第十五章 薄板的振动问题(徐芝纶第四版)
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d 4 Yk 2k 2 2 d 2 Yk k 4 4 2 Yk 0 4 2 2 4 dy a dy a
它的特征方程是
2 2 4 4 2 k k 4 2 2 r r 0 2 4 a a
m D
而这个代数方程的四个根是
k 2 2 2 a2
k 2 2 2 a2
在大多数的情况下，γ2>k2π2/a2，而上面所示的 四个根是两实两虚，取正实数
2 2 2 2 k m k 2 2 2 a D a 2 2 2 2 k m k 2 2 2 a D a
B W ( x, y ) v ( x, y )
k 1 k k k 0
于是可见，为了求得Am及Bm，须将已知的 初挠度w0及初速度v0展为Wm的级数，这在数学处 理上是比较困难的。 因此，只有在特殊简单的情况下，才有可能 求得薄板自由振动的完整解答，即任一瞬时的挠 度。在绝大多数的情况下，只可能求得各种振形 的振形函数及相应的频率。但是，这也就可以解 决工程上的主要问题了。
振型函数应满足边界条件。
不论在哪一种情况下，都可由y＝0及y＝b处 的四个边界条件得出Cl至C4的一组四个齐次线性 方程。 相应于薄板的任何振动，振形函数W必须具 有某一个非零解，因而系数Cl至C4不能都等零。 于是可以命上述齐次线性方程组的系数行列式等 于零，从而得到一个计算自然频率的方程。
例如，设y＝0的一边为简支边，而y＝b的一边为 固支边，则有如下的四个边界条件：
2 4 2 2 2
命k及n取不同的整数值，可以求得相应于不同振形 的自然频率
2 2 D k n 2 a 2 b2 m
当薄板以这一频率振动时，振形函数为
k x n y Wkn sin sin a b
而薄板的挠度为
kx ny w ( Akn cos knt Bkn sin knt ) sin sin a b
kn
D kn
当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简 单地得出自由振动的完整解答。
第三节 两对边简支的矩形薄板的
自由振动 取振形函数为
kx W Yk sin a
x
其中 Y k 是待定的 y的函数。 W 可 以满足该两简支边的边界条件。 将其代入振形微分方程
4W 4W 0
y
得出常微分方程
当k＝2而n＝1时，自然频率为
1 D 2 4 21 2 2 b m a
x
相应的振形函数为
2x y W21 sin sin a b
y
薄板在x方向有两个正弦半波，而在y方向只有一个 正弦半波。对称轴x＝a／2是一根节线(挠度为零的 线，亦即在薄板振动时保持静止的线）。振形如图 所示，图中的有阴线部分及空白部分表示相反方向 的挠度。
现在就可能比较简便地求得W的满足边界条件的、 函数形式的非零解，从而求得相应的 γ 值，然后再 用式 2
m
D 4
求出相应的频率。
将求出的那些振形函数及相应的频率取为Wk及 ωk，代入表达式
w wk ( Ak cosk t Bk sin k t )Wk ( x, y )
为了这一条件在薄板中面上的所有各点都能 满足，也就是在x和y取任意值时都能满足，必须 有 2
2 2 k n 4 4 0 a 2 b2
得到
k n a 2 b2
4 4 2 2 2
得出求自然频率的公式
D n D 4 k 2 2 m m a b
w wk ( Ak cosk t Bk sin k t )Wk ( x, y )
k 1 k 1
在这里，薄板上每一点 ( x，y)的挠度，被表示成为 无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐 振动的频率是ωk ，另一方面，薄板在每一瞬时 t的 挠度，则被表示成为无数多种振形下的挠度相叠加， 而每一种振形下的挠度是由振形函数 Wk(x，y)表示 的。
为了求出各种振形下的振形函数Wk，以及与之 相应的频率ωk，我们取
w ( A cost B sin t )W ( x, y )
2w D w m t 2
4
代入自由振动微分方程
然后消去因子(Acosωt十Bsinωt)，得出所谓振形微 分方程
4W
2m
D
W 0
