2019年河北中考数学复习第7讲 一元二次方程
2019届中考复习《一元二次方程的根与系数的关系》专题练习含答案
北京市朝阳区普通中学2019届初三中考数学复习一元二次方程的根与系数的关系专题复习练习题1．设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，则αβ的值是( ) A．2 B．1 C．－2 D．－12．若方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝( )A．－4 B．3 C．－43D.433．下列一元二次方程两实数根和为－4的是( )A．x2＋2x－4＝0 B．x2－4x＋4＝0C．x2＋4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝04. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是( )A．－3，2 B．3，－2 C．2，－3 D．2，35．已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，则x12x2＋x1x22的值为( ) A．－3 B．3 C．－6 D．66. 已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( )A．－1 B．9 C．23 D．277. 已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( )A．x2＋3x－2＝0 B．x2＋3x＋2＝0C．x2－3x－2＝0 D．x2－3x＋2＝08. 已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，则a的值为( )A．－10 B．4 C．－4 D．109. 菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＋3＝0的根，则m的值为( )A．－3 B．5 C．5或－3 D．－5或310. 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝________，x1x2＝________．11. 一元二次方程2x2＋7x＝8的两根之积为________．12. 设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2 018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝________.13. 已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，则x2x1＋x1x2的值为________．14. 已知方程x2＋4x－2m＝0的一个根α比另一个根β小4，则α＝______，β＝______，m＝______．15. 关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是________．16. 在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两根(1) 求m的取值范围；(2) 当x12＋x22＝6x1x2时，求m的值．18. 关于x的方程kx2＋(k＋2)x＋k4＝0有两个不相等的实数根．(1) 求k的取值范围；(2) 是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0.若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．19. 不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积．(1) x2＋2x＋1＝0;(2) 3x2－2x－1＝0；(3) 2x2＋3＝7x2＋x;(4) 5x－5＝6x2－4.20. 已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.(1) 求k的取值范围；(2) 若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．21. 已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．(1) 是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；(2) 求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．答案：1---9 DDDAA DCCA10. －a/b c/a11. －412. 201913. 1014. 10 －4 0 015. m>1/216. x 2－10x ＋9＝017. 解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)≥0，整理得：4－4m ＋4≥0，解得：m≤2(2)∵x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m －1，x 12＋x 22＝6x 1x 2，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝6x 1·x 2，即4＝8(m －1)，解得：m＝32.∵m ＝32＜2，∴m 的值为3218. 解：(1)由题意可得Δ＝(k ＋2)2－4k×k 4＞0，∴4k ＋4＞0，∴k ＞－1且k≠0 (2)∵1x 1＋1x 2＝0，∴x 1＋x 2x 1x 2＝0，∴x 1＋x 2＝0，∴－k ＋2k＝0，∴k ＝－2，又∵k＞－1且k≠0，∴不存在实数k 使两个实数根的倒数和等于019. 解：(1)x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1(2)x 1＋x 2＝23，x 1·x 2＝－13(3)x 1＋x 2＝－15，x 1·x 2＝－35(4)x 1＋x 2＝56，x 1·x 2＝1620. 解：(1)由Δ≥0得k≤12(2)当x 1＋x 2≥0时，2(k －1)＝k 2－1，∴k 1＝k 2＝1(舍去)；当x 1＋x 2＜0时，2(k －1)＝－(k 2－1)，∴k 1＝1(舍去)，k 2＝－3，∴k ＝－321. 解：(1)存在．理由如下：根据题意，得Δ＝(2a)2－4a(a －6)＝24a≥0，解得a≥0，∵a －6≠0，∴a ≠6.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2a a －6，x 1x 2＝a a －6.∵－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2.∴x 1＋x 2＋4＝x 1x 2.即－2a a －6＋4＝a a －6，解得a ＝24.经检验，a ＝24是方程－2a a －6＋4＝a a －6的解．∴a＝24 (2)∵原式＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝－2a a －6＋a a －6＋1＝66－a为负整数．∴6－a ＝－1，－2，－3，－6，解得a ＝7，8，9，122019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°2．如图，半径为3的扇形AOB ，∠AOB=120°，以AB 为边作矩形ABCD 交弧AB 于点E ，F ，且点E ，F 为弧AB 的四等分点，矩形ABCD 与弧AB 形成如图所示的三个阴影区域，其面积分别为1S ，2S ，3S ，则132S S S +-为（ ）（π取3）A ．92-B ．92C ．152-D ．272- 3．如图，已知矩形 AOBC 的三个顶点的坐标分别为 O(0，0)，A(0，3)， B(4，0)，按以下步骤作图：①以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧， 分别交 OC ，OB 于点 D ，E ；②分别以点 D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠BOC 内交于点 F ；③作射线 OF ，交边 BC 于点 G ，则点 G 的坐标为( )A ．(4， 43 )B ．( 43 ，4)C ．( 53 ，4)D ．(4， 53) 4．关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个根，则k 的取值范围是（ ）A.4k <-B.4k ≤-C.4k <D.4k ≤5．若点A （x 1，﹣3）、B （x 2，﹣2）、C （x 3，1）在反比例函数y ＝﹣的图象上，则x 1、x 2、x 3的大小关系是（ ）A. B. C. D.7．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是（ ）A.10B.8C.6D.48．若一个多边形的外角和是其内角和的12，则这个多边形的边数为（ ） A.2 B.4 C.6 D.89．计算|+|2|＝（ ）A ． 1B ．1﹣C ．﹣1D ．310．一个不透明的布袋里装有2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（ ） A.15 B.25 C.35 D.1211．下列尺规作图中，能确定圆心的是（ ）①如图1，在圆上任取三个点A ，B ，C ，分别作弦AB ，BC 的垂直平分线，交点O 即为圆心②如图2，在圆上任取一点B ，以B 为圆心，小于直径长为半径画弧交圆于A ，C 两点连结AB ，BC ，作∠ABC 的平分线交圆于点D ，作弦BD 的垂直平分线交BD 于点O ，点O 即为圆心③如图3，在圆上截取弦AB ＝CD ，连结AB ，BC ，CD ，分别作∠ABC 与∠DCB 的平分线，交点O 即为圆心A ．①②B ．①③C ．②④D ．①②③12．在平面直角坐标系中，有A ()21，，B ()33，两点，现另取一点C ()1a ， ，当a = ( )时，AC+BCA．2 B．53C．114D．3二、填空题13．在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2014个正方形的面积为_________。
(名师整理)最新数学中考《一元二次方程的解法》专题复习精讲精练
例题解析
练习 已知关于x的一元二次方程（a﹣1） x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为 （） A．0 B．±1 C．1 D．﹣1 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1） x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0， ∴a2﹣1＝0，a﹣1≠0， 则a的值为：a＝﹣1． 故选：D．
③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，然后解这个一 元一次方程，求这个方程的解
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1 解下列方程 （1）2x2＝8； （2）x2﹣x﹣6＝0．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程 ﹣因式分解法． 【解答】解：（1）x2＝4， x＝±2， 所以x1＝2，x2＝﹣2； （2）（x﹣3）（x+2）＝0， x﹣3＝0或x+2＝0， 所以x1＝3，x2＝﹣2．
知识点点解读
3 公式法
用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一
般方法
- b b2 - 4ac
一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式2a ：x=
公式法的一般步骤
①指出方程中a，b，c的值
②求出b²-4ac的值
③若b²-4ac≥0.则用求根公式求解，若b²-4ac＜0，则方程无解
4 因式分解法 一般步骤：①使方程的右边化为0 ②使方程左边化为两个一次 因式的积
【解答】A．
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4.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次方程则m的值 为（ ） A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1 答案 C
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5.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 ( ) A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0 C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0 答案 D
中考数学专题训练第7讲一元二次方程(原卷版)
一元二次方程易错点梳理易错点01 忽略一元二次方程中0 a 这一条件在解与一元二次方程定义有关的问题时，一定要注意一元二次方程的二次项系数不等于0这一条件。
易错点02 利用因式分解法解一元二次方程时出错（1）对因式分解法的基本思想理解不清，没有将方程化为两个一次因式相乘的形式；（2）在利用因式分解法解一元二次方程时忽略另一边要化成0；（3）产生丢根的现象，主要是因为在解方程时，出现方程两边不属于同解变形，解题时要注意方程两边不能同时除以一个含有未知数的项。
易错点03 利用公式法解方程时未将方程化为一般形式在运用公式法解方程时，一定要先将方程化为一般形式，从而正确的确定c b a ,,，然后再代入公式。
易错点04 根的判别式运用错误运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确的确定c b a ,,。
易错点05 列方程解应用题时找错等量关系列方程解应用题的关键是找对等量关系，根据等量关系列方程。
考向01 一元二次方程的有关概念例题1：（2021·山东聊城·中考真题）关于x 的方程x 2＋4kx ＋2k 2＝4的一个解是﹣2，则k 值为（ ）A ．2或4B ．0或4C ．﹣2或0D ．﹣2或2例题2：（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是例题分析易错点梳理5，﹣4，则原来的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0考向02 一元二次方程的解法例题3：（2013·浙江丽水·中考真题）一元二次方程()2+=可转化为两个一元一次方x616+=，则另一个一元一次方程是（）程，其中一个一元一次方程是x64A．x64+=-+=D．x64 -=-B．x64-=C．x64例题4：（2021·内蒙古赤峰·中考真题）一元二次方程2820--=，配方后可形为（）x xA．()2418x-=x-=B．()2414C．()2864x-=x-=D．()241考向03 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例题5：（2021·广西河池·中考真题）关于x的一元二次方程220+--=的根的情x mx m况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定例题6：（2021·山东济宁·中考真题）已知m，n是一元二次方程220210+-=的两个x x实数根，则代数式22++的值等于（）m m nA．2019 B．2020 C．2021 D．2022考向04 列一元二次方程解应用题例题7：（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率；（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？例题8：（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．一、单选题1．（2021·福建·厦门一中三模）对于一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠，下列说法： ①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=()0a ≠必有两个不相等的实根；③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；④若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x 的一元二次方程()22395m x m x x -+=+化为一般形式后不含一次项，则m 的值为（ ）A ．0B ．±3C ．3D ．－33．（2021·广西玉林·一模）关于x 的一元二次方程：24ax bx c ++=的解与方程2540x x -+=的解相同，则a b c ++=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2021·河南涧西·三模）定义()224a b a a b =+-+★，例如()2373372428=+⨯-+=★，若方程0x m =★的一个根是1-，则此方程的另一个根是（ ）A ．2-B ．3-C ．4-D ．5-5．（2021·广东·惠州一中一模）若m ，n 为方程2310x x --=的两根，则m n +的值为（ ）A ．1B ．1-C ．3-D ．3 微练习6．（2021·广东·西南中学三模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A ．2x 2﹣4x +3＝0B ．x 2+4x ﹣1＝0C ．x 2﹣2x ＝0D ．3x 2＝5x ﹣27．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）抛物线222y x x a =++-与坐标轴有且仅有两个交点，则a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．2或3-D ．2或38．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）直线y x a =+经过第一、三、四象限，则关于x 的方程220x x a ++=实数解的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．以上都有可能9．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）受新冠影响，某股份有限公司在2020年3月份销售口罩的核心材料熔喷无纺布的收入为2.88万元，而在1月份的销售收入仅为2万元，那么该股份有限公司在2020年第一季度的销售收入月增长率为（ ）A ．0.2%B ．－2.2%C ．20%D ．220%10．（2021·安徽·合肥市第四十五中学三模）每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染x 人，则下列方程正确的是（ ）A ．2181x x ++=B ．()2181x += C ．()21181x x +++= D ．()()211181x x ++++= 11．（2021·黑龙江佳木斯·三模）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（ ）A ．50元B ．60元C ．70元D ．50元或70元12．（2021·河北桥东·二模）若x 比()1x -与()1x +的积小1，则关于x 的值，下列说法正确的是（ ）A ．不存在这样x 的值B ．有两个相等的x 的值C ．有两个不相等的x 的值D ．无法确定 二、填空题13．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）已知1x =是一元二次方程20x x c ++=的解，则c 的值是___________．14．（2021·广东·江门市第二中学二模）设a 为一元二次方程22520210x x +-=的一个实数根，则26152a a ++=______．15．（2021·内蒙古包头·三模）已知a 是方程260x x +-=的解，求22341121a a a a a -⎛⎫-+÷= ⎪+++⎝⎭_____________． 16．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室二模）方程x 2＝x 的解为 ___．17．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）小丽在解一个三次方程x 3－2x ＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．18．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）若关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x +++=的根都是整数，则整数m 的最大值是________．三、解答题19．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）解下列方程．（1）()2233x x -=-．（2）22530x x -+=．20．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）解方程：2x (x ﹣3)+x =321．（2021·广东·铁一中学二模）解方程：()2131x x -=+ 22．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）已知代数式5x 2﹣2x ，请按照下列要求分别求值：（1）当x ＝1时，代数式的值．（2）当5x 2﹣2x ＝0时，求x 的值．23．（2021·广东·珠海市文园中学三模）已知关于x 的一元二次方程2(21)210k x x -++=有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）取12k =-，用配方法解这个一元二次方程．24．（2021·重庆实验外国语学校三模）永川黄瓜山，林场万亩、环境优美，山势雄伟、地貌奇特，现已成为全国面积最大的南方早熟梨基地，品种以黄花梨为主，还有黄冠、圆黄、红梨、鄂梨2号等．永川梨香甜，脆嫩，皮薄，多汁．2020年，永川梨入选第一批全国名特优新农产品名录．（1）某水果经销商第一批购进黄花梨5000千克，黄冠梨2000千克，黄冠梨每千克的进价比黄花梨的进价每千克多2元，经销商所花费的费用不超过60000元，求黄花梨每千克进价最多为多少元？（2）在第（1）问最高进价的基础上，随着梨大量成熟，该水果经销商第二批购进的黄花梨的数量比第一批的数量增加了2a %，第二批购进的黄冠梨的数量不变，黄花梨的进价减少了12a%，黄冠梨的进价减少了2a%，第二批购进梨的总成本与第一批购进梨的总成本相同，求a的值．25．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为60元，现以每个100元销售，每天可售出20个，为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价1元，则每天多售出2个．设该玩具的销售单价为x（元），日销售量为y（个）．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到1200元，销售单价应定为多少元？（3）若销售单价不低于成本价，每个获利不高于成本价的30%，将该玩具的销售单价定为多少元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？。
2019届冀教版中考《第6讲一元二次方程》知识梳理
第6讲一元二次方程关键点拨及对应举例定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2＋4ac3.根的判在运用根与系数关系解题时，列一元二次方程；④解①平均增长率（降变化②利③传播、比赛问题：2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在△ABC中，D是BC延长线上一点，且BC＝m•BD，过D点作直线AB，AC的垂线，垂足分别为E、F，若AB＝n•AC．则DEDF＝（）A．1(1)n m+B．1m(1n)-C．1(1)n m-D．1(1)n m-2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△ABC，M是BC的中点，P是A’B’的中点，连接PM．若BC＝4，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（）A．8 B．6 C．4 D．53．老师要求同学们设计一个测量某池塘两端A、B距离的方案，王兵设计的方案如下：如图，在池塘外选一点C，测得∠CAB＝90°，∠C＝30°，AC＝36m，则可知AB的距离为（）A．B．19m C．m D．m4．如图，直线AD∥BC，若∠1＝40°，∠BAC＝80°，则∠2的度数为（）A.70°B.60°C.50°D.40°5．如图，平行四边形ABCD的对角线BD＝6cm，若将平行四边形ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D 在旋转过程中所经过的路径长为（）A.3πcmB.6πcmC.πcmD.2πcm6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC，若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（）A．35°B．40°C．60°D．70°7．从长度分别为2，4，6，8的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（）A．12B．13C．14D．348．已知三角形ABC的三个内角满足关系∠B＋∠C=3∠A，则此三角形( ).A．一定有一个内角为45°B．一定有一个内角为60°C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形9．如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD＝15，CD⊥AB于M，如果sin∠ACB＝，则AB＝（）A.24B.12C.9D.610．在平面直角坐标系中，将直线y1：y＝2x﹣2平移后，得到直线y2：y＝2x+4，则下列平移作法正确的是（）A．将y1向上平移2个单位长度B．将y1向上平移4个单位长度C．将y1向左平移3个单位长度D．将y2向右平移6个单位长度11．给出一种运算：对于函数y＝x n，规定y'＝n×x n﹣1．若函数y＝x4，则有y'＝4×x3，已知函数y＝x3，则方程y'＝6x的解是（）A．x＝2 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝2 D．x＝﹣212．下列式子值最小的是（）A．﹣1+2019 B．﹣1﹣2019 C．﹣1×2019D．2019﹣1二、填空题13．若（x+3）0=1，则x应满足条件_____．14．分解因式：a2b﹣b3= ．15．如图，在平面直角坐标系xoy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C在反比例函数3(0)y xx=>的图象上，则△OAB的面积等于_____ .16．如图，已知反比例函数y＝2x（x＞0）的图象绕原点O逆时针旋转45°，所得的图象与原图象相交于点A，连接OA，以O为圆心，OA为半径作圆，交函数y＝2x（x＞0）的图象与点B，则扇形AOB的面积为_____．17．如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4，面积是 12，腰 AB 的垂直平分线 EF 分别交AB，AC 于点 E、F，若点 D 为底边 BC 的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则△BDM 的周长的最小值为 _________18x的取值范围为_____．三、解答题19．如图，△ABC（∠B＞∠A）．（1）在边AC上用尺规作图作出点D，使∠ADB+2∠A＝180°（保留作图痕迹）；（2）在（1）的情况下，连接BD，若CB＝CD，∠A＝35°，求∠C的度数．20．随着“互联网+购物”的快速发展，快递业务也越来越红火，某小区物业为了解本小区1200户家庭在过去的一年中收到快递的情况，随机调查了80户家庭去年一年共收到的快递件数，并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图（不完整）．根据以上提供的信息，解答下列问题（1）表格中a＝，b＝，m＝；补全频数分布直方图；（2）这80户家庭一年中收到的快递件数的中位数落在哪一个小组？（3）请估计该小区去年一年共收到快递件数大约是多少？21．如图10，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴正半轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC．过点B作BD⊥x轴交直线AC于点D．设点B坐标是（t，0）．（1）当t＝4时，求直线AB的解析式；（2）①用含t的代数式表示点C的坐标： .②当△ABD是等腰三角形时，求点B坐标.22．为了解我市九年级学生身体素质情况，从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育考试科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是 ；（2）图1中∠α的度数是 °，把图2条形统计图补充完整；（3）全市九年级有学生6200名，如果全部参加这次体育科目测试，请估计不及格的人数为 ． 23．如图，线段BC 所在的直线是以AB 为直径的圆的切线，点D 为圆A 上一点，满足BD BC =，且点C ，D 位于直径AB 两侧，连接CD 交圆于点 E ，F 为BD 上一点，连接 EF ，分别交AB ，BD 于点G ，H ，且EF BD =．（1）求证：//EF BC ；（2）若4EH =，2HF =，求BE 的长．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx k =+与双曲线4=y x（x>0）交于点1)（，Aa ．（1）求a ，k 的值；（2）已知直线l 过点(2,0)D 且平行于直线y kx k =+，点P （m ，n ）（m>3）是直线l 上一动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交双曲线4=y x（x>0）于点M 、N ，双曲线在点M 、N 之间的部分与线段PM 、PN 所围成的区域（不含边界）记为W ．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当4m =时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内的整点个数不超过8个，结合图象，求m 的取值范围．