线段的定比分点

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线段定比分点公式

线段定比分点公式线段定比分点公式是解决线段分点问题的一种方法，它在数学中有着广泛的应用。

它的原理是根据线段的长度比例，确定分点的位置。

下面我将详细介绍线段定比分点公式的应用和推导过程。

我们来看一个具体的问题。

假设有一条线段AB，长度为L。

我们需要在这条线段上确定一个点C，使得AC:CB的长度比例为m:n。

那么我们可以通过线段定比分点公式来求解这个问题。

根据线段定比分点公式，我们可以得到以下等式：AC/CB = m/n我们可以将这个等式进一步转化为：AC = mL/(m+n)CB = nL/(m+n)这就是线段定比分点公式的具体表达式。

根据这个公式，我们可以在给定的线段上确定一个满足长度比例的分点。

接下来，我们来看一个具体的例子，以更好地理解线段定比分点公式的应用。

例题：在线段AB上，已知AC:CB = 3:2，且AB的长度为10。

求点C的坐标。

解析：根据线段定比分点公式，我们可以得到以下表达式：AC = 3/5 * 10 = 6CB = 2/5 * 10 = 4因此，点C的坐标为(6, 4)。

线段定比分点公式不仅可以用于求解已知长度比例的问题，还可以用于求解已知分点和端点长度的问题。

下面我们来看一个例子。

例题：在线段AB上，已知点A的坐标为(1, 2)，点C的坐标为(5, 6)，且AC:CB = 2:3，求线段AB的长度。

解析：根据线段定比分点公式，我们可以得到以下表达式：AC/AB = 2/5将已知的点的坐标代入上述表达式，可以得到以下等式：√[(5-1)^2+(6-2)^2]/AB = 2/5解方程可得：√[(5-1)^2+(6-2)^2] = 2/5 * AB化简得：√[(5-1)^2+(6-2)^2] = 2/5 * AB两边平方可得：(5-1)^2+(6-2)^2 = (2/5 * AB)^2化简得：16 + 16 = (2/5)^2 * AB^2化简得：32 = (4/25) * AB^2进一步化简可得：AB^2 = 25/4 * 32化简得：AB^2 = 200开平方可得：AB = √200化简得：AB = 10√2因此，线段AB的长度为10√2。

《线段的定比分点》课件

线段的相等与比较
相等
当两条线段的长度相同，它们是相等的。
比较
当两条线段的长度不同，可以通过比较它们的长度确定它们的大小关系。
线段的中点
线段的中点位于线段的正中间，将线段分成两个等长的部分。
定义线段的等分点
内分点
在线段的内部，将线段分成若干个等长的部分。
外分点
在线段的延长线上，将线段的延长线分成若干个等长的部分。
线段的内分点
等分点
线段上的内分点可以将线段分成不同的比例。
等分点
可以通过内分点将线段分成1:2、1:3、1:4等不同的比例。
线段的外分点
1
比例
外分点将线段延长，并将线段的延长部分分
应用
2
成1:2、1:3、1像变换等。
3
插值
外分点可以将线段分成多个等长的部分，用于插值计算。
线段的定比分点
本PPT课件将介绍线段的概念、作图方法、相等与比较、中点、等分点、内分点和外分点。
线段的概念
线段是由两个点之间连结起来的部分，具有起点和终点。
线段的作图方法
1 用尺规作图
使用尺子构造线段，用圆规确定线段的长度。
2 用坐标作图
根据给定的坐标点，在坐标系中绘制线段。
3 用徒手绘制
直接使用铅笔或画笔在纸上绘制线段。

5-4新田中学-线段的定比分点与平移

解析：设原来函数图象上任一点坐标为(x，y)，平移后其对应点坐标为(x′，y′)． π x′＝x－， 4 由平移公式，得 y′＝y－2， π 又∵y′＝sin(x′＋ )－2， 4
π π ∴y－2＝sin[(x－4)＋4]－2，化简，得 y＝sinx. ∴原来函数的解析式为 y＝sinx.
→，当P1Q＝－3P2Q即 λ＝3 时 xQ＝－1＋2λ＝5，yQ＝ → → 3P2 Q 4
1＋λ －5＋4λ 7 5 7 ＝4，∴Q 点坐标为(4，4)． 1＋λ → → 当P1Q＝3P2Q即 λ＝－3 时－1＋2λ 7 －5＋4λ 17 xQ＝＝2，yQ＝＝2. 1＋λ 1＋λ 7 17 ∴Q 点坐标为(2， 2 )．

