数理逻辑

第一章数理逻辑

逻辑思维（又称抽象思维）是人运用概念、判断和推理反映事物本质与规律的认识过程（图1.1），它是人类特有的能力，是人类文明延绵不绝、科学技术持续进步的原动力。具备较强的逻辑思维能力是学习科技知识、进行科学研究、从事技术开发的先决条件。逻辑思维在信息科学技术领域显得尤为重要，只有具备强大的逻辑思维能力，才能胜任该领域的研究工作，才能胜任大型复杂软件的编写与调试工作。

图1.1. 逻辑思维

第一节逻辑学概论

逻辑思维是有规律的，逻辑学是专门研究逻辑思维规律性的学科。本节简述逻辑学的基本内容和发展历史。

1.1. 逻辑思维的基本规律

逻辑思维的作用，就是根据一定的前提，通过合理的推导，得到

一定的结论。

例1.1．苏格拉底是柏拉图的导师，柏拉图是亚里士多德的导师，因此，苏格拉底是亚里士多德的师爷。

分析：苏格拉底、柏拉图和亚里士多德是人类文明史上著名的哲学家，有着师徒传承关系。这是一个逻辑思维过程，其作用就是根据‘苏格拉底是柏拉图的导师’和‘柏拉图是亚里士多德的导师’这两个前提，得到‘苏格拉底是亚里士多德的师爷’这个结论。

例1.2. 子非鱼，安知鱼之乐？

分析：这是惠子对庄子说的一句话。可以将这句话改写为‘你不是鱼，所以你不知道鱼的快乐’，这是一个逻辑思维过程，其作用就是根据‘你不是鱼’这个前提，导出‘你不知道鱼的快乐’这个结论。

逻辑学之父亚里士多德总结出了逻辑思维的以下四条基本规律。

表1.1. 逻辑思维的四条基本规律

下面来看看不满足这些基本规律的实例。

例1.3. 有个小伙子上了火车，一看座无虚席，就厚着脸皮硬往一位老

大爷身边挤座儿。老大爷不高兴了，说：“小伙子，别硬坐了，座位已经满了。”小伙子嘻皮笑脸地说：“老大爷，没办法,我买的就是硬坐票。”分析：这个小伙子在说话时故意把“硬座”变换成“硬坐”，这是偷换概念，违背了同一律。

图1.2. 自相矛盾

例1.4．楚国有个卖兵器的人在街上叫卖。他说：“我的矛是最锋利的，能刺穿任何东西。”他又说：“我的盾是最坚固的，不能被任何东西刺穿。”这时，人群中有人问道：“如果用你的矛去戳你的盾，会怎么样呢？”楚人听后哑口无言。

分析：假设楚人说的两句话都是真的，就可以做以下推理：一方面，因为‘楚人的矛能刺穿任何东西’，所以‘楚人的矛能刺穿楚人的盾’；另一方面，因为‘楚人的盾不能被任何东西刺穿’，所以‘楚人的矛不能刺穿楚人的盾’。这样一来，就得到了两个相互矛盾的结论，根据矛盾律，这两个结论不可能同时为真，因此，楚人的话至少有一句是假的。

例1.5．有个人说：“‘华盛顿是第一任美国总统’是不对的，‘华盛顿

不是第一任美国总统’也是不对的。”

分析：‘华盛顿是第一任美国总统’和‘华盛顿不是第一任美国总统’互为否命题。根据排中律，这两个命题必须有一个是真的。根据历史知识，第一个命题是真的。这个人违背了排中律。

例1.6．南宋初年，宰相秦桧诬陷抗金名将岳飞谋反。虽然秦桧用尽一切卑鄙手段，捏造罪名刑讯逼供，但连一件像样的罪证也找不到。然而秦桧在宋高宗赵构的支持下，仍然把岳飞问成死罪。抗金名将韩世忠感到不平，就去质问秦桧：“你们说岳飞造反，有什么确凿证据？”秦桧不敢明确回答，只好含糊其辞地说：“这样的证据‘莫须有’。”韩世忠听了以后气愤地说：“只凭‘莫须有’这三个字，怎么能使天下人心服！”岳飞最后惨死于风波亭。

图1.3. 风波亭

分析：秦桧采用的是‘有罪推定’原则，先假定‘岳飞有罪’，如果找不到岳飞无罪的确凿证据，就不能否认这个假设，因此岳飞有罪。这样的思维方式违背了充足理由律，不能令人信服。在我国以前的司法

实践中，常年采用‘有罪推定’原则，造成了许多冤假错案。我国的现代法律则采用了更为合理的‘无罪推定’原则，先假定‘嫌疑人无罪’，如果找不到嫌疑人有罪的确凿证据，就认为嫌疑人无罪。疑罪从无是司法实践的巨大进步，可以最大限度地减少冤假错案。按照无罪推定原则，岳飞是无罪的。

1.2．命题、推理和论证

从结构来看，逻辑思维是由命题和推理两部分组成的。

命题是在思维过程中有确定真假值的陈述句，它是逻辑思维的基本单元。在例1.3中，‘华盛顿是第一任美国总统’和‘华盛顿不是第一任美国总统’都是陈述句，前者是真的，后者是假的，因此都是命题。如果一个命题为真，就用符号1表示；如果一个命题为假，就用符号0表示。

疑问句、祈使句和感叹句等非陈述句虽然可以出现在思维过程中，但要么可以被直接去掉，要么可以被改写为陈述句，而不会影响思维本身。

例1.7. 现象会受到因素什么样的影响呢？如果因素对现象有影响，并且因素对现象的影响不是负面的，那么因素对现象的影响就必然是正面的。

分析：可以将上述思维过程改写为‘如果因素对现象有影响，并且因素对现象的影响不是负面的，那么因素对现象的影响就是正面的。’由此可见，‘现象会受到因素什么样的影响呢？’这个疑问句不会影

响思维本身，可以被去掉。但疑问句具有重要的辅助作用，有助于提出问题，聚焦问题。

在逻辑思维过程中，所涉及的所有陈述句都必须有确定的真假值，虽然思维者并不一定知道它究竟是真是假。

例1.8. 上帝存在。

分析：上帝要么存在要么不存在，不可能既存在又不存在，因此这句话要么真要么假，有确定的真值。人类到目前为止，既没有找到上帝存在的确凿证据，也没有找到上帝不存在的确凿证据，因此并不知道这句话究竟是真是假，虽然如此，这并不妨碍这句话成为命题。现代科学认为，‘上帝存在或者不存在’只是一个信仰问题，而不是一个科学问题。

有一类天生违背排中律的陈述句，既不真也不假，被称为悖论。悖论不能作为逻辑思维的前提，否则得到的结论就靠不住。不过在正常的逻辑思维中，所遇到的陈述句基本上都不是悖论，所以不用过分担心悖论。

推理是假设一个或者多个命题（前提）为真，推出另一个命题（结论）为真的思维形式。

例1.9. 因为1x =，所以ln 0x =。

分析：这是从前提‘1x =’为真，推出结论‘ln 0x =’为真的推理。 例1.10. 荷兰在西欧，阿姆斯特丹是荷兰的首都，所以阿姆斯特丹在西欧。