数列极限练习题

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证明数列极限的题目及答案

证明数列极限的题目及答案题目：证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1证明：首先，我们需要明确数列极限的定义。

对于数列＄＼｛a_n\｝＄，如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，总存在正整数＄N$，使得当＄n ＞ N$ 时，都有＄｜a_n L| ＜＼epsilon$ 成立，那么就称数列＄＼｛a_n\｝＄的极限为＄L$。

接下来，我们来证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。

对于任意给定的正数＄＼epsilon$，要使＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} 1\right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} ＼frac{n ＋ 1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{－1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n ＋ 1}＆＜＼epsilon\＼n ＋ 1 ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon} 1＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon} 1\right$（这里＄＼cdot$ 表示取整），当＄n ＞ N$ 时，就有＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$。

因此，根据数列极限的定义，数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。

题目：证明数列＄b_n ＝＼frac{1}｛n}＄收敛于 0证明：给定任意正数＄＼epsilon$，要使＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{1}｛n} 0\right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n}＆＜＼epsilon\＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon}＼right$，当＄n ＞N$ 时，就有＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$。

数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题及解析

数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分）3．若()0lim x x f x →=∞，()0lim x x g x →=∞，则下列正确的是（） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞⎡⎤⎣⎦ B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞⎡⎤⎣⎦ C ． ()()01lim 0x x f x g x →=+ D ． ()()0lim 0x x kf x k →=∞≠ 解：()()000lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==⋅∞∞ ∴选D6．当n →∞时，1k n 与1k n 为等价无穷小，则k=（） A ．12B ．1C ．2D ．-2 解：2211sin lim lim 1,211n n k kn n k n n →∞→∞=== 选C 二、填空题（每小题4分，共24分）8．2112lim 11x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭ 解：原式()()()112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 10．n =解：原式n ≡有理化 11．1201arcsin lim sin x x x e x x -→⎛⎫+= ⎪⎝⎭解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x -→→≤=∴=又00arcsin lim lim 1x x x x xx →→== 故原式=112．若()220ln 1lim 0sin n x x x x →+= 且0sin lim 01cos n x x x→=-,则正整数n = 解：()222200ln 1lim lim sin n n x x x x x x x x→→+⋅= 20420,lim 02n x n x n x→<>2,4,n n ∴>< 故3n =三、计算题（每小题8分，共64分）14．求0x → 解：原式有理化16．求0ln cos 2lim ln cos3x x x→ 解：原式[][]0ln 1cos 21lim ln 1cos31x x x →--+-变形注:原式02sin 2cos3lim cos 23sin 3x x x x x→∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-⨯- 17．求02lim sin x x x e e x x x-→--- 解：原式0020lim 1cos x x x e e x-→+-- 19．求lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭解： (1) 拆项，111...1223(1)n n +++⋅⋅+ 1111111...122311n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭++⎝⎭⎝⎭(2) 原式=lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭20．求21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解：原式()201ln 11lim t t t x t t →=+⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、证明题（共18分）21．当x →∞时且()()lim 0,lim x x u x v x →∞→∞==∞, 证明()()()()lim lim 1x u x v x v x x u x e →∞→∞+=⎡⎤⎣⎦ 证：()()lim 1v x x u x →∞+⎡⎤⎣⎦ ()()lim x u x v x e →∞⋅=证毕22．当0x →时，证明以下四个差函数的等价无穷小。

数列极限看图练习题

数列极限看图练习题第1-7节数列极限的例题和习题下面的例题和习题都是数列极限理论中的著名习题，初学者能够完全读懂其中例题的*是不容易的，能够*完成后面那些习题就更不容易.因此，你可以先粗读一下(因为不管你读懂多少，都暂时不会影响到你学习微积分)，有兴趣的读者等有空时或假期中再去细读它.读一读它，你会在做题方法上受到严格的训练.称一个数列xn(n=1,2,)为无穷小量，即limxn=0，用“ε-n”说法，就是它满足条n→∞件：n→∞称一个数列xn(n=1,2,)为无穷大量，即limxn=∞，用“m-n”说法，就是它满足条件：特别，limxn=+∞，就是它满足条件：n而limxn=-∞，就是它满足条件：n→∞无穷大量与无穷小量是两个对偶的概念，即当xn≠0(n=1,2,)时，若xn是无穷大量，则11是无穷小量；若xn是无穷小量，则是无穷大量.xnxn在第0章(看我做题)中，那些有关数列极限的习题，如果说可以凭借直觉和四则运算规则能够做出来的话，那么下面这些结论，就必须用“ε-n”说法才能够*.你看一看其中的*，可以学习到如何用“ε-n”说法做数列极限*题的方法.例1设有数列xn(n=1,2,).*：若有极限limxn，则算术平均值的数列n→∞yn=也有极限且limx1+x2++xn(n=1,2,)nx1+x2++xn=limxn.n→∞n→∞nn→∞*设limxn=a.考虑yn-a=x1+x2++xn(x-a)+(x2-a)++(xn-a)-a=1nn任意给定正数ε.因为limxn=a，所以有正整数n1使|xn-a|≤n→∞ε2(n≥n1).于是，第1章函数的极限和连续函数25yn-a=x1+x2++xn(x-a)+(x2-a)++(xn-a)-a=1nn(x1-a)+(x2-a)++(xn1-1-a)+(xn1-a)++(xn-a)=n(x1-a)+(x2-a)++(xn1-1-a)(n-n1+1)ε≤+⋅nn2(x1-a)+(x2-a)++(xn1-1-a)ε≤+n2再取正整数n≥n1足够大，使当n≥n时，右边第一项也小于ε2.这样，当n ≥n时，就会有|yn-a|≤ε2+ε2=ε，即*了有极限limx1+x2++xn=a=limxnn→∞n→∞nx1+x2++xnlim请注意：有极限，不一定有极限limxn！考虑数列．．．n→∞n→∞n1-(-1)nxn:1,0,1,0,1,0,,,2【应用】作为例1的应用，例如1111++++1=lim1.⑴lim=lim=0；⑵limn→∞nn→∞n→∞nn例2若xn>0(n=1,2,)且有极限limxn，则几何平均值的数列n→∞zn=x1x2xn(n=1,2,)也有极限且=limxn.nn→∞*根据极限单调*，必有limxn≥0.首先设limxn=0，ε为任意给定的正数.先取正n→∞n→∞整数n1使xn≤η=ε2(n>n1)，则≤=ηn-n1n→η=ε(n→∞)(你知道为什么吗？见第0章题33)因此，必有正整数n≥n1，使当n≥n≤ε，即n=0=limxnn→∞【注】假若你知道“几何平均值不超过算术平均值”的话,根据例1的结论,则有x1+x2++xn→0(n→∞)n25所以=0=limxn.nn→∞其次，设limxn=a>0，ε为任意给定的正数(不妨认为εn→∞xn=1，所以有n→∞a正整数n使1-ε≤从而有≤1+ε(n>n)an-nn-nzn(1-ε)n≤=≤(1+ε)na让n→∞，则得zn。

