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2020年河南中考数学压轴百题大赏简版答案

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2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题03 折叠与落点有迹性含答案

2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题03 折叠与落点有迹性含答案
∴DH=AG，HG=AD=6，A′H=A′G=3，
在Rt△A’EG中，由勾股定理得：EG= ，
∴DH=AG=AE+EG=3 ，
在Rt△A’HF中，由勾股定理得：A′F=6，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：EF=4 ；
故答案为：4或4 ．
4.（2019·三门峡二模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为．
，
解得：x=10，即BP=10;
综上所述，答案为：10或 .
【变式】（2019·偃师一模）如图，在边长为3的等边三角形ABC中，点D为AC上一点，CD=1，点E为边AB上不与A，B重合的一个动点，连接DE，以DE为对称轴折叠△AED，点A的对应点为点F，当点F落在等边三角形ABC的边上时，AE的长为．
9.（2019·中原名校大联考）如图，边长为1的正方形ABCD，点P为边AD上一动点（不与点A重合）．连接BP，将△ABP沿直线BP折叠，点A落在点A′处，如果点A′恰好落在正方形ABCD的对角线上，则AP的长为．
【答案】 .
【解析】解：由题意知，A’落在对角线BD上，连接A'D，
则B、A’、D在同一直线上，
【答案】1或5－ .
【解析】解：第一步确定落点，AC的三等分点有两个，所以有两种情况；第二步根据落点确定折痕，方法：作BD的垂直平分线即为折痕所在的直线；
（1）如下图所示，
由折叠性质得：∠B=∠EDP=60°，
∴∠CDE+∠ADP=120°，
∵∠A=∠C=60°，
∴∠ADP+∠APD=120°，

2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题15 最短路径问题(含答案解析)

2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题15 最短路径问题(含答案解析)

专题15最短路径问题模型一. 两点之间，线段最短模型二. “将军饮马”模型三. 双动点模型四. 垂线段最短【例1】（2019·河南南阳一模）如图，已知一次函数y=12x+2的图象与x轴、y轴交于点A、C，与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于点P，过点P作PB⊥x轴，垂足为B，且△ABP的面积为9.（1）点A的坐标为，点C的坐标为，点P的坐标为；（2）已知点Q在反比例函数y=kx的图象上，其横坐标为6，在x轴上确定一点M，是的△PQM的周长最小，BA'O求出点M的坐标.【分析】（1）根据一次函数的解析式求得A、C坐标，由S△ABP=12·AB·BP=9，设P点坐标为（m，12m+2），代入得到点P坐标；（2）先根据反比例函数解析式求得Q点坐标，作Q点（或P点）关于x轴的对称点Q’（P’），连接PQ’（QP’）与x轴的交点即为点M，用待定系数法求出直线PQ’（QP’的解析式）.【解析】解：（1）在y=12x+2中，当x=0时，y=2；y=0时，x=－4，∴A点坐标为（－4,0），C点坐标为（0,2），设P点坐标为（m，12m+2），m>0，则AB=m+4，BP=12m+2,∵S△ABP=12·AB·BP=9，即12×（m+4）（12m+2）=9，解得：m=2或m=－10（舍），∴点P的坐标为（2,3）；（2）如图，作点Q关于x轴的对称点Q’，连接PQ’交x轴于点M，此时，△PQM的周长最小，6，－1），设直线PQ’的解析式为：y=mx+b，得：23 61m bm b+=⎧⎨+=-⎩，解得：15mb=-⎧⎨=⎩，即直线PQ’的解析式为：y=－x+5，当y=0时，x=5，即M点坐标为（5,0），∴当△PQM的周长最小时，M点坐标为（5,0）.【变式1-1】（2017·新野一模）已知抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），C三点．直线y=mx+12交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN=2NF，求出此时点P的坐标；（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），∴20 4220a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得a=﹣1，b=1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．（2）直线y=mx+12交抛物线与A、Q两点，将A（﹣1，0）代入得：m=12，∴直线AQ的解析式为y=12x+12．设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n2+n+2），N（n，12n+12），F（n，0），∴PN=﹣n2+n+2﹣（12n+12）=﹣n2+12n+32，NF=12n+12，∵PN=2NF，即﹣n2+12n+32=2×（12n+12），解得：n=﹣1或12．当n=﹣1时，点P与点A重合，舍去．故点P的坐标为（12，94）．（3）∵y=﹣x2+x+2，=﹣（x﹣12）2+94，∴M（12，94）．∵A、C关于直线DE对称，∴连接AM交直线DE与点G，连接CG、CM，此时，△CMG的周长最小，设直线AM的函数解析式为y=kx+b，将A（﹣1，0），M（12，94）代入并解得：k=32，b=32，∴直线AM的函数解析式为y=32x+32，∵D为AC的中点，∴D（﹣12，1）．可得直线AC的解析式为：y=2x+2，直线DE的解析式为y=﹣12x+34．将y=﹣12x+34与y=32x+32联立，解得：x=﹣38，y=1516．∴在直线DE上存在点G，使△CMG的周长最小，G（﹣38，1516）．【变式1-2】（2019·三门峡二模）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D 是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD ＝m．（1）问题发现如图1，△CDE的形状是三角形．（2）探究证明如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．图1 图2【答案】见解析．【解析】解：（1）证明：由旋转性质，得：∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；故答案为：等边；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝∴△BDE的周长最小值为：+4.1.（2018·焦作一模）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP．（1）填空：抛物线的解析式为，点C的坐标；（2）点P在抛物线上运动，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标；（3）如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q'，请直接写出当点Q'落在坐标轴上时点P的坐标．图1 图2【答案】（1）y=﹣x2+3x+4，（﹣1，0）；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），∴-16a+4b+c=0，c=4，解得:b=3，c=4，∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4，当y=0时，﹣x2+3x+4=0，解得x=﹣1，x=4，即C（﹣1，0）；答案为：y=﹣x2+3x+4；（﹣1，0）；（2）∵△AQP∽△AOC，∴AQ AOPQ CO=4，即AQ=4PQ，设P（m，﹣m2+3m+4），则PQ=|4﹣（﹣m2+3m+4|=|m2﹣3m|，∴4|m2﹣3m|=m，解得：m1=0（舍去），m2=134，m3=114，∴P点坐标为（134，5116）或（114，7516）.（3）设P（m，﹣m2+3m+4），∵抛物线对称轴为：x =32， ∴m ＞32， ①当点Q ′落在x 轴上时，延长QP 交x 轴于H ，则PQ =m 2﹣3m ，由折叠性质知：∠AQ ′P =∠AQP =90°，AQ ′=AQ =m ，PQ ′=PQ =m 2﹣3m ， ∵∠AQ ′O =∠Q ′PH ， ∴△AOQ ′∽△Q ′HP ， ∴'''OA AQ Q B PQ =， 即24'3m Q B m m=-，得：Q ′B =4m ﹣12， ∴OQ ′=12﹣3m ，在Rt △AOQ ′中，由勾股定理得：42+（12﹣3m ）2=m 2， 解得：m 1=4，m 2=5，即P 点坐标为（4，0），（5，﹣6）； ②当点Q ′落在y 轴上，此时以点A 、Q ′、P 、Q 所组成的四边形为正方形， ∴PQ =PQ ′， 即|m 2﹣3m |=m ，得m 1=0（舍去），m 2=4，m 3=2， P 点坐标为（4，0），（2，6）， 综上所述，点P 的坐标为（4，0）或（5，﹣6）或（2，6）.2.（2019·中原名校大联考）如图，直线y ＝﹣x +5与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与直线y ＝﹣x +5交于B ，C 两点，已知点D 的坐标为（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点M ，N 分别是直线BC 和x 轴上的动点，则当△DMN 的周长最小时，求点M ，N 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y＝﹣x+5中，当x＝0，y＝5，当y＝0，x＝5，点B、C的坐标分别为（5，0）、（0，5），将（5，0）、（0，5），代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=4，c=5即二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5.（2）在y＝﹣x2+bx+5中，当y＝0时，x＝﹣1或5，∴A（﹣1，0），OB＝OC＝2，∴∠OCB＝45°；过点D分别作x轴和直线BC的对称点D′（0，﹣3）、D″，∵∠OCB＝45°，∴CD″∥x轴，点D″（2，5），连接D′D″交x轴、直线BC于点N、M，此时△DMN的周长最小，设直线D’D’’的解析式为：y＝mx+n将D′（0，﹣3），D″（2，5），代入解得：m=4，n=－3，直线D’D’’的解析式为：y＝4x﹣3，∴N(34，0).联立y＝4x﹣3，y＝﹣x+5得：x=85，y=175，即M(85，175).3.（2017·预测卷）已知，在平面直角从标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），C（m，6）为反比例函数123y=图象上一点．将△AOB绕B点旋转至△A′O′B处．（1）求m的值；（2）求当AO′最短和最长时A′点的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵C（m，6）为反比例函数123y=图象上一点，∴m=23；（2）当AO′最短时A′点的坐标（2+65，85），当AO′最长时A′点的坐标（2﹣65，﹣85）．①当点O′在线段AB上时，AO′最短，过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N于M，∵O′N∥OA，∴''BN O N O B OB OA AB==，即'2425 BN O N==∴BN=25，O′N=45．由∠A′MO′=∠A′O′B=∠O′NB=90°，得：∠MA′O′=∠NO′B，∴△A′MO′∽△O′NB，∴''2 'A M O MO N BN==，∴A′M，O′M即A’（）；②当点O′在线段AB延长线上时，AO′最长，同理可得：（2）．4.（2017·郑州一模）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O 于点Q，则PQ的最小值为（）A B C．2D．3【答案】A．【解析】解：由垂线段最短知，当OP⊥l时，OP取最小值，而由PQ PQ取最小值，过点O作OP⊥l于P，过P作⊙O的切线PQ，切点为Q，连接OQ，则OP=3，OQ=2，∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP=90°，由勾股定理得：PQ，即PQ，故答案为：A ．5.（2019·许昌月考）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AB =2，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P 、D （P 、D 两点不重合）两点间的最短距离为 ．【答案】 2.【解析】解：（1）BC 为腰，且∠PCB 为顶角时，以C 为圆心，以BC 为半径画弧，点P 在弧上，由题意知，点P 在菱形外或与A 、D 重合，不符合题意；（2）以BC 为腰，且∠PBC 为顶角时，点P 在以B 为圆心，以AB 为半径的圆上，则PD 的最小值为：BD －BC BC －BC ﹣2；（3）BC 为底时，则点P 在线段BC 的垂直平分线上，由垂线段最短知，PD 最小为：1+1=2；∵2<2，∴PD 的最小值为：﹣2.6.（2019·郑州外国语模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，已知A (-1,0)，C (0,3).(1)求抛物线的解析式；（2）如图，抛物线的顶点为E ，EF ⊥x 轴于F ，N 是直线EF 上一动点，M (m ，0)是x 轴上一个动点，请直接写出CN +MN +12MB 的最小值.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (-1,0)，C (0,3)代入y =-x 2+bx +c 得：103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，即抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3；（2）首先构造出12MB ，将AB 绕点B 顺时针旋转30°，交y 轴于H ，过M 作MG ⊥BH 于G ，则MG =12MB ，CN +MN +12MB 的最小值即CN +MN +MG 的最小值， 由图可知，当C 、N 、M 、G 共线，且CG ⊥BH 时，取得最小值，即∠HCG =30°，∵OB =3，∠ABH =30°，∴AH H （0），∴CH∴CG =CH ·cos ，即CN +MN +12MB 的最小值为32. 7.（2019·郑州实验中学模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与一直线相交于A （1，0）、C （﹣2，3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ．（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值；（3）在对称轴上是否存在一点M ，使△ANM 的周长最小．若存在，请求出△ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的函数解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x +3；设直线AC 的解析式为：y ＝kx +n ，将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝kx +n ，得：k +n =0，-2k +n =3，解得：k =-1，n =1，即直线AC 的解析式为y ＝﹣x +1．（2）过点P 作PF ∥y 轴交直线AC 于点F ，设点P （x ，﹣x 2﹣2x +3），则点F （x ，﹣x +1），（﹣2＜x ＜1）∴PF ＝﹣x 2﹣2x +3﹣（﹣x +1）＝﹣x 2﹣x +2．∴S △APC ＝12(x A －x C )•PF ＝﹣32x 2﹣32x +3 ＝﹣32（x +12）2+278． ∴当x ＝﹣12时，△APC 的面积取最大值，最大值为278． （3）当x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3，∴点N 的坐标为（0，3）．由y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4，得：抛物线的对称轴为x ＝﹣1．∴点C ，N 关于抛物线的对称轴对称，设直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，此时△ANM周长有最小值．由勾股定理得：AC＝，AN＝∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝∴△ANM周长的最小值为8.（2018·郑州预测卷）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3.（1）求抛物线的解析式；（2）连接CB交EF于点M，连接AM交OC于点R，连接AC，求△ACR的周长；（3）设G(4，－5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH⊥EF于点H，连接AP，GH，问AP＋PH ＋HG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，∴C (0，3)，E (2，3)．将C (0，3)，E (2，3)代入y＝－x2＋bx＋c得：b=2，c=3，∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋3；(2)在y＝－x2＋2x＋3中，当y＝0时，x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，∵AO＝1，CO＝3，∴在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC ∵CO＝BO＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴FM＝BF＝1，∵RO∥MF，∠RAO＝∠MAF，∴△ARO∽△AMF，∴RO AOMF AF=，得RO＝13，∴CR＝OC－OR＝3－13＝83，AR，∴△ACR的周长为：AC＋CR＋AR＝83+；（3）取OF中点A′，连接A′G交直线EF的延长线于点H，过点H作HP′⊥y轴于点P′，连接AP′，当P在P′处时，AP＋PH＋HG最小，A′(1，0)，设直线A′G的解析式为：y＝kx＋m，将G(4，－5)，A′(1，0)代入得：k=53-，b=53，∴直线A′G的解析式为：y＝53-x＋53.当x＝2时，y＝53 -，即点H的坐标为(2，53 -)，∴符合题意的点P的坐标为(0，53 -)．9. （2019·郑州联考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y2x-与x轴交于A，C（A在C 的左侧），点B 在抛物线上，其横坐标为1，连接BC ，BO ，点F 为OB 中点．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）若点D 为抛物线第四象限上的一个动点，连接BD ，CD ，点E 为x 轴上一动点，当△BCD 的面积的最大时，求点D 的坐标，及|FE ﹣DE |的最大值.【答案】见解析.【解析】解：（1）在y2x -y ＝0，解得：x 1＝32，x 2＝72， ∴A （32，0），C （72，0） 当x ＝1时，y ＝即B （1，，设直线BC 的解析式为y ＝kx +b得：702k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得5k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 直线BC 的解析式为y＝x. （2）设点D （m，255-+），则点H （m，5-m+5） 过点D 作DH ⊥x 轴交BC 于点H ，HD ＝5-m +5﹣（255-+）＝294m ⎫-+⎪⎝⎭ S △BCD =12×DH ×（x C －x B ） =54DH ， ∴当m ＝94时，HD 取最大值，此时S △BCD 的面积取最大值．此时D （94. 作D 关于x 轴的对称点D ′则D ′（94）， 连接D ′H 交x 轴于一点E ，此时|D ′E ﹣FE |最大，最大值为D ′F 的长度，∵F （12）∴D ′F ，即|FE ﹣DE |． 10.（2019·三门峡一模）反比例函数k y x=（k 为常数，且k ≠0）的图象经过点A (1，3)，B (3，m )． （1）求反比例函数的解析式及点B 的坐标；（2）在x 轴上找一点P ，使P A +PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）将点A(1，3)代入kyx=得：k=3，即反比例函数解析式为：3yx =，将点B(3，m)代入3yx=得：m=1，即B(3，1).（2）作点A关于x轴的对称点A’(1，－3)，连接A’B交x轴于点P，此时P A+PB最小，如图所示，设直线A’B的解析式为：y=kx+b，∴331k bk b+=-⎧⎨+=⎩，解得：25kb=⎧⎨=-⎩，即直线A’B的解析式为：y=2x－5，当y=0时，x=52，即P(52，0).ABO x y。