25．如图，AB 为一斜坡，其坡角为19.5°，紧挨着斜坡AB 底部A 处有一高楼，一数学活动小组量得斜坡长AB ＝15m ，在坡顶B 处测得楼顶D 处的仰角为45°，其中测量员小刚的身高BC ＝1.7米，求楼高AD ．（参考数据：sin19.5°≈13，tan19.5°≈520，最终结果精确到0.1m ）．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．x≠﹣314．b（a+b）（a﹣b）15．9 216．2π．17．818．x≥2011三、解答题19．（1）作AB的垂直平分线，交边AC于D，如图所示：见解析；（2）∠C＝40°．【解析】【分析】（1）作AB的垂直平分线，交边AC于D即可；（2）依据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．【详解】（1）作AB的垂直平分线，交边AC于D，如图所示：∴点D即为所求；（2）∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠CBD，由（1）可得，DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝35°，∴∠CDB＝70°，∴△BCD中，∠C＝40°．【点睛】本题主要参考了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．20．（1）见解析（2）3（4）16050【解析】【分析】（1）总数乘以第3组频率可得a，总数减去其它分组人数可得b，依据频率＝频数÷总数可得m；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）总户数乘以样本的平均值即可得．【详解】解：（1）a＝80×0.45＝36，b＝80﹣（4+12+36+18+4）＝6，m＝6÷80＝0.075，补全直方图如下：故答案为：36、6、0.075；（2）这组数据的中位数是第40、41个数据的平均数，而这两个数据均落在第3组，所以这80户家庭一年中收到的快递件数的中位数落在第3组；（3）24712123617182262741070 12001200160508080⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=⨯=（件），估计该小区去年一年共收到快递件数大约是16050件．【点睛】本题考查搜集信息的能力（读图、表），分析问题和解决问题的能力．正确解答本题的关键在于准确读图表．21．（1）y＝－32x＋6；（2）①点C的坐标为(t＋3，2t)，②分三种情况进行分类讨论，点B的坐标为（3，0）．点B的坐标为（12＋0）．当t≥0时，不存在BD＝AB的情况．【解析】【分析】（1）当t=4时，B （4，0），设直线AB 的解析式为y=kx+b ．把A （0，6），B （4，0）代入解析式即可求出未知数的值，从而求出其解析式；（2）①根据点A 和点B 的坐标可以求得点M 的坐标，从而可以求得点C 的坐标；②分三种情况进行分类讨论：AD ＝BD,AB ＝AD ，BD≠AB. 【详解】（1）当t ＝4时，B(4，0)． 设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b 将A(0，6)，B(4，0)代入，得：640b k b ＝＋＝⎧⎨⎩解得326k b ⎧⎪⎨⎪⎩＝－＝ ∴直线AB 的解析式为y ＝－32x ＋6． （2）①）∵点A （0，6），点B （t ，0），点M 是线段AB 的中点， ∴点M 的坐标是（2t，3）， 又∵将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90°，得到线段BC ， ∴点C 的坐标为：（t+3，2t ）， 故答案为：（t+3，2t）； ②分三种情况进行分类讨论 （1）AD ＝BD ，则∠BAD ＝∠ABD ． ∵BD ∥y 轴， ∴∠OAB ＝∠ABD ， ∴∠OAB ＝∠BAD ． ∴tan ∠OAB=tan ∠BAD 又∵∠AOB ＝∠ABC=90° ∴OB AO ＝BC AB ＝12，即6t ＝12，∴t ＝3． 此时点B 的坐标为（3，0）． （2）若AB ＝AD方法一 :设直线AC 的解析式为6y kx =+∵点C 的坐标为(t ＋3，2t) ∴(3)62t k t ++=∴12=26t k k -+ ∴12=626t y x k -++ ∴当=x t 时，23626t y t +=+∴23626t BD t +=+由题得=2BD AO∴236=1226t t ++ ∴22436t t -=∴1t 2=12t - 方法二：过点A 作AH ⊥CG 于H ，则CH ＝HG ＝12CG ．∵∠GEB ＝∠AOB ＝90°，∠GBE ＝∠ABO ， ∴△GEB ∽△AOB ．∴GE BE ＝AOBO， ∴GE ＝6t ×3＝18t．又∵HE ＝AO ＝6，CE ＝2t ，GE ＋HE ＝HG ＝12CG ＝12(CE ＋GE)． ∴18t ＋6＝12(2t ＋18t)，整理得t 2－24t －36＝0．解得t 1＝12＋t 2＝12－0（不合题意，舍去）．此时点B 的坐标为（12＋0）．（3）当0≤t＜12时，∠ADB 是钝角，△ADB 是钝角三角形，故BD≠AB． 当t≥12时，BD≤CE＜BC ＜AB ． ∴当t≥0时，不存在BD ＝AB 的情况． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-旋转, 解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答,注意分类讨论思想的应用. 22．（1）40；（2）144；（3）310． 【解析】【分析】（1）根据B级的人数除以B级所占的百分比，可得抽测的人数；（2）根据A级的人数除以抽测的人数，可得A级人数所占抽测人数的百分比，根据360°乘以A级人数所占抽测人数的百分比，可得A级的扇形的圆心角，根据有理数的减法，可得C级抽测的人数，然后补出条形统计图；（3）根据D级抽测的人数除以抽测的总人数，可得D级所占抽测人数的百分比，根据九年级的人数乘以D级所占抽测人数的百分比，可得答案．【详解】（1）本次抽样测试的学生人数是14÷35%＝40（人），故答案是：40；（2）∠α＝1640×360＝144°，C级的人数是40﹣16﹣14﹣2＝8（人）．故答案是：144；（3）估计不及格的人数是6200×240＝310（人），故答案是：310．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．23．（1）详见解析；（2【解析】【分析】（1）先求出//BF DC，再利用同位角相等两直线平行进行求证即可（2）连接DF，根据题意先求出112HG FG HF EF HF=-=-=，再利用三角函数求出60BHG∠=︒，再由（1）得出圆的半径为【详解】（1）证明：EF BD=，∴EF BD =∴EF BF BD BF -=-即 BE DF =∴BDE DBF ∠=∠，∴//BF DC ． DF DF = ，∴DBF DEF ∠=∠，∴BDE FED ∠=∠．BD BC =，∴C BDE ∠=∠，∴FED C ∠=∠，∴//EF BC ．（2）解：连接 DF ．AB 为直径，BC 为切线，∴AB BC ⊥，∴90ABC ∠=︒，//EF BC ，∴90BGF ABC ∠=∠=︒，∴AB EF ⊥， ∴12FG EG EF ==， BF BE =， ∴BDF BDE ∠=∠．4EH =，2HF =，∴6EF FH HE =+=，112HG FG HF EF HF =-=-= =BE BE ，∴BFE BDE DBF ∠=∠=∠，∴2BH FH ==．在 Rt BGH ∆中，1cos 2HG BHG BH ∠==∴60BHG ∠=︒，由（1）得30FED BDE ∠=∠=︒，∴30BDF ∠=︒，∴18090DFE BDF BDE DEF ∠=︒-∠-∠-∠=︒，∴DE 为直径．在Rt DEF ∆中，cos30EF DE ==︒∴圆的半径为=BE BE ，30BDE ∠=︒，∴BE 所对的圆心角为60︒，∴BE 的长60=1803π⨯ 【点睛】此题考查平行线的判定与性质，圆周角定理，解题关键在于先判定//BF DC24．（1）4a =，=2k ；（2）① 3，② 3 4.5m <≤.【解析】【分析】（1）将1)（，Aa 代入4=y x可求出a ，将A 点坐标代入y kx k =+可求出k ； （2）①根据题意画出函数图像，可直接写出区域W 内的整点个数；②求出直线l 的表达式为24y x =-，根据图像可得到两种极限情况，求出对应的m 的取值范围即可.【详解】 解：（1）将1)（，Aa 代入4=y x得a=4 将14)（，A代入=4+k k ，得=2k （2）①区域W 内的整点个数是3②∵直线l 是过点(2,0)D 且平行于直线22y x =+∴直线l 的表达式为24y x =-当24=5-x 时，即=4.5x 线段PM 上有整点∴3 4.5m <≤【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及函数图像的交点问题，正确理解整点的定义并画出函数图像，运用数形结合的思想是解题关键.25．楼高AD为21.0米．【解析】【分析】作CF⊥AD于点F，在直角△ABE中求得BE，和AE的长，然后在直角△CDE中利用三角函数求得DE的长，根据AD＝DF+AF＝CF+BC+BE求解．【详解】作CF⊥AD于点F．在Rt△ABE中，∵AB＝15，∴BE＝ABsin19.5°＝15sin19.5°，AE＝ABcos19.5°＝15cos19.5°，在Rt△CDF中，∵CF＝AE，∠DCF＝45°，∴DF＝CF，∴AD＝DF+AF＝CF+BC+BE＝15cos19.5°+1.7+15sin19.5°≈21.0（m）．答：楼高AD为21.0米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，还考查的知识点有三角函数、直角三角形的性质以及勾股定理等．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（ ）A.()12550x x += B.() 12550x x -= C.() 212550x x += D.() 125502x x -=⨯ 2．如图，平行四边形ABCD 的对角线BD ＝6cm ，若将平行四边形ABCD 绕其对称中心O 旋转180°，则点D 在旋转过程中所经过的路径长为（ ）A.3πcmB.6πcmC.πcmD.2πcm3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B ＝60°，OP ⊥AC 交于点P ，OP ＝43，则⊙O 的半径为( )A ．8B ．123C ．83D ．124．如图，//AB CD ，150∠=°，245∠=︒，则CAD ∠的大小是（ ）A ．75︒B ．80︒C ．85︒D ．90︒5．在44⨯的正方形的网格中画出了如图所示的格点ABC △，则tan ABC ∠的值为( )A B ．13 C ．32 D ．236．在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（ ）A ．中位数B ．众数C ．平均数D ．方差7．菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于（ ）A ．3.5B ．4C ．7D ．14 8．已知二次函数2y x bx c =-+，点()11,A y 与点()21,B t y +都在该函数的图象上，且t 是正整数，若满足12y y >的点B 有且只有3个，则b 的取值范围是（ ）A ．45b <≤B ．56b <≤C ．45b ≤<D ．56b ≤<9．如图，边长为4个单位长度的正方形ABCD 的边AB 与等腰直角三角形EFG 的斜边FG 重合，△EFG 以每秒1个单位长度的速度沿BC 向右匀速运动（保持FG ⊥BC ），当点E 运动到CD 边上时△EFG 停止运动，设△EFG 的运动时间为t 秒，△EFG 与正方形ABCD 重叠部分的面积为S ，则S 关于t 的函数大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．10．为选拔一名选手参加全国中学生男子百米比赛，我市四名中学生参加了训练，他们成绩的平均数x 及其方差s 2如表所示：如果从中选拔一名学生去参赛，应派（ ）去．A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11．一个圆锥的主视图是边长为6cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（ ）A ．36 πcm 2B ．24πcm 2C ．18πcm 2D ．12 πcm 212．如图，点A 是反比例函数y=-k x 图象上一点，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，交反比例函数2y x =-的图象于点B ，连接OA 、OB ，若△OAB 的面积为3，则k 的值为( )A ．8B ．﹣4C ．5D ．﹣8二、填空题 13．如图，正方形ABCD ，6AB =，E 、F 为BC 边上两点，1EF =，若135AEC BAF ∠+∠=︒，则线段AE 的长为____．14．有一组单项式依次为﹣x 2，3456,,,3579x x x x --，…，则第n 个单项式为_____．15______．16．已知正方形ABCD 的对角线AC ，则正方形ABCD 的面积为_____．17．若方程x 2＋2x －11＝0的两根分别为m 、n ，则mn （m ＋n ）＝______．18．如图所示，一动点从半径为2的⊙O 上的A 0点出发，沿着射线A 0O 方向运动到⊙O 上的点A 1处，再向左沿着与射线A 1O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 2处；接着又从A 2点出发，沿着射线A 2O 方向运动到⊙O 上的点A 3处，再向左沿着与射线A 3O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 4处；A 4A 0间的距离是_____；…按此规律运动到点A 2019处，则点A 2019与点A 0间的距离是_____．三、解答题19．已知两个函数：y 1＝ax+4，y 2＝a （x ﹣12）（x ﹣4）（a≠0）． （1）求证：y 1的图象经过点M （0，4）；（2）当a ＞0，﹣2≤x≤2时，若y ＝y 2﹣y 1的最大值为4，求a 的值；（3）当a ＞0，x ＜2时，比较函数值y 1与y 2的大小． 20．先化简：22212x x x x-+++(1﹣32x +)÷1x ，然后在0，t an45°，sin30°中选取一个合适的x 的值代入求值．21．已知，如图，数轴上有A、B两点．（1）线段AB的中点表示的数是；（2）线段AB的长度是；（3）若A、B两点问时向右运动，A点速度是每秒3个单位长度，B点速度是每秒2个单位长度，问经过几秒时AB＝2？22．如图，已知五边形ABCDE是正五边形，连结AC、AD.证明：∠ACD=∠ADC．23．如图，直线l：y＝x+1与y轴交于点A，与双曲线kyx（x＞0）交于点B（2，a）．（1）求a，k的值．（2）点P是直线l上方的双曲线上一点，过点P作平行于y轴的直线，交直线l于点C，过点A作平行于x轴的直线，交直线PC于点D，设点P的横坐标为m．①若m＝32，试判断线段CP与CD的数量关系，并说明理由；②若CP＞CD，请结合函数图象，直接写出m的取值范围．24．如图已知抛物线y＝﹣x2+（1﹣m）x﹣m2+12交x轴于点A，交y轴于点B（0，3），顶点C位于第二象限，连接AB，AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使得△PAB的面积等于△ABC的面积？如果存在，求出点P的坐标．（3）将△ABC沿x轴向右移动t个单位长度（0＜t＜1）时，平移后△ABC和△ABO重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系．25．已知：a 、b 、c 满足2(|0a c -=求：（1）a 、b 、c 的值；（2）试问以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．14．n 1x (1)2n 1n+-- 15．216．117．2218．．三、解答题19．（1）证明见解析；（2）817a =;(3)见解析. 【解析】【分析】（1）只需要把M 的坐标带入到1y 即可 （2）把1y ,2y 代入到等式化简取y 最大值时，即可解答 （3）由（2）可知当a ＞0，x ＜2时，随x 的增大而减小，然后再根二次函数的增减性可解此题【详解】解：（1）证明：当x ＝0时，y 1＝0+4＝4，∴点M （0，4）在y 1的图象上，即y 1的图象经过点M （0，4）；（2）∵y 1＝ax+4，y 2＝a （x ﹣12 ）（x ﹣4）（a≠0）． ∴y ＝y 2﹣y 1＝a （x ﹣12 ）（x ﹣4）﹣（ax+4）， 即y ＝211242ax ax a -+- ， ∵a ＞0，对称轴为x ＝114＞2， ∴当﹣2≤x≤2时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝﹣2时，y 取最大值为4a+11a+2a ﹣4＝17a ﹣4，∵y ＝y 2﹣y 1的最大值为4，∴17a ﹣4＝4，解得，a ＝817； （3）由（2）知y ＝y 2﹣y 1＝211242ax ax a -+-， 当a ＞0，x ＜2时，随x 的增大而减小，当x ＝2时，y ＝y 2﹣y 1＝4a ﹣11a+2a ﹣4＝﹣5﹣4＜0，又当y ＝0时，211242ax ax a -+-＝0，即2ax 2﹣11ax+4a ﹣8＝0，x ， ∵△＝121a 2﹣32a 2+64a ＝89a 2+64a ＞0，∴1124a a， 根据二次函数的增减性可得，当x >2时，y 2﹣y 1＜0，即y 2＜y 1；当x ＝1124a a-时，y 2﹣y 1＝0，即y 2＝y 1；当x ＜1124a a-时，y 2﹣y 1＞0，即y 2＞y 1． 【点睛】此题主要考察函数解析式的求解及常用方法，需要把已知的点，带入到函数解析式里面进行求解20．321(2)x x x x -++；x=tan45°时，原式=0.【解析】【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【详解】解：原式＝221(2)x xx x-+++12xx-+÷1x＝221(2)x xx x-+++2(1)(2)x xx x-+＝321 (2)x xx x-++，由分式有意义的条件可知：x不能取0，当x＝tan45°，∴x＝1，∴原式＝121 13 -+⨯＝0．【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．21．（1）12（2）5（3）经过3秒或7秒时，线段AB的长度为2【解析】【分析】（1）线段AB的中点对应的数为两端点对应的数的和的一半；（2）线段AB的长度是两端点对应的数的差的绝对值；（3）两个不同动点相距2个单位长度，两种情况：一是相遇前相距2单位长度，二是相遇后相距2个单位长度，最后根据路，速度和时间的关系建立等量关系．【详解】如图所示：（1）∵有A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣2，3∴线段AB的中点表示的数是231 22 -+=；故答案为：12；（2）线段AB的长度是|﹣2﹣3|＝|﹣5|＝5，故答案为：5；（3）设经过x秒后，线段AB的长度为2，依题意得：①A点还没有追上B点某一时刻相距2个单位长度时，5+2x＝3x+2，解得：x ＝3，；②A 点追上B 点后某一时刻相距2个单位长度时，3x ＝2x+5+2，解得：x ＝7；综合所述经过3秒或7秒时，线段AB 的长度为2．【点睛】本题考查了数轴上的点与实数的对应关系，两点之间的距离与绝对值的几何意义和一元一次方程的应用；易错点数轴上速度不同两个动点相遇前后两种不同情况相距2个单位长度．22．详见解析【解析】【分析】根据正五边形的性质，可证∠B=∠E ，AB=AE=BC=DE ，再利用SAS 证明△ABC ≌△AED ，利用全等三角形的性质，就可证得AC=AD ，然后根据等边对等角，可证得结论.【详解】解：∵正五边形ABCDE∴∠B=∠E ，AB=AE=BC=DE在△ABC 和△AED 中AB AE B E BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△AED （SAS ）∴AC=AD∴∠ACD=∠ADC【点睛】考核知识点：全等三角形的判定与性质，正多边形的定义.23．（1）a ＝3，k ＝6；（2）①CP ＝CD ，见解析； ②302m <<. 【解析】【分析】(1)把点B(2，a)代入y ＝x+1求得a 的值，然后再根据待定系数法即可求得k ； (2)①把x ＝32分别代入反比例函数的解析式和一次函数的解析式求得P 、C 的坐标，根据一次函数的解析式求得D 点的坐标，从而求得PC ＝CD ＝32； ②由①的结论结合图象即可求得．【详解】(1)∵直线l ：y ＝x+1经过点B(2，a)，∴a ＝2+1＝3，∴B(2，3)，∵点B(2，3)在双曲线k y x=(x ＞0)上， ∴k ＝2×3＝6； (2)①∵点P 的横坐标为32，把x ＝32代入y ＝6x 得，y ＝632＝4，代入y ＝x+1得，y ＝32+1＝52， ∴P(32，4)，C(32，52)， ∵直线l ：y ＝x+1与y 轴交于点A ，∴A(0，1)，∴D(32，1)， ∴CP ＝4﹣52＝32，CD ＝52﹣1＝32， ∴CP ＝CD ； ②由图象结合①的结论可知，若CP ＞CD ，m 的取值范围为0＜m ＜32． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．24．（1）y ＝﹣x 2﹣2x+3；（2）点P 的坐标为（﹣1，0）或（﹣5，0）；（3）233012()S t t k =-+<< 【解析】【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出m 的值，结合抛物线的顶点在第二象限可得出m ＞1，进而可确定m 的值，再将其代入抛物线解析式中即可得出结论；（2）过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为点D ，利用二次函数图象上点的坐标特征及配方法，可求出点A ，C 的坐标，利用分割图形求面积法可求出△ABC 的面积，再由三角形的面积公式结合S △PAB ＝S △ABC 可求出AP 的长，结合点A 的坐标，即可求出点P 的坐标；（3）设△ABC 平移后得到△A′B′C′，A′B′与y 轴交于点M ，A′C′交AB 于点N ，根据点的坐标，利用待定系数法可求出线段AB ，AC 所在直线的解析式，结合平移的性质可得出线段A′B′，A′C′所在直线的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M ，N 的坐标，由三角形、梯形的面积公式结合S ＝S △AOB ﹣S △AA′N ﹣S △AA′M ，即可得出S 关于t 的函数关系式．【详解】（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+（1﹣m ）x ﹣m 2+12交y 轴于点B （0，3），∴﹣m 2+12＝3，∴m ＝±3．又∵抛物线的顶点C 位于第二象限，∴﹣1-01m -＜ ， ∴m ＞1，∴m ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x+3．（2）过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为点D ，如图1所示．当y ＝0时，﹣x 2﹣2x+3＝0，解得：x 1＝﹣3，x 2＝1，∴点A 的坐标为（﹣3，0）．∵y ＝﹣x 2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴点C 的坐标为（﹣1，4），点D 的坐标为（﹣1，0），∴S △ABC ＝S △ACD +S 梯形CDOB ﹣S △AOB ， ＝12AD•CD+12（OB+CD ）•OD﹣12OA•OB， ＝12×2×4+12×（3+4）×1﹣12×3×3， ＝3．∵S △PAB ＝S △ABC ， ∴12AP •OB＝3， ∴AP ＝2，∴点P 的坐标为（﹣1，0）或（﹣5，0）．（3）设△ABC 平移后得到△A′B′C′，A′B′与y 轴交于点M ，A′C′交AB 于点N ，如图2所示． 设线段AB 所在直线的解析式为y ＝kx+b （k≠0），将A （﹣3，0），B （0，3）代入y ＝kx+b ，得：303k b b -+=⎧⎨=⎩ ，解得：13k b =⎧⎨=⎩， ∴线段AB 所在直线的解析式为y ＝x+3．同理，可得出线段AC 所在直线的解析式为y ＝2x+6．∵将△ABC 沿x 轴向右移动t 个单位长度（0＜t ＜1）得到△A′B′C′，∴点A′的坐标为（t ﹣3，0），线段A′B′所在直线的解析式为y ＝x+3﹣t （0＜t ＜1），线段A′C′所在直线的解析式为y ＝2x+6﹣2t （0＜t ＜1）．当x ＝0时，y ＝x+3﹣t ＝3﹣t ，∴点M 的坐标为（0，3﹣t ）．将y ＝x+3代入y ＝2x+6﹣2t ，整理，得：x+3﹣2t ＝0，解得：x ＝2t ﹣3，∴点N 的坐标为（2t ﹣3，2t ），∴S ＝S △AOB ﹣S △AA′N ﹣S △AA′M ， ＝12OA•OB﹣12AA′•y A′﹣12OA′•OM，＝12×3×3﹣12t•2t﹣12（3﹣t）•（3﹣t），＝﹣32t2+3t．∴S与t之间的函数关系式为S＝﹣32t2+3t（0＜t＜1）．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积、梯形的面积、待定系数法求一次函数解析式、平移的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，求出m的值；（2）利于三角形的面积公式结合S△PAB＝S△ABC，求出AP 的长；（3）利用分割图象求面积法，找出S关于t的函数关系式．25．（1），b=5，；（2）能，+5．【解析】【分析】（1）根据非负数的性质列式求解即可；（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边进行验证即可．【详解】解：（1）根据题意得，=0，b-5=0，=0，解得，b=5，；（2）能．∵＞5，∴能组成三角形，三角形的周长+5．【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，三角形的三边关系．。
2019河北中考数学《2.2一元二次方程及应用》教材知识梳理
