 1 2 3 4 5
火柴棒根数
4
7
10
13
16
（2）搭10个这样的正方形需要 ＿ 根火柴棒。 ） 个这样的正方形需要 31 个这样的正方形需要多少根火柴棒？ （3）搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒？ ） 个这样的正方形需要多少根火柴棒 你是怎样得到的？ 你是怎样得到的？ (301根) 根
数学活动室
搭1条、2条、3条如图所示的小鱼 条 条 条如图所示的小鱼 各用几根火柴棒？ 各用几根火柴棒？
1
2
3
… …
小鱼条数 火柴棒根数
20
122
… …
n
6n+2 8+6(n的小鱼用几根火柴棒？ 搭20条这样的小鱼用几根火柴棒？ 条这样的小鱼用几根火柴棒 条这样的小鱼用几根火柴棒？ 搭n条这样的小鱼用几根火柴棒？ 条这样的小鱼用几根火柴棒
······
第一条小鱼用8 第一条小鱼用8根，每增加1条小 每增加1 鱼增加6 鱼增加6根，那么搭n条小鱼就需要火 柴棒[8+6(n-1)] 柴棒[8+6(n-1)]根.
你能搭出其他图形吗？并解决类似的问题？ 你能搭出其他图形吗？并解决类似的问题？
最新中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案精品版
2020年中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案精品版中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案——一、教学目标：（一）知识目标：通过复习，使学生能够分析和表示不同背景下的实际问题中的数量关系，并能够运用方程、不等式、函数等代数有关知识解决实际问题中的增长率问题，调配问题、最值问题等，使学生体会数学建模思想及其步骤。
（二）过程与方法：通过复习如何分析和表示不同背景下实际问题中的等量、不等量及变量之间的函数关系，培养学生分析和判断能力，通过运用代数性的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
（三）情感目标：能过对解决问题的基本策略进行反思，进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的应用价值，提高学生的环保意识,增进对数学的理解和学数学的信心，培养创新精神和实践能力。
二、教学重点与难点：（一）教学重点：把实际问题转化为数学问题，并建立方程、不等式、函数模型解决实际问题。
（二）教学难点：正确的理解题意，找准数量关系,建立数学模型。
三、教学准备多媒体课件。
代数应用性问题—专题复习知识迁移为提高空气质量，该小区决定再花去96000元购进A、B两种树，按每3人种一棵A树或每2人种一棵B树分配给该小区880人种(注:每人只种一种树),已知A种树每棵400元,B种树每棵160元.(1) 问该小区应定购多少棵A 种树,多少棵B种树?(2) 园艺部门接到订单后，立即安排13名员工挖出A 、 B两种树,已知一个工人每天可挖A种树4棵或B种树8棵，应分别安排多少人挖A 、B两种树才能使两种树同时挖好?(3)该小区计划租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将A 、 B两种树运回，已知甲型卡车每辆可同时装运11棵A种树和7棵B种树，乙型卡车每辆可同时装运7棵A种树和12 棵B种树，如何安排甲、乙两种型号的卡车可一次性将两种树运回？有几种方案？能力提升新树种好后，为了更好的保护新树，需购买一些树木支撑架支撑新树,已知某支撑架的成本价为20元，且这种产品的销售价格不能高于25元,在试销过程中发现，每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y＝－x＋40.(1)当销售单价定为多少元时，厂商获得的利润最高？(2)当售价定为多少元时，利润达到36万元？(3)如果厂商要让利润不低于36万元，那么售价应定在什么范围？。
中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案
