广东华南师大附中2020届高三综合测试(一)数学试题(文)
华附、省实、深中、广雅2020届高三年级四校联考(文数)含答案
华附、省实、深中、广雅2020届高三年级四校联考数 学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2. 答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔用答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4. 保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破.第一部分 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}2230,ln()A x x x B x y x =+-≤==-，则A B =I A ．[3,0]-B ．[3,1]-C ．[3,0)-D ．[1,0)-2．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为 A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段3．设0.7log 0.8a =，0.911log 0.9 1.1b c ==，，那么 A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c <<D ．c a b <<4．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸被称为“十天干”，子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子，乙丑，丙寅，…癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…癸未，甲申，乙酉，丙戌，…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的 A ．甲辰年B ．乙巳年C ．丙午年D ．丁未年5．函数3cos 1()x f x x+=的部分图象大致是 A ． B ．C ．D ．6．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治，地理，化学，生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地理至少有一门被选中的概率是 A ．16 B ．12 C ．23D ．567．若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ，，且3a b -=r r ，则向量a r ，b r的夹角为A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°8．某程序框图如图所示，其中21()g x x x=+，若输出的20192020S =，则判断框内应填入的条件为 A ．2020?n < B ．2020?n „ C ．2020?n >D ．2020?n …9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于 A ．18B ．36C ．45D ．6010．已知函数()cos sin f x x x =-，那么下列命题中假命题是 A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在[,0]π-上恰有一个零点 C ．()f x 是周期函数D ．()f x 在[,0]π-上是增函数11．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===AB AC BC ===P ABC -外接球的体积是A ．36πB ．125π6C ．32π3D ．50π12．已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若223AF BF =，125BF BF =，则椭圆C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填在答题卡的相应位置上. 13．曲线cos y x x =+在点(0,1)处的切线方程为 .14．某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本．若样本数据1x ，2x ，…，100x 的方差为16，则数据121x -，221x -，…，10021x -的方差为 .15．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222+x y a =交于P Q ，两点．若PQ OF =，则C 的离心率为 .16. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为4a b c c a A ==，，，，，且角C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为 .B 1C 1A 1DCBA三、 解答题：满分70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．(本小题满分12分)在等比数列{}n b 中，公比为(01)q q <<，13511111,,,,50322082b b b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，，． （Ⅰ）求数列{n b }的通项公式；（Ⅱ）设()31n n n c b -=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC ⊥，D 是11B C 的中点，1112A A A B ==.（Ⅰ）求证：1AB ∥平面1A CD ；（Ⅱ）异面直线1AB 和BC 所成角的余弦值为13，求几何体11A B DCA 的体积.19．(本小题满分12分)已知某保险公司的某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的400名续保人在一年内的出险情况，得到下表：该保险公司这种保险的赔付规定如下：（Ⅰ）求本年度续保人保费的平均值的估计值；（Ⅱ）按保险合同规定，若续保人在本年度内出险3次，则可获得赔付()2.5 1.5a a a ++元；若续保人在本年度内出险6次，则可获得赔付()2.5 1.50.5a a a a +++元；依此类推，求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值； （Ⅲ）续保人原定约了保险公司的销售人员在上午1030：～1130：之间上门签合同，因为续保人临时有事，外出的时间在上午1045：～1105：之间，请问续保人在离开前见到销售人员的概率是多少？20．(本小题满分12分)已知点()1e ，，e ⎛ ⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，其中e 为椭圆的离心率，椭圆的右顶点为D .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线l 过椭圆C 的左焦点F 交椭圆C 于A ，B 两点， 直线DA ,DB 分别与直线a x e=-交于N ，M 两点，求证： 0NF MF ⋅=u u u r u u u u r.21．(本小题满分12分)已知函数()2()2ln f x x x ax a R =+-∈有两个极值点12x x ，，其中12x x <.（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当a≥+()()12f x f x -的最小值. （二）选考题：共10分. 请考生从给出的第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分.22．(本小题满分10分) 选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线21:4sin 20C ρρθ-+=，曲线2:cos 042C πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线12C C ，的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线1C 与y 轴交于A B ，两点，P 为曲线2C 上任一点，求PA PB +的最小值.23．(本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲已知函数()f x x t =+的单调递增区间为[)2,-+∞. （Ⅰ）求不等式()121f x x +<+的解集M ； （Ⅱ）设a b M ∈，，证明：1a b ab +<+.数学（文科）参考答案一、选择题CDCCB DBACD BA 二、填空题13．10x y -+= 14．64 15．三、解答题17．解：（Ⅰ）因为公比为(01)q q <<的等比数列{}n b 中，13511111,,,,50322082b b b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，， 所以，当且仅当135111,,2832b b b ===时成立.----------------------2分 此时公比23114b q b ==,12q = ---------------------------------3分 所以1.2n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭------------------------------------------------5分（Ⅱ）因为1(31)2nn c n ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭所以 123n n T c c c c =++++L1231111=258(31)2222nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L --------------7分2311111125(34)(31)22222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L --------8分123111111123(31)222222n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L --------9分11111131(31)222n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⨯---⋅⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-------------------------11分5135222nn +⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭故数列{}n c 的前n 项和15(35)2nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭----------------------------12分18. 解：（Ⅰ）如图，连结1AC 交1A C 于点E ，连结DE ---------------------------1分 因为在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是矩形所以 点E 是1A C 的中点---------------------------------------------2分因为D 是11B C 的中点所以 DE ∥1AB ---------------------------------------------------3分因为1AB ⊄平面1A CD ，DE ⊂平面1A CD所以 1AB ∥平面1A CD ---------------------------------------------4分（Ⅱ）因为棱柱111ABC A B C -是直三棱柱 所以 111AA AC ⊥因为1111111A B AC A A A B ⊥=，所以 111AC B C =---------------------------------------------------5分因为异面直线1AB 和BC 所成角的余弦值为13所以11cos AB C ∠=分 因为1111112A A A B A A A B ==⊥，所以 1AB 分根据余弦定理，在11AB C ∆中，222111111111=2cos AC B C AB B C AB AB C +-⋅⋅∠可得11B C 分因为111111=2A B AC A B ⊥，，所以 由勾股定理可得 11=3A C 因为11111111111,,C A A B C A A A A A A B A ⊥⊥=I 所以111C A A B ⊥平面同理111A B AC ⊥平面------------------------------------------------9分所以 11111=A B DCA D A AB D AA C V V V --+--------------------------------10分113112223132232=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯ 2=所以 几何体11A B DCA 的体积为2.----------------------------------12分19. 解：（Ⅰ）由题意可得0.90.70.2 1.50.06 2.50.0340.01 1.035a a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；----4分（Ⅱ）由题意可得本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值00.7 2.50.240.0650.03 5.50.010.945a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；-----8分（Ⅲ）设保险公司销售人员到达的时间为x ，续保人离开的时间为y ，(),x y 看成平面上的点，全部结果所构成的区域为()31=,10.511.5,1011412x y x y ⎧⎫Ω≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭， 则区域Ω的面积()11133S Ω=⨯=---------------------------------9分 事件A 表示续保人在离开前见到销售人员，所构成的区域为()31=,,10.511.5,1011412A x y y x x y ⎧⎫≥≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭---10分 即图中的阴影部分，其面积()11715==2412336S A ⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭------------------11分 EB 1C 1A 1DCBA111121034y xO 所以()5536P ==1123A ，即续保人在离开前见到销售人员的概率是512--------12分（备注：第Ⅰ、Ⅱ参考答案中的表格填写正确各得2分；示意图不要求作出）20. 解：（Ⅰ）依题意得22222211341e a b e ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得222,1a b ==所以 椭圆C 的方程为2212x y +=-----------------------------------3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得2ae=， -----------------------------------------------4分 如图，设()11,A x y ，()22,B x y ，()32,N y -，()42,M y -， 把直线1l x my =-：代入椭圆方程，得()222210m y my +--=所以12122221,22my y y y m m +=⋅=-++--------------------------5分 因为M B D 、、三点共线，得422222x =---------------------------6分 所以))224222222212y y y x my ----==--- ①-------------7分同理，由N A D 、、三点共线，得)1312212y y my --=-- ②-------------8分因为3434=2121NF MF y yk k y y ⋅=⋅-+-+ ③-------------9分所以把①②代入③得2122NF MF y y k k ---⋅=(()()()212221212211y y m y y m y y +=-++++--10分=分=1-所以 0NF MF ⋅=u u u r u u u u r--------------------------------------------------12分21. 解：（Ⅰ）依题意得()f x 的定义域为(0+)∞，，222()x a x f x x-+'=----------1分因为函数()f x 有两个极值点1212x x x x <，，所以方程222=0x ax -+有两个不相等的正根1212x x x x <，，所以21212=160021a a x x x x ⎧∆->⎪⎪+=>⎨⎪⋅=⎪⎩--------------------------------------------3分解得4a >此时()f x 在1(0)x ，和2(+)x ∞，上单调递增，在12()x x ，上单调递减 所以 实数a 的取值范围是()4+∞，-------------------------------4分 （Ⅱ）因为1x ，2x 是方程2220x ax -+=的两个根，所以122ax x +=，121x x = 因为211220x ax -+=，222220x ax -+=所以 21122ax x =+，22222ax x =+---------------------------------6分所以()()2212111222()()2ln 2ln f x f x x x ax x x ax -=+--+-22221112222ln (22)2ln (22)x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+-+-+-+⎣⎦⎣⎦2221122ln 2ln x x x x =-+-222111222ln x x x x x x -=+ 2111222ln x x x x x x =-+--------------------------------8分 令12x t x =()01t <<，1()2ln h t t t t=-+，则 222221221(1)()10t t t h t t t t t -+---'=--+==< 即()h t 在()0，1上单调递减------------------------------------------10分 因为a ≥ 所以122a x x +=≥ 所以221212()x x x x +≥ ，即 22121212212x x x x e x x e ++≥++ 所以 12211x x e x x e +≥+ ， 即 11t e t e+≥+ 所以 1()()0t e t e --≥，01t <<所以 10t e<≤------------------------------------------------------11分 因为 ()h t 在10e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减 所以()h t 的最小值为112h e e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭即()()12f x f x -的最小值为12e e--.--------------------------------12分 22. 解：（Ⅰ）因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， 所以曲线1C 的直角坐标方程为22420x y y +-+=-----------------2分因为()cos cos +sin 1422πρθρθρθ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭----------------4分所以曲线2C 的直角坐标方程为10x y ++=------------------------5分（Ⅱ）因为曲线1C 与y 轴交于((020,2A B -+，，两点------------6分点A 关于直线10x y ++=的对称点为()1A '---------------8分所以PA PB A B '+≥==所以PA PB +分23. 解：（Ⅰ）依题意得2t =--------------------------------------------------1分 所以不等式()121f x x +<+化为2121x x ++<+当2x <-时，原不等式化为2121x x --+<--，0x <，得2x <-------2分 当122x -≤<-时，原不等式化为+2+121x x <--，43x <-， 得423x -≤<------------------------------------------3分 当12x ≥-时，原不等式化为+2+12+1x x <，2x >，得2x >------------4分 所以，不等式()121f x x +<+的解集4=23M x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或----------5分 （Ⅱ）要证明1a b ab +<+，只需证明()222212ab ab a ab b ++>++即要证明()22210ab a b --+>--------------------------------------6分 因为423a b x x x ⎧⎫∈<->⎨⎬⎩⎭，或，所以221616,99a b ≥≥---------------8分 因为()()()()22222222111110ab a b a b b b a --+=--+=-->--------9分所以()22210ab a b --+> 即1a b ab +<+得证 ---------------------------------------------10分。