如果可以由这一微分方程求得W的满足边界条件的 非零解，即可由相应的关系式(对任意的一点(x,y) 4 都成立） DW
(1) 试求薄板振动的频率，特别是最低频 率。 (2) 设已知薄板的初始条件，即已知初挠 度及初速度，试求薄板在任一瞬时的挠度。 当然，如果求得薄板在任一瞬时的挠度， 就易求得薄板在该瞬时的内力。
设薄板在平衡位置的挠度为we＝we(x，y)，这 时，薄板所受的横向静荷为q＝q(x，y)。按照薄板 的弹性曲面微分方程，我们有：
上述四个根成为±α及±iβ，而微分方程的解 可写为
Yk C1 chy C2 sh y C3 cosy C4 sin y
从而得振形函数的表达式
W (C1 ch y C2 sh y C3 cos y C4 sin y ) sin
kx a
在少数的情况下，γ2<k2π2/a2，而上面所示 的四个根都是实根，取正实数
当k＝n＝1时，得到薄板的最低自然频率
2 2 D k n 2 min a 2 b2 m
1 D 1 2 2 b m a
2
与此相应，薄板振动的振形函数为
W11 sin
x
a
sin
y
b
而薄板在x方向和y方向都只有一个正半弦波。最 大挠度发生在薄板的中央(x＝a／2，y＝b／2)。
第二节 四边简支的矩形薄板的 自由振动 当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简 单地得出自由振动的完整解答。取振形函数为 kx ny
W sin a sin b
其中 k及 n为整数，可以满足边界条件。代入振形 微分方程
4W 4W 0
得到
4 k 2 n 2 2 kx ny 4 sin sin 0 2 2 a b a b
命这一方程组的系数行列式等于零，展开以后，进 行Байду номын сангаас些简化，最后可得出
thb th b 0 b b
上列方程可以改写为
thb 2 m 2 2 / a 2 b 2 m 2 2 / a 2
th b 2 m 2 2 / a 2 b 2 m 2 2 / a 2
根据初始条件为
( w)t 0 w0 ( x, y ) w v0 ( x, y ) t t 0
可得
Akn C kn B kn
w
k 1 n 1
kx ny (Ckn cosknt sin knt ) sin sin kn a b Dkn
其中 m 为薄板每单位面积内的质量 ( 包括薄板本身 的质量和随薄板振动的质量)，则前式可以改写为
2 wt 4 D wt q qi q m 2 t
将上式与下式相减
D4 we q
得到
2 wt 4 D ( wt we ) m 2 t
由于we不随时间改变，所以上式可以改写成为
第十五章 薄板的振动问题
第一节 薄板的自由振动 第二节 四边简支板的 自由振动 第三节 两对边简支板的自由振动 第四节 圆形薄板的自由振动
第五节 用差分法求自然频率
第六节 用能量法求自然频率
第七节 薄板的受迫振动
第五章 薄板的振动问题
第一节 薄板的自由振动
关于薄板的振动问题，这里将只讨论薄板在 垂直于中面方向的所谓横向振动，因为这是工程 实际中的重要问题。
薄板在平行于中面方向的所谓纵向振动，由 于它在工程实际中无关重要，而且在数学上也难 以处理，所以不加讨论。首先来讨论薄板的自由 振动。
单自由度振动的例子
薄板自由振动的一般问题：在一定的横向 荷载作用下处于平衡位置的薄板，受到干扰力 的作用而偏离这一位置，当干扰力被除去以后， 在该平衡位置附近作微幅振动。
2 D4 ( wt we ) m 2 ( wt we ) t
在以下的分析中，为了简便，我们把薄板的挠 度不从平面位置起，而从平衡位置量起。于是薄板 在任一瞬时的挠度为w＝wt－we，而上式成为
2 w D4 w m t 2
这就是薄板自由振动的微分方程。
现在来试求微分方程的如下形式的解答
薄板的总挠度为
w ( Akn cosknt Bkn sin knt ) sin
k 1 n 1
kx ny sin a b
为了求得Am及Bm，须将已知的初挠度w0及初速 度v0展为Wm的级数
w0
k 1 n 1
k x n y Ckn sin sin a b
( w) y 0 0 ( w) y b 0 2w y 2 0 y 0 w y 0 y b
