确定型存储模型(精)
确定性存储问题数学模型
第三节确定性存储问题数学模型对于工厂来说，任务是把进来的原料加工成产品，并把它销售出去。
要生产就要库存一定量的原材料，要销售也需要库存一定量的产品。
库存材料和产品就有存储费的问题，而需求又有确定型和随机型等情况。
如何确定一个最优的生产周期，使得在单位时间内所花费的生产费用最少。
这是摆在工厂管理者面前的现实问题。
我们这节讨论确定性需求存储问题的数学建模。
一、仓库只库存产品的简单情况记k为工厂生产线运转时产品的生产速率，r为商品的销售速率，Q为库存量。
仓库的库存以这样的方式变化：开始时边生产边销售，库存量以速率k－r增加，到时刻t只销售不生产，Q以速率r减少，而到时刻T，Q减少到零，如此为一个周期。
Q与t的关系如图2.3.1所示。
再记c为每开动一次生产线的成本，s为单位时间Q每件产品的存储费，W为单位时间总费用。
则问题可做如下描述：确定周期T，使单位时间的总费用W最小。
图2.3.1 库存量Q与时间t关系图（情况1）我们作如下分析：由假设条件知，单位时间成本为c/T，单位时间库存费为sA/T，其中A为三角形OPT的面积，即Ak rT t =-2又有k t = rT , 所以单位时间总费用为 W c T sA T c T s k r TT t s k r kT r c T sr k r kT=+=+-=-=+-()()()222记B sr k r k=-()2则W c T BT =+ (2.3.1)为求最小总费用点，令dW dT= 0, 得－c /T 2 +B = 0从而有T min = c b / (2.3.2)代入式(2.3.1)得W min = 2bc (2.3.3) 式(2.3.2)表明，最优周期与生产成本的平方根成正比，与存储费的平方根成反比。
这样一个结论是经过建立数学模型并进行分析计算才得出来的。
计算出来的这个最优 周期T 往往不易在实际生 产过程中操作实施，这就 需要作一点微调（或者说 做一点摄动），那么会对W 产生多大的影响呢？我 们简单分析一下这种敏感性。
确定型存储模型
由t=Q/R代入式(8.1)消去变量t，得到无条件极值
min
f
(Q)
1 2
C1Q
KR
1 Q
C3 R
求上式的极值，得到最优解（证明参看§10．６）
Q* 2C3 R / C1
Q*
t* R
2C3 / C1R
f * 2C1C3R KR C1Q KR
n*
1 t
C1R / 2C3
模型一是求总费用最小的订货批量，通常称为经典经济订货 批量(Economic ordering quantity)模型。下面要讲的几种模型 都是这种模型的推广。
C3 t
KR
得到最优解：
§9.2 确定型存储模型
Deterministic Inventory Model
Inventory Theory
2020年5月15日星期五 Page 9 of 20
Q1*
2C2C3 R C1 (C1 C2 )
Q* Rt* 2C3 R(C1 C ) C1C2
Qs* Q * Q1*
订货费：C3+KQ
则在计划期内总费用最小的存储模型为
min
f
1 2t
C1Q1t1
1 2t
C2
(Q
Q1 )(t
t1 )
C3 t
KQ
t
Q Rt,Q1 Rt1,QQ1,t,t1 0
消去目标函数中的变量Q和t1 ,式（10.8）便得
min
f (Q1, t)
1 2Rt
C1Q12
1 2Rt
C2
(Rt
Q1 ) 2
模型与式（10.1）相同，最优批量不变，订货点为
Q1=RL
(10．7)
存储论
大连大学
28
数学建模工作室
随机性存储模型的策略
❖ (1) 定期订货，但订货数量需要根据上一个周期末剩下货物的数量决
定订货量。剩下的数量少，可以多订货。剩下的数量多，可以少订或不 订货。这种策略可称为定期订货法。
❖ (2) 定点订货，存储降到某一确定的数量时即订货，不再考虑间隔的 时间。这一数量值称为订货点，每次订货的数量不变，这种策略可称之 为定点订货法。
存储模型的基本介绍
存储模型的分类
存储模型大体分为两类：一类是确定性模型，即模型 中的变量皆为确定型的量，不包括任何随机变量；另一 类是随机性模型，即模型中含有随机变量。
大连大学
7 数学建模工作室
存储模型的分类
存储模型的分类
存储模型大体分为两类：一类是确定型模型，即模型 中的变量皆为确定型的量，不包括任何随机变量；另一 类是随机型模型，即模型中含有随机变量。
确定型存储模型
