【精品专题训练】2021九年级数学中考总复习专题六几何图形动态变化型问题含答案与试题解析

合集下载

中考数学专题复习卷几何图形的动态问题精编(含解析)

1.如图，平行四边形ABCD中，AB= cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】：分三种情况讨论：①当0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E．∵∠B=45°，∴△ABE是等腰直角三角形．∵AB= ，∴AE=1，∴S= BP×AE= ×t×1= t；②当2＜t≤ 时，S= = ×2×1=1；③当＜t≤ 时，S= AP×AE= ×（-t）×1= （-t）．故答案为：A．【分析】根据题意分三种情况讨论：①当0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E；②当2＜t≤ 2 +时；③当 2 + ＜t≤ 4 +时，分别求出S与t的函数解析式，再根据各选项作出判断，即可得出答案。

2.如图，边长为a的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,满足AE+CF=a,△BEF的周长最小值是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】：连接BD∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∵∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=DB，∠BDF=60°∴∠A=∠BDF又∵AE+CF=a，∴AE=DF，在△ABE和△DBF中，∴△ABE≌△DBF（SAS），∴BE=BF，∠ABE=∠DBF，∴∠EBF=∠ABD=60°，∴△BEF是等边三角形．∵E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,要使△BEF的周长最小，就是要使它的边长最短∴当BE⊥AD时，BE最短在Rt△ABE中，BE==∴△BEF的周长为【分析】根据等边三角形的性质及菱形的性质，证明∠A=∠BDF，AE=DF，AB=AD，就可证明△ABE≌△DBF，根据全等三角形的性质，可证得BE=BF，∠ABE=∠DBF，再证明△BEF是等边三角形，然后根据垂线段最短，可得出当BE⊥AD时，BE最短，利用勾股定理求出BE的长，即可求出△BEF的周长。

九年级中考数学几何动点问题专项训练(含答案)

九年级中考数学几何动点问题专项训练1如图，已知△ABC 中，AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm.如果点P 由B 出发沿BA 向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 向点C 匀速运动，它们的速度均为2 cm/s.连接PQ ，设运动的时间为t (单位：s)(0≤t ≤4)．第1题图(1)当t 为何值时，PQ ∥BC ；(2)设△AQP 的面积为S (单位：cm 2)，当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值；(3)是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知BP ＝2t ，AP ＝10－2t ，AQ ＝2t ，∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴＝，AP AB AQ AC即＝，解得t ＝，10－2t 102t 8209即当t 为 s 时，PQ ∥BC ；209(2)∵AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴∠C ＝90°，如解图，过点P 作PD ⊥AC 于点D，第1题解图则PD ∥BC ，∴△APD ∽△ABC ，∴＝，AP AB PD BC∴＝，10－2t 10PD 6∴PD ＝(10－2t )，35∴S ＝AQ ·PD ＝ ·2t ·(10－2t )＝－t 2＋6t ＝－(t －)2＋7.5，121235656552∵－<0，抛物线开口向下，有最大值，65∴当t ＝秒时，S 有最大值，最大值是7.5 cm 2；52(3)不存在．理由如下：假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分，则S △AQP ＝S △ABC ，12即－t 2＋6t ＝××8×6，651212整理得t 2－5t ＋10＝0，∵b 2－4ac ＝(－5)2－4×10＝－15<0，∴此方程无解，即不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 以每秒1个单位长度的速度由点A 向点B 匀速运动，到达B 点即停止运动．M ，N 分别是AD ，CD 的中点，连接MN .设点D 运动的时间为t .(1)判断MN 与AC 的位置关系；(2)求在点D 由点A 向点B 匀速运动的过程中，线段MN 所扫过区域的面积；(3)若△DMN 是等腰三角形，求t的值．第2题图解：(1)MN ∥AC .证明：在△ADC 中，M 是AD 的中点，N 是DC 的中点，∴MN ∥AC ；(2)如解图①，分别取△ABC 三边中点E ，F ，G 并连接EG ，FG ，第2题解图①根据题意，可知线段MN 扫过区域的面积就是▱AFGE 的面积．∵AC ＝6，BC ＝8，∴AE ＝3，GC ＝4，∵∠ACB ＝90°，∴S ▱AFGE ＝AE ·GC ＝12，∴线段MN 扫过区域的面积为12；(3)依题意可知，MD ＝AD ，DN ＝DC ，MN ＝AC ＝3.121212分三种情况讨论：(ⅰ)当MD ＝MN ＝3时，△DMN 为等腰三角形，此时AD ＝AC ＝6，∴t ＝6.(ⅱ)当MD ＝DN 时，AD ＝DC .如解图②，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，则AH ＝AC ＝3，12第2题解图②∵cos A ＝＝，AB ＝10，AH AD AC AB即＝.3AD 610∴t ＝AD ＝5.(ⅲ)当DN ＝MN ＝3时，AC ＝DC ，如解图③，连接MC ，则CM ⊥AD.第2题解图③∵cos A ＝＝，即＝，AM AC AC AB AM 6610∴AM ＝，185∴t ＝AD ＝2AM ＝.365综上所述，当t ＝5或6或时，△DMN 为等腰三角形．3653.如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 边上，动点P 以2厘米/秒的速度从点A 出发，沿△AED 的边按照A →E →D →A 的顺序运动一周．设点P 从点A 出发经x (x >0)秒后，△ABP 的面积是y .(1)若AB ＝8厘米，BE ＝6厘米，当点P 在线段AE 上时，求y 关于x 的函数表达式；(2)已知点E 是BC 的中点，当点P 在线段ED 上时，y ＝x ；当点P 在线段AD 125上时，y ＝32－4x .求y 关于x的函数表达式．第3题图解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABE ＝90°，又∵AB ＝8，BE ＝6，∴AE ＝＝＝10，22BE AB +2268+如解图①，过点B 作BH ⊥AE 于点H，第3题解图①∵S △ABE ＝AE ·BH ＝AB ·BE ，1212∴BH ＝，245又∵AP ＝2x ，∴y ＝AP ·BH ＝x (0<x ≤5)；12245(2) ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝DC , AD ＝BC ，∵E 为BC 中点，∴BE ＝EC ，∴△ABE ≌△DCE (SAS)，∴AE ＝DE ，∵y ＝x (P 在ED 上), y ＝32－4x (P 在AD 上)，125当点P 运动至点D 时，可联立得，，{y ＝125x y ＝32－4x )解得x ＝5，∴AE ＋ED ＝2x ＝10，∴AE ＝ED ＝5，当点P 运动一周回到点A 时，y ＝0，∴y ＝32－4x ＝0, 解得x ＝8，∴AE ＋DE ＋AD ＝16，∴AD ＝BC ＝6，∴BE ＝3，在Rt △ABE 中，AB ＝＝4，22-BE AE 如解图②，过点B 作BN ⊥AE 于N ，则BN ＝，125第3题解图②∴y ＝x (0<x ≤2.5)，125∴y ＝.{125x （0<x ≤5）32－4x （5≤x ≤8）)4.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 在AD 边上运动，且不与点A 和点D 重合，连接CE ，过点C 作CF ⊥CE 交AB 的延长线于点F ，EF 交BC 于点G .(1)求证：△CDE ≌△CBF ；(2)当DE ＝时，求CG 的长；12(3)连接AG ，在点E 运动过程中，四边形CEAG 能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．第4题图(1)证明：如解图，在正方形ABCD 中，DC ＝BC ，∠D ＝ ∠CBA ＝ ∠CBF ＝ ∠DCB ＝ 90°，第4题解图∴∠1＋∠2＝ 90°，∵CF ⊥CE ，∴∠2＋∠3＝ 90°，∴∠1＝ ∠3，在△CDE 和△CBF 中，，{∠D ＝ ∠CBFDC ＝BC ∠1＝ ∠3)∴△CDE ≌△CBF (ASA);(2)解：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴△GBF ∽△EAF ，∴＝，BG AE BF AF由(1)知，△CDE ≌△CBF ，∴BF ＝ DE ＝，12∵正方形的边长为1，∴AF ＝AB ＋BF ＝，32AE ＝AD －DE ＝，12∴＝，BG 121232∴BG ＝，16∴CG ＝BC －BG ＝；56(3)解：不能．理由：若四边形CEAG 是平行四边形，则必须满足AE ∥CG ，AE ＝ CG ，∴AD －AE ＝BC －CG ，∴DE ＝BG ，由(1)知，△CDE ≌△CBF ，∴DE ＝BF ，CE ＝CF ，∴△GBF 和△ECF 是等腰直角三角形，∴∠GFB ＝ 45°，∠CFE ＝ 45°，∴∠CFA ＝ ∠GFB ＋∠CFE ＝ 90°，此时点F 与点B 重合，点D 与点E 重合，与题目条件不符，∴点E 在运动过程中，四边形CEAG 不能是平行四边形．5. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别是边AD ，BC 的中点，AF ＝AB .14(1)求证：EF ⊥AG ；(2)若点F ，G 分别在射线AB ，BC 上同时向右、向上运动，点G 运动速度是点F 运动速度的2倍，EF ⊥AG 是否成立(只写结果，不需说明理由)?(3)正方形ABCD 的边长为4，P 是正方形ABCD 内一点，当S △PAB ＝S △OAB 时，求△PAB周长的最小值．第5题图(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ＝BC ，∠EAF ＝∠ABG ＝90°，∵点E ，G 分别是边AD ，BC 的中点，AF ＝AB ，14∴＝，＝，AE AB 12AF BG 12∴＝，AE AB AF BG又∵∠EAF ＝∠ABC ＝90°，∴△AEF ∽△BAG ，∴∠AEF ＝∠BAG ，又∵∠BAG ＋∠EAO ＝90°，∴∠AEF ＋∠EAO ＝90°，∴∠EOA ＝90°，即EF ⊥AG ；(2)解：EF ⊥AG 仍然成立；(3)解：如解图，过点O 作MN ∥AB 分别交AD 、BC 于点M ，N ，连接PA，第5题解图∵P 是正方形ABCD 内一点，当S △PAB ＝S △OAB ，∴点P 在线段MN 上(不含端点)，作点A 关于MN 的对称点A ′，连接BA ′交MN 于点P ，此时PA ＋PB ＝PA ′＋PB ＝BA ′最小，即△PAB 的周长最小．∵正方形ABCD 的边长为4，∴AE ＝AD ＝2，AF ＝AB ＝1，1214∴EF ＝＝，22AF AE 5OA ＝＝，AE ·AF EF 255∵∠AMO ＝∠EOA ，∠EAO ＝∠EAO ，∴△EOA ∽△OMA ，∴＝，AEOA OA AM ∴OA 2＝AM ·AE ，∴AM ＝＝，AE OA 225∴A ′A ＝2AM ＝，45∴BA ′＝＝，22'AB A A 4265故△PAB 周长的最小值为4＋.42656.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝4cm.点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿边AB 向终点B 运动．过点P 作PQ ⊥AB 交折线ACB 于点Q ，D 为PQ 中点，以DQ 为边向右侧作正方形DEFQ .设正方形DEFQ 与△ABC 重叠部分图形的面积是y (cm 2)，点P 的运动时间为x (s)．(1)当点P 不与点B 重合时，求点F 落在边BC 上时x 的值；(2)当0<x <2时，求y 关于x 的函数解析式；(3)直接写出边BC 的中点落在正方形DEFQ 内部时x 的取值范围．第6题图解：(1)如解图①，延长FE 交AB 于点G ，由题意，得AP ＝2x ，∵D 为PQ 中点，∴DQ ＝DP ＝x ，∵四边形DEFQ 为正方形，∴DQ ＝DE ＝GP ＝x ，∵FG ⊥AB ，∠B ＝45°，∴△FGB 是等腰直角三角形，∴BG ＝FG ＝PQ ＝2x ，∴AP ＋PG ＋BG ＝AB ，即2x ＋x ＋2x ＝4，∴x ＝，45第6题解图①(2)当0<x ≤时，y ＝S 正方形DEFQ ＝DQ 2＝x 2，45∴y ＝x 2，(0＜x ≤)45如解图②，当<x ≤1时，设BC 交QF 于点M ，BC 交EF 于点N ，过点C 作CH 45⊥AB 于点H ，交FQ 于点K ，则CH ＝2，∵PQ ＝AP ＝2x ，∴CK ＝2－2x ，∴MQ ＝2CK ＝4－4x ，∴FM ＝x －(4－4x )＝5x －4，∴y ＝S 正方形DEFQ －S △MNF ＝DQ 2－FM 2，12∴y ＝x 2－(5x －4)2＝－x 2＋20x －8，12232∴y ＝－x 2＋20x －8 (＜x ≤1) ，23245第6题解图②如解图③，当1<x <2时，PQ ＝PB ＝4－2x ，∴DQ ＝2－x ，∴y ＝S △DEQ ＝DQ 2，12∴y ＝(x －2)2，12∴y ＝x 2－2x ＋2(1＜x ＜2)，12第6题解图③(3)1<x <.32【解法提示】当Q 与C 重合时，E 为BC 的中点，2x ＝2，∴x ＝1；当Q 为BC的中点时，BQ ＝，PB ＝1，∴AP ＝3，∴2x ＝3，∴x ＝，∴x 的取值范围是2321<x <.327.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两34点，点P 、Q 同时从点A 出发，运动时间为t 秒．其中点P 沿射线AB 运动，速度为每秒4个单位长度，点Q 沿射线AO 运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q 为圆心，PQ 为半径作⊙Q .(1)求证：直线AB 是⊙Q 的切线；(2)过点A 左侧x 轴上的任意一点C (m ，0)，作直线AB 的垂线CM ，垂足为点M ，若CM 与⊙Q 相切于点D ，求m 与t 的函数关系式(不需写出自变量的取值范围)；(3)在(2)的条件下，是否存在点C ，直线AB 、CM 、y 轴与⊙Q 同时相切，若存在，请直接写出此时点C 的坐标，若不存在，请说明理由．第7题图(1)证明：如解图，连接QP ，∵y ＝－x ＋3交坐标轴于A ，B 两点，34∴A (4，0)，B (0，3)，∴OA ＝4，OB ＝3，AB ＝＝5，22OB OA ∵AQ ＝5t ，AP ＝4t ，在△APQ 与△AOB 中，＝＝t ，＝＝t ，AQ AB 5t 5AP AO 4t 4∴＝，AQ AB AP AO又∵∠PAQ ＝∠OAB ，∴△APQ ∽△AOB ，∴∠APQ ＝∠AOB ＝90°，又∵PQ 为⊙Q的半径，∴AB 为⊙Q 的切线；第7题解图①(2)解：①当直线CM 在⊙Q 的左侧与⊙Q 相切时，如解图①，连接DQ ，∵AP ⊥QP ，AP ＝4t ，AQ ＝5t ，∴PQ ＝3t ，∴易得四边形DQPM 为正方形，∴MP ＝DQ ＝QP ＝3t ，∴cos ∠BAO ＝＝＝，MA AC PA QA 45又∵MA ＝MP ＋PA ＝3t ＋4t ＝7t ，AC ＝AO －CO ＝4－m ，∴＝，∴m ＝＝－t ＋4；7t 4－m 4516－35t 4354②当直线CM 在⊙Q 的右侧与⊙O 相切时，如解图②，连接DQ ，PQ ，由①易得MA ＝PA －PM ＝4t －3t ＝t，第7题解图②AC ＝4－m ，∴＝，t 4－m 45∴m ＝－t ＋4；54综上所述，m 与t 的函数关系式为m ＝－t ＋4或m ＝－t ＋4；35454(3)解：存在，点C 的坐标为(－，0)或(，0)或(－，0)或(，0)．3827827232【解法提示】①如解图③，当⊙Q 在y 轴的右侧与y 轴相切，∴OQ ＝QP ＝3t ，∴OA ＝OQ ＋QA ＝3t ＋5t ＝8t ＝4，∴t ＝，12第1题解图③则m ＝－t ＋4＝－，35438∴C 1(－，0)；38m ＝－t ＋4＝，54278∴C 2(，0)；278②如解图④，当⊙Q 在y 轴的左侧与y 轴相切，OA ＝AQ －OQ ＝5t －3t ＝2t ＝4，∴t ＝2，第7题解图④则m ＝－t ＋4＝－，354272∴C 3(－，0)；272m ＝－t ＋4＝，5432∴C 4(，0)．32综上所述，点C 的坐标为(－，0)或(，0)或(－，0)或(，0)．38278272328.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝8，∠BAD ＝60°.点E 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动．当点E 不与点A 重合时，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，作EG ∥AD 交AC 于点G ，过点G 作GH ⊥AD 交AD (或AD 的延长线)于点H ，得到矩形EFHG .设点E 运动的时间为t 秒．(1)求线段EF 的长(用含t 的代数式表示)；(2)求点H 与点D 重合时t 的值；(3)设矩形EFHG 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S 平方单位，求S 与t 之间的函数关系式．第8题图解：(1)由题意可知AE ＝2t ，0≤t ≤4，∵EF ⊥AD ，∠BAD ＝60°，∴sin ∠BAD ＝＝，EF AE 32∴EF ＝AE ＝t ；323(2)如解图①，∵点H 与点D 重合，菱形ABCD 中，∠DAC ＝∠BA ＝30°，AD 12＝AB ＝8，∴在Rt △ADG 中，DG ＝AD ·tan30°＝8×＝，33833∴在矩形FEGD 中，EF ＝DG ＝，833由(1)知EF ＝＝t ，8333∴t ＝；83第8题解图①(3)①当0<t ≤时，点H 在AD 上，83∵AE ＝2t ，∠BAD ＝60°，∠DAC ＝30°，∴EF ＝t ，AH ＝HG ＝EF ＝3t ，AF ＝t ，333∴FH ＝AH －AF ＝2t ，∴S ＝EF ·FH ＝t ·2t ＝2t 2；33②如解图②，当<t ≤4时，点H 在AD 的延长线上，83设GH 与CD 交于点M ，由(2)知∠DAC ＝30°，∴在菱形ABCD 中，∠BAC ＝30°，∵EG ∥AD ，∴∠AGE ＝∠DAC ＝30°，∴∠BAC ＝∠AGE ，∴AE ＝EG ，∵AE ＝2t ，EF ＝t ，∠BAD ＝60°，3∴在Rt △AFE 中，AF ＝AE ·cos60°＝2t ×＝t ，12∴DF ＝8－t ，∵AE ＝EG ＝FH ＝2t ，∴DH ＝2t －(8－t )＝3t －8，∵AB ∥CD ，∴∠HDM ＝∠BAD ＝60°，∴在Rt △DHM 中，HM ＝DH ·tan60°＝(3t －8)，3则DH ＝3t －8，HM ＝(3t －8)，3第8题解图②∴S ＝S 矩形HGEF －S △DHM ＝EF ·FH －DH ·HM ＝2t 2－(3t －8)·(3t －8)123123＝2t 2－(9t 2－48t ＋64)332＝2t 2－t 2＋24t －32393233＝－t 2＋24t －32，53233∴S 与t 之间的函数关系为S＝⎧<≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩2280383(4).3t t。

2021年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合型解答题》专题提升训练(附答案)

