第1章后复习傅里叶变换教材
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傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明ppt课件
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2Eej24E2Eej2 j 2F 2 F
F 12 2 E ej24 E 2 E e j2
122Eej22ej2
2 E 2 ej4 e j4 2 2 E 2 2jsi4 n 2
2
8E2
s
in 4
2
4
精品4课件2
ESa2
2 4
29
X
例3-7-8
E
2
4 o 4
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频
带展宽，各分量的幅度下降a倍。
此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，
有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则 要以展开频带为代价。
精品课件
9
( 3 ) a 1 f t f t , F F F *
2．例
ut 1 1sgntF 1
22
j
精品课件
5
三．奇偶虚实性
若 f( t) F () ， f( t)则 F ( )
证明：
由定义
F f(t)f(t)e jtd tF ()
可以得到
F f ( t ) f ( t ) e j td t f ( u ) e j u d u F ( )
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
相移 t0左 右
t0 t0
时移加尺度变换
若 f(t)F() 则fatb1Fejab
a a
仿at
1 a
t的证
精品课件
明
过
程
11
六．频移特性
1．性质
若f(t) F()
则ff((tt))e e j j 0t0t F F 00 0为常数号 ，注
2．证明
傅里叶变换
+∞
=
−∞ +∞
f (x − x0)e−iξxdx
=
−∞
f (τ )e−iξτ e−iξx0 dx.
类似地也可证明第二式成立. 证毕.
ˆ(ξ ) = F [f (x)] a = 0 为 常 3. 相 似 性 质 设 f 数, 则 1ˆ ξ F [f (ax)] = f ( ) a a 特别地， 若 取 a = −1, 则 可得翻转公式 ˆ(−ξ ) F [f (−x)] = f
+∞ +∞
1
∞
kπx
kπx
{
−∞ −∞
ˆ(ξ )e−iξx dx}f (ξ )eiξx dξ . f
+∞ −∞
ˆ(ξ ) = F [f (x)] = f
f (x)e−iξx dx .
ˆ(ξ ) 的 傅 里 叶 逆 变 换 记 作 f f (x) = F
−1
ˆ(ξ )] = [f
1 2π
+∞ −∞
ˆ(ξ )eiξx dξ . f
7
(a) lim δ (x − x0) =
→0+
+∞ 0
+∞
x = x0 x = x0
(b)
lim
→0+
δ (x − x0)dx = 1
−∞
定 理 (筛 选 性 质) 对 在 点 a < x0 < b 的 邻 域 内 连续的任 意函数 ϕ(x) 有
b
δ (x − x0)ϕ(x)dx = ϕ(x0)
sinat πt
的傅里叶变
4
ˆ(ξ ) = f F
−1
a −a
e
−iξt
dt = − 1 2π
=
−∞ +∞
f (x − x0)e−iξxdx
=
−∞
f (τ )e−iξτ e−iξx0 dx.
类似地也可证明第二式成立. 证毕.
ˆ(ξ ) = F [f (x)] a = 0 为 常 3. 相 似 性 质 设 f 数, 则 1ˆ ξ F [f (ax)] = f ( ) a a 特别地， 若 取 a = −1, 则 可得翻转公式 ˆ(−ξ ) F [f (−x)] = f
+∞ +∞
1
∞
kπx
kπx
{
−∞ −∞
ˆ(ξ )e−iξx dx}f (ξ )eiξx dξ . f
+∞ −∞
ˆ(ξ ) = F [f (x)] = f
f (x)e−iξx dx .
ˆ(ξ ) 的 傅 里 叶 逆 变 换 记 作 f f (x) = F
−1
ˆ(ξ )] = [f
1 2π
+∞ −∞
ˆ(ξ )eiξx dξ . f
7
(a) lim δ (x − x0) =
→0+
+∞ 0
+∞
x = x0 x = x0
(b)
lim
→0+
δ (x − x0)dx = 1
−∞
定 理 (筛 选 性 质) 对 在 点 a < x0 < b 的 邻 域 内 连续的任 意函数 ϕ(x) 有
b
δ (x − x0)ϕ(x)dx = ϕ(x0)
sinat πt
的傅里叶变
4
ˆ(ξ ) = f F
−1
a −a
e
−iξt
dt = − 1 2π
傅里叶变换及其应用自学ppt
基本原理
欧拉幅角公式---复变函数
e
或者：
iwt
cos wt i sin wt
1 iwt iwt cos wt e e 2 1 iwt iwt sin wt e e 2
证明
欧拉公式建立了三角函数和指数函数之间的关系，在复变理论中占 有很重要的位置。
傅里叶变换和傅里叶积分定理
x=1
-4
0
4
8
-8
-4
0
4
8
s
s
s
卷积
卷积的含义
卷积描述了一个观测仪器在一些变量的小范围上对某些物理量进行加权平均的操作。常常 发生的情况是，加权函数的形式不随变量中心值得改变而改变，观测到的量是所要求的量 的分布和加权函数的卷积，而不是所要求的物理量本身的值。所有物理观测都以这种方式 受到仪器分辨能力的限制，也正是由于这个原因，卷积是无所不在的。