华南师大附中2020届高三年级月考(二)(文数)
华南师大附中2020届高三年级月考（二）数 学（文科）本试卷共5页，23题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖，则()R A B =（ ） A ．[1,0)(2,3]- B ．(2,3] C ．(,0)(2,)-∞+∞D ．(1,0)(2,3)-2．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则zi=（ ） A ．1i + B ．1i -+ C ．1i -- D ．1i -3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为（ ）AB ．C ．3πD ．4π4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（ ）灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏5．已知f (x )={2x ,x <0a +log 2x,x ≥0，若f(f (−1))=−1，则实数a 的值为（ ） A ．-2 B ．2 C ．0 D ．16．已知12,2x y x x >=+-，则y 的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．4D ．37．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -<C ．110x y->D ．ln x +ln y >08．将函数()2sin 44f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，再向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则()0g =（ ） A 2B ．2C ．2-D ．09．已知△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且22()a b c ab +=+，30B =︒，4a =，则△ABC 的面积为（ ） A ．4B ．33C ．3D ．310．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123a =，6812S a =，则使n S 达到最大值的n 是（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．1311．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108︒的等腰三角形).例如，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形ABC 中，512BC AC =，根据这些信息，可得sin 234︒=（ ） A ．1254- B ．358+-C ．15+D ．458+-12．已知三棱锥D ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，AB AC ⊥，6AB =，6AC =顶点D 在平面ABC 上的投影E 为BC 的中点，且5DE =，则球O 的表面积为（ ） A ．16π B ．17π C ．60π D ．64π第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省华南师范大学附中高三综合测试数学(文)——高考模拟试卷(33套)资料文档
广东省华南师范大学附中 20××届高三5月综合测试数学（文）试题本试卷共1小题， 满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i 是虚数单位，则复数3232i i i z ++=所对应的点落在A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 已知全集R U =，}21{<<-=x x A ，}0{≥=x xB ，则=)(B AC UA ．}20{<≤x xB ．}0{≥x xC ．}1{-≤x xD ．}1{->x x3．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且16122=a a ，则=92log a A ．4 B.5 C.6 D.7 4．在ABC ∆中, 已知向量)72cos ,18(cos 00=, )27cos 2,63cos 2(00=, 则BAC ∠cos 的值为 A ．0 B ．21C ．22D ．235．一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为A ．B ．C ．D ．6．命题:p 若R b a ∈,，则1>+b a 是1>+b a 的充分而不必要条件；命题:q 函数21--=x y 的定义域是),3[]1,(+∞--∞ ，则A ．“p 或q ”为假 B. “p 且q ”为真 C. p 真q 假 D. p 假q 真7．若⎩⎨⎧≤+≥+1022y x y x ，则y x +2的取值范围是 A ．[22, 5 ] B ． [－22 ,22] C ． [－22, 5 ] D ． [－ 5 , 5 ]8 在圆422=+y x 上与直线01234=-+y x 距离最小的点的坐标是( )A.)56,58(B. )56,58(-C. )56,58(-D. )56,58(--9．函数x x y cos +=的大致图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．10．已知命题“x ∃∈R ，12x a x -++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 A.)1,3(- B. ]1,3[- C. ),1()3,(+∞--∞ D. ),1[]3,(+∞--∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11. 双曲线229161x y -=的焦距是___________. 12．已知53)4sin(=-x π，则 x 2sin 的值为 . 13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序， 则输出的结果是 .（二）选做题（请考生在以下两个小题中任选一题做答）14．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则它的圆心到直线l ：⎩⎨⎧+=--=ty tx 2322（t 为参数）的距离等于 .题图第1515．如图，已知P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的切线，D 为切点， 割线PEF 经过圆心O ，若12PF =，PD =O 的半径长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象的一部分如下图所示.(1)求函数)(x f 的解析式;(2)当]32,6[--∈x 时,求函数)2()(++=x f x f y 的最大值与最小值及相应的x 的值.17. （本小题满分12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为5． （Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由； （Ⅲ）已知在不患心肺疾病的5位男性中，有3位又患胃病．现在从不患心肺疾病的5位男性中，任意选出3位进行其他方面的排查，求恰好有一位患胃病的概率． 下面的临界值表供参考：（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中n a b c d =+++）PD FOE18．（本小题满分14分）已知52,a a 是方程027122=+-x x 的两根, 数列{}n a 是公差为正数的等差数列，数列{}n b 的前项和为n T ，且)(211*N n b T n n ∈-=。
广东省华南师大附中高三综合测试(数学理)
华南师大附中高三综合测试数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.如果复数ibi-2(R b ∈)的实部与虚部互为相反数，则b ＝（ ） A. 2 B. －2 C. 2i D.－2i2.己知命题2:"[1,2],0",P x x a ∀∈-≥命题:",q x R ∃∈使2220"x ax a ++-=，若命题“p且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A.{}212≤≤-≤a a a 或B.{}1≥a a C .{}12=-≤a a a 或 D.{}12≤≤-a a 3.某工厂在2000年底制订生产计划，要使得2010年底的总产值在原有基础上翻两番，则总产值的年平均增长率为（ ）。
A .1015－1 B . 1014－1 C. 1013－1 D . 1114－14.一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是i=1,sum=0?sum=sum+1/[i×(i+1)]是否输出sumi=i+1结束开始( )A .4i <B .5i <C . 5i ≥D . 6i <5．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P －ABCDEF ，则此正六棱锥的体积为（ ）A . 23B . 43C .83D .123 6.已知函数Rxx f πsin3)(=图象上，相邻的一个最大值与一个最小值点恰好在 x 2+y 2=R 2上，则f (x )最小正周期为（ ）A . 1B . 2C . 3D . 47.若1002100012100(23)x a a x a x a x +=++++L ，则(a 0+a 2+a 4+…+a 100)2-(a 1+a 3+…+a 99)2的值为( )A .1B .－1C .0D .28.已知F 1、F 2分别是双曲线22a x －22b y =1的左、右焦点, P 为双曲线左支上任一点,若||||122PF PF 的最小值为8a , 则双曲线的离心率范围为( )A .(1,3]B .(0,3]C .(1,2]D .(1,+∞)二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15是选做题,考生只能选做两题, 若三题都选, 只计算前两题的得分. 9.计算：22(sin 2)x dx -+⎰= ．10. 在等比数列{}n a 中，若151,4a a ==，则3a 的值为 .11.一个公司有N 个员工，下设一些部门，现采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为n 的样本 (N 是n 的倍数)．已知某部门被抽取了m 个员工，那么这一部门的员工数是 ．12. 已知函数f (x )满足：f (p +q )=f (p )f (q ), f (1)=3,则)7()8()4()5()6()3()3()4()2()1()2()1(2222f f f f f f f f f f f f +++++++= ．13. (不等式选讲选做题)若b a 、为正实数，3=+b a ，则b a +++11的最大值是______ 14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AC 和AB 分别是圆O 的切线，B 、C 为切点, 且OC = 3，AB = 4，延长OA 到D 点，则△ABD 的面积是___________． 15.(坐标系与参数方程选做题)设P (x ,y ) 是曲线C ：⎩⎨⎧ x = －2 + cos θ y = sin θ(θ 为参数)上任意一点，则 yx 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ， （1）求角B 的余弦值； (2)求ABC △的面积S ．17.如图所示, 有两个独立的转盘()A 、()B .两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60︒、120︒、180︒.用这两个转盘进行玩游戏，规则是：依次随机转动两个转盘再随机停下（指针固定不会动,当指针恰好落在分界线时,则这次结果无效,重新开始），记转盘()A 指针对的数为x ，转盘()B 指针对的数为y .设y x +的值为ξ,每转动一次则得到奖励分ξ分.（1）求x <2且y >1的概率； (2) 求ξ 的分布列和期望值.18.如图，已知矩形ABCD 中，AB=1，BC=a (a ≥2), PA ⊥平面ABCD.123321(1)问BC 边上是否存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，并说明理由(2)若PA=1，且BC 边上有且只有一个点Q ，使得PQ ⊥QD ，求此时二面角Q —PD —A 的正切值.19. 已知y 轴右侧一动圆1C 与一定圆4)2(:222=+-y x C 外切，也与y 轴相切. （1）求动圆1C 圆心的轨迹C ；（2）过点T （－2，0）作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，求一点)0,(0x E ，使得AEB ∆ 是以点E 为直角顶点的等腰直角三角形。
华南师大附中高三综合测试(一)数学(理)试题
华南师大附中2009届高三综合测试（一）数学（理）试题本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷 各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，选划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回．第一部分选择题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合A 、B 均为数集，且{}{}12123,,,,A a a B b b b ==，则集合A Y B 中元素的个数至 多（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．已知 5.10.90.90.9, 5.1,log 5.1,m n p ===则这三个数的大小关系是 （ ）A ．m n p <<B ．m p n <<C ．p m n <<D ．p n m << 3．已知直线3443x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则下列说法错误的是（ ）A ．直线的倾斜角为3arctan 4B ．直线必经过点11(1,)2-C ．直线不经过第二象限D ．当t=1时，直线上对应点到点（1,2）的距离为4．已知函数232,()3 2.x f x x a a ⎧⎪=⎨+-+⎪⎩[0,)(,0)x x ∈+∞∈-∞在区间（,-∞+∞）是增函数，则常数a 的取值范围是 （ ）A ．12a ≤≤B ．1,2a a ≤≥或C ．12a <<D ．1,2a a <>或5．若奇函数()()(2)1,(2)()(2),(1)f x x R f f x f x f f ∈=+=+满足则等于 （ ）A ．0B ．1C ．12-D ．126．已知1x y +=，那么2223x y +的最小值是（ ）A ．56B ．65C ．2536D ．36257．函数ln 1xy e x =--的图象大致是（ ）8．定义在R 上的偶函数()f x 满足[](1)(),()0f x f x f x +=-且在－１，上是增函数，下列五个关于()f x 的命题中①()f x 是周期函数； ②()f x 的图象关于1x =对称； ③()f x 在［0，1］上是增函数 ④()f x 在［1，2］上是减函数；⑤(2)(0)f f =正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第二部分非选择题（110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．函数()f x =的定义域为 . 10．设函数21,(0)()(0)x x f x x -⎧-≤⎪=＞ 若0()1,f x >则0x 的取值范围是 .11．在极坐标系中，若过点（4，0）且与极轴垂直的直线交曲线6cos ρθ=于A 、B 两点，则AB =.12．如下图，在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，AB ⊥BC,AB=1，CD=3，6BCD S ∆=，则梯形ABCD 的面积为 ，点A 到BD 的距离AH= .13．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12x =对称，则(2)(4)f f +=14．已知函数2()24(3)5f x ax a x =+-+是在区间(,3)-∞上的减函数，则a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分12分）设集合{}212,12x A x x a B xx -⎧⎫=-<=<⎨⎬+⎩⎭，若A ⋂B=A ，求实数a 的取值范围．16．（本题满分12分）计算222lg 5lg8lg 5lg 20lg 2.3++⋅+17．（本题满分14分）已知2(),x f x ax b=+且方程()120f x x -+=有两个实根为13x =， 24x =（这里a 、b 为常数）. （1）求函数()f x 的解析式 （2）求函数()f x 的值域．18．（本题满分14分）某宾馆有相同标准的床位100米，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结帐，床价应为1元的整数倍；② 该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x 表示床价，用y 表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入）（1）把y 表示成x 的函数，并求出其定义域；（2）试确定该宾馆将床位定价为多少时既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？19．（本题满分14分）已知函数()f x 的定义域为{},0x x R x ∈≠且对定义域内的任意1x 、2x ，都有1212()()(),1()0,(2) 1.f x x f x f x x f x f ⋅=+>>=且当时（1）求证：()f x 是偶函数；（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数； （3）解不等式2(21) 2.f x -<20．（本题满分14分）设函数321()(),3f x ax bx cx a b c =++<<其图象在点(1,(1)),A f (,()B m f m 处的切线的斜率分别为0，a -（1）求证：01;ba≤< （2）若函数()f x 的递增区间为[],,s t 求s t -的取值范围．参考答案第一部分 选择题（40分）1－5DCDAD 6－8ADC第二部分 非选择题（110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．{}4,1x x x ≤≠且. 10．(,1)(1,),-∞-⋃+∞ 11． 12．8；4.513．0. 14．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）.解：{}{}222.x x a x a x a -<=-<<+ …………3分 2112 3.2x B xx x x -⎧⎫=<=-><⎨⎬+⎩⎭………3分 因为,A B A A B ⋂=⊆即, ……………2分所以23.22a a +≤⎧⎨-≥-⎩…………2分解得01a ≤≤，故实数a 的取值范围为［0,1］ ………2分16．（本题满分12分）解：原式22(lg5lg2)lg5(1lg2)lg 2=++⋅++2l g 5(l g 5l g=+++⋅ 2l g 5l g 2=++=………3分 17．（本题满分14分）解：（1）依已知条件可知方程()120f x x -+=即为2120,x x ax b-+=+…1分 因为123,4x x ==是上述方程的解，所以931203,1641204a ba b⎧-+=⎪⎪+⎨⎪-+=⎪+⎩解得12a b =-⎧⎨=⎩…………4分所以函数的解析式为2()2x f x x =--； ………1分（2）因为24()(2)422x f x x x x ⎡⎤=-=--++⎢⎥--⎣⎦， ………2分当42,(2)42x x x >-+≥-时，当且仅当4x =时取等号，所以8y ≤-，…2分 当42,(2)42x x x <-+≤--时，当且仅当0x =时取等号，所以0y ≥，…3分 所以函数][()0,)f x ∞⋃+∞的值域为(-,-8. …………1分 18．（本题满分14分）.解：（1）依题意有[]100575100(10)3575x y x x -⎧⎪=⎨--⨯-⎪⎩(10)(10)x x ≤>，且*x N ∈，……3分因为*0,y x N >∈， 由*1005750,610,.10x x x N x ->⎧≤≤∈⎨≤⎩得 ……2分由[]10,100(10)35750x x >⎧⎪⎨--⨯->⎪⎩得*1038,,x x N <≤∈ ………2分所以函数为21005753130575x y x x -⎧=⎨-+-⎩ (,610(,1038)x N a n d x x N a n d x ∈≤≤∈<≤， ……1分 定义域为{}638,;x x x N ≤≤∈ ………1分（2）当10x =时，*100575(610,)y x x x N =-≤≤∈取得最大值425元，1分 当10x >时，23130575y x x =-+-，仅当130652(3)3x =-=⨯-时，y 取最大值，但*2*223130575(1038,)x N x y x x x x N ∈==-+-<≤∈，所以当时，取得最大值833元， ……3分比较两种情况，可知当床位定价为22元时净收入最多．………1分 19．（本题满分14分）.解；（1）证明 因对定义域内的任意1x 、2x 都有121212()()(),,1f x x f x f x x x x ⋅=+==-令，则有()()(f x f x f -=+- ……2分 又令121,2(1)(1)x x f f ==--=得 ……1分 再令121,(1)0,(1)0,x x f f ===-=得从而 ……1分 于是有()(),()f x f x f x -=所以是偶函数． ……1分 （2）设212121110()()()(.)x x x f x f x f x f x x <<-=-，则 ……1分 221111()()()(),x xf x f x f f x x ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦ ………3分 由于21210,1,x x x x ><>所以从而21()0xf x >， ………1分 故1212()()0()(),()(0,)f x f x f x f x f x -<<+∞，即所以在上是增函数． （3）由于(2)1,211(2)(2)(4),f f f f ==+=+=所以 ……1分 于是待解不等式可化为2(21)(4)f x f -<， ………1分 结合（1）（2）已证结论，可得上式等价于2214x -< ………1分解得022x x x ⎧⎫⎪⎪-<<≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭且． ………1分 20．（本题满分14分）.解（1）因为2()2f x ax bx c '=++ ………1分 于是依题意有(1)20,f a b c '=++= ① ……1分 2()2,f m a m b m c a '=++=- ② ……1分又由,a b c <<可得424a a b c c <++<，即404a c <<，所以0,0,a c <>由①得2,c a b a b c =--<<代入再由10,1,3ba a<-<<得③ ……2分 将2c a b =--代入②得2220,am bm b +-=即方程2220ax bx b +-=有实根，故其判别式2480,b ab ∆=+≥由此可得2()2()0,bb aa +≥解得2,0,b ba a≤-≥或④ ……2分 由③、④即可得01ba≤<； ………1分 （2）由于2()2f x ax bx c '=++的判别式2440b ac '∆=->， ……1分 所以方程220()a bx c ++=*有两个不相等的实数根，设为12,x x ， 又由(1)201f a b c '=++=1知是(*)的一个根，记x =1， ……1分 则由根与系数的关系得221b x a +=-，即21210,bx x a=--<< 当2,1x x x <>或时，()0;f x '>当21x x <<时，()0f x '>， ……1分 所以函数()f x 的单调递增区间为[]2,1x 由题设[][]2,1,,x s t =……1分 因此2212,b s t x a -=-=+由（1）知01ba≤<，所以[2,4).s t -∈…1分。