将W的表达式代入(γ2>k2π2/a2)，得到Cl至 C4的齐次 线性方程组，
C1 C2 0
2C1 2 0 ch bC1 sh bC2 cos b ch bC3 sin b ch bC4 0 sh bC1 ch bC2 sin bC3 cos bC4 0
k 1 k 1
就有可能利用初始条件求得该表达式中的系数Am 及Bm 。 ( w)t 0 w0 ( x, y ) 设初始条件为 w
v0 ( x, y ) t t 0
k 0
则由上式得
A W ( x, y ) w ( x, y )
k 1 k
k x n y sin a b k 1 n 1 4 a b k x n y Ckn w sin sin d xd y 0 0 0 ab a b 4 a b k x n y Dkn v sin sin d xd y 0 0 0 ab a b v0 Dkn sin
2
m W
求得相应的频率ω。自由振动的频率，称为自然频 率或固有频率，完全决定于薄板的固有特性，而 与外来因素无关。 实际上，只有当薄板每单位面积内的振动质 量为常量时，才有可能求得函数形式的解答。这 时，命
2m
D 4
则振形微分方程
4W
2m
D
W 0
简化为常系数微分方程
4W 4W 0
2 2 k 2 2 k m 2 2 2 a a D 2 2 k 2 2 k m 2 ' 2 2 a a D
从而得振形函数的表达式
kx W (C1 ch y C2 sh y C3 y ch ' y C4 y sh ' y ) sin a
D m
0
求得γ2的实根，即可求得自然频率ω
2
用如上方法求得的最低自然频率，可以表示 成为依赖于边长比值a／b算得的系数k值，并以表 来表示。
这样进行计算，虽然可以求得自然频率的精 确值，但代数运算和数值计算都是比较繁的。因 此，在工程实践中计算矩形板的自振频率，特别 是最低自然频率，不论边界条件如何，都宜用差 分法或能量法。
D4 we q
设薄板在振动过程中的任一瞬时 t 的挠度为 w e ＝ we( x， y) ，则薄板每单位面积上在该瞬时所受的 弹性力，将与横向荷载q及惯性力qi成平衡，即
D4wt q qi
注意薄板的加速度是
2 wt t 2
因而每单位面积上的惯性力
2 wt qi m 2 t
它的特征方程是
2 2 4 4 2 k k 4 2 2 r r 0 2 4 a a
m D
而这个代数方程的四个根是
k 2 2 2 a2
k 2 2 2 a2
在大多数的情况下，γ2>k2π2/a2，而上面所示的 四个根是两实两虚，取正实数
2 2 2 2 k m k 2 2 2 a D a 2 2 2 2 k m k 2 2 2 a D a
B W ( x, y ) v ( x, y )
k 1 k k k 0
于是可见，为了求得Am及Bm，须将已知的 初挠度w0及初速度v0展为Wm的级数，这在数学处 理上是比较困难的。 因此，只有在特殊简单的情况下，才有可能 求得薄板自由振动的完整解答，即任一瞬时的挠 度。在绝大多数的情况下，只可能求得各种振形 的振形函数及相应的频率。但是，这也就可以解 决工程上的主要问题了。
振型函数应满足边界条件。
不论在哪一种情况下，都可由y＝0及y＝b处 的四个边界条件得出Cl至C4的一组四个齐次线性 方程。 相应于薄板的任何振动，振形函数W必须具 有某一个非零解，因而系数Cl至C4不能都等零。 于是可以命上述齐次线性方程组的系数行列式等 于零，从而得到一个计算自然频率的方程。
例如，设y＝0的一边为简支边，而y＝b的一边为 固支边，则有如下的四个边界条件：
2 4 2 2 2
命k及n取不同的整数值，可以求得相应于不同振形 的自然频率
2 2 D k n 2 a 2 b2 m
当薄板以这一频率振动时，振形函数为
k x n y Wkn sin sin a b
而薄板的挠度为
kx ny w ( Akn cos knt Bkn sin knt ) sin sin a b
kn
D kn
当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简 单地得出自由振动的完整解答。
第三节 两对边简支的矩形薄板的
自由振动 取振形函数为
kx W Yk sin a
x