中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案第一章：代数应用性问题的基本概念与解题方法1.1 代数应用性问题的定义与特点解释代数应用性问题的概念分析代数应用性问题的特点1.2 代数应用性问题的解题步骤提出问题建立代数模型求解代数模型检验解的合理性1.3 代数应用性问题的常见类型线性方程问题不等式问题函数问题第二章：线性方程应用性问题复习2.1 线性方程的定义与解法解释线性方程的概念介绍线性方程的解法：代入法、消元法、图解法等2.2 线性方程在实际问题中的应用分析实际问题，建立线性方程模型求解线性方程，得出实际问题的解答2.3 线性方程应用性问题的常见题型比例问题利润问题行程问题第三章：不等式应用性问题复习3.1 不等式的定义与解法解释不等式的概念介绍不等式的解法：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到3.2 不等式在实际问题中的应用分析实际问题，建立不等式模型求解不等式，得出实际问题的解答3.3 不等式应用性问题的常见题型盈亏问题范围问题排序问题第四章：函数应用性问题复习4.1 函数的定义与性质解释函数的概念介绍函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等4.2 函数在实际问题中的应用分析实际问题，建立函数模型求解函数，得出实际问题的解答4.3 函数应用性问题的常见题型最大值与最小值问题函数图像问题函数性质问题第五章：代数应用性问题的综合训练5.1 综合训练的目的与意义强调综合训练的重要性说明综合训练对于提高解题能力的帮助5.2 综合训练的内容与方法设计与实际问题相关的综合训练题目引导学生通过自主学习、合作学习、讨论交流等方式进行训练5.3 综合训练的评估与反馈评估学生的训练成果给予学生反馈，帮助学生提高解题能力第六章：典型代数应用性问题解析6.1 典型问题的选材与分析选择具有代表性的代数应用性问题对问题进行深入分析，揭示其背后的数学原理6.2 典型问题的解答与讲解提供详细、清晰的解答步骤对解答过程进行讲解，帮助学生理解解题思路6.3 典型问题的拓展与延伸对典型问题进行拓展，提出相似或相关的问题引导学生思考问题的延伸，提高解决问题的能力第七章：中考代数应用性问题的解题策略7.1 中考代数应用性问题的特点与趋势分析中考代数应用性问题的特点探讨中考代数应用性问题的趋势7.2 中考代数应用性问题的解题技巧介绍解题技巧，如：审题、建模、求解、检验等引导学生运用解题技巧，提高解题效率7.3 中考代数应用性问题的备考建议给出备考建议，如：加强基础知识的复习、多做练习等鼓励学生积极备考，提高中考成绩第八章：代数应用性问题在生活中的应用8.1 代数应用性问题与实际生活的联系探讨代数应用性问题与实际生活的关系强调代数应用性问题在生活中的重要性8.2 生活实例中的代数应用性问题解析分析生活中的实际问题，将其转化为代数应用性问题引导学生运用数学知识解决实际问题8.3 代数应用性问题在生活中的实际应用训练设计生活化的代数应用性问题练习题鼓励学生积极参与，提高解决问题的能力9.1 代数应用性问题的解题思路引导学生运用解题思路，提高解题效果9.2 代数应用性问题的解题方法引导学生掌握解题方法，提高解题速度9.3 代数应用性问题的解题策略与方法的运用结合实际问题，运用解题策略与方法引导学生灵活运用解题策略与方法，提高解题能力第十章：代数应用性问题复习的评估与反思10.1 复习效果的评估评估学生的复习效果，如：知识掌握程度、解题能力等给予学生反馈，帮助学生了解自己的学习状况10.2 复习过程中的问题与反思引导学生反思复习过程中的问题，如：学习方法、时间管理等给出改进建议，帮助学生提高复习效果鼓励学生分享复习经验，共同提高学习能力重点和难点解析重点环节一：代数应用性问题的基本概念与解题方法补充说明：学生需要理解代数应用性问题是如何将实际问题转化为数学问题，以及如何按照步骤解决问题。
2020年中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案精品版
中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案——一、教学目标：（一）知识目标：通过复习，使学生能够分析和表示不同背景下的实际问题中的数量关系，并能够运用方程、不等式、函数等代数有关知识解决实际问题中的增长率问题，调配问题、最值问题等，使学生体会数学建模思想及其步骤。
（二）过程与方法：通过复习如何分析和表示不同背景下实际问题中的等量、不等量及变量之间的函数关系，培养学生分析和判断能力，通过运用代数性的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
（三）情感目标：能过对解决问题的基本策略进行反思，进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的应用价值，提高学生的环保意识,增进对数学的理解和学数学的信心，培养创新精神和实践能力。
二、教学重点与难点：（一）教学重点：把实际问题转化为数学问题，并建立方程、不等式、函数模型解决实际问题。
（二）教学难点：正确的理解题意，找准数量关系,建立数学模型。
三、教学准备多媒体课件。
三、教学过程教学内容师生行为设计意图一、创设情境，引入复习。
1、直接点题；2、观看视频（关天北京天气的新闻）。
学生认真观看，引领学生进入到实际问题的情境中。