（4）允许缺货，补充时间极短的经济订购批量模型
基本假设：除允许缺货外，其余条件皆与模型一相同。
大连大学
23
数学建模工作室
确定型存储模型
从图上可知：
平均存储量 Q S T1 Q S 2
2T
2Q
平均缺货量 ST2 S 2 2T 2Q
因此，最优策略为：
Q* 2CD DCP CS
Q
C
1 2
1
D P
QC
P
CDD Q
因此，平均总费用为：
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21
数学建模工作室
Q确* 定CP型2C1D存DDP 储 模 型
T * Q* D
2CD P
CPDP D
A* 1 D Q* P
存储模型ppt课件
未来存储模型的展望
分布式存储的发展
分布式存储可以提供更高的可靠性和可扩 展性，未来将有更多的应用场景。
超高速存储
随着数据量的爆炸式增长，超高速 存储技术将成为未来的发展趋势。
如基于SSD的存储、光存储等。
A
B
C
D
智能化和自动化
未来存储系统将更加智能化和自动化，能 够自动优化性能、预测容量需求、自动备 份和恢复等。
存储模型的分类
总结词
根据不同的分类标准，存储模型可以分为多种类型， 如按数据访问方式可分为随机存储模型和顺序存储模 型；按数据组织方式可分为线性存储模型和哈希存储 模型等。
详细描述
根据数据访问方式的不同，存储模型可以分为随机存 储模型和顺序存储模型。随机存储模型允许数据在任 意位置被访问，而顺序存储模型则只能按顺序访问数 据。此外，根据数据的组织方式，存储模型还可以分 为线性存储模型和哈希存储模型等。线性存储模型将 数据按照线性结构（如数组或链表）进行组织，而哈 希存储模型则通过哈希函数将数据的键值映射到存储 位置。
02
直接连接存储（DAS）
DAS的原理
DAS是指将存储设备通过直接电 缆与服务器连接，实现数据的存
储和访问。
在DAS架构中，存储设备可以是 独立的磁盘阵列、磁带库等，通
过电缆直接连接到服务器。
数据传输速率取决于连接电缆的 长度和质量，通常采用光纤通道
或SCSI等高速接口。
DAS的特点
简单性
DAS架构简单，易于部署和管 理。
数据安全和隐私保护
随着数据价值的提升，数据安全和隐私保 护将成为未来存储技术的重要研究方向。
谢谢观看
可扩展性
随着数据量的增长，可以方便 地增加存储设备来扩展存储容 量和性能。
存储论-确定性存储模型
确定性模型二(4)
t0
Q0
2C 3 C1R
2C 3 R C1
C0 2C1C3 R
例5 某商店经售甲商品成本单价为500元，年存储费用为成本 的20%，年需求量为365件，需求速度为常数。甲商品的订购 费为20元，提前期为10天，求E.O.Q及最低费用。
定义
订购点（或订货点） 设t1 为提前期，R为需求速度，当存储降至 L=Rt1 时即订货。L 称为～ 定点订货 不考虑t0 ，只要存储降至 L 即订货，订货量为Q0， 称这种存储策略为～ 定时订货 每隔t0时间订货一次为～
存储物资 使用和消费 供应(生产)与需求(消费)之间的不协调
供应量 ——— 需求量 供应时间——— 需求时间
现象
供不应求 供过于求
存储作用: 缓解供需之间的不协调
第4页
存储问题的提出
例1 商店
不足: 缺货—— 减少利润 储存商品 过多：积压—— 占用流动资金，周转不开
Q S W t T
S W
Q
t T
间 断 式
连 续 式
确定性：如合同 输出分为 随机性：如零售
第7页
存储论的基本概念 (补充)
补充: 存储的输入（订货或生产） 备货时间：从订货到货物进入“存储”的时间 （或称为提前时间：提前订货的这段时间）
？
多久补充一次 一次的量多少
存储策略：决定多久补一次以及 每次补充数量的策略
（1）不允许缺货，求最优订购批量 及年订购次数； （2）允许缺货，问单位缺货损失费 为多少时一年只需订购3次？
第30页
确定性模型四(1)
模型四：允许缺货（缺货需补足） 生产时间需一定时间 假设:
《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(存储论)
第13章存储论13.1 复习笔记1．存储论的基本概念备货时间：从订货到货物进入“存储”往往需要一段时间，我们把这段时间称为备货时间。
备货时间可能很长，也可能很短，可能是随机性的，也可以是确定性的。
提前时间：从另一个角度看，为了在某一时刻能补充存储，必须提前订货，那么这段时间称之为提前时间。
