四川省攀枝花市第十五中学2019-2020学年高二上学期第二次月考数学(理)word版

数学（理工类）
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．
2．填空题和解答题用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．)
1．抛物线21 4
x y
=上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )
A．17
16
B．
15
16
C．0D．
7
8
2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
3．甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如图所示，则关于这三家企业下列说法错误的是( )
A．成本最大的企业是丙企业B．费用支出最高的企业是丙企业
C．支付工资最少的企业是乙企业D．材料成本最高的企业是丙企业
4．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）
A.
920 B. 940 C.29 D.49
5．随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且ξ在区间(2,3)内取值的概率为0.2，则(1)P ξ≤=
（ ）
A.0.2
B.0.3
C. 0.4
D.0.6
6．在椭圆22142
x y +=上有一点P ，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，△F 1PF 2为直角三角形，
这样的点P 有（ ） A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
7．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为( )
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
8. 23
(1)(2)x x x +--的展开式中，含5x 项的系数为（ ）
A.6-
B.12-
C.18-
D.18 9.市教体局某直属学校准备从8名经验丰富的教师中选派5名教师去市内5个边远乡镇支教，每个乡镇1名教师，其中甲老师和乙老师是夫妻不能同时去，甲老师和丙老师只能同去或者同不去，则不同的选派方案有（ ）种
A.1200
B.1320
C.1800
D.1920
10．若双曲线22
221(,0)x y a b a b
-=>的左焦点1F 关于其渐近线的对称点恰好落在双曲线的右
支上，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A.2y x =±
B.2y x =±
C.3y x =
D.y x =±
11. 已知以圆4)1(:2
2=+-y x C 的圆心为焦点的抛物线1C 与圆C 在第一象限交于A 点，
B 点是抛物线2
C ：y x 82=上任意一点，BM 与直线2-=y 垂直，垂足为M ，则
||||AB BM -的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．1-
D ．8
12.已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，
右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点
E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )
A.
1
3
B.
12
C.
23
D.
34
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效．
二、填空题：(本题共4小题，每小题5分)
13．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件、80件、60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n =____ __． 14．已知双曲线过点)3,4(，且渐近线方程为x y 2
1
±
=，则该双曲线的标准方程为 ．
15.住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4:00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________．
16.已知A ，B 分别为椭圆2
214
x y +=的右顶点和上顶点，
平行于AB 的直线l 与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点,直线CE 、DF 均与椭圆相切,则CE 和DF 的斜率之积等于__________.
三、解答题：(17题10分，其余每小题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．（本小题满分10分）（Ⅰ）求与双曲线
22
1164
x y -=有相同焦点，且经过点的
组距
0.006
0.010.054
成绩
408050906070100
1-72010-2016
注：年份代码分别对应年份双曲线的标准方程；
（Ⅱ）已知椭圆22
(3)(0)x m y m m ++=>的离心率3
e =
m 的值。

18. （本小题满分12分）若将函数5()f x x =表示为
()()5
20125()2(2)2f x a a x a x a x =+++++++L ，其中015,,,a a a L 为实数．
（Ⅰ）求3a ； （Ⅱ）求135a a a ++的值．
19．（本小题满分12分）某班50位学生周考数学成绩的频率分布直方图 如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)、[50,60)、[60,70)、
[70,80)、[80,90)、[90,100] ．
（Ⅰ）求图中[80,90)的矩形高的值，并估计这50人周考数学的平均成绩； （Ⅱ）根据直方图求出这50人成绩的众数和中位数（精确到0.1）； （Ⅲ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩不低 于90分的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
20．（本小题满分12分）高血压、高血糖和高血脂统称“三高”.如图是西南某地区从
2010年至2016年患“三高”人数y （单位：千人）的折线图. （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请求出相关系数（精确到0.01）并加以说明；
（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程，预测2018年该地区患“三高”的人数. 参考数据：
7
1
30.1i
i y
==∑，7
1
134.4i i i t y ==∑，
7
2
1
() 2.661i i y y =-≈∑7 2.646≈.