运用最近发生的时事，激起学生的学习兴趣，并认识到环保的重要性，让学生感受到数学就来源于生活。
二、例题讲解1．【例1】为保护环境,响应市政府“创建国家森林城市”的号召，黄岩某小区计划购进A、B两种树苗共20棵，已知A种树苗每棵60元，B种树苗每棵40元．学生独立思考，发表自己的见解，师板书并进行点拨，提醒解题的几个注意点。
通进对问题的分析，抽象出方程、不等式、函数等数学模型，并使(1)若购进A、B两种树苗刚好用去1000元，问购进A种树苗多少棵？(2)若购进A、B两种树苗花费小于1000元，问最多购进A种树苗多少棵？(3)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用。
2．小结并板书数学建模思想实际问题数学问题实际问题的解数学问题的解一般步骤：①审；②设；③列；④解；⑤验；⑥答。
中考专题：代数综合问题的解决方法
中考专题：代数综合问题的思考方法【问题概述】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键•在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口•通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.【方法点拨】（1）对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；（2）认识综合题的结构是解综合题的前提；（3）灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；（4）建立思维程序是解综合题的核心.*审题（读题、断句、找关键）;*先宏观（题型、知识块、方法）；后微观（具体条件，具体定理、公式）*由已知，想可知（联想知识）；由未知，想须知（应具备的条件），注意知识的结合;*观察——挖掘题目结构特征；联想一一联系相关知识网络；突破——抓往关键实现突破。
（5）准确计算，严密推理是解综合题的保证.【典型例题】类型一、方程与不等式综合（方程、不等式思想解决问题）C^1.已知方程组2x 3y 2 3a,的解满足X °，求a的取值范围.3x 4y 2a 1. y °.【思路点拨】本题考查了含字母系数的方程解法及利用不等式组求字母的取值范围问题.【答案与解析】2x 3y 2 3a ①解：―3x 4y 2a 1②①x 3—②X 2 得：y = 13a — 4 ①x 4—②X 3 得：x = 18a — 5【总结升华】在解含字母系数的方程时要分清未知数和字母常数，这样才能更准确地对方程进行求解.【过关测试】 线上 同步辅导-不等式与不等式组-B7、B8;海淀一模22 (2)、26 (2)2 • m 为何值时，x 2 2(m 2)x m 2 2m 1是完全平方式【思路点拨】本题直观考查完全平方式的特征，但是因为代数式的定性衍生出方程，不定性衍生出函数，所以 完全平方式形式在方程和函数中又被赋予了独有的含义•因此，本题也可以看作是间接考查了对完全平 方式不同角度的理解. 【答案与解析】解：解法1：待定系数法._ , 2 2 2设原式=[x-(m-2)] = x -2(m-2)x+m -4m+42 21所以 m+2m+l = m-4m+4, m ；2，解法2 :配方法(代数式运算、因式分解) 原式=x 22( m 2)x (m 2)2 (m 2)2 m 2 2m 1 •21=[x-(m-2)]+6m-3, 6m-3= 0, m -；2解法3:判别式法(一元二次方程)因为是完全平方式，所以方程x 2 2(m 2)x m 2 2m 1 0有两等根，2 21△ = [-2(m-2)] — 4(m +2m+1)= 0, m -；2，解法4:函数思想方法由题意令x > 0, y > 0 得:18a 5 0, 13a 4 0..5 4 --—a —. 18 132 24(m 2m"4(m 2)0, 6m 3【总结升华】定，从函数的角度解决问题•解决问题的角度不同，但结果是相同的.类型二、方程与函数综合3 •请你根据下图中图象所提供的信息，解答下面问题: (1)分别写出l i , I 2中变量y 随x 变化而变化的情况;(2) 写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件.【思路点拨】本题是一次函数与二元一次方程组的综合题•本题考查了一次函数的性质，两个一次函数图象的交 点与方程组的解的关系. 【答案与解析】解：(1) h : y 的值随x 的增大而增大;12: y 的值随x 的增大而减小.