工科数学分析(下)模拟题(二)及答案

最后得 y ( x) = (1 − 2 x)e x 5、计算 ∫
ds ，其中 L 是螺旋线 x = 8 cos t , y = 8 sin t , z = t 对应 0 ≤ t ≤ 2π x + y2 + z2
2
L
的弧段。 解： ds = xt′ 2 + yt′ 2 + z t′ 2 dt = 65dt
三、计算题（每题７分，总计３５分） 。 1、 已知 f ( x, y, z ) = 2 xy − z 2 及点 A(2, − 1, 1) 、B (3, 1, − 1) ， 求函数 f ( x, y, z ) 在点 A 处沿由 A 到 B 方向的方向导数，并求此函数在点 A 处方向导数的最大值。
2、将函数 f ( x) =
Σ
axdydz + ( z + a ) 2 dxdy x +y +z
2 2 2
，其中 Σ 为下半球面 z = − a 2 − x 2 − y 2 的下侧，
a 为大于零的常数。
4、将函数 f ( x) = x (−1 ≤ x ≤ 1) 展开成以 2 为周期的傅立叶级数。 5 、 设 函 数 f ( x) 具 有 连 续 导 数 并 且 满 足 f (1) = 3 ， 计 算 曲 线 积 分
A
点 A 的梯度方向是 l = grad f 所以方向导数的最大值是
= {2 y,2 x,−2 z} A = {−2, 4, − 2}
∂f = 2 2 + 4 2 + 2 2 = 24 = 2 6 ∂l
2、设 z = f ( x − y, xy ) 具有连续的二阶偏导数，求 ∂z = f1 + yf 2 , ∂x ∂z = − f1 + xf 2 ∂y
Σ x2 + y2
sin( x 2 + y 2 )dS
＝（
） 。 B. π Re R sin R 2 ； C. 4πR ； D. 2π Re R sin R 2
A.0；
4、 设二阶线性非齐次方程 y ′′ + p( x) y ′ + q ( x) y = f ( x) 有三个特解 y1 = x ，y 2 = e x ， y 3 = e 2 x ，则其通解为（ A. x + C1e x + C 2 e 2 x ； C. x + C1 (e x − e 2 x ) + C 2 ( x − e x ) ； 二、填空题 1、函数 f ( x, y ) = 2 x 2 + ax + xy 2 + 2 y 在点 (1, − 1) 处取得极值，则常数 a ＝______。 2、二重积分 ∫ 0 dy ∫ y y e − x dx 的值为______________。 3、设空间立体 Ω 所占闭区域为 x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 ，Ω 上任一点的体密度是
1 AB = {1, 2, − 2} ⇒ AB 0 = { , 3 1 2 ⇒ cos α = , cos β = , cos γ 3 3 从而
2 2 , − } = {cos α , cos β , cos γ } 3 3 2 =− 3
∂f ∂f ∂f ∂f 10 = = cos α + cos β + cos γ ∂y ∂z ∂l ∂x A( 2, −1,1) 3
Ω 0 1
sin ϕdr = 2π ∫ sin ϕ cos ϕ dϕ ∫ r 3 dr
0 1
4
2
π
=
π
15 1 sin 2ϕ d 2ϕ ⋅ r 4 = π ∫ 20 8 4 1
4
2
3、计算 ∫∫
Σ
axdydz + ( z + a) 2 dxdy x +y +z
2 2 2
，其中 Σ 为下半球面 z = − a 2 − x 2 − y 2 的下侧，
2
L
的弧段。 四、计算题
n 1 2 3 1、设 a > 0 ，计算极限 lim ( + 2 + 3 + 3 + n ) 的值。 n →+∞ a a a a
2、计算 ∫∫∫ z dv ，其中 Ω 由不等式 z ≥ x 2 + y 2 及 1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 所确定。
Ω
3、计算 ∫∫
1 2π π a 2 2 3 2 2 = 2 ∫ dθ ∫ dϕ ∫ r cos ϕ r sin ϕ dϕ + 3a π a − a π a 3 a 0 π 0 2
a 1 1 π 1 π a4 3 4 + π a4 = π a3 = 4π ∫ cos ϕ sin ϕdϕ ∫ r dr + π a = − a a 2 π 0 2 2
∂2z 。 ∂x∂y
解：
∂f ∂f ∂2z ∂ ∂z ∂ = [ f1 + yf 2 ] = 1 + y 2 + f 2 = ∂y ∂y ∂x∂y ∂y ∂x ∂y = (− f11 + xf12 ) + y (− f 21 + xf 22 ) + f 2 = − f11 + ( x − y ) f12 + xyf 22 + f 2 3、将函数 f ( x) = f ( x) =
a 1 故所求值为 s = a (a − 1) 2 2、计算 ∫∫∫ z dv ，其中 Ω 由不等式 z ≥ x 2 + y 2 及 1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 所确定。
Ω
2π 0
π
4 2 2
π
∫∫∫ z dv = ∫ dθ ∫ dϕ ∫ r cos ϕ r
解：
0 0
1
1
2 (−1) n − 1 ， bn = 0 (n = 1,2, ) π2 n2
f ( x) =
1 2 + 2 π2
(−1) n − 1 cos nπ x (−1 ≤ x ≤ 1) n2 n =1
∑
∞
5 、 设 函 数 f ( x) 具 有 连 续 导 数 并 且 满 足 f (1) = 3 ， 计 算 曲 线 积 分
2、设 D 是 xoy 面上以 (1, 1), (−1, 1), (−1, − 1) 为顶点的三角形区域， D1 是 D 中在第 一象限的部分，则积分 ∫∫ ( x 3 y + cos 3 x sin y )dσ ＝（
D
D1 D1 D1
）