F s e
ds
傅里叶变换和傅里叶积分定理
一般地，不论非f(x)是奇函数、偶函数或者是一般函数，重复变换都将得到f(-x)。 可逆性傅里叶变换的常用公式为：
Fs
f x e i 2sx dx
f x F s ei 2sx ds
我们把F(s)称为f(x)的-i变换而把f(x)称为F(s)的+i变换；即：
g2 g n
f2
fm
对于用列矩阵 表达序列的情 况，交换律 {a}*{x}={x}* {a}不再适用。
假设{f}有5个元素，{g}有3个元素，则{h}有7个元素。
0 0 0 f0 f1 f2 f3 0 0 0 0 f0 f1 f2 0 0 0 0 0 f0 f1 0 g0 f0 g0 h0 h g 0 f g f g 1 0 0 1 1 1 0 g 2 f 2 g 0 f1 g1 f 0 g 2 h2 0 0 f 3 g 0 f 2 g1 f1 g 2 h3 0 0 f 4 g 0 f 3 g1 f 2 g 2 h4 0 0 f 4 g1 f 3 g 2 h5 h f0 f4 g2 0 6
欧拉幅角公式---复变函数
e
或者：
iwt
cos wt i sin wt
1 iwt iwt cos wt e e 2 1 iwt iwt sin wt e e 2
证明
欧拉公式建立了三角函数和指数函数之间的关系，在复变理论中占 有很重要的位置。
傅里叶变换和傅里叶积分定理
x=1
-4
0
4
8
-8
-4
0
4
8
s
s
s
卷积
卷积的含义
卷积描述了一个观测仪器在一些变量的小范围上对某些物理量进行加权平均的操作。常常 发生的情况是，加权函数的形式不随变量中心值得改变而改变，观测到的量是所要求的量 的分布和加权函数的卷积，而不是所要求的物理量本身的值。所有物理观测都以这种方式 受到仪器分辨能力的限制，也正是由于这个原因，卷积是无所不在的。
F s e
ds
傅里叶变换和傅里叶积分定理
一般地，不论非f(x)是奇函数、偶函数或者是一般函数，重复变换都将得到f(-x)。 可逆性傅里叶变换的常用公式为：
Fs
f x e i 2sx dx
f x F s ei 2sx ds
我们把F(s)称为f(x)的-i变换而把f(x)称为F(s)的+i变换；即：
g2 g n
f2
fm
对于用列矩阵 表达序列的情 况，交换律 {a}*{x}={x}* {a}不再适用。
假设{f}有5个元素，{g}有3个元素，则{h}有7个元素。
0 0 0 f0 f1 f2 f3 0 0 0 0 f0 f1 f2 0 0 0 0 0 f0 f1 0 g0 f0 g0 h0 h g 0 f g f g 1 0 0 1 1 1 0 g 2 f 2 g 0 f1 g1 f 0 g 2 h2 0 0 f 3 g 0 f 2 g1 f1 g 2 h3 0 0 f 4 g 0 f 3 g1 f 2 g 2 h4 0 0 f 4 g1 f 3 g 2 h5 h f0 f4 g2 0 6
chap1常用函数及其傅立叶变换
在空域中 g s(x,y)h (x,y)g (x,y)
所以有：
nm
n
m
g ( x ,y ) n m g ( 2 B x ,2 B y ) s i n c [ 2 B x ( x 2 B x ) ] s i n c [ 2 B y ( y 2 B y ) ]
F(u)
sinc( u ) sinc 2 ( u ) 1 (u u 0 ) 1 / j u comb( u )
函数
函数的定义：
(t ) lim Ne N 2t2 N
(t) lim N rect( Nt ) N
(t) lim N sinc( Nt ) N
则 F . T . g ( x , y ) h ( x , y ) G ( f x ,f y ) H ( f x ,f y )
No
四、常用函数及其傅立叶变换式
矩形函数 rect(
1
x)
1
/
2
0
x 1/2 x 1/2 x 1/2
Sinc函数 sinc( 符号函数 sgn(
则系统称为线性空间不变系统。
对于线性空 间不变系统，叠加积分：
g (x ,y ) f(,)h (x ,y )d d f(x ,y ) h (x ,y )
1.3 二维线性不变系统
二、二维线性不变系统的传递函数 1、空间频率
F(fx,fy) f(x,y)ej2(xx fyy f)dxdy
其中 H (fx ,fy ) F .T . h ( x ,y ) 叫线性空间不变系统的传
递函数
1.3 二维线性不变系统
章傅里叶变换-203页PPT资料
！ 利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将
其直流分量去掉，以免发生误判。
例 已知奇谐函数：
解
f (t) E
2
T1
o
T1
t
2
E2
f (t)
2
f (t T1 )
2
f (t) E
2
f (t)
E
cos(1t
T1 2
)
2
T1
o
2
sin 1t
E 2
T1 t
T1
o
2
sin ( 1 t
表示信号含有的各个频率分量 的相位。其横坐标为频率；纵坐 标对应各频率分量的相位 （n 单 位常用度或弧度）。
例
f(t)1,
kTt kT
2
2 ，求频谱
0,
其它
f (t)
1
T
2
o
2
T
t
解 （1）单边频谱：
An n2 T41T, sin(n21), nn002TSa(n21)
备正交函数的三个条件：
1. 归一化：
t2 t1
fi (t) fi*(t)dt
1
2. 归一正交化：
t2 t1
fi(t)fj*(t)dt0，ij
3. 归一化完备性：可以用其线性组合表示任意信号
3.2.1 傅里叶级数的三角形式
设三角函数的完备函数集为：