第二节 一元二次方程及应用解一元二次方程(2次)1．(2019河北8题3分)用配方法解方程x 2＋4x ＋1＝0，配方后的方程是( A )A ．(x ＋2)2＝3B ．(x －2)2＝3C ．(x －2)2＝5D ．(x ＋2)2＝52．(2019河北21题10分)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac>0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为：x 2＋b a x ＝－c a ，第一步x 2＋b a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝－c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2，第二步⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2，第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 4a(b 2－4ac>0)，第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.第五步(1)嘉淇的解法从第__四__步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac>0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式为__x ＝－b±b 2－4ac2a __．(2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0. 解：x 1＝6，x 2＝－4.一元二次方程根的判别式(2次)3．(2019河北14题2分)a ，b ，c 为常数，且(a －c)2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是( B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．有一根为04．(2019河北12题2分)若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是( B ) A ．a<1 B ．a>1 C ．a ≤1 D ．a ≥15．(2019河北唐山十三中三模)已知关于x 的方程2x 2－mx －6＝0的一个根是2，则m ＝__1__，另一个根为__－32__．6．(2019河北石家庄二十八中一模)若一元二次方程x 2－x －1＝0的两根分别为x 1，x 2，则1x 1＋1x 2＝__－1__．7．(2019石家庄二十八中一模)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a★b＝a 2－3a ＋b ，如3★5＝32－3×3＋5，若x★2＝6，则实数x 的值是( B )A ．－4或－1B ．4或－1C ．4或－2D ．－4或28．(2019河北保定十三中二模)关于x 的方程ax 2－(3a ＋1)x ＋2(a ＋1)＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且有x 1－x 1x 2＋x 2＝1－a ，则a 的值是( B )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．29．(2019邯郸25中模拟)某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为( D )A ．48(1－x)2＝36B ．48(1＋x)2＝36C ．36(1－x)2＝48D ．36(1＋x)2＝4810．(2019石家庄十八县区重点中学一模)为落实“两免一补”政策，某市2019年投入教育经费2 500万元，预计2019年要投入教育经费3 600万元．已知2019年至2019年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2019年该市要投入的教育经费为__3__000__万元．11．(2019原创)对于实数a ，b ，定义新运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b），ab －b 2（a<b ），例如：4*2，因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8.(1)求(－5)*(－3)的值；(2)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，求x 1*x 2的值．解：(1)∵－5<－3，∴(－5)*(－3)＝(－5)×(－3)－(－3)2＝6；(2)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2或3；①2*3＝2×3－9＝－3；②3*2＝32－2×3＝3.,中考考点清单) 一元二次方程的概念1．只含有__1__个未知数，未知数的最高次数是__2__，像这样的__整式__方程叫一元二次方程．其一般形式是__ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)__．【易错警示】判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．一元二次方程的解法2. 直接开 平方法这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x ＋m)2＝n(n>0)的方程．配方法 配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的①__完全平方__式，右边是一个非负常数. 续表公式法求根公式为②__x ＝－b±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)__，适用于所有的一元二次方程．因式分解法因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为③__0__；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.【温馨提示】关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的解法：(1)当b ＝0，c ≠0时，x 2＝－c a，考虑用直接开平方法解；(2)当c ＝0，b ≠0时，用因式分解法解；(3)当a ＝1，b 为偶数时，用配方法解简便．一元二次方程根的判别式3．根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的情况可由__b 2－4ac__来判定，我们将__b 2－4ac__称为根的判别式．4．判别式与根的关系：(1)当b 2－4ac>0⇔方程有__两个不相等__的实数根；(2)当b 2－4ac<0⇔方程没有实数根；(3)当b 2－4ac ＝0⇔方程有__两个相等__的实数根．【易错提示】(1)一元二次方程有实数根的前提是b 2－4ac≥0.(2)当a 、c 异号时Δ>0.一元二次方程的应用5．列一元二次方程解应用题的步骤：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤检验；⑥做结论． 6．一元二次方程应用问题常见的等量关系：(1)增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；(2)利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；(3)利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用，利润率＝利润÷进货价．,中考重难点突破)一元二次方程的解法【例1】(2019保定十七中二月调研)解下列方程：(1)(x －2)2＝12；(2)x 2－4x ＋1＝0；(3)x 2－3x ＋1＝0；(4)x 2－3x －4＝0.【解析】(1)可以用直接开平方法解；(2)因为b ＝－4是偶数，可以用配方法；(3)因为b ＝－3是奇数，配方法解较复杂，可用公式法；(4)直接因式分解(十字相乘法)．【学生解答】(1)直接开平方，得x －2＝±22，即x 1＝2＋22，x 2＝2－22；(2)配方，得(x －2)2＝3，直接开平方，得x －2＝±3，即x 1＝2＋3，x 2＝2－3；(3)∵a＝1，b ＝－3，c ＝1，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×1＝5>0，∴x ＝－（－3）±52×1，即x 1＝3＋52，x 2＝3－52； (4)分解因式，得(x －4)(x ＋1)＝0.即x 1＝4，x 2＝－1.1．(2019河北中考)若n(n≠0)是关于x 的方程x 2＋mx ＋2n ＝0的根，则m ＋n 的值为( A ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．22．(2019唐山路北一模)用配方法解一元二次方程x 2＋4x －5＝0，此方程可变形为( A )A ．(x ＋2)2＝9B ．(x －2)2＝9C ．(x ＋2)2＝1D ．(x －2)2＝1 3．用公式法解方程：(1)(2019广东中考)x 2－3x ＋2＝0； 解：x 1＝1，x 2＝2；(2)(2019兰州中考)解方程：x 2－1＝2(x ＋1)． 解：x 1＝－1，x 2＝3.一元二次方程根与系数关系和判别式【例2】(2019唐山龙泉中学模拟)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2－1＝0. (1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足(x 1－x 2)2＝16－x 1x 2，求实数m 的值．【学生解答】(1)由题意有Δ＝[2(m ＋1)]2－4(m 2－1)≥0，整理得8m ＋8≥0，解得m≥－1，∴实数m 的取值范围是m≥－1；(2)由两根关系，得x 1＋x 2＝－2(m ＋1)，x 1·x 2＝m 2－1，(x 1－x 2)2＝16－x 1x 2，(x 1＋x 2)2－3x 1x 2－16＝0，∴[－2(m ＋1)]2－3(m 2－1)－16＝0，∴m 2＋8m －9＝0，解得m ＝－9或m ＝1，∵m ≥－1，∴m ＝1.【点拨】通过根与系数关系求得的m 值必须满足Δ≥0.4．(2019唐山九中一模)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是( C )A ．－2B ．2C ．3D ．15．(2019唐山丰润区二模)方程x 2－x ＋3＝0根的情况是( D ) A ．只有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根6．(2019保定博野模拟)已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( C )A ．a>2B ．a<2C ．a<2且a≠1D ．a<－2一元二次方程的应用【例3】(2019随州中考)楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．(1)设当月该型号汽车的销售量为x 辆(x≤30，且x 为正整数)，实际进价为y 万元/辆，求y 与x 的函数关系式；(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)【解析】(1)根据分段函数可以表示出当0<x≤5，5<x ≤30时销售数量与进价的关系，于是就可以得出结论；(2)由销售利润＝销售价－进价，由(1)的解析式建立方程就可以求出结论．【学生解答】(1)由题意，得 当0<x≤5时，y ＝30.当5<x≤30时，y ＝30－0.1(x －5)＝－0.1x ＋30.5.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30（0<x≤5，x 为整数），－0.1x ＋30.5（5<x≤30，x 为整数）；(2)当0<x≤5时，(32－30)×5＝10<25，不符合题意． 当5<x≤30时，[32－(－0.1x ＋30.5)]x ＝25， 解得x 1＝－25(舍去)，x 2＝10. 答：该月需售出10辆汽车．7．(2019原创)为了纪念抗日战争及世界反法西斯战争胜利70周年，2019年9月3日，我国在首都北京举行了声势浩大的“九三阅兵”活动仪式．在仪式上，习主席郑重向全世界承诺：在两个五年计划内共裁军30万．假设第一个五年计划初裁军8万，第一个五年计划末及第二个五年计划末裁军人数按相同的增长率增长，求裁军人数的增长率．(提示：3≈1.73)解：设增长率为x.则8＋8(1＋x)＋8(1＋x)2＝30，1＋(1＋x)＋(x ＋1)2＝3.75，(x ＋1)2＋(x ＋1)＝2.75，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＝3，x ＋32＝±3≈±1.73， ∴x 1≈0.23，x 2≈－3.23(舍去)． 答：裁军人数的增长率约为23%.8．(2019唐山九中一模)唐山市某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，若商店准备获利2 000元，则应进货多少个？定价为多少元？解：设每个商品的定价是x 元，由题意，得(x －40)[180－10(x －52)]＝2 000，整理，得x 2－110x ＋3 000＝0，解得x 1＝50，x 2＝60.当x ＝50时，进货180－10×(50－52)＝200(个)，不符合题意，舍去；当x ＝60时，进货180－10×(60－52)＝100(个)，符合题意．答：该商品每个定价为60元，进货100个．中考备考方略)1．(2019攀枝花中考)若x＝－2是关于x的一元二次方程x2＋32ax－a2＝0的一个根，则a的值为( C )A．－1或4 B．－1或－4C．1或－4 D．1或42．(2019新疆中考)一元二次方程x2－6x－5＝0配方后可变形为( A )A．(x－3)2＝14 B．(x－3)2＝4C．(x＋3)2＝14 D．(x＋3)2＝43．(2019邵阳中考)一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是( B )A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．(2019河北唐山友谊中学一模)一元二次方程x2－2x－1＝0的解是( C )A．x1＝x2＝1B．x1＝1＋2，x2＝－1－ 2C．x1＝1＋2，x2＝1－ 2D．x1＝－1＋2，x2＝－1－ 25．(2019泸州中考)若关于x的一元二次方程x2＋2(k－1)x＋k2－1＝0有实数根，则k的取值范围是( D )A．k≥1 B．k>1 C．k<1 D．k≤16．(2019雅安中考)已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一个实数根及m的值分别为( D )A．4，－2 B．－4，－2C．4，2 D．－4，27．(2019沧州一模)已知关于x的方程14x2－(m－2)x＋m2＝0有两个相等的实数根，则方程的根为( B )A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝－2C．x1＝x2＝－1 D．x1＝x2＝28．(2019廊坊二模)关于x的方程x2－4x＋m＝0有唯一实数根，(1m＋2－1m－2)÷mm2－4的值为( B )A．1 B．－1 C．2 D．－29．(2019烟台中考)若x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根，则x21－x1＋x2的值为( D ) A．－1 B．0 C．2 D．310．(2019衡阳中考)随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2019年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2019年底该市汽车拥有量为10万辆，设2019年底至2019年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得( A )A．10(1＋x)2＝16.9 B．10(1＋2x)＝16.9C．10(1－x)2＝16.9 D．(1－2x)＝16.911．(2019台州中考)有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( A )A.12x(x－1)＝45 B.12x(x＋1)＝45C ．x(x －1)＝45D ．x(x ＋1)＝45 12．解下列方程：(1)(2019遂宁中考)x 2＋2x －3＝0； 解：x 1＝1，x 2＝－3；(2)(2019自贡中考)3x(x －2)＝2(2－x)．解：x 1＝－23，x 2＝2.13．(2019唐山南路二模)先化简，再求代数式(1m ＋2－1m －2)÷mm 2－4的值，其中m 为非负整数，且m满足一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有实数根．解：因为一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有实数根，所以(－3)2－4m≥0，解得m≤94，因为m 为非负整数，所以m 可取1，2，但是当m ＝2时分式的分母为0，所以m ＝1.(1m ＋2－1m －2)÷m m 2－4＝(m －2m 2－4－m ＋2m 2－4)÷m m 2－4＝－4m 2－4÷m m 2－4＝－4m 2－4·m 2－4m ＝－4m ，当m ＝1时，原式＝－4m＝－4.14．(2019原创)利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m 长的篱笆围成一个面积为200 m 2的矩形场地，求矩形的长和宽．解：设垂直于墙的一边长为x m ，得：x(58－2x)＝200，解得x 1＝25，x 2＝4，∴另一边为8 m 或50 m.答：当矩形长为25 m 时，宽为8 m ，当矩形长为50 m 时，宽为4 m.15．(2019河北中考说明)关于x 的方程(a －1)x 2＋a ＋1x ＋1＝0是一元二次方程，则a 的取值范围是( B )A ．a ≥－1B ．a ≥－1且a≠1C ．a ≥1D ．a>116．(2019烟台中考)等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋n －1＝0的两根，则n 的值为( B )A ．9B ．10C ．9或10D ．8或1017．(2019聊城中考)如果关于x 的一元二次方程kx 2－3x －1＝0有两个不相等的实根，那么k 的取值范围是__k>－94且k≠0__．18．(2019巴中中考)定义新运算：对于任意实数m 、n 都有m☆n＝m 2n ＋n ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a 的值小于0，请判断方程：2x 2－bx ＋a ＝0的根的情况．解：∵2☆a 的值小于0，∴22a ＋a ＝5a<0，解得a<0.在方程2x 2－bx ＋a ＝0中，Δ＝(－b)2－8a≥－8a>0，∴方程2x 2－b x ＋a ＝0有两个不相等的实数根．19．(2019临夏中考)已知关于x 的方程x 2＋mx ＋m －2＝0. (1)若此方程的一个根为1，求m 的值；(2)求证：不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．解：(1)根据题意，将x ＝1代入方程x 2＋mx ＋m －2＝0，得：1＋m ＋m －2＝0，解得m ＝12；(2)∵Δ＝m 2－4×1×(m－2)＝m 2－4m ＋8＝(m －2)2＋4>0，∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．20．(2019孝感中考)已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求m 的取值范围；(2)当x 21＋x 22＝6x 1x 2时，求m 的值．解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)≥0，整理得：4－4m ＋4≥0，解得m≤2；(2)∵x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m －1，x 21＋x 22＝6x 1x 2，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝6x 1·x 2，即4＝8(m －1)，解得m ＝32.∵m ＝32<2，∴符合条件的m 的值为32.21．(2019原创)如图，要利用一面墙(墙长为25 m)建羊圈，用100 m 的围栏围成总面积为400 m 2的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米．解：设AB 的长度为x m ，则BC 的长度为(100－4x)m.根据题意得(100－4x)x ＝400，解得x 1＝20，x 2＝5.则100－4x ＝20或100－4x ＝80.∵80>25，∴x 2＝5舍去．即AB ＝20 m ，BC ＝20 m. 答：羊圈的边长AB ，BC 分别是20 m ，20 m.22．(2019永州中考)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3 210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意得：400×(1－x%)2＝324， 解得x ＝10，或x ＝190(舍去)．答：该种商品每次降价的百分率为10%.(2)设第一次降价后售出该种商品m 件，则第二次降价后售出该种商品(100－m)件， 第一次降价后的单件利润为：400×(1－10%)－300＝60(元/件)； 第二次降价后的单件利润为：324－300＝24(元/件)． 依题意得：60m ＋24×(100－m)＝36m ＋2 400≥3 210， 解得m≥22.5.∴m≥23.答：为使两次降价销售的总利润不少于3 210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．把多项式x 2+ax+b 分解因式，得(x+1)(x-3)，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a=2，b=3 B ．a=-2，b=-3 C ．a=-2，b=3D ．a=2，b=-32．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则图中阴影部分的面积是（ ）A.224π--B.224π-+C.142π+D.142π-3．若抛物线y ＝x 2﹣6x+m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞9B ．m≥9C ．m ＜﹣9D ．m≤﹣94．已知，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，延长AC 到F ，使得CF ＝AC ，连接EF ．若EF ＝4，则AB 的长为（）A.8B.C.4D.5．某超市四月份赢利a 万元，计划五、六月份平均每月的增长率为x ，那么该超市第二季度共赢利（ ） A ．a （1+x ）万元B ．a （1+x ）2万元C ．a （1+x ）+a （1+x ）2万元D ．a+a （1+x ）+a （1+x ）2万元6．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，则下列4个结论：①abc ＜0；②2a+b ＝0；③4a+2b+c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.47．下列图形中，对称轴的数量小于3的是A．菱形B．正方形C．正五边形D．等边三角形8．一张矩形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是（）A．平行四边形B．矩形C．正方形D．梯形9．下列运算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．2（2a﹣b）＝4a﹣bC．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（a+b）2＝a2+b210．如图，在半径为6的⊙O中，正方形AGDH与正六边形ABCDEF都内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A．27﹣93B．54﹣183C．183D．5411．数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点A（3，2)，B（-1，-6)，由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：①该函数表达式为y=2x-4；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大；③点P（2a，4a-4)在该函数图象上；④直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中错误的结论是（）A．①B．②C．③D．④12．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E在边AB上，点F在边CD上，点G，H在对角线AC 上，若四边形GEHF是菱形，则AE的长是（）A.5B.254C.33D.52二、填空题 13．如图，在O 中，»»AB AC =,若40AOB ∠=︒，点D 在O 上，连结CD 、AD ，则ADC ∠=_____︒.14．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，把△ABC 沿AC 翻折，点B 落在点D 处，连接BD ，若∠CBD ＝16°，则∠BAC ＝_____°．15．已知2m －3n=－4，则代数式m(n －4)－n(m －6)的值为 ． 16．计算：（12a 3﹣6a 2）÷（﹣2a ）=_______．17．袋子中有20个除颜色外完全相同的小球．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀．重复上述过程150次后，共摸到红球30次，由此可以估计口袋中的红球个数是__．18．分解因式：2x y y -=_______________； 三、解答题 19．解下列方程：2213224x x x -=+-- 20．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，E 是AD 边上的一个动点，将四边形BCDE 沿直线BE 折叠，得到四边形BC′D′E，连接AC′，AD′. （1）若直线DA 交BC′于点F ，求证：EF=BF ； （2）当AE=433时，求证：△AC′D′是等腰三角形； （3）在点E 的运动过程中，求△AC′D′面积的最小值．21．2311 25123x xxx+≥+⎧⎪+⎨-<-⎪⎩22．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若cos∠BAD＝35，BE＝12，求OE的长；（3）求证：BC2＝2CD•OE．23．为喜迎“五一” 佳节，某食品公司推出一种新礼盒，每盒成本10元，在“五一” 节前进行销售后发现，该礼盒的日销售量y（盒）与销售价x（元/盒）的关系如下表:销售价x(元/盒) ∙∙∙20 30 40 50 ∙∙∙日销售量y(盒) ∙∙∙50 40 30 20 ∙∙∙同时，销售过程中每日的其他开支（不含进价）总计100元.(1)以x作为点的横坐标，y作为点的纵坐标，把表中数据，在图中的直角坐标系中描出相应点，观察顺次连结各点所得图形，判断y与x的函数关系，并求出y（盒）与x（元/盒）的函数解析式:(2)请计算销售价格为多少元/盒时，该公司销售这种礼盒的日销售利润w（元）最大，最大日销售利润是多少？(3)“五一” 当天，销售价格（元/盒）比（2）的销售价格降低m元（m＞0），日销售额比（2）中的最大日销售利润多200元，求m的值.24．如图，已知⊙O 是以BC 为直径的△ABC 的外接圆，OP ∥AC ，且与BC 的垂线交于点P ，OP 交AB 于点D ，BC 、PA 的延长线交于点E ．（1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）若sinE ＝35，PA ＝6，求AC 的长． 25．如图，在ABCD 中，连接AC ，ACB ∠的平分线CE 交AB 于点E ，DAC ∠的平分线AF 交CD 于点F .（1）求证：BE DF =；（2）如图，连接BD 交AC 于点O ，若2BC OC =，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与ABC ∆面积相等的三角形或四边形.（不包含ABC ∆）【参考答案】***一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B B A A D D A D C BD B二、填空题13．2014．3715．16．﹣6a 2+3a17．418．(1)(1)y x x +-三、解答题19．9【解析】【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：2x-4-x-2=3，解得：x=9，经检验x=9是分式方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4.【解析】【分析】（1）根据折叠的性质和平行线的性质得：∠FBE ＝∠FEB ，则EF ＝BF ；（2）如图1，先根据勾股定理计算BE 的长，根据直角边和斜边的关系可得：∠ABE ＝30°，则△BEF 是等边三角形，最后根据平行线分线段成比例定理，由FC'∥AH ∥ED'，得C'H ＝D'H ，从而得结论；（3）如图1，根据三角形面积公式可知：当C'D'最小时，△AC′D′面积最小，如图2，当C'、A 、B 三点共线时，△AC′D′面积最小，计算AC'＝2，根据三角形面积公式可得结论．【详解】解：（1）证明：如图1，由折叠得：∠FBE ＝∠CBE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠FEB ＝∠CBE ，∴∠FBE ＝∠FEB ，∴EF＝BF；（2）在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝433，∴BE＝224383433⎛⎫+=⎪⎪⎝⎭，∴∠ABE＝30°，∴∠AEB＝60°，由（1）知：EF＝BF，∴△BEF是等边三角形，∵AB⊥EF，∴AE＝AF，过A作AH⊥C'D'，∵FC'⊥C'D'，ED'⊥C'D'，∴FC'∥AH∥ED'，∴C'H＝D'H，∵AH⊥C'D'，∴AC'＝AD'，∴△AC′D′是等腰三角形；（3）如图1，S△C'D'A＝12AH•C'D'＝12×4C′D′＝2C'D'，当C'D'最小时，△AC′D′面积最小，如图2，当C'、A、B三点共线时，△AC′D′面积最小，由折叠得：BC＝BC'＝6，∠C＝∠C'＝90°，∵AB＝4，∴AC'＝6−4＝2，△AC′D′面积的最小值＝12•AC′•C′D′＝12×2×4＝4．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质、矩形的性质、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定及性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用折叠得：∠FBE＝∠CBE；（2）得△BEF是等边三角形；（3）确定当C'、A 、B 三点共线时，△AC′D′面积最小．本题属于中档题，难度不大，解决该类型题目时，根据图形的翻折找出相等的边角关系是关键．21．原不等式组无解.【解析】【分析】分别解两个不等式后，利用“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”确定不等式组的解集即可.【详解】231125123x x x x +≥+⎧⎪⎨+-<-⎪⎩①② 解不等式①得，x≥8；解不等式②得，x<45； 所以，原不等式组无解.【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组一般步骤及方法是关键.22．（1）DE 与⊙O 相切（2）15（3）证明见解析【解析】【分析】（1）DE 与⊙O 相切，连接 OD ，BD ．证明DE ⊥OD 即可证明DE 为⊙O 的切线；（2）由cos ∠BAD=35得到sin ∠BAC=45BC CD ＝，又BE=12，BC=24，所以AC=30，又AC=2OE ，所以OE=12AC=12×30=15； （3）OE 是△ABC 的中位线，所以AC=2OE ，证明△ABC ∽△BDC ，则C BC AC CD B ＝即BC 2=AC•CD=2CD•OE． 【详解】（1）DE 与相切理由如下：连接 OD,BD.∵AB 为直径，∴∠ADB=90°，在Rt △BDC 中，E 为斜边BC 的中点，∴CE=DE=BE= 12BC ， ∴∠C=∠CDE ，∵OA=OD ，∴∠A=∠ADO ，∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，∴DE ⊥OD ，又OD 为圆的半径，∴DE 为的切线；（2）∵cos ∠BAD=35 ∴sin ∠BAC=45BC CD ＝ 又∵BE=12，E 是BC 的中点，即BC=24，∴AC=30，又∵AC=2OE ，∴OE=12AC=12×30=15； （3）证明：∵E 是BC 的中点，O 点是AB 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴AC=2OE ，∵∠C=∠C ，∠ABC=∠BDC ，∴△ABC ∽△BDC ， ∴CBC AC CD B ＝ 即BC 2=AC•CD．∴BC 2=2CD•OE【点睛】本题考查了圆的综合知识，熟练掌握圆的相关性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．23．（1）y=-x+70.（2）当销售价格为40元/盒时，日销售利润w(元)最大，最大日销售利润是800元.（3）m 的值为20.【解析】【分析】（1）画出图形可知该礼盒的日销售量y （盒）与销售价x （元/盒）的关系是一次函数的关系，然后用待定系数法求解即可；（2）列出关于销售利润w （元）的函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可；（3）根据日销售额比（2）中的最大日销售利润多200元列方程求解即可.【详解】(1)表中数据，在图中的直角坐标系中描出相应点，并连结各点所得图形为：观察图象可知，y 是关于x 的一次函数，设y=kx+b ，代入(20, 50)，(30, 40)，得20503040k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得170k b =-⎧⎨=⎩， 故y （盒）与x （元/盒）的函数解析式为：y=-x+70.(2)依题意可得，w=(x-10)(-x+70)-100=-x 2+80x-800=-(x-40)2+800，当x=40时，w 取得最大值800， 所以当销售价格为40元/盒时，日销售利润w(元)最大，最大日销售利润是800元.(3)依题意，可得(40-m)[-(40-m)+70]=800+200，整理，得m 2-10m-200=0，解得m=20或m=-10(舍).所以m 的值为20.【点睛】本题考查了描点法画函数图像，待定系数法求函数解析式，二次函数的应用及一元二次方程的应用.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，正确列出函数关系式是解（2）的关键，根据题意列出一元二次方程是解（3）的关键.24．（1）见解析；（2）655AC =. 【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质得到∠ACO=∠POB ，∠CAO=∠POA ，加上∠ACO=∠CAO ，则∠POA=∠POB ，于是可根据“SAS”判断△PAO ≌△PBO ，则∠PAO=∠PBO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到PA 是⊙O 的切线；（2）先由△PAO ≌△PBO 得PB=PA=6，在Rt △PBE 中，利用正弦的定义可计算PE=10，则AE=PE-PA=4，再在Rt △AOE 中，由sinE=35OA OE =，可设OA=3t ，则OE=5t ，由勾股定理得到AE=4t ，则4t=4，解得t=1，所以OA=3；接着在Rt △PBO 中利用勾股定理计算出OP=35，然后证明△EAC ∽△EPO ，再利用相似比可计算出AC ．【详解】（1）证明：连接OA ，如图，∵AC ∥OP ，∴∠ACO ＝∠POB ，∠CAO ＝∠POA ，又∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠CAO ，∴∠POA ＝∠POB ，在△PAO 和△PBO 中，PO PO POA POB 0A 0B =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PAO ≌△PBO （SAS ），∴∠PAO ＝∠PBO ，又∵PB ⊥BC ，∴∠PBO ＝90°，∴∠PAO ＝90°，∴OA ⊥PE ，∴PA 是⊙O 的切线；（2）解：∵△PAO ≌△PBO ，∴PB ＝PA ＝6，在Rt △PBE 中，∵sinE ＝35PB PE = ∴635PE =，解得PE ＝10， ∴AE ＝PE ﹣PA ＝4，在Rt △AOE 中，sinE ＝35OA OE =， 设OA ＝3t ，则OE ＝5t ，∴AE ＝22OE OA -＝4t ，∴4t ＝4，解得t ＝1，∴OA ＝3，在Rt △PBO 中，∵OB ＝3，PB ＝6，∴OP ＝22035B PB +=，∵AC ∥OP ，∴△EAC ∽△EPO ， ∴AC EA PO EP=，即41035AC =， ∴AC ＝655． 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了全等三角形的判定与性质．25．（1）见解析；（2）BCD ∆，ACD ∆，ABD ∆，四边形AECF .【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，得到DAC BCA ∠=∠，AD BC =，D B ∠=∠，再证明DAF BCE ∆≅∆，可得BE DF =；（2）ABC ∆、BCD ∆，ACD ∆，ABD ∆的面积都等于ABCD 的一半，故它们的面积相等。
