微积分经管类整理(期中考试前)

微积分讲义（期中考试之前）

1、求极限

（1）有界量与无穷小的乘积是无穷小； 求极

⎪⎭⎫

⎝⎛--+→211cos 4

lim x x x x （2）变换根号，利用()()22-的形式（很是常见）

； 求极限(

)

11lim

2

2

+--

+++∞

→x x x x x

求极限x

x x 11lim

-+→

（3）利用书本第32页的公式； 求极限()

()

()

5

4112lim

2

4

3

-++--+∞

→x x

x x x

x

求极限x x x x x sin 53cos 7lim +++∞

→ 求极限1

3

1

1lim

3

1

--

-→x x x

求极限()

()

2

100

100

2

3

22

3lim

++∞

→x

x

x

（4）两个重要极限1*

sin*lim

*=→、e =⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+∞→*

**11lim 或()e =+→*1

0**1lim （*可以是一个变量或

表达式！自己灵活应用） 求极限2

2cos 1lim

x

x

x -→

求极限x

x x 2sin

lim ∞

→

求极限()x x x sin 2

31lim +→

（5）等价无穷小，书本P43的公式必须记住。另外还有三个比较重要的等价无穷小：

21

sin tan lim

3

=

-→x

x

x x 、6

1sin lim

3

=

-→x

x

x x 、3

1tan lim

3

=

-→x

x

x x ；（老老实实记公式）

求极限()

x

x x x x x 3

sin sin tan tan lim

-→

求极限()()x

x x e

x

x 2

2

2

tan cos 11

lim

--→

（6）利用洛必达法则！（最最基本的）

求极限x x x +

→0

lim

求极限4

20

2

1lim

x

e

x x

x -→--

（7）求极限中的未知量 设,83lim =⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+∞

→x

x a x a x 求a ；

注：①夹逼准则和单调有界收敛准则就不会为难大家了吧； ②要看清楚x 趋向于什么； ③有些极限是不存在的，例如x

x 1sin

lim 0

→；

2、函数的连续性问题

这一类大概会问你函数是否连续或者让你判断间断点的类型，步骤是：

（1） 判断要求的点比如函数没有定义的点、有定义但极限不存在的点、有定义极限也存

在但这两者不相等的点； （2） 求出位于该点的函数值、左极限、右极限； （3） 比较三者关系，判断其类型。

左=右=

值 连续

左=右≠值 可去间断点

左≠右 跳跃间断点

左右极限为无穷 无穷间断点

左、右不存在 左右极限振荡 振荡间断点

这个有两类问题： 直接给函数：求(

)

4

||2)(2

2

--=

x x x x x f 的间断点；

不直接被函数（当然有点困难）：求x

x x

x x f n n n n +-+=+++∞

→1

1

21

21

lim

)(的表达式，并讨论其连续性；

3、求导数

首先应当熟记导数的一些公式，特别是一些关于三角的，比较容易记混而又常用。 (1)通过基本概念

设f(x)在0x 出可导，求x

x x f x x f x cos 1)

()(lim

2

02

00

---+→；

第一类间断点 第二类间断点

（2）复合函数求导 求导：x x

x y +=2

arctan

2

（3）隐函数求导

0132=+++x

e y x y

（4）参数方程求导

(

)

t

e t t x 322

+-=

t

e

y -=

（5）高阶导数（期中考试考过了就不会为难大家了吧，莱布尼茨公式） 求()bx e a x y +=2的n 阶导数； 求1

32232

+--=

x x x y 的n 阶导数；

（6）综合运用

4、求微分

要注意微分符号后的是什么！ 比如dx x d x d ()sin ())(sin

2

==

注：①微分要与导数密切联系； ②函数、可导、连续之间的关系。

5、中值定理

应当熟悉罗尔定理、朗格朗日定理。柯西定理的条件以及应用。

证明：

（1）已知函数f （x ）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f(1)=0，证明：在（0,1）内至少存在一点&，使&

(&)2(&)'

f f -

=；

（2）当0<α<β<

2

π

时，

β

αβαβα

αβ2

2

cos tan tan cos ---

（3）1

1)11ln(++x x

，x>0；

小结：期中考试以前的内容在期末考试中只占30%~40%的分量，一般会只会出基本的题目，应该不会太为难大家，后面有的是难题，不急。 附录： 和化积差

2

cos

2

sin

2sin sin b a b a b a -+=+

在（3,1）点的切线方程