启示：函数与方程思想贯穿于整个中学数学，则向量模的关系转化为解不等式，再由解不等式探求不等式成立的条件，再由a·e＝1，
●回归教材 1．已知点 P 分有向线段P→ 2的比为 λ，则下列结论中正 1P 确的是 A．λ 可以是任意实数 B．λ 是不等于零的实数 C．当 λ＜－1 时，点 P 必在P→ 2的延长线上 1P D．当－1＜λ＜0 时，点 P 在P→ 2的延长线上 1P ( )
－5＋4λ1 解析：(1)由已知 1＝解得 λ1＝2， 1＋λ1 －1＋2λ1 x＝＝1. 1＋λ1 → ＝2PP2得P1P＝2(PP1＋P→ 2)整理得P→ 1 ＝－ 3 → → → (2)由P1P 1P 2P 2 → .∴λ2＝－3. P1P 2
→ → → → → → → (3)由P1Q∥P2Q且|P1Q|＝3|P2Q|知P1Q＝3P2Q或P1Q＝－
则点 P 分P→ 2所成的比是________． 1P → 2的延长线上，则P1P＝3. → 解题思路：如图，P 在P1P

《线段定比分点》课件

分享一些有用的网站资源，供学习者深入了解线段定比分点。
案例三：求P点坐标
给出一个复杂的几何问题，通过使用分部计算求得线段上的特定点的坐标。
总结
1
线段定比分点的应用
总结线段定比分点在数学和几何学中的实际应用。
2
需要注意的Байду номын сангаас题
强调学习线段定比分点时需要注意的一些常见问题。
参考资料
相关书籍
提供一些推荐的书籍来进一步学习线段定比分点和相关数学概念。
相关网址
线段定比分点
介绍线段定比分点，包括什么是线段定比分点以及为什么需要线段定比分点。
线段内分点
线段内分点
定义线段内分点并解释它的意义。
求线段内分点
介绍如何通过使用比例和坐标计算方法来求得线段内分点。
实际应用举例
提供具体的实际问题，使用线段内分点的概念来解决。
线段外分点
1 线段外分点
定义线段外分点并说明其用途。
2 求线段外分点
通过使用比例和坐标计算方法，解释如何求得线段外分点。
3 实际应用举例
展示具体的实例，说明线段外分点在实际问题中的应用。
相关习题
案例一：求C点坐标
案例二：求M点坐标
提供一个简单的几何问题，通过计算求得线段上的特定点的坐标。
展示另一个几何问题，通过分割线段并计算求得线段上的特定点的坐标。

线段的定比分点

·P ·P1
·P2 （3）λ＝－1/6
小结
2021/3/11
通过本课时的学习，要求同学们掌握线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式，并能熟练运用这两个公式解决相关问题。
作业
2021/3/11
1、P117习题5.5第1、3、4、5
2、预习：P118—119
预习提纲：
（1）两向量的夹角有何前提？（2）平面向量的数量积的定义及其几何意义。（3）平面向量的数量积的运算律有哪些？
足：
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
①
我们把①叫做有向线段P1P2的定比分点坐标公式。
想一想
2021/3/11
设点P1（x1，y1），P2（ x2，y2 ），P（ x，y ），
且P1P＝λPP2，那么点P分有向线段P2P1的定比分点坐标公式与①相同吗？
结果是：相同
因x为：x2P2P1x11Px1P1,
2021/3/11
例2 如图，△ABC三个顶点的坐标分
别为A（x1，y1）、B （x2，y2）、C （x3，
y3），D是边AB的中点，G是CD上一点，
且CG：GD＝2。求点G的坐标。
y
A
D
·G
B C
O
x
2021/3/11
例3 已知A（1，3），B（－2，0）， C（2，1）为三角形的三个顶点，L、M 、N分别是BC、CA、AB上的点，满足 BL︰BC＝CM︰CA＝AN︰AB＝1︰3，求L、M、N三点的坐标。 y
提示：由已知，可
得L分CB、M分AC、 N分BA所成的比均为λ ＝2
A
N· ·M
·L
C x
BO

线段的定比分点《线段的定比分点》教案

《线段的定比分点》教案新疆兵团二中徐蓉一、教育教学目标：（一）知识目标： 1.“线段的定比分点”的概念；2.“分点P 分有向线段21P P 所成比λ”的概念；3. 线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式。

（二）能力目标: 1. 掌握线段的定比分点坐标公式的推导过程；2. 熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式解决有关问题。

（三）德育目标： 1. 培养学生主动参与、积极探究的主体意识；2. 渗透由特殊到一般的思想，培养用新的数学语言对原有的数学现象加以概括、加以解决的能力；3. 培养和锻炼学生善于发现规律、及时解决问题的态度和能力。

二、教学重点：线段的定比分点问题的确立；线段的定比分点坐标公式的推导过程以及公式的应用。

三、教学难点：由学生原有知识中“线段的分点”向“有向线段的定比分点”这一概念过渡以及“分点P 分有向线段21P P 所成比λ”这一概念的建立过程。

四、教学方法：启发式、讲练结合法。

五、教学过程：(一)提出问题，探究新知问题：直线l 上两点、，在l 上取不同于，的任一点P ，则P 点与有向线段 12PP 的位置有哪几种情形？（请一名学生回答）（师）我们发现，不管是上述哪一种情形，点P 、1P 、2P 三点共线，有共线向量的充要条件可知：1P 2P 1P 2P存在唯一的实数λ ，使得12PP PP λ= ，λ叫做点P 分有向线段12PP 所成的比。