其中 Y k 是待定的 y的函数。 W 可 以满足该两简支边的边界条件。 将其代入振形微分方程
4W 4W 0
y
得出常微分方程
当k＝2而n＝1时，自然频率为
1 D 2 4 21 2 2 b m a
x
相应的振形函数为
2x y W21 sin sin a b
y
薄板在x方向有两个正弦半波，而在y方向只有一个 正弦半波。对称轴x＝a／2是一根节线(挠度为零的 线，亦即在薄板振动时保持静止的线）。振形如图 所示，图中的有阴线部分及空白部分表示相反方向 的挠度。
现在就可能比较简便地求得W的满足边界条件的、 函数形式的非零解，从而求得相应的 γ 值，然后再 用式 2
m
D 4
求出相应的频率。
将求出的那些振形函数及相应的频率取为Wk及 ωk，代入表达式
w wk ( Ak cosk t Bk sin k t )Wk ( x, y )
为了这一条件在薄板中面上的所有各点都能 满足，也就是在x和y取任意值时都能满足，必须 有 2
2 2 k n 4 4 0 a 2 b2
得到
k n a 2 b2
4 4 2 2 2
得出求自然频率的公式
D n D 4 k 2 2 m m a b
w wk ( Ak cosk t Bk sin k t )Wk ( x, y )
k 1 k 1
在这里，薄板上每一点 ( x，y)的挠度，被表示成为 无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐 振动的频率是ωk ，另一方面，薄板在每一瞬时 t的 挠度，则被表示成为无数多种振形下的挠度相叠加， 而每一种振形下的挠度是由振形函数 Wk(x，y)表示 的。
为了求出各种振形下的振形函数Wk，以及与之 相应的频率ωk，我们取
w ( A cost B sin t )W ( x, y )
2w D w m t 2
4
代入自由振动微分方程
然后消去因子(Acosωt十Bsinωt)，得出所谓振形微 分方程
4W
2m
D
W 0
如果可以由这一微分方程求得W的满足边界条件的 非零解，即可由相应的关系式(对任意的一点(x,y) 4 都成立） DW
(1) 试求薄板振动的频率，特别是最低频 率。 (2) 设已知薄板的初始条件，即已知初挠 度及初速度，试求薄板在任一瞬时的挠度。 当然，如果求得薄板在任一瞬时的挠度， 就易求得薄板在该瞬时的内力。
设薄板在平衡位置的挠度为we＝we(x，y)，这 时，薄板所受的横向静荷为q＝q(x，y)。按照薄板 的弹性曲面微分方程，我们有：
上述四个根成为±α及±iβ，而微分方程的解 可写为
Yk C1 chy C2 sh y C3 cosy C4 sin y
从而得振形函数的表达式
W (C1 ch y C2 sh y C3 cos y C4 sin y ) sin
kx a
在少数的情况下，γ2<k2π2/a2，而上面所示 的四个根都是实根，取正实数
当k＝n＝1时，得到薄板的最低自然频率
2 2 D k n 2 min a 2 b2 m
1 D 1 2 2 b m a
2
与此相应，薄板振动的振形函数为
W11 sin
x
a
sin
y
b
而薄板在x方向和y方向都只有一个正半弦波。最 大挠度发生在薄板的中央(x＝a／2，y＝b／2)。
第二节 四边简支的矩形薄板的 自由振动 当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简 单地得出自由振动的完整解答。取振形函数为 kx ny
W sin a sin b
其中 k及 n为整数，可以满足边界条件。代入振形 微分方程
4W 4W 0
得到
4 k 2 n 2 2 kx ny 4 sin sin 0 2 2 a b a b
命这一方程组的系数行列式等于零，展开以后，进 行Байду номын сангаас些简化，最后可得出
thb th b 0 b b
上列方程可以改写为
thb 2 m 2 2 / a 2 b 2 m 2 2 / a 2
th b 2 m 2 2 / a 2 b 2 m 2 2 / a 2
根据初始条件为
( w)t 0 w0 ( x, y ) w v0 ( x, y ) t t 0
可得
Akn C kn B kn
w
k 1 n 1