存储策略：决定多少时间补充一次以及每次补充数量的策略称为存储策略。
存储论要解决的问题是：多少时间补充一次，每次补充的数量应该是多少，即存储策略。
2．一些参数的含义K：货物单价；：最佳订货周期；R：需求速度；：最佳订货批量；：单位存储费用；：单位缺货损失；：订购费；：最佳费用；：最佳生产时间；：生产速度；：最大存贮量；：最大缺货量；：最大缺货量。
3．存储策略（1）-循环策略，每隔时间向系统内补充存储量Q。
（2）策略，当存储量时不补充；当时补充存储，补充量(即，将存储量补充到S)。
（3）混合策略，每经过t时间检查存储量，当时不补充；当时，补充存储量使之达到S。
4．确定性存储模型（1）模型一—经典的E.O.Q模型：不允许缺货，备货时间很短，且需求是连续均匀的，即需求速度是一常数；每批订货量不变，订货费用为常数；单位存储费用不变。
已知，求，，（2）模型二：不允许缺货，生产需一定时间，其余条件同模型一。
已知，求，，（3）模型三：允许缺货，备货时间很短，其余条件同模型一。
已知，求，，，最大缺货量（4）模型四：允许缺货（需补足缺货），生产需要一定时间，其余条件同模型一。
已知，求，，简便的记忆方法：①永远成立②记住模型一，，③定义两个因子④与因子的关系与乘以因子，与除以因子模型二乘除，模型三乘除，模型四乘除⑤模型二的，模型三的，模型四的说明：在允许缺货条件下，经过研究而得出的存储策略是：每隔时间订货一次，订货量为，用中的一部分补足所缺货物，剩余部分进入存储。
很明显，在相同的时间段落里，允许缺货的订货次数比不允许缺货时订货次数减少了。
运筹学详解教程 7.2确定性存储模型
10.46(元)
2 0.4 5100 0.15 0.4 0.15
四、修正的EOQ模型：库存容量有限
当经济批量Q大于库存容量W时，我们作 如下假设
按经济批量采购，多余部分存储在租用库房， 单位租用存储费用CW
首先使用租用库房的物品，用完后使用自己库 房的物品，用完后再次采购。
有关分析用图见后图。
t0
2C3 P C1R(P R)
模型二的经济批量
经济采购批量E.O.Q.
Q0 Rt0 最少费用为
2C3 RP C1(P R)
C0 C(t0 )
2C1C3R(P R) P
模型二的最佳生产时间T和最大库存量S
第 最佳生产时间
十 章
T0
Rt0 P
2C3 R C1P(P R)
存 最大库存量为
模型一存储量的变化
Q 斜率=-R
Q0
0
t0
T
模型一的费用
订货费 存储费
C3 KRt C3 KQ
t
0 C1RTdT
1 2
C1
Rt
2
1 2 C1Qt
平均费用
C (t )
C3 t
1 2
C1Rt
KR
RC3 C1Q KR Q2
关于单位费用的讨论
单位费用共三项
1)第一项是订购费，它与订货量无关，因 此订货量越大（可用时间越长），单位货 物费用越少，从这一点上说应当每次尽量 多采购一些；
批量
年存储费 年订购费 年总费用 费用最小
Q
C1Q / 2 C3R / Q C
批量
100
5
80
85
200
10
40
50
运筹学课件——存储论
最大缺货量
C1R * B t C1 C2
*
平均总费用
C 2C3 t
*
*
存贮论
三、单周期的随机性存贮模型 在前面讨论的模型中，我们把需求看成是固定不变的已 知常量。但是，在现实世界中，更多的情况却是需求为一
个随机变量。为此，在本节中我们将介绍需求是随机变量，
特别是需求服从均匀分布和正态分布这两种简单情况的存
存贮论
三、存贮问题及其基本概念
存贮系统 是一个由补充、存贮、需求三个环节紧密构成的运行 系统。 存贮由于需求（输出）而减少，通过补充（输入）而增加， 其中心可视为仓库。
定购进货 输入
仓库 (库存量)
供给需求
输出
存贮论
需求: 由于需求，从存贮中取出一定数量的存货，使存贮 量减少，即存贮的输出。 需求类型：间断的, 连续的; 确定性的, 随机性的 Q Q
存贮费用越小 订货费用越大 存贮费用越大 订货费用越小
存贮论
研究目的： 1．补充存贮物资时，每次补充数量(Q)是多少？ 2．应该间隔多长时间( t )来补充这些存贮物资？ 使得总费用最少
存贮量 Q
存贮状态图
Q/2
0
t
t
t
时间 t
存贮论
采用t - 循环策略
2C3 t C1 R
*
2C3 R Q Rt C1
贮模型。典型的单周期存储模型是“报童问题”
（Newsboy Problem），它是由报童卖报演变而来的，