参考公式：相关系数()()
n
i
i
t t y y r --=
∑ 回归方程$$y bt a =+$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1
2
1
()()
()n
i
i i n
i
i t
t y y b
t
t ==--=-∑∑$，$a
y bt =-$．
21．（本小题满分12分）已知点F 为抛物线:E 2
2y px =（0p >）的焦点，点()
2,m A 在抛物线E 上，且3ΑF =．
（Ⅰ）求抛物线E 的方程；
（Ⅱ）已知点()1,0G -，延长ΑF 交抛物线E 于点Β，证明：以点F 为圆心且与直线G Α相切的圆，必与直线G Β相切．
22．（本小题满分12分）已知圆22:(1)16A x y ++=，点(1,0)B ，点R 是圆A 上的一
个动点，点S 、T 分别在线段AR 、BR 上，且满足0ST BR ⋅=u u u r u u u r ，2BR BT =u u u r u u u r
．
（Ⅰ）求点S 的轨迹方程；
（Ⅱ）过点(1,0)B 作斜率为k 的直线l 与点S 的轨迹相交于,M N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m ，使得以,PM PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，说明理由．
数学（理工类）参考答案
选择题
1-5 BDCBB 6-10 CDADB 11-12 AA
二、填空题 13. 13 14． 2
21
4x y -= 15．
1136
16. 14±
三、解答题
17.解（Ⅰ）∵双曲线与双曲线22
164
x y -=1有相同焦点，∴设所求双曲线方程为：
22
164x y λλ
-=-+1，
（﹣4＜λ＜16）
，∵双曲线过点（2），∴184-164λλ=-+1，∴λ＝4或λ＝﹣14．（舍）
∴所求双曲线方程为22
1128
x y -=．
（Ⅱ）椭圆方程可化为22
3
x y m
m m +=
+1，因为m ()233
m m m m m +-=++＞0，所以m 3m m +＞， 即a 2＝m ，b 23m m =
+，
c
==
e
=
=m ＝1，所以m ＝1．
18．解：（Ⅰ）由于55
()[(2)2]f x x x ==+-，那么其展开式通项为
515(2)(2)r r r r T C x -+=+⋅-
故22
35(2)40a C =-=．
（Ⅱ）令1x =-，则
()
5
01251a a a a -=++++L ,又令3x =-，则
()
5
01253a a a a -=-+--L
两式相减，则()13521243a a a ++=-+，所以135121a a a ++=．
19．解：（
Ⅰ）设图中
[80,90)
的矩形高为
x
，则
0.0061030.01100.054101010.018x x ⨯⨯+⨯+⨯+⨯=⇔=．
平均成绩为0.06(455595)0.1650.54750.188574⨯+++⨯+⨯+⨯=．
（Ⅱ）由直方图可知，其数据的众数为最高矩形的中间值，所以众数为75.0； 设中位数为m ，则中位数左右两边的矩形面积相等，即左右频率各为0.5，
故
0.006100.006100.01100.054(70)0.5
m ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得
75.18575.2m =≈．
（Ⅲ）成绩不低于80分的学生有(0.0180.006)105012+⨯⨯=人，其中成绩不低于90分的人数为0.0610503⨯⨯=，随机变量ξ可取0,1,2
292126(0)11C P C ξ===，11
932129(1)22C C P C ξ===，232
121
(2)22
C P C ξ=== 分布列为
69110121122222
E ξ=⨯
+⨯+⨯=． 20.解：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得
()1
123456747t =++++++=，28)(71
2=-∑=i i t t
2.661≈，
7
77
1
1
1
()()134.4430.114i
i i i i i i i t
t y y t y t y ===--=-=-⨯=∑∑∑，
141
=0.992.6612 2.646 2.6610.378
r ≈
≈⨯⨯⨯.
因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.
（Ⅱ）根据题意结合（Ⅰ）得，4t =，7
1
1 4.37i i y y ===∑，
28)(7
1
2=-∑=i i
t t
，
7
1
()()14i
i i t
t y y =--=∑
从而()()
(
)
7
1
7
2
7
12
i
i
i i i t
t
y y b
t t
==--==
-∑∑$，ˆˆ 4.30.54 2.3a
y bt =-=-⨯=， 所求回归方程为$0.5 2.3y t =+． 将2018年对应的9=t 代入回归方程得：
ˆ 4.5 2.3 6.8y
=+=. 所以预测2018年该地区患“三高”的人数将约为6.8千人.
21.解（Ⅰ）由抛物线的定义得||22p AF =+
．因为||3AF =，即232
p
+=，解得2p =， 所以抛物线E 的方程为2
4y x =．
（Ⅱ）因为点()2,m A 在抛物线:E 2
4y x =上，
所以m =±
(A
．由(A ，()F 1,0可
得直线F A
的方程为)1y x =-．
由)214y x y x
⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =
，从而1,2⎛B ⎝． 又()G 1,0-，
所以(
)G 0213k A =
=--
，(
)G 01312
k B ==-
--，所以G G 0k k A B +=，从而AGF BGF ∠=∠，这表明点F 到直线,GA GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线
GA 相切的圆必与直线GB 相切．
22.解：（Ⅰ）由2BR BT =u u u r u u u r
知T 为线段BR 的中点， 由0ST BR ⋅=u u u r u u u r 知ST BR ⊥， 故点S
为线段BR 的垂直平分线上的一点，从而||||SB SR =,则有
||||||||||4||SA SB SA SR AR AB +=+==>，
∴点S 的轨迹是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆， ∵2,1a c ==
∴b =
S
的轨迹方程是22
143
x y +=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知点(1,0)F 是椭圆的右焦点，设直线:(1)l y k x =-．
由22(1)14
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得到2222(34)84120k x k x k +-+-=．
设
()()
1122,,,M x y N x y ，则
22121222
8412
,3434k k x x x x k k -+==
++，从而
()12122y y k x x +=+-
假
设
存
在
满
足
题
意
的
点
(,0)
P m ，则
()()()11221212,,2,PM PN x m y x m y x x m y y +=-+-=+-+u u u u r u u u r
，
∵菱形的对角线互相垂直， ∴()0PM PN NM +⋅=u u u u r u u u r u u u u r
，
即
()()()()()()12121212121212122,,020
x x m y y x x y y x x m x x y y y y +-+--=⇒+--++-=g g
又()12120y y k x x -=-≠ ∴()121220x x m k y y +-++=
即()2
1212220x x m k x x +-++-= 222
22
882(2)03434k k m k k k ∴-+-=++
由0k ≠，且k R ∈， 22
2
1
,3344k m k k ∴==++ 104m ∴<<, 故存在满足题意的点(,0)P m ，且m 的取值范围是1(0,)4
.。