河北中考数学总复习课件(第7课时一元二次方程)
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第7课时┃ 一元二次方程
探究四 一元二次方程根与系数的关系
命题角度： 1．已知一元二次方程的一个根求另一个根； 2．求一元二次方程的两根之和、两根之积以及与两根有关 的代数式的值．
例 7 [2014·威海] 方程 x2－(m＋6)x＋m2＝0 有两个相等的
实数根，且满足 x1＋x2＝x1·x2，则 m 的值是 A．－2 或 3 B．3 C．－2 D．－3 或 2
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我们，还在路上……
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第7课时┃ 一元二次方程
探究三 一元二次方程根的判别式
命题角度：
1．会用根的判别式判别一元二次方程根的情况； 2．用根的判别式求一元二次方程字母系数的取值范围．
例 5 (1)[2014·唐山市滦南县一模] 下列一元二次方程中
无实数根的方程是
(B )
A．x2＋2x＋1＝0
B．x2＋1＝0
C．x2＝2x－1
D．x2－4x－5＝0
(2)[2014·内江] 若关于 x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2
＝0 有两个不相等实数根，则 k 的取值范围是
(C )
A．k＞12 B．k≥12 C．k＞12且 k≠1 D．k≥12且 k≠1
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第7课时┃ 一元二次方程
次方程 判别式与 (2)b2－4ac＝0⇔方程有__两__个__相__等___的实数
根的判 根的关系 根；(3)b2－4ac<0⇔方程____没__有_____实数根
别式
在使用根的判别式解决问题时，如果二次项
中考数学总复习考点知识专题练习7一元二次方程的解法及应用
中考数学总复习考点知识专题练习7一元二次方程的解法及应用1．一元二次方程x2－8x－2＝0，配方后可变形为()A．(x－4)2＝18 B．(x－4)2＝14C．(x－8)2＝64 D．(x－4)2＝12．一元二次方程x2－4x＋3＝0的解为()A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3C．x1＝1，x2＝－3 D．x1＝－1，x2＝－33．下列一元二次方程中，无实数根的是()A．x2－2x－3＝0 B．x2＋3x＋2＝0C．x2－2x＋1＝0 D．x2＋2x＋3＝04．关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是()A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜45．若m，n是一元二次方程x2＋3x－9＝0的两个根，则m2＋4m＋n的值是()A．4 B．5 C．6 D．126．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为()A．5 B．6 C．7 D．87．关于x的方程2x2＋mx－4＝0的一根为x＝1，则另一根为__________.8．若关于x的一元二次方程x2＋3x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为__________.9．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为______________.10．解方程：(1)x2＋x－1＝0; (2)(x－4)(x－2)＋1＝0.11．2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．(1)求这两个月参观人数的月平均增长率；(2)按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？B12．在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是－3，1.小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，－4，则原来的方程是()A．x2＋2x－3＝0 B．x2＋2x－20＝0C．x2－2x－20＝0 D．x2－2x－3＝013．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2－6x＋n＝0的两个根，则n的值为__________.14.已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x21＋x22＝12，求m的值．15．如图1，有长为30 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃，设花圃的一边AB长为x m.(1)如果要围成面积为63 m2的花圃，问AB的长是多少？(2)能围成面积为72 m2的花圃吗？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．图1C16．函数y ＝kx ＋b 的图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋k －1＝0的根的情况是()图2A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定17．若(x 2＋y 2)2－5(x 2＋y 2)－6＝0，则x 2＋y 2＝__________.18．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？中考数学总复习考点知识专题练习 7 一元二次方程的解法及应用1．A2.B3.D4.D5.C6.B7.x ＝－28.949．x (x ＋12)＝86410．解：(1)这里a＝1，b＝1，c＝－1.∵b2－4ac＝12－4×1×(－1)＝5＞0，∴x＝－1±52×1＝－1±52，即x1＝－1＋52，x2＝－1－52.(2)方程化为x2－6x＋9＝0，(x－3)2＝0.两边开平方，得x－3＝0.∴x1＝x2＝3.11．解：(1)设这两个月参观人数的月平均增长率为x.依题意，得10(1＋x)2＝12.1.解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%.(2)12.1×(1＋10%)＝13.31(万人).答：预计6月份的参观人数是13.31万．12．B13.8或914．解：(1)根据题意，得Δ＝(2m)2－4(m2＋m)≥0.解得m≤0.∴m的取值范围为m≤0.(2)根据题意，得x1＋x2＝－2m，x1x2＝m2＋m.∵x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12，∴(－2m)2－2(m2＋m)＝12.整理，得m2－m－6＝0.解得m1＝－2，m2＝3(舍去)．∴m的值为－2.15．解：(1)由题意，得x(30－3x)＝63.解得x1＝7，x2＝3.当x＝7时，30－3x＝9＜10，符合题意；当x＝3时，30－3x＝21＞10，不符合题意，舍去．∴AB的长为7 m.(2)不能围成面积为72 m2的花圃．理由如下：由题意，得x(30－3x)＝72.整理，得x2－10x＋24＝0.解得x1＝4，x2＝6.当x＝4时，30－3x＝18＞10，不符合题意，舍去；当x＝6时，30－3x＝12＞10，不符合题意，舍去．∴不能围成面积为72 m2的花圃．16．C17.618．解：(1)设每件售价应定为x元，则每件利润为(x－40)元，日销售量为20＋10（60－x）5＝(140－2x)件．依题意，得(x－40)(140－2x)＝(60－40)×20.整理，得x2－110x＋3 000＝0.解得x1＝50，x2＝60.∵商家想尽快销售完该款商品，∴x＝50.答：每件售价应定为50元．(2)设该商品需打a折销售．由题意，得62.5×a10≤50.解得a≤8.答：该商品至少需打8折销售．。
2019-2020年中考数学复习考点精练：第7课时 一元二次方程及其应用
2019-2020年中考数学复习考点精练：第7课时一元二次方程及其应用命题点1 解一元二次方程（近3年39套卷，2015年考查3次，2014年考查3次，2013 年考查3次）1. （2015徐州20（1）题5分）解方程：x2-2x-3=0.2. （2014徐州20（1）题5分）解方程：x2+4x-1=0.3. （2014泰州17（2）题6分）解方程：2x2-4x-1=0.命题点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（近3年39套卷，2015年考查6次，2014年考查6次，2013年考查5次）1. （2014苏州7题3分）下列关于x的方程有实数根的是()A.x2-x+1=0B.x2+x+1=0C. (x-1)(x+2)=0D. (x-1)2+1=02. （2015连云港6题3分）已知关于x的方程x2-2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. k<13B.k>-13C. k<13且k≠0 D. k>-13且k≠03. （2013镇江8题2分）写一个你喜欢的实数m的值_______，使关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根.4. （2015南通12题3分）已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x1+x2的值等于_______.5. （2015南京12题2分）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是，m 的值是________.6. （2015镇江9题2分）关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是________.7. （2015徐州13题3分）已知关于x的方程x2x-k=0有两个相等的实数根，则k的值为_________.8. （2014扬州17题3分）已知a、b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值为.9. （2015泰州18题8分）已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0.（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m的值.命题点3 一元二次方程的应用（近3年39套卷，2015年考查2次，2014年考查1次， 2013年考查3次）1. （2013南京14题2分）已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：__________.第1题图2. （2014南京22题8分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长.已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元.设可变成本平均每年增长的百分率为x.（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为_______万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本．．．．为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.3. （2013连云港23题10分）小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能．．．等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由.4. （2015淮安26题10分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤.为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售. （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售是_______斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【答案】命题点1 解一元二次方程 1. 解：因式分解得：(x +1)(x -3)=0，…………………………………………………………（3分）即x +1=0或x -3=0，…………………………………………………………………………（4分）解得：x 1=-1 ,x 2=3.……………………………………………………………………………（5分）2. 解：原式可化为（x 2+4x +4-4）-1=0，即（x +2）2=5，…………………………………（3分）两边开方得，x +2=4分）解得x 1x 2.…………………………………………………………………（5分）3. 解：这里a =2，b =-4，c =-1，……………………………………………………………（2分）∵b 2-4ac =16+8=24，…………………………………………………………………………（4分）∴x =424b a -±±=.即x 1,x 2=22-.…………………………………………………………………（6分）命题点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1. C 【解析】A .b 2-4ac =(-1)2-4×1×1=-3<0，方程没有实数根，所以A 选项错误；B .b 2-4ac =12-4×1×1=-3<0，方程没有实数根，所以B 选项错误；C .x -1=0或x +2=0，则x 1=1,x 2=-2,所以C 选项正确；D .(x -1)2+1=0，方程左边为正数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D 选项错误.2. A 【解析】∵方程x 2-2x +3k =0有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac >0，即（-2）2-4×3k >0,解得k <13. 3. 0（答案不唯一）【解析】根据题意得：b 2-4ac =1-4m ＞0，解得：m ＜14，则m 可以为0，答案不唯一. 4. -2【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，∵a ＝2，b ＝4，c ＝-3，∴x 1+x 2＝ba＝-2. 5. 3，-4【解析】由题意及一元二次方程根与系数的关系知x 1x 2=3，得另一根为3，再由x 1＋x 2=-m ，得m =-4.6. a >0【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，本题中的判别式b 2-4ac =-4a ，∵方程没有实数根，则-4a <0，∴a >0.7. -3【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由于方程有两个相等的实数根，则)2-4×1×(-k )=0，解得k =-3.8. 23【解析】∵a ，b 是方程x 2-x -3=0的两个根，∴a 2-a -3=0，b 2-b -3=0，即a 2=a +3，b 2=b +3，∴2a 3+b 2+3a 2-11a -b +5=2a （a +3）+b +3+3（a +3）-11a -b +5=2a 2-2a +17=2（a +3）-2a +17=2a +6- 2a +17=23. 9. 解：（1）∵a =1,b =2m ,c =m 2-1,……………………………………………………………（1分）∴b 2-4ac =(2m )2-4×1×(m 2-1)=4＞0，………………………………………………………（3分）∴方程x 2+2mx +m 2-1=0有两个不相等的实数根;…………………………………………（4分）（2）∵x 2+2mx +m 2-1=0有一个根是3，∴32+2m ×3+m 2-1=0,…………………………………………………………………………（6分）解得，m =-4或m =-2.…………………………………………………………………………（8分）命题点3 一元二次方程的应用1. (x +1)2=25(本题答案不唯一)【解析】解法一：分割法，如解图①，将图形分割成两个长方形，由题意，x (x +1)+x ×1=24即x 2+2x =24，∴x 2+2x -24=0.解法二：补图法，如解图②，将图形补成一个正方形，由题意，(x +1)2-1=24,∴(x +1)2=25.第1题解图2.4分）（2）【思路分析】由题意，等量关系为第三年养殖成本4+2.6(1+x )2万元等于7.146万元，可解方程得结论.解：根据题意，得4+2.6(1+x )2=7.146.解方程，得x 1=0.1,x 2=-2.1(不合题意，舍去). 答：可变成本平均每年增长的百分率是10％.……………………………………………（8分）3. （1）【思路分析】设剪成的较短的一段为x cm ，较长的一段就为（40-x ）cm .就可以分别表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58 cm 2建立方程求出其解即可.解：设剪成的较短的一段为xcm ，较长的一段则为（40-x ） cm ，由题意，得：(4x ）2+(404x -)2=58, ………………………………………………………………………………………………（2分）解得：x 1=12，x 2=28，当x =12时，较长的为40-12=28 cm ，………………………………………………………（3分）当x =28时，较长的为40-28=12＜28（舍去），…………………………………………（4分）∴较短的一段为12 cm ，较长的一段为28 cm .……………………………………………（5分）（2）【思路分析】设剪成的较短的一段为m cm ，较长的一段则为（40-m ） cm .就可以分别表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48 cm 2建立方程，如果方程有解就说明小峰的说法错误，否则正确.解：设剪成的较短的一段为m cm ，较长的一段则为（40-m ） cm ，由题意，得： (4m ）2+(404m -)2=48，……………………………………………………………………（7分）变形为：m 2-40m +416=0， ∵b 2-4ac =（-40）2-4×416=-64＜0， ∴原方程无实数根，…………………………………………………………………………（9分）∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.……………………（10分）4. （1）【思路分析】因为售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，售价降低x 元，每天可多售出20×0.1x 斤，每天销售量为100+20×0.1x =（200x +100）（斤）. 解：200x +100；………………………………………………………………………………（2分）（2）【思路分析】根据：每天销售利润=（原销售价-成本价-销售价降低部分）×每天销售量，建立方程求解.解：根据题意，得（200x+100）（4-2-x）=300，………………………………………………………………（4分）整理，得2x2-3x+1=0，………………………………………………………………………（6分）(x-1)(2x-1)=0,解得x1=1,x2=0.5，…………………………………………………………………………（8分）当x=0.5时，每天销售量为200×0.5+100=200<260，不合题意，舍去.………………（9分）答：销售这种水果要想每天销售盈利300元，张阿姨需将每斤销售价降低1元.……（10分）2019-2020年中考数学复习考点精练：第8课时分式方程及其应用命题点1 解分式方程（近3年39套卷，2015年考查5次，2014年考查7次，2013年考查9次）解分式方程考查的题型有选择题、填空题和解答题，其中以解答题为主，所给的分式方程有3种形式：①等号两边均为分式；②等号左边为分式，等号右边为常数项或分式与常数项的和或差；③等号左边为两个分式或常数项与分式，等号右边为常数项.1. （2015淮安9题3分）方程1x-3=0的解是__________.2. （2015宿迁12题3分）方程3x-22x-=0的解为________.3. （2015镇江19（1）题5分）解方程：3+4xx-=12.4. （2015南通19（2）题5分）解方程12x=1+5x.5. （2014苏州22题6分）解分式方程：2311xx x+=--.6. （2014连云港19题6分）解方程21322x x x-+=--.7. （2013泰州18题8分）解方程：22 222222x x xx x x x++--=--.命题点2 分式方程的应用（近3年39套卷，2015年考查3次，2014年考查2次，2013年考查2次）1. （2015苏州22题6分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？2. （2015扬州24题10分）扬州建城2500年之际，为了加速美化城市，计划在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20％，结果提前2天完成，求原计划每天栽树多少棵？3. （2013扬州24题10分）某校九（1）、九（2）两班的班长交流了为四川雅安地震灾区捐款的情况.（Ⅰ）九（1）班班长说：“我们班捐款总额为1200元，我们班人数比你们班多8人.”（Ⅱ）九（2）班班长说：“我们班捐款总额也为1200元，我们班人均捐款比你们班人均捐款多20％.”请根据两个班长的对话，求这两个班级每班的人均捐款数.4. （2015连云港23题10分）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元.（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率.【答案】命题点1 解分式方程1. x=13【解析】去分母得1-3x=0，移项得-3x=-1，系数化成1得x=13，因为x=13≠0，所以x =13是方程1x-3=0的解. 2. x =6【解析】给分式方程两边同时乘以x (x -2)，得3（x -2）-2x =0，解得x =6，经检验x =6是原分式方程的根.3. 解：去分母，得6+2x =4-x ，……………………………………………………………（2分）解得x =-23,……………………………………………………………………………………（4分） 经检验，x =-23是原方程的解.所以，原方程的解为x =-23.………………………………………………………………（5分）4. 解：方程两边同时乘以2x （x +5）,得x +5=6x ，………………………………………（2分） 解得x =1，……………………………………………………………………………………（3分） 检验：当x =1时，2x (x +5)≠0，……………………………………………………………（4分） 所以，原分式方程的解为x =1.………………………………………………………………（5分）5. 解：去分母得：x -2=3x -3, ………………………………………………………………（2分）解得：x =12，…………………………………………………………………………………（4分） 经检验x =12是分式方程的解.∴原分式方程的解为x =21. ………………………………………………………………（6分）6. 【思路分析】按照解分式方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数 化为1求解.在去分母时，不要漏掉乘常数项，最后检验.解：去分母，得 2+3（x -2）=-(1-x )，……………………………………………………（2分） 去括号，得2+3x -6=-1+x ， 移项，得3x -x ＝-1+6-2， 合并同类项，得2x =3，系数化为1，得x =32.………………………………………………………………………（4分） 检验：将x =32代入公分母x -2中，得x -2＝32-2＝-12≠0，……………………………（5分）∴原分式方程的解为x =32.…………………………………………………………………（6分）7. 解：方程两边同时乘以x （x -2）得：（2x +2）（x -2）-x （x +2）=x 2-2，……………（2分） 化简得：-4x =2，解得：x＝-12，………………………………………………………………………………（4分）检验：把x＝-12代入x（x-2）＝54≠0，…………………………………………………（6分）故方程的解是：x＝-12 .……………………………………………………………………（8分）命题点2 分式方程的应用1. 【思路分析】根据相等关系“甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等”列出方程求解，注意不能忘记检验.解：设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗，…………………………（1分）根据题意，得6050x+=50x，………………………………………………………………（3分）解方程，得x=25，…………………………………………………………………………（4分）经检验，x=25是分式方程的解，∴x+5=30.……………………………………………………………………………………（5分）答：甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩旗.……………………………………（6分）2. 【思路分析】本题基本的关系是工作量除以工作效率即为工作的时间，关键的等量关系就是实际比原计划提前两天完成，理顺这两个关系即可，但注意解出分式方程的根后要进行验根.解：设原计划每天栽树x棵.………………………………………………………………（1分）根据题意，得1200x-(1120)20%x+=2，……………………………………………………（5分）解得x=100，………………………………………………………………………………（7分）经检验，x=100是原方程的解，…………………………………………………………（9分）答：原计划每天栽树100棵.………………………………………………………………（10分）3. 【思路分析】首先设九（1）班的人均捐款数为x元，则九（2）班的人均捐款数为（1+20%）x元，然后根据九（1）班人数比九（2）班多8人，即可得方程：1200x-(1120)20%x+=8，解此方程即可求得答案.解：设九（1）班人均捐款数为x元，则九（2）班人均捐款数为（1+20%）x元，…（1分）由题意，得1200x-(1120)20%x+=8，………………………………………………………（5分）解得x =25，…………………………………………………………………………………（7分） 经检验，x =25是原分式方程的解，………………………………………………………（8分） 九（2）班的人均捐款数为：（1+20%）x =30.……………………………………………（9分） 答：九（1）班人均捐款为25元，九（2）班人均捐款为30元.………………………（10分）4.（1）【信息梳理】设每张门票的原定票价为x 元，解：设每张门票的原定票价为x 元.……………………………………………………（1分） 由题意得：6000480080x x =-, 解得：x=400，经检验，x =400是原方程的解.答：每张门票的原定票价为400元.………………………………………………………（5分）（2）【信息梳理】设平均每次降价的百分率为y ，由（1）知原定票价为400元.解：设平均每次降价的百分率为y .由题意得：400（1-y ）2＝324，解得：y 1＝0.1，y 2=1.9（不合题意，舍去），答：平均每次降价10％.……………………………………………………………………（10分）。
2019版初三中考模拟(河北数学)课题8 一元二次方程及其应用(可编辑PPT)
基础知识梳理
栏目索引
基础知识梳理
考点一
形如①
一元二次方程的相关概念及解法
ax2+bx+c=0 (其中a、b、c为常数,a≠0)的方程为一元二次方程,满 整式 ;(2)只含有③ 一个 未知数;(3)未
足三个条件:(1)等号两边都是② 知数的最高次数是④ 2 .