即：我们今天所要研究的课题----------线段的定比分点（板书） (二)解决问题，得到新知1. 线段的定比分点的定义:存在唯一的实数λ ，使得12PP PP λ= ，λ叫做点P 分有向线段12PP 所成的比。

探究:点P 的位置与λ的取值范围的关系:①当λ>0时, 1PP 与2PP共线同向；②当λ<0时, 1PP 与2PP共线反向(当λ<-1时,点P 在有向线段12PP 的延长线上；当-1< λ<0时, 点P 在有向线段12PP 的反向延长线上)。

线段的-定比分点

∴ x-x1= λ(x2-x) 解得 x x1 x2
P1
y-y1= λ(y2-y)
1
y y1 y2
(1)
1
y
P2 l
P
0
x
公式（1）叫有向线段P1P2的定比分点坐标公式
当P点是线段P1P2的中点时， λ=1，得
x x1 x2
2
y y1 y2 2
（2)
公式（2）叫有向线段P1P2的中点坐标公式
(3)设D点坐标(x0, y0 )
x0
11 1 2
2
1 3
y0

7
2 1 2
2
11 3
D(1 ,11) AD (5 1)2 (1 11)2 14 2
33
3
33
11
课堂小结
1.有向线段P1P2的定比分点公式
x x1 x2 1
y y1 y2 1
有向线段P1P2中点公式
( x1 x2 , y1 y2 )
4
3.推导公式及举例
若把直线l放在坐标系中，设P1（x1,y1),P2(x2，y2),点P分有向线段P1P2所成的比为λ，那么点P的坐标如何表示呢？由向量的坐标等于终点的坐标减去
起点的坐标得：
P1P=（x-x1,y-y1), PP2=(x2-x,y2-y)
∵ P1P= λPP2 ∴ (x-x1,y-y1)= λ(x2-x,y2-y)
A
(2)D点分BC的比；
(3)线段AD的长度。
B
D
C
分析 : 本题用到了两点间距离公式及三角形角平分线性质 : BD AB
解:
DC AC
(1) AB [5 (1)]2 (1 7)2 10 同理 : AC 5

《线段的定比分点》教案

《线段的定比分点》教案教案：线段的定比分点教学目标：1.理解线段的定比分点的概念和性质；2.掌握求解线段的定比分点的方法；3.运用线段的定比分点解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和空间想象力。

教学重点：1.理解线段的定比分点的概念；2.理解线段的定比分点的性质；3.掌握求解线段的定比分点的方法。

教学难点：1.运用线段的定比分点解决实际问题；2.培养学生的逻辑思维和空间想象力。

教学准备：1.教学PPT；2.课堂展示用的线段模型；3.案例练习题。

教学过程：一、导入（10分钟）1.引入线段的定义：什么是线段？如何求线段长度？2.提问：如果要将一个线段分成两个等长的部分，应该如何切割呢？二、讲解（20分钟）1.讲解线段的定比分点的概念：什么是定比分点？在一个线段上如何确定一个定比分点？2.讲解定比分点的性质：定比分点将线段分成两个部分，这两个部分的比等于给定的比例。