在存储论和供应链的研究中有广泛地应用。
存贮论
基本的订货策略
按决定是否订货的条件划分： 订购点订货法、定期订货法 按订货量的决定方法划分： 定量订货法、补充订货法
确定型存贮模型
专题九存贮论Inventory Theory9.1 存贮问题的基本概念9.2 确定型存贮模型9.3 单周期随机存贮模型9.2 确定型存贮模型◆模型瞬时进货，不允许缺货⑴假设条件①当存贮降至零时，立即补充；②需求是均匀连续的，即需求速度(单位时间需求量)为常数；③单位存贮费不变；④每次订购费(固定费用)不变，货物单价为。
每次订购量相同．由于不允许缺货，故缺货费用可看做无穷大。
..E O Q R 1c 3c K Q 2c⑵存贮状态图存贮量时间0Qt t t①订货费因订货量必须满足时间内的需求, 即每次订货费※单位时间内的订货费为KR t c t KRt c +=+33)(⑶建立模型总费用=订货费+存贮费Q t =Q Rt33+=+c KQ c KRt②存贮费在t 时间内的平均存贮量：221)(2121Rt t Rt Qt ==Rt 21Rt c 121单位时间内的存贮量：※单位时间内的存贮费用：KR tc Rt c t C ++=3121)(•单位时间的平均总费用：KR t c Rt c t C ++=3121)(•求取最小时所对应:021)(231=−=tc R c dt t dC •解该方程可得R c c t 1302=•而每次的订购量为：13130022c R c R c c R Rt Q =•==（4）求解•和的取值就为模型的最优存贮策略．()C t t 0t 0Q ..E O Q•因是常数，在总费用函数中略去项不会影响费用分析，于是R c c c R c c R c c R c t C 31313131022221)(=+=•将代入上式，得最低总费用tc Rt c t C 3121)(+=上述最优策略公式就是存贮论中著名的经济订购批量公式(Economic Ordering Quantity )，简称公式．◆E.O.Q.公式,K R KR 0t ..E O Q例某单位每月需要某一产品100件,每批订购费为5元.若每次货物到达后先存入仓库,每月每件要付出0.4元的存贮费.（1）试计算其经济订购批量.（2）当每月需求提高到200件，其他条件不变，试问最佳订购量是否也提高到100件？解（1）已知•最佳订购周期:)( 5.040101004.0522130月==⨯⨯==R c c t •最佳订购批量•最小总费用)/( 2010054.022)(310月元=⨯⨯⨯==R c c t C 31100/5/0.4/件月，元批，元月件===•R c c 001000.550（件）==⨯=Q Rt（2）当代入上述各式，即可求得：025100.354 ()0.420080t ⨯===⨯月0()20.4520028.3 (/)C t =⨯⨯⨯=元月◼比较（1）和（2）可以看出，需求速度与订购量并不是同步增长的，说明建立存贮模型的重要性。
数学建模存贮论部分
货单位发货期间，每天发货量为10件。试求：
（1）最佳订货批量及最大缺货量；
（2）年最小费用。
解：本题属于“允许缺货、补充需要一段时间”的存贮模型
由题设可知：
R76件天， P10件天， C1133.7050元件天
2021/6/16
C23205元 0 件天， C35元 0
23
271050(13.7525)
1( t
t1
(
0
P
R
)u
du
t
R(
t1
t
u
)
du
)
1 t
(
1 2
Pt12
1 2
Rt2 Rt t1 )
t1Rt P
1
Rt
R2
t
2
2P
其中t1 t1
2021/6/16
3
于是单位时间内总的平均费用为
C(t)C31C1(RR2)t
t2
P
求t的取值，使 C (t) 达到最小。
模型求解
ddC (tt)C t231 2C1(RR P2)
Ru J(u)(PR)(t2u)
, ,
0ut1 t1ut2
0
, t2ut
于是 [ 0 , t ]时间内的平均缺货量为
1 t 0 tJ ( u )d 1 u t 0 t1 R u d u t t 1 2 (P R )t2 ( u )d 0 u
2021/6/16
19
1 t[1 2Rt1 21 2(PR)(t2t1)2]
货物的价值（成本）。
该模型的存贮状态图为
Q
A
2021/6/16
0 B
t1 t
T
5存储模型