2020年1月广东省华南师大附中 省实验中学 广雅中学 深圳高中2020届高三上学期期末联考数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前广东省华南师大附中、省实验中学、广雅中学、深圳高中 2020届高三毕业班上学期期末教学质量联考检测数学(文)试题(解析版)2020年1月一、选择题1.已知集合{}{}2230,ln()A x x x B x y x =+-≤==-，则AB =（ ） A. [3,0]-B. [3,1]-C. [3,0)-D. [1,0)- 【答案】C【解析】【分析】解出集合,A B 中的范围,再求交集即可.【详解】由2230x x +-≤有(1)(3)0x x -+≤,即31x -≤≤,又ln()x -中0x ->即0x <. 故A B =[3,0)-故选C【点睛】本题主要考查二次不等式的求解与集合的基本运算,属于基础题型.2.已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 线段 【答案】D【解析】【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹. 【详解】2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立.因此，点Z 的轨迹为线段.故选D.【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.3.已知0.7log 0.8a =, 1.1log 0.9b =,0.91.1c =,则,,a b c 的大小关系是（ ）A. b a c <<B. a c b <<C. a b c <<D. c a b <<【答案】A【解析】【分析】根据特殊值0和1与指数函数对数函数的单调性逐一比较大小.【详解】对于0.7log 0.8a =,0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=1.1 1.1log 0.9log 10b =<=0.901.1 1.11c =>=所以：b a c <<故选：A【点睛】此题考查指数对数的大小比较,关键在于根据函数单调性和特殊函数值的大小关系,利用不等式的传递性解题.4.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉,甲戌、乙亥、丙子…癸未,甲申、乙酉、丙戌…癸巳,…,共得到60个组合,称六十甲子,周而复始,无穷无尽．2019年是“干支纪年法”中的己亥年,那么2026年是“干支纪年法”中的A. 甲辰年B. 乙巳年C. 丙午年D. 丁未年【答案】C。
广东省华南师范大学附属中学2024-2024学年高三上学期综合测试(一)英语试题含答案
2025届高三综合测试（一）英语满分：120分时间：120分钟注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名和考号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡的相应位置涂黑。
2. 本试卷分选择题和非选择题两部分。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3. 回答非选择题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡收回。
第一部分阅读 (共两节，满分50分)第一节(共15小题；每小题2.5分，满分37.5分)阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项选出最佳选项。
AChoose Your One-Day Tours!Tour A—Bath & Stonehenge including entrance fees to the ancient Roman bathrooms and Stonehenge—￡37 until 26 March and ￡39 thereafter.Visit the city with over 2,000 years of history and Bath Abbey, the Royal Crescent and the Costume Museum. Stonehenge is one of the world’s most famous prehistoric monuments dating back over 5,000 years.Tour B—Oxford & Stratford including entrance fees to the University St Mary’s Church Tower and Anne Hathaway’s house—￡32 until 12 March and ￡36 thereafter.Oxford: Includes a guided tour of England’s oldest university city and colleges. Look over the “city of dreaming spires (尖顶)” from St Mary’s Church Tower.Stratford: Includes a guided tour exploring much of the Shakespeare wonder.Tour C—Windsor Castle & Hampton Court including entrance fees to Hampton Court Palace—￡34 until 11 March and ￡37 thereafter.Includes a guided tour of Windsor and Hampton Court, Henry VIII’s favourite palace. Free time to visit Windsor Castle (entrance fees not included). With 500 years of history, Hampton Court was once the home of four Kings and one Queen. Now this former royal palace is open to the public as a major tourist attraction. Visit the palace and its various historic gardens, which include the famous maze (迷宫) where it is easy to get lost!Tour D—Cambridge including entrance fees to the Tower of Saint Mary the Great—￡33 until 18 March and ￡37 thereafter.Includes a guided tour of Cambridge, the famous university town, and the gardens of the 18th century.1. Which tour will you choose if you want to see England's oldest university city?A. Tour A.B. Tour B.C. Tour C.D. Tour D.2. Which of the following tours charges the lowest fee on 17 March?A. Cambridge.B. Oxford & Stratford.C. Bath & Stonehenge.D. Windsor Castle & Hampton Court.3. Why is Hampton Court a major tourist attraction?A. It is a world-famous castle.B. It is the oldest palace in Britain.C. It used to be a well-known maze.D. It used to be the residence of royal families.BThey talk about the straw that broke the camel’s back, but really it should be the password that wiped out my memory bank.I was going along fine—with instant recall of my bank PIN (密码), my mobile phone number and the date of my cousin’s birthday before I downloaded a gas station payment app for its new customer discount. It asked me to create a password. When I typed in “gas1”, it was rejected for not being complex enough. I tried again: “IHateHeartlessOilCompanies@”. But that was too long and didn’t include “at least one number”. But here is the thing: as soon as I added the fresh password into my memory, I instantly forgot all the others. My brain had hit its limit for passwords. I now know nothing.I had entered some passwords in a notebook. Of course, I didn’t write down the actual passwords, in case it fell into the wrong hands. Instead, I masked them in a way that only a family member could figure them out. For example, I combined my bank PIN with our postal code, then added it to a list of phone numbers. It would fool even Albert Einstein.Maybe we need a system like the one we use to remember people’s names. You know, you form an association between a person’s characteristics and their name by whispering “Skinny George, Skinny George” in heart after meeting them. The risk is that, upon seeing him, you’ll burst out the phrase. “Skinny George” might not mind, but it’s possible “Boring Betty” will. As for remembering passwords as you change them, you could simply use the first and last letters of your favorite singer’s greatest hits, together with the year of their release.Maybe I’ll try that one out—but only after describing the system in the notebook. Then I’ll hide it in a place so secret that I’ll never remember where it is.4. What can we learn about the author from the first two paragraphs?A. He fell for a marketing trick.B. He was driven mad by passwords.C. He had a serious memory disorder.D. He was rejected by the gas station.5. By mentioning Albert Einstein in paragraph 3, the author intends to .A. show how secure his passwords wereB. challenge the intelligence of scientistsC. prove the uselessness of his passwordsD. promote a more scientific password system6. What is the author’s purpose in writing the text?A. To encourage readers to use password notebooks.B. To recommend a password-remembering method.C. To complain about the trouble caused by passwords.D. To point out the importance of using complex passwords.7. What is the tone of the text?A. Inspiring.B. Indifferent.C. Humorous.D. Serious.CNew technologies tend to cause a cycle of concern, disorder, and conflict before eventually being accepted. Recent writings about artificial intelligence (AI) and other advances in computer science suggest that we are preparing to welcome the final stage of this latest round of invention.The Last Human Job, sociologist Allison Pugh’s new book centered on caregiving and human connection in the age of automation, warns readers against unreserved acceptance of these technological advances, citing “connective labor” as valuable human work that will not be easily replaced by algorithms (算法). “Absent from discussions about Al and automation,” Pugh argues, “is the impact that these systems might have on the emotional understandings we build of ourselves and others.”Pugh sets the stage by arguing for the value of human connection and the importance of both seeing and being seen by others. “Practitioners (从业者) said they gained a sense of purpose simply from the opportunity of observing people at their most defenseless,” she observes. She then provides a summary of how care work is being increasingly automated, showing how quantification and measurement have taken over many aspects of human-facing jobs, leaving little room for doctors, teachers, and others to build connection.