2020年河南省中考原创押题数学试卷(一)含答案解析

2020年河南省中考原创押题数学试卷(一)含答案解析

2020 年河南省中考原创押题数学试卷（一）一、选择题：本大题共 8小题，每小题 3 分，共 24分 1．下面的数中，与﹣ 2 的和为 0 的是（ ）A ．B ．﹣C ．2D ．﹣ 22．下列计算正确的是（ ）A ．2 +4 =6B ．=4 C ． ÷ =3 D ．=﹣33．发展工业是强国之梦的重要举措，如图所示零件的左视图是（ ）4．股票每天的涨、 跌幅均不能超过 10%，即当涨了原价的 10%后，便不能再涨， 叫做涨停；当跌了原价的 10% 后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又6．小明是我校手工社团的一员， 他在做折纸手工， 如图所示在矩形 ABCD 中，AB=6 ，BC=8 ，点 E 是 BC 的中点，点 F 是边 CD 上的任意一点， △ AEF 的周长最小时， 则 DF 的长为（ ）7．如果一组数据 a 1，a 2，⋯，a n 的方差是 2，那么一组新数据 2a 1+1，2a 2+1，⋯，2a n +1 的方差是（ ）8．如图，矩形 ABCD 中， AB=3 ，BC=4，动点 P 从 A 点出发，按 A →B →C 的方向在 AB 和 BC 上移动，记PA=x ，点D 到直线 PA 的距离为 y ，则 y 关于 x 的函数图象大致是 （ ）则 x 满足的方程是（2B ．（1+x ）2=C ． 1+2x=D1+2x=5．正比例函数 y=6x 的图象与反比例函数 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第一、三象限A ． 2B ． 3C ． 4D ．8C ．涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为 x ， y= 的图象的交点位于（2 A ．（1+x ）2二、填空题：每小题 3 分，共 21 分9．若实数 a 、b 满足| 3a ﹣1|+ b 2=0，则 a b 的值为 _____11．不等式组 的非负整数解是 ______12．点动成线，线动成面，面动成体，在 Rt △ABC 中，∠ C=90°，AC=3 ，BC=4 ，将△ ABC 饶边 AC 所在的直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的表面积是 _______ ．213．反比例函数 的图象经过点 P （ a ，b ），其中 a 、b 是一元二次方程 x 2+kx +4=0 的两根，那么点 P 的坐标是 _____ ．214．如图，把抛物线 y= x 2平移得到抛物线 m ，抛物线 m 经过点 A （﹣ 6，0）和原点 O （0， 20），它的顶点为 P ，它的对称轴与抛物线 y= x 2交于点 Q ，则图中阴影部分的面积为 _____ ．15．如图 1，两个等边△ ABD ，△ CBD 的边长均为 1，将△ ABD 沿AC 方向向右平移到△ 的位置，得到图 2，则阴影部分的周长为 ．三、解答题：本大题共 8 小题，共 75分17．如图，在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP=AB ， PB=PC ，连接 AC 、 PD ． 求证：（1）△APB ≌△DPC ；（2）∠ BAP=2 ∠ PAC ．10．请写出一个二元一次方程组A ′B ′D 16．化简求值：A．，其中 a=18．如图所示，小明在自家楼顶上的点 A 处测量建在与小明家楼房同一水平线上邻居的电梯的高度，测得电梯楼顶部 B 处的仰角为 45 °，底部 C 处的俯角为 26°，已知小明家楼房的 高度 AD=15 米，求电梯楼的高度 BC （结果精确到 0.1 米）（参考数据： sin26°≈0.44，cos26°≈0.90， tan26°≈ 0.49）19．最近两年雾霾对我国北方大部分地区影响较严重， 其中和越来越多的汽车尾气排放有极大的关系．据报道，历经一百天的调查研究，我市 PM2.5 的源解析已经通过专家论证，各 种调查显示，机动车为PM2.5的最大来源，一辆车每行驶 20 千米平均向大气里排放 0.035 千克污染物， 校环保志愿小分队从环保局了解到我市 100 天的空气质量等级情况， 并制成统 计图和表：空气质量等级 优 良轻度污染中度污染重度污染 严重污染天数（天） 10 a12825 b（1）表中 a=______ ，b=_，图中严重污染部分对应的圆心角n= _____ ；（2）请你根据 “2020 年我市 100天空气质量等级天数统计表 ”计算 100 天内重度污染和严重 污染出现的概率共是多少？（3）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了机动车每天的行驶路程，了解到每辆车每 天平均出行 25 千米，已知我市 2020 年机动车保有量已突破 200 万辆，请你通过计算， 估计 2020 年我市一天中出行的机动车至少要向大气里排放多少千克污染物？20．如图，已知， A （0，4），B （﹣ 3，0）， C （2，0），D 为 B 点关于 AC 的对称点，反比 例函数 y= 的图象经过 D 点． （1）证明四边形 ABCD 为菱形； （2）求此反比例函数的解析式；3）已知在y= 的图象（x>0）上一点N，y 轴正半轴上一点M ，且四边形ABMN 是平克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60 时，y=80；x=50 时，y=100 ．在销售过程中，每天还要支付其他费用450 元．（1）求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x （元）之间的函数关系式．3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？22．王老师在组织一次数学教学中，扁拟了如下问题串【原题初探】如图 1 所示，在四边形延长线于点F，求ABCD 中，AD∥BC，E为CD 边的中点，连接AE 并延长交BC的S四边形ABCD= S△ADE ；变式猜想】如图 2 所示，在已知锐角∠ AOB 内有一定点P，过点P 任意作一条直线MN ，分别交射线OA，OB 于点M，N，小明在将直线MN 绕着点P 旋转的过程中发现，△ MON 的面积存在最小值，试问当MN 在什么位置时，△ MON 的面积最小【拓展应用】如图3所示，一块四边形土地OABC ，其中OA 边长60米，AB 边长30 米，C点到OA 边的距离为45 米，使用测角器测得∠ AOC=45 °，OA⊥AB，OC⊥BC，机井P距离OA，AB 均是20米，过机井P画一条分割线将这块地分成两块四边形地块（与四边形土地OABC ）的一组对边相交），则其中以点O 为顶点的四边形地块的最大面积为_________ ．23．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于C点，已知 B 点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△ MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．30 元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30 元．经市场调查发现：日销售量y （千2020 年河南省中考原创押题数学试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题 3 分，共24分1．下面的数中，与﹣ 2 的和为0 的是（）A．B．﹣C．2 D．﹣2．．﹣．．﹣【考点】相反数．【分析】设这个数为x，根据题意可得方程x+（﹣2）=0，再解方程即可．【解答】解：设这个数为x ，由题意得：x+（﹣2）=0 ，x﹣2=0，x=2，故选：C．2．下列计算正确的是（）A．2 +4 =6 B．=4 C．÷ =3 D ．=﹣3【考点】实数的运算．【分析】 A 、根据合并二次根式的法则即可判定；B、根据二次根式的乘法法则即可判定；C、根据二次根式的除法法则即可判定；D、根据二次根式的性质即可判定．【解答】解：A、2 +4 不是同类项不能合并，故 A 选项错误；B、=2 ，故 B 选项错误；C、÷ =3，故 C 选项正确；D、=3，故 D 选项错误．故选：C．3．发展工业是强国之梦的重要举措，如图所示零件的左视图是（【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看是一个矩形平均分成 2 个，故选：C．4．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10% 后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x 满足的方程是（）22A ．（1+x ）=B．（1+x）2=C．1+2x=D1+2x=【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨x，每天相对于前一天就上涨到1+x．【解答】解：设平均每天涨x ．则90%（1+x）2=1，即（1+x）2= ，，故选 B ．5．正比例函数y=6x 的图象与反比例函数y= 的图象的交点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第一、三象限考点】反比例函数与一次函数的交点问题．分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题解方程组标，然后根据交点坐标进行判断．所以正比例函数y=6x 的图象与反比例函数y= 的图象的交点坐标为（故选： D ．6．小明是我校手工社团的一员，他在做折纸手工，如图所示在矩形ABCD 中，AB=6 ，BC=8 ，点 E 是BC 的中点，点F 是边CD 上的任意一点，△ AEF 的周长最小时，则DF的长为（）3 D． 4轴对称-最短路线问题．如图作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE ′与直线CD交于点F．此时△AEF 的周长最小．由CF∥ AB ，推出CF：AB=CE ′：BE′=1：3，求出CF即可解决问题．【解答】解：如图作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE ′与直线CD交于点F．此时△解答】解：考点】分析】1，6），（﹣1，﹣6）．即可得到两函数的交点坐解方程组AEF 的周长最小．∴CF ：AB=CE ′：BE ′=1： 3， ∴CF=2，∴DF=CD ﹣ CF=4． 故选 D ．7．如果一组数据 a 1，a 2，⋯，a n 的方差是 2，那么一组新数据 2a 1+1，2a 2+1，⋯，2a n +1 的方差是（ ）A ．2B ．3C ．4D ． 8【考点】 方差．【分析】 设已知数据的平均数为 ，根据数据的方差列出关系式， 进而求出新数据的平均数， 得出方差即可．【解答】 解：∵一组数据 a 1，a 2，⋯，a n 的方差是 2，平均数为 ， ∴S 2= [ （ a 1﹣ ） 2+（a 2﹣ ）2+⋯+（a n ﹣ ）2]=2， ∵2a 1+1，2a 2+1，⋯，2a n +1 的平均数为 2 +1，∴S ′2= [ （ 2a 1+1﹣ 2 ﹣1）2+（2a 2+1﹣2 ﹣1）2+⋯+（2a n +1﹣2 ﹣1）2]=2×22=8， 故选： D8．如图，矩形 ABCD 中， AB=3 ，BC=4，动点 P 从 A 点出发，按 A →B →C 的方向在 AB 和 BC 上移动，记PA=x ，点D 到直线 PA 的距离为 y ，则 y 关于 x 的函数图象大致是 （ ）【考点】 动点问题的函数图象．【分析】 ① 点 P 在 AB 上时，点 D 到AP 的距离为 AD 的长度， ② 点 P 在 BC 上时，根据 同角的余角相等求出∠ APB= ∠PAD ，再利用相似三角形的列出比例式整理得到 y 与 x 的关 系式，从而得解．【解答】 解：① 点 P 在 AB 上时， 0≤ x ≤ 3，点 D 到 AP 的距离为 AD 的长度，是定值4； ② 点P 在 BC 上时， 3<x ≤5，∵∠ APB +∠BAP=90 °， ∠PAD+∠BAP=90 °，CF ∥ AB ，∴∠ APB= ∠PAD，又∵∠ B=∠ DEA=90 °，∴△ ABP ∽△ DEA ，=，纵观各选项，只有 B 选项图形符合．故选：B．二、填空题：每小题 3 分，共21 分9．若实数a、b 满足| 3a﹣1|+ b2=0，则a b的值为 1 ．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式，根据任何非0 数的0次幂等于 1 进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，3a﹣1=0，b=0，解得a= ，b=0，b0a = （）=1．故答案为：1．10．请写出一个二元一次方程组此题答案不唯一，如：，使它的解是【考点】二元一次方程组的解．【分析】根据二元一次方程解的定义，可知在求解时，应先围绕x=2，y= ﹣ 1 列一组算式，然后用x，y 代换即可列不同的方程组．答案不唯一，符合题意即可．【解答】解：此题答案不唯一，如：，① +② 得：2x=4 ，解得：x=2 ，将x=2 代入① 得：y=﹣1，∴一个二元一次方程组的解为：故答案为：此题答案不唯一，如：11．不等式组的非负整数解是0【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其非负整数解即可．【解答】解：由不等式1﹣x>0得x<1，由不等式3x>2x﹣4得x>﹣4，所以其解集为﹣4< x< 1，则不等式组的非负整数解是0．故答案为：0．12．点动成线，线动成面，面动成体，在Rt△ABC 中，∠ C=90°，AC=3 ，BC=4 ，将△ ABC 饶边AC 所在的直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的表面积是36πcm2．【考点】圆锥的计算．【分析】先利用勾股定理计算出AB=5 ，由于以AC 所在直线为轴，把△ ABC 旋转 1 周所得的圆锥的底面圆的半径为4，母线长为5，则可利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算圆锥的侧面积，然后加上底面积即可得到圆锥面积．【解答】解：∵∠ C=90°，AC=3 ，BC=4 ，∴AB==5，以AC 所在直线为轴，把△ ABC 旋转 1 周所得的圆锥的底面圆的半径为 4 ，母线长为5，所以圆锥的全面积=π?42+ ?2π?4?5=36π（cm2）．故答案为36πcm2．213．反比例函数的图象经过点P（a，b），其中a、b是一元二次方程x2+kx+4=0 的两根，那么点P的坐标是（﹣2，﹣2）．【考点】待定系数法求反比例函数解析式；根与系数的关系．【分析】先根据点P（a，b）是反比例函数的图象上的点，把点P 的坐标代入解析式，得到关于a、b、k 的等式ab=k；又因为a、b 是一元二次方程x2 +kx+4=0 的两根，得到a+b= ﹣k，ab=4，根据以上关系式求出a、 b 的值即可．【解答】 解：把点 P （ a ， b ）代入 y= 得， ab=k ， 因为 a 、 b 是一元二次方程 x 2+kx+4=0 的两根，根据根与系数的关系得：14．如图，把抛物线 y= x 2平移得到抛物线 m ，抛物线 m 经过点 A （﹣ 6，0）和原点 O （0，故答案为：|=| =∴S=| ﹣3| ×| a+b= ﹣k ， ab=4 ，，解得2，﹣ 2）．0），它的顶点为 P ，它的对称轴与抛物线 y= x 2 交于点 Q ，则图中阴影部分的面积为【考点】 二次函数图象与几何变换．【分析】 根据点 O 与点 A 的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点 点 P 作 PM ⊥ y 轴于点 M ，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形 然后求解即可．【解答】 解：过点 P 作 PM ⊥y 轴于点 M ，∵抛物线平移后经过原点 O 和点 A （﹣ 6， 0）， ∴平移后的抛物线对称轴为 x= ﹣ 3，得出二次函数解析式为： y= （ x+3）2+h ， 将（﹣ 6， 0）代入得出：0= （﹣ 6+3）2+h ，解得： h= ﹣ ，P 的坐标，过 NPMO 的面积，∴点 P 的坐标是（﹣ 3，﹣ ），根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO 的面积，于是有：点 P 的坐标是（﹣15．如图 1，两个等边△ ABD ，△CBD 的边长均为 1，将△ ABD 沿 AC 方向向右平移到△ A ′B ′D 的位置，得到图 2，则阴影部分的周长为 2 ．分析】 根据两个等边△ ABD ，△ CBD 的边长均为 1，将△ ABD 沿 AC 方向向右平移到△A 'B 'D '的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM+MN +NR +GR+EG+OE=A ′D ′+CD=1 +1=2，即可得出答案．