{ 1 , c o s 1 t , s i n 1 t , c o s 2 1 t , s i n 2 1 t ,, c o s k 1 t , s i n k 1 t ,}
第3章 傅里叶变换
重点：
其直流分量去掉，以免发生误判。
例 已知奇谐函数：
解
f (t) E
2
T1
o
T1
t
2
E2
f (t)
2
f (t T1 )
2
f (t) E
2
f (t)
E
cos(1t
T1 2
)
2
T1
o
2
sin 1t
E 2
T1 t
T1
o
2
sin ( 1 t
表示信号含有的各个频率分量 的相位。其横坐标为频率；纵坐 标对应各频率分量的相位 （n 单 位常用度或弧度）。
例
f(t)1,
kTt kT
2
2 ，求频谱
0,
其它
f (t)
1
T
2
o
2
T
t
解 （1）单边频谱：
An n2 T41T, sin(n21), nn002TSa(n21)
备正交函数的三个条件：
1. 归一化：
t2 t1
fi (t) fi*(t)dt
1
2. 归一正交化：
t2 t1
fi(t)fj*(t)dt0，ij
3. 归一化完备性：可以用其线性组合表示任意信号
3.2.1 傅里叶级数的三角形式
设三角函数的完备函数集为：
{ 1 , c o s 1 t , s i n 1 t , c o s 2 1 t , s i n 2 1 t ,, c o s k 1 t , s i n k 1 t ,}
第3章 傅里叶变换
重点：
傅里叶变换及反变换PPT课件
即实信号的频谱是共轭对称函数
F( j ) Re[F( j )] j Im[F( j )] F*( j ) Re[F( j )] j Im[F( j )] 或者说，频谱的实部为偶函数，虚部为奇函数； 或者说，|F(j)|为偶函数，()为奇函数。
第14页/共37页
4 共轭特性
f (t) F( j)，则 f * (t) F * ( j)
2
F
(
j
)
e
j
t
d
1
2
F(
j )
d
e
j t
①：非周期信号可以分解成无穷多个 e jt 的连续和；
②：发生在一切频率上，是连续变化的；
③：各频率分量的系数 1 F( j )d ，本身是无穷小量， 但F(jw)描述了各频率分量的2相对关系，即描述了f(t)的频率特性；
④：F(jw) 称为“频谱密度函数”，简称“频谱函数”或“频谱”； F ( j) F ( j) e j() F( j ) ~ 幅度谱； () ~ 相位谱
f (t) 1
F
(
j
)
e
j
t
d
2
第18页/共37页
6 时域展缩特性：
f (t) F( j)，则 f (at) 1 F( j ) , a 是不为零的实数
aa
|a|>1 时域压缩，频域扩展 |a|<1 时域扩展，频域压缩
解： f (at) f (at)e jtdt
1
at
a
1
a
G
(t
)
Sa
2
c
Sact
G2c
( )
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常用的傅里叶变换对
F( j ) Re[F( j )] j Im[F( j )] F*( j ) Re[F( j )] j Im[F( j )] 或者说，频谱的实部为偶函数，虚部为奇函数； 或者说，|F(j)|为偶函数，()为奇函数。
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4 共轭特性
f (t) F( j)，则 f * (t) F * ( j)
2
F
(
j
)
e
j
t
d
1
2
F(
j )
d
e
j t
①：非周期信号可以分解成无穷多个 e jt 的连续和；
②：发生在一切频率上，是连续变化的；
③：各频率分量的系数 1 F( j )d ，本身是无穷小量， 但F(jw)描述了各频率分量的2相对关系，即描述了f(t)的频率特性；
④：F(jw) 称为“频谱密度函数”，简称“频谱函数”或“频谱”； F ( j) F ( j) e j() F( j ) ~ 幅度谱； () ~ 相位谱
f (t) 1
F
(
j
)
e
j
t
d
2
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6 时域展缩特性：
f (t) F( j)，则 f (at) 1 F( j ) , a 是不为零的实数
aa
|a|>1 时域压缩，频域扩展 |a|<1 时域扩展，频域压缩
解： f (at) f (at)e jtdt
1
at
a
1
a
G
(t
)
Sa
2
c
Sact
G2c
( )
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常用的傅里叶变换对
第一章 傅里叶分析
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《傅里叶光学•第2版》电子教案
第一章主要内容
1、常用函数
2、卷积和相关 3、空间频率及空间频谱 4、傅里叶级数 5、傅里叶变换
本章教学目标
1、本章及下一章内容都将介绍傅里叶光学中基础理论， 包括常用函数、常见的光学运算，以及傅里叶变换方 法和线性系统理论。
圆孔光瞳的非相干脉冲响应 以及圆孔的夫琅和费衍射图样
1、一些常用函数
需要特别说明的是，上面提到的常用函数有的本身就是二维函
数，而那些只给出一维形式的函数也具有二维形式，这里不再赘 述，只给出这些常用二维函数的图形化表示。 二维矩形函数
x x0 y y 0 x x0 y y0 rect ( , ) rect ( )rect ( ) b d b d
x y Circ r0
2 2
应用
1 0 x 2 y 2 r0 others
常用来表示圆孔的透过率。
1、一些常用函数 * 8）斜坡函数( Ramp function) 定义 应用