即最优生产周期为17天，生产时间为3.4天，生产 批量为56件。
四、模型三
模型三——允许缺货，生产时间很短。模型一、 二是在不允许缺货的情况下推导出来的，模型三是 允许缺货，并将缺货损失定量化来加以分析。
这里除假设允许缺货，其余条件与模型一相同，
设单位时间每缺一件的损失为 c3 。
一、存贮问题的基本要素
一般的存贮问题通常包含下面5个基本要素。
（一）需求
需求是存贮系统的输出，需求量可以通过供 销渠道获得，它可以是确定的，如自动生产线上 每个班组对某种零件的需求量；它也可以是随机 的，如市场每天对某种商品的销售量。
（二）补充（订货或生产）
补充是存贮系统的输入，存贮物品的补充可以 由工厂生产获得，也可以通过订货得到。从订货到 货物入库，通常需要一段时间，称为滞后时间。由 于滞后时间的存在，管理者为了能及时补充，就必 须提前订货，所提前的时间称为提前时间。滞后时 间可以是随机的，也可以是确定的。
假设每隔T天订货Q，而货物在 t T1 时用完，有 一段时间，即T T1 长时间地缺货（这时需求速度仍
为 r ）（如图），则在T时刻的订货量 Q rT1
T时间内的存贮量 T1
t
(rT1
rx)dx
12rT12
；存贮费
1 2
rT12c2
T时间内的缺货量为
T
(rT1 rx)dx
则缺货损失费为
时间内的需求 rT ，即订货量 Q rT ，每次订货费
为 c1 ，货物单价为 k ，则订货费为 c1 krT
T时间内的存贮 量（如图）为
T
0
(rT
rt)dt
专题-经济订货批量模型-(EOQ模型)-教案2014-06
专题经济订货批量模型 (EOQ模型)一、关于存储论1.为什么要储存？联系到餐饮业，前讲讲授过了。
储存物品的现象是为了解决供应（生成）与需求（消费）之间的不协调的一种措施，这种不协调性一般表现为供应量与需求量和供应时期与需求时期的不一致性上，出现供不应求或供过于求。
与存储量有关的问题，需要人们做出抉择，在长期实践中人们摸索到一些规律，也积累了一些经验。
专门研究这类有关存储问题的科学，构成运筹学的一个分支，叫做存储论（inventory），也称库存论。
2.存储论的基本概念：（1）需求：从存储中取出一定的数量，使存储量减少，是存储的输入。
需求有间断式的，有连续均匀的；有的需求是确定性的，有的需求是随机性的。
（2）补充（订货或生产）：存储的输入。
存储论要解决的问题是：多少时间补充一次，每次补充的数量应该是多少。
（3）费用：存储费；订货费；生产费；缺货费（4）存储策略：决定多少时间补充一次以及每次补充数量的策略称为存储策略。
抽象为数学模型，把复杂问题尽量加以简化。
存储模型大体可以分为两类：确定性模型，即模型中的数据皆为确定的数值；另外一类叫作随机性模型，即模型中含有随机变量，而不是确定的数值。
一个好的存储策略，既可以使总费用最小，又可以避免缺货影响生产（或对顾客失去信用）。
二、存储模型简介1.存储模型（1）确定性存储模型：模型一——不允许缺货，备货时间很短；模型二——不允许缺货，生产需要一定时间；模型三：允许缺货，备货时间很短；模型四——允许缺货（需补足缺货）、生产需一定时间；价格有折扣的存储问题。
（2）随机性存储模型：模型五——需求是随机离散的（定期订货法）；模型六——需求是连续的随机变量（定点订货法，（前）永续盘存法）；模型七——（s，S）型存储策略（结合五六模型，达到s订货，是存储量达到S）；模型八——需求和备货都是随机离散的。
2.模型一：不允许缺货，备货时间很短（最简单，以它为了讲解）EOQ模型的出发点和假设如下:1．EOQ模型涉及两种费用：一是采购费用。
第13章 存储论-第2节 确定性存储模型(运筹学-东北大学,钟磊钢)
2C 3 P t0 C1R (P R )
(13 6)
图 13-5 中 t 表示周期，所求出的 to 为最佳周期。相应的生产批量
2C 3 P Q o E.O.Q C1 ( P R )
(13 7)
PR minC ( t ) C( t o ) 2C1C 3 R P
(13 8)
计算批量和批次
Q0 2 C3 (装配费) D(需求速度) C （存储费） 1 2 2500 3000 5.3 1682 (吨)
3000 12 n0 21.4 (次) Q0
计算需要的数据
