§3.2.2 分式不等式与高次不等式的解法

{x | 1 x 1或2 x 3}
Ⅱ.分式不等式等价变形后，如果是高次不等式，应结合穿针 引线法求解！注意点: （1）x的系数必须是正数；（2）分清空实点；（3）奇穿偶不穿。
(1) : ( x 1)(x 2) 0 2x 1
(2) : (x 1)(x 2) 0 2x 1
( x 1)2 ( x 2)3
§3.2.2 分式不等式与高次不 等式的解法
分式不等式的概念
分母中含有未知数的不等式叫作分式不
等式。各种分式不等式经过同解变形，都可
以化成标准形式 f (x) 0( 0)或 f (x) 0( 0)
g(x)
g(x)
(其中f (x), g(x)为整式且g(x) 0)
试解不等式： x 1 0.
（3）穿线。用一条曲线由右上方开始从右到左，从上
到下依次穿过各根相应的点，注意偶次重根穿而不过， 奇次重根照样穿过，即“奇穿偶不穿”。
（4）写解集。在数轴上方的曲线所对应的区间是不等
式 大于0 的解集；在数轴下方的曲线所对应的区间是不 等式 小于0 的解集
例：解不等式
x2 x2
3x 2 2x 3
f (x) ≥0 g(x)
f (x) g(x) 0 g(x) 0
同理有：
f (x) <0
g(x)
f(x)·g(x)<0，
f (x) ≤0 g(x)
f (x) g(x) 0 g(x) 0
例：解不等式
x 1 1 2x 1
解：x 1 1 x 1 1 0 x 2 0 x 2 0
3x 2
分析：当且仅当分子 x 与1分母 3x同号2时，
上述不等式成立，而两个数的商与积同号.
因此，上述不等式可转化为
整式不
(x 1)(3x 2) 0
等式
所以，原不等式的解集为 (, 1) U(2 , ).
3
不等式
x 1 0. 3x 2
解法比较
分类讨论
转化（化归）
需要解两个不等式 组，再取这两个不 等式组解集的并集
2x 1
2x 1
2x 1
2x 1
2xx112>000或2xx12<00
(x 2)(2x 2x 1 0
1)
0
所以原不等式的解集为:
{x | x 1 或x 2} 2
Ⅰ. 解分式不等式重要的是等价转化，尤其是含“≥”或“≤”转换。
f (x) g(x)
0
f (x) g(x)
g( 0
x)
0
f (x) g(x)
探究：解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
令y=(x-1)(x-2)(x-3),则y=0的三个根分别为 1,2,3.如图,在数轴上标出3个实根,
- 1 +2 - 3 +
将数轴分为四个区间,自右向左依次标上“+”， “-”，图中标”+”号的区间即为不等式y>0的解 集.即不等式 (x-1)(x-2)(x-3)>0的解集为{x1<x<2或x>3}.
-3
o
-1 + 1/2
1
o
+
所以原不等式的解集为:{x | 3 x 1或 1 x 1} 2
例：解关于x的不等式:
xa 0 x a2
解：原不等式可变为：（x-a）（x-a2）<0
(a R)
(1)当a2>a,即：a>1或a<0时,解集为：{x|a<x<a2}
（2）当a2=a即：a=0或a=1时，解集为：
0
解：
x x
2 2
3x 2x
2 3
0
x x
2 2
3x 2x
2 3
(1)
0 0
或
x x
2 2
3x 2x
2 3
(
0 0
2)
不等式组（1）的解集是
不等式组（2）的解集是
{x | 1 x 1或2 x 3}
原以不下等式过的程解同 集就学是来上完面成的
两个不等式组 的解集的并集
由此可知，原不等式的解集是
3x 2
分析：当且仅当分子 x 与1分母 3x同号2 时，
上述不等式成立.
因此
1
x 1 0, 3x 2 0;
或
2
x 1 0, 3x 2 0.
不等式组(1)的解集是 ( 2 ,，不) 等式组(2)的解集是 3
所以，原不等式的解集为 (, 1) U( 2 , ). 3
(, 1)
试解不等式： x 1 0.
00或gf ((xx))
Байду номын сангаас
0 0
f (x) g(x)
0
f
( x)
g(x)
0
f (x) g(x)
00或gf ((xx))
0 0
求解分式不等式时每一步的变换必须都是等价变 换！
练一练： 1. x 4 1 3 x
2. x 3 0 3 2x
一元高次不等式的解法
不等式最高次项的次数高于2时，这样的不 等式称为高次不等式
(3) :
0
2x 1
练 一 练 ： 3x 5 2
x2 2x 3
解：
x2
3x 5 2x
3
2
x
2
3x 5 2x
3
2
0
2x2 x 1 x2 2x 3
0
(2x 1)( x 1) ( x 3)( x 1)
0
(2x 1)(x 1)(x (x 3)(x 1) 0
3)(x
1)
0
- - +
{x | 1 x 1或2 x 3}
例：解不等式
x2 x2
3x 2 2x 3
0
解： x2 3x 2 0 (x 1)( x 2) 0
x2 2x 3
(x 1)( x 3)
(x 1)(x 1)(x 2)(x 3) 0
+
- -1
o
1
o
+
- 2
o
3
o
+
由穿针引线法可得原不等式的解集为:
通过等价转换，变成 我们熟悉的、已经因 式分解好了整式不等
式C
繁
简
?思考：不等式 x 1 0 的解
3x 2
解： x 1 0 3x 2
(x 1)(3x 2) 0
3x 2 0
所以，原不等式的解集为
,
1
U
2 3
,
.
分式不等式
分式不等式的等价变形：
f (x)
g(x) >0
f(x)·g(x)>0，
（3）当a2<a即:0<a<1时,解集为:{x|a2<x<a}
综上：(1) 当a>1或a<0时, 原不等式解集为：{x|a<x<a2}}
（2）当a=0或a=1时，原不等式解集为：
（3）当0<a<1时, 原不等式解集为:{x|a2<x<a}
总结:此法为穿针引线法 .在解高次不等式与分式 不等式中简洁明了,可迅速得出不等式的解集.
用“穿针引线法”解简单高次不等式的步骤：
（1）整理。先将不等式化成标准形式，即一端为0，
另一端为一次（或二次）因式的积的形式。注意各因式 中x的系数一定为正数
（2）标根。求出各因式的根，并在数轴上从小到大
依次标出。