x x0 常用来表示边界透过率的灰阶变化。 0, x x0 b b ram p( ) x x0 x x0 b , b b b
( x n, y m) comb x comb y
n m
( x na, y mb)
1 x y comb comb ab a b
应用 常用二维梳状函数表示点 光源阵列或小孔阵列的透 过率函数。
1、一些常用函数
二维高斯函数
Gauss( x x0 y y0 x x0 y y0 , ) Gauss( )Gaus( ) b d b d
第一章主要内容
1、常用函数
2、卷积和相关 3、空间频率及空间频谱 4、傅里叶级数 5、傅里叶变换
本章教学目标
1、本章及下一章内容都将介绍傅里叶光学中基础理论， 包括常用函数、常见的光学运算，以及傅里叶变换方 法和线性系统理论。
圆孔光瞳的非相干脉冲响应 以及圆孔的夫琅和费衍射图样
1、一些常用函数
需要特别说明的是，上面提到的常用函数有的本身就是二维函
数，而那些只给出一维形式的函数也具有二维形式，这里不再赘 述，只给出这些常用二维函数的图形化表示。 二维矩形函数
x x0 y y 0 x x0 y y0 rect ( , ) rect ( )rect ( ) b d b d
x y Circ r0
2 2
应用
1 0 x 2 y 2 r0 others
常用来表示圆孔的透过率。
1、一些常用函数 * 8）斜坡函数( Ramp function) 定义 应用
x x0 常用来表示边界透过率的灰阶变化。 0, x x0 b b ram p( ) x x0 x x0 b , b b b
( x n, y m) comb x comb y
n m
( x na, y mb)
1 x y comb comb ab a b
应用 常用二维梳状函数表示点 光源阵列或小孔阵列的透 过率函数。
1、一些常用函数
二维高斯函数
Gauss( x x0 y y0 x x0 y y0 , ) Gauss( )Gaus( ) b d b d
傅里叶变换专题教育课件
Ω
-
2
３双边奇指数信号
et
f
(t )
e t
旳傅里叶变换为 ：
t 0 t 0
f (t) 1
0
t
F () f (t)e jt dt
-1
0 et e jt dt et e jt dt
0
1
j
2 2 2
| F() |
其幅度频谱和相位频谱为
|
F
()
|
2
2
||
2
() 2
2
0 0
2.在任何有限区间内，只有有限个最大值和最小值。
3.在任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在 每个不连续点上信号都必须取有限值，这时傅里叶 变换收敛于间断点两边函数值旳平均值。
常见非周期信号旳傅里叶变换
１矩形脉冲信号
f(t)
E
E f (t )
0
| t |
2
| t |
2
-
0
t
2
2
E：脉冲幅度，τ：脉冲宽度。其傅里叶变换为
信号可进行傅里叶变换旳条件： 一般来讲，若信号函数满足绝对可积条件，即：
f (t) dt
则信号可进行傅里叶变换。注：此式只是信号函数进行傅里叶变换 旳充分条件。在引入广义函数后，有些不满足此式旳信号函数也能够 进行傅里叶变换。
周期信号旳傅里叶变换：
设有周期性矩形脉冲信号f(t)，
E
f (t )
“非周期信号都能够用正弦信号旳 加权积分来表达”——傅里叶旳第 二个主要论点
§3 傅里叶变换
3.2信号旳傅里叶变换 傅里叶变换有下列积分定义：
： 傅里叶正变换公式
F () F [ f (t )] f (t )e jt dt
傅里叶变换原理PPT课件
根据傅氏积分公式，函数f(t)能取傅立叶积分变换的前提条件是它首 先应绝对可积，即
实际上这个条件非常强，它要求f(t)条件较高，因而一些常见的函数都不 满足这一点.如
34
第34页/共53页
如此以来，较强的条件使得傅立叶变换的应 用受到限制. 为克服这一缺陷，我们把单位脉冲 函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换 中，得到它们的广义傅氏变换. 实际运算时，我 们通常用傅氏逆变换来推证.
15
第15页/共53页
简称傅氏变换,记为 简称傅氏逆变换,记为
F F
还可以将 f(t) 和 F(w)用箭头连接: f(t) F(w) .
16
第16页/共53页
f (t)
o
第17页/共53页
t
17
解:根据定义, 有
这就是指数衰减函数的傅氏变换.
18
第18页/共53页
根据积分表达式的定义,有
注意到
1
2
1 2
1 2
1 2
1, 0,
t0 t0
u(t ).
证毕.
38
第38页/共53页
例3 求
的傅氏逆变换.
解：由定义，有
F 1[d (w w0 )]
1
2
d
(w
w0
)e iw
t
dw
特别地 故 得到
1 e iw0 t .
2
F 1[d (w)]
1
2
.
39
第39页/共53页
于是，有
例4 求正弦函数 f(t)=sinw0 t 的傅氏变换.
基于这种思想，便产生了积分变换.
其主要体现在：
数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与 普通乘积之间的互相转化.
实际上这个条件非常强，它要求f(t)条件较高，因而一些常见的函数都不 满足这一点.如
34
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如此以来，较强的条件使得傅立叶变换的应 用受到限制. 为克服这一缺陷，我们把单位脉冲 函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换 中，得到它们的广义傅氏变换. 实际运算时，我 们通常用傅氏逆变换来推证.