2021年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合型解答题》专题提升训练（附答案）1．如图1，在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，高线AD、BE相交于点F．（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由．（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，①求证：AE＝EC；②直接写出∠MAC的度数以及线段NE与AC的数量关系．2．阅读理解：在以后你的学习中，我们会学习一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD＝AB．灵活应用：如图2，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D是BC的中点，连接AD，将△ACD沿AD翻折得到△AED，连接BE，CE．（1）填空：AD＝；（2）求证：∠BEC＝90°；（3）求BE．3．如图1，△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A逆时针旋转α角，得到△ADE，DE交BC边于G，BD的延长线交EC的延长线于F，连AG．（1）求证：△BCF≌△EDF；（2）若DF＝2BD，求的值；（3）如图2，若AB＝，∠BAC＝120°，α＝30°，直接写出CG的长为．4．如图，△ABC中，AC＝BC＝4，点D、E分别是AC、BC边上中点，将△DEC绕点C旋转角度α（0°＜α＜360°）得到△D′E′C，连接AD，BE．（1）如图一，若∠C＝60°，在旋转过程中，求证：AD′＝BE′；（2）如图二，在（1）的旋转过程中，边D′E′的中点为P，连接AP，求AP最大值．（3）如图三，若∠ACB＝90°，△CDE绕点C顺时针旋转，得到△CD′E′，设旋转角为α（0＜α≤180°），直线AD′与BE′的交点为P，连接PC，直接写出△PBC面积的最大值为．5．如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，且CD＝BD（1）求证：D是AB的中点；（2）如图2，以CD为对称轴将△ACD翻折至△A′CD，连接BA′，写出∠CDA′与∠CBA′的数量关系：；（3）如图3，在（2）的条件下，延长CA′、AB交于点P，MN垂直平分CP交PD于N，若CD＝8，BP＝4，求DN的长．6．若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2＝ab+ac+bc．点D是AC边的中点，以点D为顶点作∠FDE＝120°，角的两边分别与直线AB和BC相交于点F和点E．（1）试判断△ABC的形状，说明理由；（2）如图1，将△ABC图形中∠FDE＝120°绕顶点D旋转，当两边DF、DE分别与边AB和射线BC相交于点F、E时，三线段BE、BF、AB之间存在什么关系？证明你的结论；（3）如图2，当角两边DF、DE分别与射线AB和射线BC相交两点F、E时，三线段BE、BF、AB之间存在什么关系．7．（1）【操作发现】如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝度．（2）【类比探究】如图2，在等边三角形ABC内任取一点P，连接P A，PB，PC，求证：以P A，PB，PC 的长为三边必能组成三角形．（3）【解决问题】如图3，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．（4）【拓展应用】如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AC＝4，BC＝5，∠ACB＝30°，P 为△ABC内的一个动点，连接P A，PB，PC．求P A+PB+PC的最小值．8．在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E．（1）如图1，求证：DB＝EC；（2）现将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转一个角度，如图2，连接DB、EC．①结论DB＝EC是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；②延长BD交EC于点P（请自己在图2中画出图形并表明字母），若∠ACB＝70°，请求出∠BPC的度数．9．如图，∠AOB＝120°，∠AOB的平分线OM上有一点C，OC＝2，将一个直角三角板60°角的顶点与C重合，它的两条边分别与OA，OB（或它们的反向延长线）相交于点D，E．（1）当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），求证：OD+OE＝2．（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时：①在图2这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段OD，OE之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．②在图3这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并给予证明．10．如图，已知∠AOB＝120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．11．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP＝CQ＝2，将三角板CPQ绕点C旋转（保持点P在△ABC内部），连接AP、BP、BQ．（1）如图1求证：AP＝BQ；（2）如图2当三角板CPQ绕点C旋转到点A、P、Q在同一直线时，求AP的长；（3）设射线AP与射线BQ相交于点E，连接EC，写出旋转过程中EP、EQ、EC之间的数量关系．12．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝4，P为线段AB上一动点．将△BPC沿PC 翻折至△EPC，延长CE交射线AD于点D．（1）如图1，当P为AB的中点时，求出AD的长；（2）如图2，延长PE交AD于点F，连接CF，求证：∠PCF＝45°；（3）如图3，∠MON＝45°，在∠MON内部有一点Q，且OQ＝8，过点Q作OQ的垂线GH分别交OM、ON于G、H两点．设QG＝x，QH＝y，直接写出y关于x的函数解析式．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D、E分别是AB和BC上的点．把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B对应点是点B′（1）如图1，点B′恰好落在线段AC的中点处，求CE的长；（2）如图2，点B′落在线段AC上，当BD＝BE时，求B′C的长；（3）如图3，E是BC的中点，直接写出AB′的最小值．14．探究（1）如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD、BE填空：①线段BD、BE的数量关系为．②线段BC、DE的位置关系为．推广：（2）如图②，在等腰三角形ABC中，顶角∠ACB＝α，作CM平分∠ACB交AB 于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE、BD、BE请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由．应用：（3）如图③，在等边三角形ABC中，AB＝4．作BM平分∠ABC交AC于点M，点D 为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD、AE．当以A、D、M为顶点的三角形与△AEF全等时，请直接写出DE的值．15．如图1，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD＝AE，（1）求证：∠B＝∠C；（2）若∠BAC＝90°，把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，连接MN，PM，PN．①判断△PMN的形状，并说明理由；②把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，试问△PMN面积是否存在最大值；若存在，求出其最大值．若不存在，请说明理由．16．【问题情境】小明研究一道数学题：如图①，等边△ABC内有一点D，连接AD、BD、CD．将△BCD绕着点C逆时针旋转60°而得到△ACE．【探索发现】如果BD＝6，AD＝8，CD＝10，那么△CDE是三角形，△AED是三角形．【类比迁移】小明又将等边三角形改为等腰直角三角形，重新探究这道题：如图②，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在△ABC内部，连结AD、BD，将△BCD绕着点C逆时针旋转90°，得到△ACE．探究问题：如图CD＝a，BD＝b，AD＝，那么∠AED＝90°．17．如图1，等边△ABC中，CE平分∠ACB，D为BC边上一点，且DE＝CD，连接BE．（1）若CE＝4，BC＝6，求线段BE的长；（2）如图2，取BE中点P，连接AP，PD，AD，直接写出AP与PD的位置关系，并直接用等式表示AP与PD的数量关系；（3）如图3，把图2中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度，然后连接BE，点P为BE 中点，连接AP，PD，AD，问第（2）问中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．18．我们定义：在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'叫△ABC 的“旋补三角形”，△AB'C'的边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”．下面各图中，△AB'C'均是△ABC的“旋补三角形”，AD均是△ABC的“旋补中线”．（1）如图1，若△ABC为等边三角形，BC＝8，则AD的长等于；（2）如图2，若∠BAC＝90°，求证：AD＝BC；（3）如图3，若△ABC为任意三角形，（2）中结论还成立吗？如果成立，给予证明；如果不成立，说明理由．参考答案1．解：（1）BF＝AC，理由是：如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB＝∠AEF＝90°，∵∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠DAC＝∠EBC，在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BF＝AC；（2）①如图2，由折叠得：MD＝DC，∵DE∥AM，∴AE＝EC，②NE＝AC，理由是：如图2，∵AE＝EC，BE⊥AC，∴AB＝BC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝×45°＝22.5°，由（1）得：△ADC≌△BDF，∵△ADC≌△ADM，∴△BDF≌△ADM，∴∠DBF＝∠MAD＝22.5°，∴∠MAC＝2∠MAD＝45°，∵∠NEA＝90°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴EN＝AE＝EC，∴EN＝AC．2．（1）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝＝10，∵BD＝DC，∴AD＝BC＝5，故答案为5．（2）证明：∵将△ACD沿AD翻折得到△AED，∴CD＝DE＝BD，∴∠DBE＝∠DEB，∠DCE＝∠DEC，∵∠DBE+∠DEB+∠DEC+∠DCE＝180°，∴2∠DEB+2∠DEC＝180°，∴∠DEB+∠DEC＝90°，∴∠BEC＝90°．（3）解：如图2中，延长AD交EC于H．∵AE＝AE，∠HAE＝∠HAC，∴AH⊥EC，∴EH＝CH，∵BD＝CD，∴BE＝2DH，∵DA＝DC，∴∠ACB＝∠CAH，∵∠CAB＝∠AHC＝90°，∴△ACB∽△HAC，∴＝，∴＝，∴AH＝，∴DH＝AH﹣AD＝﹣5＝，∴BE＝2DH＝．3．（1）证明：∵△ADE是由△ABC旋转所得，∴△ADE≌△ABC（旋转不变性），∴AB＝AC＝AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，BC＝DE，∠ACB＝∠ABC＝∠ADE＝∠AED，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ADB＝∠ACE，∵∠ADE＝∠ACB，∴∠BDE＝∠BCE，∵∠EDF+∠BDE＝180°，∠BCF+∠BCE＝180°，∴∠EDF＝∠BCF，∵∠F＝∠F，∴△BCF≌△EDF（AAS）．（2）解：如图1中，连接GF．作GM⊥CF于M，GN⊥BF于N．∵△BCF≌△EDF，∴CF＝DF，BF＝EF，∠BCF＝∠EDF，∴∠BDG＝∠ECG，BD＝EC，∵∠BGD＝∠EGC，∴△BGD≌△EGC（AAS），∴DG＝GC，∵GF＝GF，GD＝GC，DF＝CF，∴△FGD≌△FGC（SSS），∴∠DFG＝∠CGF，∵GM⊥CF于M，GN⊥BF于N，∴GM＝GN，∵DF＝2BD，∴可以设BD＝a，则DF＝CF＝2a，BF＝3a，∵＝＝，∴＝＝．（3）解：如图2中，连接GF，作CK⊥BF于K．∵α＝30°，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝75°，∵∠ABC＝30°，∴∠CBF＝45°，∵∠ACE＝75°，∠ACB＝30°，∴∠BCF＝75°，∵CK⊥BF，∴∠CKB＝90°，∴∠BCK＝∠CBK＝45°，∴BK＝KC，∠KCF＝30°，设FK＝a，则CF＝2a，BK＝CK＝a，∴BF＝a+a，由（2）可知BG：CG＝BF：CF＝，∵AB＝2，易知BC＝6，∴CG＝BC×＝6﹣2，故答案为6﹣2．4．解：（1）如图一中，∵CA＝CB，∠ACB＝60°，∴△ACB是等边三角形，∵点D、E分别是AC、BC边上中点，∴CE＝CE′＝CD＝CD′，∵∠ACB＝∠D′CE′＝60°，∴∠BCE′＝∠ACD′，∴△BCE′≌△ACD′（SAS），∴AD′＝BE′．（2）如图二中，连接PC．∵CE′＝CD′，∠E′CD′＝60°，∴△E′CD′是等边三角形，∵PD′＝PE′，∴PC⊥D′E′，∵CD′＝2，PE′＝1，∴PC＝＝，∵AC＝4，∴4﹣≤P A≤4+，∴P A的最大值为4+．（3）如图三中，以C为为圆心CE′为半径作⊙C．当BP与⊙C相切时，点P到直线BC的距离最大，作PH⊥BC于H．∵BC＝2CE′，∴∠CBE′＝30°，易证四边形CE′PD′是正方形，∴BP＝2+2，∵∠PHB＝90°，∴PH＝PB＝1+，∴△PBC的面积的最大值＝×4×（1+）＝2+2．故答案为2+25．证明：（1）∵CD＝BD，∴∠B＝∠DCB，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AD＝CD＝DB，∴点D是AB的中点．（2）∵△CDA′是由△CDA折叠所得，∴AD＝DA′，∴AD＝CD＝DB＝DA′，∴点A，点C，点B，点A′在以点D为圆心，AD为半径的圆上，∴∠CDA′＝2∠CBA′．故答案为∠CDA′＝2∠CBA′．（3）如图：过点D作DF⊥PC于点F，取DP中点G，连接GE，∵△CDA′是由△CDA折叠所得，∴AD＝DA′，∠ADC＝∠CDA′，∴BD＝CD＝AD＝DA′，∴∠DBA′＝∠DA′B，∵∠ADA′＝∠DBA′+∠DA′B＝2∠DA′B，∴∠ADC+∠CDA′＝2∠DA′B，∴∠CDA′＝∠DA′B，∴DC∥BA′，∴＝＝＝，∴CE＝2A′P，∵CD＝DA′，DF⊥CP，∴CF＝A′F＝CA′，∴A′F＝A′P，且G是DP中点，∴EG∥DF，∵CE＝2A′P，∴CP＝CA′+A′P＝3A′P，∵MN垂直平分CP，∴MN⊥CP，CM＝MP＝CP＝A′P ∵FM＝CM﹣CF＝A′P，∴A′M＝MP﹣A′P＝A′P，∴FM＝A′M，∵FD⊥CP，MN⊥CP，∴DF∥MN且DF∥A′G，∴DF∥MN∥A′G，∴＝＝1，∴DN＝NG，∵BD＝8，BP＝4，∴DP＝12，∵G是DP中点，∴DG＝6，∵DN＝NG，∴DN＝3．6．解：（1）△ABC是等边三角形理由如下：∵a2+b2+c2＝ab+ac+bc．∴2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc．即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0∴a＝b＝c∴△ABC是等边三角形（2）如图，取AB中点G，连接GD∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°∴∠DCE＝120°∵G是AB的中点，D是AC的中点∴GD∥BC，GD＝BC＝AC＝CD，BG＝AB∴∠ABC+∠BGD＝180°，∠ACB+∠GDC＝180°∴∠BGD＝∠CDG＝120°∴∠BGD＝∠DCE∵∠GDC＝∠FDE＝120°∴∠GDF＝∠CDE，且GD＝CD，∠BGD＝∠DCE∴△DGF≌△DCE（SAS）∴GF＝CE∵BE+BF＝BC+CE+BF＝BC+GF+BF＝BC+BG＝AB+AB∴BE+BF＝AB（3）取AB中点G，连接GD，由（2）可得：GD∥BC，GD＝BC＝CD，∠BGD＝∠CDG＝120°∴∠BGD＝∠DCE，∵∠CDF+∠GDF＝120°，∠CDF+∠CDE＝120°∴∠CDE＝∠GDF，且∠DCE＝∠DGF，DG＝CD∴△GDF≌△CDE（SAS）∴CE＝FG∵BE﹣BF＝BC+CE﹣BF＝BC+GF﹣BF＝BC+BG+BF﹣BF＝BC+BG＝AB+AB ∴BE﹣BF＝AB7．（1）【操作发现】解：如图1中，连接BD．∵△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADE，∴AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△DAB是等边三角形，∴∠ABD＝60°故答案为60．（2）【类比探究】证明：如图2中，以P A为边长作等边△P AD，使P、D分别在AC的两侧，连接CD．∵∠BAC＝∠P AD＝60°，∴∠BAP＝∠CAD，∵AB＝AC，AP＝AD，∴△P AB≌△ACD（SAS），∴BP＝CD，在△PCD中，∵PD+CD＞PC，又∵P A＝PD，∴AP+BP＞PC．∴P A，PB，PC的长为三边必能组成三角形．（3）【解决问题】解：如图3中，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，∴PP′＝PC，即AP＝PC，∵∠APC＝90°，∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝（）2，∴PC＝2，∴AP＝，∴S△APC＝AP•PC＝××2＝．（4）【拓展应用】解：如图4中，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，∴△APC≌△EDC（旋转的性质），∴∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝4，∠PCD＝60°，∴∠ACP+∠PCB＝∠ECD+∠PCB，∴∠ECD+∠PCB＝∠ACB＝30°，∴∠BCE＝∠ECD+∠PCB+∠PCD＝30°+60°＝90°，在Rt△BCE中，∵∠BCE＝90°，BC＝5，CE＝4，∴BE＝＝＝，即P A+PB+PC的最小值为；8．解：（1）如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，∴BD＝CE．（2）①结论成立．理由如下：如图2﹣1中，由已知得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAD，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAD+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE．②如图2﹣2中．设AC交BD于点O．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵△ADB≌△AEC，∴∠ABO＝∠PCO，∵∠AOB＝∠POC，∴∠BPC＝∠BAO＝40°．9．（1）证明：如图1中，∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°．∵CD⊥OA，∴∠ODC＝90°．∴∠OCD＝30°．∴∠OCE＝∠DCE﹣∠OCD＝30°．在Rt△OCD中，OD＝OC，同理：OE＝OC．∴OD+OE＝OC＝2．（2）①（1）中结论仍然成立，理由：如图2，过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°．∵∠AOB＝120°，∴∠FCG＝60°．同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC．∴OF+OG＝OC．∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF＝CG．∵∠DCE＝60°，∠FCG＝60°，∴∠DCF＝∠ECG．∴△CFD≌△CGE（ASA），∴DF＝EG．∴OF＝OD﹣DF＝OD﹣EG，OG＝OE+EG．∴OF+OG＝OD﹣EG+OE+EG＝OD+OE．∴OD+OE＝OC＝2．②（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD＝OC．理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，∵∠AOB＝120°，∴∠FCG＝60°．同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF+OG＝OC．∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF＝CG．∵∠DCE＝60°，∠FCG＝60°，∴∠DCF＝∠ECG．∴△CFD≌△CGE（ASA）．∴DF＝EG．∴OF＝DF﹣OD＝EG﹣OD，OG＝OE﹣EG．∴OF+OG＝EG﹣OD+OE﹣EG＝OE﹣OD．∴OE﹣OD＝OC＝2．10．解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°．∵CD⊥OA，∴∠ODC＝90°．∴∠OCD＝30°．∴∠OCE＝∠DCE﹣∠OCD＝30°．在Rt△OCD中，OD＝OC，同理：OE＝OC．∴OD+OE＝OC．（2）（1）中结论仍然成立，理由：如图2，过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°．∵∠AOB＝120°，∴∠FCG＝60°．同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC．∴OF+OG＝OC．∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF＝CG．∵∠DCE＝60°，∠FCG＝60°，∴∠DCF＝∠ECG．∴△CFD≌△CGE（ASA），∴DF＝EG．∴OF＝OD﹣DF＝OD﹣EG，OG＝OE+EG．∴OF+OG＝OD﹣EG+OE+EG＝OD+OE．∴OD+OE＝OC．（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD＝OC．理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，∵∠AOB＝120°，∴∠FCG＝60°．同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF+OG＝OC．∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF＝CG．∵∠DCE＝60°，∠FCG＝60°，∴∠DCF＝∠ECG．∴△CFD≌△CGE（ASA）．∴DF＝EG．∴OF＝DF﹣OD＝EG﹣OD，OG＝OE﹣EG．∴OF+OG＝EG﹣OD+OE﹣EG＝OE﹣OD．11．证明：（1）如图1中，∵∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴∠ACP＝∠BCQ且AC＝BC，CP＝CQ∴△ACP≌△BCQ（SAS）∴P A＝BQ（2）解：如图2中，作CH⊥PQ于H∵A、P、Q共线，PC＝2，∴PQ＝2，∵PC＝CQ，CH⊥PQ在Rt△ACH中，AH＝＝∴P A＝AH﹣PH＝﹣（3）解：结论：EP+EQ＝EC理由：如图3中，作CM⊥BQ于M，CN⊥EP于N，设BC交AE于O．∵△ACP≌△BCQ，∴∠CAO＝∠OBE，∵∠AOC＝∠BOE，∴∠OEB＝∠ACO＝90°，∵∠M＝∠CNE＝∠MEN＝90°，∴∠MCN＝∠PCQ＝90°，∴∠PCN＝∠QCM，∵PC＝CQ，∠CNP＝∠M＝90°，∴△CNP≌△CMQ（AAS），∴CN＝CM，QM＝PN，∴CE＝CE，∴Rt△CEM≌Rt△CEN（HL），∴EN＝EM，∠CEM＝∠CEN＝45°∴EP+EQ＝EN+PN+EM﹣MQ＝2EN，EC＝EN，∴EP+EQ＝EC12．解：（1）如图1，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠A＝∠B＝90°，∵将△BPC沿PC翻折至△EPC，∴∠CEP＝∠B＝90°，PB＝PE，∠BPC＝∠EPC，∵当P为AB的中点，∴AP＝BP，∴P A＝PE，在Rt△APD与Rt△EPD中，，∴Rt△APD≌Rt△EPD（HL），∴∠APD＝∠EPD，∴∠APD+∠BPC＝∠DPE+∠CPE＝90°，∵∠BPC+∠BCP＝90°，∴∠APD＝∠BCP，∴△APD∽△BCP，∴，∴＝，∴AD＝1；（2）如图2，过C作CG⊥AF交AF的延长线于G，∴∠A＝∠B＝∠G＝90°，∴四边形ABCG是矩形，∵AB＝BC，∴矩形ABCG是正方形，∴CG＝CB，∵将△BPC沿PC翻折至△EPC，∴∠CEP＝∠B＝90°，BC＝CE，∠BCP＝∠ECP，∴∠FED＝90°，CG＝CE，在Rt△CEF与Rt△CGF中，，∴Rt△CEF≌Rt△CGF（HL），∴∠ECF＝∠GCF，∴∠BCP+∠GCF＝∠PCE+∠FCE＝45°，∴∠PCF＝45°；（3）如图3，将△OQG沿OM翻折至△OPG，将△OQH沿ON翻折至△ORH，延长PG，RH交于S，则∠POG＝∠QOG，∠ROH＝∠QOH，OP＝OQ＝OR＝8，PG＝QG＝x，QH＝RH＝y，∴∠POR＝2∠MON＝90°，∵GH⊥OQ，∴∠OQG＝∠OQH＝90°，∴∠P＝∠R＝90°，∴四边形PORS是正方形，∴PS＝RS＝8，∠S＝90°，∴GS＝8﹣x，HS＝8﹣y，∴GH2＝GS2+SH2，∴（x+y）2＝（8﹣x）2+（8﹣y）2，∴y＝．13．解：（1）如图1中，∵点B′落在AC的中点，∴CB′＝AC＝4，设CE＝x，则BE＝6﹣x，由折叠得：B'E＝BE＝8﹣x，在Rt△B'CE中，由勾股定理得x2+42＝（6﹣x）2解得：x＝，即CE的长为．（2）如图2中，作B′H⊥AB于H．连接BB′．∵EB＝EB′，DB＝DB′，BE＝BD，∴BE＝EB′＝B′D＝DB，∴四边形BEB′D是菱形，∴∠B′BD＝∠B′BE，∵B′C⊥BC，B′H⊥AB，∴B′C＝B′H，设B′C＝B′H＝x．在Rt△ABC中，∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝10，∵S△ABC＝S△BCB′+S△ABB′，∴•AC•BC＝•BC•x+×AB×x，∴x＝3，∴CB′＝3．（3）如图3中，连接AE，EB′，AB′．在Rt△ACE中，∵AC＝8，EC＝3，∴AE＝＝，∵EB＝EC＝EB′＝3，∴AB′≥AE﹣BE′，∴AB′≥﹣3，∴AB′的最小值为﹣3．14．解：（1）如图①中，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CM平分∠ACB，∴∠ACM＝∠BCM＝45°，∵∠ECD＝90°，∴∠ECF＝∠DCF＝45°，∵CD＝CE，CB＝CB，∴△CBD≌△CBE（SAS），∴BD＝BE，∵CD＝CE，∴BC垂直平分线段DE，∴BC⊥DE．故答案为BD＝CE，BD⊥CE．（2）结论：（1）中的结论仍然成立．理由：如图②中，∵CA＝CB，∠ACB＝α，CM平分∠ACB，∴∠ACM＝∠BCM＝α，∵∠ECD＝α，∴∠ECF＝∠DCF＝α，∵CD＝CE，CB＝CB，∴△CBD≌△CBF（SAS），∴BD＝BE，∵CD＝CE，∴BC垂直平分线段DE，∴BC⊥DE．（3）如图③中，当△AFE≌△AMD时，AF＝AM，∵∠AFD＝∠AMD＝90°，∵AD＝AD，∴Rt△ADF≌Rt△ADM（HL），∴∠DAF＝∠DAM＝30°，∴∠DBA＝∠DAB＝30°，∴DA＝DB，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝60°，BF＝AF＝2，∵BD＝BE，∴△BDE是等边三角形，∴DF＝EF＝BF•tan30°＝，∴DE＝2EF＝．如图③﹣1中，当点D在BM的延长线时，易证AF＝AM＝2，DE＝2DF＝4．如图③﹣2中，当EF＝AM＝DF时，也满足条件，此时DE＝BD＝AB＝4，综上所述，满足条件的DE的值为或4或4．15．解：（1）∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴∠B＝∠C．（2）①△PMN是等腰直角三角形，理由：∵点P，M分别是CD，DE的中点，∴PM＝CE，PM∥CE，∵点N，M分别是BC，DE的中点，∴PN＝BD，PN∥BD，∵BD＝CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，∵PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形，②由①知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在AB的延长线上，∴BD＝AB+AD＝14，∴PM＝7，∴S△PMN最大＝PM2＝×72＝．故答案为16．解：【探索发现】∵将△BCD绕着点C逆时针旋转60°而得到△ACE．∴CD＝CE＝10，AE＝BD＝6，∠ECD＝60°，∴△ECD是等边三角形，∴DE＝CD＝10，∵DE2＝100，AE2+AD2＝100，∴DE2＝AE2+AD2，∴∠EAD＝90°，∴△AED是直角三角形，故答案为：等边，直角，【类比迁移】∵将△BCD绕着点C逆时针旋转90°，∴CE＝CD＝a，AE＝BD＝b，∠ECD＝90°，∴DE＝CD＝a，∵∠AED＝90°，∴AD＝＝故答案为：17．（1）解：如图1中，作EF⊥BC，∵∠ACB＝60°，CE平分∠ACB，∴∠BCE＝30°，∴EF＝CE＝2，CF＝＝＝2，∴BF＝BC﹣CF＝4，∴BE＝＝＝2．（2）如图2中，延长DP至G，使PG＝PD，连接BG、AG．∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠ECD＝∠ECA＝30°，∴DE∥AC∵PG＝PD，PB＝PE，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BG∥DE∥AC，∴∠ABG＝∠BAC＝∠ACD，BG＝ED＝CD，在△ABG和△ACD中，，∴△ABG≌△ACD（SAS），∴AG＝AD，∠BAG＝∠CAD，∴∠DAG＝∠BAG+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴AP⊥PD，AP＝＝PD．（3）结论成立．证明：如图3中，延长DP至G，使PG＝PD，连接BG、AG、EG、BD．由（2）可知∠BGD＝∠EDG，∠CDE＝120°，∴∠BGD+∠CDG＝∠EDG+∠CDG＝360°﹣∠CDE＝240°，∴∠CBG+∠BCD＝120°＝∠ABC+∠ACB，∴∠ABC﹣∠CBG＝∠BCD﹣∠ACB即∠ABG＝∠ACD，∵PG＝PD，PB＝PE，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BG＝DE＝CD，在△ABG和△ACD中，，∴△ABG≌△ACD（SAS），∴AG＝AD，∠BAG＝∠CAD，∴∠DAG＝∠BAG+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴AP⊥PD，AP＝＝PD．18．解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，∵DB′＝DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，∴AD＝AB′＝BC＝4，（2）证明：如图2中，∵AB绕点A旋转得到AB'，AC绕点A旋转得到AC'，∴AB′＝AB，AC'＝AC，∵∠BAC＝90°，α+β＝180°，∠B′AC′＝360°﹣（α+β）﹣∠BAC，∴∠B′AC′＝360°﹣180°﹣90°＝90°，∴∠BAC＝∠B′AC′，∴△BAC≌△B′AC′（SAS）∴BC＝B′C′，∵AD是△AB'C'边B'C'上的中线，∠B′AC′＝90°．∴AD＝B′C′．∴AD＝BC．（3）结论AD＝BC成立．理由：如图3中，延长AD到A′，使得AD＝DA′，连接B′A′，C′A′．∴AD＝AA′，∵B′D＝DC′，AD＝DA′，∴四边形AB′A′C′是平行四边形，∴AC′＝B′A′＝AC，∵∠BAC+∠B′AC′＝360°﹣180°＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，∴∠BAC＝∠AB′A′，∵AB＝AB′，∴△BAC≌△AB′A′（SAS）∴BC＝AA′，∴AD＝BC．。