⑵ 设直线11 , 12的函数表达式分别为y a 1x b 1, y a 2x b 2,由题意得a b 1 1a 2b 2 12 2b 1 13& b 2 01解得：a 2a 22b|1b23 •213 •直线h , I 2的函数表达式分别为 y 2x 1 , y x22因为是完全平方式，所以令y x 2 2(m 2)x m 2 2m 1 ,4ac b 2所以抛物线顶点在 x 轴上，0 ,4a对于代数式，可以考虑其为特殊值，将其看作方程,从方程的角度解决问题；也可以考虑其值不y 2x 1•••所求的方程组为13 •y —x —2 2【总结升华】利用函数及图象解决方程组的解的问题，体现了 数形结合的思想【过关测试】 线上 中考专题-压轴题专题(03)-代数综合题(一)第一题；海淀一模 25 (3) 举一反三:1【变式】已知：如图，平行于 x 轴的直线y = a(a 丰0)与函数y = x 和函数y 的图象分别交于点 Ax和点B,又有定点 P(2，0).1(1) 若a > 0，且tan POB —,求线段AB 的长;9⑵ 在过A , B 两点且顶点在直线 y = x 上的抛物线中，已知线段 AB随着x 的增大而增大，求满足条件的抛物线的解析式;【答案】解：(1)设第一象限内的点 B(m,n ),则tan POB所以3a 2 8a 3 0，解得a8，且在它的对称轴左边时,3⑶已知经过A B , P 三点的抛物线，平移后能得到9x 2的图象, 5求点P 到直线AB 的距离.1 得m=9r ,又点B 在函数y —的图象上，得nx1 以m=3 (—3舍去)，点B 为(3 —),，31 1而AB//x 轴，所以点A (丄,1)，所以AB 3 3 m 1 ，所m318(2)由条件可知所求抛物线开口向下，设点1 1 8B ( —,a )，贝U AB — a ,a a 3 (a ,a ),当 a =— 3 时，点 A (— 3, — 3), 所以可设二次函数为 y所以所求函数解析式为5k (x ?3,二 y —(x -) 4 3 1-- B (3)，因为顶点在y = x 上，所以顶点为(一，一)3 33，点A 代入，解得k3 5、23，55. y=l1 3 5 5同理，当a 时，所求函数解析式为y (x )23 4 3 31 a i(3) 设A (a , a ), B (丄a)，由条件可知抛物线的对称轴为x - .a 2 2a9 1设所求二次函数解析式为：y 9(x 2) x (a丄)2 •5 a点A(a,a)代入，解得a13，a2 1，所以点P到直线AB的距离为3或—13 13(1)求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；(2)若抛物线y mx23m 1 x 3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式；(3)若点P(X1, yj与Q(X1 n, y2)在(2)中抛物线上(点P、Q不重合),且y^y2,求代数式4为212x1 n 5n216n 8 的值.【思路点拨】(1)分别讨论当m=0和m^0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断；2 2(2)令y=0，则mx+ (3m+1 x+3=0,求出两根，再根据抛物线y=mx+ ( 3m+1 x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，求出m的值；(3)点P (X1, y1 )与Q(X1+n, y2)在抛物线上，求出y1和y2, y1和y2相等，求出n (2x1+n+4) =0,然后整体代入求出代数式的值.【答案与解析】解：(1)当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根x=-3 .当m^0时，原方程为一元二次方程.已知关于x的方程mx2(3m 1)x 3 0.v1.0可编辑可修改2 2 2■/△ = (3m+1) -12m=9m-6m+1= (3m-1) > 0.•••此时方程有两个实数根.综上，不论m为任何实数时，方程mf+ (3m+1) x+3=0总有实数根.2(2) •••令y=0,则mx+ (3m+1) x+3=0.1解得x i=-3, X2= 一m•抛物线y=mf+ ( 3m+1 x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数,/• m=1抛物线的解析式为y=x2+4x+3.(3 )•••点P (x i, y i )与Q( x i+n, y2)在抛物线上，2 2•y i=x i +4x i+3, y2=(x i+n) +4(x i+ n)+3 .•y i=y2,2 2•x i +4x i+3=(x i+n) +4(x i+n)+3 .可得2x i n+n2+4 n=0.即n (2x i+n+4) =0.••点P, Q不重合，•n^ 0.