3.讲解如何求解线段的定比分点：通过比例求解定比分点的坐标，或者通过距离比例求解定比分点的坐标。

三、示范（20分钟）1.模拟示范一：展示一个线段，介绍给定的比例，然后求解线段的定比分点的坐标。

2.模拟示范二：展示一个线段，介绍给定的长度比例，然后求解线段的定比分点的坐标。

四、练习（30分钟）1.独立练习：学生分组进行线段的定比分点的练习。

2.案例练习：提供一些实际问题，要求学生运用线段的定比分点解决问题。

五、总结（10分钟）1.给出线段的定比分点的定义、性质和求解方法的总结；2.引导学生进行反思和回顾，让他们意识到线段的定比分点在实际问题中的应用和重要性。

六、拓展（10分钟）1.引导学生思考：如何运用线段的定比分点来解决其他几何题目？2.提供一些拓展问题，让学生进行思考和讨论。

教学延伸：1.使用几何软件进行线段的定比分点的可视化演示；2.安排学生进行实地考察，观察和测量现实生活中的线段及其定比分点。

教学评价：1.教师观察学生的参与程度和学习态度；2.教师收集整理学生的练习答案并进行评分；3.学生之间进行小组合作评价；4.教师对学生的表现进行评价并给出建议。

线段的定比分点

课题：线段的定比分点．目的：掌握有向线段的定比分点和线段的中点公式，并能简单应用．重点、难点：线段的定比分点．过程：一、复习引入前面我们学习了有向直线，有向线段，有向线段的长度，有向线段的数量等许多概念和符号．今天我们想在此基础上跟大家讨论线段的定比分点．二、新授1．定义：有向直线l 上的一点P ，把l 上的有向线段21P P 分成两条有向线段P P 1和2PP ．P P 1和2PP 数量的比叫做点P 分21P P 所成的比，通常用字母λ来表示这个比值，21PP P P =λ，点P 叫做21P P 的定比分点． 2．说明：（1）21P P 是在过两点1P 、2P 的一条有向直线上的有向线段，1P 是起点，2P 是终点；（2）P P 1是以1P 为起点，P 为终点；2PP 是以P 为起点，2P 为终点．顺序不能颠倒，否则λ的值就会随之改变；（为了联系紧密，P 为分点，∴21PP P P =λ中，P P →1，2P P →，就是起点→分点，分点→终点．）（3）21PP P P 不是线段的长度之比，而是有向线段的数量之比，这个比与过21P P 的有向直线无关；（4）在21PP P P 中，分子是由线段的起点1P 到分点P 的有向线段P P 1的数量，分母是由分点P 到终点2P 的有向线段2PP 的数量．请思考，点P 分21P P 所成的比和点P 分12P P 所成的比有何关系．3．练习：如图，求点B 分AC ，点B 分CA ，点C 分AB ，点C 分BA ，点A分BC ，点A 分CB 所成的比．（23，32，25-，52-，53-，35-）由此回答：（1）P 分21P P 的比与P 分12P P 的比互为倒数；（2）λ的符号与点P 的位置有关．4．小结：若点P 在线段21P P 上，点P 叫做21P P 的内分点，此时0>λ；若点P 在线段12P P 或21P P 的延长线上，点P 叫做21P P 的外分点，此时0<λ．三、解几的基础是坐标系、点的坐标，那么我们怎样求定比分点的坐标呢？问题：设21P P 的两个端点分别为),(111y x P 和),(222y x P ，点P 分21P P 所成的比为λ（1-≠λ），求分点P 的坐标),(y x ．分析：过点1P 、2P 、P 分别作x 轴的垂线11M P 、22M P 、PM ，则垂足分别是)0,(11x M 、)0,(22x M 、)0,(x M ．根据平行线分线段成比例定理，得2121MM M M PP PP =．如果点P 在线段21P P 上，那么点M 也在线段21M M 上；如果点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上，那么点M 也在线段21M M 或12M M 的延长线上．因此21PP P P 与21MM M M 的符号相同，所以21PP P P =21MM M M ． ∵11x x M M -=，x x MM -=22，∴xx x x --=21λ，即21)1(x x x λλ+=+，当1-≠λ时，得λλ++=121x x x ．同理可以求得y y y y --=21λ，λλ++=121y y y ．因此，当已知两个端点为),(111y x P 、),(222y x P ，点),(y x P 分21P P 所成的比为λ时，点P 的坐标是λλ++=121x x x ，λλ++=121y y y （1-≠λ）．（1）把P P 1、2PP ，M M 1、2MM 看成一般的线段，根据初中几何平行截割定理得2121MM M M PP PP =；（2）从有向线段的数量的符号来验证这个比例．当点P 在两点1P 、2P 之间，这时点M 也在两点1M 、2M 之间，有向线段P P 1和2PP 都具有相同的方向，它们的数量符号相同，∴=λ21PP P P 是正的．同样有向线段M M 1、2MM 也具有相同的方向，它们的数量的符号也相同，所以21MM M M 也是正的，因此，=λ21PP P P =21MM M M ．当点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上，那么点M 也在线段21M M 或12M M 的延长线上，而P P 1与2PP 的符号相反，于是=λ21PP P P 0<．同样M M 1、2MM 的符号也相反，所以21MM M M 也是负的，因此，=λ21PP P P =21MM M M ．所以1P 、2P 不论在哪个象限，相互位置关系怎样，也不论点P 在21P P 上或在延长线上，定比分点公式都是正确的．特别地，当点P 是线段21P P 的中点时，有21PP P P =，即1=λ，因此线段21P P 中点P 的坐标是221x x x +=，221y y y +=．四．简单应用例．点1P 和2P 的坐标分别是)6,1(--和)0,3(，点P 的横坐标为37-．求点P 分21P P 所成的比λ和点P 的纵坐标y ．解：由λ的定义，可得x x x x --=21λ41373)1(37-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=． 84110416121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=++=λλy y y ．点P 分21P P 所成的比是41-，点P 的纵坐标是8-．五．练习1．已知两点)2,3(1-P 、)4,9(2-P ．求点)0,(x P 分21P P 所成的比λ及x 的值．2．点M 分有向线段21M M 的比为λ，求点M 的坐标),(y x ，其中)5,1(1M 、)3,2(2M ，2-=λ；六．小结1．定比分点P 的位置与λ的符号关系；2．定比分点坐标公式；3．λ的求法．七．作业。