2021年九年级数学中考复习《图形的变换综合》考前专题突破训练(附答案)

2021年九年级数学中考复习《图形的变换综合》考前专题突破训练（附答案） 1．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，P 是对角线AC 上的动点，连接DP ，将直线DP 绕点P 顺时针旋转使∠DPG=∠DAC ，且过D 作DG ⊥PG ，连接CG ，则CG 最小值为( )A ．65B ．75C ．3225D ．36252．等边△ABC 的边长为6，点O 是三边垂直平分线的交点，∠FOG=120°，∠FOG 的两边OF ，OG 分别交AB ，BC 与点D ，E ，∠FOG 绕点O 顺时针旋转时，下列四个结论正确的是（）①OD=OE ；②ODE BDE S S ∆∆=；③2738ODBE S =；④△BDE 的周长最小值为9. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，DEF ∆是由ABC ∆绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是A ．（1，1）B ．（2，0）C ．（0，1）D ．（3，1）4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，有一个等腰直角三角形AOB ，∠OAB ＝90°，直角边AO 在x 轴上，且AO ＝1．将Rt △AOB 绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A 1OB 1，且A 1O ＝2AO ，再将Rt △A 1OB 1绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰三角形A 2OB 2，且A 2O ＝2A 1O ……依此规律，得到等腰直角三角形A 2 021OB 2 021．则点B 2 017的坐标（）A ．（22 021，－22 021）B ．（22 020，－22 020）C ．（22 021，22 021）D ．（22 020，22 020）5．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=65°，则∠EFD的度数是( )A．15B．20C．25D．306．如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF，MN相交于中心点O，对三角形ABC分别作下列变换：①以点O为中心逆时针方向旋转180°；②先以A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格，向上平移4格；③先以直线MN为对称轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°．其中，能将三角形ABC变换成三角形PQR的是()A．①②B．①③C．②③D．①②③7．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为()A．2B．3C．13D．108．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P 成中心对称，则点A′的坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣5，﹣4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）9．如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．以点为旋转中心，逆时针方向旋转后与重合B．以点为旋转中心，顺时针方向旋转后与重合C．沿所在直线折叠后，与重合D．沿所在直线折叠后，与重合10．如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得△A′B′C，且A′点在AB上，A′B′交CB于点D，若∠BCB′＝α，则∠CA′B′的度数为（）A．180°﹣αB．90°12α-C．180°12α-D．90°12α+11．如图，将平行四边形ABCD 绕点D 逆时针旋转150，得到平行四边形DEFG ，这时点C 、E 、G 恰好在同一直线上，延长AD 交CG 于点H .若2AD =，75A ∠=，则HG =__________．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 可以看作是△DEF 经过若干次图形的变化（平移、旋转、轴对称）得到的，写出一种由△DEF 得到△ABC 的过程____.13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CB ＝2，CA ＝4，线段AD 由线段AB 绕点A 逆时针方向旋转90°得到，△EFG 由△ABC 沿CB 方向平移得到，当直线EF 恰好经过点D 时，CG 的长等于_____．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝2，点D 是AC 边的中点，E 是直线BC 上一动点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连接AF 、EF ，在点E 的运动过程中线段AF 的最小值为_____．15．如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边AB 、AD 上的点，且A E =AF ，连接EF ，将△AEF 绕点A 逆时针旋转45°，使E 落在E 1，F 落在F 1，联接BE 1并延长交DF 1于点G ，如果AB =22，AE =1，则DG =______.16．如图，将ABC △的边AB 绕着点A 顺时针旋转()090a α︒︒<<得到AB '，边AC绕着点A 逆时针旋转()090ββ︒︒<<得到AC '，联结B C ''．当90αβ︒+=时，我们称AB C ''△是ABC △的“双旋三角形”．如果等边ABC △的边长为a ，那么它的“双旋三角形”的面积是__________（用含a 的代数式表示）．17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），点P 是x 轴上一动点，将线段AP 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AQ ，当点P 从点（−3，0）运动到点（1，0）时，点Q 运动的路径长为____.18．如图，正方形OABC 的边长为2，以O 为圆心，EF 为直径的半圆经过点A ，连接AE ，CF 相交于点P ，将正方形OABC 从OA 与OF 重合的位置开始，绕着点O 逆时针旋转90°，交点P 运动的路径长是______．19．如图，将矩形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边'B C 交CD 边于点G 。

中考数学试题汇编及解析动态几何型综合题试题

2021年中考数学试题汇编及解析动态几何型综合题纵观近5年全国各地的中考数学试卷，动态几何型综合题常常出如今一张试卷的压轴题位置，估计这一趋势在今后几年的中考中会越来越明显，这类试题往往综合性较强，往往涉及到函数、直线型、圆等初中数学的重点考察对象中的好几个，应加大训练的力度。

1、〔2021〕如图①，有两个形状完全一样的直角三角形ABC和EFG叠放在一起〔点A 与点E重合〕，AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜边上的中点．如图②，假设整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停顿运动，△EFG也随之停顿平移．设运动时间是为x〔s〕，FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y〔cm2)〔不考虑点P与G、F重合的情况〕．〔1〕当x为何值时，OP∥AC ?〔2〕求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．〔3〕是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？假设存在，求出x的值；假设不存在，说明理由．〔参考数据：1142＝12996，1152＝13225，1162＝13456或者4.42＝19.36，4.52＝20.25，4.62＝21.16〕[解析] 〔1〕∵Rt △EFG ∽Rt △ABC ，∴BC FG AC EG =，684FG=． ∴FG ＝864⨯＝3cm ．∵当P 为FG 的中点时，OP ∥EG ，EG ∥AC ， ∴OP ∥AC ．∴ x ＝121FG＝21×3＝1.5〔s 〕．∴当x 为1.5s 时，OP ∥AC ．〔2〕在Rt △EFG 中，由勾股定理得：EF ＝5cm ． ∵EG ∥AH ， ∴△EFG ∽△AFH ．∴FH FG AF EF AH EG ==． ∴FHx AH 3554=+=． ∴ AH ＝54〔 x ＋5〕，FH ＝53〔x ＋5〕．过点O 作OD ⊥FP ，垂足为 D ． ∵点O 为EF 中点， ∴OD ＝21EG ＝2cm ． ∵FP ＝3－x ，∴S 四边形OAHP ＝S △AFH －S △OFP＝21·AH ·FH －21·OD ·FP ＝21·54〔x ＋5〕·53〔x ＋5〕－21×2×〔3－x 〕＝256x 2＋517x ＋3〔0＜x ＜3）．〔3〕假设存在某一时刻x ，使得四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24．那么S 四边形OAHP ＝2413×S △ABC ∴256x 2＋517x ＋3＝2413×21×6×8 ∴6x 2＋85x －250＝0 解得 x 1＝25， x 2＝－350〔舍去〕． ∵0＜x ＜3， ∴当x ＝25〔s 〕时，四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24． 2、〔2021〕如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停顿运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间是为t 〔秒〕．〔1〕设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式；〔2〕t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？〔3〕是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？假设存在，求出t 的值；假设不存在，请说明理由；〔4〕通过观察、画图或者折纸等方法，猜测是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？假设存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间是段内〔0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4〕；假设不存在，请简要说明理由．[解析] 〔1〕由题意知 CQ ＝4t ，PC ＝12－3t ，∴S △PCQ =t t CQ PC 246212+-=⋅．PCQB∵△PCQ 与△PDQ 关于直线PQ 对称， ∴y=2S △PCQ t t 48122+-=．〔2〕当CQCP CA CB=时，有PQ ∥AB ，而AP 与BQ 不平行，这时四边形PQBA 是梯形， ∵CA =12，CB =16，CQ ＝4t ， CP ＝12－3t ， ∴16412312tt =-，解得t ＝2． ∴当t ＝2秒时，四边形PQBA 是梯形．〔3〕设存在时刻t ，使得PD ∥AB ，延长PD 交BC 于点M ，如下列图，假设PD ∥AB ，那么∠QMD =∠B ，又∵∠QDM =∠C =90°，∴Rt △QMD ∽Rt △ABC ，从而ACQDAB QM =， ∵QD =CQ =4t ，AC ＝12，AB20，∴QM =203t ．假设PD ∥AB ，那么CP CMCA CB=，得20412331216t t t +-=，解得t ＝1211． ∴当t ＝1211秒时，PD ∥AB ．〔4〕存在时刻t ，使得PD ⊥AB ．时间是段为：2＜t ≤3．3、〔2021〕如图1所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB=90°11AC D ∆和22BC D ∆两个三角形〔如图2所示〕.将纸片11AC D ∆沿直线2D B 〔AB 〕方向平移〔点12,,,A D D B 始终在同一直线上〕，当点1D 于点B 重合时，停顿平移.在平移过程中，11C D 与2BC 交于点E,1AC 与222C D BC 、分别交于点F 、P.CQBM(1) 当11AC D ∆平移到如图3所示的位置时，猜测图中的1D E 与2D F 的数量关系，并证明你的猜测；(2) 设平移间隔 21D D 为x ，11AC D ∆与22BC D ∆重叠局部面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量的取值范围；〔3〕对于〔2〕中的结论是否存在这样的x 的值，使重叠局部的面积等于原ABC ∆面积的14. 假设存在，求x 的值；假设不存在，请说明理由.[解析] 〔1〕12D E D F =.因为1122C D C D ∥，所以12C AFD ∠=∠. 又因为90ACB ∠=︒，CD 是斜边上的中线，所以，DC DA DB ==，即112221C D C D BD AD === 所以，1C A ∠=∠，所以2AFD A ∠=∠ 所以，22AD D F =.同理：11BD D E =.又因为12AD BD =，所以21AD BD =.所以12D E D F =〔2〕因为在Rt ABC ∆中，8,6AC BC ==，所以由勾股定理，得10.AB = 即1211225AD BD C D C D ====又因为21D D x =，所以11225D E BD D F AD x ====-.所以21C F C E x == 在22BC D ∆中，2C 到2BD 的间隔就是ABC ∆的AB 边上的高，为245. CB D A 图1PE FAD 1BC 1D 2C 2图3C 2D 2C 1BD 1A图2设1BED ∆的1BD 边上的高为h ，由探究，得221BC D BED ∆∆∽，所以52455h x-=. 所以24(5)25x h -=.121112(5)225BED S BD h x ∆=⨯⨯=- 又因为1290C C ∠+∠=︒，所以290FPC ∠=︒.又因为2C B ∠=∠，43sin ,cos 55B B ==. 所以234,55PC x PF x == ，22216225FC P S PC PF x ∆=⨯=而2212221126(5)22525BC D BED FC P ABC y S S S S x x ∆∆∆∆=--=---所以21824(05)255y x x x =-+≤≤(3) 存在. 当14ABC y S ∆=时，即218246255x x -+=整理，得2320250.x x -+=解得，125,53x x ==.即当53x =或者5x =时，重叠局部的面积等于原ABC ∆面积的14.4、〔2021〕如图1，以矩形OABC 的两边OA 和OC 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，A 点的坐标为(3)C ，0，点的坐标为(04)，．将矩形OABC 绕O 点逆时针旋转，使B 点落在y 轴的正半轴上，旋转后的矩形为11111OA B C BC A B ，，相交于点M ．〔1〕求点1B 的坐标与线段1B C 的长；〔2〕将图1中的矩形111OA B C 沿y 轴向上平移，如图2，矩形222PA B C 是平移过程中的某一位置，22BC A B ，相交于点1M ，点P 运动到C 点停顿．设点P 运动的间隔为x ，矩形222PA B C 与原矩形OABC 重叠局部的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；〔3〕如图3，当点P 运动到点C 时，平移后的矩形为333PA B C ．请你考虑如何通过图形变换使矩形333PA B C 与原矩形OABC 重合，请简述你的做法．3C[解析]〔1〕如图1，因为15OB OB ===，所以点1B 的坐标为(05)，．11541B C OB OC =-=-=．〔2〕在矩形111OA B C 沿y 轴向上平移到P 点与C 点重合的过程中，点1A 运动到矩形OABC 的边BC 上时，求得P 点挪动的间隔 115x =．当自变量x 的取值范围为1105x <≤时，如图2，由2122B CM B A P △∽△，得1334x CM +=，此时，2221113334(1)224B A P B CM xy S S x +=-=⨯⨯-⨯+△△．即23(1)68y x =-++〔或者23345848y x x =--+〕．当自变量x 的取值范围为1145x ≤≤时，求得122(4)3PCM y S x '==-△〔或者221632333y x x =-+〕．〔3〕局部参考答案：①把矩形333PA B C 沿3BPA ∠的角平分线所在直线对折．②把矩形333PA B C 绕C 点顺时针旋转，使点3A 与点B 重合，再沿y 轴向下平移4个单位长度．③把矩形333PA B C 绕C 点顺时针旋转，使点3A 与点B 重合，再沿BC 所在的直线对折． ④把矩形333PA B C 沿y 轴向下平移4个单位长度，再绕O 点顺时针旋转，使点3A 与点A 重合．5、〔2021〕如图1，Rt ABC △中，30CAB ∠=，5BC =．过点A 作AE AB ⊥，且15AE =，连接BE 交AC 于点P ．〔1〕求PA 的长；〔2〕以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，试判断BE 与⊙A 是否相切，并说明理由；〔3〕如图2，过点C 作CD AE ⊥，垂足为D ．以点A 为圆心，r 为半径作⊙A ；以点C 为圆心，R 为半径作⊙C ．假设r 和R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相切．．，且使D 点在⊙A 的内部，B 点在⊙A 的外部，求r 和R 的变化范围． [解析] 〔1〕在Rt ABC △中，305CAB BC ∠==，，210AC BC ∴==．AE BC ∥，APE CPB ∴△∽△．::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=，3101542PA ⨯==．〔2〕BE 与⊙A 相切．在Rt ABE △中，AB =，15AE =，CABCＤ图1图2tan 353AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=．又30PAB ∠=，9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，， BE ∴与⊙A 相切．〔3〕因为553AD AB ==，，所以r 的变化范围为553r <<当⊙A 与⊙C 外切时，10R r +=，所以R 的变化范围为10535R -<<；当⊙A 与⊙C 内切时，10R r -=，所以R 的变化范围为151053R <<+ 6、〔2021〕如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D . (1)求直线AB 的解析式;(2)假设S 梯形OBCD 43,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P,O,B 为顶点的三角形与△OBA 相似.假设存在,恳求出所有符合条件的点P 的坐标;假设不存在,请说明理由.[解析] 〔1〕直线AB 解析式为：y=33-x+3．〔2〕方法一：设点Ｃ坐标为〔x ，33-x+3〕，那么OD ＝x ，CD ＝33-x+3． ∴OBCD S 梯形＝()2CD CD OB ⨯+＝3632+-x ．由题意：3632+-x ＝334，解得4,221==x x 〔舍去〕 ∴ Ｃ〔２，33〕方法二：∵ 23321=⨯=∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形＝334，∴63=∆ACD S ．由OA=3OB ，得∠BAO ＝30°，AD=3CD ．∴ ACD S ∆＝21CD ×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝33．∴ AD=１，OD ＝２．∴C 〔２，33〕．〔３〕当∠OBP ＝Rt ∠时，如图①假设△BOP ∽△OBA ，那么∠BOP ＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，∴1P 〔3，33〕． ②假设△BPO ∽△OBA ，那么∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=33OB=1． ∴2P 〔1，3〕．当∠OPB ＝Rt ∠时③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M ．方法一：在Rt △PBO 中，BP ＝21OB ＝23，OP ＝3BP ＝23．∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°，∴ OM ＝21OP ＝43；PM ＝3OM ＝433．∴3P 〔43，433〕．方法二：设Ｐ〔x ，33-x+3〕，得OM ＝x ，PM ＝33-x+3 由∠BOP ＝∠BAO,得∠POM ＝∠ABO ．∵tan ∠POM==OMPM=x x 333+-，tan ∠ABOC=OBOA =3．∴33-x+3＝3x ，解得x ＝43．此时，3P 〔43，433〕． ④假设△POB ∽△OBA(如图)，那么∠OBP=∠BAO ＝30°，∠POM ＝30°．∴ PM ＝33OM ＝43． ∴ 4P 〔43，43〕〔由对称性也可得到点4P 的坐标〕．7、〔2021课改〕图14－1至图14－7的正方形霓虹灯广告牌ABCD 都是20×20的等距网格〔每个小方格的边长均为1个单位长〕，其对称中心为点O ．如图14－1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH 的对称中心也是点O ，它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大〔即点O 不动，正方形EFGH 经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；……〕，直到充满正方形ABCD ，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ 从如图14－1所示的位置开场，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD 的内侧边缘按A →B →C →D →A 挪动〔即正方形MNPQ 从点P 与点A 重合位置开场，先向左平移，当点Q 与点B 重合时，再向上平移，当点M 与点C 重合时，再向右平移，当点N 与点D 重合时，再向下平移，到达起始位置后仍继续按上述方式挪动〕．正方形EFGH 和正方形MNPQ 从如图14－1的位置同时开场运动，设运动时间是为x 秒，它们的重叠局部面积为y 个平方单位．〔1〕请你在图14－2和图14－3中分别画出x 为2秒、18秒时，正方形EFGH 和正方图14-7B ADQ形MNPQ 的位置及重叠局部〔重叠局部用阴影表示〕，并分别写出重叠局部的面积；〔2〕①如图14－4，当1≤x ≤3.5时，求y 与x 的函数关系式；②≤x ≤7时，求y 与x 的函数关系式；③如图14－6，当7≤x ≤10.5时，求y 与x 的函数关系式； ④≤x ≤13时，求y 与x 的函数关系式．〔3〕对于正方形MNPQ 在正方形ABCD 各边上挪动一周的过程，请你根据重叠局部面积y 的变化情况，指出y 获得最大值和最小值时，相对应的x 的取值情况，并指出最大值和最小值分别是多少．[解析] 〔1〕相应的图形如图2-1，2-2．当x =2时，y =3；当x =18时，y =18．图14-6B A DQ图14-2图14-3B A D B AD 图14-4 BADQ图14-1 BA (P ) D Q图14-5 B A DQ〔2〕①当1≤x ≤3.5时，如图2-3，延长MN 交AD 于K ，设MN 与HG 交于S ，MQ 与FG 交于T ，那么MK =6＋x ，SK =TQ =7－x ，从而MS =MK －SK =2x －1，MT =MQ －TQ =6－〔7－x 〕= x －1． ∴y=MT ·MS =〔x －1〕〔2x －1〕=2x 2－3x ＋1． ②≤x ≤7时，如图2-4，设FG 与MQ 交于T ，那么TQ =7－x ，∴MT =MQ －TQ =6－〔7－x 〕=x －1．∴y=MN ·MT =6〔x －1〕=6x －6．③当7≤x ≤10.5时，如图2-5，设FG 与MQ 交于T ，那么TQ=x －7，∴MT =MQ －TQ =6－〔x －7〕=13－x ．∴y = MN ·MT =6〔13－x 〕=78－6x ．④≤x ≤13时，如图2-6，设MN 与EF 交于S ，NP 交FG 于R ，延长NM 交BC 于K ，那么MK =14－x ，SK =RP =x －7，∴SM =SK －MK=2x －21，从而SN =MN －SM =27－2x ，NR =NP －RP =13－x ．图2-4BA D图2-5BA D 图2-6BAD图2-3BADQ图2-2BA D 图2-1 BA DQ∴y=NR·SN=〔13－x〕〔27－2x〕=2x2－53x＋351．〔3〕对于正方形MNPQ，①在AB边上挪动时，当0≤x≤1及13≤x≤14时，y获得最小值0；当x=7时，y获得最大值36．②在BC边上挪动时，当14≤x≤15及27≤x≤28时，y获得最小值0；当x=21时，y获得最大值36．③在CD边上挪动时，当28≤x≤29及41≤x≤42时，y获得最小值0；当x=35时，y获得最大值36．④在DA边上挪动时，当42≤x≤43及55≤x≤56时，y获得最小值0；当x=49时，y获得最大值36．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

2021年中考数学九年级复习课时训练：图形的变化(六)(解析版)

点 D，再将点 D 向下平移 3 个单位长度得到点 E，则点 D 的坐标是
，点 E 的坐标
是
；
（2）在（1）中，若点 C 的坐标是（m，n），则点 D 的坐标是
，点 E 的坐标是
17．有一种电脑软件叫做“画图”，它有个功能，可以复制已经出现在窗口的所有图形或部
分图形，粘贴的图形又可以进行任意的平移．如图，在画图窗口中已有一个正方形．从
窗口中已有图形开始，复制、粘贴已有图形或部分图形一次，且通过平移后与原图形拼
接，叫做一次操作．则要出现一个 4×6 的网格，至少需要操作
次．
18．如图，五角星也可以看作是一个三角形绕中心 O 旋转
是
．
次得到的，每次旋转角度
19．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，点 D，E 分别在边 BC、AB 上，且 DE⊥
所示方法玩拼图游戏，将其两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用 11 个这样的图形（图
1）拼出来的图形的总长度是
．（结果用含 a，b 代数式表示）
8．如图，有一张一个角为 30°，最小边长为 2 的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪
开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是
．
9．如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 5，面积是 14，腰 AB 的垂直平分线 EF 分别交 AB，
BC，BD＝4，将△BDE 绕点 B 旋转至△BD1E1，点 D、E 分别对应点 D1、E1，当 A、D1、E1 三
点共线时，则 CD1 的长为
．
20．若一个正六边形旋转一定的角度后，与原图形完全重合，则旋转的度数至少是
°．
21．用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖

2021年中考数学培优专题：几何动态问题(含答案)

2021中考数学培优专题：几何动态问题(含答案)一、单选题（共有4道小题）1.如图，矩形ABCD 的长为6，宽为3，点O 1为矩形的中心，⊙O 2的半径为1，O 1O 2⊥AB 于点P ，O 1O 2＝6，若⊙O 2绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）A ．3次B ．4次C ．5次D ．6次2.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD 中，AD 边的中点处有一动点P ，动点P 沿P →D →C →B →A →P 运动一周，则P 点的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是（）3.已知A 、B 是反比例函数()0,0ky k x x=>>图象上的两点，BC ∥x 轴，交y 轴于点C ，动点P 从坐标原点O 出发，沿O →A →B →C （图中“→”表示路线）匀速运动，终点为C 。

