第六章随机信号分析与处理基础教材

﹡方差：用于表明随机信号各可能值对其平均值的偏离程度，是随
机信号取值分散性的度量。表达式为：
D[ X (t)] E[( X (t) mx (t))2 ] [ x(t)mx (t)]2 p(x; t)dx


2 x
(t
)
其中， x (t) —均方差；
对于平稳随机信号：
D[ X (t)] (xmx )2 p(x)dx
（1）连续时间随机信号的数字特征
﹡均值（或数学期望） ：随机信号x(t)的所有样本函数在同一时刻
取值的统计平均值。
N
1）离散随机信号的均值：
E[ X (t)]

x(n) (t )Pn (t )
n1
2）连续随机信号的均值：E[ X (t)] x(t)p(x; t)dx mx (t)
第六章 随机信号分析与处理基础
6.1 随机信号的描述 6.1.1 随机信号及其概率结构 6.1.2 随机信号在时域的数值特征 6.1.3 随机信号的频域描述 6.2 6.2.1 平稳随机信号通过连续系统 6.2.2 平稳随机信号通过离散系统 6.2.3
• 随机性信号
当t1=t2=t时，有：
Rxx (t; t) E[ X (t) X (t)] x2 (t) p( x;t)dx
表明：随机信号的均方值是它的自相关函数在t1=t2时的特例。
对于平稳随机信号：
Rxx (t1; t2 ) x1x2 p( x1,x2; )dx1dx2 Rxx ( ) 可见其自相关函数是时间间隔 的函数。
x
(ti
)

lim
n
1 n
n k 1
xk
(ti )
若不依赖于采样时刻ti，μx(ti)为常值，即μx(ti)=μx，则这 种随机过程为平稳过程。
平稳过程的均值、方差、均方值是与时间无关的常 量，相关函数及协方差仅是时移τ的函数，与过程的 起止时刻t无关。
平稳过程最重要的特点是过程在不同时刻 具有相同的统计特征。ຫໍສະໝຸດ p(x1; t1)
F (x1;t1) x1

lim0
P[x1 X (t1)x1]
表示随机信号在t1时刻的取值落入[x1,x1+ △]极小区间的平均 概率。
3）n维联合概率分布函数：
4）n维联合概率密度函数：
注：在实际中，往往只考虑一维和二维的概率分布函数和概率密度 函数。
6.1.2 随机信号在时域的数字特征
– 若随机过程的总体平均参数，可用任一时间历程按 时间平均所求得的统计参数来代替，则这类随机过 程称为各态历经随机过程。
令时间平均值为
xk
lim 1 T T
T
2 T
xk
(t)dt
2
当时间平均等于集合平均，即μxk=μx，这类平稳过程为 各态历经过程。
6.1 随机信号的描述
6.1.1 随机信号及其概率结构
其中，mx (t) 为随机变量x(t)各个样本的摆动中心。 3）对于平稳随机信号： E[ X (t)] xp(x)dx mx
可见其均值为一个与时间无关的常数，相当于信号的直流分量。 ﹡均方值：用于表示随机信号的平均功率，表达式为：
E[ X 2 (t)] x2 (t)p(x; t)dx 对于平稳随机信号： E[ X 2 (t)] x2 p(x)dx 其均方值仍为一个与时间无关的常数。
（1）随机信号： ﹡“样本空间”（或称“集合”）：用全部可能观测到的波形记录
来表示随机信号，用X(t)表示； ﹡“样本函数”（或称“实现”）：用于表示 “样本空间”中每一
个确定波形的函数，用x(t)表示； ﹡ 随机信号的样本集合： X(t)={xi(t)},i=1,2,…。
t=t1时，随机信号的状态为X(t1)={xi(t1)},i=1,2,…，为一个数值集 合，如p246—图6-1所示。 ﹡ 随机信号的理解方法：将其看作随机变量的时间过程，分为连续 时间随机信号和离散时间随机信号。
与平稳过程相反，非平稳过程的统计特性 是随着时间的推移而变化的。
– 平稳过程分类： • 非各态历经过程 • 各态历经过程
意义： 实践证明，许多随机现象都可以在 不同程度上看作各态历经随机过程。 因此，可以用时间充分长的单个样 本函数的时间平均统计参数来代替 总体的平均统计值，这给试验信号 处理带来了极大的方便。
–例
图中每一条曲线xi(t)都是加速度时间历程的一次试验 记录。
x1(t),x2(t),…,xn(t)构成加速度时间历程的集合，称 为样本空间，记作X（t）。每一记录曲线称为一个样本， 记作xn(t)。
由图可见，各条曲线互不相同，显然不可能用明 确的函数式描述。
在任意时刻t1，加速度量值X（t）是一个随机变量。 全部加速度记录的样本空间是无穷多个随机变量的集 合。


2 x
可见其方差也为一个与时间无关的常数。
﹡自相关函数与自协方差函数：
1）自相关函数：用于反映随机信号在不同时刻的内在联系，表达 式为：
Rxx (t1; t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] x(t1) x(t2 )p( x1,x2;t1,t2 )dx1dx2
（2）概率结构：
由于随机信号是随时间变化的随机变量，故可以用概率结构来
描述，具体的，对于离散型随机变量，用概率描述；对于连续型 随机变量，用概率密度描述。
如，1）一维概率分布函数
F(x1;t1) P[X (t1) x1]
表示随机信号X(t)在t1时刻的取值不大于x1的概率。
2）一维概率密度函数
这种随机现象的进行过程用随机过程来描述。
汽车车架垂直加速度时间 历程记录曲线
• 随机过程分类
– 平稳过程
噪声信号(平稳)
– 非平稳过程
噪声信号(非平稳)
统计特性变异
• 随机过程分类
– 平稳过程 • 指它的统计特性不随时间的推移而变化的随机过程。
噪声信号(平稳)
任意时刻ti的随机变量X(ti)求集合平均有
2）自协方差函数：用随机信号X(t)在两个不同时刻t1、t2取值起伏 变化的相依程度来描述随机信号不同时刻的关联关系，表示为：
Cxx (t1; t2 ) E[( X (t1) mx (t1))( X (t2 ) mx (t2 ))]