平稳随机过程

2.3 平稳随机过程
随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所
有信号都是非平稳的, 但是, 平稳信号的分析要容易
得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程的 主要物理条件在时间的进程中不改变, 或变化极小,
可以忽略, 则此信号可以认为是平稳的. 如接收机的
噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度的变化, 使得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段 时间后, 温度变化趋于稳定, 这时的噪声电压信号可 以认为是平稳的。
Z(t)是广义平稳的
E[ Z 3 (t )] E{[ X cos t Y sin t ]3} E[ X 3 cos3 t Y 3 sin 3 t 3 X 2Y cos2 t sin t 3Y 2 X cos t sin t ] 2 cos3 t sin 3 t
2.3 平稳随机过程
均值和自相关函数估计：
连续随机过程：
ˆX m
1 2T

T
T
x(t )dt
1 ˆ R X ( ) 2T

T
T
x(t ) x(t )dt
随机序列：
1 ˆX m N
x ( n)
n 0
N 1
N 1 1 2 ˆ2 ˆ x ( n ) m X X N 1 n 0
RX (t MT , t MT ) RX (t , t )
称X(t)为广义循环平稳.
定理1:
设X(t)是严格循环平稳的,而随机变量在区间(0,T)
上均匀分布,且X(t)与统计独立,定义新的过程
X (t ) X (t )
则X(t)是严格平稳随机过程. 定理2: (证明请看教材)

T
T
X (t ) X (t )dt
2.3 平稳随机过程
例、判断
X (t ) A cos(0t )
是否具有遍历性，其中均匀分布于(0，2)。
解、
1 x(t ) lim T 2T

T
T
a cos( t )dt 0 m X
T
1 x(t ) x(t T ) lim T 2T
E[ X (t ) X (t )] E[Y 2 ]
1 x(t ) lim T 2T
平稳随 机过程

T
T
ydt y
2.3 平稳随机过程
5 其它平稳的概念
(1)k阶严平稳
f X ( x1, x2 ,, xN , t1, t2 ,, tN ) f X ( x1, x2 ,, xN , t1 c, t2 c,, tN c)
相关时间：
0 rX ( )d
0

rX ( )
1
rX ( 0 ) 0.05
0
0

相关时间示意图
2.3 平稳随机过程
4 2 0 -2 -4
10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50
100
0 1
两个不同相关时间随机过程的样本函数
0 100
相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依 赖性越强，变化越缓慢，相关时间越小，反映随 机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越缓慢
讨论随机过程Z(t)的平稳性。
解、
2 1 E ( X ) E (Y ) (1) 2 0 3 3 2 2 1 2 4 E ( X ) E (Y ) (1) 2 2 3 3 3 3
2 2 2
2 3 1 2 8 E ( X ) E (Y ) (1) 2 2 3 3 3 3
t1 t2
Z(t)不是严格平稳的
2.3 平稳随机过程
由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论(一、二阶矩) 的范围内讨论问题，因此划分出广义平稳随机过程来。而相 关理论之所以重要，是因为在实际中，一、二阶矩能给出有
关平稳随机过程平均功率的几个主要指标，比如，如果随机
过程如果代表噪声电压信号，那么在相关理论范围内就可以 给出直流分量、交流分量，平均功率及功率在频域上的分布

0
(1

2T
2 )[ RX ( ) m X ]d 0
相关函数遍历性：
1 lim T T

2T
0
(1

2T
2 )[ R ( ) RX ( )]d 0
(t ) X (t ) X (t )
零均值平稳正态随机信号：


0
R X ( ) d
f X ( x, t ) f X ( x)
f X ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) f X ( x1 , x2 , )
2.3 平稳随机过程
对于严格平稳的随机过程，它的均值和方差是与时间
无关的常数，而自相关函数只与t1和t2的差值有关， 而与本身的取值是无关的。 严平稳最基本的特征是时间起点的平移不影响它的统 计特性，即X(t)与X(t+t)具有相同的统计特性。
RX (0) RX ( )

这一性质可 用于检测周 期性的信号
2 (3) 若随机过程不含周期分量， lim RX ( ) m X
(4) 若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有周期分量，
X (t ) A cos(0t ) N (t )
A2 RX ( ) cos 0 RN ( ) 2
2.3 平稳随机过程
R X (0)
R X ( )

2 X
m
0
相关函数示意图
2 X

2.3 平稳随机过程
例 已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为
RX ( ) 36 4 1 5 2
求X(t)的均值和方差。 解、
2 mX RX () 36
mX 6
2 X RX (0) RX () 40 36 4
3 2 3
E ( XY ) E (YX ) E( X ) E(Y ) 0
mZ (t ) E[Z (t )] E[ X ]cos t E[Y ]sin t 0
RZ (t1 , t2 ) E[ Z (t1 ) Z (t2 )] E{[ X cos t1 Y sin t1 ][ X cos t2 Y sin t2 ]} E[ X 2 ]cos t1 cos t2 E[Y 2 ]sin t1 sin t2 E[ XY ]cos t1 sin t2 E[YX ]sin t1 cos t2 2 cos t1 cos t2 2 sin t1 sin t2 2 cos(t1 t2 ) 2 cos
2 mX RX 2 () 100 2
2 2 X RX (0) mX 200
E[ X 2 (t )] RX (0) 300
2.3 平稳随机过程
3 相关系数及相关时间 也称为归一化协 方差函数或标准 协方差函数。
相关系数：
rX ( )
K X ( )