过P 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N 。

设四边形OMPN 的面积为S ，P 点运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为（）4.如图，在等腰△ABC 中，直线l 垂直底边BC ，现将直线l 沿线段BC 从B 点匀速平移至C 点，PO 2O 1D A B Cy x 123412O y x123412O yx 123412O y x 123412O yx1212P A D C B O直线l 与△ABC 的边相交于点E 、F 两点，设线段EF 的长度为y ，平移时间为t ，则下图中能较好反映y 与t 之间的函数关系的图象是（）二、填空题（共有3道小题）5.如图，等腰三角形ABC 以2m/s 的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合为止。

设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y ㎡。

则y 与x 之间的关系式为，当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动的时间是6.如图，矩形ABCD 中，AB =4,BC =3，边CD 在直线l 上，将矩形ABCD 沿直线l 作无滑动翻滚，当点A 翻滚一次到点A 1位置时，则点A 经过的路线长为 .7.如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B 、C 不重合)，作BE⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，则当D 点的运动过程中，BE ＋CF的值将（变大？变小？不变？）三、解答题（共有10道小题）101010LAB C D C D A EF BA D8.如图，已知抛物线经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M 是线段BC 上的点(不与B ，C 重合)，过M 作NM ∥y 轴交抛物线于N ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长；(3)在(2)的条件下，连接NB ，NC ，是否存在点m ，使△BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．9.如图，在△ABC 中，∠BAC ＞90°，DC ⊥DB，BE ⊥EC ，F 为BC 上的一个动点，猜想：当F 位于BC上的什么位置时，△FDE 是等腰三角形，并证明你的猜想是正确的。

2021年九年级中考数学专题复习：图形的变化(含答案)

2021年中考数学专题复习：图形的变化一、选择题（本大题共10道小题）1. 在平面直角坐标系中，点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是()A．(－2，3) B．(－3，2)C．(2，－3) D．(3，－2)2. 下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．等边三角形B．直角三角形C．平行四边形D．正方形3. 如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE=1，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF=()A.B.C.5D.24. 如图，两个半圆分别以P，O为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，O，A2在同一条直线上，则对称中心为()A．A2P的中点B．A1B2的中点C．A1O的中点D．PO的中点5. 在数学课上，老师提出如下问题:如图，已知△ABC中，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得P A+PB=BC.下面是四名同学的作法，其中正确的是()6. 如图，△ABC中，点D在BC上，∠B=62°，∠C=53°，将点D分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF，则∠EAF的度数为()A.124°B.115°C.130°D.106°7. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2对称……如此作下去，则△B2n A2n＋1B2n＋1(n是正整数)的顶点A2n＋1的坐标是()A．(4n－1，3) B．(2n－1，3)C．(4n＋1，3) D．(2n＋1，3)8. 如图，点P在直线l外，以点P为圆心，大于点P到直线l的距离为半径画弧，交直线l于点A，B;保持半径不变，分别以点A，B为圆心画弧，两弧相交于点Q，则PQ⊥l.上述尺规作图的依据是()A.一条直线与两平行线中的一条垂直，必然与另一条直线也垂直B.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，两点确定一条直线C.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线D .角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上9. 如图，将△ABC 绕点B 逆时针旋转α，得到△EBD ，若点A 恰好在ED 的延长线上，则∠CAD 的度数为( )A ．90°－αB ．αC ．180°－αD ．2α10. 2020·河北模拟如图所示，A 1(1，3)，A 2(32，32)，A 3(2，3)，A 4(3，0)．作折线OA 1A 2A 3A 4关于点A 4中心对称的图形，得折线A 8A 7A 6A 5A 4，再作折线A 8A 7A 6A 5A 4关于点A 8中心对称的图形……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点P 从原点O 出发，沿着折线以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t 秒．当t ＝2020时，点P 的坐标为( )A ．(1010，3)B ．(2020，32)C ．(2016，0)D ．(1010，32)二、填空题（本大题共7道小题）11. 指出图中包含的平面图形：______________________________．(写出3个即可)12.如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形、一个扇形，则这个几何体表面积的大小为 .13. 等腰三角形的两边长分别为6 cm ，13 cm ，其周长为________ cm .14. 如图，将等边三角形AOB 放在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，4)，点B 在第一象限，将△AOB 绕点O 顺时针旋转180°得到△A ′OB ′，则点B ′的坐标是________．15. 如图，两块完全相同的含30°角的三角尺ABC 和A ′B ′C ′重合在一起，将三角尺A ′B ′C ′绕其顶点C ′逆时针旋转角α(0°<α≤90°)，有以下三个结论：①当α＝30°时，A ′C 与AB 的交点恰好为AB 的中点；②当α＝60°时，A ′B ′恰好经过点B ；③在旋转过程中，始终存在AA ′⊥BB ′.其中正确结论的序号是__________．16. 现要在三角地带ABC 内(如图)建一座中心医院，使医院到A ，B 两个居民小区的距离相等，并且到公路AB 和AC 的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.17. (2019•黄冈)如图，AC BD ，在AB 的同侧，288AC BD AB ===，，，点M为AB 的中点，若120CMD ∠=︒，则CD 的最大值是__________．三、解答题（本大题共4道小题）18. 已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON.(1)依题意补全图;(2)求证:∠OMP=∠OPN;(3)点M关于点H的对称点为Q，连接QP.写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明.19. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在边AB上，且∠DCE＝45°，BE＝2，AD＝3.将△BCE绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的图形，并求DE的长．20. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF ＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M 处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长．21. 如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．2021年中考数学专题复习：图形的变化-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A[解析] 点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1(3，2)，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2(－2，3)．故选A.2. 【答案】D3. 【答案】D[解析]由旋转的性质可知，△ADE≌△ABF，∴BF=DE=1，∴FC=6，∵CE=4，∴EF===2.故选:D.4. 【答案】D[解析] 因为P ，O 是对称点，所以PO 的中点是对称中心．5. 【答案】C[解析] ∵P A+PB=BC ，而PC+PB=BC ，∴P A=PC.∴点P 为线段AC 的垂直平分线与BC 的交点.显然只有选项C 符合题意.6. 【答案】C[解析] 连接AD ，如图.∵点D 分别以AB ，AC 所在直线为对称轴，画出对称点E ，F ，∴∠EAB=∠BAD ，∠F AC=∠CAD.∵∠B=62°，∠C=53°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°-62°-53°=65°.∴∠EAF=2∠BAC=130°. 故选C .7. 【答案】C[解析] A 1(1，3)，A 2(3，－3)，A 3(5，3)，A 4(7，－3)，…，∴点A n 的坐标为⎩⎨⎧（2n －1，3）（n 为奇数），（2n －1，－3）（n 为偶数）.∵2n ＋1是奇数，∴点A 2n ＋1的坐标是(4n ＋1，3)．故选C.8. 【答案】C9. 【答案】C[解析] 由题意可得∠CBD ＝α，∠C ＝∠EDB.∵∠EDB ＋∠ADB ＝180°， ∴∠C ＋∠ADB ＝180°.由四边形的内角和定理，得∠CAD ＋∠CBD ＝180°. ∴∠CAD ＝180°－∠CBD ＝180°－α.故选C.10. 【答案】A二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】圆、三角形、正方形、长方形(答案不唯一，从中任选三个即可)12. 【答案】15π+12[解析]由三视图可以看出这是一个残缺的圆柱，侧面是由一个曲面和两个长方形构成的，上、下底面是两个扇形，S=侧×2π×2×3+2×3+2×3=9π+12，S底面=2××π×22=6π.所以这个几何体的表面积为15π+12.13. 【答案】32[解析] 由题意知，应分两种情况：(1)当腰长为6 cm时，三角形的三边长为6 cm，6 cm，13 cm，6＋6＜13，不能构成三角形；(2)当腰长为13 cm时，三角形的三边长为6 cm，13 cm，13 cm，能构成三角形，周长＝2×13＋6＝32(cm)．14. 【答案】(－2 3，－2)[解析] 过点B作BH⊥y轴于点H，如图．∵△OAB 为等边三角形，A(0，4)，∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，∴BH＝3OH＝2 3，∴点B的坐标为(2 3，2)．∵将△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，∴点B′的坐标是(－2 3，－2)．15. 【答案】①②③16. 【答案】解:作线段AB的垂直平分线EF，作∠BAC的平分线AM，EF与AM 相交于点P，则点P处即为这座中心医院的位置.17. 【答案】14【解析】如图，作点A关于CM的对称点A'，点B关于DM的对称点B'．∵120CMD ∠=︒，∴60AMC DMB ∠+∠=︒， ∴60CMA'DMB'∠+∠=︒， ∴60A'MB'∠=︒， ∵MA'MB'=，∴A'MB'△为等边三角形，∵14CD CA'A'B'B'D CA AM BD ≤++=++=， ∴CD 的最大值为14，故答案为：14．三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解:(1)如图所示:(2)证明:在△OPM 中，∠OMP=180°-∠POM -∠OPM=150°-∠OPM ， ∠OPN=∠MPN -∠OPM=150°-∠OPM ， ∴∠OMP=∠OPN.(3)过点P 作PK ⊥OA 于点K ，过点N 作NF ⊥OB 于点F .∵∠OMP=∠OPN ，∴∠PMK=∠NPF . 在△NPF 和△PMK 中，∴△NPF ≌△PMK (AAS)，∴PF=MK ，∠PNF=∠MPK ，NF=PK. 在Rt △NFO 和Rt △PKQ 中，∴Rt △NFO ≌Rt △PKQ (HL)，∴KQ=OF . 设MK=y ，PK=x ， ∵∠POA=30°，PK ⊥OQ ， ∴OP=2x ，∴OK=x ，OM=x -y ，∴OF=OP +PF=2x +y ，MH=OH -OM=+1-(x -y )，KH=OH -OK=+1-x ，∵M 与Q 关于点H 对称，∴MH=HQ ， ∴KQ=KH +HQ=+1-x ++1-x +y=2+2-2x +y ，∵KQ=OF ， ∴2+2-2x +y=2x +y ，整理得2+2=x (2+2)， ∴x=1，即PK=1，∴OP=2.19. 【答案】解：如图，将△BCE 绕点C 逆时针旋转90°，得到△ACF ，连接DF.由旋转的性质，得CE ＝CF ，AF ＝BE ＝2，∠ACF ＝∠BCE ，∠CAF ＝∠B ＝45°.∵∠ACB ＝90°，∠DCE ＝45°，∴∠DCF ＝∠ACD ＋∠ACF ＝∠ACD ＋∠BCE ＝∠ACB －∠DCE ＝90°－45°＝45°，∴∠DCE ＝∠DCF.在△CDE 和△CDF 中，⎩⎨⎧CE ＝CF ，∠DCE ＝∠DCF ，CD ＝CD ，∴△CDE ≌△CDF(SAS)，∴DE ＝DF. ∵∠DAF ＝∠BAC ＋∠CAF ＝45°＋45°＝90°，∴△ADF 是直角三角形，∴DF 2＝AD 2＋AF 2，∴DE 2＝AD 2＋BE 2＝32＋22＝13， ∴DE ＝13.20. 【答案】(1)如解图①，∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，解图①∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，∴S △AEF ＝S △DEF ，∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF ，∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴14△△AEF ACB S S =， ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AEF ∽△ABC ， ∴2△△（）AEF ACB S AE ABS =， ∴214（）=，AE AB 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，即AB ＝42＋32＝5，∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52；(2)①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图②，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ，∴∠CAB ＝∠CEM ，∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形，而AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形，解图②②如解图②，连接AM ，与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x ， ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°，∴Rt △ECM ∽Rt △ACB ，∴EC AC ＝EM AB ，∵AB ＝5， ∴445-，x x =解得x ＝209， ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169，在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM ＝（209）2－（169）2＝43，∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ，∴S AEMF 菱形＝4S △AOE ＝2OE ·AO ，在Rt △AOE 和Rt △ACM 中，∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ，∴OE AO ＝CM AC ，∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S AEMF 菱形＝6OE 2，又∵S AEMF 菱形＝AE ·CM ，∴6OE 2＝209×43，解得OE ＝2109，∴EF ＝2OE ＝4109.21. 【答案】(1)①如图2，当E 在OA 上时，由12y x b =-+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝112122OE OC b b ⋅=⨯⨯=． ②如图3，当E 在AB 上时，把y ＝1代入12y x b =-+可知，点D 的坐标为(2b －2,1)，CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入12y x b =-+可知，点E 的坐标为3(3,)2b -，AE ＝32b -，BE ＝52b -．此时 S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD ＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b -⨯-----⨯⨯- 252b b =-+． (2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形．作DH ⊥OA ，垂足为H ．由于CD ＝2b －2，OE ＝2b ，所以EH ＝2．设菱形DMEN 的边长为m ．在Rt △DEH 中，DH ＝1，NH ＝2－m ，DN ＝m ，所以12＋(2－m )2＝m 2．解得54m =．所以重叠部分菱形DMEN 的面积为54．图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC 绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图7。

2021年九年级数学中考专题复习——(图形运动问题)含答案

2021年中考专题复习——（图形运动问题） 1．如图，已知抛物线交x 轴于()()2,0,1,0A B -两点，与y 轴交于点()0,2C ，顶点为D ，点P 是x 轴上的一个动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）连接AC AD CD 、、，求ACD 的面积；（3）当PC PD +的值最小时，求点P 的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，点(0,2)A ，在x 轴上任取一点M ，完成以下作图步骤； ①连接AM ．作线段AM 的垂直平分线a ．过点M 作x 轴的垂线b ，记a b ，的交点为P ：（在答题卡画示意图）②在x 轴上多次改变点M 的位置（至少三次），用①的方法得到相应的点P ，把这些点用平滑的曲线顺次连接起来，得到曲线C ．（1）猜想曲线C 是我们学过的那种曲线，请直接写出你的猜想，（2）求曲线C 的解析式．3．如图1所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6．沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成△AC 1D 1和△BC 2D 2两个三角形(如图所示)．将纸片△AC 1D 1沿直线D 2B (AB )方向平移(点A，D1，D2，B始终在同一直线上)，当点D1于点B重合时，停止平移．在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P．(1)当△AC1D1平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想；(2)设平移距离D2D1为x，△AC1D1与△BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；(3)对于(2)中的结论是否存在这样的x的值使得y＝14S△ABC；若不存在，请说明理由．4．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度，沿BA向点A移动；同时点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度，沿CB向点B移动，连接QP，QD，PD．若两个点同时运动的时间为x秒（0<x≤2），解答下列问题：（1）当x为何值时，PQ⊥DQ；（2）设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值．5．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3．动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、Q的运动时间为t秒（1）当t ＝2秒时，求tan ∠QPA 的值；（2）当线段PQ 与线段AB 相交于点M ，且BM ＝2AM 时，求t 的值；（3）连结CQ ，当点P ，Q 在运动过程中，记CQP 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（4）直接写出∠OAB 的角平分线经过CQP 边上中点时的t 值．6．如图，在锐角三角形ABC 中，BC=12，△ABC 的面积为48，D ，E 分别是边AB ，AC 上的两个动点（D 不与A ，B 重合），且保持DE ∥BC ，以DE 为边，在点A 的下方作正方形DEFG ．（1）当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，求正方形DEFG 的边长；（2）设DE=x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，写出x 的取值范围，并求出y 的最大值．7．如图，四边形ABDC 为矩形，AB ＝4，AC ＝3，点M 为边AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），连接CM ，过点M 作MN ⊥MC ，MN 与边BD 交于点N ．（1）当点M 为边AB 的中点时，求线段BN 的长；（2）直接写出：当DN 最小时△MNB 的面积为___________．8．如图，已知一个三角形纸片,ABC BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B 和C 都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A 、B 不重合），过点M 作//MN BC ，交AC 于点N ，在AMN 中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ．（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN 沿MN 折叠，使AMN 落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？9．如图1，已知Rt ABC ∆中，10AB cm =，6BC cm =，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度均为2/cm s ，连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）()04t ≤≤．图1 图2（1）当//PQ BC 时，t =_____s ；（2）设AQP ∆的面积为S （单位：2cm ），当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值；（3）如图2，取点Q 关于AP 的对称点Q '，连接AQ '，PQ '，得到四边形AQPQ '，是否存在某一时刻t ，使四边形AQPQ '为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．10．如图，在矩形ABCD 中，6,12AB BC ==，点P 从点A 出发沿AB 边向点B 以1个单位每秒的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2个单位每秒的速度移动。

人教版2021年中考数数学阶段复习巩固与提升微专题《几何动态问题》高频考题专题提升练习(人教版)

2021年中考数数学阶段复习巩固与提升微专题《几何动态问题》高频考题专题提升练习一．选择题.1. 如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点A′处，若∠1=∠2=50°，则∠A′的度数为（）A ．130°B ．120°C ．105°D ．100°2. 如图，在矩形ABCD 中，BC=8，CD=6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点F 处，则EF 的长是（）A ．3B ．524C ．5D ．1689 3. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，点E ，F 分别是线段BC ，DC 上的动点．当△AEF 的周长最小时，则∠EAF 的度数为（）A．90°B．80C．70°D．60°4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，使点B′落在AC边上，设M是A′B′的中点，连接BM，CM，则△BCM的面积为（）A．1B．2C．3D．45. 在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，如图所示，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动，若限定点P，Q 分别在AB、AD上移动，则点A在BC边上可移动的最大距离为（）A.1B. 2C.3D.46.如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为AB的中点，将△DAE 绕点D沿逆时针方向旋转后得到△DCF，连接EF，则EF的长为（）A．23B．25C．26D．2107. 如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠D=120°，E 是对角线AC 上的任意一点，则BE+21CE 的最小值为（）A ．3B ．2C ．23+1D ．3+18. 如图，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D 点重合，AB′交CD 于点E ，则旋转角的度数为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二．填空题.9. 如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么cos ∠EFC 的值是．10. 如图，点C 坐标为(2，,5),点A 的坐标为(7,0)，⊙C 的半为√10,点B 在⊙C 上一动点,OB+√55AB 的最小值为。

2021年中考数学专项训练：动态型问题（含答案）

2021年中考数学专项训练：动态型问题（含答案）⼀、选择题9.（2020·湖北孝感）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AB=4，BC=6，∠BAD=30°，（第9题）动点P沿路径A→B →C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动，过点P作PH⊥AD，垂⾜为H，设点P运动的时间为x(单位：s)，△APH的⾯积为y，则y关于x的函数图像⼤致是( ){答案}D{解析}当点P在AB上移动时，AP=x，∵∠A=30°，则AH=√32x，PH=12x，∴y=√32x×12x÷2=√38x2，y是x的⼆次函数,当x=4时，y=2√3；当点P在BC上移动时，即4＜x≤10时，y=x-4+2√3，y是x的⼀次函数，当x=10时，y=6+2√3；当点P在CD上移动时，当10＜x≤12时，y=(6+2√3)(12-x)=-( 6+2√3)x+12×（6+2√3），y是x的⼀次函数，y随x的增⼤⽽减⼩.故选D.9．（2020·南通）矩形ABCD中，E为AD边上的⼀点，动点P沿着B－E－D运动，到D停⽌，动点Q沿着B－C运动到C停⽌，它们的速度都是1cm/s，设它们的运动时间为x s，△BPQ的⾯积记为y cm2，y与x的关系如图所⽰，则矩形ABCD的⾯积为A．96 B．84 C．72 D．56{答案}C{解析}由已知可得当点P运动到与E点重合时，x＝10，过点E作EH⊥BC于H，ABE DCPQ3011103022y BQ EH EH ===，得EH ＝AB ＝6，在Rt △ABE 中，由勾股定理求得AB ＝6，由右图可知当x ＝14时，点Q 与点C 重合，所以BC ＝14，所以矩形ABCD 的⾯积＝12×6＝72，故选C ．（2020·本溪）10．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√2，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点A 出发，沿A →D →C 的路径运动，运动到点C 停⽌，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的⾯积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．{答案}{解析}根据Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√2，可得AB ＝4，根据CD ⊥AB 于点D ．可得AD ＝BD ＝2，CD 平分⾓ACB ，点P 从点A 出发，沿A →D →C 的路径运动，运动到点C 停⽌，分两种情况讨论：根据PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，可得四边形CEPF 是矩形和正⽅形，设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的⾯积为y ，进⽽可得能反映y 与x 之间函数关系式，从⽽可以得函数的图象．∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√2，∴AB ＝4，∠A ＝45°，∵CD ⊥AB 于点D ，∴AD ＝BD ＝2，∵PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，∴四边形CEPF是矩形，∴CE＝PF，PE＝CF，∵点P运动的路程为x，∴AP＝x，则AE＝PE＝x?sin45°=√22x，∴CE＝AC﹣AE＝2√2?√22x，∵四边形CEPF的⾯积为y，∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，即0＜x＜2时，y＝PE?CE=√22x（2√2?√22x）=?12x2+2x=?12（x﹣2）2+2，∴当0＜x＜2时，抛物线开⼝向下；当点P沿D→C路径运动时，即2≤x＜4时，∵CD是∠ACB的平分线，∴PE＝PF，∴四边形CEPF是正⽅形，∵AD＝2，PD＝x﹣2，∴CP＝4﹣x，y=12（4﹣x）2=12（x﹣4）2．∴当2≤x＜4时，抛物线开⼝向上，综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是A．9．（2020·东营）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时线段CP 的长度y随时间x 变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则△ABC的边AB的长度为（）A.12B. 8C.10D.13{答案}C{解析}本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直⾓三⾓形、图形⾯积等知识点．解题的关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．当P点分别与A、B重合时，PC=13，由此可推出：△ABC是等腰三⾓形，AC=BC=13；当CP⊥AB时，PC的值最⼩，即△ABC中，AB上的⾼为12，此时P点恰好运动⾄AB的中点，∴2213125AP，∴210AB AP．9．（2020·威海）七巧板是⼤家熟悉的⼀种益智玩具．⽤七巧板能拼出许多有趣的图案．⼩李将⼀块等腰直⾓三⾓形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成⼀副七巧板（如图②）．已知AB＝40cm，则图中阴影部分的⾯积为（）A．25cm2B．1003cm2C．50cm2D．75cm2【分析】如图：设OF＝EF＝FG＝x，可得EH＝2√2x＝20，解⽅程即可解决问题．【解析】：如图：设OF＝EF＝FG＝x，∴OE＝OH＝2x，在Rt△EOH中，EH＝2√2x，由题意EH＝20cm，∴20＝2√2x ，∴x ＝5√2，∴阴影部分的⾯积＝（5√2）2＝50（cm 2）故选：C ．11．（2020·淄博）如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B →C →A 匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 是曲线部分的最低点，则△ABC 的⾯积是（）A ．12B ．24C ．36D ．48【解析】由图2知，AB ＝BC ＝10，当BP ⊥AC 时，y 的值最⼩，即△ABC 中，BC 边上的⾼为8（即此时BP ＝8），当y ＝8时，PC =√BC 2?BP 2=√102?82=6，△ABC 的⾯积=12×AC ×BP =12×8×12＝48，故选：D ．⼆、填空题 15．（2020·鄂州）如图，半径为2cm 的O 与边长为2cm 的正⽅形ABCD 的边AB 相切于E ，点F 为正⽅形的中⼼，直线OE 过F 点．当正⽅形ABCD 沿直线OF 以每秒(2的速度向左运动__________秒时，O 与正⽅形重叠部分的⾯积为22cm 3π?- ?．{答案}1或1163．{解析}本题考查正⽅形的性质，扇形⾯积的计算及等边三⾓形的判定和性质，题⽬难度不⼤，注意分情况讨论是本题的解题关键．将正⽅形向左平移，使得正⽅形与圆的重叠部分为⼸形，根据题⽬数据求得此时⼸形⾯积符合题意，由此得到OF 的长度，然后结合运动速度求解即可，特别要注意的是正⽅形沿直线运动，所以需要分类讨论．解：①当正⽅形运动到如图1位置，连接OA ，OB ，AB 交OF 于点E 此时正⽅形与圆的重叠部分的⾯积为S 扇形OAB -S△OAB由题意可知：OA ＝OB ＝AB ＝2，OF ⊥AB ∴△OAB 为等边三⾓形∴∠AOB ＝60°，OE ⊥AB在Rt △AOE 中，∠AOE ＝30°，∴AE ＝112OA =，OE ∴S 扇形OAB -S △OAB 260π212=23π3360∴OF 1∴点F 向左运动3(31)23个单位23=123秒②同理，当正⽅形运动到如图2位置，连接OC ，OD ，CD 交OF 于点E此时正⽅形与圆的重叠部分的⾯积为S 扇形OCD -S △OCD 由题意可知：OC ＝OD ＝CD ＝2，OF ⊥CD ∴△OCD 为等边三⾓形∴∠COD ＝60°，OE ⊥CD在Rt △COE 中，∠COE ＝30°，∴CE ＝1OC 12，OE ∴S 扇形OCD -S △OCD 260π212=23π336023∴OF 1∴点F 向左运动3(31)43个单位43=116323秒综上，当运动时间为1或1163秒时，⊙O 与正⽅形重叠部分的⾯积为22π3(cm )3故答案为：1或1163．17．（2020?湘西州）在平⾯直⾓坐标系中，O 为原点，点A （6，0），点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO ＝30°，矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD ＝2．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE与△ABO 重叠部分的⾯积为CODE 向右平移的距离为．（第17题图）{答案}2{解析}本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直⾓三⾓形的性质、梯形⾯积公式等知识，熟练掌握含30°⾓的直⾓三⾓形的性质时是解题的关键．∵点A （6，0），∴OA ＝6，∵OD ＝2，∴AD ＝OA ﹣OD ＝6﹣2＝4，∵四边形CODE 是矩形，∴DE ∥OC ，∴∠AED ＝∠ABO ＝30°，在Rt △AED 中，AE ＝2AD＝8，ED ===，∵OD ＝2，∴点E 的坐标为（2，；由平移的性质得：O ′D ′＝2，E ′D ′＝ME ′＝OO ′＝t ，D ′E ′∥O ′C ′∥OB ，∴∠E ′FM ＝∠ABO ＝30°，∴在Rt △MFE ′中，MF ＝2ME ′＝2t ，FE ′===，∴S △MFE ′12=t M E ′?FE ′12=?t t22=，∵S 矩形C ′O ′D ′E ′＝O ′D ′?E ′D ′＝2×=，∴S ＝S 矩形C ′O ′D ′E ′﹣S △MFE ′＝22t 1=2，t 2=-2（舍去），因此本题答案是2．17．（2020·通辽）如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点E 是边AB的中点，点P 是边BC 上⼀动点，设PC ＝x ，P A +PE ＝y ．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．那么a +b 的值为．{答案}7{解析}∵点E 是边AB 的中点，∴AE =BE =12AB ．从图象中可以看出，当x 的值最⼤时，所对应的函数值是此时点P 恰与点B 重合．此时P A +PE ＝AB +12AB =32AB =AB =AC ，AE =BE E 关于BC 的对称点F ，连结AF 交BC 于点P ，此时P A +PE 有最⼩值，即是AF 长，连结BF ．∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠ABC =∠C =30°，由轴对称可得BF =BE ，∠ABC =∠FBP =30°，∴∠EBF =60°，∴△EBF 是等边三⾓形，∴EF =BE ，∵AE =BE ，∴AE =BE = EF ，易证△ABF 是直⾓三⾓形，∴AF =AB ·sin ∠ABF ==，即a =3，在△ABF 中，∠AFB =90°，∠ABF =60°，∴∠BAF =30°，∵∠BAC ＝120°，∴∠P AC =∠BAC －∠BAF =90°，∴cos C=cos30°=AC PC PC 2233=4，即b =4，∴a +b =7．三、解答题 24．（2020·温州）如图,在四边形ABCD 中,∠A ＝∠C ＝90°,DE ,BF 分别平分∠ADC ,∠ABC ,并交线段AB ,CD 于点E ,F (点E ,B 不重合).在线段BF 上取点M ,N (点M 在BN 之间),使BM ＝2FN .当点P 从点D 匀速运动到点E 时,点Q 恰好从点M 匀速运动到点N .记QN ＝x ,PD ＝y ,已知6125y x =-+,当Q 为BF 中点时245y =.(1)判断DE 与BF 的位置关系,并说明理由. (2)求DE ,BF 的长.E(3)若AD＝6.②连结PQ,当PQ所在直线经过四边形ABCD的⼀个顶点时,求所有满⾜条件的x的值.{解析}这是⼀道四边形动点综合题。