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简称傅氏变换,记为 简称傅氏逆变换,记为
F F
还可以将 f(t) 和 F(w)用箭头连接: f(t) F(w) .
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f (t)
o
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t
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解:根据定义, 有
这就是指数衰减函数的傅氏变换.
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根据积分表达式的定义,有
注意到
1
2
1 2
1 2
1 2
1, 0,
t0 t0
u(t ).
证毕.
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例3 求
的傅氏逆变换.
解：由定义，有
F 1[d (w w0 )]
1
2
d
(w
w0
)e iw
t
dw
特别地 故 得到
1 e iw0 t .
2
F 1[d (w)]
1
2
.
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于是，有
例4 求正弦函数 f(t)=sinw0 t 的傅氏变换.
基于这种思想，便产生了积分变换.
其主要体现在：
数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与 普通乘积之间的互相转化.
傅里叶变换及其性质课件
f(t) 1
e－t ＞0)
X( )
1
－ et
o －1
(a)
t
o
图 2.4-4 例 2.4-4 (a) 信号f(t); (b) 频谱
学习交流PPT
－
1
(b)
31
解 图示信号f(t)可表示为
f
(t)
e at
e at
t 0
(a>0)
t 0
F(j) 0eatejtdt etejtdt
0
1 1
Fn趋于无穷小量，但
Fn
T
可2望Fn趋
于
有
限
值
，
且
为
一
个连续函数，通常记为F(jω)，即
学习交流PPT
18
f(t)lim F nej n t 1F (j )ej td
T n
2
非周期信号的傅里叶变换可简记为
一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对
可积， 即要求
f (t)dt 学习交流PPT
( ) arctan
学习交流PPT
28
例 2.4-3 求图 2.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。
学习交流PPT
29
f (t)
1
et
e－t ＞0)
)
图 2.4-3
(a) 双边指学习数交流函PPT数； (b) 频谱
30
例 2.4-4 求图 2.4-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。
学习交流PPT
23
学习交流PPT
24
2.4.3 典型信号的傅里叶变换
例 2.4-1 图 2.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度 为τ， 高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。
傅里叶变换(课堂PPT)
f(t)21 2g()ejtd
F
f(t)2g()
.
46
例题4.9 求
2
1 t2
的傅里叶变换。
解：根据例题4.2，我们有，
F
e|t|
2
12
利用对偶性
2
F
2e||
1t2
.
47
利用对偶性来进一步分析和推导傅里叶变换的性质。 （1）下面将微分性质与对偶性结合，可得，
jt(xt) F d X() d
.
56
在这里，我们进一步来理解频谱 X( j) 的含义。
我们将一个信号除 [0,0] 以外的频率分量“滤掉”
x(t)
带通滤波器
x0 (t)
.
57
x0 (t) 的能量就等于
1 | 0 X(j)|2 d
2 0
可以说，| X(j0)|2 表示了信号 x (t ) 在 0 处的能量密度。
从这个意义上来说，
.
49
4.3.7 帕斯瓦尔（Parseval）定理 可以证明，对于能量有限信号
能谱密度
|x(t)|2d t1
|X(j
)|2d
2
信号在时域里面的能量
信号在频域里面的能量
.
50
对于周期信号，那么上面公式的左边将为无穷大。 我们有帕斯瓦尔定律的另一种形式
1
T0
|
T0
x(t)|2
d
t |ak
.
2
抽样函数或者称为采样函数：
Sa(x) sinx x
S(ax)S(a x) 偶函数
通过罗必塔法则，可以得到
Sa(0) 1
Sa()0
x 抽样函数右边的第一个过零点在
傅里叶变换及其性质课件
若 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(omega)$，则 $f(at)（a>0）$ 的傅里叶变换为 $aF(frac{omega}{a})$。
应用
频移性质在信号调制和解调中非常有 用，例如在通信系统中的振荡器设计 和频率调制。
共轭性质
共轭性质
若 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(omega)$，则 $f(-t)$ 的傅里叶 变换为 $overline{F(-omega)}$。
05
傅里叶变换的扩展
离散傅里叶变换
定义
离散傅里叶变换（DFT）是一种将离散时间信号转换为频域表示的方法。它将一个有限长 度的离散时间信号序列通过数学运算转换为复数序列，表示信号的频域特征。
性质
离散傅里叶变换具有线性、时移性、频移性、共轭对称性和周期性等性质。这些性质使得 离散傅里叶变换在信号处理、图像处理、数字通信等领域得到广泛应用。
度和相位信息。