•2x i=-n-4 .2 2 2 2 2 2•4x i+i2x i n+5n+i6n+8=(2x i) +2x i? 6n+5n+i6n+8= (n+4) +6n (-n-4 ) +5n+i6n+8=24.【总结升华】本题主要考查二次函数的综合题的知识，解答本题的关键熟练掌握方程与函数之间的联系，此题难度不大，第三问需要整体代入.举一反三：【变式】已知关于x的一元二次方程x2+ (m+ 3)x + m^ i = 0.(1) 求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2) 若x i、X2是原方程的两根，且|x i —X2| = 2.2，求m的值和此时方程的两根. 【答案】解：(i)证明：由关于x的一元二次方程x2+ (m+ 3)x + m^ i= 0得2 2△ = ( m+3 —4 ( m+1 = ( m+1 +4,•••无论m取何值，(m+1) 2+ 4恒大于0,•••原方程总有两个不相等的实数根2.类型三、以代数为主的综合题.如图所示，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1, 0)，直线y= x+m与该二次函数的图象交于A,B两点，其中A点的坐标为(3 , 4) , B点在y轴上.(1)求m的值及这个二次函数的解析式;(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A, B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点，设线段PE的长为h,点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;(3) D 为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】本题是一道函数综合题，考查二次函数、一次函数解析式的求法，函数关系式的建立.【答案与解析】解：(1) •.•点A(3 , 4)在直线y = x+m上, • 4 = 3+m •- m= 1.设所求二次函数的关系式为y a(x 1)2.(2)：x i, X2是原方程的两根，「.x 计X2=—( m+3, x i? X2=m+1.v1.0可编辑可修改•••点A(3 , 4)在二次函数y a(x 1)2的图象上，••• 4= a(3-1) I a = 1.•所求二次函数的关系式为y (x 1)2 .即y x 2 2x 1.⑵ 设P, E 两点的纵坐标分别为 y p 和y E .22二 PE h1y p yE|(y p y E)= (x+1) - (x — 2x+1) = — x+3x . 即 h x 23x(0 x 3).⑶存在.要使四边形 DCEP 是平行四边形，必有 PE = DC •••点D 在直线y = x+1 上, ••点 D 的坐标为(1 , 2), • x 2 3x 2. 即 x 2 3x 2 0 . 解之，得x 12 , x 21( x 2不合题意，舍去).•••当P 点的坐标为(2 , 3)时，四边形 DCEP 是平行四边形. 【总结升华】若两点在平行于 x 轴或平行于y 轴的直线上，则这两点间的距离可用它们的横坐标或纵坐标的差的 绝对值来表示•(海淀一模 26 ( 2)( 3))举一反三：【变式】如图，已知二次函数 y ax 2 4x c 的图象与坐标轴交于点 A (-1 , 0 )和点B (0, -5 )(1) 求该二次函数的解析式； (2)已知该函数图象的对称轴上存在一点 P,使得△ ABP 勺周长最小.请求出点P 的坐标. 【答案】解:2(1)根据题意，得0 a ( 1) 4 ( 1) c,5 a 02 4 0 c.v1.0可编辑可修改• ••二次函数的表达式为 y x 2 4x 5 .由于P 是对称轴x 2上一点, 连结 AB 由于 AB ■. OA 2 OB 2. 26，要使△ ABP 的周长最小，只要PA PB 最小.由于点A 与点C 关于对称轴x 2对称，连结BC 交对称轴于点P ，因而BC 与对称轴x 2的交点P 就是所求的点.【过关测试】 线上 同步辅导-二次函数-B16 ;西城一模26、例题（B1605）（新定义，二次函数，一元二次方程根的判别式，不等式思想）如果变量，是变量工的函数，可用符号# 丄〕来表示，如一次函数$ 八1 又可表示为从〕1;对于函数 f若存在一个实数％，使八』％ 成立，则称叼是的不动点；已知函数 M ）—川I ⑴ W 3 ,（“°）⑴、当＜J 16 2时，求函数/①的不动点；⑵、若对于任意实数 方，函数 八）恒有两个相异的不动点，求 空的取值范围;解得a 1, c 5.（2）令y =0,得二次函数y X 2 4x 5的图象与x 轴的另一个交点坐标c （ 5, 0）则PA PB = BP +PC =BC 根据两点之间，线段最短，可得PA PB的最小值为BC设直线BC 的解析式为y kx b ，根据题意，可得 b 5, 0 5k解得b.1, 5.所以直线 BC 的解析式为y x 5因此直线BC 与对称轴x 2的交点坐标是方程组 2,的解,x 5解得2, 3.所求的点P 的坐标为（2，-3）.朝阳一模26。