• • • • 两次生产相隔的时间t0=（365/21.4）≈17(天) 17天的单位存储费(5.3/30)×17=3.00(元/吨)， 共需费用5.3/30×17×1682+2500≈5025(元)。 按全年生产21.5次(两年生产43次)计算，全年共 需费用5025×21.5=108037(元/年)。 • 两者相比较，该厂在利用E.O.Q公式求出经济批 量进行生产即可每年节约资金 • 125400 －108037=17363(元)
(此结果由图13-3中利用几何知识易得出， 平均存储量为三角形高的二分之一)
单位时间内单位物品的存储费用为C1，
t 时间内所需平均存储费用为1/2 (RtC1）。
t 时间内总的平均费用为C(t）
C3 1 C( t ) KR C1Rt t 2
(13 1)
• 只需对(13-1)式利用微积分求最小值的方法可 求出。
由于Q0、t0皆与K无关，所以此后在费用函数 中略去K、R这项费用。如无特殊需要不再考 虑此项费用，
• (13-1)式改写为
C3 1 C( t ) KR C1Rt t 2
实验3：各种存储模型的Excel建模和求解
实验3：各种存储模型的Excel建模和求解实验目的:掌握在Excel中建立各种数学存储模型，并能求解实验内容:4种确定型存储模型和随机存储模型[实验步骤]:该章的解题步骤较为简单，只须在EXCEL 中建立相应的数学模型即可。
一.确定型存储模型1、经济批量EOQ库存模型某工厂每年须用某种原料1800t，可以无须等待时间收到订货，同时该厂采取不得缺货策略，设每吨每月的保管费为60元，每次订购费为20元，试求最佳定购量(EOQ)。
该模型的数学模型模板如图5。
1，相应的单元格名称如表1。
表1 单元格名称图1 经济批量EOQ模型输入相应的数据后，得到所求结果，如图2。
图2 计算结果2、在制品批量的库存模型（供货需要一定时间）某工厂生产某种零件，每年需要量为18000 个，该厂每月可生产3000 个，每次生产的装配费为500 元，每个零件的存贮费为0。
15 元，求每次生产的最佳批量。
该模型的数学模型模板如图3所示，相应的单元格名称如表2。
表2 单元格名称。
图3 在制品批量的库存模型输入3 题的数据后得到所求结果，如图4图4 计算结果3、允许发生缺货，生产时间很短的库存模型某公司对产品A需求量为每年800件，每次订货费用150元，存贮费每件每年3元，发生短缺时的损失每件每年20元，试求该公司对产品A的最佳订货量，该模型的数学模型模板如图5所示，相应的单元格名称如表3。
表3 单元格名称图5 允许发生缺货，生产时间很短的Excel模板输入题数据后，得到所求结果，如图6。
图6 计算结果4、允许发生缺货（需要补足缺货，生产需要一定时间（供货需要一定时间）某公司对产品B的需求量为每年100件，产品B的年生产率为200件，每次订货费用150元，存贮费每件每年3元，发生短缺时的损失每件每年20元，试求该公司对产品B的最佳订货量。
该模型的数学模型模板如图5。
7所示，相应的单元格名称如表4。
表4单元格名称图7 允许发生缺货（需补足缺货），5、生产需要一定时间（供货需要一定时间）的库存模型将上一题目增加条件:生产需要一定时间，且P=200，输入数据后图8 计算结果。
确定型存储模型
0 Q 1000件 1000 Q 3000件 3000 Q 5000件
5000 Q
K1 1.20元 / 件 K2 1.15元 / 件 K3 1.10元 / 件 K4 1.05元 / 件
C1(Q) C2(Q) C3(Q)
Q
15
解：(1)不考虑单价，计算经济订货量
Q0
2DCd Cs
11
10.2.4 两种存储费，不允许缺货模型
• 自有仓库容量不够，需要租 用仓库
• t1 租用仓库存储时间；t2 自 有仓库存储时间，t = t1 + t2 =Q/D 为订货周期
Q 储量 W
• W 为自有仓库容量 Cr 为租用仓库存储费率，且 Cr > Cs ，所以先用租用仓库
0
t1
t2 t
t
租用仓库存储时间
C (Q q)Cs qCq 0
q
Q
Q
解得 q Cs Q Cs Cq
将 q 代入(7)式，得
8
C (Q )
C
Cq s Cq
2
CsQ 2
C
Cs s Cq
2
CqQ 2
DCd Q
CsQ DCd
2
Q
C s
Cs
Cq Cs Cq
Q0
2DCd Cs Cq Cs Cq
– 一次订购费为 Cd，单位物资单位时间的存储费为 Cs • 定性分析
– 每次订购量小，则存储费用少，但订购次数频繁，增加 订购费；每次订购量大，则存储费用大，但订购次数减 少，减少订购费；因此有一个最佳的订货量和订货周期