“When one goes to a doctor or a teacher, the encounter is full of the potential for shame, a risk that makes it all the more powerful when practitioners show empathetic (同理心的) reflection,” writes Pugh. In Chapter Eight, she explains how such interactions can be done right. Research conducted by herself and others identifies three key aspects supporting connective labor: “relational design,” or how people are set up to interact with one another; “connective culture,” or shared practices and beliefs that influence how people interact; and “resource distribution,” which includes time given for interaction, worker-to-client rates, and the extent of technology and data use, among other factors.Pugh concludes by arguing that we need a social movement for connection. “We need to fight for what we might call our ‘social health’,” she maintains.8. What is the main concern of Allison Pugh’s new book?A. The impact of AI on future employment.B. The approach to living and working with AI.C. The increasing role of technology in caregiving.D. The value of connective labor in the age of automation.9. Why does the author mention “practitioners” in paragraph 3?A. To explain how to do care work.B. To argue against the automation technology.C. To prove the significance of human connection.D. To discuss the challenges of privacy in caregiving.10. What does the underlined word “it” in paragraph 4 refer to?A. The encounter.B. The shame.C. The risk.D. The potential.11. What is paragraph 4 mainly about?A. The overview of Chapter Eight.B. The effective way to interact.C. The new trend of caregiving.D. The factors of avoiding shame.DAs cities balloon with growth, access to nature for people living in urban areas is becoming harder to find. If you’re lucky, there might be a pocket park near where you live, but it’s unusual to find places in a city that are relatively wild.Past research has found health and wellness benefits of nature for humans, but a new study shows that wildness in urban areas is extremely important for human well-being.The research team focused on a large urban park. They surveyed several hundred park-goers, asking them to submit a written summary online of a meaningful interaction they had with nature in the park. The researchers then examined these submissions, coding (编码) experiences into different categories. For example, one participant’s experience of “We sat and listened to the waves at the beach for a while” was assigned the categories “sitting at beach”and “listening to waves.”Across the 320 submissions, a pattern of categories the researchers call a “nature language” began to emerge. After the coding of all submissions, half a dozen categories were noted most often as important to visitors. These include encountering wildlife, walking along the edge of water, and following an established trail.Naming each nature experience creates a usable language, which helps people recognize and take part in the activities that are most satisfying and meaningful to them. For example, the experience of walking along the edge of water might be satisfying for a young professional on a weekend hike in the park. Back downtown during a workday, they can enjoy a more domestic form of this interaction by walking along a fountain on their lunch break.“We’re trying to generate a language that helps bring the human-nature interactions back into our daily lives. And for that to happen, we also need to protect nature so that we can interact with it,” said Peter Kahn,a senior author of the study.12. What phenomenon does the author describe at the beginning of the text?A. Pocket parks are now popular.B. Many cities are overpopulated.C. Wild nature is hard to find in cities.D. People enjoy living close to nature.13. Why did the researchers code participant submissions into categories?A. To analyze the main features of the park.B. To explain why the park attracts tourists.C. To compare different types of park-goers.D. To find patterns in the visitors’ summaries.14. What can we learn from the example given in paragraph 5?A. Walking is the best way to gain access to nature.B. Young people are too busy to interact with nature.C. The same nature experience takes different forms.D. The nature language enhances work performance.15. What should be done before we can interact with nature according to Kahn?A. Language study.B. Environmental conservation.C. Public education.D. Intercultural communication.第二节(共5小题；每小题2.5分，满分12.5分)阅读下面短文，从短文后的选项中选出可以填入空白处的最佳选项。
广东省广州市2020届高三普通高中毕业班综合测试一(一模考试)数学(文)试题 Word版含解析
2020年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1. 已知集合{1,2,3,4,5,6,7},{3,4,5},{1,3,6}U M N ===，则集合{2,7}等于（ ） A. M N ⋂ B.()UM NC.()UM N ⋂D. M N ⋃【答案】B 【解析】 【分析】由已知求出N {3},N {1,3,4,5,6}M M ⋂=⋃=，再求其补集，可判断结果． 【详解】解：由已知：N {3},N {1,3,4,5,6}M M ⋂=⋃= ∴()UM N {1,2,4,5,6,7}⋂=，(){2,7}U M N ⋃=故选：B【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题． 2. 某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为4800人，4000人，2400人．现采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生人数为70人，则该样本中高中学生人数为（ ） A. 42人 B. 84人C. 126 人D. 196人【答案】A 【解析】 【分析】设高中抽取人数为x ，根据条件，建立比例关系进行求解即可． 【详解】解：设高中抽取人数为x 则7040002400x=，得42x = 故选：A【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，属于基础题.3. 直线10kx y -+=与圆222410x y x y ++-+=的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定【答案】A【分析】判断直线恒过的定点与圆的位置关系，即可得到结论．【详解】解：圆方程可整理为22(1)(2)4x y ++-=，则圆心(1,2)-，半径2r ，直线恒过点(0,1)因为(0,1)在圆内，所以直线与圆相交 故选：A【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题.4. 已知函数ln ,0()0xx x f x e x ⎧=⎨≤⎩＞,，则14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为（ ） A. 4 B. 2C.12D.14【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，先求出14f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，再求14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值． 【详解】解：因为ln ,0()0x x x f x e x ⎧=⎨≤⎩＞,11ln 44f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭；1ln 41144f fe ⎡⎤⎛⎫∴== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．故选：D【点睛】本题主要考查了分段函数的函数值，属于基础题．5. 已知向量(2,1),(,2)a b x ==-，若2a b a b +=-，则实数x 的值为（ ） A.49B.12C.94D. 2【答案】C【分析】由向量a 和向量b 的坐标求出向量a b +和向量2a b -的坐标，再利用2a b a b +=-，即可求出x 的值．【详解】解：∵向量(2,1),(,2)a b x ==- ∴(2,1),2(4,4)a b x a b x +=+--=- ∵2a b a b +=-∴2222(2)(1)(4)4x x ++-=-+，解得94x = 故选：C【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的模长公式，是基础题． 6. 如图所示，给出的是计算111124622++++值的程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A. i ＞9B. i ＞10C. i ＞11D. i ＞12【答案】C 【解析】 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出s 的值，模拟循环过程可得条件．【详解】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：0,2,1s n i ===不满足条件，第1圈：10,4,22s n i =+== 不满足条件，第2圈：11,6,324s n i =+== 不满足条件，第3圈：111,8,4246s n i =++== … 依此类推不满足条件，第10圈：1111,22,1124620s n i =+++⋯+== 不满足条件，第11圈：11111,24,122462022s n i =+++++== 此时，应该满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：11?i >． 故选：C【点睛】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误，属于基础题． 7. 设函数()12cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若对于任意的x R ∈都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为（ ） A.2πB. πC. 2πD. 4π【答案】C 【解析】【分析】由题意结合三角函数的图象与性质可得12min22Tx x π-==，即可得解. 【详解】由题意知函数()f x 的最小正周期2412T ππ==，()1f x 、()2f x 分别为函数()f x 的最小值和最大值，所以12min22Tx x π-==. 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，属于基础题.8. 刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的规则．提出了“割圆术”，并用“割圆术”求出圆周率π为3.14．刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作．其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形的面积，第二步是求圆的内接正十二边形的面积，依此类推．若在圆内随机取一点，则该点取自该圆内接正十二边形的概率为（ ） A.332πB.3622πC.3πD.362π【答案】C 【解析】 【分析】设圆的半径为1，分别求出圆的面积及圆内接正十二边形的面积，由测度比是面积比得答案． 【详解】解：设圆的半径为1，圆内接正十二边形的一边所对的圆心角为3603012︒=︒ 则圆内接正十二边形的面积为：11211sin 3032⨯⨯⨯⨯=︒ 圆的面积为21ππ⨯=，由测度比为面积比可得：在圆内随机取一点，则此点在圆的某一个内接正十二边形内的概率是3π． 故选：C【点睛】本题考查几何概型概率的求法，关键是求出圆内接正十二边形的面积，是基础题． 9. 已知1sin cos ,05αααπ-=<<，则cos2=α（ ） A. 725-B.725C.2425D. 2425-【答案】A 【解析】 【分析】 把1sin cos 5αα-=平方可得2sin cos αα的值，从而求得sin cos αα+的值，再利用二倍角的余弦公式求得22cos 2cos sin (sin cos )(sin cos )ααααααα=-=--+的值．【详解】解：1sin cos ,05αααπ-=<<，∴平方可得：12412sin cos ,2sin cos 02525αααα-==> α为锐角．2247sin cos (sin cos )12sin cos 1255αααααα∴+=+=+=+= 22177cos 2cos sin (sin cos )(sin cos )5525ααααααα∴=-=--+=-⨯=-故选：A【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，考查了转化思想，属于中档题.10. 已知点()00,P x y 在曲线32:1C y x x =-+上移动，曲线C 在点P 处的切线的斜率为k ，若1,213k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则0x 的取值范围是（ ）A. 75,37⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 7,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 7,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. [7,9]-【答案】B 【解析】 【分析】先求出321y x x =-+的导数，然后求出曲线C 在点()00,P x y 处的切线斜率k ，再根据1,213k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求出0x 的取值范围．【详解】解：由321y x x =-+，得232y x x '=-则曲线C 在点()00,P x y 处的切线的斜率为0200'|32x x k y x x ===-20011,21,32,2133k x x ⎡⎤⎡⎤∈-∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即20020032322113x x x x ⎧≤⎪⎨≥---⎪⎩∴0733x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,． 故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.11. 已知O 为坐标原点，设双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的左右焦点分别为12F F ，，点P 是双曲线C 上位于第一象限上的点，过点2F 作12F PF ∠角平分线的垂线，垂足为A ，若122b F F OA =-，则双曲线的离心率为（ ）A.54B.43C.53D. 2【答案】C 【解析】 【分析】延长2F A 交1F P 于点Q ，由题意结合平面几何知识可得2F A AQ =，2PF PQ =，进而可得11222OA FQ F P F P a ==-=，结合双曲线的性质即可得223850c ac a -+=，即可得解.【详解】延长2F A 交1F P 于点Q ，高考资源网（ ） 您身边的高考专家PA 平分12F PF ∠，2F A PA ⊥， ∴2F A AQ =，2PF PQ =，又12FO OF =，∴11222OA FQ F P F P a ==-=， 122b F F OA =-，∴22b c a =-，又222+=a b c ，∴()22222a c a c +-=，化简得223850c ac a -+=，∴23850e e -+=，解得53e =或1e =（舍去）.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了转化化归思想和计算能力，属于中档题.12. 在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A BD C --的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A . 7π B. 8πC.163πD.283π【答案】D 【解析】 【分析】如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120°，分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60°，进而可求得R 的值．【详解】解：如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH 因为△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形所以AH ⊥BD ，CH ⊥BD ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120°设△ABD 与△CBD 外接圆圆心分别为E ，F 则由AH ＝233⨯=可得AE 23=AH 233=，EH 13=AH 3= 分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点 记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60° 所以OE ＝1，则R ＝OA 22213AE EO =+=则三棱锥外接球的表面积221284493R πππ=⨯= 故选：D【点睛】本题考查三棱锥的外接球，球的表面积公式，画出图形，数形结合是关键，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知复数22z =-．则24z z +=_____． 【答案】1i -- 【解析】 【分析】利用复数乘方运算和加法法则即可得出．【详解】解：2222112222z i i ⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭()2422()1z z i ∴==-=-241z z i ∴+=--故答案为：1i --【点睛】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．14. 已知函数()f x x x=(0,)+∞上有最小值4，则实数k ＝_____． 【答案】4 【解析】 【分析】由函数在(0,)+∞上有最小值可知，k ＞0，再由基本不等式即可求得k 的值． 【详解】解：依题意，0k >，则()2f x x k x=≥，当且仅当x k =时，等号成立 则24k =，解得4k =． 故答案为：4．【点睛】本题考查已知函数的最值求参数的值，考查分析能力及计算能力，属于基础题． 15. 已知直线a ⊥平面α，直线b ⊂平面β，给出下列5个命题①若α∥β，则a ⊥b ；②若α⊥β，则a ⊥b ：③若α⊥β，则a ∥b ：④若a ∥b ，则α⊥β；⑤若a ⊥b 则α∥β，其中正确命题的序号是_____． 【答案】①④． 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用逐一核对四个命题得答案．