【解答】 解：∵两个等边△ ABD ，△ CBD 的边长均为 1，将△ ABD 沿 AC 方向向右平移到 △A ′B ′D ′的位置，∴A ′M=A ′N=MN ，MO=DM=DO ，OD ′=D ′E=OE ，EG=EC=GC ，B ′G=RG=RB ′， ∴OM+MN +NR +GR+EG+OE=A ′D ′+CD=1+1=2；故答案为： 2．三、解答题：本大题共 8 小题，共 75分【考点】 分式的化简求值．【分析】 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形， 约分得到最简结果，将 a 与 b 的值代入计算即可求出值．16．化简求值：17．如图，在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP=AB ， PB=PC ，连接 AC 、PD ． 求证：（1）△APB ≌△DPC ；（2）∠ BAP=2 ∠ PAC ．【考点】 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）AP=AB ，PB=PC ，∴∠ ABC ﹣∠ PBC=∠ DCB ﹣∠ PCB ，即∠ ABP= ∠DCP ， 因此可证得两三角形全等．（2）有（ 1）∠ CAD=45 °，△ PAD 为等边三角形，可求得∠ BAP=30 °∠PAC=∠PAD ﹣∠CAD=15 °，因此可证的结论．【解答】（ 1）解：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ ABC= ∠DCB=90 °． ∵PB=PC ，∴∠ PBC= ∠PCB ．∴∠ ABC ﹣∠ PBC= ∠DCB ﹣∠ PCB ，即∠ ABP= ∠ DCP ． 又∵ AB=DC ， PB=PC ， ∴△ APB ≌△ DPC ．（2）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ BAC= ∠ DAC=45 °． ∵△ APB ≌△ DPC ，∴ AP=DP ． 又∵ AP=AB=AD ，∴ DP=AP=AD ． ∴△ APD 是等边三角形． ∴∠ DAP=60 °．∴∠ PAC=∠ DAP ﹣∠ DAC=15 °． ∴∠ BAP= ∠ BAC ﹣∠ PAC=30 °． ∴∠ BAP=2 ∠PAC ．18．如图所示，小明在自家楼顶上的点 A 处测量建在与小明家楼房同一水平线上邻居的电梯的高度，测得电梯楼顶部 B 处的仰角为 45 °，底部 C 处的俯角为 26°，已知小明家楼房的 高度 AD=15 米，求电梯楼的高度 BC （结果精确到 0.1 米）（参考数据： sin26°≈0.44，cos26°≈0.90， tan26°≈ 0.49）考点】 解直角三角形的应用 - 仰角俯角问题．a=时，原式 =b==﹣6．【分析】首先过点 A 作AE ⊥BC 于E，可得四边形ADCE 是矩形，即可得CE=AD=15 米，然后分别在Rt△ ACE 中，AE= 与在Rt△ABE 中，BE=AE ?tan45°，即可求得BE 的长，继而求得电梯楼的高度．【解答】解：过点 A 作AE ⊥BC 于E，∵AD ⊥CD ，BC⊥CD，∴四边形ADCE 是矩形，∴CE=AD=15 米，在Rt△ACE 中，AE= = ≈30.6（米），在Rt△ABE 中，BE=AE ?tan45°=30.6（米），∴BC=CE+BE=15+30.6=45.6（米）．答：电梯楼的高度BC 为45.6 米．19．最近两年雾霾对我国北方大部分地区影响较严重，其中和越来越多的汽车尾气排放有极大的关系．据报道，历经一百天的调查研究，我市PM2.5 的源解析已经通过专家论证，各种调查显示，机动车为PM2.5 的最大来源，一辆车每行驶20 千米平均向大气里排放0.035千克污染物，校环保志愿小分队从环保局了解到我市100 天的空气质量等级情况，并制成统计图和表：空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数（天）10a12825b（1）表中a=25 ，b=20，图中严重污染部分对应的圆心角n= 72° ；（2）请你根据“2020 年我市100天空气质量等级天数统计表”计算100 天内重度污染和严重污染出现的概率共是多少？（3）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了机动车每天的行驶路程，了解到每辆车每天平均出行25 千米，已知我市2020 年机动车保有量已突破200 万辆，请你通过计算，估计2020 年我市一天中出行的机动车至少要向大气里排放多少千克污染物？【考点】扇形统计图；用样本估计总体；概率公式．【分析】（1）根据优的天数和所占的百分比求出总天数，再乘以良和严重污染所占的百分比，求出a，b，再用360°乘以严重污染所占的百分比求出严重污染部分对应的圆心角的度数；（2）用重度污染和严重污染所占的百分比相加即可得出答案； （3）根据题意和用样本估计总体的方法，列出算式，求解即可．【解答】 解：（ 1）根据题意，得： a=100× 25%=25（天）， 严重污染所占的百分比是： 1﹣10%﹣25%﹣12%﹣8%﹣25%=20% ， b=100×20%=20（天），n=360°× 20%=72 °，故答案为： 25， 20，72°；（2）100 天内重度污染和严重污染出现的频率为 × 100%=45% ；（3）根据题意，得： 200×10000× 0.035× =87500（千克），答：估计 2020 年我市一天中出行的机动车至少要向大气里排放 87500 千克污染物．20．如图，已知， A （0，4），B （﹣ 3，0）， C （2，0），D 为 B 点关于 AC 的对称点，反比 例函数 y= 的图象经过 D 点． （1）证明四边形 ABCD 为菱形； （2）求此反比例函数的解析式；（3）已知在 y= 的图象（ x >0）上一点 N ，y 轴正半轴上一点 M ，且四边形 ABMN 是平由 D 为 B 点关于 AC 的对称点，可得 AB=AD ， BC=DC ，即可证得 AB=AD=CD=CB ，继而 证得四边形 ABCD 为菱形；（2）由四边形 ABCD 为菱形，可求得点 D 的坐标， 然后利用待定系数法，即可求得此反比 例函数的解析式；（3）由四边形 ABMN 是平行四边形，根据平移的性质，可求得点 N 的横坐标，代入反比 例函数解析式，即可求得点 N 的坐标，继而求得 M 点的坐标． 【解答】 解：（1）∵A （0，4），B （﹣ 3，0），C （2，0）， ∴OA=4 ，OB=3 ，OC=2 ， ∴AB==5，BC=5 ， ∴AB=BC ，0）， C （ 2， 0），利用勾股定理可求得 AB=5=BC ，又∵D 为 B 点关于 AC 的对称点， ∴AB=AD ， CB=CD ， ∴AB=AD=CD=CB ， ∴四边形ABCD 为菱形；2）∵四边形 ABCD 为菱形，（3）∵四边形 ABMN 是平行四边形， ∴AN ∥BM ，AN=BM ， ∴AN 是 BM 经过平移得到的，∴首先 BM 向右平移了 3 个单位长度， ∴N 点的横坐标为 3， 代入 y= 得 y=21．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克 30 元．物价部门规定其销售单价不高于每千克 60元，不低于每千克 30 元．经市场调查发现： 日销售量 y （千 克）是销售单价 x （元）的一次函数，且当 x=60 时， y=80； x=50 时， y=100 ．在销售过程 中，每天还要支付其他费用 450 元．（ 1）求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围． （2）求该公司销售该原料日获利 w （元）与销售单价 x （元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？ 【考点】 二次函数的应用．【分析】（1）根据 y 与 x 成一次函数解析式，设为 y=kx +b ，把 x 与y 的两对值代入求出 k 与b 的值，即可确定出 y 与 x 的解析式，并求出 x 的范围即可；（2）根据利润 =单价×销售量列出 W 关于 x 的二次函数解析式即可； （3）利用二次函数的性质求出 W 的最大值，以及此时 x 的值即可． 【解答】 解：（ 1）设 y=kx +b ，根据题意得 ，解得： k=﹣2， b=200， ∴y= ﹣2x+200（30≤x ≤60）；（2）W=（x ﹣30）（﹣2x+200）﹣ 450=﹣2x 2+260x ﹣6450=﹣2（x ﹣65）2+2000； （3）W= ﹣2（x ﹣ 65）2+2000， ∵30≤x ≤60，∴x=60 时，w 有最大值为 1950 元，∴当销售单价为 60元时，该公司日获利最大，为 1950 元．﹣ 4=∴ M 点的纵坐标为：∴D 点的坐标为（ 5， 4），反比例函数 y= 的图象经过 D 点，∴k=20 ，∴反比例函数的解析式为：∴ M 点的坐标为：22．王老师在组织一次数学教学中，扁拟了如下问题串【原题初探】如图1所示，在四边形ABCD 中，AD∥BC，E为CD边的中点，连接AE 并延长交BC的延长线于点F，求证：S 四边形ABCD= S△ADE ；【变式猜想】如图 2 所示，在已知锐角∠ AOB 内有一定点P，过点P 任意作一条直线MN ，分别交射线OA，OB 于点M，N，小明在将直线MN 绕着点P 旋转的过程中发现，△ MON 的面积存在最小值，试问当MN 在什么位置时，△ MON 的面积最小【拓展应用】如图3所示，一块四边形土地OABC ，其中OA 边长60米，AB 边长30米，C点到OA 边的距离为45 米，使用测角器测得∠ AOC=45 °，OA⊥AB，OC⊥BC，机井P距离OA，AB 均是20米，过机井P画一条分割线将这块地分成两块四边形地块（与四边形土地OABC ）的一组对边相交），则其中以点O 为顶点的四边形地块的最大面积为1000m2．【考点】几何变换综合题．【分析】【原题初探】：根据可以求得△ ADE ≌△ FCE ，就可以得出S△ADE=S△FCE就可以得出结论；【变式猜想】：根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN 的中点时S△MON最小，过点M 作MG∥OB 交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论；【拓展应用】：当过点P的直线l与四边形OABC 的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB 交x轴于T，由B、C的坐标可得直线BC 的解析式，就可以求出T的坐标，从而求出△OCT 的面积，再由问题迁移的结论可以求出最大值，通过比较就可以求出结论．【解答】解：【原题初探】证明：∵ AD ∥BC，∴∠ ADE= ∠ FCE，在△ ADE 与△ FCE 中，，∴△ ADE≌△ FCE，∴S△ADE =S△ FCE，∴S四边形ABCD =S四边形ABCE+S△ADE =S四边形ABCE +S△ FCE=S△ABF；【变式猜想】当直线旋转到点P是MN 的中点时S△MON最小，如图（ 1），过点 P 的另一条直线 EF 交 OA 、OB 于点 E 、F ，设 PF <PE ，过点 M 作 MG ∥OB 交 EF 于 G ，由方法探究可以得出当 P 是 MN 的中点时 S 四边形 MOFG =S △MON ．∵S 四边形 MOFG <S △EOF ， ∴S △MON <S △EOF ，∴当点 P 是 MN 的中点时 S △MON 最小； 【拓展应用】 ① 如图 3 ，当过点 P 的直线 l 与四边形 OABC 的一组对边 OC 、AB 分别交于点 M 、N ，延长 OC 、AB 交于点 D ，∵OA 边长 60 米，使用测角器测得∠ AOC=45 °， OA ⊥AB ， ∴△ OAD 是等腰直角三角形， ∴S △ AOD = AO 2= × 602=1800由变式猜想的结论可知，当 PN=PM 时，△ MND 的面积最小， ∴四边形 ANMO 的面积最大． 作 PP 1⊥ OA ，MM 1⊥OA ，垂足分别为 P 1，M 1， ∴M 1P 1=P 1A=20 ， ∴OM 1=M 1M=20 ， ∴MN ∥OA ，当过点 P 的直线 l 与四边形 OABC 的另一组对边 CB 、OA 分别交 M 、N ，延长 CB 交 x 轴 于T ，过点 C 作 CH ⊥OA ， ∴CH=45 ． ∵∠ COA=45 °，∴△ CHA 为等腰直角三角形， ∴OC=45 ， ∵OC ⊥BC ，∴△OCT 是等腰直角三角形，2∴S △OCT = OC 2=2025， OT=90由问题迁移的结论可知，当 PM=PN 时，△ MNT 的面积最小， ∴四边形 CMNO 的面积最大． ∴NP 1=M 1P 1，MM 1=2PP 1=40，∴S 四边形 OANM=S △OMM1+S 四边形 ANMM1 × 20× 20+20× 40=1000② 如图 4 ，∴ TM 1=40∴OM 1=OT ﹣TM 1=50．∵AT=AB=30 ，∴AM 1=TM 1﹣AT=40 ﹣30=10，∵AP 1=20 ，∴P1N=P1M1=AP1=AM 1=20﹣10=10，∴NT=P 1N+AP1+AT=10+20+30=60∴S△MNT = ×40×60=1200，∴S四边形OCMN =2025 ﹣1200=725< 1000．∴综上所述：截得四边形面积的最大值为1000（m2），故答案为1000m2．23．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于C点，已知 B 点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△ MBC 的面积的最大值，并求出此时M（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将 B 点坐标代入解析式中即可．（2）首先根据抛物线的解析式确定 A 点坐标，然后通过证明△ ABC 是直角三角形来推导出直径AB 和圆心的位置，由此确定圆心坐标．（3）△ MBC 的面积可由 S △MBC = BC ×h 表示，若要它的面积最大，需要使 h 取最大值， 即点 M 到直线 BC 的距离最大，若设一条平行于 BC 的直线，那么当该直线与抛物线有且 只有一个交点时，该交点就是点M ．方法二：（1）略． （2）通过求出 A ，B ，C 三点坐标，利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出 AC ⊥ BC ，从 而求出圆心坐标．（3）利用三角形面积公式， 过 M 点作 x 轴垂线， 水平底与铅垂高乘积的一半， 得出△ MBC 的面积函数，从而求出 M 点．【解答】 方法一：解：（1）将 B （ 4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a ﹣ × 4﹣ 2，即： a= ；（2）由（ 1）的函数解析式可求得： A （﹣ 1，0）、C （0，﹣ 2）；∴OA=1 ，OC=2，OB=4 ，即： OC 2=OA ?OB ，又： OC ⊥AB ，∴△ OAC ∽△ OCB ，得：∠ OCA= ∠OBC ；∴∠ ACB= ∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90 °，∴△ ABC 为直角三角形， AB 为△ABC 外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为 AB 的中点，且坐标为： （ ， 0）． 3）已求得： B （4， 0）、C （ 0，﹣ 2），可得直线 BC 的解析式为： y= x ﹣设直线 l ∥BC ，则该直线的解析式可表示为： y= x+b ，当直线 l 与抛物线只有一个交点时， 可列方程：2 x +b= x y= x ﹣ 4． x ﹣2，即： x 2﹣2x ﹣2﹣ b=0，且△ =0；∴4﹣4×﹣ 2﹣b ) =0，即 b= ﹣ 4；∴直线 l ：∴抛物线的解析式为：所以点M 即直线l 和抛物线的唯一交点，有：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC =S梯形OCMN+S△MNB ﹣S△OCB= ×2×（2+3）+ ×2×3﹣× 2× 4=4．方法二：∴K AC×K BC=﹣1，∴ AC⊥BC，∴△ ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，△外接圆的圆心坐标为（，0）．（3）过点M 作x 轴的垂线交BC ′于H，∵B（4，0），C（0，﹣2），∴l BC：y= x﹣2，设H（t，t﹣2），M（t，t2﹣t﹣2），22 ∴S△ MBC = ×（H Y﹣M Y）（B X﹣C X）= ×（t﹣2﹣t2+ t+2）（4﹣0）=﹣t2+4t，∴当t=2 时，S有最大值4，∴M（2，﹣3）．1）略．∴A（﹣1，0），B（4，0）．C（0，﹣2），∴K AC= =﹣2，K BC= = ，ABC 的外接圆的圆心是AB 的中点，△ ABC 的2020 年9 月20 日。