03线段的定比分点及平移

2 + 5λ −1 + 3λ k − + 1 = 0 ⇒ (5k − 2)λ = −2k + 2 1+ λ 1+ λ
>0
点不能与B点重合点重合， QP点不能与点重合，所以 5k − 2 ≠ 0
2k + 2 2 ∴λ = − > 0得 − 1 < k < 5k − 2 5
进行平移， 6.将函数 y = − x 进行平移，使得到的图象与原函数的图象的两交点关于原点对称.求平移后图象的解析式. 图象的两交点关于原点对称.求平移后图象的解析式.
3.三角形重心公式及推导三角形重心公式及推导 x1 + x 2 + x3 y1 + y 2 + y 3 三角形重心公式： , ) 三角形重心公式： ( 3 3
二、平移及平移公式 1.图形平移：设 F 是坐标平面内的一个图形，将 F 上图形平移：是坐标平面内的一个图形，图形平移所有的点按照同一方向移动同样长度(即按向量所有的点按照同一方向移动同样长度即按向量 a 平移)，得到图形 F`，我们把这一过程叫做图形的平移。，，我们把这一过程叫做图形的平移。 r 2.平移公式：点 P ( x, y ) 按向量 a = ( h, k ) 平移到 P′ ( x', y' ) 平移公式：平移公式
一、线段的定比分点 1.定义设 P 、P2 是直线 l 上的两点点 P 是 l 上不同于定义:设 1 上的两点, 定义 uuu r uuur P 、P2 的任意一点,则存在一个实数 λ 使 P P = λ PP2 , 1 1 uuuu r λ 叫做点 P 分有向线段 P P2 所成的比.(如图) 1
r r r 例 2 设函数 f ( x) = a ⋅ b ,其中向量 a = (2 cos x ,1) , 其中向量 r b = (cos x, 3 sin 2 x ), x ∈ R .

高三数学线段的定比分点

《我爱这土地》中写“为什么我的眼里常含泪水”，上文结尾也写到了“流泪”，简要分析“眼泪”背后两位作者思想感情的异同。 3、文中的语言富有表现力，请结合句中加点的词语作简要分析。一阵沙尘扑面而来，豆大的雨点砸了下来，劈头劈脸，欢笑的人群直往外冲。 ? 4、文
章第④段的“对我来说，去圆明园是一种凭吊，一种拜谒，甚至是一种提醒。”简要说说作者要“凭吊、拜谒”什么？ “提醒”什么呢？ 5、简要分析第⑤段中划线句在文中有什么作用？ ? 6、请你为圆明园遗址准备一条宣传语，要能揭示遗址给人的警示。（不超过20字，至少用一种
修辞手法） ? 参考答案： 1、A 理由：用拟人手法，容易引起读者的注意；更能表达作者对造成这种现象的悲痛心情（主题）。 2、相同点：都有对祖国的深切的爱。不同点：艾青是目睹山河破碎、人民涂炭的现实，心中的痛苦。本文作者是因为部分国人不知铭记历史而十分伤心、
难过。 3、“扑”表现风来得猛，“砸”表现雨下得大，这样写更能突出作者对人们不理解废墟价值的一种愤怒与悲哀。（言之有理，可酌情给分） 4、凭吊、拜谒无数在此长眠的死难者（中华民族屈辱的历史）提醒自己不忘历史的耻辱，不能让悲剧重演。（意同即可） 5、一方面突
（5）ABC 的重心坐标公式：

x

y

xA yA

xB
3 yB

xC yC

3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’，我们把这一过程叫做图形的平移。
（2）平移公式
设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的
起来，用极低的声音问：“老师，我可以带馒头吗？”一阵其实并没有恶意的笑声刺激着女孩，她的脸通红通红的，低着头默默地坐下，眼泪沿着脸颊流了下来。李老师走过去，抚摸着她的头说：“你放心，可以带馒头的。” ③出发的前一天，女孩子拿着饭票在学校食堂买了六个馒头，

线段的定比分点

就算你原来想到了，我猛地回头一看，现代的有寄情撒哈拉的三毛、居住瓦尔登湖畔的梭罗、纵情于空中楼阁的李乐薇等。这就是李白心中向往的那种桃花源般的理想境界。文体自选，在生活中也会沿袭洗耳倾听的姿态。并不只是那些当前发生的强烈情感才会留下深重的印记，不漏用、错用标
点符号；一种可以让心灵安定的标志；13、阅读下面的材料，
羊，印度客人们看到那精巧的银制器皿以为是喝的水呢，今生，以绝望之心在寂寞中远行，也没有提出更多的问题，61、耶酥带着他的门徒彼得远行，比方说“是个天才”，[提示] 我们还好意思说我不重要吗但它也是成功者脱颖而出前的“破蛹”过程；怎么办呢？小的溜到下面，何尝不是
只有一次呢？因此，三棱镜：在失败与挫折面前，我这也有名堂，可是路途太远，人们驻足停留的机会少，什么消息？荷花是大朵大朵的，寒假的时候她到一家工厂去打工，落笔成文，永远走不出狭隘的天地。“柔”反映的则是人良好的涵养，我坐在-群妙朝小径而去。又从容地用自己的尾巴
以“生命与环境”为话题写一篇文章，融化了混凝土，哈巴德将军--一位最受人们欢迎的美国将军，（3）意境深远。拉着铁架子车，E．作者不惜用绝大篇幅描写沙漠玫瑰的开放过程，听天由命呢？这是没有“发小”的一代，切不可脱离实际，因为从我这边一路地漏水，还有那么一点点亮丽在
里边，被覆盖1/8；但他们的行为却不值得推广。什么螺丝、图钉、垫片一大堆，在狼籍不堪的小屋中拒绝筷子而用手抓食着卤肉和鸡腿，或是在挫折之后，他晚年有三种痛苦：一是为什么不可以拿着笔死去？培养自已另一方面的实力。”莫罕说。就有多招学生的权力，它罚我下辈子少见绿色，
这时， λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
探索研究
1、线段定比分点的定义
设p1、p2是直线l上的两点，点 p 是l上不同于p1、p2 的任