【详解】解：对于①，由a ⊥平面α，α∥β，得a ⊥β，又直线b ⊂平面β，∴a ⊥b ，故①正确；对于②，由a ⊥平面α，α⊥β，得a ∥β或a ⊂β，而直线b ⊂平面β，∴a 与b 的关系是平行、相交或异面，故②错误；对于③，由a ⊥平面α，α⊥β，得a ∥β或a ⊂β，而直线b ⊂平面β，∴a 与b 的关系是平行、相交或异面，故③错误；对于④，由a ⊥平面α，a ∥b ，得b ⊥平面α，又直线b ⊂平面β，∴α⊥β，故④正确； 对于⑤，由a ⊥平面α，a ⊥b ，得b ∥α或b ⊂α，又直线b ⊂平面β，∴α与β相交或平行，故⑤错误．∴其中正确命题的序号是①④．故答案为：①④．【点睛】本题考查命题的真假判断，空间中直线与平面，直线与直线，平面与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．16. 如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC2π=，∠ABC6π=，∠ADB12=π，则tan∠ACD ＝_____．33-．【解析】【分析】设∠ACD＝θ，AC＝1，则AD＝sinθ，进一步可得12BAD ABDππθθ∠=-∠=-，，再利用正弦定理可得sin3sinsin1212θπθ=⎛⎫-⎪⎝⎭，通过三角恒等变换即可求得tanθ的值，进而得出答案．【详解】解：不妨设∠ACD＝θ，AC＝1，则AD＝sinθ在△ABD中，22BADππθπθ∠=+-=-，∠ADB12=π，则12ABDπθ∠=-在△ABD中，由正弦定理得sin sinAD ABABD ADB=∠∠，即sin3sinsin1212θππθ=⎛⎫-⎪⎝⎭∴sin sin3sin cos cos sin121212πππθθθ⎫=-⎪⎭∴sin3sin3cos121212πππθθ⎛⎫=⎪⎝⎭∴2sin sin cos cos sin3cos61261212πππππθθ⎛⎫-=⎪⎝⎭∴2cossin 3cos 412ππθθ=，∴33623312tan 4422cos 4πθπ===． 33-． 【点睛】本题涉及了正弦定理，三角恒等变换等基础知识点，考查化简能力，构造能力以及计算能力，属于较难题目．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17. 已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且满足n n a n S =-，设1n n b a =-． （1）求123,,a a a ；（2）判断数列{}n b 是否是等比数列，并说明理由； （3）求数列{}n a 的前n 项和S n ． 【答案】（1）123137,,248a a a ===；（2）数列{}n b 是等比数列，理由见解析；（3） 112nn S n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．【解析】 【分析】（1）n n a n S =-，可得111a a =-，解得122122a a a ⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭，解得23331342a a a ⎛⎫⋅=-++ ⎪⎝⎭，解得3a ；（2）,2n n a n S n =-≥时，111n n a n S --=--，相减可得：()11112n n a a --=-，可得：112n n b b -=．即可得出结论；（3）由（2）可得：12nn b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 可得1n n a b =+，可得n n S n a =-. 【详解】解：（1）11,1n n a n S a a =-∴=-，解得112a =．22122a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得234a =．3331342a a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，解得378a =．（2）,2n n a n S n =-≥时，111n n a n S --=--，相减可得：121n n a a -=+， 变形为：()11112n n a a --=- 由1n n b a =-．可得：112n n b b -=． 11112b a =-=-∴数列{}n b 是等比数列，首项为12-，公比为12．（3）由（2）可得：1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则1112nn n a b ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭． 112n n n S n a n ⎛⎫∴=-=-+ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的前几项，判断等比数列，以及求数列的和，属于中档题．18. 如图1，在边长为2的等边△ABC 中，D ，E 分别为边AC ，AB 的中点．将△ADE 沿DE 折起，使得AB ⊥AD ，得到如图2的四棱锥A ﹣BCDE ，连结BD ，CE ，且BD 与CE 交于点H ．（1）证明：AH BD ⊥；（2）设点B 到平面AED 的距离为h 1，点E 到平面ABD 的距离为h 2，求12h h 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）263． 【解析】 【分析】（1）在图1中，证明BD ⊥AC ，ED ∥BC ，则在图2中，有12DH ED HB BC ==，得DH 133BD ==然后证明△BAD ∽△AHD ，可得∠AHD ＝∠BAD ＝90°，即AH ⊥BD ；（2）由V B ﹣AED ＝V E ﹣ABD ，得12ABD AEDh S h S=，分别求出三角形ABD 与三角形AED 的面积得答案．【详解】（1）证明：在图1中，∵△ABC 为等边三角形，且D 为边AC 的中点，∴BD ⊥AC ， 在△BCD 中，BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝1，∴BD 3= ∵D 、E 分别为边AC 、AB 的中点，∴ED ∥BC ， 在图2中，有12DH ED HB BC ==，∴DH 133BD == 在Rt△BAD 中，BD 3=AD ＝1， 在△BAD 和△AHD 中，∵3DB DADA DH==BDA ＝∠ADH ∴△BAD ∽△AHD ．∴∠AHD ＝∠BAD ＝90°，即AH ⊥BD ； （2）解：∵V B ﹣AED ＝V E ﹣ABD ，∴121133AED ABD S h S h ⋅=⋅，则12ABD AEDh S h S=．∵△AED 是边长为1的等边三角形，∴34AEDS=． 在Rt△ABD 中，BD 3=AD ＝1，则AB 2=∴22ABDS=，则12263hh．【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明，等体积法的应用，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．19. 某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第1天到第5天的日产卵数据：第x天 1 2 3 4 5日产卵数y（个） 6 12 25 49 95对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．51iix=∑521iix=∑()51lniiy=∑()51lniiix y=⋅∑15 55 15.94 54.75（1）根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数y关于x的回归方程为a bxy e+=（其中e为自然对数的底数），求实数a，b的值（精确到0.1）；（2）根据某项指标测定，若日产卵数在区间（e6，e8）上的时段为优质产卵期，利用（1）的结论，估计在第6天到第10天中任取两天，其中恰有1天为优质产卵期的概率．附：对于一组数据（v1，μ1），（v2，μ2），…，（v n，μn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆn i i ini iv u nv uv nvβ==∑-⋅=∑-，ˆˆu vαβ=-⋅．【答案】（1）a ≈1.1，b ≈0.7；（2）35【解析】 【分析】 （1）根据y ＝e a +bx，两边取自然对数得lny ＝a +bx ，再利用线性回归方程求出a 、b 的值； （2）根据y ＝e1.1+0.7x，由e 6＜e1.1+0.7x＜e 8求得x 的取值范围，再利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【详解】解：（1）因为y ＝e a +bx ，两边取自然对数，得lny ＝a +bx ， 令m ＝x ，n ＝lny ，得n ＝a +bm ； 因为21515.9454.755 6.9355ˆ0.693555310b -⨯⨯===-⨯； 所以0.7b ≈；因为15.94ˆˆ0.73 1.0885an bm =-=-⨯=； 所以a ≈1.1；即a ≈1.1，b ≈0.7； （2）根据（1）得y ＝e1.1+0.7x，由e 6＜e 1.1+0.7x ＜e 8，得7＜x 697＜； 所以在第6天到第10天中，第8、9天为优质产卵期； 从未来第6天到第10天中任取2天的所有可能事件有：(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10)共10种；其中恰有1天为优质产卵期的有：(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,10),(9,10)共6种；设从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的事件为A ， 则63()105P A ==； 所以从未来第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天为优质产卵期的概率为35． 【点睛】本题考查了非线性回归方程的求法以及古典概型概率的计算，也考查了运算求解能力，属于中档题．20. 已知⊙M 过点3,0)A ，且与⊙N ：22(3)16x y ++=内切，设⊙M 的圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）设直线l 不经过点(0,1)B 且与曲线C 相交于P ，Q 两点．若直线PB 与直线QB 的斜率之积为14-，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，直线l 过定点(0,0) 【解析】 【分析】（1）由两圆相内切的条件和椭圆的定义，可得曲线C 的轨迹方程；（2）设直线BP 的斜率为(0)k k ≠，则BP 的方程为1y kx =+，联立椭圆方程，解得交点P ，同理可得Q 的坐标，考虑P ，Q 的关系，运用对称性可得定点．【详解】解：（1）设⊙M 的半径为R ，因为圆M 过3,0)A ，且与圆N 相切 所以||,||4R AM MN R ==-，即4MN MA +=， 由||4NA <，所以M 的轨迹为以N ，A 为焦点的椭圆．设椭圆的方程为2222x y a b +=1（a ＞b ＞0），则2a ＝4，且c 223a b =-=所以a ＝2，b ＝1，所以曲线C 的方程为24x +y 2＝1；（2）由题意可得直线BP ，BQ 的斜率均存在且不为0，设直线BP 的斜率为(0)k k ≠，则BP 的方程为y ＝kx +1，联立椭圆方程2244x y +=， 可得()221480kx kx ++=，解得12280,14kx x k==-+ 则222814,1414k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，因为直线BQ 的斜率为14k-，所以同理可得222814,1414k k Q k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，因为P ，Q 关于原点对称，（或求得直线l 的方程为2418k y x k-=）所以直线l 过定点(0,0)【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程，椭圆中直线过定点问题，考查化简运算能力，属于中档题．21. 已知函数()()(0)bxf x x a e b =+≠的最大值为1e，且曲线()y f x =在x ＝0处的切线与直线2y x =-平行（其中e 为自然对数的底数）． （1）求实数a ，b 的值；（2）如果120x x <<，且()()12f x f x =，求证：1233x x +>． 【答案】（1）0,1a b ==-；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对原函数求导数，然后利用在x ＝0处切线的斜率为1，函数的最大值为1e列出关于a ，b 的方程组求解；（2）利用()()12f x f x =找到12,x x 的关系式2121x xx x e -=，然后引入21t x x =-，构造关于t的函数，将123x x +转换成关于t 的函数，求最值即可． 【详解】解：（1）由已知()(1)bxf x bx ab e '=++．则易知(0)11,0f ab ab '=+=∴=，又因为0b ≠，故a ＝0． 此时可得()(0),()(1)bxbxf x xe b f x bx e =≠'=+． ①若b ＞0，则当1x b<-时，()0,()f x f x '<递减； 当1x b>-时，()0,()f x f x '>递增． 此时，函数()f x 有最小值，无最大值． ②若b ＜0，则当1x b<-时，()0,()f x f x '>递增；当1x b>-时，()0,()f x f x '<递减． 此时1111()max f x f e b b e -⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得1b =-． 所以0,1a b ==-即为所求．（2）由120x x <<，且()()12f x f x =得：1212x x x x e e =． ∴2211121x x x x x e x x e e -==．设21(0)t x x t =->，则11te x x t -=可得1211t t t t te x x e e ==--，，所以要证1233x x +>，即证3311tt t t te e e +--＞．∵t ＞0，所以10t e ->，所以即证(3)330tt e t -++>． 设()(3)33(0)tg t t e t t =-++>，则()(2)3tg t t e '=-+． 令()(2)3th t t e =-+，则()(1)th t t e '=-当(0,1)t ∈时，()0,()h t h t '<递减；当(1,)t ∈+∞时，()0,()h t h t '>递增． 所以()(1)30h t h e ≥=->，即()0g t '>，所以()g t 在(0,)+∞上递增． 所以()(0)0g t g >=．1233x x ∴+>．【点睛】本题考查导数的几何意义、以及利用导数研究函数的最值，以及利用导数研究双变量问题，同时考查学生利用转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想解决问题的能力．属于较难的题目．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为312x ty t =+⎧⎨=+⎩，(t 为参数)，曲线2C 的参数方程为33x cos y tan θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，(θ为参数，且322ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，)．（1）求1C 与2C 的普通方程，（2）若A B ，分别为1C 与2C 上的动点，求AB 的最小值．【答案】（1）1C 的普通方程为2250x y C --=；的普通方程为22133x y -=，3x ≤（2）855【解析】 【分析】（1）消参即可求出1C 的普通方程；对2C 的参数方程同时平方得()222222223cos sin 3cos cos 3sin cos x y θθθθθθ⎧+⎪==⎪⎨⎪=⎪⎩，再结合322ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可得2C 的普通方程； （2）设1C 的平行直线为20x y c -+=，当直线20x y c -+=与2C 相切时，两直线的距离即为AB 的最值，即可得解.【详解】（1）消参可得1C 的普通方程为250x y --=；又因为2C 参数方程为3 3x y θ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得()222222223cos sin 3cos cos 3sin cos x y θθθθθθ⎧+⎪==⎪⎨⎪=⎪⎩，又322ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3x ≤所以2C 的普通方程为(221333x y x -=≤，（2）由题意，设1C 的平行直线为20x y c -+=，联立2220 133x y c x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩消元可得：223430x cx c +++=，令()()2212340c c ∆=+=-，解得3c =±，又因为3x ≤3c =时直线与2C 相切， 所以()()22358521min AB --==+-. 【点睛】本题考查了参数方程和直角坐标方程的转化，考查了圆锥曲线上的点到直线上的点的距离的最值的求解，属于中档题. [选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()36f x x x a =-+-， （1）当1a =时，解不等式()3f x <;（2）若不等式()114f x x <-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）51,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）()85-，． 【解析】 【分析】（1）由题意()47125,12?472x x f x x x x x -+<⎧⎪=-+≤<⎨⎪-≥⎩，，，分类讨论即可得解；（2）转化条件得5a <且25a x >-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立，根据恒成立问题的求解方法即可得解.【详解】（1）当1a =时，()47136125,12?472x x f x x x x x x x -+<⎧⎪=-+-=-+≤<⎨⎪-≥⎩，，，当1x <时，()3f x <即473x -+<，解得1x >（舍）；当12x ≤<时，()3f x <即253x -+<，解得1x >，所以12x <<； 当2x ≥时，()3f x <即473x -<，解得52x <，所以522x ≤<； 综上，()3f x <的解集为51,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）由()36114f x x x a x =-+-<-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 则5 50x a xx ⎧-<-⎨->⎩对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 所以5 5x x a x a x-<-⎧⎨-<-⎩即5a <且25a x >-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 即85a -<<，故a 的取值范围为()85-，. 【点睛】本题查了绝对值不等式的求解和含绝对值恒成立问题的求解，考查了计算能力和分类讨论思想，属于中档题.。
(100所名校)广东省华南师范大学附属中学2020届高三综合测试数学(文)试题Word版含解析