基础知识梳理
栏目索引
考点二
一元二次方程的解法
2
解法二(公式法):a=4,b=-8,c=1, ∴b2-4ac=(-8)2-4×4×1=48>0,
(8) 48 2 3 ∴x= = , 2 4 2 2 3 2 3 ∴x1= ,x2= . 2 2
中考题型突破 栏目索引
名师点拨 配方法虽然在解题中应用较少,但它是公式法的基础,且配方法适
该题型主要考查一元二次方程的应用,主要内容包括:利用一元二次方程解决 增长率问题、利率问题、图形面积问题、商品销售中的利润问题等. 典例3 (2017四川眉山中考)某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档 次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润10元.调查表明:生产提高一个 档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元. (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,则此批次蛋糕属第几档次产品? (2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天的产量会减少4件.若生
用于任意一个一元二次方程,因此必须掌握用配方法解一元二次方程. 变式训练1 (2017邢台模拟)用适当的方法解下列方程: (1)x2-3x=18; (2)3y(y-1)=2-2y.
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答案 (1)解法一(配方法):
3 81 3 3 x 配方,得x -3x+ =18+ ,即 , = 2 4 2 2 3 9 两边开平方,得x- = ± , 2 2
中考数学复习一元二次方程课件冀教版
问题1：下列关于x的方程：
其中是一元二次方程的有（ A.4个 B.3个
） C.2个 D.1个
（2）关于x的方程（m+3)x|m|-1-2x+4=0是一元 二次方程，则m= .
考点二 一元二次方程的常用解法 1．直接开平方法：如果 x2＝ a(a≥ 0)，则 x＝ ± a，则 x1＝ a， x2＝－ a. p p 2 2 2 2 2．配方法：如果 x ＋ px＋ q＝ 0 且 p － 4q≥ 0，则x＋ ＝－ q＋ . 2 2 p p p p 2 2 x1＝－ ＋ － q＋ ， x2＝－ － － q＋ . 2 2 2 2 2 － b± b － 4ac 2 2 3．公式法：方程 ax ＋ bx＋ c＝ 0 且 b － 4ac≥ 0，则 x＝ . 2a 4．因式分解法：
价5元出售，其销售量就减少100件.如果商场销售这
批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优
惠，那么这种 衬衫售价应定为多少元？
考点四 一元二次方程根的判别式 关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为 b2－ 4ac. 1．b2－4ac＞0⇔一元二次方程 ax2＋ bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的 － b± b2－4ac 实数根，则 x1,2＝ ； 2a 2．b2－4ac＝0⇔一元二次方程 ax2＋ bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实 b 数根，即 x1＝ x2＝－ ； 2a 3． b2－ 4ac＜0⇔一元二次方程 ax2＋ bx＋c＝0(a≠0)没有实数根；
第 6 讲 一元二次方程及ห้องสมุดไป่ตู้用
考点一 一元二次方程的定义 在整式方程中，只含有一个未知数，并且含未知数项的最 高次数是 2，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程 的标准形式是 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
河北中考数学复习第7讲 一元二次方程
第7讲 一元二次方程1. (，河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac >0的情况，她是这样做的：由于a ≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为：x 2＋b a x ＝－ca，…第一步x 2＋b a x ＋⎝⎛⎭⎫b 2a 2＝－c a＋⎝⎛⎭⎫b 2a 2，…第二步⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a2，…第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 4a (b 2－4ac >0)，…第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.…第五步(1)嘉淇的解法从第四步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac >0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是（ x ＝－b ±b 2－4ac2a）；(2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0.【思路分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：(1)形如x 2＋px ＋q ＝0型．第一步，移项，把常数项移到方程右边；第二步，配方，左、右两边加上一次项系数一半的平方；第三步，左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0型．方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2＋px ＋q ＝0型，然后配方．解：(1)四 x ＝－b ±b 2－4ac2a(2)移项，得x 2－2x ＝24.配方，得x 2－2x ＋1＝24＋1，即(x －1)2＝25. 开方，得x －1＝±5. ∴x 1＝6，x 2＝－4.2. (，河北)若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是(B) A. a ＜1 B. a ＞1 C. a ≤1 D. a ≥1【解析】∵关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，∴b 2－4ac ＝22－4×1×a ＜0.解得a ＞1.3. (，河北)a ，b ，c 为常数，且(a －c )2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是(B)A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 有一根为0 【解析】 由(a －c )2>a 2＋c 2得出－2ac ＞0，∴Δ＝b 2－4ac ＞0.∴方程有两个不相等的实数根．一元二次方程的概念及解法例1 解下列方程： (1)x 2－2x －1＝0； (2)x 2－1＝2(x ＋1)； (3)x 2＋3x ＝－14.【思路分析】 根据所给方程的形式，选择合适的方法解方程． 解：(1)a ＝1，b ＝－2，c ＝－1. Δ＝b 2－4ac ＝4＋4＝8＞0.∴方程有两个不相等的实数根． ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝2±222＝1±2，即x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.(2)移项，得x 2－1－2(x ＋1)＝0， (x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝0，因式分解，得(x ＋1)(x －1－2)＝0， 于是，得x ＋1＝0或x －3＝0. ∴x 1＝－1，x 2＝3.(3)配方，得x 2＋3x ＋⎝⎛⎭⎫322＝－14＋⎝⎛⎭⎫322， ⎝⎛⎭⎫x ＋322＝2. 由此可得x ＋32＝±2.∴x 1＝－32＋2，x 2＝－32－ 2.针对训练1(，邯郸一模) 用配方法解一元二次方程2x 2－4x －2＝1的过程中，变形正确的是(C)A. 2(x －1)2＝1B. 2(x －2)2＝5C. (x －1)2＝52D. (x －2)2＝52【解析】 2x 2－4x －2＝1，2x 2－4x ＝3，x 2－2x ＝32，x 2－2x ＋1＝32＋1，(x －1)2＝52.也可以把各选项中的方程展开化为一般形式，和题干中的方程做对比.一元二次方程根的判别式例2(，扬州)如果关于x 的方程mx 2－2x ＋3＝0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是（ m ＜13且m ≠0 ）.【解析】∵方程有两个不相等的实数根，∴4－12m >0.解得m <13.但当m ＝0时，原方程不是一元二次方程，所以m ≠0.针对训练2(，石家庄桥西区一模)常数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是(B)训练2题图A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定【解析】 从数轴上可知，a ，c 异号，则b 2－4ac >0，所以方程有两个不相等的实数根. 针对训练3(，张家口桥东区模拟)若关于x 的一元二次方程34x 2＋3x ＋tan α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于(D)A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【解析】∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(3)2－4×34×tan α＝0.解得tan α＝ 3.∴α＝60°.一元二次方程的实际应用例3(，宜昌，导学号5892921)某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理．若江水污染指数记为Q ，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q 值都以平均值n 计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q 值降低了12.经过三年治理，境内长江水质明显改善．(1)求n 的值；(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m ，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；(3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q 值比上一年都增加一个相同的数值a .在(2)的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q 值与当年用甲方案治理降低的Q 值相等．第三年，用甲方案使Q 值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q 值及a 的值．【思路分析】 (1)平均数×数量＝总数．(2)按相同增长率，第一年40家，第二年40(1＋m )家，第三年40(1＋m )2家，三年总和等于190家列方程求解即可．(3)先求出第二年用甲方案治理降低的Q 值，再根据第三年用甲方案使Q 值降低了39.5，列方程组求解即可．解：(1)∵40n ＝12，∴n ＝0.3.(2)根据题意，得40＋40(1＋m )＋40(1＋m )2＝190. 解得m 1＝12，m 2＝－72(舍去)．∴m ＝50%.∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为40(1＋m )＝40×(1＋50%)＝60(家)． (3)设第一年用甲方案治理降低的Q 值为x .第二年Q 值用乙方案治理降低了100n ＝100×0.3＝30.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ＝30，x ＋2a ＝39.5.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20.5，a ＝9.5.针对训练4(，白银)如图，某小区计划在一块长为32 m 、宽为20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m 2.若设道路的宽为x m ，则下面所列方程正确的是(A)训练4题图A. (32－2x )(20－x )＝570B. 32x ＋2×20x ＝32×20－570C. (32－x )(20－x )＝32×20－570D. 32x ＋2×20x －2x 2＝570【解析】 设道路的宽为x m ．根据题意，得(32－2x )(20－x )＝570.针对训练5(，眉山)某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕产品每件利润为14元，此批次蛋糕产品属第几档次产品？(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？【思路分析】 (1)利润增加的量除以2即为档次提高的量．(2)设生产的是第x 档次产品，则相应的产量是76－4(x －1)，每件利润是10＋2(x －1)；等量关系是：每件利润×产量＝总利润．解：(1)(14－10)÷2＋1＝3(档次)．答：此批次蛋糕产品属第三档次产品． (2)设该烘焙店生产的是第x 档次的产品．根据题意，得[76－4(x －1)][10＋2(x －1)]＝1 080. 整理，得x 2－16x ＋55＝0.解得x 1＝5，x 2＝11(不合题意，舍去)． 答：该烘焙店生产的是第五档次的产品． 一、 选择题1. 已知关于x 的方程x 2－mx ＋3＝0的一个解为x ＝－1，则m 的值为(A) A. －4 B. 4 C. －2 D. 2 【解析】 把x ＝－1代入原方程，得m ＝－4.2. (，石家庄28中质检)若x 2＋4x －4＝0，则3(x －2)2－6(x ＋1)(x －1)的值为(B) A. －6B. 6 C. 18 D. 30 【解析】 已知条件转化为x 2＋4x ＝4，原式＝－3x 2－12x ＋18＝－3(x 2＋4x )＋18＝6.3. (，石家庄40中二模)用配方法解方程x 2＋x －1＝0，配方后所得方程是(C) A. ⎝⎛⎭⎫x －122＝34B. ⎝⎛⎭⎫x ＋122＝34 C. ⎝⎛⎭⎫x ＋122＝54D. ⎝⎛⎭⎫x －122＝54【解析】 配方过程x 2＋x ＝1，x 2＋x ＋⎝⎛⎭⎫122＝1＋⎝⎛⎭⎫122，⎝⎛⎭⎫x ＋122＝54.4. (，唐山路南区一模)已知关于x的方程x2＋mx－1＝0的根的判别式的值为5，则m的值为(D)A. ±3B. 3C. 1D. ±1【解析】根据题意，得Δ＝m2＋4＝5.解得m＝±1.5. (，唐山丰南区一模)现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－a·b＋b.如：3★5＝32－3×5＋5.若x★2＝10，则实数x的值为(C)A. －4或－1B. 4或－1C. 4或－2D. －4或2【解析】根据题意，得x★2＝x2－2x＋2.∴x2－2x＋2＝10.解得x1＝4，x2＝－2.6. (，唐山路南区二模)下列方程中，没有实数根的是(D)A. x2－2x＝0B. x2－2x－1＝0C. x2－2x＋1＝0D. x2－2x＋2＝0【解析】选项A，Δ＝4>0；选项B，Δ＝8>0；选项C，Δ＝0；选项D，Δ＝－4<0.7. (，娄底)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是(A)A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 不能确定－（k＋3）2－4k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8>0，∴方程有两个不相等的实【解析】∵Δ＝[]数根．8. (，定西)关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，则k的取值范围是(C)A. k≤－4B. k＜－4C. k≤4D. k＜4【解析】因为方程有实数根，所以Δ＝16－4k≥0.解得k≤4.9. (，桂林)已知关于x的一元二次方程2x2－kx＋3＝0有两个相等的实数根，则k的值为(A)A. ±2 6B. ± 6C. 2或3D. 2或 3【解析】因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝k2－24＝0.解得k＝±2 6.10. (，秦皇岛海港区模拟)某城市底已有绿化面积300 hm2，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到底已达到363 hm2.设绿化面积的年平均增长率为x.根据题意，所列方程正确的是(B)A. 300(1＋x)＝363B. 300(1＋x)2＝363C. 300(1＋2x)＝363D. 363(1－x)2＝300【解析】底的绿化面积是300(1＋x)hm2，底的绿化面积是300(1＋x)2hm2，可得方程．11. (，绵阳)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯．若一共碰杯55次，则参加酒会的有(C)A. 9人B. 10人C. 11人D. 12人【解析】 设参加酒会的有x 人，则每人碰杯(x －1)次．因为每两人都只碰一次杯，所以共碰杯x （x －1）2次，得方程x （x －1）2＝55，取正根x ＝11.二、 填空题12. (，淮安)一元二次方程x 2－x ＝0x 1＝0，x 2＝1. 【解析】x (x －1)＝0，得x 1＝0，x 2＝1.13. (，秦皇岛海港区模拟)已知x ＝1是一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根，则m 2＋2mn＋n 2的值为1.【解析】 把x ＝1代入方程，得m ＋n ＝－1，则m 2＋2mn ＋n 2＝(m ＋n )2＝1.14. (，南充)若2n (n ≠0)是关于x 的方程x 2－2mx ＋2n ＝0的根，则m －n 的值为（ 12 ）.【解析】 把x ＝2n 代入方程，得(2n )2－2m ·2n ＋2n ＝0, 变形为2n (2n －2m ＋1)＝0，∵2n ≠0，∴2n －2m ＋1＝0.∴m －n ＝12.15. (，邵阳)已知关于x 的方程x 2 ＋3x －m ＝0的一个解为x ＝－3，则它的另一个解是x ＝0.【解析】 把x ＝－3代入方程解得m ＝0，则原方程为x 2 ＋3x ＝0，可求出另一个解是x ＝0.16. (，唐山丰南区一模)若关于x 的方程x 2－6x ＋c ＝0有两个相等的实数根，则c 的值为9.【解析】 因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝36－4c ＝0.解得c ＝9.17. (，威海)关于x 的一元二次方程(m －5)x 2＋2x ＋2＝0有实数根，则m 的最大整数值是4.【解析】 因为方程有实数根， 所以Δ＝4－8(m －5)≥0.解得 m ≤112.又因为m ≠5，所以m 的最大整数值是4.三、解答题18. 解下列方程： (1)x 2－3x ＋1＝0； (2)x 2－2x ＝6－3x ； (3)(2x ＋3)2＝8.【思路分析】 针对各个方程的特点，选择适当的解法．(1)用公式法．(2)用因式分解法．(3)用直接开平方法．解：(1)这里a ＝1，b ＝－3，c ＝1. ∵b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×1＝5＞0， ∴x ＝3±52，即x 1＝3＋52，x 2＝3－52.(2)原方程可化为x (x －2)＝－3(x －2)．移项，因式分解，得(x －2)(x ＋3)＝0. 于是，得x －2＝0或x ＋3＝0. x 1＝2，x 2＝－3. (3)2x ＋3＝±22， 2x ＝±22－3，x 1＝－3＋222，x 2＝－3－222.19. (，北京)关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0.(1)当b ＝a ＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根． 【思路分析】 (1)把b ＝a ＋2代入根的判别式，判断出正负即可．(2)由Δ＝0得出a ，b 之间的关系，任取一组符合条件的值，再解方程．解：(1)Δ＝b 2－4a ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0， 所以方程有两个不相等的实数根． (2)∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4a ＝0.令b ＝2，a ＝1，此时方程为x 2＋2x ＋1＝0， ∴x 1＝x 2＝－1. 20. 【发现思考】已知等腰三角形ABC 的两边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？如图所示的是涵涵的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 【探究应用】 请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个实数根．(1)当m ＝2时，求等腰三角形ABC 的周长； (2)第20题图【思路分析】 一要检查解方程的过程和结果，二要考虑方程的解是三角形的边，需满足任意两边之和大于第三边．解：【发现思考】错误之处：当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边长分别为2，2，5.错误原因：此时不能构成三角形(或不符合三角形的三边关系)． 【探究应用】(1)当m ＝2时，方程为x 2－2x ＋34＝0.解得x 1＝12，x 2＝32.当12为腰时，因为12＋12<32，所以不能构成三角形． 当32为腰时，等腰三角形的三边长分别为32，32，12.此时周长为32＋32＋12＝72. (2)若△ABC 为等边三角形，则方程有两个相等的实数根． ∴Δ＝m 2－4⎝⎛⎭⎫m 2－14＝m 2－2m ＋1＝0. ∴m 1＝m 2＝1，即m 的值为1.21. (，盐城)一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售、增加赢利，该店采取了降价措施，在每件赢利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降价3元，则平均每天可售出26件；(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1 200元？【思路分析】 (1)20＋3×2＝26.(2)设降价x 元，则销量为(20＋2x )件，每件赢利(40－x )元．等量关系是每件赢利×销量＝总赢利．最后要选择符合条件的解．解：(1)26(2)设每件商品降价x 元时，该商店每天的销售利润为1 200元，则平均每天售出(20＋2x )件，每件赢利(40－x )元，且40－x ≥25，即x ≤15.根据题意，得(40－x )(20＋2x )＝1 200. 整理，得x 2－30x ＋200＝0. 解得x 1＝10，x 2＝20(舍去)．答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1 200元．22. (，德州)为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备的成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y (单位：台)和销售单价x (单位：万元)成一次函数关系．(1)求年销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元．如果该公司想获得10 000万元的年利润，那么该设备的销售单价应定为多少万元？【思路分析】 (1)用待定系数法求一次函数关系式．(2)等量关系是：每台利润×销量＝总利润．根据条件决定方程的根的取舍．解：(1)设年销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．将(40，600)，(45，550)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝600，45k ＋b ＝550.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝1 000.∴年销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋1 000. (2)设该设备的销售单价应定为x 万元，则每台设备的利润为(x －30)万元，销售量为(－10x ＋1 000)台．根据题意，得(x －30)(－10x ＋1 000)＝10 000. 整理，得x 2－130x ＋4 000＝0. 解得x 1＝50，x 2＝80.∵此设备的销售单价不得高于70万元， ∴x ＝50.答：该设备的销售单价应定为50万元．1. (，福建A ，导学号5892921)已知一元二次方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，则下列判断正确的是(D)A. 1一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根B. 0一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根C. 1和－1都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根D. 1和－1不都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根【解析】 方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，则有(2b )2－4(a ＋1)2＝0，且a ＋1≠0.解得b ＝a ＋1或b ＝－(a ＋1)，且a ＋1≠0.若b ＝a ＋1，则－1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根；若b ＝－(a ＋1)，则1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根．∵a ＋1≠0，∴a ＋1≠－(a ＋1)．故1和－1不会同时是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根．2. (，舟山)欧几里得的《原本》记载，形如x 2＋ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝a 2，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝a2.则该方程的一个正根是(B)第2题图A. AC 的长B. AD 的长C. BC 的长D. CD 的长【解析】 用配方法解方程x 2＋ax ＝b 2，易得正根x ＝b 2＋a 24－a2.据勾股定理知AB ＝b 2＋a 24.∵AD ＝AB －BD ＝b 2＋a 24－a2，∴AD 的长是方程的正根．3. (，河北，导学号5892921)对于实数p ，q ，我们用符号min{p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如min{1，2}＝1.因此，min{－2，－3}min{(x －1)2，x 2}＝1，则x ＝2或－1.【解析】min{－2，－3}＝－ 3.∵min{(x－1)2，x2}＝1，∴当(x－1)2＜x2时，(x－1)2＝1.解得x1＝2，x2＝0(不合题意，舍去)．当(x－1)2≥x2时，x2＝1.解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－1.4. (，内江B，导学号5892921)已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为1.【解析】把(x＋1)看作一个整体，据已知条件可得x＋1＝1或x＋1＝2，所以x1＝0，x2＝1.所以和为1.。
冀教版2019秋九年级数学上册专题 2.类比归纳专题：一元二次方程的解法