2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题17 函数动点问题中平行四边形存在性(含答案解析)

2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题17 函数动点问题中平行四边形存在性(含答案解析)

专题17 函数动点问题中平行四边形存在性类型一、平行四边形存在性结论：A C B DA CB Dx x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩类型二、特殊平行四边形存在性 1. 矩形存在性常用解题思路：构造一线三直角（借助相似或三角函数求解）；利用矩形对角线相等（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解等.2. 菱形存在性常用解题思路：利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求解. 3. 正方形存在性常用解题思路：兼具矩形和菱形二者.【例1】（2018·郑州预测卷）如图，直线y =334x -+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =234ax x c ++经过B 、C 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一个动点，当△BEC 的面积最大时，求出点E 的坐标和最大值； （3）在（2）条件下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）△直线y=334x-+与x轴交于点C，与y轴交于点B，△B(0,3)，C(4,0)，将B(0,3)，C(4,0)代入y= 234ax x c++得：16303a cc++=⎧⎨=⎩，解得：383ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩，△抛物线的解析式为：233384y x x=-++.（2）过点E作EF△x轴于F，交BC于M，设E（x，233384x x-++），则M（x，334x-+），△ME=233384x x-++－（334x-+）=23382x x-+△S△BEC=12×EM×OC=2EM=2(23382x x-+)=()23234x--+,△当x=2时，△BEC的面积取最大值3，此时E(2，3).（3）由题意得：M (2，32)，抛物线对称轴为：x =1，A (－2,0), 设P (m ，y )，y =233384m m -++，Q (1，n )△当四边形APQM 为平行四边形时，有：212m -+=+，解得：m =－3， 即P (－3，218-)； △当四边形AMPQ 为平行四边形时，有：－2+m =2+1，即m =5 即P (5, 218-)； △当四边形AQMP 为平行四边形时，有：2－2=1+m ，得：m =－1，即P (－1，158)； 综上所述，抛物线上存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为：(－3，218-)，(5, 218-)，(－1，158).【变式1-1】（2018·河师大附中模拟）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (－1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，－3).（1）求抛物线的解析式与顶点M 的坐标； （2）求△BCM 的面积与△ABC 面积的比；（3）若P 是x 轴上一个动点，过P 作射线PQ △AC 交抛物线于点Q ，随着P 点的运动，在x 轴上是否存在这样的点P ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (－1，0)，B (3，0)， C (0，－3)代入y =ax 2+bx +c ，得：9303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩， 解得：a =1，b =－2，c =－3，即抛物线的解析式为：y =x 2－2x －3，顶点M 的坐标为：（1，－4）； （2）连接BC ，BM ，CM ，过M 作MD △x 轴于D ，如图所示，S△BCM=S梯形ODMC+S△BDM－S△BOC=3，S△ACB=6，△S△BCM：S△ACB=1：2；（3）存在.△当点Q在x轴上方时，过Q作QF△x轴于F，如图所示，△四边形ACPQ为平行四边形，△QP△AC，QP=AC△△PFQ△△AOC，△FQ=OC=3，△3=x2﹣2x﹣3，解得x或x=1，△Q，3)或(1，3)；△当点Q在x轴下方时，过Q作QE△x轴于E，如图所示，同理，得：△PEQ△△AOC，△EQ=OC=3，△﹣3=x2﹣2x﹣3，解得：x=2或x=0(与C点重合，舍去)，△Q(2，﹣3)；综上所述，点Q 的坐标为：，3)或(1，3)或(2，﹣3).【例2】（2018·郑州三模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx －5与x 轴交于A (-1,0),B (5,0)两点，与y 轴交于点C .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2所示，CE △x 轴与抛物线相交于点E ，点H 是直线CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与y 轴平行的直线与BC 、CE 分别交于点F 、G ，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点H 的坐标及最大面积；（3）点M 是（1）中所求抛物线对称轴上一动点，点N 是反比例函数y =kx图象上一点，若以点B 、C 、M 、N 为动点的四边形是矩形，请直接写出满足条件的k 的值.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (-1,0),B (5,0)代入y =ax 2+bx －5得：5025550a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， 即抛物线的解析式为：y =x 2－4x －5.（2）在y =x 2－4x －5中，当x =0时，y =－5，即C (0，－5), △CE △x 轴，则C 、E 关于直线x =2对称， △E (4，－5), CE =4，由B （5,0）, C (0，－5)得直线BC 的解析式为：y =x －5， 设H (m ，m 2－4m －5)， △FH △CE ， △F (m ，m －5)，△FH = m －5－（m 2－4m －5)= －m 2+5m ，S四边形CHEF=12·FH·CE=12（－m2+5m）×4=－2（m－52）2+252，当m=52时，四边形CHEF的面积取最大值252，此时H(52，354-).（3）设M（2，m），N(n，kn)，B(5,0)，C(0，－5)，△当BC为矩形对角线时，此时：2+n=5+0，m+kn=0－5，即n=3，设BC与MN交于点H，则H(52，52-)，MH=12BC△22255222m⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：m=1或m=－6，当m=1时，k=－18；m=－6时，k=3，△当BC为矩形边时，分两种情况讨论：（i）当点M在直线BC下方时，即四边形BCMN为矩形，则△BCM=90°，2+5=n+0，m=kn－5，过M作MH△y轴于H，则由OB=OC知，△OCB=45°，△△MCH=△CMH=45°，即CH=MH，△－5－m=2，解得：m=－7，n=7，k=－14；（ii）当点M在直线BC上方时，即四边形BCNM为矩形，则△CBM=90°，n+5=2，kn=m－5，设对称轴与x 轴交于点H ，同理可得：BH =MH ， △3=m ，n =－3，k =6；综上所述，k 的值为：－18，3，－14或6.【变式2-1】（2019·驻马店二模）如图，抛物线 y =-x 2+bx +c 经过 A (-1，0)，B (3，0)两点，且与 y 轴交于点 C ，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E ，连接BD ．（1）求经过 A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式．（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE =PC 时，求点 P 的坐标．（3）在（2）的条件下，过点 P 作 PF △x 轴于点 F ，G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F ，M ，G ，N 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）△抛物线 y =-x 2+bx +c 经过 A (-1，0)，B (3，0)两点， △10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，即抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3.（2）由y =-x 2+2x +3知，C (0，3)，E (1，0)，D (1,4)， 可得直线BD 的解析式为：y =-2x +6，设P （m ，-2m +6），由勾股定理得：PE 2=()()22126m m -+-+，PC 2=()22263m m +-+-，由PE =PC ，得：()()22126m m -+-+=()22263m m +-+-， 解得：m =2，即P (2，2).（3）△M 在x 轴上，N 在直线PF 上， △△NFM =90°，由四边形MFNG 是正方形，知MF =MG ， 设M (n ，0)，则G (n ，-n 2+2n +3)， MG =|-n 2+2n +3|，MF =|n -2|， △|-n 2+2n +3|=|n -2|， 解得：nn或n或n， 故点M 的坐标为：（32+，0），（320），（12+，0），（12-，0）. 【变式2-2】（2019·大联考）如图1，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），点P 在抛物线上，且在x 轴的上方，点P 的横坐标记为t .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，若MC 平分△PMO ，求t 的值. （3）点D 在直线AC 上，点E 在y 轴上，且位于点C 的上方，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以点C 、D 、E 、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出菱形的面积.图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）△抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），△31640ca b ca b c=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：39434cba⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，即抛物线的解析式为：y=34-x294-x+3.（2）由A(-4,0)，C(0,3)得直线AC的解析式为：y=334x+，△点P的横坐标为t，△M(t, 334t+)，△PN△y轴，△△PMC=△MCO，△MC平分△PMO，△△PMC=△OMC，△△MCO=△OMC，即OM=OC=3，△OM2=9，即223394t t⎛⎫++=⎪⎝⎭，解得：t=0（舍）或t=7225，△当MC平分△PMO时，t=72 25.（3）设P(t,34-t294-t+3)，△当CE为菱形的边时，四边形CEPD为菱形，则PD△y轴，CD=PD，则D(t，33 4t+),△PD =34-t 294-t +3－（334t +）=34-t 23-t ， 由勾股定理得：CD=54t -，△34-t 23-t =54t -，解得：t =0（舍）或t =73-， 即PD =3512，菱形面积为：3512×73=24536；△当CE 为菱形的对角线时，此时P 与D 点关于y 轴对称，则D (-t , 34-t 294-t +3)，将D 点坐标代入y =334x +，得： 34-t 294-t +3=()334t -+，解得：t =0（舍）或t =－2， PD =4，CE =3，菱形的面积为：12×4×3=6；综上所述，菱形的面积为：24536或6.1.（2019·南阳毕业测试）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB ＝4，矩形OBDC 的边CD ＝1，延长DC 交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）△矩形OBDC的边CD＝1，△OB＝1，由AB＝4，得OA＝3，△A（﹣3，0），B（1，0），△抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，△a+b+2=0，9a－3b+2=0，解得：a=23-，b=43-，△抛物线解析式为y＝23-x243-x+2；（2）以AC为边或对角线分类讨论：A（﹣3，0），C（0，2），抛物线y＝23-x243-x+2的对称轴为x＝﹣1，设M(m, y M)，N(－1，n)，y M=23-m243-m+2△当四边形ACMN为平行四边形时，有：312Mmy n-+=-⎧⎨=+⎩，解得：m=2，y M=103-，即M(2，103-)；△当四边形ACNM为平行四边形时，有：312Mmy n --=⎧⎨+=⎩，解得：m=－4，y M=103-，即M(－4，103-)；△当四边形AMCN为平行四边形时，有：312Mmy n -=-⎧⎨=+⎩，解得：m=－2，y M=2，即M(－2，2)；综上所述，点M的坐标为（2，103-）或（﹣4，103-）或（﹣2，2）．2.（2019·开封模拟）如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣12x2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得△ABP＝90°，求出点P坐标；（3）点E是抛物线对称轴上一点，点F是抛物线上一点，是否存在点E和点F使得以点E，F，B，O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，即点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），将（0，4）、（4，0），代入二次函数表达式，并解得：b=1，c=4，抛物线的解析式为：y＝﹣12x2+x+4；（2）△OA＝OB＝4，△△ABO＝45°，△△ABP＝90°，则△PBO=45°，若直线PB交y轴于点M，则OM=OB=4，可得直线BP的解析式为：y=x－4，联立：y=x－4，y＝﹣12x2+x+4，得：x=4，y=0(即B点)；x=－4，y=－8，即P(－4，－8).（3）存在；由y＝﹣12x2+x+4知抛物线的对称轴为：x=1，设E(1，m)，F(n，﹣12n2+n+4)，O(0,0)，B(4,0)，△当四边形OBEF是平行四边形时，有：EF=4，△n-1=-4，即n=-3，F点坐标为（-3，72 -）；△当四边形OBFE是平行四边形时，有：EF=4，n-1=4，即n=5，F点坐标为（5，72 -）；△当四边形OFBE是平行四边形时，有：41Fnm y=+⎧⎨=+⎩,即n=3，F点坐标为（3，52）；综上所述：点F的坐标为（5，72-），（﹣3，72-），（3，52）．3.（2019·开封二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝﹣x交第二象限于点E，与x轴交于A（﹣3，0），B 两点，与y轴交于点C，EC△x轴．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M，若以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知：A （﹣3，0），C （0，2），EC △x 轴 △点E 的纵坐标为2， △点E 在直线y ＝﹣x 上， △点E （﹣2，2），△将A （﹣3，0）、E （﹣2，2）代入y ＝ax 2+bx +2，得：93204222a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩抛物线的解析式为：224233y x x =--+； （2）由224233y x x =--+知，抛物线的对称轴为x =－1， 设N (－1，n )，M (m ，224233m m --+)，△A （﹣3，0），C （0，2），（1）当四边形ACNM 是平行四边形时，有：312Mm n y --=⎧⎨=+⎩，得：m =－4，y M = 103-； 即M (－4，103-). （2）当四边形ACMN 是平行四边形时，有：312Mm n y -+=-⎧⎨+=⎩，得：m =2，y M = 103-； 即M (2，103-). （3）当四边形ANCM 是平行四边形时，有：312Mmn y -=-+⎧⎨=+⎩，得：m =－2，y M = 2； 即M (－2，2).综上所述，M 点的坐标是(－4，103-)，(2，103-)，(－2，2). 4.（2019·名校模考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1（a ≠0）交x 轴于A ，B （1，0）两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF △x 轴，交抛物线于点F（1）求抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．△A（﹣3，0）．△抛物线y＝ax2+bx﹣1交x轴于A（﹣3，0），B（1，0）两点，△109310a ba b+-=⎧⎨--=⎩，解得：1323ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；（2）点G的坐标为（2，1），（﹣，﹣﹣1），（，﹣1），（﹣4，3）．△当四边形DCEG是菱形时，CD=CE=EG=4，设E(m，m+3)，则G（m，m+7），由C(0，－1)，E(m，m+3)，得：CE2=m2+(m+4)2=16，解得：m=0（舍）或m=－4，此时G(－4,3)；△当四边形DCGE是菱形时，CG2=16,设E(m，m+3)，则G（m，m－1），即m2+ m2=16，解得：m=m=－此时，G(1)或G(－－1)；△当四边形DGCE是菱形时，设E(m，m+3)，则G（－m，－m－1），此时E在CD的垂直平分线上，即m+3=1，m=－2，此时G(2，1);综上所述，点G的坐标为：(－4,3)、(1)、(－－1)、(2，1).5.（2019·枫杨外国语三模）（2019·枫杨外国语三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，点A的坐标为(-1，0)，点C的坐标为(0，3)，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）将(-1，0)，(0，3)代入y＝﹣x2+bx+c，得：－1－b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，即抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3.（2）由y＝﹣x2+2x+3知，点M(1，4)，分两种情况讨论，△当四边形MAPQ是矩形时，过M作MH△x轴于H，则MH=4，AH=2，易证得：△APO=△MAH，△tan△APO= tan△MAH，即OA MHOP AH=2，△OP=12，即P（0，－12），由A(-1，0)、M(1，4)，P（0，－12）得：点Q坐标为（2，72），△点T和点Q关于AM所在直线对称，即点Q与点T关于点M(1，4)对称，△T(0，92 )；△当四边形AMPQ是矩形时，同理可得：T(0，12 -)；综上所述，点T的坐标为(0，92)，(0，12-).6.（2019·焦作二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象经过点A(-2，0)，与反比例函数k yx =（x>0）的图象交于点B(a，4).（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M是直线AB上一点，过M作MN△x轴，交反比例函数kyx=（x>0）的图象于点N，若以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的横坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A(-2,0)代入y=x+b，得：b=2，即一次函数的解析式为：y=x+2，将B(a，4)代入y=x+2，得：a=2，即B(2，4),将B(2，4)代入kyx=得：x=8，即反比例函数的解析式为：8 yx =.（2）设M(m，m+2)，则N(82m+，m+2)，由题意知，MN△OA，则需MN=OA=2时，以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，△82mm-+=2，解得：m=2或m=－2（舍）或m=或m=－，△点M的坐标为：（2，+2）.7.（2019·许昌月考）如图1，二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．图1 图2【答案】见解析．【解析】解：（1）△二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），△493034103b cb c⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯-+=⎪⎩，解得：834bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即抛物线的解析式为：y =43x 2﹣83x ﹣4； （2）过点D 作DM △y 轴于点M ，y =43x 2﹣83x ﹣4 =43（x ﹣1）2﹣163， △点D （1，﹣163）、点C （0，﹣4），S △ACD =S 梯形AOMD ﹣S △CDM ﹣S △AOC=12×（1+3）×163﹣12×（163﹣4）×1﹣12×3×4 =4；（3）四边形APEQ 为菱形，理由如下：E 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作QF △AP 于F ，由折叠性质知： AP =EP ，AQ =EQ △AP =AQ =t ， △AP =AQ =QE =EP ， △四边形AQEP 为菱形， △FQ △OC ，△AF FQ AQOA OC AC ==， △345AF FQ t ==△AF =35t ，FQ =45t ，Q （3﹣35t ，﹣45t ），E （3﹣35t ﹣t ，﹣45t ）， △E 在二次函数y =43x 2﹣83x ﹣4上， △﹣45t =43（3﹣85t ）2﹣83（3﹣85t ）﹣4， △t =14564或t =0（舍去）， △E （﹣58，﹣2916）． 8.（2018·新乡一模）如图，一次函数122y x =-+分别交y 、x 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =-++过A ，B 两点.（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直于x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N . 求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（3）在(2)的情况下，以A ，M 、N 、D 为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D 的坐标.【答案】见解析【解析】解：（1）在122y x =-+得，当x =0时，y =2；y =0时，x =4， 即A （0，2），B （4，0），把A (0，2)，B (4，0)代入2y x bx c =-++，得：21640c b c =⎧⎨++=⎩-，解得722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， △抛物线解析式为2722y x x =-++. （2）由题意知，1(,2)2M t t -+，27(,2)2N t t t -++， △MN =2712(2)22t t t -++--+ =2(2)4t --+，△当t =2时，MN 有最大值4.（3）根据平行四边形的性质，得：D 点坐标为：（0，6），（0，-2）或（4，4）.9.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设E 是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点E 作EH △x 轴于点H ，再过点F 作FG △x 轴于点G ，得到矩形EFGH ．在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，直接写出该正方形的边长．【答案】见解析.【解析】解：（1）△抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，△4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得：13a b =-⎧⎨=⎩， 即抛物线的解析式为：y =－x 2+3x +4.（2）△四边形EFGH 是矩形，△当EF =EH 时，四边形EFGH 是正方形，设E (m , －m 2+3m +4)，则F (3－m ，－m 2+3m +4)，m >32， △EF =2m －3，EH =|－m 2+3m +4|，△2m －3=|－m 2+3m +4|，解得：m或m（舍）或m或m（舍） △正方形的边长EF2，综上所述，正方形EFGH 的边长为：2.10.（2019·郑州一中模拟）如图所示，平面直角坐标系中直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点，抛物线y =ax 2+bx －3经过A 、C 两点，点C 坐标为（a ，5）. 点M 为直线AC 上一点，过点M 作x 轴的垂线，垂足为F ，交抛物线于点N .（1）求抛物线解析式；（2）是否存在点M ，使得以点D 、E 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，如果有，求点M 的坐标，如果没有，请说明理由.【解析】解：△直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点，△A (－1,0)，D (0，1)，△点C （a ，5）在直线y =x +1上，△a =4，即C (4,5)，将A (－1,0)，C (4,5)代入y =ax 2+bx －3得：3016435a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩， △抛物线的解析式为：y =x 2－2x －3.（2）存在，E （0，－3），△DE =4，由题意知：DE △MN ，△当DE =MN =4时，四边形DENM 是平行四边形，设N (m , m 2－2m －3)，则M (m , m +1)，△| m +1-（m 2－2m －3）|=4，解得：m =0（舍）或m =3或m = 或m = ，综上所述，点M 的坐标为：（3,4），（32，52），（32，52）. 11.（2019·郑州模拟）如图，已知二次函数23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭的图象经过点A (4,0),与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点C (m ,0) （0<m <4），过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，交该二次函数图象于点D .（1）求a 的值和直线AB 的解析式；（2）过点D 作DF △AB 于点F ，设△ACE ，△DEF 的面积分别为S 1，S 2，若S 1=4S 2，求m 的值；（3）点H 是该二次函数图象上第一象限内的动点，点G 是线段AB 上的动点，当四边形DEGH 是平行四边形，且平行四边形DEGH 的周长取最大值时，求点G 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (4,0)代入23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭得：a =34-， △抛物线的解析式为：239344y x x =-++， 设直线AB 的解析式为：y =kx +b ， △4k +b =0，b =3，即k =34-，b =3， △直线AB 的解析式为：y =34-x +3. （2）△点C 的横坐标为m ，△D (m , 239344m m -++)，E (m , 34-m +3)， AC =4－m ，DE =239344m m -++－(34-m +3)= 2334m m -+， △BC △y 轴， △43AC OA CE OB ==，即443m CE -=， △CE =()344m -，AE =()544m -， △△DF A =△DCA =90°，△DBF =△AEC ，△△DFE △△ACE ，△S 1=4S 2，△AE =2DE ， 即()544m -=2（2334m m -+），解得：m =4（舍）或m =56， 即m 的值为56. （3）如图，过点G 作GM △DC 于M ，设G 、H 点横坐标为n ，由DE =2334m m -+，得GH =2334n n -+， 2334m m -+=2334n n -+，得：m =n （舍）或n =4－m ，△MG =4-2m ， 由45MG EG =得：EG =()5424m -, △C 四边形DEGH =2()25342344m m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=23102m m -++ =23161236m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，△当m=13时，C最大，此时n=113，即G(113，14)，E(13，114),由图象可知当E、G互换位置时满足题意，即G(13，114),E(113，14)，综上所述，G点坐标为：(13，114)，(113，14).13.（2018·郑州模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．△当△MBA＝△BDE时，求点M的坐标；△过点M作MN△x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．【答案】见解析.【解析】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=2，c=3，△抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．顶点D（1，4）．（2）△过点M作MG△x轴于G，连接BM．则△MGB＝90°，设M（m，﹣m2+2m+3），△MG＝|﹣m2+2m+3|，BG＝3﹣m，△DE△x轴，D（1，4），B（3，0），△△DEB＝90°，DE＝4，OE＝1，BE＝2，△△MBA＝△BDE，△tan△MBA＝tan△BDE＝12，△2233m mm-++-＝12解得：m=12-或m=32-或m=3（舍）△满足条件的点M坐标（12-，74）或（32-，94-）；△△MN△x轴，△点M、N关于抛物线的对称轴对称，△四边形MPNQ是正方形，△OP＝1，由△QPM=△MPO=45°，得：GM＝GP，即|﹣m2+2m+3|＝|1﹣m|，解得：m或m或m m即满足条件的m.14.（2017·信阳二模）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心做菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）将A（﹣2，0）、B（8，0）代入y=ax2+bx﹣4并解得：a=14，b=32-，即抛物线的解析式为：y=14x232-x－4.（2）由y=14x232-x－4知，C(0，－4),由菱形的性质可知：D（0，4），设直线BD的解析式为：y=kx+n，将点B（8,0）、D（0，4）代入得：k=12-,n=4，即直线BD的解析式为：y=12-x+4,由M（m，12-m+4），Q（m，14m232-m－4）．当MQ=DC时，四边形CQMD为平行四边形．∴12-m+4﹣（14m232-m－4）=8，解得m=4或m=0（舍去）．∴MD∥CQ，MD=CQ，M（4，2），∴M为BD的中点，∴MD=MB．∴CQ=MB，又∵MB∥CQ，∴四边形CQBM为平行四边形．。

河南省2020年中考考前名师押题压轴卷 数学试题+答案+全解全析

河南省2020年中考考前名师押题压轴卷 数学试题+答案+全解全析

河南省2020年中考考前名师押题压轴卷数学（考试时间：100分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

5．考试范围：中考全部内容。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．12的相反数等于A．2B．–2C．2D．–22．2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，全面建设小康社会的基本标准包括：人均国内生产总值超过3000美元、城镇居民人均可支配收入1.8万元等十个方面．数据“1.8万元”用科学技术法表示为．A．1.8×103元B．1.8×104元C．0.18×105元D．18000元3．如图所示为一个几何体的三视图，那么这个几何体是A ．B ．C ．D ．4．下列计算正确的是A ．235x y xy +=B ．()2239m m +=+C ．()326xy xy =D ．1055a a a ÷= 5．某校篮球队10名队员的年龄情况如下，则篮球队队员年龄的众数和中位数分别是年龄13 14 15 16 人数2 3 4 1 A ．15，14.5 B ．14，15 C ．14，14.5 D ．15，156．关于x 的方程220--=x x k 有实数根，则k 的值的范围是A ．1k >-B ．1k ≥-C ．1k <-D ．1k ≤-7．抛物线y =4(x +3)2+12的顶点坐标是A ．(4，12)B ．(3，12)C ．(﹣3，12)D ．(﹣3，﹣12)8．如图，4×2的正方形的网格中，在A ，B ，C ，D 四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为A ．12B ．13C ．14D ．19．某小区准备新建50个停车位，已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元，求该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？设新建1个地上停车位需要x 万元，新建1个地下停车位需y 万元，列二元一次方程组得 A ．632 1.3x y x y +=⎧⎨+=⎩ B ．623 1.3x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．0.632 1.3x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．63213x y x y +=⎧⎨+=⎩10．如图①，在矩形ABCD 中，AB AD <，对角线,AC BD 相交于点O ，动点P 由点A 出发，沿AB BC CD →→向点D 运动．设点P 的运动路程为x ，AOP 的面积为y ，y 与x 的函数关系图象如图②所示，则AD 边的长为A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．计算：()02180.52----=___________________．12．一副直角三角板如上图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F =∠ACB =90°，∠E =45°，∠A =60°，则∠DBC =_____°．13．不等式组0125x a x x ->⎧⎨->-⎩有3个整数解，则a 的取值范围是_____． 14．⊙O 的半径OA =4，以OA 为直径作⊙O 1交⊙O 的另一半径OB 于点C ，当C 为OB 的中点时，图中阴影部分的面积S =________．15．如图，在长方形ABCD 中，点M 为CD 中点，将△MBC 沿BM 翻折至△MBE ，若∠AME =α，∠ABE =β，则α与β之间的数量关系为________．三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。