高考数学数列与极限专项训练

高考数学数列与极限专项训练（02）一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．在等比数列{}n a 中，122a a +=,3450a a +=，则公比q 的值为（）A ．25B ．5C ．－5D ．±52．已知等差数列{}n a 中，6385a a a =+=，则9a 的值是（）A ．5B ． 15C ．20D ．253．给定正数,,,,p q a b c ,其中p q ≠,若,,p a q 成等比数列,,,,p b c q 成等差数列,则一元二次方程220bx ax c -+= （） A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个同号的相异的实数根D ．有两个异号的相异的实数根4．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若2610a a a ++为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是（） A ．6SB ．11SC ．12SD ．13S5．设数列{}n a 为等差数列，且2447685622004,a a a a a a a ++=则等于（）A ．501B ．±501 CD6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1m >，且211210,38m m m m a a a S -+-+-==，则m 等于（）A ．38B ．20C ．10D ．97．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63:1:2S S =，则93:S S =（）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:38．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（） A ．7(1)a p + B ．8(1)a p +C ．7[(1)(1)]a p p p+-+D ．()()811ap p p +-+⎡⎤⎣⎦9．已知()1f x bx =+为x 的一次函数，b 为不等于1的常量，且()g n =1(0)[(1)],(1)n f g n n =-≥⎧⎨⎩, 设()()()1n a g n g n n N +=--∈，则数列{}n a 为（）A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列10．已知log 2log 20a b >>,则lim n nn nn a b a b →∞+-的值为（）A ．1B ．－1C ．0D ．不存在第1个第2个12345768a a a a a a a a11．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1.14=1.46 1.15=1.61）（）A ．10%B ．16.4%C ．16.8%D ．20%12．已知323()(3)2,(3)2,lim 3x x f x f f x →-'==--则的值为（）A ．－4B ．8C ．0D ．不存在二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知等比数列{}n a 和等差数列{}n b ，其中10b =，公差0d ≠．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为 . 14．设数列{}n a 满足1236,4,3a a a ===,且数列1{}()n n a a n N *+-∈是等差数列，求数列{}n a 的通项公式 . 15．设()442xx f x =+，利用课本中推导等差数列前n 项和方法，求121111f f ++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…1011f +⎛⎫⎪⎝⎭的值为 .16．（文）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖块. （理）已知132n na ⎛⎫⎪⎝⎭=⋅，把数列{}n a 的各项排成三角形状；记(,)A m n 表示第m 行，第n 列的项，则(10,8)A = .三、解答题（本大题共6小题，共74分。

数列极限练习题计算数列的极限与相关性质

数列极限练习题计算数列的极限与相关性质数列极限练习题：计算数列的极限与相关性质数列是数学中非常重要的概念，广泛应用于各个领域。

学习数列的极限与相关性质可以帮助我们更好地理解数列的发展趋势和规律。

在本文中，我们将通过一些练习题来计算数列的极限，并探讨与之相关的性质。

题目一：计算数列极限考虑以下数列：\[a_n = \frac{n+1}{n}\]我们需要计算该数列的极限。

解答：为了计算数列\[a_n = \frac{n+1}{n}\]的极限，我们可以采用极限的定义。

根据定义，当\[n\]趋近于无穷大时，数列的极限为极限项所在的值。

在本题中，当\[n\]趋近于无穷大时，数列的极限为\[\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n}\]我们可以将该极限进行求解：\[\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = \lim_{n\to\infty} \left(1 +\frac{1}{n}\right)\]根据极限的性质，我们知道当\[n\]趋近于无穷大时，\[\frac{1}{n}\]趋近于零。

因此，上式可以化简为：\[\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right) = 1 + \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 1 + 0 = 1\]所以，数列\[a_n = \frac{n+1}{n}\]的极限为1。

题目二：数列极限的性质证明以下性质：若数列\[\{a_n\}\]和数列\[\{b_n\}\]的极限分别为\[A\]和\[B\]，则数列\[\{a_n + b_n\}\]的极限为\[A + B\]。

证明：为了证明该性质，我们可以利用极限序列的定义和运算法则。

根据定义，当\[n\]趋近于无穷大时，数列\[\{a_n\}\]和\[\{b_n\}\]分别趋近于\[A\]和\[B\]，即：\[\lim_{n\to\infty} a_n = A\]\[\lim_{n\to\infty} b_n = B\]我们需要证明数列\[\{a_n + b_n\}\]的极限为\[A + B\]，即：\[\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) = A + B\]根据极限的性质，我们知道当\[n\]趋近于无穷大时，\[\{a_n + b_n\}\]趋近于\[A + B\]，若且仅若\[\{a_n + b_n\} - (A + B)\]趋近于零。