02 03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用，如滤波、去噪、压缩等。通 过对信号进行傅里叶变换，可以提取出信号中的特征信息，实现信号的 分类、识别和分类。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有着重要的应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。通过对图像进行傅里叶变换，可以提取出图像中的特征信 息，实现图像的分类、识别和分类。
傅里叶变换的分类
离散傅里叶变换（DFT）
对时间域或空间域的信号进行离散采样，然后对离散的采样值进行傅里叶变换 。DFT广泛应用于数字信号处理和图像处理等领域。
快速傅里叶变换（FFT）
一种高效计算DFT的算法，能够在 $O(Nlog N)$ 的时间内计算出 $N$ 个采样 值的 DFT，大大提高了计算效率。FFT广泛应用于信号处理、图像处理等领域 。
应用
频移性质在信号调制和解调中非常有 用，例如在通信系统中的振荡器设计 和频率调制。
共轭性质
共轭性质
若 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(omega)$，则 $f(-t)$ 的傅里叶 变换为 $overline{F(-omega)}$。
05
傅里叶变换的扩展
离散傅里叶变换
定义
离散傅里叶变换（DFT）是一种将离散时间信号转换为频域表示的方法。它将一个有限长 度的离散时间信号序列通过数学运算转换为复数序列，表示信号的频域特征。
性质
离散傅里叶变换具有线性、时移性、频移性、共轭对称性和周期性等性质。这些性质使得 离散傅里叶变换在信号处理、图像处理、数字通信等领域得到广泛应用。
度和相位信息。
02 03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用，如滤波、去噪、压缩等。通 过对信号进行傅里叶变换，可以提取出信号中的特征信息，实现信号的 分类、识别和分类。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有着重要的应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。通过对图像进行傅里叶变换，可以提取出图像中的特征信 息，实现图像的分类、识别和分类。
傅里叶变换的分类
离散傅里叶变换（DFT）
对时间域或空间域的信号进行离散采样，然后对离散的采样值进行傅里叶变换 。DFT广泛应用于数字信号处理和图像处理等领域。
快速傅里叶变换（FFT）
一种高效计算DFT的算法，能够在 $O(Nlog N)$ 的时间内计算出 $N$ 个采样 值的 DFT，大大提高了计算效率。FFT广泛应用于信号处理、图像处理等领域 。
《傅立叶基础知识》PPT课件
0
f t
0
K
0
t
O
自动化学院408教研室
2021年4月24日 24
f t
单边指数信号
f
t
0
t
t0
e
t0
f t
1
t
O
O
t
通常把 1称为指数信号的时间常数，代表信号衰减速
度，具有时间的量纲。
重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
自动化学院408教研室
2021年4月24日 25
2、正弦信号
2021年4月24日 30
一、正交矢量
矢量：V1 和 V2 参加如下运算， 如下式：
Ve
是它们的差，
V1 c12V2 Ve
V1
Ve
V2
c12V2
自动化学院408教研室
V1
Ve V2
c12V2
V1
Ve V2
c12V2
2021年4月24日 31
c12V2 V1 cos
c12
V1.V2 V22
V1V2 cos
f (t) K sin(t )
f tT
K
2π
O
2π
衰减正弦信号：
K et sint
f (t) 0
自动化学院408教研室
t
t0 0
t0
2021年4月24日 26
3．复指数信号
f (t ) Kest
( t )
Ke t cos t jKet sin t
s j 为复数，称为复频率
f
2 2
(t
)dt
自动化学院408教研室
2021年4月24日 35
第2讲一维傅里叶变换(复习)
13
卷积过程图示（1）
步骤:
1.用哑元 画出函数f()和h(); 2.将h()折叠成h(-); 3.将h(-)移位至给定的x, h[-( -x)]= h(x -); 4.二者相乘; 5. 乘积函数曲线下面积 的值即为g(x).
g(x) 2/15
14
f() 1/3 0 f() 4 6
coskxdx 0
(k 1,2,3,...) (k 1,2,3,...) (k l , k , l 1,2,3,...) (k l , k , l 1,2,3,...)
2
sin kxdx 0
sin kx sin lxdx 0 coskx coslxdx 0
• 对于 函数一类的广义函数可以用广义的方法来定义，即如果函 数可以看作是某个可变换函数所组成的序列的极限，对序列中的 每一个函数进行变换，组成一个变换式的序列，该序列的极限就 是原来函数的广义傅里叶变换 • 例：函数 g x 1不符合傅里叶变换条件，傅里叶变换积分不收 敛 x • 但是有 g x lim rect • 矩形函数的傅里叶变换为
h()
1/5 0
5 9 h(-)
1/3 0 4 6
-9 -5 h(x-) 0
1/5
0
x-9
4 6 x-5
x
x
0
9
11
13
15
卷积过程图示（1）
• 原函数 • 折叠 • 位移
15
•相乘—得到被积函数
16
卷积过程的两个效应
• 展宽 • 平滑化：被积函数经过卷 积运算，其微细结构在一 定程度上被消除，函数本 身的起伏变得平缓圆滑。
卷积过程图示（1）
步骤:
1.用哑元 画出函数f()和h(); 2.将h()折叠成h(-); 3.将h(-)移位至给定的x, h[-( -x)]= h(x -); 4.二者相乘; 5. 乘积函数曲线下面积 的值即为g(x).
g(x) 2/15
14
f() 1/3 0 f() 4 6
coskxdx 0
(k 1,2,3,...) (k 1,2,3,...) (k l , k , l 1,2,3,...) (k l , k , l 1,2,3,...)