类比归纳专题：一元二次方程的解法——学会选择最优的解法◆类型一 一元二次方程的一般解法方法点拨： 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.1.用合适的方法解下列方程：（1）⎝⎛⎭⎫x －522－14＝0；（2）x 2－6x ＋7＝0；（3）x 2－22x ＋18＝0；（4）3x （2x ＋1）＝4x ＋2.◆*类型二 一元二次方程的特殊解法 一、十字相乘法方法点拨：例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确）， 第2种拆法：2x －2x ＝0（错误），所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1.2.解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程____________.3.用十字相乘法解下列一元二次方程： （1）x 2－5x －6＝0； （2）x 2＋9x －36＝0.二、换元法方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.4.若实数a ，b 满足（4a ＋4b ）（4a ＋4b －2）－8＝0，则a ＋b ＝_______.5.解方程：（x 2＋5x ＋1）（x 2＋5x ＋7）＝7.1.解：（1）移项，得⎝⎛⎭⎫x －522＝14， 两边开平方，得x －52＝±14， 即x －52＝12或x －52＝－12，∴x 1＝3，x 2＝2；（2）移项，得x 2－6x ＝－7，配方，得x 2－6x ＋9＝－7＋9，即（x －3）2＝2， 两边开平方，得x －3＝±2， ∴x 1＝3＋2，x 2＝3－2；（3）原方程可化为8x 2－42x ＋1＝0. ∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1，∴b 2－4ac ＝（－42）2－4×8×1＝0， ∴x ＝－（－42）±02×8＝24，∴x 1＝x 2＝24； |（4）原方程可变形为（2x ＋1）（3x －2） ＝0，∴2x ＋1＝0或3x －2＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝23.2. x －1＝0或x ＋3＝0.3.解：（1）原方程可变形为（x －6）（x ＋1） ＝0，∴x －6＝0或x ＋1＝0， ∴x 1＝6，x 2＝－1；（2）原方程可变形为（x ＋12）（x －3） ＝0，∴x ＋12＝0或x －3＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝3. 4.－12或15.解：设x 2＋5x ＋1＝t ，则原方程化为t （t ＋6）＝7，∴t 2＋6t －7＝0，解得t ＝1或－7.当t ＝1时，x 2＋5x ＋1＝1，x 2＋5x ＝0， x （x ＋5）＝0，∴x ＝0或x ＋5＝0，∴x 1＝0，x 2＝－5； 当t ＝－7时，x 2＋5x ＋1＝－7，x 2＋5x ＋8＝0，∴b 2－4ac ＝52－4×1×8＜0，此时方程 无实数根.∴原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5.。
2019届冀教版中考《第6讲一元二次方程》知识梳理
第6讲一元二次方程关键点拨及对应举例定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2＋4ac3.根的判在运用根与系数关系解题时，列一元二次方程；④解①平均增长率（降变化②利③传播、比赛问题：2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧EF上一点，则∠BPD的度数是( )A.30°B.60°C.55°D.75°2．如图，点是边长为1的菱形对角线上的一个动点，点，分别是边，的中点，则的最小值是( )A. B.1 C. D.23．已知四边形的对角线相交于点，，则下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是( )A. B. C. D.4．下列计算正确的是（）A．2﹣2＝﹣4 B＝2C．2a3+3a2＝5a5D．（a5）2＝a75．合肥市教育教学研究室为了了解该市所有毕业班学生参加2019年安徽省中考一模考试的数学成绩情况（满分：150分，等次：A等，130分:150分；B等，110分:129分；C等，90分:109分；D等，89分及以下），从该市所有参考学生中随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果制作了如下的统计图表（部分信息未给出）：2019年合肥市一模数学成绩频数分布表2019年合肥市一模教学成绩频数分布直方图根据图表中的信息，下列说法不正确的是（ ） A ．这次抽查了20名学生参加一模考试的数学成绩 B ．这次一模考试中，考试数学成绩为B 等次的频率为0.4C ．根据频数分布直方图制作的扇形统计图中等次C 所占的圆心角为105︒D ．若全市有20000名学生参加中考一模考试，则估计数学成绩达到B 等次及以上的人数有12000人 6．在四边形ABCD 中，//,AB CD AB AD =，添加下列条件不能推得四边形ABCD 为菱形的是（ ） A ．AB CD =B ．//AD BCC ．BC CD =D ．AB BC =7．点P 的坐标是（m ，n ），从﹣5，﹣3，0，4，7这五个数中任取一个数作为m 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为n 的值，则点P （m ，n ）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是（ ） A ．25B ．15C ．14D ．128．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，EA 平分∠BEF ，AG ⊥EF ，垂足为点G ．则∠EAF 的度数为（ ）A.45B.30C.60D.409．如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角的顶点重合于点O ，DC 与OB 交于点E ，若AB OC ∥，则CEB ∠的度数为（ ）A ．95B ．100C ．105D ．11010．木匠有32米的木材，想要在花圃周围做边界，以下四种设计方案中，设计不合理的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB→BC 方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 做FE ⊥AE ，交CD 于F 点，设点E 运动路程为x ，FC ＝y ，如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是25，则矩形ABCD 的面积是（ ）A ．235B ．5C ．6D ．25412．计算(﹣2a 2)3正确的是( ) A ．8a 5B ．﹣6a 6C ．﹣8a 5D ．﹣8a 6二、填空题13．若2x 2x 3-=，则多项式22x 4x 3-+=______．14214()2-+-＝_____．15．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=3cm ，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l 为__cm ．16．计算(______________.17．在﹣1，0，1，2这四个数中任取两个数m ，n ，则二次函数y ＝（x ﹣m ）2+n 的顶点在坐标轴上的概率为_____．18．小亮测得一圆锥模型的底面直径为10cm ，母线长为7cm ，那么它的侧面展开图的面积是_____cm 2． 三、解答题19．如图，已知在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，在AB 上取点D ，使得AD CD =，若//CD BE ． （1）求证：AB BE =；（2）若CD 平分ACB ∠，求ABE ∠的度数．20．为丰富学生的课余生活，学校准备购买部分体育器材，以满足学生们的需求．学校对“我最喜爱的体育运动”进行了抽样调查（每个学生只选一次），根据调查结果绘成如图所示的两幅不完整统计图，请你根据统计图提供的信息解答下列问题． （1）求m 、n 的值；（2）若该校有2000名学生，请你根据样本数据，估算该校喜欢踢足球的学生人数是多少？21．如图，两条射线BA//CD ，PB 和PC 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，分别交AB ，CD 与点A ，D ．（1）求∠BPC 的度数； （2）若,60,2AD BA BCD BP ︒⊥∠==，求AB+CD 的值；（3）若ABP S ∆为a ，CDP S ∆为b ，BPC S ∆为c ，求证：a+b=c ．22．某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图，已知原阶梯式自动扶梯AB 的长为m ，坡角∠ABE ＝45°，改造后的斜坡自动扶梯坡角∠ACB ＝15°，求改造后的斜坡式自动扶梯AC 的长，（精确到0.1m ，参考数据；sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0，27）23．先化简2(1)(2)xx x x x--÷++，然后从－2，－1， 0， 1中选取一个你认为合适的数作为x 的值代入求值．24．阅读有助于提高孩子的学习兴趣和积极性，但近年来出现很多中学生在学校看武侠小说的现象，某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生在校看武侠小说”这一现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图．依据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生家长有 名，“不赞同”初中生在校看武侠小说的家长所对应的圆心角度数是 ；（2）请补全条形统计图（标上柱高数值）；（3）该学校共3000名学生家长，请估计该校抱“不赞同”态度的学生家长人数．25．如图，在平行四边形ABCD 中，AD DB ⊥，垂足为点D ，将平行四边形ABCD 折叠，使点B 落在点D 的位置，点C 落在点G 的位置，折痕为EF . （1）求证：ADE GDF ∆∆≌； （2）若AE BD =，求CFG ∠的度数； （3）连接CG ，求证：四边形BCGD 是矩形.【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．914．15．916．4 17．1218．35π． 三、解答题19．（1）见解析；（2）∠ABE ＝120°． 【解析】 【分析】（1）欲证明AB=BE ，只需推知∠A=∠E 即可．（2）由三角形内角和定理和等腰三角形的性质求得∠A=30°，结合（1）中的∠A=∠E和△ABE的内角和是180°解答．【详解】（1）∵AD＝CD ∴∠A＝∠ACD．又∵CD∥BE ∴∠ACD＝∠E．∴∠A＝∠E．∴AB＝BE；（2）∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°∴∠A+∠ACB＝90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD．又∵∠A＝∠ACD，∴∠A+∠ACD+∠BCD＝3∠A＝90°．∴∠A＝30°．∵由（1）得∠A＝∠E＝30°．∴∠ABE＝180°﹣2∠A＝120°．【点睛】考查了等腰三角形的性质，平行线的性质．解题过程中，注意“等角对等边”、“等边对等角”以及三角形内角和是180度等性质的运用，难度一般．20．（1）m＝40，n＝60；（2）该校喜欢踢足球的学生人数是400人．【解析】【分析】（1）根据喜爱篮球的人数÷其所占的百分比得到总人数，再由总人数乘以喜爱排球的人数所占百分比得到n，用总人数-喜爱篮球人数-喜爱排球的人数-喜爱其他人数，即可确定出m的值；（2）求出喜欢踢足球的学生人数所占的百分比，乘以2000即可得到结果．【详解】（1）70÷35%＝200（人）n＝200×30%＝60，m＝200﹣70﹣60﹣40＝40；（2）2000×40200＝400 （人）答：该校喜欢踢足球的学生人数是400人．【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．21．（1）90°；（2）4；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质，可得∠PBC+∠PCB的值，于是可求∠BPC的值；（2）在△ABP，△PCD和△BCP中，利用特殊角在直角三角形中的边关系可求AB+CD的值．（3）利用角平分线性质作垂直证明全等，通过割法获得面积关系．【详解】（1）∵BA∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°．∵PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，∴∠PBC12=∠ABC，∠PCB12=∠BCD，∴∠PBC+∠PCB12=⨯（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠BPC=90°；（2）若∠BCD=60°，BP=2，∴∠ABC=180°－60°=120°，∠PCD12=∠BCD=30°，∴∠ABP12=∠ABC=60°．在Rt△ABP中，BP=2，AB=1．在Rt△BCP中，Rt△PCD中，PD=CD=3，∴AB+CD=4．（3）如图，作PQ⊥BC．∵∠ABP=∠QBP，∠BAP=∠BQP，BP=BP．∴△ABP≌△BQP（AAS）．同理△PQC≌△PCD（AAS），∴S△BCP=S△BPQ+S△PQC=S△ABP+S△PCD，∴a+b=c．【点睛】本题考查了角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．22．改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为23.1米．【解析】【分析】先在Rt△ABD中，用三角函数求出AD，最后在Rt△ACD中用三角函数即可得出结论．【详解】解：如图，过点A作AD⊥CE于点D，在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，AB＝，∴AD＝AB•sin45°＝6（m）．在Rt△ACD中，∠ACD＝15°，sin∠ACD＝AD AC，∴AC＝AD6sin150.26︒=≈23.1（m），即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为23.1米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的应用，求出AD 是解本题的关键． 23．－12． 【解析】 【分析】首先对括号内的分式的分母分解因式,把除法转化为乘法,然后进行分式的加法计算即可化简,然后代入使原式有意义的x 的值计算即可 【详解】 原式=11[(1)]12x x x -+⋅++ ＝21211()12x x x x ---⋅++ ＝(2)112x x x x -+⋅++＝1x x -+只能选x ＝1，当x ＝1时， 原式＝-11112=-+． 【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键 24．（1）200, 162° ；（2）见解析；（3）1350. 【解析】 【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的人数，进而可以求得“不赞同”初中生在校看武侠小说的家长所对应的圆心角度数；（2）根据题意和（1）中的结果可以求得无所谓和很赞同的人数，本题得以解决； （3）根据统计图中的数据可以求得该校抱“不赞同”态度的学生家长人数． 【详解】解：（1）本次调查的学生家长有：50÷25%＝200（名），“不赞同”初中生在校看武侠小说的家长所对应的圆心角度数是360°×90200＝162°， 故答案为：200，162°；（2）“无所谓”的人数是200×20%＝40（名）， “很赞同”的人数是200﹣50﹣40﹣90＝20（名）， 补全条形统计图如右图所示； （3）3000×90200＝1350（名）． 答：估计该校抱“不赞同”态度的学生家长人数有1350名．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．（1）见解析（2）60°（3）见解析【解析】【分析】（1）根据折叠的性质，得到∠A=∠G，AD=DG，再根据轴对称的性质即可得到AE=FG，进而运用SAS判定△ADE≌△GDF；（2）根据BD=12AB，可得sinA=12BDAB=，进而得到∠A=30°，再根据DF=CF=FG，即可得到∠FDG=∠DGF=∠A=30°，即可得出∠CFG=∠FDG+∠DGF=60°；（3）连接CG，根据BC=DG，BC∥DG，可得四边形BCGD是平行四边形，再根据∠CBD=90°，即可得到四边形BCGD是矩形．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∠A=∠C，由折叠可知，BC=DG，CF=FG，∠G=∠C，EF垂直平分BD，∴∠A=∠G，AD=DG，又∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴点E、F分别平分AB、CD，∴AE=BE=12AB=12CD=CF=DF，∴AE=FG，∴△ADE≌△GDF；（2）∵AE=BD，AE=BE=12 AB，∴BD=12 AB，∴sinA=12 BDAB=，∴∠A=30°，∵DF=CF=FG，∴∠FDG=∠DGF=∠A=30°，∴∠CFG=∠FDG+∠DGF=60°；（3）如图，连接CG．由折叠可知，BC=DG，BC∥DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，AD∥BC，∴BC⊥BD，∴∠CBD=90°，∴四边形BCGD是矩形．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质，平行四边形的判定以及矩形的判定，解题时注意：有一个角为直角的平行四边形是矩形．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．解分式方程13211x x-=--，去分母得（ ） A.()1213x --=- B.1223x --=-C.()1213x --=D.1223x -+= 2．如图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的俯视图是( )A. B.C. D.3．如图，AB 是O 的直径，C ，D 分别是O 上的两点，OC OD ⊥，2AC cm =，BD =，则O 的半径是（ ）A B ．2cm C D ．3cm4．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B ＝60°，OP ⊥AC 交于点P ，OP ＝43，则⊙O 的半径为( )A ．8B ．123C ．83D ．125．广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年.光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米.则“比邻星”距离太阳系约为（ ）A ．13410⨯千米B ．12410⨯千米C ．139. 510⨯千米D ．129. 510⨯千米6．如图，在Rt△OAB中，OA＝AB，∠OAB＝90°，点P从点O沿边OA、AB匀速运动到点B，过点P作PC⊥OB交OB于点C，线段AB＝，OC＝x，S△POC＝y，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是( )A．B．C．D．7．联欢会主持人小亮、小莹、大明三位同学随机地站成一排，小亮恰好站在中间的概率是( )A．16B．12C．13D．238．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．53B．52C．4 D．59．如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点O重合，AB＝2，AD＝1，点Q的坐标为（0，2）．点P（x，0）在边AB上运动，若过点Q、P的直线将矩形ABCD的周长分成2：1两部分，则x的值为（）A．12或-12B．13或-13C．34或-34D．23或-2310．下列运算正确的是（）A1=B=C=D11．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．12．如图，矩形纸片ABCD，AD＝4，AB＝3，如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，联结FC，当△EFC是直角三角形时，那么BE的长为( )A．1.5 B．3C．1.5或3 D．有两种情况以上二、填空题13．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝，点E是BC的中点，点F在AB上，FB＝2，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE＝30°时，FP的长为_____．14．从﹣4、﹣3、﹣1、﹣12、0、1这6个数中随机抽取一个数a，则关于x的分式方程2axx-+2322xx x=--的解为整数，且二次函数y＝ax2+3x﹣1的图象顶点在第一象限的概率是____．15．在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5个红球、3个白球、2个绿球，任意摸出一球，摸到白球的概率是_____．16．如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝6，AD＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点 E，交 DC 的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为 G，BG＝，则△CEF 的周长为____．17．如图，第一个图形是用3根一样长度的木棍拼接而成的等边三角形ABC，第二个图形是用5根同样木棍拼接成的；那么按图中所示的规律，在第n个图形中，需要这样的木棍的根数为__________.18．在函数124yx=+中，自变量x的取值范围是__________．三、解答题19．尺规作图：确定图中弧CD所在圆的圆心，已知：弧CD．求作：弧CD所在圆的圆心O．20．在“学习雷锋活动月”中，某校九（2）班全班同学都参加了“广告清除、助老助残、清理垃圾、义务植树”四个志愿活动（每人只参加一个活动）．为了了解情况，小明收集整理相关的数据后，绘制如图所示，不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）求该班的人数；（2）请把折线统计图补充完整；（3）求扇形统计图中，广告清除部分对应的圆心角的度数．21．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O 于点D．（1）求证：∠APO＝∠CPO；（2）若⊙O的半径为3，OP＝6，∠C＝30°，求PC的长．22．2011年，陕西西安被教育部列为“减负”工作改革试点地区．学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度．为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了名学生；（2）将图①补充完整；（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近80000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？23．如图，有一块三角形材料（△ABC），请你画出一个半圆，使得圆心在线段AC上，且与AB、BC相切．结论：24．如图，已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝ax（a≠0）的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴垂足为D点，若OB＝2OA＝3OD＝6．（1）求反比例函数y＝ax和一次函数y＝kx+b的表达式；（2）直接写出关于x的不等式ax＞kx+b的解集．25．为喜迎“五一” 佳节，某食品公司推出一种新礼盒，每盒成本10元，在“五一” 节前进行销售后发现，该礼盒的日销售量y（盒）与销售价x（元/盒）的关系如下表:同时，销售过程中每日的其他开支（不含进价）总计100元.(1)以x作为点的横坐标，y作为点的纵坐标，把表中数据，在图中的直角坐标系中描出相应点，观察顺次连结各点所得图形，判断y与x的函数关系，并求出y（盒）与x（元/盒）的函数解析式:(2)请计算销售价格为多少元/盒时，该公司销售这种礼盒的日销售利润w（元）最大，最大日销售利润是多少？(3)“五一” 当天，销售价格（元/盒）比（2）的销售价格降低m元（m＞0），日销售额比（2）中的最大日销售利润多200元，求m的值.【参考答案】***一、选择题二、填空题13．4或8或414．16.15．3 10．16．817．21n18．x≠－2三、解答题19．答案见解析.【解析】【分析】在弧上取一点，绘制BC和BD的垂直平分线，交点即为圆心O。
河北省中考数学一轮复习（湘教版）专题19 一元二次方程根的判别式
河北省中考数学一轮复习（湘教版）专题19 一元二次方程根的判别式姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）关于x的一元二次方程x2+（k2-4）x+k+1=0的两实数根互为相反数，则k的值（）A . -1B . ±2C . 2D . -22. （2分）已知关于的一元二次方程有两个实数根和，当时，的值为（）A . 2B . 或C .D .3. （2分）关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值是（）A . 2B . 1C . 0D . －14. （2分）(2017·安阳模拟) 关于x的一元二次方程ax2﹣3x+3=0有两个不等实根，则a的取值范围是（）A . a＜且a≠0B . a＞﹣且a≠0C . a＞﹣D . a＜5. （2分）已知b＜0，关于x的一元二次方程(x-1)2=b的根的情况是（）A . 有两个不相等的实数根B . 有两个相等的实数根C . 没有实数根D . 有两个实数根6. （2分） (2020九上·五莲期末) 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围（）A .B .C . 且D . 且7. （2分）下列方程中有两个相等的实数根的是（）A . x2=1B . （x+1）2=0C . x2+1=0D . 2（x+1）=08. （2分） (2021八下·重庆开学考) 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，其中真命题有（）①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为-1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根A . 1B . 2C . 3D . 010. （2分） (2020九上·息县期末) 不解方程，则一元二次方程的根的情况是（）A . 有两个相等的实数根B . 没有实数根C . 有两个不相等的实数根D . 以上都不对二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）(2020·无锡模拟) 已知方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，则k=.12. （1分）已知关于x的方程(m－2)x2－2(m－1)x＋m＋1＝0.（1）当方程有两个不相等的实数根时，m的取值范围为；（2）当方程有两个相等的实数根时，m＝；（3）当m＝1时，方程的根的情况是；（4）当方程有实数根时，m的取值范围为；13. （1分） (2020八下·柯桥期末) 若关于x的方程2x（x﹣1）+mx＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为.14. （1分）已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于.15. （1分）已知关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则m的值为．16. （1分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是三、解答题 (共4题；共20分)17. （5分） (2019九上·绿园期末) 小明同学说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法：若一元二次方程a 的系数a、c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．他的发现正确吗？请你先举实例验证一下是否正确，若你认为他的发现是一般规律，请加以证明．18. （5分） (2018九上·云安期中) 方程x2+5x-m=0的一个根是2，求m及另一个根的值．19. （5分）若0是关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0的解，则求出m的值，并讨论方程根的情况．20. （5分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．求证：方程有两个不相等的实数根；四、综合题 (共7题；共75分)21. （10分） (2019九上·江岸月考) 已知关于x的一元二次方程 .（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为，，且，求m的值.22. （10分）(2017·黄冈) 已知关于x的一元二次方程x2+（2x+1）x+k2=0①有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程①的两个实数根分别为x1 ， x2 ，当k=1时，求x12+x22的值．23. （10分） (2017九上·台州期中) 已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．24. （10分） (2020九上·无棣期末)（1）已知关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0．求证：无论a取何值，原方程总有两个不相等的实数根：（2）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：x…﹣10123…y…30﹣10m…观察上表可求得m的值为；（3）试求出这个二次函数的解析式．25. （10分） (2021九上·北京开学考) 已知一元二次方程﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0．（1）求证：方程有两个不等的实数根；（2）若方程只有一个实数根小于1，求a的取值范围．26. （10分） (2019九上·博白期中) 已知是一元二次方程的两个实数根. （1）求实数m的取值范围；（2）如果满足不等式，且m为整数，求m的值。