河南省商丘市,2020~2021年中考数学压轴题精选解析

河南省商丘市,2020~2021年中考数学压轴题精选解析

河南省商丘市，2020~2021年中考数学压轴题精选解析河南省商丘市中考数学压轴题精选~~第1题~~(2020商丘.中考模拟) 如图，抛物线y ＝ax +bx+c 经过O 、A （4，0）、B （5，5）三点，直线l 交抛物线于点B ，交y 轴于点C （0，﹣4）.点P 是抛物线上一个动点.（1） 求抛物线的解析式；（2） 点P 关于直线OB 的对称点恰好落在直线l 上，求点P 的坐标；（3） M 是线段OB 上的一个动点，过点M 作直线MN ⊥x 轴，交抛物线于点N.当以M 、N 、B 为顶点的三角形与△OBC 相似时，直接写出点N 的坐标.~~第2题~~(2019天门.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax +bx 过A 、C 两点.（1） 直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2） 动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形?请直接写出相应的t 值.~~第3题~~(2018柘城.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点、、抛物线过A 、C 两点．（1） 直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；22（2）动点P从点A出发沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒过点P作交AC于点E．过点E作于点F，交抛物线于点当t为何值时，线段EG最长？连接在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得是等腰三角形？请直接写出相应的t值．~~第4题~~(2017柘城.中考模拟) 如图，抛物线y=ax+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣5），C（6，0）（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出使△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请你求出其中一个点Q的坐标．~~第5题~~(2017柘城.中考模拟) 如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x﹣2x﹣3=0的两根．（1）求直线AB和OB的解析式．（2）求抛物线的解析式．（3）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．问△BOD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值并写出此时点D的坐标；若不存在说明理由．22~~第6题~~(2017商丘.中考模拟) 将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（﹣3，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．~~第7题~~(2017虞城.中考模拟) 如图①所示，已知在矩形ABCD中，AB=60cm，BC=90cm，点P从点A出发，以3cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以20cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动的时间为t（s）．（1）当t=s时，△BPQ为等腰三角形；（2）当BD平分PQ时，求t的值；（3）如图②，将△BPQ沿PQ折叠，点B的对应点为E，PE、QE分别与AD交于点F、G．探索：是否存在实数t，使得AF=EF？如果存在，求出t的值：如果不存在，说明理由．~~第8题~~2(2017柘城.中考模拟) 如图，抛物线y=ax +bx 过A （4，0），B （1，3）两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH ⊥x 轴，交x 轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C 的坐标，并求出△ABC 的面积；（3）点P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP 的面积为6时，求出点P 的坐标；（4）若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴上运动，当以点C 、M 、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN 的面积．~~第9题~~(2017商丘.中考模拟) 已知△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F 为BE 中点，连接DF 、CF ．（1） 如图1，当点D 在AB 上，点E 在AC 上，请直接写出此时线段DF 、CF 的数量关系和位置关系（不用证明）；（2） 如图2，在（1）的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3） 如图3，在（1）的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=，求此时线段CF 的长（直接写出结果）．~~第10题~~(2016江汉.中考模拟) 如图，在平行四边形ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG=4 ，则△CEF 的周长为________．2河南省商丘市中考数学压轴题答案解析~~第1题~~答案：解析：答案：解析：~~第3题~~答案：解析：答案：解析：~~第5题~~答案：解析：~~第6题~~答案：解析：~~第7题~~答案：解析：~~第8题~~答案：解析：答案：解析：答案：解析：。

2020届河南中考数学押题密卷参考答案

2020届河南中考数学押题密卷参考答案

2020届河南中考数学押题密卷参考答案【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出水果的销售总金额是解题关键．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。

答题：gbl210老师一、选择题（每小题3分，共30分）1.B2.C3.B4.D5.B6.A7.C8.A9.A 10.D二、填空题（每小题3分，共15分）11.2（a-1）² ; 12.m<1/5 ; 13.3π；14.﹣．15.2或5三、解答题（本题共8个小题，满分75分）16.（8分）解：（+）÷=[+]×x=（+）×x=2x﹣3--------5分∵x为满足﹣3＜x＜2的整数，∴x=﹣2，﹣1，0，1，∵x要使原分式有意义，∴x≠﹣2，0，1，∴x=﹣1，当x=﹣1时，原式=2×（﹣1）﹣3=﹣5--------8分17. （9分）解：（1）∵60≤x＜70小组的频数为8，占20%，∴8÷20%=40人，∴a=40﹣8﹣16﹣4=12，b=×100%=40%，故答案为：12，40；-------4分（2）∵70≤x＜80小组所占的百分比为30%，∴70≤x＜80对应扇形的圆心角的度数360°×30%=108°，故答案为：108°；--------6分（3）用A、B表示男生，用a、b表示女生，列表得：A B a b A AB Aa AbB BA Ba Bba aA aB abb bA bB ba∵共有12种等可能的结果，其中一男一女的有8种，∴P（一男一女）==．---------9分18．（9分）解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°﹣90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；--------5分（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8﹣x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．--------------9分19.（9分）解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点A，A点的坐标为（4，2），∴k=2×4=8，∴反比例函数的解析式为y=；--------4分（2）过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，由题意可知，CN=2AM=4，ON=2OM=8，∴点C的坐标为C（8，4），设OB=x，则BC=x，BN=8﹣x，在Rt△CNB中，x2﹣（8﹣x）2=42，解得：x=5，∴点B的坐标为B（5，0），设直线BC的函数表达式为y=ax+b，直线BC过点B（5，0），C（8，4），∴，解得：，∴直线BC的解析式为y=x+，根据题意得方程组，解此方程组得：或∵点F在第一象限，∴点F的坐标为F（6，）．-------9分20.（9分）解：如图，作FG⊥AB于G，DH⊥AB于H．设AG=x．在Rt△AFG中，FG===x，--------3分在Rt△ADH中，DH==，---------6分∵FG﹣DH=EB﹣CB=EC，∴x ﹣=10，解得x=20.8，∴AB=AG+BG=AG+EF=20.8+1.8=22.6米，答：灯塔AB 的高度为22.6米．------------9分21.（10分）解：（1）设该果农今年收获樱桃x千克，根据题意得：400-x≤7x，解得：x≥50，答：该果农今年收获樱桃至少50千克；------5分（2）由题意可得：100（1-m%）×30+200×（1+2m%）×20（1-m%）=100×30+200×20，令m%=y，原方程可化为：3000（1-y ）+4000（1+2y）（1-y）=7000，整理可得：8y2-y=0解得：y1=0，y 2=0.125∴m1=0（舍去），m2=12.5∴m2=12.5，答：m的值为12.5．-----10分22．（10分）（1）AF=CF（2）仍成立。

2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题19 动点问题与几何图形综合题型(带答案解析)

2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题19 动点问题与几何图形综合题型(带答案解析)

专题19 动点问题与几何图形综合题型题型一、动点问题与几何图形最值问题主要有：线段最值；点到直线距离的最值；周长最值；面积最值等等.题型二、动点问题与几何问题相结合主要有：相似三角形的存在性；角平分线存在性；角度间的关系问题；面积关系问题等等.【例1】（2018·河南第一次大联考）如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为().A．4B．13C．7D．8【答案】D.【分析】如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，利用勾股定理及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半分别求出PE与AE的长，由AE+EP求出AP的最大值即可．【解析】解：如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，在Rt△PNE中，PN=4，NE=12MN=3，根据勾股定理得：PE=5，在Rt△AMN中，AE为斜边MN上的中线，△AE =12MN =3， 则AP 的最大值为：AE +PE =3+5=8， 故选D ．【点评】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，以及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．【变式1-1】（2019·济源一模）如图，△ABC 是等边三角形，AB =3，E 在 AC 上且 AE =23AC ，D 是直线 BC 上一动点，线段 ED 绕点 E 逆时针旋转 90°，得到线段 EF ，当点 D 运动时， 则线段 AF 的最小值是.【答案】322. 【解析】解：先确定F 点的轨迹，过E 作的直线BC 的平行线，分别过D 、F 作该平行线的垂线，垂足为G ，H ， 如图所示，BCDEG由折叠性质，知△DEG △△EFH ， △EH =DG ，△△ABC 是等边三角形，AE =2，CE =1，△DG =CE ·sin 3， 即EH 为定值，△点F 落在直线FH 上，且FH △BC ，根据垂线段最短，当AF △FH 时，AF 的值最小， 如下图所示，过A 作AN △FH ，延长AC 交FH 于点M ，AN 的长即为所求线段AF 的最小值，△EH =DG 3，△AMN =30°， △EM =2EH 3，△AM 3+2，△AN =12AM 32+，32+. ABCDEGNM【例2】（2019·开封二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝43x﹣4与抛物线y＝43x2+bx+c交于坐标轴上两点A、C，抛物线与x轴另一交点为点B；（1）求抛物线解析式；（2）若动点D在直线AC下方的抛物线上，如图2，作DM△直线AC，垂足为点M，是否存在点D，使△CDM 中某个角恰好是△ACO的一半？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，说明理由．图1 图2【答案】见解析．【解析】解：（1）在y＝43x﹣4中，当x＝0，y＝﹣4，即C（0，﹣4）；当y＝0，x＝3，即A（3，0）；把点A、C坐标代入y＝43x2+bx+c，并解得：b=83-，c=－4，△抛物线解析式为：y＝43x283-x－4；（2）存在，作△ACO的平分线CP交x轴于点P，过P作PH△AC于点H，则CH＝CO＝4，OP＝PH，设OP＝PH＝x，则P A＝3﹣x，△OC＝4，OA＝3，△AC＝5，AH＝1，在Rt△PHA中，PH2+AH2＝AP2，即x2+12＝（3﹣x）2，解得：x＝43，△tan△PCH＝tan△PCO=13，△过点D作DG△x轴于点G，过点M作ME△x轴，与y轴交于点E，与DG交于点F．设M（m，43m﹣4），则ME＝m，FG＝OE＝4﹣43m，CE＝43m，可得：△CEM△△MFD，△当△DCM=12△ACO时，可得：3CE ME CMMF DF DM ===， 即MF =49m ，DF =13m ， △DG =DF +GF =13m +4﹣43m =4－m ，EF =EM +FM =139m ，即点D (139m , m －4)，将其坐标代入y ＝43x 283-x －4得： 2413813443939m m m ⎛⎫⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭， 解得：m =0（舍）或m =1179676， △D 点横坐标为：139m =13152. △当△MDC ＝12△ACO ＝△PCH 时， 同理可得：MF ＝4m ，DF ＝3m ， △EF ＝EM +MF ＝m +4m ＝5m ， DG ＝DF +FG ＝3m ﹣43m +4＝53m +4， △D （5m ，﹣53m ﹣4）， △﹣53m ﹣4=()()24855433m m ⨯-⨯-，解得m ＝0（舍去）或m ＝720, 此时D 点横坐标为：5m =74； 综上所述，点D 横坐标为13152或74． 【变式2-1】（2019·洛阳模拟）如图，已知抛物线y =13x 2+bx +c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标和四边形AECP 的最大面积；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (0,1)，B （9,10）代入y =13x 2+bx +c 得： 127810c b c =⎧⎨++=⎩，解得：12c b =⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为：y =13x 2－2x +1. （2）由y =13x 2－2x +1知，抛物线的对称轴是x =3，l∵AC∥x轴，A(0,1)，∴A与C关于对称轴对称，C(6,0)，AC=6由A(0,1),B(9,10)得直线AB的解析式为：y=x+1，设P（m，13m2－2m+1），则E(m，m+1)，∴PE=－13m2+3m，∴S四边形AECP=S△AEC+S△APC=12·AC·EF+12·AC·PF=12×6×（－13m2+3m）=298124m⎛⎫--+⎪⎝⎭，∴当m=92时，四边形AECP的面积取最大值814，此时点P(92，54-).（3）存在，点Q坐标为（4,1）或（－3,1）.由y=13x2－2x+1知点P(3, -2)，∴PF=3，CF=3，∴∠PCF=45°，同理，∠EAF=45°，即∠PCF=∠EAF，由勾股定理得：AB=92AC=6，PC=32，设Q（n，1），①当△CPQ∽△ABC时，CQ PC AC AB=，即632692n-=，解得：t=4，即Q(4,1).②当△CQP∽△ABC时，CQ PC AB AC=，即3292=，解得：t=－3，即Q(－3,1).综上所述，符合题意的点Q坐标为：(4,1)或(－3,1).1.（2019·济源一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线3944y x=-+与x轴交于点A，与y轴交于点B；抛物线29 4y ax bx=++（a≠0）过A，B两点，与x轴交于另一点C(-1，0)，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AB上方的抛物线上有一动点E，求出点E到直线AB的距离的最大值；（3）如图2，直线AB与抛物线的对称轴相交于点F，点P在坐标轴上，且点P到直线BD，DF的距离相等，请直接写出点P的坐标．图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）在3944y x =-+中，当x =0时，y =94；当y =0时，x =3，即A (3，0)，B (0，94)， 将A (3，0)，C (－1，0)代入294y ax bx =++得： 99304904a b a b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得：3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，△抛物线的解析式为：2339424y x x =-++.（2）过点E 作EM △x 轴交AB 于M ，过E 作EN △AB 于N ，点E 到AB 的距离为EN ， 可得△ENM △△AOB ，△EN EMOA AB=, 在Rt △AOB 中，OA =3，OB =94， 由勾股定理得：AB =154， △1534EN EM=， 即EN =45EM ，设E （m ，2339424m m -++），M （m ，3944m -+），则EM =2339424m m -++－（3944m -+）=23944m m -+，△EN =45EM =2439544m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=233275220m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， △当m =32时，E 到直线AB 的距离的最大值为2720. （3）△点P 到直线BD ，DF 的距离相等，△点P 在△BDF 或△BDF 邻补角的平分线上，如图所示，由2339424y x x =-++知D 点坐标为（1,3），△B （0，94）， △BD =54， △DP 平分△BDF ，△△BDP=△PDF，△DF△y轴，△△BPD=△PDF，△△BPD=△BDP,△BD=DP，△P(0,1),设直线PD的解析式为：y=kx+n，△n=1，k+n=3，即直线PD的解析式为：y=2x+1，当y=0时，x=12 -，△当P在△BDF的角平分线上时，坐标为（0,1）或（12-，0）；同理可得：当P在△BDF邻补角的平分线上时，坐标为：（0,72）或（7，0），综上所述，点P的坐标为：（0,1），（12-，0），（0,72），（7，0）.2.（2019·洛阳二模）如图，抛物线y=ax2+5x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x-4经过点B，C. 点P是直线BC上方抛物线上一动点，直线PC交x轴于点D．（1）直接写出a，c的值；（2）当△PBD的面积等于△BDC面积的一半时，求点P的坐标；（3）当△PBA= 12△CBP时，直接写出直线BP的解析式．【答案】见解析.【解析】解：（1）△直线y=x-4经过点B，C，△B(4，0),C(0,－4),将B(4，0),C(0,－4)代入y=ax2+5x+c得：c=－4，a=－1，（2）抛物线解析式为：y=－x2+5x－4，过点P作PH△x轴于H，如图所示，设P(m, －m2+5m－4)，△△PBD的面积等于△BDC面积的一半，△PH=12OC=2，即－m2+5m－4=2，或－m2+5m－4=－2，解得：m=2或m=3或m 517+或m517-，△0<m<4，△m=2或m=3或m 517 -（3）y=－x+4或y=（23）x38，理由如下：△当点P在x轴上方时，此时由△PBA= 12△CBP可得：△PBA=△ABC=45°，可得直线BP的解析式为：y=－x+4；△当点P在x轴下方时，此时△PBA= 13△ABC=15°，△CBP=30°，设直线BP交y轴于点Q，过点Q作QE△BC于E，如图所示，设Q(0,m)，则OQ=－m，QC=4+m，△QE=CE=22（4+m），BE36（4+m），△CE+BE2，2（4+m）6（4+m）2，解得：m38，即Q（0，38），由B（4,0），可得直线BP的解析式为：y=（23）x38，综上所述，直线BP的解析式为：y=－x+4或y=（23x3－8.3.（2019·洛阳三模）在平面直角坐标系中，直线y=12x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y=12x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．过点D作DM△BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；【答案】见解析.【解析】解：（1）△直线y=12x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C，△B(4,0),C(0,－2),△B、C在抛物线y=12x2+bx+c上，△8402b cc++=⎧⎨=-⎩，解得：b=32-，c=－2，即抛物线解析式为：y=12x232-x－2.（2）过点D作DF△x轴于F，交BC于E，△D(m, 12m232-m－2)，E(m，12m－2)，F(m，0)，其中0<m<4，△DE=12-m2+2m，△DM△BC，△△DME=△BFD=90°，△△BOC=△DME=90°，△△OBC△△MDE，△DM OB DE BC=,即25 DM OBDE BC==△DM25=)2545255m -+， △5<0， △当m =2时，DM 454.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）若D (2，m )在该抛物线上，连接CD ，DB ，求四边形OCDB 的面积；（3）设E 是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点E 作EH △x 轴于点H ，再过点F 作FG △x 轴于点G ，得到矩形EFGH ．在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，直接写出该正方形的边长．【答案】见解析.【解析】解：（1）△抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，△4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，CBA O xy解得：a=-1，b=3，即抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4.（2）△抛物线y=-x2+3x+4与y轴交于点C △C（0,4），△D(2,m)在抛物线上，△m=6，即D(2,6),S四边形OCDB=S△OCD+S△OBD= 12×4×2+12×4×6=16，即四边形OCDB的面积为16.（3292292，理由如下：△EFGH为正方形，△EF=EH，设E(n，-n2+3n+4)，则F(3-n，-n2+3n+4)，△抛物线的对称轴为x=32，△n>3 2 ,△n－（3-n）=-n2+3n+4或n－（3-n）=-（-n2+3n+4），解得：n= 129+或n=129-(舍)或n=529+或n=529-(舍)△边长EF=2n-3，得：EF292292.5.（2019·濮阳二模）如图，已知直线y＝﹣3x+c与x轴相交于点A（1，0），与y轴相交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的动点，当S△P AB＝2S△AOB时，求点P的坐标.【答案】见解析．【解析】解：（1）将A（1，0）代入y＝﹣3x+c，得：c＝3，即B（0，3），将A（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：-1+b+c=0，c=3，解得：b=-2，c=3，△抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）连接OP，抛物线的对称轴为：x ＝﹣1，设P （m ，﹣m 2﹣2m +3），其中m ＜﹣1， S △P AB ＝S △POB +S △ABO ﹣S △POA ， △S △P AB ＝2S △AOB ， △S △POB ﹣S △POA ＝S △ABO ，△()2111312313222m m m ⨯⨯--⨯⨯--+=⨯⨯， 解得：m =－2或m =3（舍）， 即P 点坐标为（－2,3）.6.（2019·商丘二模）如图．在平面直角坐标系中．抛物线y ＝12x 2+bx +c 与x 轴交于A 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（﹣1，0），点C 的坐标为（0，﹣2）．已知点E （m ，0）是线段AB 上的动点（点E 不与点A ，B 重合）．过点E 作PE △x 轴交抛物线于点P ．交BC 于点F ．（1）求该抛物线的表达式；（2）当线段EF ，PF 的长度比为1：2时，请求出m 的值；（3）是否存在这样的m ，使得△BEP 与△ABC 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）将点A （﹣1，0）、C （0，﹣2）代入y ＝12x 2+bx +c 得： 2102c b c =-⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：b =32-，c =－2， △抛物线的表达式为：y ＝12x 232-x ﹣2； （2）在y ＝12x 232-x ﹣2中，当y =0时，x =－1或x =4， 即B (4,0),设直线BC 的解析式为：y ＝kx +n ，将点C （0，﹣2）、B (4,0)代入y ＝kx +n ，得：2420n k =-⎧⎨-=⎩，解得：212n k =-⎧⎪⎨=⎪⎩△直线BC 的表达式为：y ＝12x ﹣2， △E （m ，0），△P (m ，12m 232-m ﹣2)，F (m ，12m ﹣2) △当E 在线段AO 上时，EF >PF ，不符合题意； △当E 在线段OB 上时， EF =2－12m ，PF =12m ﹣2－（12m 232-m ﹣2）=－12m 2+2m ，△2EF =PF ， △2（2－12m ）=－12m 2+2m ， 解得：m =2或m =4， △E 不与A 、B 重合， △m ≠4， 即m =2；（3）△A （﹣1，0）、C （0，﹣2）、B (4,0), △AB 2=25，AC 2=5，BC 2=20， △AB 2=AC 2+BC 2△△ABC 是直角三角形， 当△BEP 与△ABC 相似，则△EPB ＝△CAB 或△EPB ＝△ABC ，△tan △EPB ＝tan △CAB ，或tan △EPB ＝tan △ABC ， △当tan △EPB ＝tan △CAB 时， 即：24213222mm m -=⎛⎫--- ⎪⎝⎭，解得：m ＝0或4（舍去）， △当tan △EPB ＝tan △ABC ， 即：241132222m m m -=⎛⎫--- ⎪⎝⎭，解得：m ＝3或4（舍去），综上所述，m 的值为0或3．7.（2019·开封二模）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2与直线y ＝﹣x 交第二象限于点E ，与x 轴交于A （﹣3，0），B 两点，与y 轴交于点C ，EC △x 轴．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线y ＝﹣x 上方抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交直线于点G ，作PH △EO ，垂足为H ．设PH 的长为l ，点P 的横坐标为m ，求l 与m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出l 的最大值.【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知：A （﹣3，0），C （0，2），EC △x 轴 △点E 的纵坐标为2， △点E 在直线y ＝﹣x 上， △点E （﹣2，2），△将A （﹣3，0）、E （﹣2，2）代入y ＝ax 2+bx +2，得：93204222a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 抛物线的解析式为：224233y x x =--+；（2）△OC =CE =2，△△ECO =△CEO =45°， △PG △x 轴，PH △EO ， △△PGH =45°，即△PGH 为等腰直角三角形，P (m ，224233m m --+)，G （m ，﹣m ），△l 2PG 2（224233m m --++m ） ＝2214923448m ⎫-++⎪⎝⎭ △2<0， △当m =－14时，l 取最大值，最大值为：248.8.（2019·西华县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y =﹣2x +10与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 的坐标是（8，4），连接AC ，BC ．（1）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）动点P 从点O 出发，沿OB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，P A =QA ？【答案】见解析．【解析】解：（1）△直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，△A（5，0），B（0，10），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，△抛物线过点B（0，10），C（8，4），O(0,0)，△c=0，25a+5b=0，64a+8b=4，△a=16，b=56-，c=0抛物线解析式为y=16x256-x，△A（5，0），B（0，10），C（8，4），△AB2=52+102=125，BC2=82+（10﹣4）2=100，AC2=42+（8﹣5）2=25，△AC2+BC2=AB2，△△ABC是直角三角形．（2）由（1）知BC=10，AC=5，OA=5，OP=2t，BQ=t，CQ=10﹣t，△AC=OA，△ACQ=△AOP=90°，在Rt△AOP和Rt△ACQ中，AC=OA，P A=QA，△Rt△AOP△Rt△ACQ，△OP=CQ，即2t=10﹣t，解得：t=103，即当运动时间为103s时，P A=QA.9.（2019·中原名校大联考）如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+5交于B，C两点，已知点D的坐标为（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点M，N分别是直线BC和x轴上的动点，则当△DMN的周长最小时，求点M，N的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y＝﹣x+5中，当x＝0，y＝5，当y＝0，x＝5，点B、C的坐标分别为（5，0）、（0，5），将（5，0）、（0，5），代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=4，c=5即二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5.（2）在y＝﹣x2+bx+5中，当y＝0时，x＝﹣1或5，△A（﹣1，0），OB＝OC＝2，∴△OCB＝45°；过点D分别作x轴和直线BC的对称点D′（0，﹣3）、D″，△△OCB＝45°，∴CD″△x轴，点D″（2，5），连接D′D″交x轴、直线BC于点N、M，此时△DMN的周长最小，设直线D’D’’的解析式为：y＝mx+n将D′（0，﹣3），D″（2，5），代入解得：m=4，n=－3，直线D’D’’的解析式为：y＝4x﹣3，∴N(34，0).联立y＝4x﹣3，y＝﹣x+5得：x=85，y=175，即M(85，175).10.（2019·郑州模拟）如图，二次函数y=x2+bx+c 的图象与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，OB=OC．点D 在函数图象上，CD∥x 轴，且CD=2，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求b，c的值．（2）如图1，连接BE，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F′恰好在线段BE 上，求点 F 的坐标．（3）如图2，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN 与△APM 的面积相等，且线段NQ 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）∵CD∥x轴，CD=2，C在y轴上，∴抛物线的对称轴为：x=1，即b=－2，∵OB=OC，C(0，c)，∴B(-c,0)，即c2+2c+c=0，解得：c=0（舍）或c=－3，即b=-2，c=-3，（2）抛物线的解析式为：y= x2-2x-3，可得：E(1,-4)，A(-1,0)，B(3,0),C(0,-3),则直线BE的解析式为：y=2x-6，设F(0,m)，则其关于直线l对称点为F’(2,m)，∵F’在直线BE上，∴m=－2，即F(0，－2).(3)存在，理由如下：过点Q作QD⊥PN于D，连接PQ、NQ，设点P(x，0)，由B(3,0),C(0,-3)得直线BC的解析式为：y=x－3则M(x，x-3)，N(x,x2-2x-3)，AP=x+1，PM=3-x，PN= -x2+2x+3∵S△PQN=S△APM，∴PN·DQ=AP·PM，∴（-x2+2x+3）DQ=(x+1)(3-x)，即DQ=1，①当点D在直线PN右侧时，D(x，x2-4),Q(x+1,x2-4)，则DN=|2x-1|,在Rt△DNQ中，由勾股定理得：NQ2=(2x-1)2+12=4212x⎛⎫-⎪⎝⎭+1,当x=12时，NQ取最小值，此时Q(32，154-)；②当点Q在直线PN的左侧时，由对称性求得：此时Q(12，154-)；11.（2019·郑州模拟）如图，抛物线y=-x2+bx+c和直线y=x+1交于A、B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C.（1）求抛物线的解析式.（2）点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵B 点横坐标为3，在y =x +1上，∴B （3，4），∵A 点在y =x +1上，∴A （﹣1，0），将A （﹣1，0），B （3，4）代入y =﹣x 2+bx +c 得：10934b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：34b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为y =﹣x 2+3x +4（2）①过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，由题意得：E （﹣1+t ，0），Q （3﹣2t ，0），∴EQ =4﹣3t ，PE =t∵∠PQE +∠NQC =90°，∠PQE +∠EPQ =90°，∴∠EPQ =∠NQC ，∴△PQE ∽△QNC ，∴12 PQ PENQ CQ==,∴S矩形PQNM=PQ•NQ=2PQ2∵PQ2=PE2+EQ2∴S=20t2﹣36t+18=2616 2055t⎛⎫-+ ⎪⎝⎭当t=65时，S最小为165.②由①知：△PQE∽△QNC，C（3﹣2t，0），P（﹣1+t，t），∴NC=2QO=8﹣6t，∴N（3，8﹣6t），∴M（3t﹣1，8﹣5t），（i）当M在抛物线上时，可得：8﹣5t=﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4解得：t 1027+或t1027-；（ii）当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t=2，（iii）当N在抛物线上时，8﹣6t=4，∴t=23，综上所述，当t 1027+1027-，2，23时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上．12.（2019·郑州模拟）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（12，1），（3,1），（3,0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是【答案】14-≤b≤1.【解析】解：当点A与点N重合时，MN⊥AC，B、M、N共线，∵N（3，1）∴b=1；当点A与点M重合时，延长NM交y轴于E，易知∠CAN=∠BAE，即tan∠CAN=tan∠BAE，∴11252BE=，∴BE=54，即b=14-，∴b 的取值范围是:14 ≤b ≤1.。