2021年中考一轮复习九年级数学《图形的变化》能力提升专项训练(附答案)

2021年九年级数学中考复习《图形的变化》能力提升专项训练（附答案）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，连接AD，BE⊥AD于点E，连接CE，∠DEC＝∠BAC，若，则tan∠BAE的值为．2．如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于．3．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC的面积等于15，那么△FEC的面积等于．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O 上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M为AD的中点，点N为AB上一点，连接MN，CN，将△AMN沿直线MN折叠后，点A恰好落在CN上的点P处，则CN的长为．6．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AD是⊙O的直径，且AD＝3，若∠ABC＝∠CAD，BC交AD于点E，则CE•BC为．7．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，BC是建筑物底端的一个平台，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：0.75，坡长为10米，DE为地平面（A，B，C，D，E均在同一平面内），则平台距地面的高度为．8．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝22021，AC＝22020，点D1，D3，D5，…D2n﹣1在AB边上，点D2，D4，D6，…D2n在AC边上，若∠B＝∠ACD1＝∠AD1D2＝∠AD2D3＝…＝∠AD n D n+1，则D2020D2021＝．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点B'处，线段B'D交边AB于点F，联结AB'．当△AB'F是直角三角形时，BE的长为．10．如图，在△ABC中，点D，E在AC边上，且AE＝ED＝DC．点F，M在AB边上，且FE∥MD∥BC，延长FD交BC的延长线于点N，则的值＝．11．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD 中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tan B＝，那么边AD的长为．12．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE，则CE的最大值为．13．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2020个正方形的面积为．14．如图，在直角坐标系xOy中，点P的坐标为（4，3），PQ⊥x轴于Q，M，N分别为OQ，OP上的动点，则QN+MN的最小值为．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝20，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E是线段AC上的动点，BC ＝4，AB＝8，当△ABC和△AED相似时，AE的长为．17．如图，AC与BE交于点D，∠A＝∠E＝90°，若点D是线段AC的中点，且AB＝AC ＝10．则BE的长等于．18．如图，正方形ABCD的边长为8，点E是BC上的一点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，AN的延长线交DC于点M，当AB ＝2CF时，则NM的长为．19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝130°，∠D＝∠B＝90°，点M，N分别是CD，BC上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为．20．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在边AB上，AM＝3，过点M作直线MN与边AC交于点N，使截得的三角形与原三角形ABC相似，则MN的长为．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM 的最大值是．22．如图，在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC于点D，点E、F分别是BC、DC上的动点，沿EF所在直线折叠△CEF，使点C落在BD上的点C′处，若△BEC′是直角三角形，则BC′的值为．23．如图，花丛中有一路灯AB，在灯光下，大华在D点处的影长DE＝3m，沿BD方向行走至G点，DG＝4m，此时大华的影长GH＝4.5m，如果大华的身高为1.5m，则路灯AB 的高度为m．24．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝120°，AB＝6，AD＝4，点E在线段AD上（点E与点A，D不重合），点F在直线CD上，若∠BEF＝120°，AE＝1，则DF值为．25．如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边上一点，且满足AM＝2DM，点N为AB边上任意一点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则线段A′C长度的最小值是．参考答案1．解：在AD上截取AM＝CE，连接BM，如图：∵∠DEC＝∠CAE+∠ECA，∠BAC＝∠CAE+∠MAB，又∵∠DEC＝∠BAC，∴∠MAB＝∠ECA，在△MAB和△ECA中，，∴△MAB≌△ECA（SAS），∴BM＝AE，∵，∴设CE＝4a，则BM＝AE＝7a，∴AM＝CE＝4a，∴ME＝AE﹣AM＝3a，∵BE⊥AD，∴△BEM为直角三角形，由勾股定理得：BE＝＝＝2a，∴tan∠BAE＝＝＝．故答案为：．2．解：由折叠得：CE⊥BD，CG＝EG，∴∠DGF＝90°，∴∠DFG+∠FDG＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADG+∠CDG＝90°，∴∠CDG＝∠DFG，∵∠CDF＝∠BCD＝90°，∴△CDF∽△BCD，∴，∵AB＝4，DF＝1，∴，∴CD＝2，由勾股定理得：CF＝＝，BD＝＝2，同理得：△CDG∽△BDC，∴＝，∴＝，∴CG＝，∴CE＝2CG＝，∴EF＝CE﹣CF＝﹣＝，∵＝，＝＝，且∠EDF＝∠AED，∴△EFD∽△AED，∴，即，∴AE＝．故答案为：．3．解：在▱ABCD中，AD∥CE，AD＝BC∴△ADF∽△CEF，∴＝＝，∵CE＝2EB，∴CE＝BC＝AD，∴＝＝＝，∴＝（）2＝，∵S△ABC＝S△ADC＝15，∴S△ACD＝S△AFD+S△CFD＝15，∵＝，∴＝＝，∴S△AFD＝9，S△CFD＝6，∴S△FEC＝4．故答案为：4．4．解：连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N，如图所示：∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC＝OB＝2，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，2为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′，∵直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（8，0），E（0，﹣6），∴OD＝8，OE＝6，∴DM＝OD﹣OM＝8﹣2＝6，DE＝＝＝10，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE＝90°，∴△DNM∽△DOE，∴＝，即＝，∴MN＝，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值＝×10×（﹣2）＝8，故答案为8．5．解：在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，∠D＝90°，连接CM，∵将△AMN沿直线MN折叠后，点A恰好落在CN上的点P处，∴AM＝PM，∠MPN＝∠A＝90°，∠AMN＝∠PMN，∴∠CPM＝90°，∵点M为AD的中点，∴AM＝DM＝AD＝2，∴PM＝AM＝DM＝2，在Rt△CPM与Rt△CDM中，，∴Rt△CPM与Rt△CDM（HL），∴CP＝CD＝3，∠CMP＝∠CMD，∴∠NMC＝∠NMP+∠CMP＝90°，∴CM＝＝＝，∵∠CMN＝∠CPM＝90°，∠MCP＝∠MCP，∴△CMP∽△CNM，∴＝，∴＝，∴CN＝，故答案为：．6．解：∵∠ABC＝∠CAD，∠ABC＝∠D，∴∠D＝∠CAD，∴CA＝CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CA2+CD2＝AD2，∵AD＝3，CA＝CD，∴2CA2＝18，解得：CA＝3．∵∠ABC＝∠CAD，∠ACB＝∠ECA，∴△ACB∽△ECA，∴BC：AC＝AC：CE，∴CE•BC＝AC•AC＝9．故答案为：9．7．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，过C作CG⊥EF于G，则BF＝CG，在Rt△CDG中，i＝＝1：0.75＝，CD＝10米，设CG＝4x米，则DG＝3x米，由勾股定理得：（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2，∴CG＝8（米），GD＝6（米），∴BF＝CG＝8米，即平台距地面的高度为8米，故答案为：8米．8．解：∵∠A＝90°，∠B＝∠ACD1＝∠AD1D2＝∠AD2D3＝…＝∠AD n D n+1，∴＝＝＝＝＝＝…＝，∴AD1＝AC＝22019，AD2＝AD1＝22018，AD3＝AD2＝22017，AD4＝AD3＝22016，……AD2020＝AD2019＝20＝1，AD2021＝AD2020＝2﹣1＝，在Rt△AD2020D2021中，AD2020D2021＝＝，故答案为：．9．解：①如图1，当∠AFB′＝90°时．在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵D是BC的中点，∴BD＝CD＝BC＝4，∵∠AFB'＝∠BFD＝90°，∠ACB＝90°，∴∠DFB＝∠ACB，又∵∠DBF＝∠ABC，∴△BDF∽△BAC，∴，即，解得：BF＝，设BE＝B'E＝x，则EF＝﹣x，∵∠B＝∠FB'E，∴sin∠B＝sin∠FB'E，∴，∴，解得x＝2．∴BE＝2．②如图2中，当∠AB′F＝90°时，连接AD，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．∵AD＝AD，CD＝DB′，∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），∴AC＝AB′＝6，∵将△BDE沿直线DE翻折，∴∠B＝∠DB'E，∵AB'⊥DB'，EH⊥AH，∴DB'∥EH，∴∠DB'E＝∠B'EH，∴∠B＝∠B'EH，∴sin∠B＝sin∠B'EH，设BE＝x，则B'H＝x，EH＝x，在Rt△AEH中，AH2+EH2＝AE2，∴，解得x＝，∴BE＝．则BE的长为2或．故答案为：2或．10．解：∵EF∥DM∥BC，AE＝DE＝CD，∴，在△EFD与△CND中，，∴△EFD≌△CND（AAS），∴EF＝CN，∵CN：BC＝1：3，∴CN：BN＝1：4，∴，故答案为．11．解：如图，过端午A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．在Rt△ABH中，tan B＝＝，∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝5k＝10，∴k＝2，∴AH＝6，BH＝8，∵BC＝12，∴CH＝BC﹣BH＝12﹣8＝4，∴AC＝＝＝2，∵∠B+∠D＝90°，∠D+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠B，在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝，∵CD＝5，∴DE＝3，CE＝4，∴AE＝＝＝6，∴AD＝AE+DE＝9．故答案为：9．12．解：取AB的中点M，连接CM，EM，∴当CE＝CM+EM时，CE的值最大，∵将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，∴AC′＝AC＝2，∵E为BC′的中点，∴EM＝AC′＝1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2，∴CM＝AB＝，∴CE＝CM+EM＝+1，故答案为：．13．解：∵正方形ABCD的点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），∴OA＝1，OD＝2，AD＝，，延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，∴△AA1B∽△DAO，∴，∵AD＝AB＝，∴A1B＝，∴第1个正方形的面积为：S1＝A1C2＝（+）2＝5•（）2；同理可得，A2C2＝（+）2第2个正方形的面积为：S2＝5•（）4…∴第2020个正方形的面积为：S2020＝5•（）4038．故答案为：5•（）4038．14．解：作Q关于OP的对称点P′，连接P′Q交OP于E，则QE⊥OP，过P′作P′M⊥OQ于M交OP于N，则此时，QN+MN的值最小，且QN+MN的最小值＝P′M的长度，∵PQ⊥x轴于Q，点P的坐标为（4，3），∴OQ＝4，PQ＝3，∴OP＝＝5，∴QP′＝2EQ＝2＝2×＝，∵∠P′MQ＝∠P′MO＝∠P′EN＝90°，∠P′NE＝∠MNO，∴∠P′＝∠POQ，∴△MP′Q∽△QOP，∴＝，∴＝，∴P′M＝，∴QN+MN的最小值为，故答案为：．15．解：∵AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝20，AD⊥BC于点D，∴AD＝8，∵EF垂直平分AB，∴点A，B关于直线EF对称，∴EF与AD的交点即为P的，如图，连接PB，此时P A＝PB，PB+PD＝P A+PD＝AD，AD＝PB+PD的最小值，即PB+PD的最小值为8，故答案为：8．16．解：∵∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，∴AC＝＝＝4，∵D为AB的中点，∴AD＝AB＝4，∴以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，①若△ADE∽△ABC，则＝，即＝，解得AE＝2，②若△AED∽△ABC，则＝，即＝，解得AE＝，综上所述，AE的长为2或．故答案为：2或．17．解：∵AD＝DC＝5，AB＝10，∠A＝90°，∴BD＝＝5，∵∠ADB＝∠CDE，∠A＝∠E＝90°，∴△ABD∽△ECD，∴＝，∴＝，∴DE＝，∴BE＝BD+DE＝6，故答案为6．18．解：∵△ABE沿直线AE翻折，点B落在点N处，∴AN＝AB＝8，∠BAE＝∠NAE，∵正方形对边AB∥CD，∴∠BAE＝∠F，∴∠NAE＝∠F，∴AM＝FM，设CM＝x，∵AB＝2CF＝8，∴CF＝4，∴DM＝8﹣x，AM＝FM＝4+x，在Rt△ADM中，由勾股定理得，AM2＝AD2+DM2，即（4+x）2＝82+（8﹣x）2，解得x＝4，所以，AM＝4+4＝8，所以，NM＝AM﹣AN＝8﹣8＝．故答案为：19．解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点N、M，∵∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠130°＝50°，由轴对称的性质得：∠A′＝∠A′AN，∠A″＝∠A″AM，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×50°＝100°．故答案为：100°20．解：∵△AMN和△ABC相似，∴①如图1，△AMN∽△ABC，∴，∵AM＝3，AC＝6，BC＝12，AB＝9，∴，MN＝4．②如图2，△AMN∽△ACB，∴，∵AM＝3，AC＝6，BC＝12，∴，MN＝6，综上MN为4或6．故答案为：4或6．21．解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，∴PC＝A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故答案为：3．22．解：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠DBC＝30°，由折叠可得CE＝C'E，分两种情况：①若∠BEC'＝90°，如图所示：∵∠C'BE＝30°，∴BE＝C'E，BC'＝2C'E，又∵BE+CE＝BC＝6，∴CE+CE＝6，∴CE＝＝3﹣3＝C'E，∴BC'＝﹣6；②若∠BC'E＝90°，如图所示：∵∠C'BE＝30°，∴BE＝2C'E，BC'＝C'E，又∵BE+CE＝BC＝6，∴3CE＝6，∴CE＝2＝C'E，∴BC'＝，综上所述，BC′的长为﹣6或，故答案为：﹣6或．23．解：∵CD∥AB，∴△EAB∽△ECD，∴＝，即＝①，∵FG∥AB，∴△HFG∽△HAB，∴＝，即＝②，由①②得＝，解得BD＝8，∴＝，解得：AB＝5.5．故答案为：5.5．24．解：∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝4﹣1＝3，∵∠A＝∠D＝120°，∴∠AEB+∠ABE＝180°﹣120°＝60°，∵∠BEF＝120°，∴∠AEB+∠DEF＝180°﹣120°＝60°，∴∠AEB+∠ABE＝∠AEB+∠DEF，∴∠ABE＝∠DEF，∴△ABE∽△DEF，∴＝，即＝，∴DF＝，故答案为：．25．解：在菱形ABCD中，AD＝3，∠A＝60°，∵AB∥CD，∴∠ADC＝120°，由折叠知，A'M＝AM，∵AM＝2DM，AD＝3，∴A'M＝AM＝2MD＝2，DM＝1，∴当点A'在CM上时，A'C的长度取得最小值，过点M作MH⊥CD于H，在Rt△MDH中，∠HDM＝60°，DM＝1，∴∠HMD＝30°，∴DH＝DM＝，∴MH＝DH＝，CH＝CD+DH＝3+＝，在Rt△CHM中，根据勾股定理，得CM＝＝＝＝，∴A'C＝CM﹣A'M＝﹣2．故答案为：﹣2．。

2021中考数学专题复习：压轴题动态几何问题专项训练题6(附答案详解)