河北中考数学复习第7讲一元二次方程
河北中考数学复习第7讲一元二次方程1. (2019，河北)嘉淇同砚用配要领推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式时，敷衍b 2－4ac >0的环境，她是这样做的：由于a ≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为：x 2＋b a x ＝－ca ，…第一步x 2＋b a x ＋⎝⎛⎭⎫b 2a 2＝－c a＋⎝⎛⎭⎫b 2a 2，…第二步 ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2，…第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 4a (b 2－4ac >0)，…第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.…第五步(1)嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac >0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是（ x ＝－b ±b 2－4ac2a）；(2)用配要领解方程：x 2－2x －24＝0.【思路剖析】 本题考察了用配要领解一元二次方程．用配要领解一元二次方程的步骤：(1)形如x 2＋px ＋q ＝0型．第一步，移项，把常数项移到方程右边；第二步，配方，左、右双方加上一次项系数一半的平方；第三步，左边写成完全平方法；第四步，直接开方即可．(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0型．方程双方同时除以二次项系数，即化成x 2＋px ＋q ＝0型，然后配方．解：(1)四 x ＝－b ±b 2－4ac2a(2)移项，得x 2－2x ＝24.配方，得x 2－2x ＋1＝24＋1，即(x －1)2＝25. 开方，得x －1＝±5. ∴x 1＝6，x 2＝－4.2. (2019，河北)若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值范畴是(B) A. a ＜1 B. a ＞1 C. a ≤1 D. a ≥1 【剖析】 ∵关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，∴b 2－4ac ＝22－4×1×a ＜0.解得a ＞1.3. (2019，河北)a ，b ，c 为常数，且(a －c )2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的环境是(B)A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 有一根为0 【剖析】 由(a －c )2>a 2＋c 2得出－2ac ＞0，∴Δ＝b 2－4ac ＞0.∴方程有两个不相等的实数根．一元二次方程的概念及解法例1 解下列方程： (1)x 2－2x －1＝0； (2)x 2－1＝2(x ＋1)； (3)x 2＋3x ＝－14.【思路剖析】 根据所给方程的形式，选择合适的要领解方程． 解：(1)a ＝1，b ＝－2，c ＝－1. Δ＝b 2－4ac ＝4＋4＝8＞0.∴方程有两个不相等的实数根． ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝2±222＝1±2，即x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.(2)移项，得x 2－1－2(x ＋1)＝0， (x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝0，因式分化，得(x ＋1)(x －1－2)＝0， 于是，得x ＋1＝0或x －3＝0. ∴x 1＝－1，x 2＝3. (3)配方，得x 2＋3x ＋⎝⎛⎭⎫322＝－14＋⎝⎛⎭⎫322， ⎝⎛⎭⎫x ＋322＝2.由此可得x ＋32＝±2.∴x 1＝－32＋2，x 2＝－32－ 2.针对训练1(2019，邯郸一模) 用配要领解一元二次方程2x 2－4x －2＝1的历程中，变形正确的是(C)A. 2(x －1)2＝1B. 2(x －2)2＝5C. (x －1)2＝52D. (x －2)2＝52【剖析】 2x 2－4x －2＝1，2x 2－4x ＝3，x 2－2x ＝32，x 2－2x ＋1＝32＋1，(x －1)2＝52.也可以把各选项中的方程展开化为一般形式，和题干中的方程做比拟.一元二次方程根的鉴别式例2 (2019，扬州)要是关于x 的方程mx 2－2x ＋3＝0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范畴是（ m ＜13且m ≠0 ）.【剖析】 ∵方程有两个不相等的实数根，∴4－12m >0.解得m <13.但当m ＝0时，原方程不是一元二次方程，所以m ≠0.针对训练2(2019，石家庄桥西区一模)常数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的环境是(B)训练2题图A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定【剖析】 从数轴上可知，a ，c 异号，则b 2－4ac >0，所以方程有两个不相等的实数根. 针对训练3 (2019，张家口桥东区模拟)若关于x 的一元二次方程34x 2＋3x ＋tan α＝0有两个相等的实数根，则锐角α即是(D) A. 15° B. 30°C. 45°D. 60°【剖析】 ∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(3)2－4×34×tan α＝0.解得tan α＝ 3.∴α＝60°.一元二次方程的实际应用例3 (2019，宜昌，导学号5892921)某市创建“绿色成长模范城市”，针对境内长江段两种主要混浊源：生活浑水和沿江工厂混浊物排放，分别用“生活浑水集结处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)举行治理．若江水混浊指数记为Q ，沿江工厂用乙方案举行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q 值都以均匀值n 谋略，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q 值降低了12.议决三年治理，境内长江水质明显改善．(1)求n 的值；(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m ，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m 的值，并谋略第二年用乙方案新治理的工厂数量；(3)该市生活浑水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q 值比上一年都增加一个相同的数值a .在(2)的环境下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q 值与当年用甲方案治理降低的Q 值相等．第三年，用甲方案使Q 值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q 值及a 的值．【思路剖析】 (1)均匀数×数量＝总数．(2)按相同增长率，第一年40家，第二年40(1＋m )家，第三年40(1＋m )2家，三年总和即是190家列方程求解即可．(3)先求出第二年用甲方案治理降低的Q 值，再根据第三年用甲方案使Q 值降低了39.5，列方程组求解即可．解：(1)∵40n ＝12，∴n ＝0.3.(2)根据题意，得40＋40(1＋m )＋40(1＋m )2＝190. 解得m 1＝12，m 2＝－72(舍去)．∴m ＝50%.∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为40(1＋m )＝40×(1＋50%)＝60(家)． (3)设第一年用甲方案治理降低的Q 值为x .第二年Q 值用乙方案治理降低了100n ＝100×0.3＝30.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ＝30，x ＋2a ＝39.5.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20.5，a ＝9.5.针对训练4(2019，白银)如图，某小区筹划在一块长为32 m 、宽为20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的门路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m 2.若设门路的宽为x m ，则下面所列方程正确的是(A)训练4题图A. (32－2x )(20－x )＝570B. 32x ＋2×20x ＝32×20－570C. (32－x )(20－x )＝32×20－570D. 32x ＋2×20x －2x 2＝570【剖析】 设门路的宽为x m ．根据题意，得(32－2x )(20－x )＝570.针对训练5 (2019，眉山)某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品生产76件，每件利润10元．观察表明：生产进步一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕产品每件利润为14元，此批次蛋糕产品属第几档次产品？(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每进步一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？【思路剖析】 (1)利润增加的量除以2即为档次进步的量．(2)设生产的是第x 档次产品，则相应的产量是76－4(x －1)，每件利润是10＋2(x －1)；等量干系是：每件利润×产量＝总利润．解：(1)(14－10)÷2＋1＝3(档次)．答：此批次蛋糕产品属第三档次产品． (2)设该烘焙店生产的是第x 档次的产品．根据题意，得[76－4(x －1)][10＋2(x －1)]＝1 080. 整理，得x 2－16x ＋55＝0.解得x 1＝5，x 2＝11(不合题意，舍去)． 答：该烘焙店生产的是第五档次的产品． 一、 选择题1. 已知关于x 的方程x 2－mx ＋3＝0的一个解为x ＝－1，则m 的值为(A) A. －4 B. 4 C. －2 D. 2 【剖析】 把x ＝－1代入原方程，得m ＝－4.2. (2019，石家庄28中质检)若x 2＋4x －4＝0，则3(x －2)2－6(x ＋1)(x －1)的值为(B) A. －6 B. 6 C. 18 D. 30 【剖析】 已知条件转化为x 2＋4x ＝4，原式＝－3x 2－12x ＋18＝－3(x 2＋4x )＋18＝6.3. (2019，石家庄40中二模)用配要领解方程x 2＋x －1＝0，配方后所得方程是(C) A. ⎝⎛⎭⎫x －122＝34B. ⎝⎛⎭⎫x ＋122＝34C. ⎝⎛⎭⎫x ＋122＝54D. ⎝⎛⎭⎫x －122＝54【剖析】 配方历程x 2＋x ＝1，x 2＋x ＋⎝⎛⎭⎫122＝1＋⎝⎛⎭⎫122，⎝⎛⎭⎫x ＋122＝54. 4. (2019，唐山路南区一模)已知关于x 的方程x 2＋mx －1＝0的根的鉴别式的值为5，则m 的值为(D)A. ±3B. 3C. 1D. ±1【剖析】 根据题意，得Δ＝m 2＋4＝5.解得m ＝±1.5. (2019，唐山丰南区一模)现定义运算“★”，敷衍恣意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－a ·b ＋b .如：3★5＝32－3×5＋5.若x ★2＝10，则实数x 的值为(C)A. －4或－1B. 4或－1C. 4或－2D. －4或2【剖析】 根据题意，得x ★2＝x 2－2x ＋2.∴x 2－2x ＋2＝10.解得x 1＝4，x 2＝－2. 6. (2019，唐山路南区二模)下列方程中，没有实数根的是(D) A. x 2－2x ＝0 B. x 2－2x －1＝0 C. x 2－2x ＋1＝0 D. x 2－2x ＋2＝0【剖析】 选项A ，Δ＝4>0；选项B ，Δ＝8>0；选项C ，Δ＝0；选项D ，Δ＝－4<0. 7. (2019，娄底)关于x 的一元二次方程x 2－(k ＋3)x ＋k ＝0的根的环境是(A) A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 不能确定【剖析】 ∵Δ＝[]－（k ＋3）2－4k ＝k 2＋2k ＋9＝(k ＋1)2＋8>0，∴方程有两个不相等的实数根．8. (2019，定西)关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋k ＝0有两个实数根，则k 的取值范畴是(C) A. k ≤－4 B. k ＜－4 C. k ≤4D. k ＜4【剖析】 因为方程有实数根，所以Δ＝16－4k ≥0.解得k ≤4.9. (2019，桂林)已知关于x 的一元二次方程2x 2－kx ＋3＝0有两个相等的实数根，则k 的值为(A)A. ±2 6B. ± 6C. 2或3D. 2或 3【剖析】 因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝k 2－24＝0.解得k ＝±2 6.10. (2019，秦皇岛海港区模拟)某城市2019年底已有绿化面积300 hm 2，议决两年绿化，绿化面积逐年增加，到2019年底已抵达363 hm 2.设绿化面积的年均匀增长率为x .根据题意，所列方程正确的是(B)A. 300(1＋x )＝363B. 300(1＋x )2＝363C. 300(1＋2x )＝363D. 363(1－x )2＝300【剖析】 2019年底的绿化面积是300(1＋x ) hm 2，2019年底的绿化面积是300(1＋x )2 hm 2，可得方程．11. (2019，绵阳)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯．若一共举杯55次，则到场酒会的有(C)A. 9人B. 10人C. 11人D. 12人【剖析】 设到场酒会的有x 人，则每人举杯(x －1)次．因为每两人都只碰一次杯，所以共举杯x （x －1）2次，得方程x （x －1）2＝55，取正根x ＝11.二、 填空题12. (2019，淮安)一元二次方程x 2－x ＝0的根是 x 1＝0，x 2＝1 . 【剖析】 x (x －1)＝0，得x 1＝0，x 2＝1.13. (2019，秦皇岛海港区模拟)已知x ＝1是一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根，则m 2＋2mn ＋n 2的值为 1 .【剖析】 把x ＝1代入方程，得m ＋n ＝－1，则m 2＋2mn ＋n 2＝(m ＋n )2＝1.14. (2019，南充)若2n (n ≠0)是关于x 的方程x 2－2mx ＋2n ＝0的根，则m －n 的值为（ 12 ）.【剖析】 把x ＝2n 代入方程，得(2n )2－2m ·2n ＋2n ＝0, 变形为2n (2n －2m ＋1)＝0，∵2n ≠0，∴2n －2m ＋1＝0.∴m －n ＝12.15. (2019，邵阳)已知关于x 的方程x 2 ＋3x －m ＝0的一个解为x ＝－3，则它的另一个解是 x ＝0 .【剖析】 把x ＝－3代入方程解得m ＝0，则原方程为x 2 ＋3x ＝0，可求出另一个解是x ＝0.16. (2019，唐山丰南区一模)若关于x 的方程x 2－6x ＋c ＝0有两个相等的实数根，则c 的值为 9 .【剖析】 因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝36－4c ＝0.解得c ＝9.17. (2019，威海)关于x 的一元二次方程(m －5)x 2＋2x ＋2＝0有实数根，则m 的最大整数值是 4 .【剖析】 因为方程有实数根， 所以Δ＝4－8(m －5)≥0.解得 m ≤112.又因为m ≠5，所以m 的最大整数值是4.三、 解答题18. 解下列方程： (1)x 2－3x ＋1＝0； (2)x 2－2x ＝6－3x ； (3)(2x ＋3)2＝8.【思路剖析】 针对各个方程的特点，选择适当的解法．(1)用公式法．(2)用因式分化法．(3)用直接开平要领．解：(1)这里a ＝1，b ＝－3，c ＝1. ∵b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×1＝5＞0， ∴x ＝3±52，即x 1＝3＋52，x 2＝3－52.(2)原方程可化为x (x －2)＝－3(x －2)．移项，因式分化，得(x －2)(x ＋3)＝0. 于是，得x －2＝0或x ＋3＝0. x 1＝2，x 2＝－3. (3)2x ＋3＝±22， 2x ＝±22－3，x 1＝－3＋222，x 2＝－3－222.19. (2019，北京)关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0.(1)当b ＝a ＋2时，利用根的鉴别式鉴别方程根的环境；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根． 【思路剖析】 (1)把b ＝a ＋2代入根的鉴别式，鉴别出正负即可．(2)由Δ＝0得出a ，b 之间的干系，任取一组相符条件的值，再解方程．解：(1)Δ＝b 2－4a ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0， 所以方程有两个不相等的实数根． (2)∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4a ＝0.令b ＝2，a ＝1，此时方程为x 2＋2x ＋1＝0， ∴x 1＝x 2＝－1. 20. 【发觉思考】已知等腰三角形ABC 的双方长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是几多？如图所示的是涵涵的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 【探究应用】 请解答以下标题：已知等腰三角形ABC 的双方长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个实数根．(1)当m ＝2时，求等腰三角形ABC 的周长； (2)当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．第20题图【思路剖析】 一要查抄解方程的历程和终于，二要思虑方程的解是三角形的边，需满足恣意双方之和大于第三边．解：【发觉思考】错误之处：当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边长分别为2，2，5.错误原因：此时不能组成三角形(或不相符三角形的三边干系)． 【探究应用】(1)当m ＝2时，方程为x 2－2x ＋34＝0.解得x 1＝12，x 2＝32.当12为腰时，因为12＋12<32，所以不能组成三角形． 当32为腰时，等腰三角形的三边长分别为32，32，12.此时周长为32＋32＋12＝72. (2)若△ABC 为等边三角形，则方程有两个相等的实数根． ∴Δ＝m 2－4⎝⎛⎭⎫m 2－14＝m 2－2m ＋1＝0. ∴m 1＝m 2＝1，即m 的值为1.21. (2019，盐城)一商店销售某种商品，均匀每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售、增加赢利，该店接纳了降价措施，在每件赢利不少于25元的条件下，议决一段时间销售，发觉销售单价每降低1元，均匀每天可多售出2件．(1)若降价3元，则均匀每天可售出 26 件；(2)当每件商品降价几多元时，该商店每天的销售利润为1 200元？【思路剖析】 (1)20＋3×2＝26.(2)设降价x 元，则销量为(20＋2x )件，每件赢利(40－x )元．等量干系是每件赢利×销量＝总赢利．最后要选择相符条件的解．解：(1)26(2)设每件商品降价x 元时，该商店每天的销售利润为1 200元，则均匀每天售出(20＋2x )件，每件赢利(40－x )元，且40－x ≥25，即x ≤15.根据题意，得(40－x )(20＋2x )＝1 200. 整理，得x 2－30x ＋200＝0. 解得x 1＝10，x 2＝20(舍去)．答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1 200元．22. (2019，德州)为积极响应新旧动能转换，进步公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备的成本价为30万元，议决市场调研发觉，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y (单位：台)和销售单价x (单位：万元)成一次函数干系．(1)求年销售量y 与销售单价x 之间的函数干系式； (2)根据相关准则，此设备的销售单价不得高于70万元．要是该公司想获得10 000万元的年利润，那么该设备的销售单价应定为几多万元？【思路剖析】 (1)用待定系数法求一次函数干系式．(2)等量干系是：每台利润×销量＝总利润．根据条件决定方程的根的取舍．解：(1)设年销售量y 与销售单价x 之间的函数干系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．将(40，600)，(45，550)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝600，45k ＋b ＝550.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝1 000.∴年销售量y 与销售单价x 之间的函数干系式为y ＝－10x ＋1 000. (2)设该设备的销售单价应定为x 万元，则每台设备的利润为(x －30)万元，销售量为(－10x ＋1 000)台．根据题意，得(x －30)(－10x ＋1 000)＝10 000. 整理，得x 2－130x ＋4 000＝0. 解得x 1＝50，x 2＝80.∵此设备的销售单价不得高于70万元， ∴x ＝50.答：该设备的销售单价应定为50万元．1. (2019，福建A ，导学号5892921)已知一元二次方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，则下列鉴别正确的是(D)A. 1一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根B. 0一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根C. 1和－1都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根D. 1和－1不都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根【剖析】 方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，则有(2b )2－4(a ＋1)2＝0，且a ＋1≠0.解得b ＝a ＋1或b ＝－(a ＋1)，且a ＋1≠0.若b ＝a ＋1，则－1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根；若b ＝－(a ＋1)，则1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根．∵a ＋1≠0，∴a ＋1≠－(a ＋1)．故1和－1不会同时是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根．2. (2019，舟山)欧几里得的《原本》记载，形如x 2＋ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝a 2，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝a2.则该方程的一个正根是(B)第2题图A. AC 的长B. AD 的长C. BC 的长D. CD 的长【剖析】 用配要领解方程x 2＋ax ＝b 2，易得正根x ＝b 2＋a 24－a2.据勾股定理知AB ＝b 2＋a 24.∵AD ＝AB －BD ＝b 2＋a 24－a2，∴AD 的长是方程的正根．3. (2019，河北，导学号5892921)敷衍实数p ，q ，我们用标记min{p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如min{1，2}＝1.因此，min{－2，－3}min{(x －1)2，x 2}＝1，则x ＝ 2或－1 .【剖析】 min{－2，－3}＝－ 3.∵min{(x －1)2，x 2}＝1，∴当(x －1)2＜x 2时，(x －1)2＝1.解得x 1＝2，x 2＝0(不合题意，舍去)．当(x －1)2≥x 2时，x 2＝1.解得x 1＝1(不合题意，舍去)，x 2＝－1.4. (2019，内江B ，导学号5892921)已知关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，则方程a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1＝0的两根之和为 1 .【剖析】 把(x ＋1)看作一个整体，据已知条件可得x ＋1＝1或x ＋1＝2，所以x 1＝0，x 2＝1.所以和为1.。
初中复习方略数学第七讲 一元二次方程
1．一元二次方程二次项系数不为 0. 2．找各项系数时，要将方程化为一般形式，并注意每项的符号．
解一元二次方程
解法
形式
直接
x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝
开平方法
p(p≥0，m≠0)Fra bibliotek配方法
(x－m)2＝n(n≥0)
公式法
ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－ 4ac≥0)
因式分解法
(x－x1)(x－x2)＝0
D．有两个不相等的实数根
2．(2021·广安中考)关于 x 的一元二次方程(a＋2)x2－3x＋1＝0 有实数根，
则 a 的取值范围是( A )
A．a≤14 且 a≠－2
B．a≤41
C．a＜14 且 a≠－2
D．a＜41
3．(2021·济宁中考)已知 m，n 是一元二次方程 x2＋x－2 021＝0 的两个实数根，
【例题变式】某超市经销一种商品，每千克成本为 50 元，经试销发现，该种商品的
每天销售量 y(千克)与销售单价 x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价，销
售量的四组对应值如下表所示：
销售单价 x(元/千克)
55 60 65 70
销售量 y(千克)
70 60 50 40
(1)求 y(千克)与 x(元/千克)之间的函数表达式．
第七讲 一元二次方程
知识清单·熟掌握
一元二次方程的有关概念 1．定义的三要素： (1)只含有___一___个未知数． (2)所含未知数的最高次数是___2___ ． (3)必须是__整__式__方程． 2．一般形式：y＝ __a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a，b，c是常数，a≠0)，a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项． 3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边_相__等___的未知数的值．