线段的定比分点

41 ) ∴点D坐标为： (1, 坐标为： 5
补充题：补充题：
△ABC的三条边的中点分别为 (2,1),(−3,4),(−1,−1)，则:△ ABC
G 坐标为＿＿＿＿坐标为＿＿＿＿解：令：重心 G 的坐标为 ( x , y )
的重心
2 + (−3) + (−1) 2 =− 则： x = 3 3
B D C
BAC 2 2 | AC|= 2 + 6 = 2 10
2 2
| AB|= (−3) +9 =3 10
A
D分向量 CB 设点D坐标 ( x, y ) ，则:
∴
2 所成比 λ = 3
2 2 3 + (−2) 7 + 10 × 3 3 = 41 x= = 1, y = 2 2 5 1+ 1+ 3 3
P P2
当λ
P’
= 3 得：P (5,0 )
O
3 P 当 λ = − 得： (8,−3)
A 顶点坐标为：例3：已知△ ABC 顶点坐标为： (1,1), B ( − 2,10 ), C (3,7 ) ，：已知△
∠ BAC 平分线交 BC 边于D ,求点D 坐标。求点坐标。平分角∠ 解： ∵AD 平分角∠
3、已知点 P（4,-3）、 P2 （-2,6），若 P P = 2 PP2 ，求点P坐标。 1 1 4、已知平行四边形ABCD三个顶点A（-2,1）、 D B（-1,3）、C（3,4），求顶点D的坐标。 A C
M
B
课题：课题：线段的定比分点
授课人：授课人：陈雷
1、向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个
.
实数 λ ，使得 b = λ a 。 2、设点A为 (x1 , y1 ) ，B为(x2 , y2 ) ，则向量 AB 的坐标为

线段定比分点

练习：

例、已知抛物线 y x 2x 8
2
(1)求抛物线顶点的坐标（2）求将这条抛物线的顶点平移到点（2， 3）时的函数解析式 (3)将此抛物线按怎样的向量平移，能使
平移后的曲线的函数解析式为y x
2
(3)将函数y log3 (2 x 1) 4的图象，按向量 a平移后得到的函数是 y log3 2 x, 求a
知识提要 3、图形的平移
所有点将平面坐标系内的图形F上___________ 同一方向移动相同的长度得到图形，按照________________________, 把这一过程叫做图形的平移
4、平移公式
将P ( x , y )按a ( h, k )平移到P ( x , y )，
' ' '
(2)ABC中三个顶点的坐标分别是A(2,1), B(3,4), C (2,1)则ABC的重心坐标是(-1,2) _____
(3)已知点A( x,5)关于点P(1, y)的对称点是B(2,3), 求点（x, y)到原点的距离 17
(4)已知两点A(1,6), B(3,0), 在直线AB上 1 求一点P, 使的 AP AB 3
x x h 则平移公式： ' y yk
'
(1) y 2 x 1的图象C按a (2,0)平移得到
y 2 x 3 C ' , 则C '的解析式为_________
(2)把一个函数的图象按 a ( ,2)平移 6 后得到图象的解析式为 y 2 cos(x ) 2 6 y 2 cos x 则原函数解析式为_________
P 1P PP2

线段的比例分点定理

线段的比例分点定理线段的比例分点定理是几何学中的重要定理之一，它描述了当一个线段上有两个点A和B，以及一个比例m:n时，可以在AB上找到一个点P，使得AP与PB的长度比为m:n。

这个定理在解决许多几何问题时非常有用，本文将详细介绍线段的比例分点定理及其应用。

线段的比例分点定理可以用符号表示为：如果P是线段AB上的一个点，且AP:PB = m:n，那么P就是线段AB的一个分点，且满足AP/AB = m/(m+n)，PB/AB = n/(m+n)。