• 定量分析
– 每次订购量 Q=Dt
(1)
– 平均储量 = 0.5Q
1
确定型存储
⒊缺货成本 • 失销成本 当出现缺货时，如果客户选择收回他的购买要求，就产生了失销成 本。该成本就是本应获得的这次销售的利润，也可能包括缺货对 未来销售造成的消极影响。 • 延期交货成本 如果延期交货不是通过正常的配送渠道来履行，那么可能由于订 单处理、额外的运输和搬运成本而产生额外的办公费用和运作成 本。
t2 t1 t t
不缺货时间 t1
Q q Rt1 R R
2
缺货时间 t2
Rt q 2 R R
Q q Qq 平均储量 t1 t 2 2Q
(Q q) C1 单位时间存储费 16:51:35 2Q
2
17
RC3 单位时间订购费 Q q 单位时间缺货费 t2 C2 2
RC3 ( P R )C1Q RC3 C1Q C (Q) Q 2P Q 2 C1 ( P R ) C1 P
直接应用不允许缺货模型的公式(3)，得
故单位时间平均总费用为
(12)
Q0
2 RC3 C1
2 RC3 P C1 P R
(13) (14)
C (Q0 )
16:51:34
2
库存掩盖问题
船 库存
湖水
库存水平A
库存水平B 岩石 其他瓶颈 不确定的需求
16:51:34
不可靠的供应商 质量问题
3
不准确的预测
企业库存成本问题
• 制造业企业库存主要以原材料、零配件和在制品的形 式存在于企业，且库存费用占库存物品价值的 20%~40%，故企业库存成本控制是十分重要的。库存 决策的内容集中于运行方面，库存控制策略，如库存 点的最佳订货量、最佳订货点、安全库存水平的确定 等。
总成本
确定性库存模型
允许缺货的经济批量模型
§2.3 供应速度有限的不缺货库存问题 §2.4 供应速度有限允许缺货的库存问题
精品课程《运筹学》
第二节 确定性库存模型
本节假定在单位时间内(或称计划期)的需求 量、货物供应速率、订货费、缺货费为常数。 在每个区间开始订购或生产货物量，形成循环 存储策略。
§2.1 瞬时供货，不允许缺货的经济批量模型
①需求是连续均匀的，设需求速率为 D ；
②当存储量降至零时，可立即补充，不会造成缺货 （即认为供应速率为无穷）； ③每次订货费为 a ，单位货物的存储费为 ，都为常 数； ④每次订货量都相同，均为 Q 。 精品课程《运筹学》
b
第二节 确定性库存模型
存储状态的变化图：
Q1T1b ' / 2T
，
1 min f 1 T bD 2 1 2 RD(Q Q1 )(T T1 ) / Q aD / Q PD
(7.2.5)
精品课程《运筹学》
第二节 确定性库存模型
Q DT , Q1 DT1 , Q, Q1 , T , T1 0
将其视为 Q1
精品课程《运筹学》
第二节 确定性库存模型
解:此为连续加工不允许缺货的模型,以一个月
为计划期。 D =100, 已知 V =500, P =10, a =5, b =0.5 * Q 25100500 = =50( 件 ) 0.5( 500 100 ) *= 25500 =0.5(月) T 0.5100( 500 100 ) * = =0.1(月) 25100 T
S* 0
*
f
2abD PD
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Q 1/2Q s
储量 平均 存量 L t t t
3、灵敏度分析 设实际订购量 Q=rQ0，r 为一比例常数
4
– 则实际订购量的平均总费用为
DCd 1 C (Q ) C ( rQ 0 ) C s rQ 0 rQ 0 2 1 1 2 DC s C d r 2 DC s C d 2r 2 1 1 r C (Q0 ) 2 r C ( rQ 0 ) 1 1 r C (Q0 ) 2 r
10.2 确定型存储模型
• 备运期和需求量都是确定性的称为确定型模型，若其中有一 个是随机的，则称为随机型模型。本节只介绍确定型模型
10.2.1 不允许缺货模型
• 模型假设 – 单位时间的需求量为常数 D (称为需求率) – 备运期为 0；不允许缺货；各种参数均为常数 – 设订货量为 Q，订货周期为 t，需求率为 D – 一次订购费为 Cd，单位物资单位时间的存储费为 Cs • 定性分析 – 每次订购量小，则存储费用少，但订购次数频繁，增加 订购费；每次订购量大，则存储费用大，但订购次数减 少，减少订购费；因此有一个最佳的订货量和订货周期 • 定量分析 – 每次订购量 Q=Dt (1) 1 – 平均储量 = 0.5Q