高数数列极限经典例题

高数数列极限经典例题高数数列是数学中重要的概念，它定义了一个数列中每一项的表达式，以及每一项和前面项之间的关系。

极限是描述数列无限接近某个值的重要概念，也是高数中最重要的内容之一，比较经典的例题是必须要掌握的。

首先，让我们来看一个经典的极限例题：求函数y=x3-3x2+3的极限，当x趋近于1的时候。

这道题的步骤是，先求x接近1时，函数值的上限和下限，然后利用极限的定义求解极限。

根据函数定义，当x取值接近1时，函数值的上限是x3-3x2+3+Δx，下限是x3-3x2+3-Δx，Δx表示x变化量，这里可以看出上下限的差值为2Δx。

接下来，我们可以利用极限的定义，得出结论：当x变化量趋于0时，上下限的差值也是趋于0，也就是说，当x趋于1时，函数值的极限就是x3-3x2+3。

通过这个例题，我们不仅学会了求函数极限的方法，还学会了求解其他类似例题的步骤。

再来看一道比较典型的极限例题：求函数y=2x2-2x+1的极限，当x趋近于0的时候。

这道题的步骤也是先求函数值的上限和下限，然后利用极限的定义求解极限。

根据函数定义，当x取值接近0时，函数值的上限是2x2-2x+1+Δx，下限是2x2-2x+1-Δx，Δx表示x变化量，这里可以看出上下限的差值为2Δx。

再利用极限的定义，得出结论：当x变化量趋于0时，上下限的差值也是趋于0，也就是说，当x趋于0时，函数值的极限就是2x2-2x+1。

可以看出，这两道极限例题，在步骤上有些类似，只是数值上的差别。

解决时只要注意函数的表达式，分析x趋于某个值时，函数值的上下限，从而利用极限定义求解极限。

当然，极限例题远不止上面两道，在解决这类例题的时候要更加熟悉解决的技巧，多练习解出一些类似的经典例题，以便应对考试中可能出现的问题。

以上就是关于高数数列极限经典例题的几个介绍，以帮助大家更好地理解极限和掌握求解极限的技巧。

当然，要想真正掌握极限知识，不能只依靠死记硬背，而要形成自己独立思考和解决问题的能力。

数学分析2数列极限总练习题

第二章数列极限总练习题1、求下列数列的极限： (1)limn →∞n 3+3n n；(2)limn →∞n 5e n；(3)lim n →∞( n +2−2 n +1+ n ).解：(1)当n>3时，n 3<3n ，∴3= 3n n< n 3+3n n< 2·3n n=3 2n→3(n →∞). 由迫敛性定理可知：lim n →∞ n 3+3n n=3.(2)设a n =n 5e n ，则limn →∞a na n +1=lim n →∞e nn+1 5=e>1，∴limn →∞n 5e n=0.(3)lim n →∞n +2−2 n +1+ n =lim n →∞n +2− n +1 − n +1− n =lim n →∞ n +2+n +1−n +1+ n=0.2、证明：(1)lim n →∞n 2q n =0(|q|<1)；(2)limn →∞lgn n a=0(a ≥1)；(3)lim n →∞ n !n=0.证明：(1)当q=0 时，n 2q n =0，lim n →∞n 2q n =0；当0<|q|<1时，令|q|=1p ，则p>1. 设p=1+h ，h>0. 由(1+h)n >13!n(n-1)(n-2)h 3,(n>2) 得0<|n 2q n|<n 2(1+h)n <6h 3·n 2n(n −1)(n −2)=6h 3·1n(1−1n )(1−12)→0(n →∞).由迫敛性定理可知：lim n →∞n 2q n =0 (|q|<1).(2)任给ε>0，则10ε>1， n n→1(n →∞)，故存在N ，当n>N 时，有1< n n<10ε，取对数后得：0<lgn n<ε，∴limn →∞lgnn=0. 从而当a ≥1时，0<lgn n a ≤lgn n→0(n →∞).由迫敛性定理可知：limn →∞lgn n a=0(a ≥1).(3)任给ε>0，令M=1ε，则limn →∞M nn!=0.又对ε0=1，存在自然数N ，使得当n>N 时，M nn!<1，即1n!<εn ， ∴当n>N 时，有0< n !n <ε，∴limn →∞ n !n=0.3、设lim n →∞a n =a ，证明：(1)limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=a(又问由此等式能否反过来推出lim n →∞a n =a )；(2)若a n >0，(n=1,2,…)，则lim n →∞a 1a 2…a n n =a.证：(1)∵lim n →∞a n =a ，∴对任意的ε>0，必存在N 1，使当n>N 1时，|a n -a|<ε，令m=max{|a 1-a|,|a 2-a|,…,|a n -a|}，于是n>N 1时，a 1+a 2+⋯+a nn −a =a 1−a +a 2−a +⋯+a n −an≤1n (|a 1-a|+|a 2-a|+…+|a N 1+1-a|+|a N 1+2-a|+…+|a n -a|)<N 1m n+(n −N 1)nε<N 1m n+ε.又limn →∞N 1m n=0. ∴对已给的ε>0，存在N 2，当n>N 2时，N 1mn<ε.取N=max{N 1,N 2}，则当n>N 时， a 1+a 2+⋯+a nn−a <2ε，∴limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=a. 此等式反过来不能推出lim n →∞a n =a .例如a n =(-1)n 不收敛，但limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=0.(2)对任意自然数n ，a n >0，∴当a ≠0，lim n →∞1a n=1a .又11a 1+1a 2+⋯+1a nn=n1a 1+1a 2+⋯+1a n≤ a 1a 2…a n ≤a 1+a 2+⋯+a nn→a (n →∞).由迫敛性定理可知：lim n →∞a 1a 2…a n n =a.当a=0时，对任给的ε>0，存在N 1，使当n>N 1时，0<a n <ε，于是当n>N 1时，0< a 1a 2…a n n = a 1a 2…a N 1n · a N 1+1a N 1+2…a n n< a 1a 2…a N 1n·εn −N 1n< a 1a 2…a N 1·ε−N 1n·ε,∵lim n →∞a 1a 2…a N 1·ε−N 1n=1，从而存在N 2，使当n>N 2时，a 1a 2…a N 1·ε−N 1n<2，故当n>N=max{N 1,N 2}时，必有0< a 1a 2…a n n <2ε，∴lim n →∞a 1a 2…a n n=a.4、应用上题的结论证明下列各题： (1)limn →∞1+12+⋯+1nn=0；(2)lim n →∞a n =1(a>0)；(3)lim n →∞n n=1；(4)limn →∞n !n=0；(5)limn →∞ n !n=e ；(6)lim n →∞1+ 2+⋯+ n nn =1；(7)若limn →∞b n +1b n=a (b n >0)，则lim n →∞b n n =a ；(8)若lim n →∞a n −a n−1 =d ，则limn →∞a nn=d .证：(1)∵lim n →∞1n =0；∴limn →∞1+12+⋯+1nn =0；(2)设a 1=a, a n =1 (n=2,3…)，则lim n →∞a n =1；∴lim n →∞a n=lim n →∞a 1a 2…a n n =1.(3)设a 1=1, a n =nn −1 (n=2,3…)，则lim n →∞a n =1；∴lim n →∞n n=lim n →∞a 1a 2…a n n =1.(4)limn →∞n !n=lim n →∞11·12···1n n=limn →∞1n=0.(5)设a n =n nn ! (n=1,2…)，则a 1=1;limn →∞ n !n=lim n →∞a n n=lim n →∞a 2a 1·a 3a 2···a nan −1n=limn →∞a na n −1=lim n →∞1+1n−1n−1=e.(6)lim n →∞1+ 2+⋯+ n nn =lim n →∞n n=1. (7)令b 0=1，则lim n →∞b n n =lim n →∞b 1b 0·b 2b 1·b3b 2···b nb n −1n=limn →∞b n +1b n=a (b n >0).(8) lim n →∞a nn=lim n →∞(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋯+(a n −a n −1)n+a1n =lim n →∞a n −a n−1 =d .5、证明：若{a n }为递增数列，{b n }为递减数列，且lim n →∞(a n −b n )=0，则lim n →∞a n 与lim n →∞b n 都存在且相等.证：∵lim n →∞(a n −b n )=0，∴{a n -b n }有界，不妨设A ≤a n -b n ≤B ，A,B 为常数. ∵{a n }递增，{b n }递减，∴a n ≤B+b n ≤B+b 1，b n ≥a n -B ≥a 1-B. ∴{a n }{b n }单调有界 ∴{a n }{b n }都有极限. 而lim n →∞(a n −b n )= lim n →∞a n −lim n →∞b n =0，∴lim n →∞a n =lim n →∞b n .6、设数列{a n }满足：存在正数M ，对一切n 有： A n =|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n -a n-1|≤M 证明：{a n }与{A n }都收敛。