广东省华南师范大学附属中学2020届高三综合测试数学（文）试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷（选择题）一、单选题1．若集合{}|0B x x =≥，且A B A ⋂=，则集合A 可能是（ ） A. {}1,2 B. {}|1x x ≤ C. {}1,0,1- D. R2．下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是( ) A.B.C. D.3．等差数列满足，，则（ ）A. B. C. D. 4．已知向量，，且，则实数（ ）A. B. C. D.5．实数，满足，且，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 6．在正方体中，是线段上的动点，是线段上的动点,且不重合，则直线与直线的位置关系是( )A. 相交且垂直B. 共面C. 平行D. 异面且垂直 7．有6名学生参加数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是1—6号，得第一名者将参加全国数学竞赛.今有甲，乙，丙，丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：4号，5号，6号都不可能；乙猜：3号不可能；丙猜：不是1号就是2号；丁猜：是4号，5号，6号中的某一个.以上只有一个人猜对，则他应该是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁8．过点()(),00A a a >，且倾斜角为30︒的直线与圆()222:0O x y rr +=>相切于点B ，且3AB =，则OAB ∆的面积是( ) A.12B. 32C. 1D. 29．已知流程图如图所示，该程序运行后，若输出的值为16，则循环体的判断框内①处应填（ ）A. B. C. D. 10．函数，，设的最大值是，最小正周期为，则的值等于（ ）A. B. C. D.11．等比数列的前项和（为常数），若恒成立，则实数的最大值是（ ）A. B. C. D. 12．已知函数()()()1,0{11,0ln x m x f x m ax b x ++≥=<--+<，对于任意s R ∈，且0s ≠，均存在唯一实数t ，使得()()f s f t =，且s t ≠，若关于x 的方程()2m f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A. ()2,1-- B. ()1,0-C. ()4,2--D. ()()4,11,0--⋃-第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知为虚数单位，复数满足，则__________．14．已知如图所示的矩形，长为，宽为，在矩形内随机地投掷颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为颗，则可以估计阴影部分的面积约为__________．15．某组合体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为1，则该多面体的体积是__________．16．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯， 26⨯， 34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解.当p q ⨯（p q ≤且*,N p q ∈）是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如()12431f =-=.数列(){}3nf 的前100项和为__________．三、解答题 17．在中，角，，所对的边分别为，，，满足.（1）求角的大小； （2）若，，求的面积.18．《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试.现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在到之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，…，第六组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第1组或第4组的概率；（2）已知第5，6两组市民中有3名女性，组织方要从第5，6两组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率.19．如图， AB 为圆O 的直径，点E F 、在圆O 上， //AB EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在的平面互相垂直.已知2AB =， 1EF =. （Ⅰ）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；（Ⅱ）设几何体F ABCD -、F BCE -的体积分别为12V V 、，求12V V ：的值.20．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为5.（1）求该抛物线的方程； （2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.21．已知函数()()21f x a x b =-+.(1)讨论函数()()xg x e f x =-在区间[]0,1上的单调性；(2)已知函数()12xx h x e xf ⎛⎫=--⎪⎝⎭，若()10h =，且函数()h x 在区间()0,1内有零点，求a 的取值范围. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 在平面直角坐标系xOy 下的参数方程为13{3x cos y sin θθ==（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求曲线C 的普通方程及极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是cos 336πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，射线OT ： (0)3πθρ=>与曲线C 交于点A 与直线l 交于点B ，求线段AB 的长． 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.（1）若，恒成立，求实数的取值范围；（2）求函数的图象与直线围成的封闭图形的面积.广东省华南师范大学附属中学2020届高三综合测试数学（文）试题参考答案1．A【解析】Q 集合{}|0B x x =≥，且A B A ⋂=，故A B ⊆，故A 答案中{}1,2满足要求，故选A. 2．A 【解析】是奇函数又在定义域上单调递增;在定义域上单调递增但是非奇非偶函数;是奇函数但在 和 上单调递增, 在定义域上不具单调性;是奇函数又在定义域上有增有减,所以选A.3．B【解析】由题意，，所以，所以，，故选B 。
华南师大附中2024-25届高三上学期综合测试(一)(数学)
华南师大附中2024-25届高三上学期综合测试（一）数 学满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（ ） A. 1B. 2C. 4D. 82. 直线l 过抛物线2:4C x y =-的焦点，且在x 轴与y 轴上的截距相同，则l 的方程是（ ） A. 1y x --= B. =1y x -+ C. 1y =x -D. 1yx3. 已知0x >，0y >，则（ ） A. ln ln ln ln 777x y x y +=+ B. ()ln ln ln 777x y x y +=⋅ C. ln ln ln ln 777x y x y ⋅=+ D. ()ln ln ln 777xy x y =⋅4. 函数()1ln f x a x x=+的图象不可能是（ ） A. B.C. D.5. 已知a ，b ，c 满足23a =，ln21b =，32c =，则（ ） A. a b c >>B. a c b >>C. b c a >>D. b a c >>6. 若正数,x y 满足2220x xy -+=，则x y +的最小值是（ ）A.B.2C.D. 27. 已知1,1a b >>.设甲：e e b a a b =，乙：b a a b =，则（ ） A. 甲是乙的充要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充分条件但不是必要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8. 已知正实数123,,x x x 满足12111212x x x x ++=，22222313xx x x ++=，33323414xx x x ++=，则123,,x x x 的大小关系是（ ）A. 213x x x <<B. 123x x x <<C. 321x x x <<D. 132x x x <<二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知函数()31f x x x =-+，则（ ）A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有一个零点C. 点()0,1是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线10. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()()()22,12,1f x y f x y f x f y f f x +⋅-=-=+为偶函数，则（ ） A. ()32f = B. ()f x 为奇函数C. ()20f =D.20241()0k f k ==∑11. 已知函数()2ln f x x =，曲线():C y f x =.过不在C 上的点(),(0)P a b a >恰能作两条C 的切线，切点分别为()()()()()112212,,,x f x x f x xx <，则（ ）A. e a >B. ()2e 1a b =+C. 1x a <D. ()2f x b >三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 某中学的A ､B 两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有__________种不同的排课方式.（用数字作答） 13. 已知函数()21y f x =+-为定义在R 上的奇函数，则()405112024i f i =-=∑______．14. 一段路上有100个路灯12100,,,L L L 一开始它们都是关着的，有100名行人先后经过这段路，对每个{}1,2,3,,100k ∈，当第k 名行人经过时，他将所有下标为k 的倍数的路灯2,,k k L L 的开关状态改变.问当第100名行人经过后，有______个路灯处于开着的状态.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （13分）记ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin 2c B b =．（1）求C ；（2）若tan tan tan A B C =+，2a =，求ABC ∆的面积．16. （15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，5PA PD ==E 是线段AD 的中点，2CM MP =.（1）证明：PE //平面BDM ； （2）求平面AMB 与平面BDM 的夹角.17. （15分） HSFZ 在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：性别速度合计快慢 男生 65 女生 55 合计110200（1）根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？ （2）现有n ()*Nn ∈根绳子，共有2n 个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.（i ）当3n =，记随机变量X 为绳子围成的圈的个数，求X 的分布列与数学期望； （ii ）求证：这n 根绳子恰好能围成一个圈的概率为()()212!1!.2!n n n n -⋅-附：()()()()22(),.n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++ 2()P K k ≥0. 100 0. 050 0.025 0.010 k2.7063.8415.0246.63518. （17分）费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径MN 为6，且MN 与x 轴交于点()2,0-．平行于x 轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）（1）设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线C ，试判断C 属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．（2）设曲线F 为解析式同C 的完整圆锥曲线，直线l 与F 交于A ，B 两点，交y 轴于点H ，交x 轴于点Q （点Q 不与F 的顶点重合）．若12HQ k QA k QB ==，1283k k +=-，试求出点Q 所有可能的坐标．19. （17分）已知函数()e 2ex x axf x =+.（1）当12a =时，记函数()f x 的导数为()f x '，求()0f '的值. （2）当1a =，1x ≥时，证明：()3cos 2f x x >.（3）当2a ≥时，令()()e 1xg x a f x ⎡⎤=+-⎣⎦，()g x 的图象在x m =，()x n m n =<处切线的斜率相同，记()()g m g n +的最小值为()h a ，求()h a 的最小值. （注：e 2.71828=是自然对数的底数）.数学参考答案一、选择题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
广东省华南师范大学附属中学2020高三数学上学期月考试
广东省华南师范大学附属中学2020届高三数学上学期月考试题（二）文本试卷共5页，23题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖，则()R A B =I ð（ ） A ．[1,0)(2,3]-U B ．(2,3]C ．(,0)(2,)-∞+∞UD ．(1,0)(2,3)-U2．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则zi=（ ） A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为（ ） A ．5πB ．6πC ．3πD ．4π4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（ ）灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏5．已知，若，则实数的值为（ ）A ．-2B ．2C ．0D ．16．已知12,2x y x x >=+-，则y 的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．4D ．37．已知x ，y ∈R，且x >y >0，则（ ） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -<C ．110x y-> D ．ln x +ln y >08．将函数()2sin 44f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，再向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则()0g =（ ） A 2B ．2C ．2-D ．09．已知△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且22()a b c ab +=+，30B =︒，4a =，则△ABC 的面积为（ ）A ．4B ．33C ．3D ．6310．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123a =，6812S a =，则使n S 达到最大值的n 是（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 11．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108︒的等腰三角形).例如，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形ABC 中，512BC AC -=，根据这些信息，可得sin 234︒=（ ） A 125- B ．35+-C ．15+D ．45+12．已知三棱锥D ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，AB AC ⊥，6AB =，6AC =，顶点D 在平面ABC 上的投影E 为BC 的中点，且5DE =，则球O 的表面积为（ ） A ．16πB ．17πC ．60πD ．64π第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高三(上)月考数学试卷(文科)(二)
2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高三（上）月考数学试卷（文科）（二）试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）已知集合A={x|（x-3）（x+1）＞0}.B={x||x-1|＞1}.则（∁R A）∩B=（）A.[-1.0）∪（2.3]B.（2.3]C.（-∞.0）∪（2.+∞）D.（-1.0）∪（2.3）=（）2.（单选题.5分）在复平面内.复数z对应的点与1+i对应的点关于实轴对称.则ziA.1+iB.-1+iC.-1-iD.1-i3.（单选题.5分）在一个圆柱内挖去一个圆锥.圆锥的底面与圆柱的上底面重合.顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形.则圆锥的侧面展开图面积为（）A.3πB.4πC. √5πD. √6π4.（单选题.5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层.红光点点倍加增.共灯三百八十一.请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯.且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍.则塔的顶层共有灯（）A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏5.（单选题.5分）已知f （x ）= {2x ，x ＜0a +log 2x ，x ≥0.若f （f （-1））=-1．则实数a 的值为（ ）A.-2B.2C.0D.16.（单选题.5分）已知 x ＞2，y =x +1x−2 .则y 的最小值为（ ）A.2B.1C.4D.37.（单选题.5分）已知x.y∈R .且x ＞y ＞0.则（ ）A. x −y ＞1x −1yB.cosx-cosy ＜0C. 1x −1y ＞0D.lnx+lny ＞08.（单选题.5分）将函数 f (x )=2sin (4x −π4) 的图象纵坐标不变.横坐标伸长到原来2倍.再向右平移 π4 个单位.得到函数g （x ）的图象.则g （0）=（ ）A. √2B.2C. −√2D.09.（单选题.5分）已知△ABC 的内角A.B.C 的对边分别为a.b.c.且（a+b ）2=c 2+ab.B=30°.a=4.则△ABC 的面积为（ ）A.4B.3 √3C.4 √3D.6 √310.（单选题.5分）等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=23.S 6=12a 8.则使S n 达到最大值的n 是（ ）A.10B.11C.12D.1311.（单选题.5分）黄金三角形有两种.其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形.它是顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如.正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成.如图所示.在一个黄金三角形ABC 中. BC AC =√5−12 .根据这些信息.可得sin234°=（ ） A. 1−2√54 B. −3+√58 C.- 1+√54D.- 4+√58 12.（单选题.5分）已知三棱锥D-ABC 的每个顶点都在球O 的表面上.AB⊥AC .AB=6. AC =2√6 .顶点D 在平面ABC 上的投影E 为BC 的中点.且DE=5.则球O 的表面积为（ ）A.16πB.17πC.60πD.64π13.（填空题.5分）已知幂函数f （x ）=x α的图象过点 (2，√2) .则函数f （x ）的定义域是___ ．14.（填空题.5分）已知向量 a ⃗=(1，−2) . b ⃗⃗=(2，m) .且 a ⃗∥b ⃗⃗ .则 a ⃗•b⃗⃗ =___ ． 15.（填空题.5分）已知实数x.y 满足 {2x −1≥0x −y ≤0x +y −2≤0.则目标函数z=2x+y 的最大值为___ ． 16.（填空题.5分）设函数f （x ）= ax 33−bx 2+a 2x −13在x=1处取得极值为0.则a+b=___ ． 17.（问答题.12分）在公差不为0的等差数列{a n }中.a 1.a 3.a 9成公比为a 3的等比数列.又数列{b n }满足 b n ={2a n ，n =2k −1，2n ，n =2k ，（k∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．18.（问答题.12分）如图.在四棱锥P-ABCD 中.底面ABCD 为平行四边形.AB=2AD=2. PD =BD =√3AD .且PD⊥底面ABCD ．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD ；（Ⅱ）求A 到平面PBC 的距离．19.（问答题.12分）某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查.张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量y （单位：万只）与相应年份x （序号）的数据表和散点图（如图所示）.根据散点图.发现y 与x 有较强的线性相关关系． 年份序号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9年养殖山羊y/万只1.2 1.5 1.6 1.6 1.82.5 2.5 2.6 2.7 ∑(x i −x )29i=1=60 . ∑(x i −x )9i=1(y i −y )=12 ；（Ⅱ）李四提供了该县山羊养殖场的个数z （单位：个）关于x 的回归方程 ẑ=−2x +30 ． 试估计： ① 该县第一年养殖山羊多少万只？② 到第几年.该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b ̂ = i −x )(i −y )ni=1∑(x −x )2n . a ̂=y −b ̂x ．20.（问答题.12分）已知椭圆C ： x 2a 2 +y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的离心率为 √63 .两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为 √2 ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设与圆O ：x 2+y 2= 34 相切的直线l 交椭圆C 于A.B 两点（O 为坐标原点）.求△AOB 面积的最大值．21.（问答题.12分）已知函数f （x ）=lnx.g （x ）=x-1．（Ⅰ）证明：当x ＞0时.f （x ）≤g （x ）；（Ⅱ）若x∈[1.e]时.不等式 g(√x)≥af (x ) 成立.求a 的取值范围．22.（问答题.10分）在平面直角坐标系xOy 中.