河南省信阳市,2020~2021年中考数学压轴题精选解析

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河南省信阳市，2020~2021年中考数学压轴题精选解析河南省信阳市中考数学压轴题精选~~第1题~~(2020信阳.中考模拟) 如图，抛物线y ＝ax +bx+c 经过A （﹣1，0）、C （0，3）、B （2，3）（1） 求抛物线的解析式；（2） 线段AB 上有一动点P ，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的最大值；（3） 抛物线的对称轴上是否存在点M ，使△ABM 为直角三角形？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，说明理由（4个坐标）.~~第2题~~(2020潢川.中考模拟) 如图，抛物线 与直线AB 交于点A(－1，0)，B(4， ).点D 是抛物线A ，B 两点间部分上的一个动点（不与点A ，B 重合），直线CD 与y 轴平行，交直线AB 于点C ，连接AD ，BD.（1） 求抛物线的解析式；（2） 设点D 的横坐标为m ，则用m 的代数式表示线段DC 的长；（3） 在（2）的条件下，若△ADB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出当S 取最大值时的点C 的坐标；（4） 当点D 为抛物线的顶点时，若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线AB 上的动点，判断有几个位置能使以点P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.~~第3题~~(2020淮滨.中考模拟) 如图，直线与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，抛物线经过A，B.（1） 求抛物线解析式；（2） E （m ，0）是x 轴上一动点，过点E 作轴于点E ，交直线AB 于点D ，交抛物线于点P ，连接PB.①点E 在线段OA 上运动，若△PBD 是等腰三角形时，求点E 的坐标；②点E 在x 轴的正半轴上运动，若 ，请直接写出m 的值. 2~~第4题~~(2020商城.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝kx﹣ 与抛物线y ＝ax +bx+ 交于点A 、C ，与y 轴交于点B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的横坐标为﹣8.（1） 请直接写出直线和抛物线的解析式；（2） 点D 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、C 重合），作DE ⊥AC 于点E.设点D 的横坐标为m.求DE 的长关于m 的函数解析式，并写出DE 长的最大值；（3） 平移△AOB ，使平移后的三角形的三个顶点中有两个在抛物线上，请直接写出平移后的点A 对应点A′的坐标.~~第5题~~(2019信阳.中考模拟) 如图所示，已知抛物线y=ax +bx+c （a≠0）经过点A （﹣2，0）、B （4，0）、C （0，﹣8），与直线y=x ﹣4交于B ，D 两点（1） 求抛物线的解析式并直接写出D 点的坐标；（2） 点P 为直线BD 下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3） 点Q 是线段BD 上异于B 、D 的动点，过点Q 作QF ⊥x 轴于点F ，交抛物线于点G ，当△QDG 为直角三角形时，直接写出点Q 的坐标.~~第6题~~(2018信阳.中考模拟) 如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，边OA 的长度为8，对角线AC=10，抛物线y=x+bx+c 经过点A 、C ，与AB 交于点D ．（1） 求抛物线的函数解析式；（2） 点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ=CP ，连接PQ ，设CP=m ，△CP Q 的面积为S ．①求S 关于m 的函数表达式并求出S 最大时的m 值；②在S 最大的情况下，在抛物线y= x +bx+c 的对称轴上，若存在点F ，使△DFQ 为直角三角形，请直接写出所有符2222合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．~~第7题~~(2017信阳.中考模拟) 如图，抛物线y=ax +bx ﹣4与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心做菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1） 求抛物线的解析式；（2） 当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由．（3） 当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．~~第8题~~(2017信阳.中考模拟) 如图，已知抛物线y= （x+2）（x ﹣4）与x 轴交于点A ，B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，CD ∥x 轴交抛物线于点D ，M 为抛物线的顶点．（1） 求点A ，B ，C 的坐标；（2） 设动点N （﹣2，n ），求使MN+BN 的值最小时n 的值；（3） P 是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P ，使以P ，A ，B 为顶点的三角形与△ABD 相似（△PAB 与△ABD 不重合）？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．~~第9题~~(2017罗山.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的三个顶点A （0，10），B （8，10），C （8，0），过O 、C 两点的抛物线y=ax +bx+c 与线段AB 交于点D ，沿直线CD 折叠矩形OABC的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处．22（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．请问当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形？（3）若点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M、N、C、E为顶点四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．河南省信阳市中考数学压轴题答案解析~~第1题~~答案：解析：~~第2题~~答案：解析：~~第3题~~答案：解析：答案：解析：~~第5题~~答案：解析：答案：解析：~~第7题~~答案：解析：答案：解析：答案：解析：。