2023年中考数学总复习：代数几何综合问题
2023年中考数学总复习：代数几何综合问题【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径.解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.第1页共23页。
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中考专题：代数综合问题的思考方法【问题概述】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；(4)建立思维程序是解综合题的核心．* 审题(读题、断句、找关键)；* 先宏观(题型、知识块、方法)；后微观(具体条件，具体定理、公式)* 由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；* 观察——挖掘题目结构特征；联想——联系相关知识网络；突破——抓往关键实现突破。
(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．【典型例题】类型一、方程与不等式综合（方程、不等式思想解决问题）1．已知方程组2323,342 1.x y a x y a -=-⎧⎨-=+⎩的解满足0,0.x y >⎧⎨<⎩ 求a 的取值范围． 【思路点拨】本题考查了含字母系数的方程解法及利用不等式组求字母的取值范围问题．【答案与解析】解：23233421x y a x y a -=-⎧⎨-=+⎩①②①×3－②×2得：y ＝13a －4①×4－②×3得：x ＝18a －5由题意令x ＞0，y ＞0得：1850,1340.a a ->⎧⎨-<⎩ ∴541813a <<. 【总结升华】在解含字母系数的方程时要分清未知数和字母常数，这样才能更准确地对方程进行求解．【过关测试】线上 同步辅导-不等式与不等式组-B7、B8；海淀一模 22（2）、26（2）2．m 为何值时，222(2)21x m x m m --+++是完全平方式【思路点拨】本题直观考查完全平方式的特征，但是因为代数式的定性衍生出方程，不定性衍生出函数，所以完全平方式形式在方程和函数中又被赋予了独有的含义．因此，本题也可以看作是间接考查了对完全平方式不同角度的理解．【答案与解析】解：解法1：待定系数法设原式＝[x-(m-2)]2＝x 2-2(m-2)x+m 2-4m+4所以m 2+2m+l ＝m 2-4m+4，12m =； 解法2：配方法（代数式运算、因式分解） 原式＝22222(2)(2)(2)21x m x m m m m --+---+++．＝[x-(m-2)]2+6m-3，6m-3＝0，12m =； 解法3：判别式法（一元二次方程） 因为是完全平方式，所以方程222(2)210x m x m m --+++=有两等根，△＝[-2(m-2)]2－4(m 2+2m+1)＝0，12m =； 解法4：函数思想方法因为是完全平方式，所以令222(2)21y x m x m m =--+++， 所以抛物线顶点在x 轴上，2404ac b a-=， 224(21)4(2)04m m m ++--=，630m -=，12m =． 【总结升华】对于代数式，可以考虑其为特殊值，将其看作方程，从方程的角度解决问题；也可以考虑其值不定，从函数的角度解决问题．解决问题的角度不同，但结果是相同的．类型二、方程与函数综合3．请你根据下图中图象所提供的信息，解答下面问题：(1)分别写出1l ，2l 中变量y 随x 变化而变化的情况；(2)写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件．【思路点拨】本题是一次函数与二元一次方程组的综合题．本题考查了一次函数的性质，两个一次函数图象的交点与方程组的解的关系．【答案与解析】解：(1)的值随x 的增大而增大；的值随x 的增大而减小．(2)设直线1l ，2l 的函数表达式分别为11y a x b =+，22y a x b =+，由题意得11111a b b +=⎧⎨=-⎩，2222130a b a b +=⎧⎨+=⎩．解得：1121a b =⎧⎨=-⎩，221232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴直线1l ，2l 的函数表达式分别为21y x =-，1322y x =-+． ∴所求的方程组为211322y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩． 