数列极限试题

数列极限试题一、设数列 {an} 的通项公式为 an = (n2 - 1)/(n2 + 1)，则该数列的极限为？A. 0B. 1C. -1D. 无穷大（答案：B）二、数列 {bn} 满足 bn = 1 - 2/(n + 3)，当 n 趋于无穷大时，数列 {bn} 的极限是？A. 0B. 1C. -1D. 2（答案：B）三、已知数列 {cn} 的递推关系为 cn+1 = cn/2 + 1/cn，且 c1 = 2，则该数列的极限为？A. 0B. 1C. √2D. 2（答案：C）四、设数列 {dn} 的通项公式为 dn = (n + 1)/(n2 + 1)，则当 n 趋于无穷大时，数列 {dn} 的极限为？A. 0B. 1C. 1/2D. 无穷小（答案：A）五、数列 {en} 满足 en = (2n - 1)/(3n + 2)，则该数列的极限为？A. 0B. 2/3C. 3/2D. 1（答案：B）六、已知数列 {fn} 的通项公式为 fn = (n3 + 1)/(n3 + n2)，则当 n 趋于无穷大时，数列 {fn} 的极限是？A. 0B. 1C. -1D. 无穷大（答案：B）七、设数列 {gn} 的递推关系为 gn+1 = (gn + 2)/(gn + 1)，且 g1 = 1，则该数列的极限为？A. 1B. 2C. √2D. 无穷大（答案：C）八、数列 {hn} 满足 hn = (n2 + n)/(n2 + n + 1)，则当 n 趋于无穷大时，数列 {hn} 的极限为？A. 0B. 1C. -1D. 无穷小（答案：B）。

高考数学数列的极限与收敛性选择题

高考数学数列的极限与收敛性选择题1. 已知数列{an}是等差数列，且a1=2，公差d=3，则数列的前n 项和Sn的通项公式为（）A. S_n = n^2 + 1B. S_n = 3n + 1C. S_n = 2n^2 + 3n + 1D. S_n = 2n^2 - 3n + 12. 数列{an}的通项公式为an=3n^2-2n+1，求数列的前n项和Sn。

3. 已知数列{an}的通项公式为an=2^n，求数列的前n项和Sn。

4. 已知数列{an}是等差数列，且a1=1，公差d=2，求数列的前n 项和Sn。

5. 已知数列{an}的通项公式为an=(-1)^n，求数列的前n项和Sn。

6. 已知数列{an}是等比数列，且a1=2，公比q=3，求数列的前n 项和Sn。

7. 已知数列{an}的通项公式为an=2^n/n，求数列的前n项和Sn。

8. 已知数列{an}是等差数列，且a1=3，公差d=1，求数列的前n 项和Sn。

9. 已知数列{an}的通项公式为an=n^3，求数列的前n项和Sn。

10. 已知数列{an}是等比数列，且a1=4，公比q=2，求数列的前n项和Sn。

11. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2，求数列的前n项和Sn。

12. 已知数列{an}是等差数列，且a1=2，公差d=3，求数列的前n项和Sn。

13. 已知数列{an}的通项公式为an=(-1)^n，求数列的前n项和Sn。

14. 已知数列{an}是等比数列，且a1=3，公比q=2，求数列的前n项和Sn。

15. 已知数列{an}的通项公式为an=2^n，求数列的前n项和Sn。

16. 已知数列{an}是等差数列，且a1=1，公差d=2，求数列的前n项和Sn。

17. 已知数列{an}的通项公式为an=n^3，求数列的前n项和Sn。

18. 已知数列{an}是等比数列，且a1=4，公比q=2，求数列的前n项和Sn。

19. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2，求数列的前n项和Sn。

数列极限计算练习题

数列极限计算练习题数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列有序的数字组成。

而数列极限是指数列随着项数增加，逐渐趋向于某个确定的值。

在数学中，我们经常需要计算数列的极限，这是一个能够帮助我们深入理解数列性质的重要工具。

本文将为您提供一些数列极限计算的练习题，希望可以帮助您提升数列极限计算的能力。

练习一：求极限1. 设数列 $a_n = \frac{n+3}{n+1}$，求 $\lim_{n \to \infty} a_n$。

解析：为了求得该数列的极限，我们可以对数列进行简化，将其化简为一个更容易计算的形式。

通过观察数列，我们可以发现分子和分母的最高次数都为$n$，因此我们可以用$n$去除分子和分母，得到：$a_n = \frac{n+3}{n+1} = \frac{1+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}$当$n$趋近于无穷大时，分数$\frac{3}{n}$和$\frac{1}{n}$的值都趋近于0，因此我们可以将它们忽略不计。