2021中考数学专题复习：压轴题动态几何问题专项训练题6（附答案详解）1．在▱ABCD 中，AF 平分∠BAD 交BC 于点F ，∠BAC =90°，点E 是对角线AC 上的点，连结BE ．（1）如图1，若AB =AE ，BF =3，求BE 的长；（2）如图2，若AB =AE ，点G 是BE 的中点，∠F AG =∠BFG ，求证：AB 10=FG ；（3）如图3，以点E 为直角顶点，在BE 的右下方作等腰直角△BEM ，若点E 从点A 出发，沿AC 运动到点C 停止，设在点E 运动过程中，BM 的中点N 经过的路径长为m ，AC 的长为n ，请直接写出n m的值．2．如图，在矩形ABCD 中，4BC =，10AB =，E 为CD 边上的一点，7DE =，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB 向终点B 运动，连接PE ．设点P 运动的时间为t 秒．（1）求BE 的长；（2）当t 为多少秒时，BPE 是直角三角形？3．已知函数()221,(0),,0x mx m x y x mx m x ⎧-+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩将此函数的图象记为G ．（1）当2m =时，①直接写出此函数的函数表达式．②点(1,)P a -在图象G 上，求点P 的坐标．③点(),3Q b 在图象G 上，求b 的值．（2）设图象G 最低点的纵坐标为o y ．当2o y =-时，直接写出m 的值．（3）矩形ABCD 的顶点坐标分别为()()()()4,14,43,43,1,A B C D ----、、、若函数()221,(0),,0x mx m x y x mx m x ⎧-+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩在11m x m -≤≤+范围内的图象与矩形ABCD 的边有且只有一个公共点，直接写出此时m 的取值范围．4．如图，数轴上点A 表示的数为6，点B 位于A 点的左侧，10AB =，动点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动．（1）点B 表示的数是多少？（2）若点P ，Q 同时出发，求：①当点P 与Q 相遇时，它们运动了多少秒？相遇点对应的数是多少？②当8PQ =个单位长度时，它们运动了多少秒？5．如图，在平面直角坐标系中，直线223y x =-+分别与x 轴、y 轴相交于点B 、C ，经过点B 、C 的抛物线223y x bx c =-++与x 轴的另一个交点为A （-1，0）．（1）求这个抛物线的表达式；（2）已知点D 在抛物线上，且横坐标为2，求出△BCD 的面积；（3）点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点，过点P 作PQ 垂直于x 轴，垂足为Q ．是否存在点P ，使得以点A 、P 、Q 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6．在综合与实践课上，老师组织同学们以“三角形纸片的旋转”为主题开展数学活动．如图1，现有矩形纸片ABCD ，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ．连接BD ，将矩形ABCD 沿BD 剪开，得到△ABD和△BCE．保持△ABD位置不变，将△BCE从图1的位置开始，绕点B按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α＜360°）．在△BCE旋转过程中，边CE与边AB交于点F．（1）如图2，将图1中的△BCE旋转到点C落在边BD上时，CF= ；（2）继续旋转△BCE，当点E落在DA延长线上时，求出CF的长；（3）在△BCE旋转过程中，连接AE，AC，当AC＝AE时，直接写出此时α的度数及△AEC的面积．7．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，4），B（﹣4，0），C（4，0）．（1）如图①，若∠BAD＝15°，AD＝3，求点D的坐标；（2）如图②，AD＝2，将△ABD绕点A逆时针方向旋转得到△ACE，点B，D的对应点分别为C，E．连接DE，BD的延长线与CE相交于点F．①求DE的长；②证明：BF⊥CE．（3）如图③，将（2）中的△ADE绕点A在平面内旋转一周，在旋转过程中点D，E的对应点分别为D1，E1，点N，P分别为D1E1，D1C的中点，请直接写出△OPN面积S 的变化范围．8．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣13x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A 出发，在线段AC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 作匀速运动；同时，动点Q 从点O 出发，在线段OB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t 秒．连接PQ ．（1）填空：b= ，c= ；（2）在点P ，Q 运动过程中，△APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x 轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M ，使△PQM 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t ；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N 的坐标为（﹣32，0），线段PQ 的中点为H ，连接NH ，当点Q 关于直线NH 的对称点Q′恰好落在线段BC 上时，请直接写出点Q′的坐标．9．已知：如图，⊙O 的半径为r ，在射线OM 上任取一点P （不与点O 重合），如果射线OM 上的点P'，满足OP ·OP'=r 2，则称点P'为点P 关于⊙O 的反演点．在平面直角坐标系xOy 中，已知⊙O 的半径为2．(1)已知点A (4，0)，求点A 关于⊙O 的反演点A'的坐标；(2)若点B 关于⊙O 的反演点B'恰好为直线3y x =与直线x =4的交点，求点B 的坐标；(3)若点C 为直线3y x =上一动点，且点C 关于⊙O 的反演点C'在⊙O 的内部，求点C 的横坐标m 的范围；(4)若点D 为直线x =4上一动点，直接写出点D 关于⊙O 的反演点D'的横坐标t 的范围．10．在ABC ∆中，(),0180CA CB ACB αα︒︒=∠=<<，P 是平面内不与点,A C 重合的任意一点，连接AP ，将线段AP 绕点P 顺时针旋转α得到线段DP ，连接,,AD CP M 是AB 的中点，N 是AD 的中点．（1）问题发现：如图1，当60α︒=时，MN PC 的值是_________，直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数是________．（2）类比探究：如图2，当120α︒=时，请写出MN PC 的值及直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数，并说明理由．（3）解决问题：如图3，当90α︒=时，若E 是CB 的中点，点P 在直线ME 上，且点,,B P D 在同一条直线上，请直接写出PD MN的值． 11．如图1，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，连接DE ．将△CDE 绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，AE BD ＝_______； ②当α＝180°时，AE BD ＝______．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AE BD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决△CDE 绕点C 逆时针旋转至A 、B 、E 三点在同一条直线上时，求线段BD 的长．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A （﹣3，0）、B （2，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E （m ，2）是直线AC 上方的抛物线上一点，连接EA 、EB 、EC ，EB 与y 轴交于D ．①点F 是x 轴上一动点，连接EF ，当以A 、E 、F 为顶点的三角形与△BOD 相似时，求出线段EF 的长；②点G 为y 轴左侧抛物线上一点，过点G 作直线CE 的垂线，垂足为H ，若∠GCH ＝∠EBA ，请直接写出点H 的坐标．13．已知抛物线的顶点(1,4)A --，经过点(2,3)B --，与x 轴分别交于C ，D 两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，点M 是抛物线上的一个动点，且在直线OB 的下方，过点M 作x 轴的平行线与直线OB 交于点N ，当MN 取最大值时，求点M 的坐标；（3）如图2，AE y 轴交x 轴于点E ，点P 是抛物线上A ，D 之间的一个动点，直线PC ，PD 与AE 分别交于F ，G ，当点P 运动时．①直接写出EF EG +的值；②直接写出tan tan ECF EDG ∠+∠的值．14．如图1，矩形OABC 的顶点O 是直角坐标系的原点，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（8，4），将矩形OABC 绕点A 顺时针旋转得到矩形ADEF ，D 、E 、F 分别与B 、C 、O 对应，EF 的延长线恰好经过点C ，AF 与BC 相交于点Q ．（1）证明：△ACQ 是等腰三角形；（2）求点D 的坐标；（3）如图2，动点M 从点A 出发在折线AFC 上运动（不与A 、C 重合），经过的路程为x ，过点M 作AO 的垂线交AC 于点N ，记线段MN 在运动过程中扫过的面积为S ；求S 关于x 的函数关系式．15．如图，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =m ，E 为BC 边上一点，沿AE 翻折△ABE ，点B 落在点F 处．（1）连接CF ，若CF //AE ，求EC 的长（用含m 的代数式表示）；（2）若EC =4m ，当点F 落在矩形ABCD 的边上时，求m 的值；（3）连接DF ，在BC 边上是否存在两个不同位置的点E ，使得？若存14ADF ABCD S S ∆=矩形在，直接写出m 的取值范围；若不存在，说明理由．16．如图，在Rt ABC 中，90ABC ︒∠=，将CA 绕点C 顺时针旋转45°，得到CP ，点A 关于直线CP 的对称点为D ，连接AD 交直线CP 于点E ，连接CD ．（1）根据题意补全图形；（2）判断ACD ∆的形状，并证明；（3）连接BE ，用等式表示线段AB ，BC ，BE 之间的数量关系，并证明．温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路．解法1的主要思路：延长BC 至点F ，使CF AB =，连接EF ，可证ABE CFE ≌，再证BEF 是等腰直角三角形．解法2的主要思路：过点A 作AM BE ⊥于点M ，可证ABM 是等腰直角三角形，再证ABC AME ∽．解法3的主要思路：过点A 作AM BE ⊥于点M ，过点C 作CN BE ⊥于点N ，设BN a =，EN b =，用含a 或b 的式子表示AB ，BC ．17．如图1，已知A 、B 、C 是⊙O 上的三点，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°．（1）求证：⊙O 的半径R ＝AB ；（2）如图2，若点D 是∠BAC 所对弧上的一动点，连接DA ，DB ，DC ．①探究DA ，DB ，DC 三者之间的数量关系，并说明理由；②若AB ＝3，点C'与C 关于AD 对称，连接C'D ，点E 是C'D 的中点，当点D 从点B 运动到点C 时，求点E 的运动路径长．18．如图①，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点 D ，AD ＝CD ＝2，BD ＝4，点 E 是线段BD 的中点，点 P 从点 A 出发，沿折线 AC －CB 向终点 B 运动，点 P 在边 AC 上的速度为每秒2个单位长度，P 在BC 边上的速度为5个单位长度，设P 的运动时间为 t(秒)．(1)用含 t 的代数式表示点 P 到直线 AB 的距离．(2)如图②，作点 P 关于直线 CD 的对称点 Q ，设以 D 、E 、Q 、P 为顶点的四边形的面积为 S(平方单位)，求 S 与 t 之间的函数关系式．(3)当点 P 在边 BC 上时，在△BCD 的边上(不包括顶点)存在点 H ，使四边形 DEPH 为轴对称图形，直接写出此时线段 CP 的长．19．如图1，已知抛物线顶点C （1，4），且与y 轴交于点D （0，3）．（1）求该抛物线的解析式及其与x 轴的交点A 、B 的坐标；（2）将直线AC 绕点A 顺时针旋转45°后得到直线AE ，与抛物线的另一个交点为E ，请求出点E 的坐标；（3）如图2，点P 是该抛物线上位于第一象限的点，线段AP 交BD 于点M 、交y 轴于点N ，△BMP 和△DMN 的面积分别为S 1，S 2，求S 1﹣S 2的最大值．20．如图，已知抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)A -、(3,0)B ，顶点为M ．（1）求抛物线的解析式和点M的坐标；的面积为S，求出S的最大值，并（2）点E是抛物线段BC上的一个动点，设BEC求出此时点E的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案 1．（1）BE =32；（2）证明见解析；（3）2n m =．【解析】【分析】（1）先说明AB=BF ，然后再利用等腰直角三角形的性质求解即可；（2）如图2：连接EF ，过点G 作GH ⊥EF 交EF 的延长线于H ．设BG =a ，FG =b ．先利用相似三角形的性质证得EF 2=GF ，最后根据解直角三角形求得AB 即可；（3）如图3：在AC 上取一点T ，使得AT =AB ，连接BT ，TM ，取BT 的中点J ，连接N J ．先证NJ//TM ，NJ=TM ，得到∠BJN=∠BTM=90°，进一步得到点N 的运动轨边是线段1222JN TM AE ==，最后代入即可．【详解】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAF =∠AFB∵AF 平分∠BAD ，∴∠DAF =∠BAF ，∴∠BAF =∠AFB ，∴AB =BF =3．∵AB =AE ，∠BAE =90°，∴BE 2=2．（2）连接EF ，过点G 作GH ⊥EF 交EF 的延长线于H ．设BG =a ，FG =b ．∵AB=AE，∠BAE=90°，BG=GE，∴AG⊥BE，AG=GB=GE，∴AB2=2=．∵BF=AB2=，∴BF2=2a2，BG•BE=2a2，∴BF2=BG•BE，∴BF BE BG BF=，∵∠FBG=∠EBF，∴△GBF∽△FBE，∴22GF BGEF BF==，∠BFG=∠BEF，∴EF2=2=．∵∠BAF=∠BF A，∠GAF=∠BFG，∴∠AFG=∠BAG=45°，∠GAF=∠GEF，∴∠AGE=∠AFE=90°，∴∠GFH=45°．∵GH⊥EH，∴GH=FH2 =，∴EH=FH+EF32=b，∴EG225GH EH=+=∴AB=AE2=10=b，∴AB 10=GF ．（3）如图3中，在AC 上取一点T ，使得AT =AB ，连接BT ，TM ，取BT 的中点J ，连接N J ．∵△ABT ，△BEM 都是等腰直角三角形，∴BT 2=，BM 2=，∠ABT =∠EBM =45°， ∴AB BE BT BM=，∠ABE =∠TBM ， ∴△ABE ∽△TBM ，∴22TM AB AE BT ==，∠AEB =∠BMT ． ∵∠AEB +∠BET =180°，∴∠BMT +∠BET =180°，∴∠EBM +∠ETM =180°．∵∠EBM =∠ETB =45°，∴∠ETM =135°，∠BTM =90°．∵B J=J T ，BN =NM ，∴N J ∥TM ，N J 12=TM ， ∴∠B J N =∠BTM =90°，∴点N 的运动轨迹是线段J N ，J N 12=TM 22=AE ． ∵点E 从A 运动到C 时，AE =AC =n ，∴m 22=n ， ∴2n m= 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质等知识，正确寻找相似三角形是解答本题的关键．2．（1）5；（2）当t =7或53秒时，△BPE 为直角三角形．【解析】【分析】（1）根据勾股定理计算即可；（2）分∠BPE ＝90°、∠BEP ＝90°两种情况，根据勾股定理计算．【详解】解：（1）由题意知，CD =AB =10，DE =7，BC =4CE =CD -DE =10﹣7=3，在Rt △CBE 中，BE 5=；（2）①当以P 为直角顶点时，即∠BPE =90°，AP =10﹣3=7，则t =7÷1=7（秒），②当以E 为直角顶点时，即∠BEP =90°，由勾股定理得BE 2+PE 2=BP 2，设AP =t ， 10BP t =-，2224(7)PE t =+-即52+42+（7﹣t ）2=（10﹣t ）2，解得，t =53，当t =7或53秒时，△BPE 为直角三角形．【点睛】本题考查的是矩形的性质及勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．3．（1）()2221,(0),22,0x x x y x x x ⎧-+≥⎪=⎨-+<⎪⎩①②()1,5-；③11（2）2+或1-；（3）5122m -<<或14m ≤≤或4m =- 【解析】【分析】（1）①把2m =代入函数表达式()221,(0),0x mx m x y x mx m x ⎧-+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩整理即可； ②由点 1()P a -,在函数图象G 上，因为-1＜0，所以把 1()P a -,代入222y x x -=+，即可求出P 点坐标；③当0b <时，把(),3Q b 代入222y x x -=+，即可求出b 的值；当当0b ≥时，把(),3Q b 代入221y x x =-+，即可计算出b 的值；（2）因为图象G 最低点的纵坐标为o y ，需分两种进行讨论：当在抛物顶点上取得最小值时所以把2o y =-代入函数表达式得212x mx m -+-=-，形成一个一元二次方程，让判别式△=0，即可求出符合题意的m 的值；当函数G 的最大值在y 轴上取得时，12m -=-，此时m = -1.（3）需分情况讨论分析.具体要探x 取值全在在y 轴右侧时，函数12-+-=m mx x y 与矩形ABCD 只有一个公共点时，当013m ≤-≤，即14m ≤≤时；x 取值全在在y 轴右侧时，函数2y x mx m =-+与矩形ABCD 只有一个公共点时，5122m -<<；另外不要忘记还有一个孤点，当4m =-时，函数G 的图像也只有一个公共点.【详解】解：（1）①根据题意把2m =代入函数表达式()221,(0),0x mx m x y x mx m x ⎧-+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩整理即可得：()2221,(0)22,0x x x y x x x ⎧-+≥⎪=⎨-+<⎪⎩； ②当1x =-时，把(),3Q b 代入222y x x -=+得()()212125y =--⨯-+=．∴点P 的坐标为()1,5-． ③当0b <时，把(),3Q b 代入222y x x -=+得：222 3.b b -+=解得1211b b ==．当0b ≥时，(),3Q b 代入221y x x =-+得：2213b b -+=解得11b =，21b =b ∴的值为11+（2）当212x mx m -+-=-符合题意时∴210x mx m -++=∴2()4(1)m m =--+=0∴2440m m --=解得12m =+, 22m =-当x=0，函数G 取得最小值时 12m -=-∴m = -1综上所述，m 的值为2+或1-．（3）根据题意得，要使函数G 与矩形ABCD 有公共点，则-4≤x ≤3，-4≤y ≤1∵11m x m -≤≤+当013m ≤-≤，即14m ≤≤时此时函数12-+-=m mx x y 与矩形ABCD 只有一个公共点当410m -≤-＜，即3m -≤＜1时要使函数2y x mx m =-+与矩形ABCD 只有一个公共点，则5122m -<< 另外，当4m =-时，函数G 与矩形ABCD 也只有一个公共点综上所述，函数G 与矩形ABCD 只有一个公共点的符合条件的m 的取值范围是：5122m -<<或14m ≤≤或 4.m =- 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数图像上的点的坐标，图形与二次函数只有一个交点时分情况讨论的求参数取值范围等知识，属于中考压轴题，难度较大，需要较高的分析论证能力.4．（1）点B 表示的数为4;- （2）①点P 与点Q 相遇，它们运动了2秒，相遇时对应的有理数是0．②当点P 运动25秒或185秒时，8PQ =个单位长度．【解析】【分析】（1）由点B 表示的数=点A 表示的数-线段AB 的长，可求出点B 表示的数；（2）设运动的时间为t 秒，则此时点P 表示的数为6-3t ，点Q 表示的数为2t-4．①由点P ，Q 重合，可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出结论；②分点P ，Q 相遇前及相遇后两种情况，由PQ=8，可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）点A 表示的数为6，10AB =，且点B 在点A 的左侧， ∴点B 表示的数为6104-=-．（2）设运动的时间为t 秒，则此时点P 表示的数为63t -，点Q 表示的数为24t -．①依题意，得：6324t t -=-，解得：2t =，240t ∴-=，答：点P 与点Q 相遇，它们运动了2秒，相遇时对应的有理数是0．②点P ，Q 相遇前，63(24)8t t ---=，解得：25t =；当P ，Q 相遇后，24(63)8t t ---=，解得：185t =．答：当点P 运动25秒或185秒时，8PQ =个单位长度．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．5．（1）224233y x x =-++；（2）2BCD S ∆=；（3）点P 的坐标为：(2,2)P 或321(,)48P ．【解析】【分析】（1）本题需先根据直线过B ，C 两点，求得B ，C 的坐标，然后根据的东西是即可得出抛物线的解析式．（2）把D 的横坐标代入抛物线的解析式求得纵坐标，求得四边形OBDC 是梯形，可直接根据三角形面积公式求得；（3）本题首先判断出存在，首先设点P 的横坐标为m ，则P 的纵坐标为224233m m -++，再分两种情况进行讨论：当32AQ OB PQ OC ==时和当23AQ CO PQ BO ==时，得出△APQ ∽△BCO ，△APQ ∽△CBO ，分别求出点P 的坐标即可．【详解】（1）∵直线223y x =-+分别与x 轴、y 轴相交于点B 、C ， ∴B （3，0），C （0，2），将A （-1，0），C （0，2）代入223y x bx c =-++得， 2032b c c ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，解得432b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩．故此抛物线的解析式为224233y x x =-++．（2）如图，过点D 作DE ⊥x 轴，交直线BC 于点E ，由224 2.33y x x =-++ 令2x =，得2y =， ∴(2,2)D由223y x =-+，令2x =，得23y =， ∴2(2,)3E∴DE =24233-=． ∴143223BCD S ∆=⨯⨯= （3）设点Q 的横坐标为m ，则(,P m 224233m m -++），1AQ m =+ ①当BOC ∆∽AQP ∆时，BO OC AQ QP =，即232241233m m m =+-++，解得，12m =，21m =-（舍去），此时(2,2)P ．②当BOC ∆∽PQA ∆时，BO OC PQ AQ=，即232241233m m m =+-++，解得，134m =，21m =-（舍去），此时321(,)48P ．所以点P 的坐标为：(2,2)P 或321(,)48P 【点睛】本题考查了抛物线解析式的求法，相似三角形的问题，坐标系里表示三角形的面积问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形．6．（1）92；（2）CF=74；（3）60° ，24 或 300°，24．【解析】【分析】（1）利用BCF ECB ∆∆即可得2=BC CF CE ,代入计算即可；（2）易证EF=FB ，再在RtBCF 中利用勾股定理计算即可求出CF ；（3）分E 在C 的左右两边两种情况讨论。

2021年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合型解答题》专题突破训练(附答案)