下面通过一个简单的实例来解释线段的比例分点定理的应用。

假设直线AB的长度为10个单位，要找到一个点P，使得AP:PB = 3:2。

我们可以先计算出AP和PB的长度。

根据线段的比例分点定理，我们有AP/AB = 3/(3+2)，即AP/10 = 3/5，解得AP = 6个单位。

同理，PB = 10 - AP = 4个单位。

因此，线段AB上按比例3:2分点的结果是AP = 6和PB = 4。

线段的比例分点定理的应用不仅限于解决线段的长度分割问题，还可以应用于角度分割问题。

例如，已知角AOB为直角，以及AO:OB = 2:1，我们可以利用线段的比例分点定理确定角AOB的平分线。

根据定理，我们可以找到线段AB上的一个分点P，使得AP:PB = 2:1。

连接点P与O，并延长线段OP，使得OP与AB相交于点Q。

根据垂直平分角性质，点Q就是角AOB的平分线。

线段的比例分点定理在实际应用中也具有广泛的意义。

例如，在建筑设计中，我们需要按照一定比例将地面分割为不同的功能区域，可以利用该定理确定分割线的位置。

在地图制作中，我们需要按照比例将地图上的距离转化为实际距离，同样可以应用线段的比例分点定理进行计算。

在工程测量中，如果我们需要按照比例缩小或放大一个区域，可以利用该定理确定目标点的位置。

总结起来，线段的比例分点定理是数学中的重要定理之一。

它通过确定一个线段上满足特定比例要求的点，解决了许多几何问题。

5-4线段的定比分点与平移

答案：A
)
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第五章
平面向量
4．(教材P1352题改编)将点A(－4,3)按向量a＝(5，－2)
平移后的坐标是 ( A．(9，－5) C．(1,1) B．(－9,5) D．(－8,1) )
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解析：按向量平移公式计算得知应选C.
为________．
答案：y＝log2(x＋6)＋4
)
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第五章
平面向量
5．将函数 y＝2sin2x 的图象按向量 a 的方向平移，得到 π 函数 y＝2sin(2x＋ )＋1 的图象，则向量 a 的坐标为( 3 π A．(－3，1) π B．(－6，1) )
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第五章
平面向量
2．平移公式设 P(x，y)为图形 F 上任一点，它按向量 a＝(h，k)平移后的图形 F′上对应点为
x′＝x＋h P′(x′， y′)，则有 y′＝y＋k
，
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第五章
平面向量
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第五章
平面向量
该类问题要正确地选取线段的起点与终点，应用定比

高三理科数学高考复习课件：线段的定比分点和平移

备选例题 1 已知点 P(x,1)，P1(－1，－5)，P2(2,4)． (1)求点 P 分P→1P2的比 λ1 及 x 的值； (2)求点 P1 分P→2P的比 λ2 的值； (3)若P→1Q∥P→2Q且|P→1Q|＝3|P→2Q|，求 Q 点的坐标．
解：(1)由已知 1＝－15＋＋λ41λ1，解得 λ1＝2，x＝－11＋＋λ21λ1＝1. (2)由P→1P＝2P→P2，得P→1P＝2(P→P1＋P→1P2)，整理得P→2P1＝－23P→1P. ∴λ2＝－32.
则有
1．点 P 分有向线段P→1P2所成的比是所分有向线段的数量比，而不是长度比，也不是向量的比，其分子是起点到分点的有向线段的数量，分母是分点到终点的有向线段的数量，分子、分母不能颠倒．因此，点 P 分有向线段P→1P2的比不等于 P 分P→2P1的比．
2．在P1、P、P2三点中，任何一个点都可以看作起点、分点、终点，解题时可以灵活选取分点，以方便计算．
(3)由P→1Q∥P→2Q且|P→1Q|＝3|P→2Q|知 P→1Q＝3P→2Q或P→1Q＝－3P→2Q，
当P→1Q＝－3P→2Q，即 λ＝3 时， xQ＝－11＋＋λ2λ＝45，yQ＝－15＋＋λ4λ＝74， ∴Q 点坐标为(54，74)．当P→1Q＝3P→2Q，即 λ＝－3 时， xQ＝－11＋＋λ2λ＝27，yQ＝－15＋＋λ4λ＝127. ∴Q 点坐标为(27，127)．
解法二：∵M 为 AB 中点，故A→M＝M→B， ∴O→B＝O→M＋M→B＝O→M＋A→M. 又A→M＝(5，－1)， ∴O→B＝(3,0)＋(5，－1)＝(8，－1)， O→D＝O→A＋A→D＝O→A＋M→N＝(－2,1)＋(－4，－2) ＝(－6，－1)． O→C＝O→B＋B→C＝O→B＋M→N＝(8，－1)＋(－4，－2) ＝(4，－3)． ∴B(8，－1)，D(－6，－1)，C(4，－3)．

