2019年河北中考数学复习第7讲 一元二次方程

第 7 讲 一元二次方程

1. (2014，河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 ax ＋

bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式时， 对于 b －

4ac >0 的情况，她是这样做的： 由于 a ≠0，方程 ax 2 ＋bx ＋c ＝0 变形为：

b c

x ＋ x ＝－ ，…第一步

aa

a a 2 c

b 2

x

＋ x ＋ ＝－ ＋ ，…第二步 a a

b 2 b －4a

c x ＋ ＝ 2a 4a

，…第三步 b b －4ac x ＋ ＝ (b －4ac >0)，…第四步 2a 4a

－b ＋ b －4ac x ＝ .…第五步

2a

(1)嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误；事实上，当 b －

4ac >0 时，方程 ax ＋bx ＋c －b ± b －

4ac ＝0(a ≠0)的求根公式是（ x ＝ ）；

2a

(2)用配方法解方程：x －

2x －24＝0. 【思路分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤： (1) 形如 x ＋px ＋q ＝0 型．第一步，移项，把常数项移到方程右边；第二步，配方，左、右两边 加上一次项系数一半的平方；第三步，左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可． (2)形

如 ax ＋bx ＋c ＝0 型．方程两边同时除以二次项系数，即化成 x ＋px ＋q ＝0 型，然后配方． －b ± b －

4ac 解：(1)四 x ＝

2a

(2)移项，得 x －

2x ＝24. 配方，得 x －

2x ＋1＝24＋1，即(x －1) ＝25. 开方，得 x －1＝±5. ∴x ＝6，x ＝－4.

1 2

2. (2015，河北)若关于 x 的方程 x ＋

2x ＋a ＝0 不存在实数根，则 a 的取值范围是(B) A. a ＜1 B. a ＞1 C. a ≤1 D. a ≥1

【解析】 ∵关于 x 的方程 x ＋

2x ＋a ＝0 不存在实数根，∴b －4ac ＝2 －4×1×a ＜0.解 得 a ＞1.

3. (2016，河北)a ，b ，c 为常数，且(a －c ) >a ＋

c ，则关于 x 的方程 ax ＋bx ＋c ＝0 根的 情况是(B)

A. 有两个相等的实数根

B. 有两个不相等的实数根

C. 无实数根

D. 有一根为 0

【解析】 由(a －c ) >a ＋c 得出－2ac ＞0，∴Δ ＝b －

4ac ＞0.∴方程有两个不相等的实数根．

一元二次方程的概念及解法

例 1 解下列方程： (1)x －2x －1＝0；

2 2 2

2 2a 2a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(2)x

－1＝2(x ＋1)； 1 (3)x ＋3x ＝－ .

4

【思路分析】 根据所给方程的形式，选择合适的方法解方程． 解：(1)a ＝1，b ＝－2，c ＝－1.

Δ＝b －

4ac ＝4＋4＝8＞0. ∴方程有两个不相等的实数根．

－b ± b －

4ac 2±2 2 ∴x ＝ ＝ ＝1± 2，

2a 2

即 x ＝1＋ 2，x ＝1－ 2.

1 2

(2)移项，得 x －

1－2(x ＋1)＝0， (x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝0，

因式分解，得(x ＋1)(x －1－2)＝0， 于是，得 x ＋1＝0 或 x －3＝0. ∴x ＝－1，x ＝3.

1

2

3 2 1 3 2

(3)配方，得 x ＋

3x ＋ ＝－ ＋ ，

x ＋ ＝2.

3

由此可得 x ＋ ＝± 2.

2

3 3

∴x ＝－ ＋ 2，x ＝－ － 2.

1 2 2 2

针对训练 1(2018，邯郸一模) 用配方法解一元二次方程 2x －

4x －2＝1 的过程中，变形正 确的是(C)

A. 2(x －1) ＝1

B. 2(x －2) ＝5 5

C. (x －1) ＝

2 5 D. (x －2)

＝

2

3 3 5

【解析】 2x －4x －2＝1，2x －4x ＝3，x －2x ＝ ，x －2x ＋1＝ ＋1，(x －1) ＝ .也可以

2 2 2 把各选项中的方程展开化为一般形式，和题干中的方程做对比.

一元二次方程根的判别式

例 2 (2018，扬州)如果关于 x 的方程 mx －2x ＋3＝0 有两个不相等的实数根，那么 m 的取 1 值范围是（ m ＜ 且 m ≠0 ）.

3

1

【解析】 ∵方程有两个不相等的实数根，∴4－12m >0.解得 m< .但当 m ＝0 时，原方程

3 不是一元二次方程，所以 m ≠0.

针对训练 2(2018，石家庄桥西区一模)常数 a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则关于 x 的一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0 根的情况是(B)

训练 2 题图

A. 有两个相等的实数根

B. 有两个不相等的实数根

C. 无实数根

D. 无法确定

【解析】 从数轴上可知，a ，c 异号，则 b －4ac >0，所以方程有两个不相等的实数根.

2 2

2 2 2 2 2 4 2

3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2