2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题13 击破类比、探究类综合题利器之相似知识含答案

2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题13 击破类比、探究类综合题利器之相似知识含答案

专题13 击破类比、探究类综合题利器之相似知识模型一、A 字形（手拉手）及其旋转模型二、K 字型及其旋转【例1】（2019·洛阳二模）如图 1，在 Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =4，点 D ，E 分别是边 AB ，AC 的中点，连接 DE ，将△ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角为 α，BD ，EC 所在直线相交所成的锐角为 β．（1）问题发现 当 α=0°时，CEBD= ，β=（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，CEBD和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）在△ADE 旋转过程中，当 DE ∥AC 时，直接写出此时△CBE 的面积．图1 图2【答案】见解析.ACCCBC【解析】解：（1）由题意知，AC，CE =AE，BD =AD =2， ∴CEBD，β=∠A =45°， （2）无变化，理由如下： 延长CE 交BD 于F ，∵△ABC 、△ADE 是等腰直角三角形，∴AC AEAB AD==DAE =∠BAC =45°， ∴∠DAB =∠CAE ， ∴△ABD ∽△ACE ，∴CE ACBD AB== ∠ABD =∠ACE ， ∴∠CFB =45°， 即β=∠CFB =45°. (3)①如图所示，S =12BC ·BE =12×4×（4-）=8-； ②如下图所示，ADS =12BC ·BE =12×4×（）； 综上所述，在△ADE 旋转过程中，DE ∥AC 时，此时△CBE 的面积为8－或.【变式1-1】（2019·洛阳三模）如图 1，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，AB =10，D ，E 两点分别是 AC ，CB 上的点，且 CD =6，DE ∥AB ，将△CDE 绕点 C 顺时针旋转一周，记旋转角为 α．（1）问题发现 ①当 α=0°时，ADEB = ； ②当 α=90°时，ADEB= ．（2）拓展探究请你猜想当△CDE 在旋转的过程中，ADEB是否发生变化？根据图2证明你的猜想． （3）问题解决在将△CDE 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，当 AD时，BE = ，此时α= ．图1 图2【答案】（1）43，43；（2）见解析；（360或300.【解析】解：（1）∵AB =10，AC =8， ∴由勾股定理得：BC =6， ①∵DE ∥AB ，∴CD CEAC BC =, 即686CE =， ∴CE =92，∴BE =32，∴AD EB =43； ②由勾股定理得：AD =10，BE =152， ∴AD EB =43； （2）不变化，理由如下： 由题意知：△DCE ∽△ACB ， ∴CD CEAC BC=， 由旋转性质得：∠ACD =∠BCE ， ∴△ACD ∽△BCE ， ∴AD ACBE BC =, 即8463AD BE ==. （3）由(2)知43AD BE =，∵AD ，∴BE如图，过D作DF⊥AC于F，设AF=x，则CF=8－x，由勾股定理得：（）2－x2=62－（8－x）2，解得：x=5，即AF=5，CF=3，由CD=6，得∠FDC=30°，∴∠DCF=60°，即α=60°；同理可得，当α=300°时，AD60°或300°.【例2】（2019·南阳毕业测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；图1 图2 图3 备用图【答案】（1）1；（2）①mn；②见解析．【解析】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DEDF=ADCD，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴ADCD=ACBC=1，即DEDF=1，（2）①由（1）中方法可证得：△ADE∽△CDF，△ADC∽△CDB，∴DEDF=ADCD=ACBC=nm，即DEDF=nm，②成立．∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DEDF=ADCD，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴ADCD=ACBC=nm，∴DEDF=nm．【变式2-1】（2019·开封二模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边CD上的点，且CE ＝4，过点E作CD的垂线，并在垂线上截取EF＝3，连接CF．将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a．（1）问题发现当a＝0°时，AF＝，BE＝，AEBE＝；（2）拓展探究试判断：当0°≤a°＜360°时，AEBE的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，直接写出线段BE的长．图1 图2 备用图【答案】（1）54；（2）（3）见解析；【解析】解：（1）当a＝0°时，过点F作FG⊥AD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，由∠G＝∠EDG＝∠DEF＝90°，知四边形DEFG是矩形，∴DG＝EF＝3，AG＝11，∵CE＝4，CD＝6，∴FG＝DE＝2，Rt△AGF中，由勾股定理得：AF＝同理，BE＝∴AEBE=54.（2）AEBE的大小无变化，理由如下：连接AC，∵AB＝6，BC＝8，EF＝3，CE＝4，∴12EFAB=，12CEBC=，∴EFAB=CEBC，∵∠CEF＝∠ABC＝90°，∴△CEF∽△CBA，∴CF CEAC BC=，∠ECF＝∠ACB，∴54CF ACCE BC==，∠ACF＝∠BCE，∴△ACF∽△BCE，∴54AE CFBE CE==，即AEBE的大小无变化；（3）当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，存在两种情况：①E在A、F之间，如图，连接AC，Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝10，同理得：CF＝5，由（2）知：54 AE CFBE CE==，Rt△AEC中，由勾股定理得：AE＝∴AF ＝AE +EF ＝，∴BE ＝45AF ＝45（2；②点F 在A 、E 之间时，如图所示，连接AC ，同理得：AF ＝AE ﹣EF ＝3，∴BE ＝45AF ＝45（23）＝125；综上所述，BE ．1.（2018·河师大附中模拟）如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，=1ABAC. 点P 是边BC 上一个动点（不与B 重合），∠P AD =90°，∠APD =∠B ，连接CD .填空：①PBCD= ;②∠ACD 的度数为 .（2）拓展探究如图②，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，=ABk AC. 点P 是边BC 上一个动点（不与B 重合），∠P AD =90°，∠APD =∠B ，连接CD . 请判断∠ACD 与∠B 的数量关系以及PB 与CD 之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题如图③，在△ABC 中，∠B =45°，AB ，BC =12，P 是边BC 上一动点（不与B 重合），∠P AD =∠BAC ，∠APD =∠B ，连接CD . 请直接写出所有CD 的长.① ② ③【答案】见解析.【解析】解：（1）∵AB =AC ，∠BAC =90°，∠P AD =90°， ∴∠BAP =∠CAD ，∠B =45°， ∵∠APD =∠B ， ∴∠APD =∠ADP =45°， ∴AP =AD ， ∴△ABP ≌△ACD ，∴BP =CD ，∠ACD =∠B =45°， 即PBCD=1，∠ACD =45°， 故答案为：1，45°. （2）∠ACD =∠B ，PBCD=k ，理由如下： ∵∠BAC =90°，∠P AD =90°，∠APD =∠B ， ∴△ABC ∽△APD ， ∴=AB APAC AD=k ， 由∠BAP +∠P AC =∠P AC +∠CAD =90°，得： ∠BAP =∠CAD ， ∴△ABP ∽△CAD ， ∴∠ACD =∠B ， ∴=PB ABCD AC=k . （3）①过A 作AH ⊥BC 于H ，如图所示，∵∠B =45°，∴△BAH 是等腰直角三角形，∵AB ， ∴AH =BH =4， ∵BC =12， ∴CH =8，在Rt △ACH 中，由勾股定理得：AC在Rt △APH 中，由勾股定理得：PH =3，∴BP =1，∵∠P AD =∠BAC ，∠APD =∠B ，∴△ABC ∽△APD ， ∴=AB AP AC AD， 由∠BAP +∠P AC =∠P AC +∠CAD ，得：∠BAP =∠CAD ，∴△ABP ∽△CAD ， ∴=PB AB CD AC，即1CD解得：CD ， ②如图所示，过A 作AH ⊥BC 于H ，同理可得：△ABP ∽△CAD ， ∴=PB AB CD AC，即7CD解得：CD =2综上所述，CD 2.（2018·河南第一次大联考）如图1，在等边三角形ABC 中，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，NC 与AB 的位置关系为__________；（2）深入探究：如图2，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN，试求EF的长．【答案】见解析.【解析】解：（1）NC∥AB；（2）∠ABC=∠ACN，理由如下：∵AB=BC，AM=MN，即AB:BC=AM:MN=1，又∠ABC=∠ACN，∴△ABC∽△AMN，∴AB AC AM AN=,∴∠BAC=12（180°－∠ABC），∵AM=MN，∴∠MAN=12（180°－∠AMN），由∠ABC=∠AMN，得∠BAC=∠MAN，∴∠BAM=∠CAN，又AB AC AM AN=,∴△ABM∽△ACN，∴∠ABC=∠ACN，(3)连接AB，AN，∵四边形ADBC ，AMEF 为正方形，∴∠ABC =∠BAC =45°，∠MAN =45°，∴∠BAM =∠CAN ，由AB AM BC AN =, ∴AB BC AC AM AN AN==, ∴△ABM ∽△ACN ， ∴BM AB CN AC=,=， ∴BM =2，∴CM =BC －BM =10－2=8，在Rt △AMC 中，由勾股定理得：AM∴EF =AM =3.（2017·新野一模）如图①，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连接EF ．（1）说明线段BE 与AF 的位置关系和数量关系；（2）如图②，当△CEF 绕点C 顺时针旋转α（0°＜α＜90°）时，连接AF ，BE ，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图③，当△CEF 绕点C 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）时，延长FC 交AB 于点D ，如果AD =6﹣α的度数．【答案】见解析．【解析】（1）解：BE ⊥AF ，AF ；理由如下：在△ABC 中，∠ABC =90°，BC =2，∠A =30°，∴AC∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，∴BE ⊥AF ，BE =CE ，AF =CF ，∴AEACBE BC =∴AF ；（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，∴EC =12BC ，FC =12AC ， ∴CE CFBC AC ==12，∵∠BCE =∠ACF ，∴△BEC ∽△AFC ，∴AE ACBE BC =CBE =∠CAF ，延长BE 交AC 于点O ，交AF 于点M ，如图所示：∵∠BOC =∠AOM ，∠CBE =∠CAF ，∴∠BCO =∠AMO =90°，即BE ⊥AF ；（3）解：∵∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，∴AB =2BC =4，∠B =60°，∴DB =AB ﹣AD =4﹣（6﹣）2，过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图所示：∴BH =12DB ﹣1，DH =2DB =3又∵CH =BC ﹣BH =2﹣1）=3∴CH =DH ，∴∠HCD =45°，∴∠DCA =45°，∴α=135°．4.（2019·安阳一模）（1）问题发现：如图1，在等边△ABC 中，点D 为BC 边上一动点，DE ∥AB 交AC 于点E ，将AD 绕点D 顺时针旋转60°得到DF ，连接CF ．则AE 与FC 的数量关系是__________，∠ACF 的度数为_________．（2）拓展探究：如图2，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠ACB =60°，点D 为BC 边上一动点，DE ∥AB 交AC 于点E ，当∠ADF =∠ACF =90°时，求AE FC 的值． （3）解决问题：如图3，在△ABC 中，BC :AB =m ，点D 为BC 的延长线上一点，过点D 作DE ∥AB 交AC 的延长线于点E ，直接写出当∠ADF =∠ACF =∠ABC 时AEFC 的值．图1 图2图3 【答案】（1）AE =FC ，60；（2）（3）见解析；【解析】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，DE ∥AB ，∴△DCE 是等边三角形，∴CD =DE ，∠CDE =60°，由旋转性质知，AD =DF ，∠ADF =60°，∴∠ADE =∠CDF ，∴△ADE ≌△FDC ，∴AE =FC ，∠DCF =∠DEA =120°，∴∠ACF =60°；（2）∵DE ∥AB ，∴∠EDC =∠ABC =90°，∵∠ADF =90°，∴∠ADC =∠CDF ，∵∠ACF =90°，即∠AED =∠EDC +∠ACB ，∠FCD =∠ACF +∠ACB ，∴∠AED =∠FCD ，∴△DAE ∽△DFC ， ∴AE DECF CD ,图1A B C D E F图2AB CD E F图3A B C D E F∵DE ∥AB ，∴△EDC ∽△ABC ， ∴DE AB CD BC =,∴AE AB CF BC= (3)与（2）证明可得：AE AB CF BC ==1m. 5.（2019·南阳模拟）（1）【问题发现】如图1，△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EFC ＝90°，点E 与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为 ；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，连接BE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB ＝AC ＝2，△CEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时候，直接写出线段AF 的长．图1 图2 备用图【答案】（1）BE AF ；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）BE AF ．∵△AFC 是等腰直角三角形，∴AC AF∵AB ＝AC∴BE ＝AB AF ；（2）BE AF ，理由如下：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，在Rt △EFC 中，∠FEC ＝∠FCE ＝45°，∠EFC ＝90°，∴∠ABC ＝∠FEC =45°，∴sin ∠ABC ＝sin ∠FEC ，即:AC CF BC CE= ∵∠FEC ＝∠ACB ＝45°，∴∠FEC ﹣∠ACE ＝∠ACB ﹣∠ACE ．即：∠FCA ＝∠ECB ．∴△ACF ∽△BCE ，∴AC BE BC AF==2，∴BE AF ；（3）①当E 在B 、F 之间时，如图2，由（1）知，CF ＝EF ，在Rt △BCF 中，CF ，BC ＝，根据勾股定理得，BF∴BE ＝BF ﹣EF ，∵BE AF ，∴AF 1；②当F 在B 、E 之间时，由（1）可证，△ACF ∽△BCE ，∴BC BE AC AF==∴BE AF ；由①知：CF ，BC ＝，BF∴BE ＝BF +EF ，BE AF ，∴AF．当B，E，F三点共线时，线段AF﹣1．6.（2019·商丘二模）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）问题提出：如图1，若AD＝AE，AB＝AC．①∠ABD与∠ACE的数量关系为；②∠BPC的度数为．（2）猜想论证：如图2，若∠ADE＝∠ABC＝30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB＝2，AD＝1，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，直接写出PB的长．图1 图2 备用图【答案】（1）∠ABD=∠ACE，90°；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）①∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠DAB＝∠CAE．∠ABC＝∠ACB＝45°∴△ADB≌△AEC∴∠ABD＝∠ACE，②∠BPC＝180°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠BCP＝180°﹣45°﹣（∠BCP+∠ACE）=180°﹣45°﹣45°=90°；（2）（1）中结论成立，理由：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB AC，同理，AD，∴AD AE AB CE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ADB ∽△AEC ．∴∠ABD ＝∠ACE ；∠BPC ＝180°﹣∠ABD ﹣∠ABC ﹣∠BCP＝180°﹣30°﹣60°=90°，（3）解：①当点E 在线段AB 上时，BE ＝AB ﹣AE ＝1．在Rt △AEC 中，由勾股定理得：CE ， 易证：△ADB ≌△AEC ．∴∠DBA ＝∠ECA ．∵∠PEB ＝∠AEC ，∴△PEB ∽△AEC ． ∴PB BE AC CE=， ∴2PB =∴PB ＝5； ②当点E 在BA 延长线上时，BE ＝AB +AE ＝3． 同理得：PB BE AC CE =， ∴32PB CE=∴PB综上所述，PB7.（2019·名校模考）问题发现：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝k•AC（k＞1），D是AB上一点，DE∥BC，则BD，EC的数量关系为．类比探究：（2）如图2，将△AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜90°），连接CE，BD，请问（1）中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由.拓展延伸：（3）如图3，在（2）的条件下，将△AED绕点A继续旋转，旋转角为a（a＞90°）．直线BD，CE交于F点，若AC＝1，AB，则当∠ACE＝15°时，BF•CF的值为．图1 图2 图3【答案】（1）BD＝k•EC；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）∵DE∥BC，∴BD CEAB AC=，AD AEAB AC=,即BD AD AB CE AE AC==,∵AB＝k•AC，∴BD＝k•EC；（2）成立，理由如下：连接BD由旋转的性质可知，∠BAD＝∠CAE∵AD ABAE AC==tan∠ADE，∴△ABD∽△ACE，∴BD ABCE AC=＝k，即：BD＝k•EC；（3）BF•CF的值为2或1；由（2）知△ABD∽△ACE∴∠ACE＝∠ABD＝15°∵∠ABC+∠ACB＝90°∴∠FBC+∠FCB＝90°∴∠BFC＝90°由∠BAC＝90°，AC＝1，AB，得：∠ABC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝2AC＝2，分两种情况讨论：①如图，此时，∠CBF＝30°+15°＝45°，BC＝2∴BF＝CF＝∴BF•CF＝2；②如图在BF上取点G，使∠BCG＝15°，则∠BCF＝75°，∠CBF＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，∴∠CFB＝90°，∠GCF＝60°∴CG＝BG＝2CF，GF，BF=(2+ )CF由勾股定理知：CF2+BF2＝BC2∴CF2+（）CF2＝22，∴CF2＝2，∴BF•CF＝（CF2＝1，即：BF•CF＝2或1．8.（2019·枫杨外国语三模）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D是直线AB上的动点，连接CD，以CD为边，在CD的左侧作等边△CDE，连接EB（1）问题发现：如图(1)，当CD⊥AB时，ED和EB的数量关系是 .（2）规律论证：如图(2)当点D在线段AB上运动时，(1)中ED，EB的数量关系是否仍然成立？若成立，请仅就图(2)加以证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由.（3）拓展应用：如图(3)当点D在直线AB上运动时，若AC△BCE恰好为等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的AD的长.图1 图2 图3【答案】（1）ED=EB；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE=60°，∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠BDE=30°，∵∠B=30°，∴∠BDE=∠B，∴ED=EB；（2）成立；过点C作CF⊥AB于F，过E作EH⊥BC于H，则∠CFB=∠EHC=90°，∵∠CBA=30°，∴∠BCF=60°，∵△CED是等边三角形，∴∠DCE=60°，CE=CD，∴∠ECH=∠DCF，∴△CDF≌△CEH，∴CH=CF，在Rt△CBF中，由∠CBF=30°，得：BC=2CF，∴BH=CH=CF，即H为BC中点，∵EH=EH，∠BHE=∠CHE=90°，∴△BEH≌△CEH，∴BE=CE，∵CE=DE，∴BE=DE；（3）过点C作CH⊥AB于H，如下图所示，由题意知：AC，∴AH，CH BC=2CH BE=CE=CD BC在Rt△CDH中，由勾股定理得：DH∴AD=DH－AH；②如图所示，同理可得：DH AH，∴AD=DH+AH；综上所述，符合条件的AD.9.（2017·郑州一模）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB 于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；（2）若2AB EFBC BF==，求ANDN的值.【答案】见解析．【解析】解：（1）当F为BE中点时，即BF=EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AB∥DC，∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF，∴△BMF≌△ECF，∴BM=EC．∵E为CD的中点，∴EC=12DC=12AB，∴AM=BM=EC；（2）设MB =x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC ，AB =DC ，∠A =∠ABC =∠BCD =90°，AB ∥DC ， ∴2CE EF BM BF==， ∴EC =2x ，∴AB =CD =2CE =4x ，AM =AB ﹣MB =3x ， 由2AB BC=，得BC =AD =2x ， ∵MN ⊥MC ，∴∠CMN =90°，∵∠A =90°，∴∠BMC =∠ANM ，∴△AMN ∽△BCM ， ∴AN AM BM CB =, ∴32AN x x x=， ∴AN =32x ，ND =AD ﹣AN =12x ， ∴AN DN=3. 10. (2019·郑州名校二模) 如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN＝12 BD，同理：PM∥CE，PM＝12 CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．由旋转性质知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，由（1）中知：PN＝12BD，PM＝12CE，PM∥CE，PN∥BD，∴PM＝PN，∠DPM＝∠DCE，∠PNC＝∠DBC，∴△PMN是等腰三角形，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝12 BD，∴当PM最大时，即BD最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，BD最大，最大值为：BD＝AB+AD＝14，即PM＝7，∴S△PMN最大＝12PM2＝492。

河南省2020年中考数学押题卷(含解析)

河南省2020年中考数学押题卷(含解析)

河南省2020年中考数学押题卷一、选择题（每小题3分,共30分)1．估计+1的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间2．下列调查中，最适合用普查方式的是（）A．调查一批电视机的使用寿命情况B．调查某中学九年级一班学生的视力情况C．调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况D．调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况3．关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣B．m≤﹣C．m＜﹣D．m＞﹣4．甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的3个扇形）做游戏．游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．甲获胜的概率是（）A．B．C．D．5．2015年髙考已经结束，南平市教研室从各校随机抽取1000名考生的数学试卷进行调査分析，这个问题的样本容量是（）A．1000 B．1000名C．1000名学生D．1000名考生的数学试卷6．如图，平面直角坐标系中放置一个直角三角板OAB，∠OAB＝60°，顶点A的坐标为（﹣1，0），现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（1，0）B．（）C．（1，）D．（﹣1，）7．如图，在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE，若S四边形BCFE＝16，则S△ABC＝（）A．16 B．18 C．20 D．248．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．10．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为（）A．9π﹣9 B．9π﹣6C．9π﹣18 D．9π﹣12二、填空题（每小题3分,共15分)11．计算﹣6的结果是．12．将二次函数y＝x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是．13．为了解全区5000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了400名学生的体重，频率分布如图所示（每小组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05，由此可估计全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数约为人．14．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝45°，则图中阴影部分的面积为．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为．三、解答题（本大题共8个小题,满分75分)16．（8分）先化简，再求值：，其中x＝3tan30°+1．17．（9分）学校开设以下体育课外活动项目：A．篮球，B．乒乓球，C．跳绳，D．踢毽子．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；（2）如果该校共有1200名学生，请你估计喜欢跳绳活动项目的学生数；（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．18．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x+3n＝0（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有两个相等的实数根，写出这个方程并求出此时方程的根．19．（9分）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接AD、CD、OC．填空①当∠OAC的度数为时，四边形AOCD为菱形；②当OA＝AE＝2时，四边形ACDE的面积为．20．（9分）如图是某工厂货物传送带的平面示意图，为提高传送过程的安全性，工厂计划改造传动带与地面的夹角，使其AB的坡角由原来的43°改为30°．已知原传送带AB长为5米．求新旧货物传送带着地点B、C之间相距多远？（结果保留整数，参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，≈1.41，≈1.73）21．（10分）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．22．（10分）（1）【问题发现】如图1，△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EFC＝90°，点E与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF绕点C旋转，连接BE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB＝AC＝2，△CEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，OA＝1，OC＝4，抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．（1）求b，c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．河南省2020年中考数学押题卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分,共30分)1．【分析】先估算出的范围，即可得出答案．【解答】解：∵3＜＜4，∴4＜+1＜5，即+1在4和5之间，故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．2．【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解答】解：A、调查一批电视机的使用寿命情况，调查局有破坏性，适合抽样调查，故A不符合题意；B、调查某中学九年级一班学生的视力情况，适合普查，故B符合题意；C、调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况，调查范围广，适合抽样调查，故C不符合题意；D、调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况，适合抽样调查，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．3．【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：∵方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5＞0，解得：m＞﹣．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．4．【分析】首先画出树状图，然后计算出数字之和为偶数的情况有5种，进而可得答案．。