最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1+0}{1+0} = 1$因此，数列 $a_n$ 的极限为1。

2. 设数列 $b_n = \frac{n^2 - 2n + 1}{n^2 + 1}$，求 $\lim_{n \to \infty} b_n$。

解析：我们可以将分子和分母进行因式分解，得到：$b_n = \frac{(n-1)^2}{n^2+1}$当$n$趋近于无穷大时，$(n-1)^2$和$n^2$的值都趋近于无穷大，因此我们可以将它们忽略不计。

最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} b_n = \frac{\infty}{\infty}$对于这种形式的极限计算，我们可以利用洛必达法则。

洛必达法则可以用于解决形式为$\frac{\infty}{\infty}$的不定型，即分子和分母都趋近于无穷大的情况。

第二章极限习题及答案：数列极限 (1)

函数、数列以及极限的综合题例已知函数)(x f y =的图象是自原点出发的一条折线．当),2,1,0(1 =+≤≤n n y n 时，该图象是斜率为nb 的线段（其中正常数1≠b ），设数列}{n x 由),2,1()( ==n n x f n 定义．求：（1）求21x x 、和n x 的表达式；（2）求)(x f 的表达式，并写出其定义域；（3）证明：)(x f y =的图像与x y =的图象没有横坐标大于1的交点．分析：本题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力．（1）由斜率分式求出21x x 、，同样由斜率公式求出关于n x 的递推式，然后求出n x ，（2）由点斜式求出],[1+n n x x 段的)(x f 的表达式，用极限的方法求出定义域．（3）)(x f y =与x y =没有交点，只要1>b 时x x f >)(，或10<b ，由于n n x x f x x f ->-)()(，只要证.0)(>-n n x x f解：（1）依题意0)0(=f ，又由1)(1=x f ，当10≤≤y 时，函数)(x f y =的图象是斜率为10=b 的线段，故由10)0()(11=--x f x f 得.11=x又由2)(2=x f ，当21≤≤y 时，函数)(x f y =的图象是斜率为b 的线段，故由b x x x f x f =--1212)()(，即b x x 112=-得.112bx +=记.00=x 由函数)(x f y =的图象中第n 段线段的斜率为1+n b ，故得111)()(-----n n n n n b x x x f x f又;1)(,)(1-=--n x f n x f n n ∴ ,2,1,)1(11==---n bx x n n n由此知数列}{1--n n x x 为等比数列，其首项为1，公比为.1b因1≠b ，得∑=--=nk n k n x x x 11)( ,1)1(11111--=+++=--b b b b b n n 即.1)1(1--=-b b b x n n （2）当10≤≤y 时，从（1）可知x y =，即当10≤≤x 时，,)(x x f = 当1+≤≤n y n 时，即当1+≤≤n n x x x 时，由（1）可知).,3,2,1,)(()(1 =≤≤-+=+n x x x x x b n x f n n n n为求函数)(x f 的定义域，须对),3,2,1(1)1(1=--=-n b b b x n n 进行讨论．当1>b 时，;11)1(lim lim 1-=--=-∞→∞→b b b b b x n n n n10<b 时，)(x f y =的定义域为);1,0[-b b当10<)(成立．对任意的)1,1(-∈b bx ，存在n x 使1+≤<n n x x x ，此时有 ),1()()()(≥->-=-n x x x x b x f x f n n n n.)()(n n x x f x x f ->-∴又,111)(1n n n x bb n x f =+++>=- ,0)(>-∴n n x x f,0)()(>->-∴n n x x f x x f即有x x f >)(成立．其次，当1x 时，恒有x x f <)(成立．故函数)(x f 的图象与x y =的图象没有横会标大于1的交点．证法2 首先证明当11,1-<<>b bx b 时，恒有x x f >)(成立．用数学归纳法证明：（ⅰ）由（1）知当1=n 时，在],1(2x 上，),1(1)(-+==x b x f y 所以0)1)(1()(>--=-b x x x f 成立．（ⅱ）假设k n =时在],(1+k k x x 上恒有x x f >)(成立．可得,1)(11++>+=k k x k x f在],(21++k k x x 上，),(1)(11++=++=k k x x b k x f 所以 x x x b k x x f k k --++=-++)(1)(110)1())(1(111>-++--=+++k k k x k x x b 也成立．由（ⅰ）与（ⅱ）知，对所有自然数n 在],(1+n n x x 上都即11-< 其次，当1<b ，仿上述证明，可知当1<x 时，恒有x x f <)(成立．说明：本题不仅考查直线方程、数列、函数、不等式知识，还着重考查综合运用数学知识、思想方法解决问题的能力．解答本题首先必须具备较强的阅读理解能力，图象想像能力，本题的（2）用求极限的方法求定义域，反映了高考命题“不拘泥于大纲”的原则，不过从实践上看，与现在中学数学实际有些超前，本题的难度系数为0.02，三人平均不足1分，创了近年高考得分低的记录．命题人设计试卷时为使考生不放弃难题，将本题放在倒数第二题的位置．本题得分低一方面是试题“超前”，另一方面反映考生能力差，现在中学数学备考主要是“大运用量”的模仿训练，创新精神提倡不够，一遇情境新颖的问题学生就毫无办法．以后坚持考不等式证明题的方向不会改变，试题难度会适度降低．判断数列极限命题的真假例判断下列命题的真假：（1）数列 ,2)1(1,,1,0,1,0n-+的极限是0和1．（2）数列 ,21)1(,,21,21,21,11132-+⋅---n n 的极限是0．（3）数列 ,1sin ,,31sin ,21sin ,1sin n的极限不存在．（4）数列10000231,,31,31,1 的极限是0．分析：判断一个数列否存在极限，极限是多少，主要依据极限的定义，即数列的变化趋势．解：（1）一个数列的极限如果存在，它的极限是唯一的，不能是两个或更多个，是假命题．（2）随着n 无限增大，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅--+1121)1(n n 的项无限趋近于0，因此它的极限是0，是真命题．（3）随着n 无限增大，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的项无限趋近于0，因此数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1sin 无限趋近于0，是假命题．（4）有穷数列无极限，是假命题．说明：（3）中容易认为极限不存在．（4）容易错误认为是真命题，尽管数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-131n 随着n 的增大而逐渐趋近于0，但由于数列只有10001项，是有穷数列，不存在极限．根据数列的极限确定参数的范围例若021lim =⎪⎭⎫⎝⎛-∞→nn a a ，则a 的取值范围是（）A ．1=aB ．1-<a 或31>a C ．311<<-a D ．31-<a 或1>a 分析：由0lim =∞→nn a （a 为常数），知1<a ，所以由已知可得121<-aa，解这个不等式就可求得a 的取值范围．解：由021lim =⎪⎭⎫⎝⎛-∞→nn a a ，得121<-a a ，所以a a 21<-，两边平方，得：224)1(a a <-，0)1)(13(,01232>+->-+a a a a ，所以1-<a 或31>a ．答案 B说明：解题过程容易误认为只有021=-aa，得1=a ，错选A ．解决含有涉及到求字母取值范围的问题时，常常要利用集合的包含关系，充要条件来考虑问题．分析数列求极限例已知数列1.9，1.99，1.999，…，个n 9999.1⋅⋅⋅，…．（1）写出它的通项n a ；（2）计算|2|-n a ；（3）第几项以后所有的项与2的差的绝对值小于0.01？（4）第几项以后所有的项与2的差的绝对值小于0.001？（5）指出这个数列的极限．分析：观察数列的特点，可以通过特殊数归纳总结规律，简化数列通项的一般形式，再求极限．解：（1）可将数列改写为（2-0.1），（2-0.01），（2-0.001），…，（1000.02个n ⋅⋅-），…于是此数列的通项n n a 1012-=．（2）n n n a 101|2)1012(||2|=--=-．（3）令01.0|2|<-n a 即01.0101<n ，解得2>n故这个数列的第2项以后的所有项与2的差的绝对值均小于0.01．（4）令001.0|2|<-n a 即001.0101<n，解得3>n 故这个数列的第3项以后的所有项与2的差的绝对值均小于0.001．（5）2)1012(lim =-∞→n n 说明：可以通过特殊数帮助理解无限接近的意义，从而帮助求解极限．求数列奇数项和的极限例数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知)N (35+∈-=n S a n n ，求)(lim 1231-∞→+++n n a a a 的值．分析：为求1231-+++n a a a 当∞→n 的极限，应先求出n a 的表达式．从已知条件中给出n a 与n S 的关系式，可以利用)2(1≥=--n a S S n n n ，设法求出n a 的表达式．解：由11S a =及3535111-=-=a S a ，可得431=a ．又2≥n 时，1--=n n n S S a ，则35;3511--=-=--n n n n S a S a两式相减，得1141,5---===n n n n n a a a a a 于是，数列{}n a 是以43为首项，公比为41-的无穷等比数列．进而可得，数列,,,,,,12531 -n a a a a 是以431=a 为首项，公比为161412=⎪⎭⎫⎝⎛-=q 的无穷等比数列，于是可求出极限．.541512161143)(lim 1231==-=+++-∞→n n a a a 说明：这同1999年全国高考文史类试题．对于这类求极限的题目，必须先用数列的性质求出n a 的通项公式，或确定数列的特征再求极限．由于所求数列是一个公式1<q 的无穷等比数列，所以在解题时，可以不必再求极限，而直接代入无穷等比数列求和的公式)1(11<-=q qa S ．等比数列和的极限已知数列}{n a 满足条件：11=a ，r a =2（0>r ），且}{1+n n a a 是公比为q （0>q ）的等比数列．设n n n a a b 212+=-（⋅⋅⋅=,2,1n ），求n b 与nn S 1lim∞→，其中n n b b b S +⋅⋅⋅++=21．解：因为q a a a a a a nn n n n n ==++++2121，所以021221221222121≠=++=++=---+++q a a q a q a a a a a b b nn n n n n n n n n ． 011≠+=r b ，所以}{n b 是首项为1+r ，公比为q 的等比数列，从而1)1(-+=n n q r b ．当1=q 时，)1(r n S n +=，0)1(1lim 1lim=+=∞→∞→r n S n nn ；当10<<q 时，q q r S n n --+=1)1)(1(，r qq r q S n n n n +-=-+-=∞→∞→11)1)(1(1lim 1lim ；当1>q 时，q q r S n n --+=1)1)(1(，0)1)(1(1lim 1lim =-+-=∞→∞→n n nn q r q S ．所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+-=∞→1010111lim q q rqS n n 反思升华：已知数列}{n a 满足条件：11=a ，r a =2（0>r ），，对任意*∈N n ，有r a a nn =+1．设n n n n a a a b 31323++=--，n n b b b S +⋅⋅⋅++=21，求n n S ∞→lim ．。