2 X

2 RX ( ) mX 2 X
FX ( x1,, xn , t1 MT ,, tN MT ) FX ( x1,, xN , t1 , t N )
其中M为整数,T为常数,则称X(t)为严格循环平稳(或严格周期平稳) 注意:严格循环平稳不一定严格平稳 如果随机过程X(t)的均值和自相关函数满足下列关系
mX (t MT ) mX (t )
设X(t)是广义循环平稳的,而随机变量在区间(0,T)
上均匀分布,且X(t)与统计独立,定义新的过程
X (t ) X (t )
则X(t)是广义平稳随机过程,且 (证明请看教材)
1 T E[ X (t )] mX (t )dt T 0
T
1 x(t ) x(t T ) lim T 2T

T
a 2 cos( t ) cos( t )dt
a2 cos(0 ) / 2 RX ( )
2.3 平稳随机过程
判断随机过程X(t)=Y的遍历性，
其中Y是方差不为零的随机变量。
解、 E[ X (t )] E[Y ]
(我们将在后面讨论功率谱密度)等。另外，在电子系统中经
常遇到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言，它 的任意维分布都只由它的一、二阶矩来确定，广义平稳的正
态随机过程必定是严格平稳的。因此，在实际中，我们通常
只考虑广义平稳性，今后除特别声明外，平稳性指的是广义 平稳。
2.3 平稳随机过程
例2.7、 设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布的 随机变量。 试问X(t)是否平稳？ 解、
E{X (t )} E{tA} tE{A} 0
RX (t1, t2 ) E{X (t1 ) X (t2 )} t1t2 E{A2} t1t2
所以X(t)是非平稳的。
2.3 平稳随机过程
2、平稳随机过程自相关函数性质 性质： (1) (2)
RX ( ) RX ( )
2.3 平稳随机过程
例、 已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为
RX ( ) 100e10| | 100cos10 100
求X(t)的均值、均方值和方差。 解、
RX ( ) 100cos10 (100e10| | 100)
RX1 ( ) RX 2 ( ) RX1 ( ) 10 2 cos10t
for Nk k=2 称为二阶严平稳,如果对N=k成立,那么对N<k也成立. (2) 渐近严平稳 当c时,X(t+c)的任意n维分布与c无关,即
lim f X ( x1 , x2 , , xN , t1 c, t2 c, , t N c)
c
存在,且与c无关.
(3) 循环平稳 如果X(t)的分布函数满足如下关系
1 ˆ (m) R X N m 1
N m 1

n 0
x(n) x(n m)
2.3 平稳随机过程
例、判断
X (t ) A cos(0t )
是否具有遍历性，其中均匀分布于(0，2)。 解、
1 x(t ) lim T 2T

T
T
a cos( t )dt 0 mX

T
a 2 cos( t ) cos( t )dt
a 2 cos(0 ) / 2 RX ( )
2.3 平稳随机过程
X (t )
X (t )
t
t
(a)
(b)
各态历经过程与非各态历经过程示意图
2.3 平稳随机过程
遍历性判断：
1 lim T T
2T
均值遍历性：
2.3 平稳随机过程
广义平稳：
mX (t ) mX RX (t1 , t2 ) RX ( ), t1 t2
一定
严格平稳 不一定
广义平稳
当随机过程是高斯分布时，两者等价。
例2.5 的随机相位信号பைடு நூலகம்平稳随机过程
2.3 平稳随机过程
例、 设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint，-<t< 。其中X，Y为 相互独立的随机变量，且分别以概率2/3、1/3取值-1和2。试
2.3 平稳随机过程
4 随机过程的遍历性（ergodic） 定义：对于平稳随机过程X(t)，若有 均值遍 历性 相关函数 遍历性
RX ( ) RX ( )
P
mX mX
P
则X(t)为遍历过程。
其中
1 mX l i m T 2T

T
T
X (t )dt
1 RX ( ) l i m T 2T
(5)
2 2 RX (0) X mX
(6) 相关函数具有非负定性,即对任意的n个复数
1 , 2 ,..., n
有
* i j RX (ti t j ) 0 i 1 j 1 n n
利用如下关系可证明
2 n E i X (ti ) 0 i 1
2.3 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义 严格 平稳 随机 过程 如果随机过程的任意n维分布不随时间起 点变化，即当时间平移时，其任意的n维 概率密度不变，则称是严格平稳的随机过 程或称为狭义平稳随机过程。
f X ( x1 ,, xn , t1 t ,, t n t ) f X ( x1 ,, xn , t1 ,, t n )