【总结升华】利用函数及图象解决方程组的解的问题，体现了数形结合的思想．【过关测试】线上 中考专题-压轴题专题（03）-代数综合题（一）第一题；海淀一模 25（3） 举一反三：【变式】已知：如图，平行于x 轴的直线y ＝a(a ≠0)与函数y ＝x 和函数x y 1=的图象分别交于点A 和点B ，又有定点P(2，0)．(1)若a ＞0，且91tan =∠POB ，求线段AB 的长； (2)在过A ，B 两点且顶点在直线y ＝x 上的抛物线中，已知线段38=AB ，且在它的对称轴左边时，y 随着x 的增大而增大，求满足条件的抛物线的解析式； (3)已知经过A ，B ，P 三点的抛物线，平移后能得到259x y =的图象，求点P 到直线AB 的距离．【答案】解：（1）设第一象限内的点B （m,n ），则1tan 9n POB m ∠==，得m=9n ，又点B 在函数1y x =的图象上，得1n m=，所以m=3（－3舍去），点B 为1(3,)3， 而AB ∥x 轴，所以点A 11(,)33，所以18333AB =-=． （2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点A （a ,a ）， B （1,a a ），则183AB a a =-=,所以03832=-+a a ，解得 313=-=a a 或 . 当a =－3时，点A （―3，―3），B 1(,3)3--，因为顶点在y = x 上，所以顶点为55(,)33--，所以可设二次函数为255()33y k x =+-，点A 代入，解得34k =-, 所以所求函数解析式为2355()433y x =-+- . 同理，当13a =时，所求函数解析式为2355()433y x =--+； （3）设A （a , a ），B （1,a a ），由条件可知抛物线的对称轴为122a x a=+ . 设所求二次函数解析式为：91(2)()25y x x a a ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦. 点A(a,a)代入，解得，1362=a ，所以点P 到直线AB 的距离为3或6134． 已知关于x 的方程 03)13(2=+++x m mx .（1）求证: 不论m 为任何实数, 此方程总有实数根；（2）若抛物线()2313y mx m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，且为正整数，试确定此抛物线的解析式；（3）若点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在（2）中抛物线上 (点P 、Q 不重合), 且y 1=y 2, 求代数式81651242121++++n n n x x 的值.【思路点拨】（1）分别讨论当m=0和m≠0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断；（2）令y=0，则mx 2+（3m+1）x+3=0，求出两根，再根据抛物线y=mx 2+（3m+1）x+3与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，求出m 的值；（3）点P （x 1，y 1）与Q （x 1+n ，y 2）在抛物线上，求出y 1和y 2，y 1和y 2相等，求出n （2x 1+n+4）=0，然后整体代入求出代数式的值．∴m=1．∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3．（3）∵点P（x1，y1）与Q（x1+n，y2）在抛物线上，∴y1=x12+4x1+3，y2=(x1+n)2+4(x1+n)+3．∵y1=y2，∴x 12+4x1+3=(x1+n)2+4(x1+n)+3．可得2x1n+n2+4n=0．即n（2x1+n+4）=0．∵点P，Q不重合，∴n≠0．∴2x1=-n-4．∴4+12x1n+5n2+16n+8=(2x1)2+2x16n+5n2+16n+8=（n+4）2+6n（-n-4）+5n2+16n+8=24．【总结升华】本题主要考查二次函数的综合题的知识，解答本题的关键熟练掌握方程与函数之间的联系，此题难度不大，第三问需要整体代入．举一反三：【变式】已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2，求m的值和此时方程的两根．【答案】解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，∵无论m取何值，（m+1）2＋4恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根.