2
sin kxdx 0
sin kx sin lxdx 0 coskx coslxdx 0
• 对于 函数一类的广义函数可以用广义的方法来定义，即如果函 数可以看作是某个可变换函数所组成的序列的极限，对序列中的 每一个函数进行变换，组成一个变换式的序列，该序列的极限就 是原来函数的广义傅里叶变换 • 例：函数 g x 1不符合傅里叶变换条件，傅里叶变换积分不收 敛 x • 但是有 g x lim rect • 矩形函数的傅里叶变换为
h()
1/5 0
5 9 h(-)
1/3 0 4 6
-9 -5 h(x-) 0
1/5
0
x-9
4 6 x-5
x
x
0
9
11
13
15
卷积过程图示（1）
• 原函数 • 折叠 • 位移
15
•相乘—得到被积函数
16
卷积过程的两个效应
• 展宽 • 平滑化：被积函数经过卷 积运算，其微细结构在一 定程度上被消除，函数本 身的起伏变得平缓圆滑。
《傅里叶变换详解》课件
单击添加标题
原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
单击添加标题
应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
单击添加标题
展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量
原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
单击添加标题
应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
单击添加标题
展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量
第1章 傅立叶变换
1.3.3 微分性质
（1）象原函数的微分性质
-
(t)e- jwt dt
e- jw t
t
1 0
可见, t 与常数1构成了一个傅氏变换对,即
ℱ [ t ]=1, ℱ -1[1]= . t
t 1
t - t0 与 e- jwt0也构成了一个傅氏变换对,即 t - t0 e-jwt0
(1) (t -t0) 0 (t0 0)
(2)
-
(t -t0)dt
1
(t - t0 )
o
t0
t
1.2.3 函数的性质 （1）对任意的连续函数 f ( t ) ,都有
(t)f(t)dt=f0 -
- (t-t0)f(t)dtft0
则 (1.1)可 写 为
fT(t)c0 cnejwnt c-ne-jwnt cnejwnt(1.2)
n1
n-
对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某 个周期函数fT(t)当T时转化而来的.
作周期为T 的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内等 于f(t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T 延拓到整个数
f()e-jw
-
dejwt
dw
• 例1 计算 e-(jw)tdt -
(0为,w实常数）
•解
e dt 2 -(jw)t
e-( jw )t dt
0
-
-2jwe-(jw)t 02jw
• 我们可以证明
•
•
p e- t2co std t e- 2/(4 )
fT(t)a20
(ancosnwt
经典的傅里叶变换下一般人都能看明白PPT课件
当它乘以3的时候它的长度发生了变化变成了蓝色的线段而当它乘以1的时候就变成了绿色的线段或者说线段在数轴上围绕原点旋转了180我们知道乘1其实就是乘了两次i使线段旋转了180度那么乘一142021同时我们获得了一个垂直的虚数轴
傅里叶变换（下）
孔 孔 出品
2020/1/7
1
上次的关键词是：从侧面看。这次的关键词是：从下面看。
17
这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义
欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时 间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基 础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。
3
下面我们继续说相位谱：
通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没
有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而
没有提到相位。基础的正弦波A.sin（wt+θ）中，振幅，频率，相位缺一不可，不同
相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们
是否有一种数学工具将连续非周期信号变换为周期离散信号呢？抱歉，真没有。
比如傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离 散的函数。这句话比较绕嘴，实在看着费事可以干脆回忆第一章的图片。
2020/1/7
8
而在我们接下去要讲的傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续 信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。
但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。
所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的
傅里叶变换（下）
孔 孔 出品
2020/1/7
1
上次的关键词是：从侧面看。这次的关键词是：从下面看。
17
这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义
欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时 间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基 础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。
3
下面我们继续说相位谱：
通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没
有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而
没有提到相位。基础的正弦波A.sin（wt+θ）中，振幅，频率，相位缺一不可，不同
相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们
是否有一种数学工具将连续非周期信号变换为周期离散信号呢？抱歉，真没有。
比如傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离 散的函数。这句话比较绕嘴，实在看着费事可以干脆回忆第一章的图片。
2020/1/7
8
而在我们接下去要讲的傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续 信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。
但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。
所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的
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af1(t) bf2 (t) aF1( j) bF2 ( j) 例1 例2 二、奇偶虚实性
如果f(t)是一个实函数，并且 f (t) F( j)
其中，F( j) F( j) e j R jX
F( j) R2 X 2
()
arctan
X R
则有： 1) R() R() ，X () X ()，
FT 1(t) 2 ()
7、符号函数（不满足傅里叶变换充分条件）的傅里叶变换
1, t 0
符号函数 sgn(t) 0,
t 0
1,
t 0
FT sgn(t) 2
j
8、单位阶跃函数的傅里叶变换
FT (t) () 1
j
傅里叶变换的性质
一、线性性质 如果 f1(t) F1( j) ， f2 (t) F2 ( j)，那么有
其中，t0为实常量。 例1 例2
六、频移特性（调制特性） 如果 f (t) F( j) ，那么有
e j0t f (t) F j 0
其中， 0为实常量。 例1 例2
七、卷积性质 如果 f1(t) F1( j) ， f2 (t) F2 ( j)，那么有
f1(t) f2 (t) F1( j) F2 ( j)
F( j) F( j) ， () () ； 2) f (t) F ( j) F ( j)，即时域对称翻转，频域也
会对称翻转；
3) 如果 f (t) f (t) ，那么 X () 0 ，F( j) R()； 如果 f (t) f (t) ，那么 R() 0 ，F( j) jX ()。
FT
g
(t)
Sa
2
sin
2
2
2、单边指数函数的傅里叶变换
FT
et
(t)
1
j
其中， 0且为实数。
3、双边指数函数的傅里叶变换
FT
e
t
2 2 2
其中， 0且为实数。
4、单位冲激函数的傅里叶变换
FT (t) 1
5、冲激偶的傅里叶变换
FT (t) j
6、直流信号（不满足傅里叶变换充分条件）的傅里叶变 换
jt n f (t) F(n) j
f
0
t
f t
jt
F ( jx)dx
F 1
j
其中，
f (0) 1
F( j)d
。
2
例1 例2 例3
当堂练习：
1、P30 8 2) 3) 2、P31 13
3、FT
t 2
1 2t
3
?