2021年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合型解答题》专题突破训练（附答案）1．已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A在直线DE上，过C点作CF⊥DE 于F，过B点作BG⊥DE于G．（1）发现问题：如图1，当B、C两点均在直线DE上方时，线段AG、BG和CF存在的数量关系是．（2）类比探究：当△ABC绕点A顺时针旋转至图2的位置时，线段AG、BG和CF之间的数量关系是否会发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，请写出你的猜想，并给予证明；（3）拓展延伸：当△ABC绕点A顺时针旋转至图3的位置时，若CF＝1，AG＝2，请直接写出△ABC的面积．2．已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB＝CB，（提示：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E）（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，则CD＝，CB ＝．3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC沿AD翻折，点B恰好与点C重合，点E 在AC边上，连接BE．（1）如图①，若点F是BE的中点，连接DF，且AF＝5，AE＝6，求DF的长；（2）如图②，若AF⊥BE于点F，并延长AF交BC于点G，当点E是AC的中点时，连接EG，求证：AG+EG＝BE；（3）在（2）的条件下，连接DF，请直接写出∠DFG的度数．4．如图1，两块直角三角纸板（Rt△ABC和Rt△BDE）按如图所示的方式摆放（重合点为B），其中∠BDE＝∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BD＝DE＝AC＝2．将△BDE绕着点B 顺时针旋转．（1）当点D在BC上时，求CD的长；（2）当△BDE旋转到A，D，E三点共线时，画出相应的草图并求△CDE的面积（3）如图2，连接CD，点G是CD的中点，连接AG，求AG的最大值和最小值．5．已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．（1）如图，若AC＝12，BC＝5，AB＝13，求CD的长；（2）如图，E是AC上一点，且CE＝CB；①作EF⊥AB于点F，试探究线段EF、CD、BD三者的数量关系；②连ED，将ED绕E点逆时针旋转90°到EF，连BF交CD于点G，求证：FG＝BG．6．已知：如图，在△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，按图所示的方法将△ACD 沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处．（1）求折痕AD的长；（2）点P是边AB上的动点（点P与点A、B不重合），设AP＝x，△APD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）点P是边AB上的动点（点P与点A、B不重合），当△APD为等腰三角形时，求AP的长．7．（1）如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在间一直线上，连接BE 求证：AD＝BE．（2）如图②△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90，点A、D、E 在同一直线上，CM为△DCE边DE上的高，连接BE．①求证：2CM+BE＝AE；②若将图②中的△DCE绕点C旋转至图③所示位置，①中的结论还成立吗？若不成立，写出它们之间的数量关系．8．如图1，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，﹣2），线段AB绕着点A顺时针旋转90°得到线段AC，点C第三象限，连接BC得△ABC．（Ⅰ）求C点的坐标；（Ⅱ）求△ABC的面积；（Ⅲ）如图2，P为y轴负半轴上的一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以点P 为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过点D作DE⊥x轴于E点，请判断OP与DE的差是否是一个定值，并说明理由．9．如图（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D、E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为a（0＜a≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）求证：BD1＝CE1；（2）当∠CPD1＝2∠CAD1时，则旋转角为a＝（直接写结果）（3）连接P A，△P AB面积的最大值为（直接写结果）10．在△ABC中点P是△ABC内一点，且∠APC＝90°+∠ABC，连接PB，试探究P A，PB，PC满足的等量关系．下面我们按照从特殊到一般的顺序来研究．（1）如图1，当△ABC为等边三角形时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得到△ACP'，连接PP'，请补充图形，并由此得到P A，PB，PC满足的等量关系为；（2）如图2，当△ABC为含30°角的直角三角形时，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，将线段AP绕点A逆时针旋转90°，得到AP'．在AP'上截取AQ＝AP，连接PQ，CQ．请补全图形，写出P A，PB，PC满足的等量关系式，并给出证明；（3）如图3，当△ABC三边长分别为AB＝4，AC＝5，BC＝6时，直接写出P A，PB，PC满足的等量关系式（不需证明）．11．点A（﹣4，0）、点B（0，n）为y轴负半轴上一动点，过点B作BC⊥AB，且BC＝AB．（1）直接写出点C的坐标（用含n的式子表示）；（2）如图2，点C关于y轴的对称点为C′，连AC′并延长，交y轴于点D．在点B 移动的过程中，OD的长是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，求点D的坐标；（3）如图3，点F（3，0）在x轴上，过点B作BG⊥BF，且BG＝BF，连接CG交y 轴于H．若点H恰好为CG的中点，求BH的长．12．如图，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C 按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连结OD．（1）求证：△COD是等边三角形．（2）当α＝150°时，判断△AOD的形状，并说明理由．（3）当△AOD是等腰三角形时，直接写出α的度数．13．在△ABC中AC＝BC，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE．（1）如图1，当α＝60°时，①求证：△ABD是等边三角形．②求证：BE垂直平分AD；（2）若AB＝12，AC＝BC＝10，将其他条件保持不变，①如图2，当α＝60°时，求BE的长；②在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE的值．（温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．）14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点P为AB边上一点，Q为BC边上一点，且∠BPQ＝∠APC，过点A作AD⊥PC，交BC于点D，直线AD分别交直线PC、PQ于E、F．（1）求证：∠FDQ＝∠FQD；（2）把△DFQ沿DQ边翻折，点F刚好落在AB边上点G，设PC分别交GQ、GD于M、N，试判定MN与EN的数量关系，并给予证明．15．在平面直角坐标系中，O为原点，点B在x轴的正半轴上，D（0，8），将矩形OBCD 折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（I）如图①，已知折痕与边BC交于点A，若OD＝2CP，求点A的坐标．（Ⅱ）若图①中的点P恰好是CD边的中点，求∠AOB的度数．（Ⅲ）如图②，在（I）的条件下，擦去折痕AO，线段AP，连接BP，动点M在线段OP上（点M与P，O不重合），动点N在线段OB的延长线上，且BN＝PM，连接MN 交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M，N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度（直接写出结果即可）16．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8．在边AB，AC分别取点D，E．连接DE．将△ADE沿DE翻折得△A′DE，且点A给好落在△ABC的边上．（1）如图1，点A在边AB上，若BA′＝2，求AD的长；（2）如图2，点A在边AC上，连接BA′，若BA′平分∠ABC，求折痕DE的长；（3）如图3，点A在边BC上，当△ADE为等腰三角形时，求其腰长．17．（1）如图1，等腰三角形纸片ABC，∠BAC＝30°，按图2将纸片沿DE折叠，使得点A与点B重合，此时∠DBC．（2）在（1）的条件下，将△DEB沿直线BD折叠，点E恰好落在线段DC上的点E′处，如图3，此时∠E′BC＝．（3）若另取一张等腰三角形纸片ABC，沿直线DE折叠（点D、E分别为折痕与直线AC、AB的交点），使得点A与点B重合，再将所得图形沿直线BD折叠，使得点E落在点E′的位置，直线BE′与直线AC交于点M．设∠BAC＝m°（m＜90），画出折叠后的图形，并直接写出对应的∠MBC的大小．（用含m的代数式表示）18．将两块全等的含30°角的三角尺按如图1所示的方式摆放在一起，它们较短的直角边BC＝EC＝3．（1）将△ECD沿直线l向左平移到图2的位置，使点E′落在AB上，则CC′＝；（2）将△ECD绕点C逆时针旋转到图3的位置，使点E′落在AB上，则△ECD绕点C 旋转的度数为；（3）将△ECD沿直线AC翻折到图4的位置，ED′与AB相交于点F，求证：AF＝FD′．19．已知∠ACD＝90°，AC＝DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB．（1）问题发现如图（1），过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为，BD、AB、CB之间的数量关系为．（2）拓展探究当MN绕点A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．（3）解决问题当MN绕点A旋转到如图（3）位置时（点C、D在直线MN两侧），若此时∠BCD＝30°，BD＝2时，CB＝．20．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，△BPE和△CQE的形状有什么关系，请证明；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，△BPE和△CQE有什么关系，说明理由；（3）当BP＝1，CQ＝时，求P、Q两点间的距离．参考答案1．解：（1）发现问题：如图1，过点B作BH⊥CF于点H，∵BH⊥CF，BG⊥AE，CF⊥AE，∴四边形BGFH是矩形，∴BH＝FG，FH＝BG，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠FCB＝90°，且∠FCB+∠CBH＝90°，∴∠ACF＝∠CBH，且AC＝BC，∠AFC＝∠BHC＝90°，∴△ACF≌△CBH（AAS），∴CH＝AF，BH＝CF＝FG，∵AG＝AF+FG，∴AG＝AF+CF＝CH+CF＝CF+CF﹣HF＝2CF﹣BG；故答案为：AG＝2CF﹣BG，（2）类比探究：数量关系发生改变，AG＝2CF+BG理由如下：如图2，过点B作BH⊥CF于H，∵BH⊥CF，BG⊥AE，CF⊥AE，∴四边形BGFH是矩形，∴BH＝FG，FH＝BG，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠FCB＝90°，且∠FCB+∠CBH＝90°，∴∠ACF＝∠CBH，且AC＝BC，∠AFC＝∠BHC＝90°，∴△ACF≌△CBH（AAS），∴CH＝AF，BH＝CF＝FG，∴AG＝AF+FG＝CH+BH＝CF+FH+CF＝2CF+BG；（3）拓展延伸：如图3，过点C作CH⊥BG于H，∵CH⊥BG，BG⊥AE，CF⊥AE，∴四边形CHGF是矩形，∴CH＝FG，CF＝GH，∠FCH＝90°，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°＝∠FCH，∴∠ACF＝∠BCH，且AC＝BC，∠AFC＝∠BHC＝90°，∴△ACF≌△BCH（AAS），∴CH＝CF＝GF＝1，∴AF＝AG+GF＝3，∴AC＝CB＝＝＝，∴S△ABC＝×AC×BC＝5．2．解：（1）如图（2）：AB﹣BD＝CB．理由如下：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，∠BCD＝90°﹣∠ECD，∴∠BCD＝∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠BFD，∵∠AFC＝∠BFD，∴∠CAE＝∠D，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（ASA），∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE＝CB．又∵BE＝AB﹣AE，∴BE＝AB﹣BD，∴AB﹣BD＝CB．如图（3）：BD﹣AB＝CB．理由如下：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFB，∠D＝90°﹣∠CFD，∵∠AFB＝∠CFD，∴∠CAE＝∠D，又∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB（ASA），∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE＝CB．又∵BE＝AE﹣AB，∴BE＝BD﹣AB，∴BD﹣AB＝CB．（2）MN在绕点A旋转过程中，这个的意思并没有指明是哪种情况，∴综合了第一个图和第二个图两种情况，若是第1个图：由（1）得：△ACE≌△DCB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴∠AEC＝45°＝∠CBD，过D作DH⊥CB．则△DHB为等腰直角三角形．BD＝BH，∴BH＝DH＝1，直角△CDH中，∠DCH＝30°，∴CD＝2DH＝2，CH＝，∴CB＝+1；若是第二个图：过D作DH⊥CB交CB延长线于H．解法类似上面，CD＝2，得出CB＝﹣1；故答案为：2，+1或﹣1．3．解：（1）∵将△ABC沿AD翻折，点B恰好与点C重合，∴AB＝AC，BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，且∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点F是BE的中点，AF＝5，∠BAC＝90°，∴BE＝10，∴AB＝＝＝8，∴AC＝8，∴EC＝2，∵BD＝CD，BF＝EF，∴DF＝EC＝1，（2）如图②，过点C作CH⊥AC交AG的延长线于点H，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴∠ABC＝∠BAD＝∠DAC＝∠ACB＝45°，∵∠BEA+∠CAH＝90°，∠CAH+∠H＝90°，∴∠H＝∠BEA，且AB＝AC，∠AFB＝∠ACH＝90°，∴△ABE≌△CAH（AAS）∴BE＝AH，AE＝CH，∠CAH＝∠ABE，∵AE＝CE，∴CE＝CH，∵∠ACH＝90°，∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠GCH，且CE＝CH，CG＝CG，∴△CEG≌△CHG（SAS）∴EG＝GH，∵BE＝AH＝AG+GH，∴AG+EG＝BE；（3）如图②，连接NG，∵∠ABC＝∠BAD＝∠DAC＝∠ACB＝45°，∴AD＝BD＝CD，∵∠BAN＝∠ACG＝45°，AB＝AC，∠ABE＝∠CAH，∴△ABN≌△CAG（ASA）∴AN＝CG，∴AD﹣AN＝CD﹣CG，∴DN＝DG，∴∠DNG＝45°∵∠NDG＝∠NFG＝90°，∴点N，点F，点G，点D四点共圆，∴∠DFG＝∠DNG＝45°．4．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，∴BC＝AC÷tan30°＝2，∵BD＝2，∴CD＝BC﹣BD＝2﹣2．（2）如图2中，当A、D、E共线时，易证四边形ACBD是矩形，∴S△CDE＝×DE×CA＝×2×2＝2．如图3中，当A、E、D共线时，作CH⊥AD于H．在Rt△ADB中，∵AB＝2BD，∴∠BAD＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠CAH＝30°，∴CH＝AC＝1，∴S△CDE＝×DE×CH＝×2×1＝1．（3）如图4中，取BC的中点H，连接GH．∵CG＝GD，CH＝HB，∴HG＝BD＝1，∴点G的运动轨迹是以H为圆心1为半径的圆，在Rt△ACH中，AH＝＝＝，∴AG的最小值＝AH﹣GH＝﹣1，AG的最大值＝AH+GH＝+1．5．（1）解：如图1中，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CD，∴CD＝＝．（2）解：①结论：CD﹣EF＝BD．理由：如图2中，作EH⊥CD于H．∵∠EFD＝∠FDH＝∠EHD＝90°，∴四边形EFDH是矩形，∴EF＝DH，∵∠EHC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠ECH+∠CEH＝90°，∠ECH+∠BCD＝90°，∴∠CEH＝∠BCD，∵CE＝BC，∴△EHC≌△CDB（AAS），∴CH＝BD，∴CD﹣EF＝CD﹣DH＝CH＝BD．②证明：如图3中，作EH⊥CD于H．FM⊥DC交DC的延长线于M，ET⊥MF交MF 的延长线于T，连接CT．∵∠EHC＝∠M＝∠ETM＝90°，∴四边形EHMT是矩形，∴∠TEH＝90°，EH＝TM，∵∠DEF＝∠TEH＝90°，∴∠TEF＝∠HED，∵∠ETF＝∠EHD＝90°，EF＝ED，∴△ETF≌△DHD（AAS），∴ET＝EH＝TM，DH＝TF，∵△EHC≌△CDB，∴CH＝BD，EH＝CD＝TM，∴FM＝CH＝BD，∵∠FMG＝∠BDG＝90°，∠FGM＝∠BGD，FM＝BD，∴△FMG≌△BDG（AAS），∴FG＝BG．6．解：（1）如图1中，在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC＝＝＝8，由翻折可知：CD＝DC′，AC＝AC′＝6，设CD＝DC′＝x，在Rt△BDC中，∵BD2＝C′D2+C′B2，∴（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，∴AD＝＝＝3．（2）如图2中，由题意：y＝•P A•DC′＝×x×3x（0＜x＜10）．（3）如图3中，①当P A＝PD时，设P A＝PD＝m，在Rt△PCD中，∵PD2＝DC′2+C′P2，∴m2＝32+（6﹣m）2，解得m＝，∴P A＝．②当AD＝AP′＝3时，△ADP′是等腰三角形，③当PD＝AD时，点P在AB的延长线上不符合题意．综上所述，满足条件的P A的值为或3．7．解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°﹣∠CDB＝∠BCE．且AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE；（2）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．且CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∵CD＝CE，CM⊥DE，∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM；②结论不成立，AE＝2CM﹣BE，理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．且CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∵CD＝CE，CM⊥DE，∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝DE﹣AD＝2CM﹣BE；8．解：（Ⅰ）如图1，∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，﹣2），∴OA＝1，OB＝2，过点C作CF⊥x轴于F，∴∠AFC＝90°＝∠AOB，∴∠ACF+∠CAF＝90°，由旋转知，AC＝AB，∠BAC＝90°，∴∠CAF+∠BAO＝90°，∴∠ACF＝∠BAO，在△ACF和△BAO中，，∴△ACF≌△BAO（AAS），∴CF＝AO＝1，AF＝BO＝2，∴OF＝OA+AF＝3，∵点C在第三象限，∴C（3，﹣1）；（Ⅱ）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，﹣2），∴OA＝1，OB＝2，在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2＝12+22＝5，由旋转知，AC＝AB，∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴S△ABC＝AC•AB＝AB2＝；（Ⅲ）OP与DE的差不是一个定值，理由：∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA＝1，∵△APD是等腰直角三角形，∴AP＝DP，∠APD＝90°，∴∠APO+∠DPG＝90°，过点D作DG⊥y轴于G，∴∠DGP＝90°＝∠POA，∴∠PDG+∠DPG＝90°，∴∠APO＝∠PDG，∴△AOP≌△PGD（AAS），∴PG＝OA＝1，∵DE⊥x轴，∴∠OED＝90°＝∠EOG＝∠DGO，∴四边形OGDE是矩形，∴DE＝OG，当点D在第四象限时，如图2，PG＝OP﹣OG＝OP﹣DE，∴OP﹣DE＝1，当点D在第一象限时，如图3，PG＝OP+OG＝OP+DE，∴OP+DE＝1．9．解：（1）在△ABD1和△ACE1中∴△ABD1≌△ACE1∴BD1＝CE1；（2）BD1与AC的交点记作点G，如图（2），由（1）知△ABD1≌△ACE1，∴∠ABD1＝∠ACE1，∵∠AGB＝∠CGP，∴∠CPG＝∠BAG＝90°∴∠CPD1＝90°，∵∠CPD1＝2∠CAD1，∴∠CAD1＝∠CPD1＝45°，∴旋转角α＝90°+∠CAD1＝135°故答案为135°；（3）如图3，∵AC＝AB＝4，∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴AD＝AE＝2，由旋转知，AD1＝AE1＝AD＝2作PH⊥AB，交AB所在直线于点G，∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，PD1＝2，则BD1═＝2，∴∠ABP＝30°，∴PB＝BD1+PD1＝2+2，∴点P到AB所在直线的距离的最大值为：PH＝+．∴△P AB的面积最大值为AB×PH＝4+4，故答案为4+4．10．解：（1）将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得到△ACP'，连接PP'，∵将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得到△ACP'，∴△ABP≌△ACP′，∴AP＝AP′，由旋转变换的性质可知，∠P AP′＝60°，P′C＝PB，∴△P AP′为等边三角形，∴∠APP′＝60°，∠APC＝90°+∠ABC，∴∠APC＝150°，∴∠P′PC＝90°，∴PP′2+PC2＝P′C2，∴P A2+PC2＝PB2，故答案为：P A2+PC2＝PB2；（2）结论：PB2＝4P A2+3PC2．理由：将线段AP绕点A逆时针旋转90°，得到AP'．在AP'上截取AQ＝AP，连接PQ，CQ．∵∠BAC＝∠P AQ＝90°，＝＝，∴＝，∴△BAC∽△P AQ，∴∠ABC＝∠APQ＝30°，∵∠APC＝90°+∠ABC＝120°，∴∠CPQ＝90°，∴CQ2＝PQ2+PC2，∵∠BAC＝∠P AQ，∴∠P AB＝∠CAQ，∵＝，∴△BAP∽△CAQ，∴＝＝，∴CQ＝PB，∵PQ＝＝AP，∴（PB）2＝（AP）2+PC2，∴PB2＝4P A2+3PC2．（3）如图3中，结论：25PB2＝36P A2+16PC2．理由：将线段AP绕点A逆时针旋转使得∠P AP′＝∠BAC，得到AP'．在AP'上截取AQ ＝AP，连接PQ，CQ．∵∠BAC＝∠P AQ，＝＝，∴＝，∴△BAC∽△P AQ，∴∠ABC＝∠APQ，∵∠APC＝90°+∠ABC，∴∠CPQ＝90°，∴CQ2＝PQ2+PC2，∵∠BAC＝∠P AQ，∴∠P AB＝∠CAQ，∵＝，∴△BAP∽△CAQ，∴＝＝，∴CQ＝PB，∵PQ＝AP，∴（PB）2＝（AP）2+PC2，∴25PB2＝36P A2+16PC2．11．解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴，∵CE⊥BE，BC⊥AB，∴∠BEC＝90°＝∠ABC，∴∠C+∠EBC＝90°，且∠ABO+∠OBC＝90°，∴∠ABO＝∠C，且AB＝BC，∠AOB＝∠BEC＝90°，∴△AOB≌△BEC（AAS）∴BE＝AO＝4，EC＝OB＝﹣n，∴OE＝4﹣（﹣n）＝4+n，∴点C（﹣n，4+n）；（2）OD的长没有发生变化，理由如下：如图2，连接BC'，CC'，∵点C关于y轴的对称点为C′，∴∠DBC＝∠DBC'，BC＝BC'，且BE＝BE，∴△BEC'≌△BEC（SAS）∴BC＝BC'，∵△AOB≌△BEC，∴BC＝AB，∠EBC＝∠BAO，∴AB＝BC'，∠C'BD＝∠BAO，∴∠BAC'＝∠BC'A，∴∠BAO+∠DAO＝∠ADO+∠DBC'，∴∠DAO＝∠ADO，且∠AOD＝90°，∴∠DAO＝∠ADO＝45°，∴AO＝DO＝4，∴点D（0，4）（3）如图3，在y轴上取点E，使HE＝HB，连接CE，∵点F（3，0），点A（﹣4，0）∴AF＝7，∵点H恰好为CG的中点，∴CH＝GH，且∠GHB＝∠EHC，EH＝BH，∴△BHG≌△EHC（SAS）∴BG＝EC＝BF，∠CEH＝∠GBH，∴GB∥EC，∴∠ECB+∠GBC＝180°，∵∠ABC＝∠GBF，∴∠ABF+∠GBC＝180°，∴∠ABF＝∠ECB，且EC＝BG＝BF，AB＝BC，∴△ABF≌△BCE（SAS）∴AF＝BE＝7，∴BH＝BE＝．12．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，由旋转，得OC＝OD，OC＝∠BCO＝∠ACD，∴∠BCO+∠OCA＝∠ACD+∠OCA，∴∠OCD＝∠ACB＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）当α＝150°时，△AOD是直角三角形，理由：由旋转，得∠ADC＝∠BOC＝150°，由（1）知，△COD为等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．（3）解：由（1）知，△COD为等边三角形，∴∠CDO＝∠COD＝60°，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣α﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣∠ADO﹣∠AOD＝180°﹣（α﹣60°）﹣（190°﹣α）＝50°，∵△AOD是等腰三角形，①当∠ADO＝∠AOD时，即α﹣60°＝190°﹣α，解得：α＝125°；②当∠ADO＝∠OAD时，则α﹣60°＝50°，解得：α＝110°；③当∠OAD＝∠AOD时，即50°＝190°﹣α，解得：α＝140°；即α的度数为110°或125°或140°．13．（1）①证明：如图1中，∵△AED是由△ABC绕点A顺时针旋转60°得到，∴AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形．②证明：如图1中，∵△ABD是等边三角形，∴BA＝BD，∵EA＝ED，∴点B，点E在线段AD的垂直平分线上，∴BE垂直平分线段AD．（2）①解：如图2中，延长BE交AD于F．由②知BF⊥AD，AF＝DF，∴AF＝DF＝6，∵AE＝AC＝10，∴EF＝＝＝8，在等边三角形ABD中，BF＝AB•sin∠BAF＝12×＝6，∴BE＝BF﹣EF＝6﹣8．②如图所示，连接EC交AB于H．∵∠DAG＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC，∴∠ACB+∠BAC+∠ABC＝∠DAG+∠DAE+∠ABC＝180°，又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE＝180°，∴∠BAE＝∠ABC，∵AC＝BC＝AE，∴∠BAC＝∠ABC，∴∠BAE＝∠BAC，∴AB⊥CE，且CH＝HE＝CE，∴BE＝BC＝10．14．（1）证明：如图1，，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，由三角形的外角的性质，可得∠FDQ＝∠F AB+∠ABC＝∠F AB+45°，∵AD⊥PC，∴∠AEP＝90°，∴∠F AB+∠APC＝90°，∴∠APC＝90°﹣∠F AB，又∵∠BPQ＝∠APC，∴∠BPQ＝90°﹣∠F AB，∴∠FQD＝∠BQP＝180°﹣∠BPQ﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣∠F AB）﹣45°＝∠F AB+45°∴∠FDQ＝∠FQD．（2）解：MN与EN的数量关系是：MN＝3EN．如图2，延长DC至H，使HC＝CD，连接AH，过点B作BI∥GQ，交CP延长线于点I，，∵HC＝CD，AC⊥HD，∴△ADH是等腰三角形，∴AD＝AH，∴∠H＝∠ADH＝∠FDQ＝∠FQD＝∠BQP，∵把△DFQ沿DQ边翻折，得到△DGQ，∴△GDQ≌△FDQ，∴∠FDQ＝∠GDQ，又∵∠H＝∠FDQ＝∠BQP，∴∠H＝∠BQP＝∠GDQ，∴AH∥DG∥PQ，∴，∠GQP＝∠DGQ，在△APC和△BPQ中，∴△APC∽△BPQ，∴，又∵，∴，∴BC＝QH，∴BQ＝HC，又∵HC＝CD，∴BQ＝HC＝CD．∵把△DFQ沿DQ边翻折，得到△DGQ，∴∠DFQ＝∠DGQ，又∵∠GQP＝∠DGQ，∴∠GQP＝∠DFQ，∴AD∥GQ，四边形DFQG是平行四边形，∴，FD＝GQ，∵AH∥PF，∴＝，又∵DH＝2CD，BQ＝CD，∴，∴，∴（DQ+2CD）（DQ﹣CD）＝0，解得DQ＝CD，或DQ＝﹣2CD（舍去），∵＝1，∴BP＝PG，∵BI∥GQ，∴＝1，∴BI＝GM，∵BI∥GQ，AD∥GQ，∴AD∥BI，∴，∴，∴，∴MN＝3EN．15．解：（1）∵D（0，8），∴OD＝BC＝8，∵OD＝2CP，∴CP＝4，设OB＝OP＝DC＝x，则DP＝x﹣4，在Rt△ODP中，OD2+DP2＝OP2，即：82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，∵∠OP A＝∠B＝90°，∴△ODP∽△PCA，∴OD：PC＝DP：CA，∴8：4＝（x﹣4）：AC，则AC＝＝3，∴AB＝5，∴点A（10，5）；（2）∵点P恰好是CD边的中点，设DP＝PC＝y，则DC＝OB＝OP＝2y，在Rt△ODP中，OD2+DP2＝OP2，即：82+y2＝（2y）2，解得：y＝，∵∠OP A＝∠B＝90°，∴△ODP∽△PCA，∴OD：PC＝DP：CA，∴8：y＝y：AC，则AC＝＝，∴AB＝8﹣＝，∵OB＝2y＝，∴tan∠AOB＝＝＝，∴∠AOB＝30°；（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，∵OP＝OB，MQ∥AN∴∠OPB＝∠OBP＝∠MQP，∴MP＝MQ，∵BN＝PM，∴BN＝QM．∵MP＝MQ，ME⊥PQ，∴EQ＝PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF＝∠BNF，在△MFQ和△NFB中，，∴△MFQ≌△NFB（AAS）．∴QF＝QB，∴EF＝EQ+QF＝PQ+QB＝PB，由（Ⅰ）中的结论可得：PC＝4，BC＝8，∠C＝90°，∴PB＝＝4，∴EF＝PB＝2，∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2．16．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵AC＝BC＝8，∴AB＝8，∵BA′＝2，∴AA′＝AB﹣BA′＝6，∵AD＝DA′，∴AD＝3（2）如图2中，∵BA′平分∠ABC，A′C⊥BC，A′D⊥AB，∴A′C＝A′D，∵AD＝DA′，∴A′C＝A′D＝AD，设A′C＝A′D＝AD＝x，则AA′＝x，∴x+x＝8，∴x＝8（﹣1），∴DE＝AA′＝8﹣4．（3）如图3中，①当AD＝AE时，设AD＝AE＝a，则CE＝CA′＝a，∴a+a＝8，∴a＝16﹣8，∴AD＝AE＝16﹣8．②当DE＝DA时，ED⊥AB，此时点A′与B重合，AD＝DE＝AB＝4．③当ED＝EA时，DE⊥AC，此时点A′与C重合，DE＝AE＝AC＝4．17．解：（1）如图2中，∵∠ABC＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝75°，∵△ADE折叠至△BDE，∴DBE＝∠A＝30°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝45°．故答案为45°（2）如图3中，∵△DBE折叠至△DBE′，∴∠DBE′＝∠DBE＝30°，∴∠DBE′＝∠DBC﹣∠CBE′＝45°﹣30°＝15°．故答案为15°．（3）如图4，0°＜m＜36°时，∠MBC＝90°﹣m°；（其中：图5，m＝30°时，点M与点E′重合；图6，30°＜m＜36°时，∠MBC＝90°﹣m°；图7，m＝36°时，点M与点C重合；）如图8，36°＜m＜60°时，∠MBC＝m°﹣90°；如图9，m＝60°时，点D与点C重合，BE′≠AC，不存在点M；如图10，60°＜m＜90°时，∠MBC＝270°﹣m°．18．（1）解：CC′＝3﹣．理由如下：由平移知，C'E'∥AC，C'E'＝CE＝3，∴∠BE'C'＝∠A＝30°，∵BC＝EC＝3，在Rt△BC'E'中，∠BE'C'＝30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，得BE'＝2BC'∴BE'2﹣BC'2＝C'E'2，即：4BC'2﹣BC'2＝9，∴BC'＝，∴CC′＝BC﹣BC'＝3﹣；故答案为：3﹣；（2）解：△ECD绕点C旋转的度数即∠ECE′的度数；∵∠ABC＝60°，BC＝CE′＝3，AB＝6，∴△E′BC是等边三角形，∴BC＝E′C＝E′B＝3，∴AE′＝E′C＝3，∴∠E′AC＝∠E′CA，∴∠ECE′＝∠BAC＝30°；故答案为：30°；（3）证明：在△AEF和△D′BF中，∵AE＝AC﹣EC，D′B＝D′C﹣BC，又∵AC＝D′C，EC＝BC，∴AE＝D′B，又∵∠AEF＝∠D′BF＝180°﹣60°＝120°，∠A＝∠CD′E＝30°，∴△AEF≌△D′BF，∴AF＝FD'19．解：（1）如图1，过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠ACB，∠BCD＝90°﹣∠ACB，∴∠ACE＝∠BCD，∵DB⊥MN，∴在四边形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D＝360°，∴∠BAC+∠D＝180°，∵∠CAE+∠BAC＝180°，∠CAE＝∠D，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∵∠ECB＝90°，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE＝CB，∴BE＝AE+AB＝DB+AB，∴BD+AB＝CB；故答案为：BD＝AE，BD+AB＝CB；（2）如图2，过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB，∴∠ACE＝∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFB，∠D＝90°﹣∠CFD，∵∠AFB＝∠CFD，∴∠CAE＝∠D，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∵∠ECB＝90°，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE＝CB，∴BE＝AE﹣AB＝DB﹣AB，∴BD﹣AB＝CB；（3）如图3，过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，∠BCD＝90°﹣∠DCE，∴∠ACE＝∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠CFD，∵∠AFC＝∠BFD，∴∠CAE＝∠D，∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∵∠ECB＝90°，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE＝CB，∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣DB，∴AB﹣DB＝CB；∵△BCE为等腰直角三角形，∴∠BEC＝∠CBE＝45°，∵∠ABD＝90°，∴∠DBH＝45°过点D作DH⊥BC，∴△DHB是等腰直角三角形，∴BD＝BH＝2，∴BH＝DH＝，在Rt△CDH中，∠BCD＝30°，DH＝，∴CH＝DH＝×＝，∴BC＝CH﹣BH＝﹣；故答案为：﹣．20．解：（1）△BPE≌△CQE．理由∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，∵AP＝AQ，∴BP＝CQ，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BPE和△CQE中，，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）△BPE∽△CEQ．理由：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ＝∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°，∴∠BEP＝∠EQC，∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CEQ；（3）如图②，连结PQ，∵△BPE∽△CEQ，∴＝，∵BP＝1，CQ＝，BE＝CE，∴＝，∴BE＝CE＝，∴BC＝3，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴AB＝AC＝3，∴AQ＝CQ﹣AC＝，P A＝AB﹣BP＝2，在Rt△APQ中，PQ＝＝．。