（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=－（m+3），x1x2=m+1.∵|x1－x2|＝2，∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8.∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0.解得：m1=－3，m2=1.当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1= ，x2=－.当m=1时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－2+ ，x2=－2－.类型三、以代数为主的综合题5．如图所示，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1，0)，直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为(3，4)，B点在y轴上．(1)求m 的值及这个二次函数的解析式；(2)P 为线段AB 上的一个动点(点P 与A ，B 不重合)，过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，使得四边形DCEP 是平行四边形若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】本题是一道函数综合题，考查二次函数、一次函数解析式的求法，函数关系式的建立．【答案与解析】解：(1)∵点A(3，4)在直线y ＝x+m 上，∴4＝3+m ．∴m ＝1．设所求二次函数的关系式为2(1)y a x =-．∵点A(3，4)在二次函数2(1)y a x =-的图象上，∴4＝a(3-1)2．∴a ＝1．∴所求二次函数的关系式为2(1)y x =-．即221y x x =-+．(2)设P ，E 两点的纵坐标分别为和．∴||()P E P E PE h y y y y ==->＝(x+1)－(x 2－2x+1)＝－x 2+3x ．即23(03)h x x x =-+<<．(3)存在．要使四边形DCEP 是平行四边形，必有PE ＝DC ．∵点D 在直线y ＝x+1上，∴点D 的坐标为(1，2)，∴232x x -+=．即2320x x -+=．解之，得12x =，21x =(不合题意，舍去)．∴当P 点的坐标为(2，3)时，四边形DCEP 是平行四边形．【总结升华】若两点在平行于x 轴或平行于y 轴的直线上，则这两点间的距离可用它们的横坐标或纵坐标的差的绝对值来表示．（海淀一模26（2）（3））举一反三：【变式】如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点B （0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP 的周长最小．请求出点P 的坐标．【答案】解：（1）根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧+⨯-⨯=-+-⨯--⨯=.0405,)1(4)1(022c a c a 解得 ⎩⎨⎧-==.5,1c a ∴二次函数的表达式为542--=x x y ．（2）令y =0，得二次函数542--=x x y 的图象与x 轴的另一个交点坐标C （5, 0）.由于P 是对称轴上一点，连结AB ，由于2622=+=OB OA AB ，要使△ABP 的周长最小，只要PB PA +最小.由于点A 与点C 关于对称轴对称，连结BC 交对称轴于点P ，则PB PA += BP +PC =BC ，根据两点之间，线段最短，可得PB PA +的最小值为BC . 因而BC 与对称轴的交点P 就是所求的点.设直线BC 的解析式为b kx y +=，根据题意，可得⎩⎨⎧+=-=.50,5b k b 解得⎩⎨⎧-==.5,1b k 所以直线BC 的解析式为5-=x y因此直线BC 与对称轴的交点坐标是方程组⎩⎨⎧-==5,2x y x 的解，解得⎩⎨⎧-==.3,2y x 所求的点P 的坐标为（2，-3）.【过关测试】线上 同步辅导-二次函数-B16；西城一模26、朝阳一模26例题（B1605）（新定义，二次函数，一元二次方程根的判别式，不等式思想） 如果变量是变量的函数，可用符号来表示，如一次函数又可表示为；对于函数，若存在一个实数，使成立，则称是的不动点；已知函数，（） ⑴、当时，求函数的不动点；⑵、若对于任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；。