初中数学试讲教案《一元二次方程复习》
初中数学试讲教案《一元二次方程复习》只含有一个未知数(一元)，并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。
下面，小编为大家分享初中数学试讲教案《一元二次方程复习》，希望对大家有所帮助!试讲人：XXX知识点：二元一次方程的概念及一般形式，二次项系数、一次项系数、常数项、判别式、一元二次方程解法重点、难点：二元一次方程四种解法，直接开平方、配方法、公式法、因式分解法教学形式：例题演示，加深印象!学完即用，巩固记忆!你问我答，有来有往!1、自我介绍：30s大家下午好!我叫XXX，20XX年毕业于暨南大学，学的行政管理，现在教的是初中数学，希望能与大家有一个愉快的下午!2、一元二次方程概念、系数、根的判别式：8min30s我们今天的课堂内容是复习一元二次方程。
首先请同学们看黑板上的这4个等式，请判断等式是否是一元二次方程，如果是请说出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数以及常数项：(1)x -10x+9=0 是 1 -10 9(2)x +2=0 是 1 0 2(3)ax +bx+c=0 不是 a必须不等于0(追问为什么)(4)3x -5x=3x 不是整理式子得-5x=0所以为一元一次方程(追问为什么) 好，同学们都回答得非常好!那么我们所说的`一元二次方程究竟是什么呢?我们从它的名字可以得出它的定义!一元：只含一个未知数二次：含未知数项的最高次数为2方程：一个等式一元二次方程的一般形式为：ax +bx+c=0 (a ≠0)其中，a 为二次项系数、b 为一次项系数、c 为常数项。
记住，a 一定不为0,b 、c 都有可能等于0，一元二次方程的形式多种多样，所以大家要注意找系数时先将一元二次方程化为一般式! 至于一个一元二次方程有没有根怎么判断，有同学能告诉老师吗?(没有就自己讲)，好非常好!我们知道Δ是等于2-4ac 的，当Δ>0时，方程有2个不相同的实数根;当Δ=0时，方程有两个相同的实数根;当Δ<0时，方程无实根。
考点07 一元二次方程(精讲)(原卷版)
考点07.一元二次方程（精讲）【命题趋势】一元二次方程以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右。
预计2024年各地中考还将继续考查，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了。
【知识清单】1：一元二次方程的相关概念（☆☆）1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。
2）一般形式：2(0)0ax bx c a ++=≠，其中：a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
3）一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是该一元二次方程的解。
2：一元二次方程的解法（☆☆☆）1）直接开平方法：适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程。
2）配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式；（5）运用直接开平方法解方程。
3）因式分解法：基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=。
4）公式法：（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=；（2）确定,,a b c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入2b x a -±=即可。
5）根的判别式：一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式。
6）一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；（3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根。
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第 7 讲 一元二次方程1. (2014，河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式时， 对于 b －4ac >0 的情况，她是这样做的： 由于 a ≠0，方程 ax 2 ＋bx ＋c ＝0 变形为：b cx ＋ x ＝－ ，…第一步aaa a 2 cb 2x＋ x ＋ ＝－ ＋ ，…第二步 a ab 2 b －4ac x ＋ ＝ 2a 4a，…第三步 b b －4ac x ＋ ＝ (b －4ac >0)，…第四步 2a 4a－b ＋ b －4ac x ＝ .…第五步2a(1)嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误；事实上，当 b －4ac >0 时，方程 ax ＋bx ＋c －b ± b －4ac ＝0(a ≠0)的求根公式是（ x ＝ ）；2a(2)用配方法解方程：x －2x －24＝0. 【思路分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤： (1) 形如 x ＋px ＋q ＝0 型．第一步，移项，把常数项移到方程右边；第二步，配方，左、右两边 加上一次项系数一半的平方；第三步，左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可． (2)形如 ax ＋bx ＋c ＝0 型．方程两边同时除以二次项系数，即化成 x ＋px ＋q ＝0 型，然后配方． －b ± b －4ac 解：(1)四 x ＝2a(2)移项，得 x －2x ＝24. 配方，得 x －2x ＋1＝24＋1，即(x －1) ＝25. 开方，得 x －1＝±5. ∴x ＝6，x ＝－4.1 22. (2015，河北)若关于 x 的方程 x ＋2x ＋a ＝0 不存在实数根，则 a 的取值范围是(B) A. a ＜1 B. a ＞1 C. a ≤1 D. a ≥1【解析】 ∵关于 x 的方程 x ＋2x ＋a ＝0 不存在实数根，∴b －4ac ＝2 －4×1×a ＜0.解 得 a ＞1.3. (2016，河北)a ，b ，c 为常数，且(a －c ) >a ＋c ，则关于 x 的方程 ax ＋bx ＋c ＝0 根的 情况是(B)A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 有一根为 0【解析】 由(a －c ) >a ＋c 得出－2ac ＞0，∴Δ ＝b －4ac ＞0.∴方程有两个不相等的实数根．一元二次方程的概念及解法例 1 解下列方程： (1)x －2x －1＝0；2 2 22 2a 2a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(2)x－1＝2(x ＋1)； 1 (3)x ＋3x ＝－ .4【思路分析】 根据所给方程的形式，选择合适的方法解方程． 解：(1)a ＝1，b ＝－2，c ＝－1.Δ＝b －4ac ＝4＋4＝8＞0. ∴方程有两个不相等的实数根．－b ± b －4ac 2±2 2 ∴x ＝ ＝ ＝1± 2，2a 2即 x ＝1＋ 2，x ＝1－ 2.1 2(2)移项，得 x －1－2(x ＋1)＝0， (x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝0，因式分解，得(x ＋1)(x －1－2)＝0， 于是，得 x ＋1＝0 或 x －3＝0. ∴x ＝－1，x ＝3.123 2 1 3 2(3)配方，得 x ＋3x ＋ ＝－ ＋ ，x ＋ ＝2.3由此可得 x ＋ ＝± 2.23 3∴x ＝－ ＋ 2，x ＝－ － 2.1 2 2 2针对训练 1(2018，邯郸一模) 用配方法解一元二次方程 2x －4x －2＝1 的过程中，变形正 确的是(C)A. 2(x －1) ＝1B. 2(x －2) ＝5 5C. (x －1) ＝2 5 D. (x －2)＝23 3 5【解析】 2x －4x －2＝1，2x －4x ＝3，x －2x ＝ ，x －2x ＋1＝ ＋1，(x －1) ＝ .也可以2 2 2 把各选项中的方程展开化为一般形式，和题干中的方程做对比.一元二次方程根的判别式例 2 (2018，扬州)如果关于 x 的方程 mx －2x ＋3＝0 有两个不相等的实数根，那么 m 的取 1 值范围是（ m ＜ 且 m ≠0 ）.31【解析】 ∵方程有两个不相等的实数根，∴4－12m >0.解得 m< .但当 m ＝0 时，原方程3 不是一元二次方程，所以 m ≠0.针对训练 2(2018，石家庄桥西区一模)常数 a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则关于 x 的一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0 根的情况是(B)训练 2 题图A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定【解析】 从数轴上可知，a ，c 异号，则 b －4ac >0，所以方程有两个不相等的实数根.2 22 2 2 2 2 4 23 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 222针对训练 3 (2018，张家口桥东区模拟)若关于 x 的一元二次方程 两个相等的实数根，则锐角 α等于(D)3 4x ＋ 3x ＋tan α＝0 有 A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【解析】 ∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝( 3) －4× ∴α＝60°.一元二次方程的实际应用3×tan α＝0.解得 tan α＝ 3. 4例 3 (2018，宜昌，导学号 5892921)某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两 种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案) 和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理．若江水污染指数记为 Q ，沿江工厂用乙方案 进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的 Q 值都以平均值 n 计算，第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12.经过三年治理，境内长江水质 明显改善．(1)求 n 的值；(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m ，三年 来用乙方案治理的工厂数量共 190 家，求 m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；(3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 Q 值比上一年都增加一个 相同的数值 a.在(2)的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 Q 值与当年用甲方 案治理降低的 Q 值相等．第三年，用甲方案使Q 值降低了 39.5.求第一年用甲方案治理降低的 Q 值及 a 的值．【思路分析】 (1)平均数×数量＝总数．(2)按相同增长率，第一年 40 家，第二年 40(1＋ m )家，第三年 40(1＋m ) 家，三年总和等于 190 家列方程求解即可．(3)先求出第二年用甲方案 治理降低的 Q 值，再根据第三年用甲方案使 Q 值降低了 39.5，列方程组求解即可． 解：(1)∵40n ＝12，∴n ＝0.3.(2)根据题意，得 40＋40(1＋m )＋40(1＋m ) ＝190. 1 7解得 m ＝ ，m ＝－ (舍去)．1 2 2 2∴m ＝50%.∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为 40(1＋m )＝40×(1＋50%) ＝60(家)． (3)设第一年用甲方案治理降低的 Q 值为 x.第二年 Q 值用乙方案治理降低了 100n ＝100×0.3＝30.根据题意，得x ＋a ＝30， x ＋2a ＝39.5.解得x ＝20.5， a ＝9.5.针对训练 4(2017，白银)如图，某小区计划在一块长为 32 m 、宽为 20 m 的矩形空地上修 建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m .若设道路的宽为 x m ， 则下面所列方程正确的是(A)222 22训练 4 题图A. (32－2x )(20－x )＝570B. 32x ＋2×20x ＝32×20－570C. (32－x )(20－x )＝32×20－570D. 32x ＋2×20x －2x ＝570 【解析】 设道路的宽为 x m ．根据题意，得(32－2x )(20－x )＝570.针对训练 5 (2017，眉山)某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次) 的产品生产 76 件，每件利润 10 元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件 利润增加 2 元．(1)若生产的某批次蛋糕产品每件利润为 14 元，此批次蛋糕产品属第几档次产品？(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4 件．若生产的某档 次产品一天的总利润为 1 080 元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？【思路分析】 (1)利润增加的量除以 2 即为档次提高的量．(2)设生产的是第 x 档次产品，则相 应的产量是 76－4(x －1)，每件利润是 10＋2(x －1)；等量关系是：每件利润×产量＝总利润．解：(1)(14－10)÷2＋1＝3(档次)．答：此批次蛋糕产品属第三档次产品．(2)设该烘焙店生产的是第 x 档次的产品．根据题意，得[76－4(x －1)][10＋2(x －1)]＝1 080.整理，得 x －16x ＋55＝0. 解得 x ＝5，x ＝11(不合题意，舍去)．1 2答：该烘焙店生产的是第五档次的产品．一、 选择题1. 已知关于 x 的方程 x －mx ＋3＝0 的一个解为 x ＝－1，则 m 的值为(A) A. －4 B. 4 C. －2 D. 2 【解析】 把 x ＝－1 代入原方程，得 m ＝－4.2. (2018，石家庄 28 中质检)若 x ＋4x －4＝0，则 3(x －2) －6(x ＋1)(x －1)的值为(B) A. －6 B. 6 C. 18 D. 30【解析】 已知条件转化为 x ＋4x ＝4，原式＝－3x －12x ＋18＝－3(x ＋4x)＋18＝6. 3. (2018，石家庄 40 中二模)用配方法解方程 x ＋x －1＝0，配方后所得方程是(C) A. x － ＝1 2 5 C.x ＋ ＝4 B. x ＋ ＝1 2 5 D.x － ＝ 41 1 1 5【解析】 配方过程 x ＋x ＝1，x ＋x ＋ ＝1＋ ， x ＋ ＝ . 44. (2018，唐山路南区一模)已知关于 x 的方程 x ＋mx －1＝0 的根的判别式的值为 5，则 m 的值为(D)A. ±3B. 3C. 1D. ±1【解析】 根据题意，得 Δ＝m ＋4＝5.解得 m ＝±1.5. (2018，唐山丰南区一模)现定义运算“★”，对于任意实数 a ，b ，都有 a ★b ＝a －a ·b ＋b .如：3★5＝3 －3×5＋5.若 x ★2＝10，则实数 x 的值为(C)A. －4 或－1B. 4 或－1C. 4 或－2D. －4 或 2【解析】 根据题意，得 x ★2＝x －2x ＋2.∴x －2x ＋2＝10.解得 x ＝4，x ＝－2. 1 26. (2018，唐山路南区二模)下列方程中，没有实数根的是(D)A. x －2x ＝0B. x －2x －1＝02 2 2 2 2 2 2 2 2 13 2 24 1 3 2 2 42 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2C.x－2x＋1＝0D.x－2x＋2＝0【解析】选项A，Δ＝4>0；选项B，Δ＝8>0；选项C，Δ＝0；选项D，Δ＝－4<0.7.(2018，娄底)关于x的一元二次方程x－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D. 不能确定【解析】∵Δ＝[－（k＋3）]2－4k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8>0，∴方程有两个不相等的实数根．8.(2018，定西)关于x的一元二次方程x＋4x＋k＝0有两个实数根，则k的取值范围是(C)A.k≤－4B.k＜－4C.k≤4D. k＜4【解析】因为方程有实数根，所以Δ＝16－4k≥0.解得k≤4.9.(2018，桂林)已知关于x的一元二次方程2x－kx＋3＝0有两个相等的实数根，则k 的值为(A)A.±26B.±6C.2或3D.2或3【解析】因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝k－24＝0.解得k＝±2 6.10.(2018，秦皇岛海港区模拟)某城市2015年底已有绿化面积300hm，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2017年底已达到363hm所列方程正确的是(B).设绿化面积的年平均增长率为x.根据题意，A.300(1＋x)＝363B.300(1＋x)＝363C.300(1＋2x)＝363D.363(1－x)＝300【解析】2016年底的绿化面积是300(1＋x)hm，2017年底的绿化面积是300(1＋x)hm，可得方程．11.(2018，绵阳)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯．若一共碰杯55次，则参加酒会的有(C)A.9人B.10人C.11人D.12人【解析】设参加酒会的有x人，则每人碰杯(x－1)次．因为每两人都只碰一次杯，所以x（x－1）x（x－1）共碰杯次，得方程＝55，取正根x＝11.22二、填空题12.(2018，淮安)一元二次方程x－x＝0的根是x＝0，x＝1.12【解析】x(x－1)＝0，得x＝0，x＝1.1213.(2018，秦皇岛海港区模拟)已知x＝1是一元二次方程x＋mx＋n＝0的一个根，则m ＋2mn＋n的值为1.【解析】把x＝1代入方程，得m＋n＝－1，则m＋2mn＋n＝(m＋n)＝1.214.(2018，南充)若2n(n≠0)是关于x的方程x－2mx＋2n＝0的根，则m－n的值为（1 2）.【解析】把x＝2n代入方程，得(2n)1∵2n≠0，∴2n－2m＋1＝0.∴m－n＝.2－2m·2n＋2n＝0,变形为2n(2n－2m＋1)＝0，15.(2018，邵阳)已知关于x的方程x＋3x－m＝0的一个解为x＝－3，则它的另一个解是x＝0.【解析】把x＝－3代入方程解得m＝0，则原方程为x＋3x＝0，可求出另一个解是x ＝0.16.(2018，唐山丰南区一模)若关于x的方程x 值为9.2－6x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的22222222222222222222222【解析】 因为方程有两个相等的实数根，所以 Δ＝36－4c ＝0.解得 c ＝9.17. (2018，威海)关于 x 的一元二次方程(m －5)x ＋2x ＋2＝0 有实数根，则 m 的最大整数 值是 4 .11【解析】 因为方程有实数根， 所以 Δ＝4－8(m －5)≥0.解得 m ≤ .又因为 m ≠5，所以 m 的最大整数值是 4.三、 解答题 18. 解下列方程：(1)x －3x ＋1＝0； (2)x－2x ＝6－3x ； (3)(2x ＋3) ＝8.【思路分析】 针对各个方程的特点，选择适当的解法．(1)用公式法．(2)用因式分解法．(3) 用直接开平方法．解：(1)这里 a ＝1，b ＝－3，c ＝1.∵b －4ac ＝(－3) －4×1×1＝5＞0， 3± 5 3＋ 5 3－ 5 ∴x ＝ ，即 x ＝ ，x ＝ .2 1 2 2 2(2)原方程可化为 x (x －2)＝－3(x －2)． 移项，因式分解，得(x －2)(x ＋3)＝0. 于是，得 x －2＝0 或 x ＋3＝0. x ＝2，x ＝－3.12(3)2x ＋3＝±2 2， 2x ＝±2 2－3，－3＋2 2 －3－2 2 x ＝ ，x ＝ . 1 2 2 219. (2018，北京)关于 x 的一元二次方程 ax ＋bx ＋1＝0. (1)当 b ＝a ＋2 时，利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 a ，b 的值，并求此时方程的根． 【思路分析】 (1)把 b ＝a ＋2 代入根的判别式，判断出正负即可．(2)由 Δ＝0 得出 a ，b之间的关系，任取一组符合条件的值，再解方程．解：(1)Δ＝b －4a ＝(a ＋2) －4a ＝a ＋4＞0，所以方程有两个不相等的实数根．(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b －4a ＝0.令 b ＝2，a ＝1，此时方程为 x ＋2x ＋1＝0， ∴x ＝x ＝－1.1 220. 【发现思考】已知等腰三角形 ABC 的两边长分别是方程 x －7x ＋10＝0 的两个根，求等腰三角形 ABC 三条边的长各是多少？如图所示的是涵涵的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 【探究应用】请解答以下问题：m 1已知等腰三角形 ABC 的两边长是关于 x 的方程 x －mx ＋ － ＝0 的两个实数根．2 4 (1)当 m ＝2 时，求等腰三角形 ABC 的周长； 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2解：x 2－7x ＋10＝0.涵涵的作业a ＝1，b ＝－7，c ＝10.∵b－4a c ＝9＞0，∴x ＝ －b ± b －4ac 7±3 ＝ .2a 2 ∴x ＝5，x ＝2.12∴当腰为 5，底为 2 时，等腰三角形的三条边长分别为 5，5，2. 当腰为 2，底为 5 时，等腰三角形的三条边长分别为 2，2，5.第 20 题图【思路分析】 一要检查解方程的过程和结果，二要考虑方程的解是三角形的边，需满足 任意两边之和大于第三边．解：【发现思考】错误之处：当腰为 2，底为 5 时，等腰三角形的三条边长分别为 2，2，5. 错误原因：此时不能构成三角形(或不符合三角形的三边关系)．【探究应用】(1)当 m ＝2 时， 3方程为 x －2x ＋ ＝0.41 3解得 x ＝ ，x ＝ .1 2 2 21 1 1 3当 为腰时，因为 ＋ < ，所以不能构成三角形．2 2 2 23 3 3 1 3 3 1 7 当 为腰时，等腰三角形的三边长分别为 ， ， .此时周长为 ＋ ＋ ＝ .2 2 2 2 2 2 2 2 (2)若△ABC 为等边三角形，则方程有两个相等的实数根．∴Δ＝m －4 m 1 － ＝m －2m ＋1＝0.∴m ＝m ＝1，即 m 的值为 1.1221. (2018，盐城)一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元．为了扩大销售、增加赢利，该店采取了降价措施，在每件赢利不少于 25 元的前提下，经过一段时间 销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件．(1)若降价 3 元，则平均每天可售出 26 件；(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为 1 200 元？【思路分析】 (1)20＋3×2＝26.(2)设降价 x 元，则销量为(20＋2x )件，每件赢利(40－x ) 元．等量关系是每件赢利×销量＝总赢利．最后要选择符合条件的解．解：(1)26(2)设每件商品降价 x 元时，该商店每天的销售利润为 1 200 元，则平均每天售出(20＋2x ) 件，每件赢利(40－x )元，且 40－x ≥25，即 x ≤15.根据题意，得(40－x )(20＋2x)＝1 200.整理，得 x －30x ＋200＝0. 解得 x ＝10，x ＝20(舍去)．1 2答：当每件商品降价 10 元时，该商店每天的销售利润为 1 200 元．22. (2018，德州)为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益．某科技公司近期研发出 一种新型高科技设备，每台设备的成本价为 30 万元，经过市场调研发现，每台售价为 40 万 元时，年销售量为 600 台；每台售价为 45 万元时，年销售量为 550 台．假定该设备的年销售 量 y (单位：台)和销售单价 x (单位：万元)成一次函数关系．2 2 22 22 42(1)求年销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于 70 万元．如果该公司想获得 10 000 万元的 年利润，那么该设备的销售单价应定为多少万元？【思路分析】 (1)用待定系数法求一次函数关系式．(2)等量关系是：每台利润×销量＝总 利润．根据条件决定方程的根的取舍．解：(1)设年销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式为 y ＝kx ＋b(k ≠0)．40k ＋b ＝600，将(40，600)，(45，550)代入 y ＝kx ＋b ，得45k ＋b ＝550.k ＝－10，解得b ＝1000.∴年销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式为 y ＝－10x ＋1 000.(2)设该设备的销售单价应定为 x 万元，则每台设备的利润为(x －30)万元，销售量为(－10x ＋1 000)台．根据题意，得(x －30)(－10x ＋1 000)＝10 000.整理，得 x －130x ＋4 000＝0. 解得 x ＝50，x ＝80.1 2∵此设备的销售单价不得高于 70 万元， ∴x ＝50.答：该设备的销售单价应定为 50 万元．1. (2018，福建 A ，导学号 5892921)已知一元二次方程(a ＋1)x ＋2bx ＋(a ＋1)＝0 有两个 相等的实数根，则下列判断正确的是(D)A. 1 一定不是关于 x 的方程 x ＋bx ＋a ＝0 的根B. 0 一定不是关于 x 的方程 x ＋bx ＋a ＝0 的根 C. 1 和－1 都是关于 x 的方程 x ＋bx ＋a ＝0 的根 D. 1 和－1 不都是关于 x 的方程 x ＋bx ＋a ＝0 的根 【解析】 方程(a ＋1)x ＋2bx ＋(a ＋1)＝0 有两个相等的实数根，则有(2b ) －4(a ＋1) ＝0，且 a ＋1≠0.解得 b ＝a ＋1 或 b ＝－(a ＋1)，且 a ＋1≠0.若 b ＝a ＋1，则－1 是方程 x＋bx ＋a ＝0 的根；若 b ＝－(a ＋1)，则 1 是方程 x＋bx ＋a ＝0 的根．∵a ＋1≠0，∴a ＋1≠－(a ＋1)．故 1 和－1 不会同时是方程 x＋bx ＋a ＝0 的根． 2. (2018，舟山)欧几里得的《原本》记载，形如 x ＋ax ＝b 的方程的图解法是：画 △R t ABC ，a a使∠ACB ＝90°，BC ＝ ，AC ＝b ，再在斜边 AB 上截取 BD ＝ .则该方程的一个正根是(B)2 2A. AC 的长C. BC 的长第 2 题图B. AD 的长 D. CD 的长【解析】 用配方法解方程 x ＋ax ＝b ，易得正根 x ＝a ab ＋ － .据勾股定理知 AB ＝4 2a a a b＋ .∵AD ＝AB －BD ＝ b ＋ － ，∴AD 的长是方程的正根． 4 4 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23. (2017，河北，导学号 5892921)对于实数 p ，q ，我们用符号 min{p ，q }表示 p ，q 两数中较小的数，如 min{1，2}＝1.因此，min{－ 2，－ 3}＝ － 3 ；若 min{(x －1) ，x}＝1， 则 x ＝ 2 或－1 .【解析】 min{－ 2，－ 3}＝－ 3.∵min{(x －1) ，x }＝1，∴当(x －1) ＜x 时，(x －1) ＝1.解得 x ＝2，x ＝0(不合题意，舍去)．当(x －1) ≥x 12x ＝－1. 2时，x ＝1.解得 x ＝1(不合题意，舍去)， 14. (2018，内江 B ，导学号 5892921)已知关于 x 的方程 ax ＋bx ＋1＝0 的两根为 x ＝1， 1x ＝2，则方程 a (x ＋1) ＋b (x ＋1)＋1＝0 的两根之和为 1 . 2【解析】 把(x ＋1)看作一个整体，据已知条件可得 x ＋1＝1 或 x ＋1＝2，所以 x ＝0，x1 2＝1.所以和为 1.2 2 2 2 2 2 22 2 22 2。