2021中考数学专题复习：压轴题动态几何问题专项训练题(精选解答题40道附答案详解)

(1)点P的运动速度是cm/s；
(2)求a的值；
(3)如图3，在矩形EFGH中，EF＝2a，FG－EF＝ห้องสมุดไป่ตู้，若点P、M、N分别从点E、F、G三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点M到达点G(即点M与点G重合)时，三个点随之停止运动；若点P不改变运动速度，且点P、M、N的运动速度的比为2:6:3，在运动过程中，△PFM关于直线PM的对称图形是△PF'M，设点P、M、N的运动时间为t(单位：s)．
11．已知，如图抛物线与坐标轴分别交于点，，，点P是线段AB上方的抛物线上的一个动点．
求抛物线的解析式；
（1）求出二次函数的关系式；
（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．
3．如图1，在平面直角坐标系中，等边△ABC的边BC在x轴上，A（0，3），B（，0），点M（，0）为x轴上的一个动点，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转60°得到AN．
解答问题：
（1）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；
（2）如图3，已知菱形ABCD的边长为6，∠DAB＝60°．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动．当到达点B时，整个运动停止．

2021年九年级中考数学高频考点专题集训(图形的变换)专题练习

2021年中考数学高频考点专题集训（图形的变换）专题练习题型一：图形的平移题型1. 三角形A′B′C′是由三角形ABC平移得到的,点A(-1,4)的对应点为A′(1,7),点B(1,1)的对应点为B′(3,4),则点C(-4,-1)的对应点C′的坐标为( )A.(-6,2)B.(-6,-4)C.(-2,2)D.(-2,-4)2. 如图,两个全等的直角三角形重叠在一起,将其中的一个三角形沿着点B到C 的方向平移到△DEF的位置,AB=10,DO=4,平移距离为6,则阴影部分的面积为( )A.48B.96C.84D.423. 如图，将周长为8的△ABC沿BC边向右平移2个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为______．4. 如图,△ABC经过平移得到△A′B′C′,若四边形ACDA′的面积为6 cm2,则阴影部分的面积为______．5. 如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点C在y轴正半轴上,点A的坐标为(2,0),将正方形OABC沿着OB方向平移1OB个单位,则点C的对应点坐标2为.题型二：图形的翻折题型1. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，点E 在边BC 上，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，若∠EAC ＝∠ECA ，则AC 的长是（）A ．33 B ． 4 C ．5 D ． 62. 剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是( )3. 如图，已知∠O ，点P 为其内一定点，分别在∠O 的两边上找点A ，B ，使△PAB 周长最小的是 ( )A ．B ．C ．D ．4.如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F，若DG=GE，AF=3，BF=2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为（）A B C D5. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF.给出下面四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论有 .6. 如图，AB的垂直平分线MP交BC于点P，AC的垂直平分线NQ交BC于点Q，若△APQ的周长为16cm，求BC的长.7. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 上任意一点，过点D 分别向AB ，AC 引垂线，垂足分别为点E ，F.(1)当点D 在BC 的什么位置时，DE=DF ？并证明.(2)过点C 作AB 边上的高CG ，请问DE ，DF ，CG 的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明.题型三：图形的旋转题型1. 如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上,AB 边的中点是坐标原点O,将正方形绕点C 按逆时针方向旋转90°后,点B 的对应点B′的坐标是 ( )A.(-1,2)B.(1,4)C.(3,2)D.(-1,0)2. 如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转角α，得到△ADE ，若点E 恰好在CB 的延长线上，则∠BED 等于（）A．2 B ．32α C ．α D ．180°－α ADE BC3. 如图,将Rt△ABC(其中∠B=30°,∠C=90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置,使得点C,A,B1在同一条直线上,那么旋转角等于.4. 如图,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2√2,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置,连接C′B,则C′B的长为.5. 一副三角板如图放置,将三角板ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°),使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直,则α的度数为.6. 如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′，AB′，AC′分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则EF•ED的值为 .7. 已知: △ABC 为等边三角形,点E为射线AC上一点,点D为射线CB上一点, AD=DE.(1)如图1,当E在AC的延长线上且 CE=CD 时,AD是△ABC 的中线吗?请说明理由.(2)如图2,当E在AC的延长线上时, AB+BD 等于AE吗?请说明理由.(3)如图3,当D在线段CB的延长线上,E在线段AC上时,请直接写出AB,BD,AE 的数量关系.题型四：图形的变换综合题型1.下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A B C D2. 如图,在平面直角坐标系xOy中,△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的,写出一种由△OCD得到△AOB的过程: .3. 如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为________．4. 如图，王虎使一长为4 cm，宽为3 cm的长方形木板，在桌面上做无滑动地翻滚（顺时针方向）,木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为_______.5. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．（1）将△ABC向下平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．6. 在4×4的方格内选5个小正方形,让它们组成一个轴对称图形,请在图中画出你的4种方案.(每个4×4的方格内限画一种)要求:(1)5个小正方形必须相连(有公共边或公共顶点视为相连)(2)将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形.(若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能够重合,均视为一种方案)7. 如图①,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接EC,则:(1)①∠ACE的度数是________;②线段AC,CD,CE之间的数量关系是________.(2)如图②,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,请判断线段AC,CD,CE之间的数量关系,并说明理由;(3)如图②,AC与DE交于点F,在(2)条件下,若AC=8,求AF的最小值.。

2021年数学中考数学动态几何专题复习

中考数学动态几何专题复习图形的运动变化问题。

【典型例题】例1. 已知：⊙O 的半径为2,∠AOB ＝60°;M 为AB ⋂的中点;MC ⊥AO 于C,MD ⊥OB 于D;求CD 的长。

分析：连接OM 交CD 于E;∵∠AOB ＝60°;且M 为AB ⋂中点∴∠AOM ＝30°;又∵OM ＝OA ＝2 ∴OC =3∴CE CD ==323，例2. 如图;AB 是 ⊙O 的直径;⊙O 过AE 的中点D;DC ⊥BC;垂足为C 。

（1）由这些条件;你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母;找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中;不写推理过程;写出4个结论即可）（2）若∠ABC 为直角;其它条件不变;除上述结论外;你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。

（要求：写出6个结论即可;其它要求同（1））分析：（1）AB ＝BE DC ＝CE ∠A ＝∠EDC 为⊙O 切线（2）若∠ABC 为直角则∠A ＝∠E ＝45°;DC ＝BCDC ∥AB;DC ＝CE;BE 为⊙O 的切线DC AB BE ==1212例3. 在直径为AB 的半圆内划出一块三角形区域;使三角形的一边为AB;顶点C 在半圆上;现要建造一个内接于△ABC 的矩形水池DEFN;其中DE 在AB 上;如图的设计方案是AC ＝8;BC ＝6。

（1）求△ABC 中AB 边上的高h ：（2）设DN ＝x;当x 取何值时;水池DEFN 的面积最大？分析：（1）∵AB 为半圆直径∴∠ACB ＝90°∵AC ＝8;BC ＝6 ∴AB ＝10∴△ABC 中AB 边上高h ＝4.8m （2）设DN ＝x;CM ＝h ＝4.8 则MP ＝xNF AB CPCM =NF x104848=-..NF x=-102512 S ND NF =·=-=-+=--x x x x x x ()()102512251210251224522当x =125时;水池面积最大。

【精品专题训练】2021九年级数学中考总复习专题六几何图形动态变化型问题含答案与试题解析

2021专题六几何图形动态变化型问题一．试题（共8小题）1．（2020•淄博）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．12B．24C．36D．48 2．（2018•南通三模）如图，点C为线段AB的中点，E为直线AB上方的一点，且满足CE ＝CB，连接AE，以AE为腰，A为顶角顶点作等腰Rt△ADE，连接CD，当CD最大时，∠DEC的度数为（）A．60°B．75°C．67.5°D．90°3．（2019•湖北）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；（2）当PQ＝3√5时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y=kx（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．4．（2019•宁夏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC 于点N，连接NQ，设BQ为x．（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．5．（2017•濮阳县一模）如图，等边△ABC边长为2，四边形DEFG是平行四边形，DG＝2，DE＝3，∠GDE＝60°，BC和DE在同一条直线上，且点C与点D重合，现将△ABC 沿D→E的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点B与点E重合时停止，则在这个运动过程中，△ABC与四边形DEFG的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．6．（2019•达州）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF 在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．7．（2019•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当√3≤S≤5√3时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．8．（2019•宁夏）将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC分别与x轴和y轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（√3，0），与s轴相交于点Q．（1）试确定三角板ABC的面积；（2）求平移前AB边所在直线的解析式；（3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．2021专题六几何图形动态变化型问题参考答案与试题解析一．试题（共8小题）1．（2020•淄博）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．12B．24C．36D．48【专题】动点型；数据分析观念．【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，AC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC=√BC2−BP2=√102−82=6，△ABC的面积=12×AC×BP=12×8×12＝48，故选：D．2．（2018•南通三模）如图，点C为线段AB的中点，E为直线AB上方的一点，且满足CE ＝CB，连接AE，以AE为腰，A为顶角顶点作等腰Rt△ADE，连接CD，当CD最大时，∠DEC的度数为（）A．60°B．75°C．67.5°D．90°【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称．【解答】解：如图1中，将线段CA绕点A逆时针旋转90°得到线段AH，连接CH，DC．∵∠DAE＝∠HAC＝90°，∴∠DAH＝∠EAC，∵DA＝EA，HA＝CA，∴△DAH≌△EAC（SAS），∴DH＝CE＝定值，∵CD≤DH+CH，CH是定值，∴当D，C，H共线时，DC定值最大，如图2中，此时∠AHD＝∠ACE＝135°，∴∠ECB＝45°，∠DCE＝∠ACE﹣∠ACH＝90°，∵∠ECB＝∠CAE+∠CEA，∵CA＝CE，∴∠CAE＝∠CEA＝22.5°，∴∠ADH＝∠AEEC＝22.5°，∴∠CDE＝45°﹣22.5°＝22.5°，∴∠DEC＝90°﹣22.5°＝67.5°．故选：C．3．（2019•湖北）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）；（2）当PQ＝3√5时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y=kx（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．【专题】函数的综合应用．【解答】解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（3t，0），点Q的坐标为（8﹣2t，6），∴PE＝6，EQ＝|8﹣2t﹣3t|＝|8﹣5t|，∴PQ2＝PE2+EQ2＝62+|8﹣5t|2＝25t2﹣80t+100，∴y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．故答案为：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．（2）当PQ＝3√5时，25t2﹣80t+100＝（3√5）2，整理，得：5t2﹣16t+11＝0，解得：t1＝1，t2=11 5．（3）经过点D的双曲线y=kx（k≠0）的k值不变．连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．∵OC＝6，BC＝8，∴OB=√OC2+BC2=10．∵BQ∥OP，∴△BDQ∽△ODP，∴BDOD =BQOP=2t3t=23，∴OD＝6．∵CB∥OA，∴∠DOF＝∠OBC．在Rt △OBC 中，sin ∠OBC =OC OB =610=35，cos ∠OBC =BC OB =810=45， ∴OF ＝OD •cos ∠OBC ＝6×45=245，DF ＝OD •sin ∠OBC ＝6×35=185， ∴点D 的坐标为（245，185），∴经过点D 的双曲线y =kx （k ≠0）的k 值为245×185=43225．4．（2019•宁夏）如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点M ，Q 分别是边AB ，BC 上的动点（点M 不与A ，B 重合），且MQ ⊥BC ，过点M 作BC 的平行线MN ，交AC 于点N ，连接NQ ，设BQ 为x ．（1）试说明不论x 为何值时，总有△QBM ∽△ABC ；（2）是否存在一点Q ，使得四边形BMNQ 为平行四边形，试说明理由；（3）当x 为何值时，四边形BMNQ 的面积最大，并求出最大值．【专题】几何综合题．【解答】解：（1）∵MQ ⊥BC ，∴∠MQB ＝90°，∴∠MQB ＝∠CAB ，又∠QBM ＝∠ABC ， ∴△QBM ∽△ABC ；（2）当BQ ＝MN 时，四边形BMNQ 为平行四边形，设AM ＝3a ，则MN ＝5a ， ∴BQ ＝MN ＝5a ， ∵MN ∥BQ ，∴∠NMQ ＝∠MQB ＝90°，∴∠AMN +∠BMQ ＝90°，又∠B +∠BMQ ＝90°， ∴∠B ＝∠AMN ，又∠MQB ＝∠A ＝90°， ∴△MBQ ∽△NMA ， ∴AM BQ=MN BM ，即3a 5a=5a 3−3a，解得，a =934， ∴BQ =4534，∵MN ∥BQ ，BQ ＝MN =4534， ∴四边形BMNQ 为平行四边形；（3）∵∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4， ∴BC =√AB 2+AC 2=5， ∵△QBM ∽△ABC ， ∴QB AB=QM AC=BM BC，即x 3=QM 4=BM 5，解得，QM =43x ，BM =53x ， ∵MN ∥BC ， ∴MN BC=AM AB，即MN 5=3−53x 3，解得，MN ＝5−259x ，则四边形BMNQ 的面积=12×（5−259x +x ）×43x =−3227（x −4532）2+7532， ∴当x =4532时，四边形BMNQ 的面积最大，最大值为7532．5．（2017•濮阳县一模）如图，等边△ABC边长为2，四边形DEFG是平行四边形，DG＝2，DE＝3，∠GDE＝60°，BC和DE在同一条直线上，且点C与点D重合，现将△ABC 沿D→E的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点B与点E重合时停止，则在这个运动过程中，△ABC与四边形DEFG的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：①当0≤t≤2时，如图1，由题意知CD＝t，∠HDC＝∠HCD＝60°，∴△CDH是等边三角形，则S=√34t2；②当2＜t≤3时，如图2，S=√34×22=√3；③当3＜t≤5时，如图3，根据题意可得CE＝CD﹣DE＝t﹣3，∠C＝∠HEC＝60°，∴△CEH为等边三角形，则S＝S△ABC﹣S△HEC=√34×22−√34（t﹣3）2=−√34t2+3√32t−5√34；综上，0≤t≤2时函数图象是开口向上的抛物线的一部分，2＜t≤3时函数图象是平行于x轴的一部分，当3＜t≤5时函数图象是开口向下的抛物线的一部分；故选：B．6．（2019•达州）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF 在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【专题】函数及其图象．【解答】解：当0≤t≤2时，S=t⋅(t⋅tan60°)2=√32t2，即S与t是二次函数关系，有最小值（0，0），开口向上，当2＜t≤4时，S=4×(4×sin60°)2−(4−t)⋅[(4−t)⋅tan60°]2=4√3−√32(4−t)2，即S与t是二次函数关系，开口向下，由上可得，选项C符合题意，故选：C．7．（2019•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当√3≤S≤5√3时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称．【解答】解：（Ⅰ）∵点A（6，0），∴OA＝6，∵OD＝2，∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，∵四边形CODE是矩形，∴DE∥OC，∴∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED=√AE2−AD2=√82−42=4√3，∵OD＝2，∴点E的坐标为（2，4√3）；（Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4√3，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB，∴∠E′FM＝∠ABO＝30°，∴在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′=√MF2−ME′2=√(2t)2−t2=√3t，∴S △MFE ′=12ME ′•FE ′=12×t ×√3t =√3t 22，∵S 矩形C ′O ′D ′E ′＝O ′D ′•E ′D ′＝2×4√3=8√3，∴S ＝S 矩形C ′O ′D ′E ′﹣S △MFE ′＝8√3−√3t 22， ∴S =−√32t 2+8√3，其中t 的取值范围是：0＜t ＜2；②当S =√3时，如图③所示：O 'A ＝OA ﹣OO '＝6﹣t ，∵∠AO 'F ＝90°，∠AFO '＝∠ABO ＝30°，∴O 'F =√3O 'A =√3（6﹣t ）∴S =12（6﹣t ）×√3（6﹣t ）=√3，解得：t ＝6−√2，或t ＝6+√2（舍去），∴t ＝6−√2；当S ＝5√3时，如图④所示：O 'A ＝6﹣t ，D 'A ＝6﹣t ﹣2＝4﹣t ，∴O 'G =√3（6﹣t ），D 'F =√3（4﹣t ），∴S =12[√3（6﹣t ）+√3（4﹣t ）]×2＝5√3，解得：t =52，∴当√3≤S ≤5√3时，t 的取值范围为52≤t ≤6−√2．8．（2019•宁夏）将直角三角板ABC 按如图1放置，直角顶点C 与坐标原点重合，直角边AC 、BC 分别与x 轴和y 轴重合，其中∠ABC ＝30°．将此三角板沿y 轴向下平移，当点B 平移到原点O 时运动停止．设平移的距离为m ，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s ，s 关于m 的函数图象（如图2所示）与m 轴相交于点P （√3，0），与s 轴相交于点Q ．（1）试确定三角板ABC 的面积；（2）求平移前AB 边所在直线的解析式；（3）求s 关于m 的函数关系式，并写出Q 点的坐标．【专题】函数及其图像；一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称．【解答】解：（1）∵与m 轴相交于点P （√3，0），∴OB =√3，∵∠ABC ＝30°，∴OA ＝1，∴S =12×1×√3=√32；（2）∵B （0，√3），A （1，0），设AB 的解析式y ＝kx +b ，∴{b =√3k +b =0，∴{k =−√3b =√3， ∴y =−√3x +√3；（3）在移动过程中OB =√3−m ，则OA ＝tan30°×OB =√33×（√3−m ）＝1−√33m ， ∴s =12×（√3−m ）×（1−√33m ）=√36m 2−m +√32，（0≤m ≤√3）当m ＝0时，s =√32， ∴Q （0，√32）．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

【精品专题训练】2021九年级数学中考总复习专题六几何图形动态变化型问题含答案与试题解析

中考数学专题复习卷 几何图形的动态问题精编(含解析)

九年级中考数学几何动点问题专项训练(含答案)

2021年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合型解答题》专题提升训练(附答案)

2021年九年级数学中考复习《图形的变换综合》考前专题突破训练(附答案)

中考数学试题汇编及解析动态几何型综合题试题

2021年中考数学九年级复习课时训练：图形的变化(六)(解析版)

2021年中考数学 培优专题：几何动态问题(含答案)

2021年九年级 中考数学 专题复习：图形的变化(含答案)

2021年九年级数学中考专题复习——(图形运动问题)含答案

人教版2021年中考数数学阶段复习巩固与提升微专题《几何动态问题》高频考题专题提升练习(人教版)

2021年中考数学专项训练：动态型问题（含答案）

2021年中考一轮复习九年级数学《图形的变化》能力提升专项训练(附答案)

2021中考数学专题复习：压轴题动态几何问题专项训练题6(附答案详解)

2021年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合型解答题》专题突破训练(附答案)

2021中考数学专题复习：压轴题动态几何问题专项训练题(精选解答题40道 附答案详解)

2021年九年级中考数学高频考点专题集训(图形的变换)专题练习

2021年数学中考数学动态几何专题复习

【精品专题训练】2021九年级数学中考总复习专题六几何图形动态变化型问题含答案与试题解析

中考数学专题复习卷几何图形的动态问题精编(含解析)

2021年中考数学培优专题：几何动态问题(含答案)

2021年九年级中考数学专题复习：图形的变化(含答案)

2021中考数学专题复习：压轴题动态几何问题专项训练题(精选解答题40道附答案详解)