高中数学数列与极限题目训练卷

高中数学数列与极限题目训练卷数列与极限是高中数学中的重要内容，对于培养我们的逻辑思维和数学素养有着至关重要的作用。

为了帮助大家更好地掌握这部分知识，下面为大家准备了一份数列与极限的题目训练卷。

一、选择题1、已知数列\（＼｛a_n\｝＼）满足\（a_{n+1} ＝ 2a_n ＋ 1\），＼（a_1 ＝ 1\），则\（a_5 ＝＼）（）A 31B 32C 63D 642、在等差数列\（＼｛a_n\｝＼）中，若\（a_3 ＋ a_5 ＋ a_7 ＝15\），则\（S_9 ＝＼）（）A 45B 63C 81D 1083、等比数列\（＼｛a_n\｝＼）的前\（n\）项和为\（S_n\），若\（S_3 ＝ 7\），＼（S_6 ＝ 63\），则公比\（q ＝＼）（）A 2B －2C 3D －34、数列\（＼｛a_n\｝＼）的通项公式为\（a_n ＝ n\cos\frac{n\pi}｛2}＼），其前\（n\）项和为\（S_n\），则\（S_{2020} ＝＼）（）A 1010B －1010C 0D 5055、已知数列\（＼｛a_n\｝＼）满足\（＼lim\limits_{n\to\infty}＼frac{a_n ＋ 1}｛a_n 1} ＝ 1\），则\（a_1\）的值可以是（）A 0B 1C 2D 3二、填空题6、等差数列\（＼｛a_n\｝＼）中，＼（a_2 ＝ 5\），＼（a_6 ＝17\），则公差\（d ＝＼）＿____。