kx ny (Ckn cosknt sin knt ) sin sin kn a b Dkn
其中 m 为薄板每单位面积内的质量 ( 包括薄板本身 的质量和随薄板振动的质量)，则前式可以改写为
2 wt 4 D wt q qi q m 2 t
将上式与下式相减
D4 we q
得到
2 wt 4 D ( wt we ) m 2 t
由于we不随时间改变，所以上式可以改写成为
第十五章 薄板的振动问题
第一节 薄板的自由振动 第二节 四边简支板的 自由振动 第三节 两对边简支板的自由振动 第四节 圆形薄板的自由振动
第五节 用差分法求自然频率
第六节 用能量法求自然频率
第七节 薄板的受迫振动
第五章 薄板的振动问题
第一节 薄板的自由振动
关于薄板的振动问题，这里将只讨论薄板在 垂直于中面方向的所谓横向振动，因为这是工程 实际中的重要问题。
薄板在平行于中面方向的所谓纵向振动，由 于它在工程实际中无关重要，而且在数学上也难 以处理，所以不加讨论。首先来讨论薄板的自由 振动。
单自由度振动的例子
薄板自由振动的一般问题：在一定的横向 荷载作用下处于平衡位置的薄板，受到干扰力 的作用而偏离这一位置，当干扰力被除去以后， 在该平衡位置附近作微幅振动。
2 D4 ( wt we ) m 2 ( wt we ) t
在以下的分析中，为了简便，我们把薄板的挠 度不从平面位置起，而从平衡位置量起。于是薄板 在任一瞬时的挠度为w＝wt－we，而上式成为
2 w D4 w m t 2
这就是薄板自由振动的微分方程。
现在来试求微分方程的如下形式的解答
薄板的总挠度为
w ( Akn cosknt Bkn sin knt ) sin
k 1 n 1
kx ny sin a b
为了求得Am及Bm，须将已知的初挠度w0及初速 度v0展为Wm的级数
w0
k 1 n 1
k x n y Ckn sin sin a b
( w) y 0 0 ( w) y b 0 2w y 2 0 y 0 w y 0 y b
将W的表达式代入(γ2>k2π2/a2)，得到Cl至 C4的齐次 线性方程组，
C1 C2 0
2C1 2 0 ch bC1 sh bC2 cos b ch bC3 sin b ch bC4 0 sh bC1 ch bC2 sin bC3 cos bC4 0
k 1 k 1
就有可能利用初始条件求得该表达式中的系数Am 及Bm 。 ( w)t 0 w0 ( x, y ) 设初始条件为 w
v0 ( x, y ) t t 0
k 0
则由上式得
A W ( x, y ) w ( x, y )
k 1 k
k x n y sin a b k 1 n 1 4 a b k x n y Ckn w sin sin d xd y 0 0 0 ab a b 4 a b k x n y Dkn v sin sin d xd y 0 0 0 ab a b v0 Dkn sin
2
m W
求得相应的频率ω。自由振动的频率，称为自然频 率或固有频率，完全决定于薄板的固有特性，而 与外来因素无关。 实际上，只有当薄板每单位面积内的振动质 量为常量时，才有可能求得函数形式的解答。这 时，命
2m
D 4
则振形微分方程
4W
2m
D
W 0
简化为常系数微分方程
4W 4W 0
2 2 k 2 2 k m 2 2 2 a a D 2 2 k 2 2 k m 2 ' 2 2 a a D
从而得振形函数的表达式
kx W (C1 ch y C2 sh y C3 y ch ' y C4 y sh ' y ) sin a
D m
0
求得γ2的实根，即可求得自然频率ω
2
用如上方法求得的最低自然频率，可以表示 成为依赖于边长比值a／b算得的系数k值，并以表 来表示。
这样进行计算，虽然可以求得自然频率的精 确值，但代数运算和数值计算都是比较繁的。因 此，在工程实践中计算矩形板的自振频率，特别 是最低自然频率，不论边界条件如何，都宜用差 分法或能量法。
D4 we q
设薄板在振动过程中的任一瞬时 t 的挠度为 w e ＝ we( x， y) ，则薄板每单位面积上在该瞬时所受的 弹性力，将与横向荷载q及惯性力qi成平衡，即
D4wt q qi
注意薄板的加速度是
2 wt t 2
因而每单位面积上的惯性力
2 wt qi m 2 t