A. 2∫∫ cos 3 x sin y dσ ； B. 2 ∫∫ x 3 ydσ ； C. 4 ∫∫ ( x 3 y + cos 3 x sin y )ds ； D.0 3、设 Σ 为曲面 x 2 + y 2 = R 2 ( R > 0) 上的 0 ≤ z ≤ 1 部分，则 ∫∫ e
∫
L
2π ds dt t 65 = = ⋅ 65 arctan ∫ 2 2 8 8 x2 + y2 + z2 0 8 +t
2π 0
=
65 8
四、计算题（每题７分，总计３５分） 。
n 1 2 3 1、设 a > 0 ，计算极限 lim ( + 2 + 3 + 3 + n ) 的值。 n →+∞ a a a a
解：设 s ( x) = ∑ nx n (−1 < x < 1) ，则原问题转化为求和函数在 x =
n =1
∞
1 处的值 a
而 s ( x ) = x ∑ nx
n =1
∞
n −1
= x ∑ ( x )′ = x( ∑ x )′ = x( x ∑ x
n n n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
n −1
′ x x ) ′ = x = (1 − x) 2 1− x
3 展开成 x 的幂级数，并指出收敛域。 2 − x − x2
3 1 1 1 1 1 = + = + 2 1− x 2 + x 1− x 2 1+ x / 2 2− x− x 解： ∞ n ∞ 1 ∞ (−1) n x = ∑ x n + ∑ (−1) n = ∑ 1 + n +1 x n 2 n =0 2 2 n =0 n =0 收敛域为 (−1,1) 。 4 、 设 y = y ( x) 满 足 方 程 y ′′ − 3 y ′ + 2 y = 2e x ， 且 其 图 形 在 点 (0, 1) 与 曲 线
高等数学（下）期末试题
一、单项选择题 1、设 u = ln( x 2 + y 2 + z 2 ) ，则 div( grad u ) ＝（ A. ） 。
1 2 1 2 ； B. ； C. ； D. (x2 + y 2 + z 2 )2 (x2 + y 2 + z 2 )2 x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2
4、将函数 f ( x) = x (−1 ≤ x ≤ 1) 展开成以 2 为周期的傅立叶级数。 解：所给函数在 [−1,1] 上满足收敛定理条件，并且，将之拓广成以 2 为周期的函 数时，它在整个实轴上均连续，因此其付立叶级数在 [−1,1] 内收敛于函数本身。
a 0 = 2 ∫ xdx = 1 ， a n = 2∫ x cos nπxdx =
1 1
3
） 。 B. C1 x + C 2 e x + C 3 e 2 x ； D. C1 (e x − e 2 x ) + C 2 (e 2 x − x)
ρ ( x, y, z ) = x + y + z ，则此空间立体的质量为____________。
4、微分方程 y ′ =
y 的通解为_____________________。 x + y2
a 为大于零的常数。
解：取 Σ xoy 为 xoy 面上的圆盘 x 2 + y 2 ≤ a 2 ，方向取上侧，则
∫∫
Σ
ຫໍສະໝຸດ Baidu
axdydz + ( z + a) 2 dxdy x +y +z
2 2 2
=
1 2 ∫∫ axdydz + ( z + a) dxdy aΣ
= =
1 2 2 ∫∫ axdydz + ( z + a) dxdy − ∫∫ axdydz + ( z + a) dxdy a Σ xoy Σ +Σ xoy 1 2 ∫∫∫ (2 z + 3a )dv − a ∫∫ dxdy a Dxy Ω
y = x 2 − x + 1 相切，求函数 y ( x) 。
解：由条件知 y = y ( x) 满足 y (0) = 1,
y ′(0) = −1
由特征方程 r 2 − 3r + 2 = 0 ⇒ r1 = 1, r2 = 2 ,对应齐次方程的通解 Y = C1e x + C 2 e 2 x 设特解为 y * = Axe x ，其中 A 为待定常数，代入方程，得 A = −2 ⇒ y * = −2 xe x 从而得通解 y = C1e x + C 2 e 2 x − 2 xe x ,代入初始条件得 C1 = 1, C 2 = 0
2 2 ∫ L ( y f ( x) + x)dx + ( x f ( x) + y )dy 的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，
曲线 L 是由 (1, 2) 到 (2, 1) 的任一条逐段光滑曲线。 五、对 p > 0 ，讨论级数 ∑
(−1) n 的敛散性。 n +1 n =1 n p
∞
一、单项选择题（每题２分，总计１０分） 。 1、Ｄ；2、Ｂ；3、Ａ；4、Ｄ；5、Ｃ 二、填空题（每题３分，总计１５分） 。 x 1 1 1、-5；2、 (±1, 2, ± 2) ；3、 (1 − e −1 ) ；4、 ；5、 − y = C 6 8 y 三、计算题（每题７分，总计３５分） 。 1、 已知 f ( x, y, z ) = 2 xy − z 2 及点 A(2, − 1, 1) 、B (3, 1, − 1) ， 求函数 f ( x, y, z ) 在点 A 处沿由 A 到 B 方向的方向导数，并求此函数在点 A 处方向导数的最大值。 解：由条件得 ∂f ∂f ∂f = 2 y, = 2 x, = −2 z ∂x ∂y ∂z
3 展开成 x 的幂级数，并指出收敛域。 2 − x − x2
3 、 设 y = y ( x) 满 足 方 程 y ′′ − 3 y ′ + 2 y = 2e x ， 且 其 图 形 在 点 (0, 1) 与 曲 线 y = x 2 − x + 1 相切，求函数 y ( x) 。 4、计算 ∫
ds ，其中 L 是螺旋线 x = 8 cos t , y = 8 sin t , z = t 对应 0 ≤ t ≤ 2π x + y2 + z2