4、用傅立叶变换的微积分特性求 FT t ?
5、
F j 2 d ?
f1(t)
f2 (t)
1
2
F1(
j) F2 (
j)
例
八、时域的微分和积分特性
如果 f (t) F( j) ，那么有
f (n) (t) jn F j
t
f
( x)dx
F (0)
F
j
j
其中，F (0) F ( j) f (t)dt。
0
例1 例2
九、频域的微分和积分特性
如果 f (t) F( j) ，那么有
三、对称性质 如果 f (t) F( j) ，那么有
例1 例2
F( jt) 2 f ()
四、尺度变换性质 如果 f (t) F( j) ，那么有 f (at) 1 F ( j )
aa
其中，a为非零实常量。 特例：当a=-1时，则 f (t) F( j)。 例1 例2
五、时移特性 如果 f (t) F( j) ，那么有 f (t t0 ) e jt0 F ( j)
6、在实际的模拟信号的数字处理方法中用到了几个 滤波器？各是什么类型的滤波器？它们模拟信号的数 字处理过程中各起了什么作用？
复习傅里叶变换的相关知识
非周期信号的傅里叶变换
傅里叶变换定义为：
F ( j) f (t)e jtdt
傅里叶反变换定义为：
f (t) 1 F( j)e jtd
2
傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内f(t)绝对可积：
f (t) dt 0
常用函数的傅里叶变换
1、矩形脉冲（门函数）的傅里叶变换
如果f(t)是一个实函数，并且 f (t) F( j)
其中，F( j) F( j) e j R jX
F( j) R2 X 2
()
arctan
X R
则有： 1) R() R() ，X () X ()，
FT 1(t) 2 ()
7、符号函数（不满足傅里叶变换充分条件）的傅里叶变换
1, t 0
符号函数 sgn(t) 0,
t 0
1,
t 0
FT sgn(t) 2
j
8、单位阶跃函数的傅里叶变换
FT (t) () 1
j
傅里叶变换的性质
一、线性性质 如果 f1(t) F1( j) ， f2 (t) F2 ( j)，那么有
其中，t0为实常量。 例1 例2
六、频移特性（调制特性） 如果 f (t) F( j) ，那么有
e j0t f (t) F j 0
其中， 0为实常量。 例1 例2
七、卷积性质 如果 f1(t) F1( j) ， f2 (t) F2 ( j)，那么有
f1(t) f2 (t) F1( j) F2 ( j)
F( j) F( j) ， () () ； 2) f (t) F ( j) F ( j)，即时域对称翻转，频域也
会对称翻转；
3) 如果 f (t) f (t) ，那么 X () 0 ，F( j) R()； 如果 f (t) f (t) ，那么 R() 0 ，F( j) jX ()。
FT
g
(t)
Sa
2
sin
2
2
2、单边指数函数的傅里叶变换
FT
et
(t)
1
j
其中， 0且为实数。
3、双边指数函数的傅里叶变换
FT
e
t
2 2 2
其中， 0且为实数。
4、单位冲激函数的傅里叶变换
FT (t) 1
5、冲激偶的傅里叶变换
FT (t) j
6、直流信号（不满足傅里叶变换充分条件）的傅里叶变 换
jt n f (t) F(n) j
f
0
t
f t
jt
F ( jx)dx
F 1
j
其中，
f (0) 1
F( j)d
。
2
例1 例2 例3
当堂练习：
1、P30 8 2) 3) 2、P31 13
3、FT
t 2
1 2t
3
?
4、用傅立叶变换的微积分特性求 FT t ?
5、
F j 2 d ?
f1(t)
f2 (t)
1
2
F1(
j) F2 (
j)
例
八、时域的微分和积分特性
如果 f (t) F( j) ，那么有
f (n) (t) jn F j
t
f
( x)dx
F (0)
F
j
j
其中，F (0) F ( j) f (t)dt。
0
例1 例2
九、频域的微分和积分特性
如果 f (t) F( j) ，那么有
三、对称性质 如果 f (t) F( j) ，那么有
例1 例2
F( jt) 2 f ()
四、尺度变换性质 如果 f (t) F( j) ，那么有 f (at) 1 F ( j )
aa
其中，a为非零实常量。 特例：当a=-1时，则 f (t) F( j)。 例1 例2
五、时移特性 如果 f (t) F( j) ，那么有 f (t t0 ) e jt0 F ( j)
6、在实际的模拟信号的数字处理方法中用到了几个 滤波器？各是什么类型的滤波器？它们模拟信号的数 字处理过程中各起了什么作用？
复习傅里叶变换的相关知识
非周期信号的傅里叶变换
傅里叶变换定义为：
F ( j) f (t)e jtdt
傅里叶反变换定义为：
f (t) 1 F( j)e jtd
2
傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内f(t)绝对可积：
f (t) dt 0
常用函数的傅里叶变换
1、矩形脉冲（门函数）的傅里叶变换