9
10.2.3 连续进货，不允许缺货模型
• 周期性的零部件生产 • t1 为零件生产期，单位时 间产量为 K，D 为零件消 耗率， K>D ；Q =K t1为生 产期总产量； t2 为转产期， t = t1 + t2 为生产周期， H 最大存储量 • Cd 这里称为准备费
( 2)
2
• 单位时间内总费用是订货量 Q 的非线性函数
不允许缺货模型的推导
1 C sQ 2
C(Q)
DCd Q
Q0
Q
DCd 1 dC (Q ) Cs 0 2 dQ 2 Q ( 3)
• 由 C(Q) 曲线可见 Q0 点使 单位时间总费用最小，称 2 DCd 为经济订货量 (Economic 解得 Q0 Order Quantity, E.O.Q) Cs • 根据 (2)式求经济订货量 将 Q0 代入(1)式, 得 Q0，对 C(Q) 求导 2C d t0 DC s
10.2.2 允许缺货模型
• 允许缺货，但到货后补足 储量 缺货，故仍有 Q=Dt H • Q 为订货量，q 为最大缺 货量；t 是订货周期，t1 是 Q 不缺货期， t2 是缺货期； 最大存储量为 H=Qq q • Cq 为单位缺货损失费，其 0 它费用参数符号同不允许 缺货模型
t2 t1 t t
2 DCd (Q q ) 2 C s q C q C (Q , q ) Q 2Q 2Q
(7)
先对 C(Q, q) 对 q 求偏导，并令导数为 0
qC q (Q q )C s C 0 q Q Q Cs 解得 q Q C s Cq
将 q 代入(7)式，得
8
Cq C sQ C s C q Q DCd C (Q ) C s Cq 2 2 Q C s Cq Cq Q DCd Cs Cs Cs 2 Q C s Cq Q0 2 DCd Cs C s Cq Cq (8)
Qq 不缺货时间 t1 D
Q q 2 Qq 平均储量 t1 t 2 2Q
(Q q ) 2 C s 单位时间存储费 2Q
q 缺货时间 t 2 D
7
DCd 单位时间订购费 Q q 2C q q 单位时间缺货费 t 2C q t 2 2Q
故单位时间平均总费用为
(4)
3
C (Q0 )
2 DCd C s
(5)
不允许缺货模型的及点说明
1、没有考虑物资单价 – 若物资单价与时间和订购量无关，为常数 k，则单位时 间内的物资消耗费用为
kQ kQD 、若备运期不为零，(3)(4)(5)式仍成立 设备运期 L 为常数，则可得订货点 s=LD，Q0 和 t0 都不变
Q0
( 2) t0
2 DCd Cs
2 3000 50 5477(个) 0.01
Q0 5477 1.8257(周) D 3000 每年订购次数 52 / 1.8257 28.48(次)
( 3) 每年订购费约为
28.48 50 1424元
6
每年存储费约为 0.5 52 0.01 5477 1424元
不允许缺货模型的推导
Q 1/2Q t t t 储量 平均 存量 t
• 可比性原则 – 单位相同，时间相同；目标函数的含义相同 – 由于系统存量具有周期性，因此只需研究一个周期 – Q 不同，周期长度 t 也不同，因此目标函数应为单位时 间内的总费用 单位时间内总费用
单位时间平均订购费 单位时间的存储费 Cd 1 DCd 1 C (Q ) QC s C sQ t 2 Q 2
2
2
最优缺货量 q0 2 DCd C s C q (C s C q ) 最优订货周期 t0 Q0 D
( 9) (10)
最小费用 C (Q0 , q0 )
2 DCd C s
Cq C s Cq
(11)
• 由于 Cq / (Cs+Cq)<1，故允许缺货是有利的 –拆借现象，商店中的期货 – Cq ，退化为不允许缺货模型
当 r 由 0.5 增大到 2 时
(6)
C ( rQ 0 ) 1.25 ~ 1.25 C (Q0 )
当 r=1.1 比值仅为 1.0045，可见灵敏度很低
5
例1 某工厂生产载波机需电容元件，正常生产每日需600个，每 个存储费 Cs =0.01 元/周，订购费每次为 Cd =50 元，问：(1)经 济订货量为多少？(2)一年订购几次？(一年按 52 周计)，(3) 一 年的存储费和订购费各是多少？ 解： 以周为时间单位，每周按 5 天计，则 D=5600=3000个/周 (1)由(3)式得