7、等比数列\（＼｛a_n\｝＼）中，＼（a_1 ＝ 2\），＼（a_4 ＝16\），则公比\（q ＝＼）＿____。

8、数列\（＼｛a_n\｝＼）的前\（n\）项和\（S_n ＝n^2 ＋2n\），则\（a_5 ＝＼）＿____。

9、若\（＼lim\limits_{n\to\infty}＼frac{2n^2 ＋ 3n ＋ 1}｛an^2 ＋ n 2} ＝＼frac{2}｛a}＼），则\（a ＝＼）＿____。

证明数列极限的题目及答案

证明数列极限的题目及答案关键信息项：1、数列的表达式：＿___________________2、所给定的极限值：＿___________________3、证明所使用的方法：＿___________________4、证明过程中的关键步骤和推理：＿___________________5、最终得出结论的依据：＿___________________11 题目设数列｛an} 满足 an ＝（n ＋ 1) ／ n ，证明当 n 趋向于无穷大时，数列｛an} 的极限为 1 。

111 证明对于任意给定的正数ε ，要找到一个正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，｜an 1| ＜ε 成立。

＼＼begin{align}｜an 1| ＆＝＼left|＼frac{n ＋ 1}｛n} 1\right|＼＼＆＝＼left|＼frac{n ＋ 1 n}｛n}＼right|＼＼＆＝＼frac{1}｛n}＼end{align}＼为了使＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），即＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼）。

所以取＼（N ＝＼left\frac{1}｛ε}＼right ＋ 1\）（其中＼（＼cdot\）表示取整函数），当＼（n ＞ N\）时，有＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼），即＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），所以＼（｜an 1| ＜ε\）。

综上，根据数列极限的定义，当 n 趋向于无穷大时，数列｛an} 的极限为 1 。

12 题目设数列｛bn} 满足＼（bn ＝＼frac{1}｛n}＼），证明当 n 趋向于无穷大时，数列｛bn} 的极限为 0 。

121 证明对于任意给定的正数ε ，要找到一个正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，＼（｜bn 0| ＜ε\）成立。

＼｜bn 0| ＝＼left|＼frac{1}｛n} 0\right| ＝＼frac{1}｛n}＼为了使＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），即＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼）。

高数极限基础练习题

高数极限基础练习题一、数列极限1. 计算下列数列的极限：(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+3}$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 1}{n^2 + 1}$(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + n}}{n + 1}$ 2. 判断下列数列极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{n \to \infty} (1)^n$(2) $\lim_{n \to \infty} \sin(n\pi)$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$二、函数极限1. 计算下列函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 1}{x 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x 1}{x}$2. 判断下列函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$三、无穷小与无穷大1. 判断下列表达式是否为无穷小：(1) $\frac{1}{x^2}$ 当 $x \to \infty$(2) $\sin \frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$(3) $e^{x}$ 当 $x \to \infty$2. 判断下列表达式是否为无穷大：(1) $x^3$ 当 $x \to \infty$(2) $\ln x$ 当 $x \to \infty$(3) $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 当 $x \to 0^+$四、极限运算法则1. 利用极限运算法则计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} (3x^2 + 2x 1)$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 3x^2 + 2x}{x^2 2x + 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} (x^3 2x^2 + 3)$2. 利用极限的性质，计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{1}{\cos x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x e^{x}}{2x}$五、复合函数极限1. 计算下列复合函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sqrt{x^2 + 1})}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} 1}{x^2}$2. 判断下列复合函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x)}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e^x + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 \cos(\sqrt{x})}{x}$六、极限的应用1. 计算下列极限问题：(1) 设 $f(x)2. 已知函数 $f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$，求 $\lim_{x \to 1} f(x)$。

高中数列极限练习题

高中数列极限练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数列极限1.极限概念：一般地，当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数A （即n a A -无限地接近于0），那么就说数列{}n a 以A 为极限，或者说A 是数列{}n a 的极限。

（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）。

记法：lim n n a A →+∞=；读作：“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”；注意：（1）}{n a 是无穷数列；（2）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的；（3）不是所有数列都存在极限；如：21,n a n n N *=-∈；2.极限第二定义：对于无穷数列{}n a ，若存在一个常数A ，对于任意小的正数ε，总存在自然数m N *∈，使得当n m >时，n a A ε-<恒成立，则称A 是数列{}n a 的极限。

说明：lim n n a A →+∞=的几何意义：从几何上看，数列{}n a 的极限为A ，是指以A 为中心的区间(,)A A εε-+，必然从某项1m a +起，后面的所有项都落在区间(,)A A εε-+之中。

换句话说，数列{}n a 至多有m 项123,,,...,m a a a a 落在区间(,)A A εε-+之外。

例1.求下列无穷数列极限：（1）数列 ,21,,161,81,41,21n ；（2）数列 ,1,,43,32,21+n n；（3）数列 ,)1(,,31,21,1nn---；例2.判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1111,,,...,,...23n；（2）2,2,2,...,2,...----；（3）0.1,0.1,0.1,...,(0.1),...n ---；（4）11,2,4,8,16,...,2,...n -；（5）1,1,1,...,(1),...n ---；（6）3,........20102,.......20102010n n a n N n n n *≤⎧⎪=∈⎨>⎪-⎩解：（1）10limn n →∞=；（2）(2)2lim n →∞-=-；（3）(0.1)0lim n n →∞-=n )1.0(-＝0；（4）不存在；（5）数列{(1)}n -无极限；（6）lim 2n n a →+∞=；归纳：（1）0,lim n aa n→∞=为常数；（2）(1,1)0,lim n n q q →∞∈-=；1,lim n n q q →∞=-不存在；,1lim n n q q →∞==（3）,0lim n an b ac cn dc →∞+=≠+；2,0,lim n an b a c cnd →∞+≠+不存在；2,0,0limn an ba c cn d→∞+≠=+； 3.极限的运算法则：(i)设lim ,lim ,,,,n n n n a A b B m n N k C *→+∞→+∞==∈为常数。