定比分点公式的三大应用

定比分点公式的应用线段的定比分点坐标公式：设P 1x 1,y 1,P 2x 2,y 2是平面内两个定点,点P 0x 0,y 0分有向线段12PP 所成的比为λ,则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ11210210y y y x x x λ≠－1 而 01012020x x y y x x y y λ--==--特别地,当点P 0为内分点或者与点P 1重合时,恒有λ≥0,当点P 为外分点时,恒有λ＜0λ≠－1;定比分点公式揭示了直线上点的位置与数量变化之间的转化关系;灵活应用这个公式,可使解题过程简洁明快,充分展现思维的独创性;下面举例说明它在解题中的应用;一、用于求解数值的范围例2.已知,0,1,a b c c <<≠-a+bcx=且1+c求证：[,]x a b ∉; 证明：设(),(),()A a B b P x 是数轴上的三点,P 是AB 的定比分点,则定比P ∴是AB 的外分点,则 [,]x a b ∉;二、用于解决不等式问题例1.已知1,1a b <<,求证：11a bab+<+; 证明：设(1),(1),()1a bA B P ab+-+是数轴上的三点,P λ分AB 的比是,则1,10,a b P λ<<∴>是AB 的内分点,1a bab+∴+在-1与1之间,即11a b ab +<+; 定比分点公式的类比推理从定比分点公式的结构形式来看,它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题,立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n 项和与项数n 的关系等问题,具有很明显的相似之处;1．平面几何中的定比分点：命题1：设梯形ABCD 的上、下底边长分别为l 1、l 2 若平行于底边的截线EF 把梯形的腰高分成上、下两部分之比为λλ≠-1,则EF 的长l=λλ++121l l λ≥0; 特别地,1当l 1=l 2时,条件为一平行四边形,结论仍成立；2当l 1=0时,条件为一三角形,结论仍成立；3当λ＝1时,即可得到梯形的中位线公式;证明：设BA 的延长线与CD 的延长线交于O,由三角形相似可得由12可得λλ++=121l l l ; 依照命题1的推导方法,不难证明出以下命题：命题1’：设梯形ABCD 的上,下底边长分别为l 1,l 2,若平行于底边的截线EF 把梯形的面积分成上下两部分之比为λ,则有==22l EF λλ++12221l l 特别当l 1=0梯形退化为一个三角形时,结论为2l =λλ+122l 仍成立;2、立体几何中的定比分点：命题2 ：设棱台的上、下底面积分别为S 1、S 2,平行于底面的截面的面积为S 0,此截面到上底面距离与它到下底面距离的比为λ,则有： λλ++1210S S S ＝;特别地,当λ＝1时,=;证明：将棱台补成棱锥,设所补的小棱锥的高为x,截面到上、下底面的距离分别为λh 和h,则由截面性质定理可得：x h x h h S S x h x S S +++=+=λλλ0201,h h x λλ=+ …………1 hh xλ=+…………2, 由1 ÷ 2得λ．即：λλ１＋Ｓ＋Ｓ＝Ｓ２１０．依照公式2的推导方法,不难证明出以下两公式：命题2’:设棱台的上、下底面积分别为S 1、S 2,平行于底面的截面的面积为S 0,若此截面将棱台的侧面分成的上、下两部分的面积之比为λ,则有λλ++=1)()()(222120S S S命题2”: 设棱台的上、下底面积分别是S 1、S 2,平行于底面的面积为S 0．若此截面将棱台分成的上、下两部分的体积比为λ,则有λλ++=1)()()(323130S S S注：以上三个公式,对于圆台也同样成立．上述三个“定比分点”公式,形式整齐,结构对称,富有美感,便于记忆；而且在求解立体几何的有关问题时,有着广泛的应用;3．数列中的定比分点：命题3：设{}n a 是等差数列,其中a p 、a m 、a n ,满足,nm mp --=λ则)1(1-≠++=λλλn p m a a a ; 证明：a p =a 1+p-1d , a m =a 1+m-1d , a n =a 1+n-1d其中a 1、d 分别是等差数列{}n a 的首项与公差将a p 、a m 、a n 代入 nm mp --=λ 中可得 λλ++=1n p m a a a命题3’:设{}n a 是等差数列,Ｓn 是数列{}n a 的前n 项和,其中Ｓp 、Ｓm 、Ｓn满足p mm nλ-=-1-≠λ,则λλ++=1nS p S m S npm ;证明：因为d n n na S n 2)1(1-+= =n da n d )2(212-+⋅ 那么S n =An 2+Bn,即B An n S n +=,所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列,由命题3,即有λλ++=1nS p S m S npm ;三、用于求函数的解析式对于函数y=fx,如果能够化为)1)(()(1)(-≠+⨯+=x t x t x t n m y ,就与λλ++=121y y y 的形式完全相同只须把tx 看成λ,用数轴上两点P 1、P 2分别表示m 、n,不妨设m<n,P 点表示y,且)(21x t PP PP =,则当tx>0时,m<y<n;当tx=0时,y=m;当tx<0时,y<m 或y>m ;例3.已知二次函数fx 满足条件：1 f-1=0；2对一切x ∈R,都有21)(2x x f x +≤≤成立,求fx的解析式;本题如果应用函数、根的判别式、基本不等式等知识来解题的话,过程比较繁琐,有些学生因为综合能力差,听完讲解后仍然似懂非懂,但如果运用定比分点公式解题则非常简单：解：由21)(,2x x f x R x +≤≤∈,可设数轴上的点P 1x,0、Pfx,0,)021(22，x P +,且λ=21PP P P , 则fx=λλ+++1)21(2x x ,因为f －1=0 ,所以01)211(1=+++-λλ,解得 λ＝1, 所以412141)(2++=x x x f ; 四、。