直线 C 1：√3x +y −4=0 .曲线 C 2：{x =cosφy =1+sinφ(φ 为参数）.以坐标原点O 为极点.以x 轴正半轴为极轴.建立极坐标系． （Ⅰ）求C 1.C 2的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 3的极坐标方程为 θ=π3 （ρ＞0）.且曲线C 3分别交C 1.C 2于A.B 两点.求|AB|．23.（问答题.0分）已知函数f （x ）=|2x-4|+|x+1|.x∈R ．（1）解不等式f （x ）≤9；（2）若方程f （x ）=-x 2+a 在区间[0.2]有解.求实数a 的取值范围．2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高三（上）月考数学试卷（文科）（二）参考答案与试题解析试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）已知集合A={x|（x-3）（x+1）＞0}.B={x||x-1|＞1}.则（∁R A）∩B=（）A.[-1.0）∪（2.3]B.（2.3]C.（-∞.0）∪（2.+∞）D.（-1.0）∪（2.3）【正确答案】：A【解析】：先分别求出集合A.B.由此能求出C R A.进而能求出（∁R A）∩B．【解答】：解：∵集合A={x|（x-3）（x+1）＞0}={x|x＜-1或x＞3}.B={x||x-1|＞1}={x|x＜0或x＞2}.∴C R A={x|-1≤x≤3}.∴（∁R A）∩B={x|-1≤x＜0或2＜x≤3}=[-1.0）∪（2.3]．故选：A．【点评】：本题考查补集、交集的求法.考查补集、交集、不等式的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．2.（单选题.5分）在复平面内.复数z对应的点与1+i对应的点关于实轴对称.则z=（）iA.1+iB.-1+iC.-1-iD.1-i【正确答案】：C.再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：由已知求得z.代入zi【解答】：解：由题意.z=1-i.则zi = 1−ii=(1−i)(−i)−i2=−1−i .故选：C．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.是基础题．3.（单选题.5分）在一个圆柱内挖去一个圆锥.圆锥的底面与圆柱的上底面重合.顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形.则圆锥的侧面展开图面积为（）A.3πB.4πC. √5πD. √6π【正确答案】：C【解析】：首先求出圆锥的母线的长和圆锥的底面周长.进一步利用侧面积公式的应用求出结果．【解答】：解：根据题意知：圆锥的高为2.圆锥的底面半径为1.所以圆锥的底面周长为2π.圆锥的母线长为√12+22=√5 .所以圆锥的侧面展开面的面积为S= 12×2π×√5=√5π．故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：圆锥的侧面的面积公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．4.（单选题.5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层.红光点点倍加增.共灯三百八十一.请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯.且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍.则塔的顶层共有灯（）A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【正确答案】：B【解析】：设塔的顶层共有a1盏灯.则数列{a n}公比为2的等比数列.利用等比数列前n项和公式能求出结果．【解答】：解：设塔的顶层共有a 1盏灯.则数列{a n }公比为2的等比数列.∴S 7= a 1(1−27)1−2=381. 解得a 1=3．故选：B ．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．5.（单选题.5分）已知f （x ）= {2x ，x ＜0a +log 2x ，x ≥0.若f （f （-1））=-1．则实数a 的值为（ ）A.-2B.2C.0D.1【正确答案】：C【解析】：推导出f （-1）=2-1= 12 .由f （f （-1））=-1．的f （f （-1））=f （ 12 ）=a+log 2 12 =-1.由此能求出a ．【解答】：解：∵f （x ）= {2x ，x ＜0a +log 2x ，x ≥0 .∴f （-1）=2-1= 12 .∵f （f （-1））=-1．∴f （f （-1））=f （ 12 ）=a+log 2 12 =-1.解得a=0．故选：C ．【点评】：本题考查函数值的求法.考查函数性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．6.（单选题.5分）已知 x ＞2，y =x +1x−2 .则y 的最小值为（ ）A.2B.1C.4D.3【正确答案】：C【解析】：由 x ＞2，y =x +1x−2 =x-2+ 1x−2+2 .利用基本不等式即可求解．【解答】：解：∵ x ＞2，y =x +1x−2 =x-2+ 1x−2+2 ≥2+2=4. 当且仅当x-2= 1x−2 即x=3时取等号.则y 的最小值为4．故选：C ．【点评】：本题考查了基本不等式在求最值中的应用.属于基础题7.（单选题.5分）已知x.y∈R .且x ＞y ＞0.则（ ）A. x −y ＞1x −1yB.cosx-cosy ＜0C. 1x −1y ＞0D.lnx+lny ＞0【正确答案】：A【解析】：利用不等式的基本性质、取特殊值法即可得出．【解答】：解：A ．∵x ＞y ＞0.∴x -y-（ 1x - 1y ）=（x-y ）•1+xy xy ＞0.∴x -y ＞ 1x - 1y .因此正确； B ．取x=4π+ π6 .y=2π+ π3 .则cosx-cosy ＞0.因此不正确；C ．∵x ＞y ＞0.∴ 1y ＞ 1x .∴ 1y - 1x ＞0.因此不正确；D ．取x= 1e .y= 1e 2 .则lnx+lny=-3＜0.因此不正确．故选：A ．【点评】：本题考查了不等式的基本性质、取特殊值法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．8.（单选题.5分）将函数 f (x )=2sin (4x −π4) 的图象纵坐标不变.横坐标伸长到原来2倍.再向右平移 π4 个单位.得到函数g （x ）的图象.则g （0）=（ ）A. √2B.2C. −√2D.0【正确答案】：C【解析】：由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.求得函数g（x）的解析式.从而求得g（0）的值．【解答】：解：∵将函数f(x)=2sin(4x−π4)的图象纵坐标不变.横坐标伸长到原来2倍.可得y=2sin（2x- π4）的图象；再向右平移π4个单位.得到函数g（x）=2sin（2x- π2- π4）=-2sin[ π2-（2x- π4）]=-2cos（2x- π4）的图象.则g（0）=-2cos（- π4）=-2cos π4=- √2 .故选：C．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.属于基础题．9.（单选题.5分）已知△ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c.且（a+b）2=c2+ab.B=30°.a=4.则△ABC的面积为（）A.4B.3 √3C.4 √3D.6 √3【正确答案】：C【解析】：首先利用余弦定理求出B的值.进一步判定三角形为等腰三角形.进一步利用面积公式的应用求出结果．【解答】：解：△ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c.且（a+b）2=c2+ab.整理得a2+b2-c2=-ab.所以cosC=a2+b2−c22ab =−12.由于0＜C＜π.故C= 2π3．由于B=30°.a=4.则△ABC为等腰三角形.所以b=4．.所以S△ABC=12•4•4•√32=4 √3．故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．10.（单选题.5分）等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1=23.S6=12a8.则使S n达到最大值的n是（）A.10B.11C.12D.13【正确答案】：C【解析】：S6=12a8.所以a1+a62×6 =12（a1+7d）.又a1=23.所以d=-2.所以令a n=a1+（n-1）d=25-2n＞0.得n≤12.令a n＜0得.n≥13.即可得到结论．【解答】：解：依题意.S6=12a8.所以a1+a62×6 =12（a1+7d）.又a1=23.所以d=-2.令a n=a1+（n-1）d=25-2n＞0.得n≤12.令a n＜0得.n≥13.即a12＞0.a13＜0.所以使S n达到最大值的n是12.故选：C．【点评】：本题考查了等差数列的前n项和.等差数列的通项公式.属于基础题．11.（单选题.5分）黄金三角形有两种.其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形.它是顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如.正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成.如图所示.在一个黄金三角形ABC中. BCAC =√5−12.根据这些信息.可得sin234°=（）A. 1−2√54B. −3+√58C.- 1+√54D.- 4+√58【正确答案】：C【解析】：由已知求得∠ACB=72°.可得cos72°的值.再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解sin234°．【解答】：解：由图可知.∠ACB=72°.且cos72°= 12BC AC = √5−14． ∴cos144°=2cos 272°-1=-√5+14． 则sin234°=sin （144°+90°）=cos144°=- √5+14． 故选：C ．【点评】：本题考查三角函数的恒等变换.考查解读信息与应用信息的能力.是中档题． 12.（单选题.5分）已知三棱锥D-ABC 的每个顶点都在球O 的表面上.AB⊥AC .AB=6. AC =2√6 .顶点D 在平面ABC 上的投影E 为BC 的中点.且DE=5.则球O 的表面积为（ ） A.16π B.17π C.60π D.64π【正确答案】：D【解析】：由题意画出图形.求解三角形求外接球的半径.再由球的表面积公式求解．【解答】：解：如图.在△ABC 中.AB⊥AC .AB=6. AC =2√6 .∴ BC=√62+(2√6)2=2√15 . AE=1BC=√15．2设球O的半径为R.则15+（5-R）2=R2.∴R=4．∴球O的表面积为4πR2=64π．故选：D．【点评】：本题考查球的表面积的求法.考查空间想象能力与思维能力.是中档题．13.（填空题.5分）已知幂函数f（x）=xα的图象过点(2，√2) .则函数f（x）的定义域是___ ．【正确答案】：[1][0.+∞）【解析】：依题意可求得α=2.从而可求f（x）的定义域．【解答】：解：∵f（x）=xα的图象过点（2. √2）.∴2α= √2 ..∴α= 12∴f（x）= x12 .∴函数f（x）的定义域是[0.+∞）．故答案为：[0.+∞）．【点评】：本题考查幂函数的性质.求得α是关键.属于基础题．14.（填空题.5分）已知向量a⃗=(1，−2) . b⃗⃗=(2，m) .且a⃗∥b⃗⃗ .则a⃗•b⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]10【解析】：利用平面向量的共线定理和坐标表示求出m的值.再计算a⃗•b⃗⃗的值．【解答】：解：向量a⃗=(1，−2) . b⃗⃗=(2，m) .且a⃗∥b⃗⃗ .∴1×m-（-2）×2=0.解得m=-4.∴ a⃗•b⃗⃗ =1×2+（-2）×（-4）=10．故答案为：10．【点评】：本题考查了平面向量的共线定理与数量积运算问题.是基础题．15.（填空题.5分）已知实数x.y 满足 {2x −1≥0x −y ≤0x +y −2≤0 .则目标函数z=2x+y 的最大值为___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由题意作出其平面区域.将z=2x+y 化为y=-2x+z.z 相当于直线y=-2x+z 的纵截距.由几何意义可得．【解答】：解：由题意作出其平面区域.将z=2x+y 化为y=-2x+z.z 相当于直线y=-2x+z 的纵截距. 则由 {x −y =0x +y −2=0 解得.x=1.y=1；故z=2x+y 的最大值是2×1+1=3. 故答案为：3．【点评】：本题考查了简单线性规划.作图要细致认真.属于中档题． 16.（填空题.5分）设函数f （x ）= ax 33−bx 2+a 2x −13 在x=1处取得极值为0.则a+b=___ ．【正确答案】：[1]- 79【解析】：求出导函数.根据定义可知f'（1）=a-2b+a 2=0.f （1）=0.得出a=1或a=- 23.由极值概念可知a=1不成立.故a=- 23 .b=- 19 .得出答案．【解答】：解：∵f （x ）= ax 33−bx 2+a 2x −13 .∴f'（x ）=ax 2-2bx+a 2. ∵在x=1处取得极值为0. ∴f'（1）=a-2b+a 2=0.f （1）=0. ∴a=1或a=- 23 .∵函数有极值.a=1不成立． ∴a=- 23 .b=- 19 . 故答案为- 79 ．【点评】：本题考查了极值的概念和导函数的应用.属于基础题型.应熟练掌握．17.（问答题.12分）在公差不为0的等差数列{a n }中.a 1.a 3.a 9成公比为a 3的等比数列.又数列{b n }满足 b n ={2a n ，n =2k −1，2n ，n =2k ， （k∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．【正确答案】：【解析】：（1）公差d 不为0的等差数列{a n }.由等比数列中项性质和等差数列的通项公式.解方程可得首项和公差.进而得到所求通项公式；（2）运用数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式.计算可得所求和．【解答】：解：（1）公差d 不为0的等差数列{a n }中.a 1.a 3.a 9成公比为a 3的等比数列. 可得a 32=a 1a 9.a 3=a 1a 3.可得（a 1+2d ）2=a 1（a 1+8d ）.a 1=1. 化简可得a 1=d=1. 即有a n =n.n∈N*；（2）由（1）可得b n = {2n ，n =2k −12n ，n =2k.k∈N*；前2n 项和T 2n =（2+8+16+…+22n-1）+（4+8+12+…+4n ）= 2(1−4n )1−4 + 12 n （4+4n ）= 2(4n −1)3 +2n （n+1）．【点评】：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用.考查数列的求和方法：分组求和.考查方程思想和运算能力.属于中档题．18.（问答题.12分）如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为平行四边形.AB=2AD=2. PD=BD=√3AD .且PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）求A到平面PBC的距离．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）证明AD⊥BD.BC⊥BD．PD⊥BC．然后证明BC⊥平面PBD．（Ⅱ）设A到平面PBC距离为d.由V P-ABC=V A-PBC.转化求解A到平面PBC的距离．【解答】：（Ⅰ）证明：∵AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.∵AD || BC.∴BC⊥BD．又∵PD⊥底面ABCD.∴PD⊥BC．∵PD∩BD=D.∴BC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD.BD⊂平面ABCD.∴PD⊥BD．∴ PB=√PD2+BD2=√6．由（1）BC⊥平面PBD.又PB⊂平面PBD.∴BC⊥PB．∴ S△PBC=12×BC×PB=12×1×√6=√62．又S△ABC=12×2×√32=√32.设A到平面PBC距离为d.由V P-ABC =V A-PBC 可得 13×S △ABC ×PD =13×S △PBC ×d . ∴ d =√62． 即A 到平面PBC 的距离为 √62 ．【点评】：本题考查等体积法的应用.点到平面的距离的求法.直线与平面垂直的判断定理的应用.考查空间想象能力以及计算能力.是中档题．19.（问答题.12分）某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查.张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量y （单位：万只）与相应年份x （序号）的数据表和散点图（如图所示）.根据散点图.发现y 与x 有较强的线性相关关系．年份序号x 1 2 345 6 7 8 9 年养殖山羊y/万只1.2 1.5 1.6 1.6 1.82.5 2.5 2.6 2.7∑(x i −x )29i=1=60 . ∑(x i −x )9i=1(y i −y )=12 ；（Ⅱ）李四提供了该县山羊养殖场的个数z （单位：个）关于x 的回归方程 ẑ=−2x +30 ． 试估计： ① 该县第一年养殖山羊多少万只？② 到第几年.该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b ̂ = i −x )(i −y )ni=1∑(x −x )2n . a ̂=y −b ̂x ．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由已知求得 x 与 y .进一步得到 b ̂ 与 a ̂ 的值.则线性回归方程可求； （Ⅱ）由题意求得 y ̂•ẑ =-0.4x 2+4x+30. ① 在 y ̂•ẑ =-0.4x 2+4x+30中取x=1求解； ② 由题意得-0.4x 2+4x+30＜33.6.求解不等式得答案．【解答】：解：（Ⅰ）设y 关于x 的线性回归方程为 y ̂=b ̂x +a ̂ . 由 x =1+2+3+4+5+6+7+8+99=5 .y =1.2+1.5+1.6+1.6+1.8+2.5+2.5+2.6+2.79=2 .得 b ̂=i −x )(i −y )9i=1∑(x −x )29=1260=0.2 . ∴ a ̂=y −b̂x =2−0.2×5=1 . ∴y 关于x 的线性回归方程为 y ̂=0.2x +1 ；（Ⅱ）估计第x 年山羊养殖的只数 y ̂•ẑ=(0.2x +1)(−2x +30)=−0.4x 2+4x +30 . ① 第1年山羊养殖的只数为-0.4+4+30=33.6.故该县第一年养殖山羊约33.6万只； ② 由题意.得-0.4x 2+4x+30＜33.6.整理得（x-9）（x-1）＞0. 解得x ＞9或x ＜1（舍去）．∴到第10年该县山羊养殖的数量相比第1年缩小了．【点评】：本题考查线性回归方程的求法.考查计算能力.是基础题．20.（问答题.12分）已知椭圆C ： x 2a 2 +y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的离心率为 √63 .两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为 √2 ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设与圆O ：x 2+y 2= 34 相切的直线l 交椭圆C 于A.B 两点（O 为坐标原点）.求△AOB 面积的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知可得关于a.b.c 的方程组.求解可得a.b.c 的值.则椭圆方程可求； （2）当k 不存在时.求出△AOB 的面积；当k 存在时.设直线为y=kx+m.A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.将直线y=kx+m 代入椭圆方程.运用韦达定理和弦长公式.以及直线和圆相切的条件得m 与k 的关系.结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线l 的方程．【解答】：解：（1）由题意可得.e= ca =√63.a 2-b 2=c 2.bc= √2 . 解得a= √3 .b=1.c= √2 .即有椭圆的方程为 x 23 +y 2=1；（2）当k 不存在时.x=± √32 .可得y=± √32. S △OAB = 12 × √3 × √32 = 34 ；当k 存在时.设直线为y=kx+m （k≠0）.A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）. 将直线y=kx+m 代入椭圆方程可得（1+3k 2）x 2+6kmx+3m 2-3=0. x 1+x 2=- 6km1+3k 2 .x 1x 2= 3m 2−31+3k 2 .由直线l 与圆O ：x 2+y 2= 34 相切.可得 |m|√1+k2=√32. 即有4m 2=3（1+k 2）. |AB|= √1+k 2 • √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 = √1+k 2 • √(−6km 1+3k 2)2−12(m 2−1)1+3k 2= √3 • √1+10k 2+9k 41+6k 2+9k 4 = √3 • √1+4k 21+6k 2+9k 4 = √3 • √1+49k 2+1k2+6≤ √3 • √1+42√9+6=2 .当且仅当9k 2= 1k 2 .即k=± √33 时等号成立. 可得S △OAB = 12 |AB|•r≤ 12 ×2× √32 = √32 . 即有△OAB 面积的最大值为 √32 ． 