小学数学极限思想练习题

小学数学极限思想练习题在小学数学学习中，极限思想是一项重要而有趣的内容。

通过极限思想的引入，我们可以更深入地理解数学概念，拓宽数学思维的边界。

本文将提供一些有趣的小学数学极限思想练习题，以帮助学生巩固和应用所学的知识。

练习题一：数列求极限已知数列{an}，其中an=1/n。

请计算当n趋近于无穷大时，数列的极限值。

解析：当我们观察数列{an}的前几项时，可以发现随着n的增大，数列的值逐渐趋近于0。

这提示我们可能存在一个极限值。

为了验证这一猜想，我们可以通过数学推导进行证明。

首先，我们需要定义数列的极限概念。

数列{an}的极限值为L，表示当n趋近于无穷大时，数列的值趋近于L。

根据这个定义，我们可以得出以下极限计算的方法：对于数列{an}中的每个项a1，a2，a3，...，an，计算其与L的差值，然后取绝对值。

这些差值的绝对值形成的新数列，记为{bn}。

如果数列{bn}的极限值为0，则说明数列{an}的极限值为L。

在本练习题中，我们将数列{an}的项与0进行比较。

根据已知条件an=1/n，我们可以计算差值并构造数列{bn}，如下所示：b1 = |a1 - 0| = |1/1 - 0| = 1b2 = |a2 - 0| = |1/2 - 0| = 1/2b3 = |a3 - 0| = |1/3 - 0| = 1/3...bn = |an - 0| = |1/n - 0| = 1/n由数列{bn}的定义可知，当n越来越大时，数列{bn}的值趋近于0。

因此，根据极限计算方法，数列{an}的极限值为0。

答案：数列{an}的极限值为0。

练习题二：函数极限计算对于给定的函数f(x)，已知当x趋近于2时，f(x)的极限值为5。

请计算当x趋近于无穷大时，函数f(x)的极限值。

解析：相比于数列的极限，函数的极限计算稍微复杂一些。

但我们可以通过类似的思路进行求解。

同样地，我们首先需要定义函数的极限概念。

函数f(x)的极限值为L，表示当x趋近于某个特定值a时，f(x)的值趋近于L。

数列极限定义及部分习题

y1 y2 A-
(
yN+5 A
yN+1
A+
)
yN y3
y
4.
例解
n
例1. 设q是满足 |q |<1的常数, 证明 lim q n 0. 证. 若 q = 0 , 结论显然成立. 设 0 < |q |<1. > 0. 现在, yn = qn, A = 0.
(要证N, 当n>N时, 有 |qn 0| < )
§2.1
数列极限
§2.1
数列极限
一、数列的概念二、数列极限的定义
一、数列的概念 1.数列的定义
设yn=f (n)是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，y1, y2,…yn, …, 称为一个数列. yn称为数列的第n 项，也称为通项,数列也可表示为{yn}或yn=f (n)
1 1 | y 1 | 事实上, n ,给 , 很小, 要使 n 1000
1 1 , 只须n>1000 即可, 也即在这个 | yn 1 | n 1000
数列中,从第1001项开始,以后各项都有
1 | yn 1 | 1000
1 , 则从第10001项开始, 又给 10000
1 以后各项都有 | y n 1 | 10000
1 一般地, 任给 >0, 不论多么小, 要使 | yn 1 | n
只须 n . 因此, 从第
1
1 1 项开始,
以后各项都有
| yn 1 |
因为是任意的, 这就说明了当n越来越大时, yn会越来越接近于1.
n
n
4 . { n },

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3322
11
1
321.lim _____212.lim _____3(5)33.lim _____(5)3
44.lim ______1234....(21)25.lim _____1
(2)6.lim ______124...(2)7.lim(n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n
n n n →∞→∞++→∞→∞→∞+-→∞→∞+=++=+-+=-+=-+-++--=--=-+-+-数列极限练习题
21213)______2
11118.lim ....(1)______3927
319.lim 0,____,_____110.(1)lim(12),_____(2)4,__
11.lim(2)5,lim n n n n n n n n n n n n n n an b a b n x x a a b -→∞→∞→∞
→∞→∞--=+⎡⎤-+++-=⎢⎥⎣⎦⎛⎫+--=== ⎪+⎝⎭
-+=则若存在则实数范围已知无穷等比数列的各项和是则首项的取值范围是已知{}1
(3)1,lim()113(1)12.,1342(1)lim (2)lim n n n n n n n n n n n n n a b a b n n n a S a n n a S →∞
-→∞→∞
-=-⋅⎧≤≤⎪+⎪=⎨⎪⋅≥⎪⎩求的值若为数列的前项和求
{}{}12123101511113.,9,27,,lim 3114.,1,,,32
lim 15.,321111lim 4lim 1....(1),323927
316.{},{}0n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a n S S S a a n S S S a R a a a a b →∞
→∞
++--→∞→∞+===-=∈-⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦数列为等比数列前项和为求数列为等比数列前项和为求已知且
求范围
数列都是公差不为的等差数列1221121222
1121,lim 2,...lim 17.{},1,(...)18.{}(0),,
,lim ,lim ...19.{},,
lim n n n
n n n
n n n n n n n n n n n n
n n n n n
a b a a a nb a a a k a a k a q q a a S S n S S a a a a q n S a S →∞→∞++→∞→∞++→∞=+++==++>=++=求数列为无穷等比数列求实数的范围
数列是公比为的无穷等比数列前项和为求无穷等比数列公比为前项和为2423521
111,1...20.lim ...121.{},lim()12
n
n n n n n q q a a a a a a a a a q q q a -→∞→∞-++++++++-=+求范围求等比数列公比为求取值范围
1122241222
1321222.{},1,3
(1)lim (2)lim(...)23.{},4,16,lg lg ...lg lim 24.{},53,lim(...)25.()2(2n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n S S a S a S a S a S a a a a a a n a n S a S a a a f x x x →∞→∞
++→∞-→∞
=-+++==+++=-+++=-+≥数列前项和为且求设正数等比数列求
数列前项和为求已知函数11112211)
(1)()
(2){}1()2,{}{},2lim()n n n n n n n n n n n n
n n f x a n S n S f S a a a a n T a a T n ---++→∞
==+=-求反函数若正数数列前项和对所有大于的自然数都有且求通项公式
(3)设C 又设数列C 前项和为求的值。