此时直线方程y=± √33x ±1．【点评】：本题考查椭圆的方程的求法.考查直线与椭圆位置关系的应用.训练了利用基本不等式求最值.属于中档题．21.（问答题.12分）已知函数f （x ）=lnx.g （x ）=x-1． （Ⅰ）证明：当x ＞0时.f （x ）≤g （x ）；（Ⅱ）若x∈[1.e]时.不等式 g(√x)≥af (x ) 成立.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）令k（x）=f（x）-g（x）.讨论函数h（x）的单调性.得出最值.可证；（Ⅱ）令ℎ(x)=af(x)−g(√x)=alnx−√x+1 .则ℎ′(x)=ax −2√x=2a−√x2x.讨论h′（x）的符号.得出函数h（x）的单调性；从而得出参数的范围；【解答】：解：（Ⅰ）令k（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1.x＞0.∴ k′(x)=1x −1=1−xx.∴当x∈（0.1）时.k'（x）＞0.k（x）单调递增.当x∈（1.+∞）时.k'（x）＜0.k（x）单调递减.∴当x=1时.k（x）取得最大值.∴k（x）≤k（1）=0. 即f（x）-g（x）≤0.∴当x＞0时.f（x）≤g（x）．（Ⅱ）令ℎ(x)=af(x)−g(√x)=alnx−√x+1 .则ℎ′(x)=ax −2√x=2a−√x2x.① 当a≤0时.h'（x）＜0.所以函数h（x）在[1.e]上单调递减.所以h（x）≤h（1）=0.所以a≤0满足题意．② 当a＞0时.令h'（x）=0.得x=4a2.所以当x∈（0.4a2）时.h'（x）＞0.当x∈（4a2.+∞）时.h'（x）＜0．所以函数h（x）在（0.4a2）上单调递增.在（4a2.+∞）上单调递减．（ⅰ）当4a2≥e.即a≥√e2时.h（x）在[1.e]上单调递增.所以ℎ(x)≤ℎ(e)=a−√e+1≤0 .所以a≤√e−1 .此时无解．（ⅱ）当1＜4a2＜e.即12＜a＜√e2时.函数h（x）在（1.4a2）上单调递增.在（4a2.e）上单调递减．所以h（x）≤h（4a2）=aln（4a2）-2a+1=2aln（2a）-2a+1≤0．设m(x)=2xln(2x)−2x+1(12＜x＜√e2) .则m'（x）=2ln（2x）＞0.所以m（x）在(12，√e2)上单调递增. m(x)＞m(12)=0 .不满足题意．（ⅲ）当0＜4a2≤1.即0＜a≤12时.h（x）在[1.e]上单调递减.所以h（x）≤h（1）=0.所以0＜a≤12满足题意．故a的取值范围为(−∞，12]．【点评】：本题考查构造函数证明不等式.函数单调性.函数最值；不等式恒成立.分离讨论思想.属于难题．22.（问答题.10分）在平面直角坐标系xOy 中.直线 C 1：√3x +y −4=0 .曲线 C 2：{x =cosφy =1+sinφ(φ 为参数）.以坐标原点O 为极点.以x 轴正半轴为极轴.建立极坐标系． （Ⅰ）求C 1.C 2的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 3的极坐标方程为 θ=π3 （ρ＞0）.且曲线C 3分别交C 1.C 2于A.B 两点.求|AB|．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）把x=ρcosθ.y=ρsinθ.代入曲线C 1的直角坐标方程.可得C 1的极坐标方程；把曲线C 2中的参数消去.得到C 2的普通方程.结合极坐标与直角坐标的互化公式求得C 2的极坐标方程；（Ⅱ）把 θ=π3 代入两曲线的极坐标方程.分别求得A.B 的极径.则|AB|可求．【解答】：解：（Ⅰ）把x=ρcosθ.y=ρsinθ.代入 C 1：√3x +y −4=0 .得 C 1：√3ρcosθ+ρsinθ−4=0 ；由 {x =cosφy =1+sinφ .消去参数φ.得x 2+（y-1）2=1.代入x=ρcosθ.y=ρsinθ.得（ρcosθ）2+（ρsinθ-1）2=1.即ρ2-2ρsinθ=0.∴C 2：ρ=2sinθ；（Ⅱ）曲线C 3为 θ=π3(ρ＞0) .设A （ρ1. π3 ）.B （ρ2. π3 ）.则 ρ1=√3cos π3+sin π3=4√33 . ρ2=2sin π3=√3 . ∴ |AB |=ρ1−ρ2=√33 ．【点评】：本题考查简单曲线的极坐标方程.考查参数方程化普通方程.是基础的计算题．23.（问答题.0分）已知函数f （x ）=|2x-4|+|x+1|.x∈R ．（1）解不等式f （x ）≤9；（2）若方程f （x ）=-x 2+a 在区间[0.2]有解.求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）通过讨论x 的范围得到关于x 的不等式组.解出即可；（2）根据题意.原问题可以等价函数y=a 和函数y=x 2-x+5图象在区间[0.2]上有交点.结合二次函数的性质分析函数y=x 2-x+5的值域.即可得答案．【解答】：解：（1）f （x ）≤9可化为|2x-4|+|x+1|≤9.故 {x ＞23x −3≤9 .或 {−1≤x ≤25−x ≤9 .或 {x ＜−1−3x +3≤9；…（2分） 解得：2＜x≤4.或-1≤x≤2.或-2≤x ＜-1； …（4分）不等式的解集为[-2.4]；…（5分）（2）由题意：f （x ）=-x 2+a⇔a=x 2-x+5.x∈[0.2]．故方程f （x ）=-x 2+a 在区间[0.2]有解⇔函数y=a 和函数y=x 2-x+5.图象在区间[0.2]上有交点 ∵当x∈[0.2]时.y=x 2-x+5∈[ 194 .7]∴.实数a 的取值范围是[ 194 .7]…………………（10分）【点评】：本题考查绝对值不等式的性质以及应用.注意零点分段讨论法的应用.属于中档题．。
广东省华附、省实、广雅、深中2020届高三上学期期末联考数学(文)试题Word版含解析
广东省华附、省实、广雅、深中2020届高三上学期期末联考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合，，则A. B. C. D.2.已知为虚数单位，若，则复数的模等于（）．A. B. C. D.3.设，是非零向量，记与所成的角为，下列四个条件中，使成立的充要条件是（）．A. B. C. D.4.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（）．①1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个②第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了③8月是空气质量最好的一个月④6月的空气质量最差A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④5.若函数是偶函数，则的单调递增区间是A. B. C. D.6.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（）．A. B. C. D.7.若函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（）．A. B.C. D.8.若，满足约束条件，则的最小值为（）．A. 0B. 2C. 4D. 139.等比数列中，是关于x的方程的两个实根，则（）．A. 8B.C.D.10.若函数有3个零点，则实数的取值范围是（）．A. B. C. D.11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）．A. B.C. D.12.设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线其中上存在点P，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数在处的切线方程是____.(其中为自然对数的底数)14.已知双曲线的离心率为2，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是____15.等差数列的前n项和为，，，对一切恒成立，则的取值范围为____.16.体积为的正四棱锥的底面中心为，与侧面所成角的正切值为，那么过的各顶点的球的表面积为____.三、解答题（本大题共7小题）17.已知分别是锐角的内角的对边，.(1)求；(2)若，且边上的高为，求的周长.18.如图，在三棱柱中，，，为的中点，点在平面内的射影在线段上.(1)求证：；(2)若是正三角形，求三棱柱的体积.19.为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：元度“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：单位：单位：元度例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费元，若采用阶梯电价收费标准，应交电费元．为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量单位：度为：88、268、370、140、440、420、520、320、230、380．（1）在答题卡中完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量同一组数据用该区间的中点值作代表；设某用户11月用电量为x度，按照合表电价收费标准应交元，按照阶梯电价收费标准应交元，20.已知动圆与直线相切且与圆外切。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广东华南师大附中2020届高三综合测试（一）数学试题（文）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，总分值150分，考试用时120分钟．本卷须知：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内．2．选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指 定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原先的答案，然后再写上新的答案；不准 使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试终止后，将答题卷和答题卡一并收回．第一部分 选择题〔共50分〕一、(本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1. 假设集合 A = {1，2，3}，B = {0，1，2，5}，那么U = A ∪B ，那么∁U (A ∩B )的元素的个数为〔 〕 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2．假如映射f ：A →B 满足集合B 中的任意一个元素在A 中都有原象，那么称为〝满射〞．假设集合A 中有3个元素，集合B 中有2个元素，那么从A 到B 的不同满射的个数为 〔 〕 A ．2 B ．4 C ．6 D ．83．设 f (x ) = ⎩⎨⎧ | x －1 |－2 | x | ≤ 1 1 + x 2 | x | > 1，那么 f (f (2)) =〔 〕A ．－2B ．2C ．5D ． 264． 函数 f (x )=x 2+1(x >0)，那么 f －1 (10) = 〔 〕 A ．101 B ．99 C ．3 D ． －3 5． 函数 f (x ) =ax 3+(a －1)x 2+(b －3)x+b 的图象关于原点成中心对称，那么 f (x ) 〔 〕A ．有极大值和极小值B ．有极大值无极小值C ．无极大值有极小值D ． 无极大值无极小值6．为了得到函数 y = 3×( 13 ) x 的图象，能够把函数 y = ( 13 ) x 的图象 〔 〕A ．向左平移 3 个单位长度B ．向右平移 3 个单位长度C ．向左平移 1 个单位长度D ． 向右平移 1 个单位长度7． f (x ) = ln (e x －e －x2 )，那么以下结论正确的选项是〔 〕A ．非奇非偶函数，在〔0，+∞〕上为增函数；B ．奇函数，在 R 上为增函数；C ．非奇非偶函数，在〔0，+∞〕上为减函数；D ． 偶函数，在 R 上为减函数。
8．函数 f (x )的导数 f ' (x )的图象如右，那么 f (x )的图象可能是 〔 〕9．函数y = x 2－2x在区间[a ,b ]上的值域是[－1,3], 那么点(a ,b )的轨迹是右图中的 〔 〕A ．线段AB 和线段AD B ．线段AB 和线段CDC ．线段AD 和线段BC D ．线段AC 和线段BD 10．设b > 0，二次函数 y = ax 2 + bx + a 2－1 的图像为以下之一，那么 a 的值为 〔 〕A ．1B ．－1C ．－1－ 52D ．－1 + 52第二部分 非选择题〔100分〕二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．11．函数y = x + 1x 的极大值为 。
12．函数 y = lg (x 2+3kx +k 2+5)的值域为R ，那么k 的取值范畴是 。
13．函数 f (x )=2x +x ，g (x )=log 2x +x ，h (x )=log 2x －2的零点依次为a , b , c ，那么a , b , c 的大小关系是 。
14．假设函数 f (x ) 在[0，1]上满足：关于任意的 s 、t ∈[0,+∞]，λ >0, 都有f (s ) + λ f (t )1+λ<f(s +λ t1+λ)，那么称 f (x ) 在[0，1]上为凸函数。
在三个函数 f 1(x ) = x －1，f 2(x ) = 2 x －1，f 3(x ) = ln x + 1 中，在[0，1]上是凸函数的 有 〔写出您认为正确的所有函数〕。
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解承诺写出文字讲明、证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分值12分〕函数f (x )当x > 0时，f (x ) = x 2－x －1．假设f (x )为R 上的奇函数，求f (x )的解析式。
yxO－11yxO －11yx OyxO x yO 13-1 1 C B DA16．(本小题总分值12分)假设存在过点(1, 0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+ 154x－9都相切，求a的值．17．〔本小题总分值14分〕某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓舞销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．〔I〕当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元?〔II〕设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，求出函数P = f (x) 的表达式. 18．〔本小题总分值14分〕函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-.〔I 〕求函数()f x 的解析式； 〔II 〕设函数1()()3g x f x mx =+，假设()g x 的极值存在，求实数m 的取值范畴以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值.19．〔本小题总分值14分〕函数f (x ) = x 2 + 2x + ax，x ∈[1,+∞]. 〔I 〕当 a = 12 时，求函数 f (x ) 的最小值；〔II 〕假设对任意 x ∈[1,+∞)，f (x ) > 0 恒成立，试求实数 a 的取值范畴. 20．〔此题总分值14分〕二次函数 f (x ) = x 2 + x ，假设不等式 f (－x ) + f (x )≤2 | x | 的解集为C . 〔I 〕求集合C ；〔II 〕假设方程 f (a x )－a x + 1 = 5〔a > 0，a ≠1〕在 C 上有解，求实数 a 的取值范畴； 〔III 〕记 f (x ) 在C 上的值域为 A ，假设 g (x ) = x 3－3tx + t2 ，x ∈[0,1] 的值域为B ，且 A ⊆ B ，求实数 t 的取值范畴.参考答案一、BCDCA DADAB 11. －212. 〔－∞，－2〕∪[2，+∞]13. a<b<c14. f 3(x )15. 因为f (x )为R 上的奇函数，那么 f (–0) = –f (0)，因此f (0) = 0 当x < 0时，–x > 0，又f (x )为R 上的奇函数， 因此 f (x ) = –f (–x ) = –[(–x )2–(–x )–1] = –x 2–x + 1因此⎪⎩⎪⎨⎧>--=<+--=)0(1)0(0)0(1)(22x x x x x x x x f 16. 设过(1, 0)的直线与y=x 3相切于点(x 0, x 03)，因此切线方程为320003()y x x x x -=-即230032y x x x =-，又(1, 0)在切线上，那么x 0=0或x 0=－23 ， 当x 0=0时，由y=0与21594y ax x =+-相切可得a=－2564 ， 当x 0=－23 时，由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得a=－1，因此a =1-或25-64 17．解：(I)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为 x 0个，那么 x 0 = 100 + 60－510.02 = 5504分因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元. 6分(II)当 0 < x ≤100时，P = 60 8分 当 100 < x < 550时，P = 60－0.02 (x －100) = 62－x 50 11分当 x ≥550时，P = 5113分∴P = f (x ) = ⎩⎨⎧ 60 (0 < x ≤100)62－x50 (100 < x < 550) 51 (x ≥550)(x ∈N )14分18.〔I 〕由,切点为(2,0), 故有(2)0f =, 即430b c ++=又2()34f x x bx c '=++，由(2)1285f b c '=++=得870b c ++=联立①②，解得1,1b c =-=.因此函数的解析式为32()22f x x x x =-+- 〔II 〕因为321()223g x x x x mx =-+-+ 令21()34103g x x x m '=-++= 当函数有极值时，那么0∆≥，方程2134103x x m -++=有实数解，由4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤.①当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在23x =左右两侧均有()0g x '>，故函数()g x 无极值②当m <1时,g '(x )=0有两个实数根x 1=13 (2－1－m ), x 2=13 (2+1－m ), g (x ),g '(x ) 的情因此在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值；当1(23=x 时，()g x 有极大值；当1(23=+x 时，()g x 有极小值. 19．(I) 解：当 a = 12 时，f (x ) = x + 12x + 2 2分 ∵x ≥1时，f ' (x ) = 1－12x 2 > 0 4分 ∴f (x ) 在区间 [1,+∞] 上为增函数，5分 ∴f (x ) 在区间 [1,+∞] 上的最小值为 f (1) = 727分(II) 解法一：在区间 [1,+∞] 上，f (x ) = x 2 + 2x + a x> 0恒成立 ⇔ x 2 + 2x + a > 0恒成立 8分⇔ a > －x 2－2x 恒成立9分 ⇔ a > (－x 2－2x )max ， x ≥111分 ∵－x 2－2x = －(x + 1) 2 + 112分 ∴当 x = 1 时，(－x 2－2x )max = －313分∴a > －314分解法二：在区间 [1,+∞] 上，f (x ) = x 2 + 2x + ax > 0恒成立 ⇔ x 2 + 2x + a > 0恒成立 8分 设y = x 2 + 2x + a ，x ∈[1,+∞]， 9分 ∵y = x 2 + 2x + a = (x + 1) 2 + a －1 递增， 10分 ∴当 x = 1 时，y min = 3 + a 11分当且仅当 y min = 3 + a > 0 时，函数 f (x ) > 0恒成立， 13分∴a > －3 14分解法三：f (x ) = x + ax + 2，x ∈[1,+∞]当 a ≥0 时，函数 f (x ) 的值恒为正； 8分当 a < 0 时，函数 f (x ) 递增，故当 x = 1 时，f (x )min = 3 + a 10分 当且仅当 f (x )min = 3 + a > 0 时，函数 f (x ) > 0 恒成立， 12分 ∴a > －3 14分 20. (I) f (x ) + f (－x ) = 2x 2当 x ≥0时，2x 2≤2x ⇒ 0≤x ≤1当 x < 0时， 2x 2≤－2x ⇒ －1≤x < 0 ∴集合 C = [－1,1](II) f (a x )－a x + 1－5 = 0 ⇒ (a x ) 2－(a －1)a x －5 = 0，令 a x = u 那么方程为 h (u ) = u 2－(a －1)u －5 = 0 h (0) = －5当 a > 1时，u ∈[1a ,a ]，h (u ) = 0 在 [ 1a ,a ] 上有解，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧ h(1a ) = 1a 2－1 + 1a －5≤0h(a) = a 2－(a －1)a －5≥0⇒ a ≥5 当 0 < a < 1时，u ∈[a ,1a ]，g (u ) = 0 在 [a ,1a ]上有解，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧ h(a)≤0 h( 1a )≥0⇒ 0 < a ≤12∴当 0 < a ≤12 或 a ≥5时，方程在C 上有解，且有唯独解。