2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题07 圆中证明及存在性问题(含答案解析)

2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题07 圆中证明及存在性问题(含答案解析)

专题07 圆中证明及存在性问题【例1】（2019·河南南阳一模）如图，已知⊙A 的半径为4，EC 是圆的直径，点B 是⊙A 的切线CB 上一个动点，连接AB 交⊙A 于点D ，弦EF ∥AB ，连接DF ，AF .（1）求证：△ABC ≌△ABF ； （2）当∠CAB = 时，四边形ADFE 为菱形；（3）当AB =时，四边形ACBF 为正方形.【分析】（1）由EF ∥AB ，得∠EF A =∠F AB ，∠CAB =∠AEF ，又∠AEF =∠AFE ，得：∠BAC =∠BAF ，又AB =AB ，AC =AF ，证得△ABC ≌△ABF ；（2）连接FC ，根据ADFE 为菱形，确定出∠CAB 的度数；（3）由四边形ACBF 是正方形，得ABAC.【解析】解：（1）∵EF ∥AB ， ∴∠EF A =∠F AB ，∠CAB =∠AEF ， ∵AE =AF ， ∴∠AEF =∠AFE ， ∴∠BAC =∠BAF ，B E又AB =AB ，AC =AF ， ∴△ABC ≌△ABF （SAS ）； （2）如图，连接FC ，∵四边形ADFE 是菱形， ∴AE =EF =FD =AD ， ∵CE =2AE ，∠CFE =90°， ∴∠ECF =30°，∠CEF =60°， ∵EF ∥AB ，∴∠AEF =∠CAB =60°， 故答案为：60°；（3）由四边形ACBF 是正方形，得ABAC.【变式1-1】（2019·开封二模）如图，在△ABD 中，AB ＝AD ，AB 是⊙O 的直径，DA 、DB 分别交⊙O 于点E 、C ，连接EC ，OE ，OC ．（1）当∠BAD 是锐角时，求证：△OBC ≌△OEC ； （2）填空：①若AB ＝2，则△AOE 的最大面积为 ；②当DA 与⊙O 相切时，若AB，则AC 的长为 ．【答案】（1）见解析；（2）12；1. 【解析】解：（1）连接AC ，B E∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BD，∵AD＝AB，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝EC，又∵OB=OE，OC=OC，∴△OBC≌△OEC（SSS），（2）①∵AB＝2，∴OA＝1，设△AOE的边OA上的高为x，∴S△AOE＝12OA×h＝12 h，要使S△AOE最大，需h最大，点E在⊙O上，h最大是半径，即：h最大＝1∴S△AOE最大为：12；②如图所示，当DA与⊙O相切时，则∠DAB＝90°，∵AD＝AB∴∠ABD＝45°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AC＝BC=1.【例2】（2019·济源一模）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）①当∠C= °时，四边形AODF为矩形；②当tanC= 时，AC=3AE．【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，点D在⊙O上，∴DF是⊙O的切线；（2）45°，理由如下：由四边形AODF 为矩形，得∠BOD =90°， ∴∠B =45°， ∴∠C =∠B =45°， 故答案为：45°； （3连接BE ， ∵AB 是直径， ∴∠AEB =90°， ∵AB =AC ，AC =3AE ， ∴AB =3AE ，CE =4AE ， ∴BE 2=AB 2－AE 2 =8AE 2， 即BE=，在Rt △BEC 中，tanC=42BE CE CE ==.. 【变式2-1】（2019·安阳一模）如图，在△ABC 中，AB =AC =4，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，点P 是AB 的延长线上一点，且∠PDB =12∠A ，连接DE ，OE ． （1）求证：PD 是⊙O 的切线．（2）填空：①当∠P 的度数为______时，四边形OBDE 是菱形； ②当∠BAC =45°时，△CDE 的面积为_________．【答案】（1）见解析；（2）30；2. 【解析】解：（1）连接OD ，∵OB=OD, ∠PDB=12∠A，∴∠ODB=∠ABD=90°－12∠A=90°－∠PDB，∴∠ODB+∠PDB=90°，∴∠ODP=90°，∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线.（2）①30°，理由如下：∠P=30°，则∠BOD=60°，∴△BOD是等边三角形，∴∠ADP=30°，∠A=60°，∴△AOE是等边三角形，即∠AOE=60°，∴∠EOD=60°，∴△ODE是等边三角形，∴OB=BD=DE=OE，即四边形OBDE是菱形；②连接BE，AD，如上图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∠AEB=90°，∵AB=AC，∴D为BC中点，∴S△DCE=12S△BCE，∵∠BAC=45°，∴AE=BE，△ABE是等腰直角三角形，∵AB=AC=4，∴AE=BE=CE=4-∴S△DCE=12S△BCE，=12×12BE·CE=12×12×（4-=2.【例3】（2019·洛阳三模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于点P．（1）求证：AC2=AD·AB．（2）点E是∠ACB所对的弧上的一个动点（不包括A，B两点），连接EC交直径AB于点F，∠DAP=64°．①当∠ECB= °时，△PCF为等腰三角形；②当∠ECB= °时，四边形ACBE为矩形．【答案】见解析.【解析】解：（1）连接OC，∵CD是切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠ACO=∠CAD，∵OA=OC，∴∠ACO =∠CAO，∴∠CAD=∠CAO，∵AB为直径，∴∠ACB=∠D=90°，∴△ACD∽△ABC，∴AD AC AC AB,即：AC2=AD·AB．（2）①45；②58，理由如下：①∵∠DAP=64°，∴∠P=26°，∠CAB=∠DAC=32°，∵∠CFP是△ACF的外角，∴∠CFP>32°，即∠CFP≠∠P，由∠PCB=∠CAB=32°，知∠FCP>∠PCB≠∠P，由△PCD为等腰三角形，得PC=PF,∴∠CFP=77°，∴∠ACF=45°，∠ECB=90°－∠ACF=45°，故答案为：45；②由ACBE是矩形，得F与O重合，∴∠ECB=90°－∠ACO=90°－32°=58°，故答案为：58.【变式3-1】（2019·洛阳二模）如图，△ABC内接于△O，过点B的切线BE△AC，点P是优弧AC上一动点（不与A，C重合），连接P A，PB，PC，PB交AC于D．（1）求证：PB平分△APC；（2）当PD=3，PB=4 时，求AB的长．【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连接OB，则OB△BE，△BE△AC，△OB△AC，△弧AB=弧BC，△△APB=△BPC，△PB平分△APC；（2）由（1）知，△APB=△BPC，△△BAC=△BPC，△△BAC=△APB，△△ABD=△PBA，△△ABD△△PBA，△AB BD PB AB=,即1 4ABAB=△AB=2，即AB的长为2.1.（2018·河师大附中模拟）如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，以AC为直径的△O与AB交于点D，过D作△O 的切线交CB于E.（1）求证：EB=EC；（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连接OD，△AC为直径，△ACB=90°，△BC为△O的切线，△DE是△O的切线，△DE=CE，△ODE=90°，△△ODA+△EDB=90°，△OA=OD，△△OAD=△ODA，△△OAD+△B=90°，△△B=△EDB，△DE=BE，△EB=EC；（2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：△四边形ODEC是正方形，△△DEB=90°，由（1）知CE=BE，△△BED是等腰直角三角形，△B=45°，△△A=45°，即AC=BC，又△△ACB=90°，△△ABC是等腰直角三角形.2.（2019·焦作二模）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE，OE．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）填空：①当∠CAB=时，四边形AOED是平行四边形；②连接OD，在①的条件下探索四边形OBED 的形状为.【答案】（1）见解析；（2）45；正方形.【解析】（1）连接OD，BD，∵AB为直径，∴∠BDC=∠ADB=90°，∵E为BC的中点，∴DE=BE=CE，∵OD=OB，OE=OE，∴△ODE≌△OBE，∴∠ODE=∠OBE=90°，∴OD⊥DE，即DE是⊙O的切线.（2）①若四边形AOED是平行四边形，则DE∥AB，∵∠CDE=∠C，∴∠A=∠C，∵∠ABC=90°，∴∠A=45°；②由∠A=45°，得∠ADO=45°，即∠DOB=90°，∵∠EBO=∠ODE=90°，∴四边形OBED是矩形，∵四边形AOED是平行四边形，∴∠EOB=∠A=45°，∴∠EOB=∠OEB=45°，∴OB=BE，∴四边形OBED是正方形.3.（2019·周口二模）如图，在Rt△ABC中，△B=90°，AB=6，CD平分△ACB交AB于点D，点O在AC上，以CO为半径的圆经过点D，AE切△O于E．（1）求证：AD=AE．（2）填空：△当△ACB=_______时，四边形ADOE是正方形；△当BC=__________时，四边形ADCE是菱形．【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连接OE，△CD平分△ACB，△OC=OD，△△OCD=△ODC，△△ODC=△BCD，△OD△BC，△△B=90°，△△ADO=90°，△AD是圆O的切线，△AE是圆O的切线，△AD=AE.（2）△45；，理由如下：△△ADOE是正方形，△OD=AD，△△OAD=45°，△△ACB=45°；△四边形ADCE为菱形，△AD=CD，△CAD=△ACD，△△BCD=△ACD，△△CDB=60°，△BCD=30°，△CD=2BD，△AB=6，△BD=2，BC故答案为：45；.4.（2018·信阳一模）如图，AB是△O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD△OA交弦AB于点E，交△O于点F，且CE=CB（1）求证：BC是△O的切线；（2）连接AF，BF，求△ABF的度数．【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连结OB，△CE=CB，△△CBE=△CEB，△CD△OA，△△DAE+△AED=90°，△△CEB=△AED，△△DAE+△CBE=90°，△OA=OB，△△OAB=△OBA，△△OBA+△CBE=90°，即△OBC=90°，△BC是△O的切线；（2）解：连结OF，OF交AB于H，（见上图）△DF△OA，AD=OD，△F A=FO，△OF=OA，△△OAF为等边三角形，△△AOF=60°，△△ABF=12△AOF=30°．5.（2019·南阳毕业测试）如图，在△ACE中，AC＝CE，△O经过点A，C，且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是劣弧AC上的一点，且弧BC=弧DF，连接AB，BC，CD．求证：△CDE△△ABC．【答案】见解析.【解析】证明：连接DF，△AC＝CE，△△CAE＝△E，△四边形ACFD内接于△O，△△CAE+△CFD=180°，△△CFD+△DFE=180°，△△CAE＝△DFE，△△DFE＝△E，△DF＝DE，△弧BC=弧DF，△BC＝DF，△BC＝DE，△四边形ABCD内接于△O，同理可得：△B＝△CDE，在△CDE和△ABC中，△AC=CE，△ABC=△CDE，BC=DE，△△CDE△△ABC．6.（2019·濮阳二模）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC△AB，点M是OP中点．（1）求证：四边形OBCP是平行四边形；（2）填空：△当△BOP＝时，四边形AOCP是菱形；△连接BP，当△ABP＝时，PC是△O的切线．【答案】（1）见解析；（2）120；45．【解析】（1）证明：△PC△AB，△△PCM＝△OAM，△CPM＝△AOM．△点M是OP的中点，△OM＝PM，△△CPM△△AOM，△PC＝OA．△OA＝OB，△PC＝OB．△PC△AB，△四边形OBCP是平行四边形．（2）解：△△四边形AOCP是菱形，△OA＝P A，△OA＝OP，△OA＝OP＝P A，△△AOP是等边三角形，△△A＝△AOP＝60°，△△BOP＝120°；△△PC是△O的切线，△OP△PC，△OPC＝90°，△PC△AB，△△BOP＝90°，△OP＝OB，△△ABP＝△OPB＝45°.7.（2019·南阳模拟）如图，AB为△O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作△O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC△DE；（2）连接AD、CD、OC．填空△当△OAC的度数为时，四边形AOCD为菱形；△当OA＝AE＝2时，四边形ACDE的面积为．【答案】（1）见解析；（2）30；【解析】（1）证明：△F为弦AC的中点，△AF＝CF，OF过圆心O△FO△AC，即△OF A=90°，△DE是△O切线，△OD△DE即△EDO=90°，△DE△AC.（2）△当△OAC＝30°时，四边形AOCD是菱形，理由如下：连接CD，AD，OC，△△OAC＝30°，OF△AC△△AOF＝60°△AO＝DO，△AOF＝60°△△ADO是等边三角形△AF△DO△DF＝FO，AF＝CF，△四边形AOCD是平行四边形△AO＝CO△四边形AOCD是菱形.△连接CD，△AC△DE, OA=AE=2，△OD＝2OF，DE＝2AF△AC＝2AF△DE＝AC，且DE△AC△四边形ACDE是平行四边形△OA＝AE＝OD＝2△OF＝DF＝1，OE＝4在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE＝△S四边形ACDE＝DE×DF＝×1＝答案为：8.（2019·商丘二模）如图，在Rt△ABC中，△BAC＝90°，△C＝30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作△O，△O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．（1）求证：BD是△O的切线．（2）若AB，E是半圆AGF上一动点，连接AE，AD，DE．填空：△当弧AE的长度是时，四边形ABDE是菱形；△当弧AE的长度是时，△ADE是直角三角形．【答案】（1）见解析；（2）23π；3π或π．【解析】（1）证明：连接OD ，在Rt △ABC 中，△BAC ＝90°，△C ＝30°，△AB ＝12BC ， △D 是斜边BC 的中点，△BD ＝12BC ， △AB ＝BD ，△△BAD ＝△BDA ，△OA ＝OD ，△△OAD ＝△ODA ，△△ODB ＝△BAO ＝90°，即OD △BC ，△BD 是△O 的切线．（2）△若四边形ABDE 是菱形，连接OE ，则AB △DE ，△△BAC =90°，△DE △AC ，得：AD ＝BD ＝AB ＝CD ＝12BC ， △△ABD 是等边三角形，OD ＝1，△△ADB ＝60°，△△CDE ＝60°，△△ADE ＝180°﹣△ADB ﹣△CDE ＝60°，△△AOE＝2△ADE＝120°，△弧AE的长度为：1201180π⨯=23π；故答案为：23π；△△AD为弦（不是直径），△△AED≠90°，（i）若△ADE＝90°，则点E与点F重合，弧AE的长度为：1801180π⨯＝π；（ii）若△DAE＝90°，则DE是直径，则△AOE＝2△ADO＝60°，弧AE的长度为：601180π⨯=13π；故答案为：13π或π．9.（2019·开封二模）如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作△A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线交△A于点F，连接AF，BF，DF．（1）求证：△ABC△△ABF；（2）填空：△当△CAB＝°时，四边形ADFE为菱形；△在△的条件下，BC＝cm时，四边形ADFE的面积是2．【答案】（1）见解析；（2）△60；△6．【解析】（1）证明：△EF△AB，△△E＝△CAB，△EF A＝△F AB，△AE=AF，△△E＝△EF A，△△F AB＝△CAB，又△AF=CA，AB=AB，△△ABC△△ABF；（2）△当△CAB＝60°时，四边形ADFE为菱形．由△CAB＝60°，得△F AD＝△EAF＝60°，△四边形ADFE是菱形．△△四边形AEFD是菱形，△AEF＝△CAB＝60°，2AE=△AE＝，△AC=，△BC AC=6.10.（2019·名校模考）如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，以直角边BC为直径作△O，交AB于点D，E为AC 的中点，连接DE.（1）求证：DE为△O的切线；（2）已知BC＝4．填空：△当DE＝时，四边形DOCE为正方形；△当DE＝时，△BOD为等边三角形．【答案】（1）见解析；（2）2；2【解析】（1）证明：连接CD，OE，△BC为△O的直径，△△BDC＝90°，△DE为Rt△ADC的斜边AC上的中线，△DE=CE=AE，△△COE△△DOE，△△OCE＝△ODE＝90°，即DE为△O的切线；（2）解：△若四边形DOCE为正方形，则OC＝OD＝DE＝CE，△BC＝4，△DE＝2．△若△BOD为等边三角形，则△BOD＝60°，△△COD＝180°﹣△BOD＝120°，△DOE＝60°，△DE．故答案为：2，．11.（2019·枫杨外国语三模）如图，△O是△ABC的外接圆，AB为直径，△BAC的平分线交△O于点D，过点D作DE△AC，分别交AC，AB的延长线于点E，F．（1）求证：EF是△O的切线．（2）△当△BAC的度数为时，四边形ACDO为菱形；△若△O的半径为5，AC=3CE，则BC的长为．【答案】（1）见解析；（2）60；8.【解析】（1）连接OD，△OA＝OD，△△OAD＝△ODA，△AD平分△EAF，△△DAE＝△DAO，△△DAE＝△ADO，△OD△AE，△AE△EF，△OD△EF，△EF是△O的切线；（2）连接CD，△当△BAC=60°时，四边形ACDO为菱形；△△BAC＝60°，△△AOD＝120°，△OA＝OD，△△OAD＝△ODA＝30°，△CAD＝30°，△OD△AE，△△OAD＝△ADC＝30°，△CAO＝△ADC＝30°，△AC＝CD，△AD＝AD，△△ACD△△AOD，△AC＝AO，△AC＝AO＝CD＝OD，△四边形ACDO为菱形；②设OD与BC交于G，△AB为直径，△△ACB＝90°，△DE△AC，可得四边形CEDG是矩形，△DG＝CE，△AC＝3CE，△OG＝12AC＝1.5CE，OD＝2.5CE＝5，△CE＝2，AC＝6，△AB＝10，由勾股定理得：BC＝8．。

河南省周口市,2020~2021年中考数学压轴题精选解析

河南省周口市,2020~2021年中考数学压轴题精选解析

河南省周口市，2020~2021年中考数学压轴题精选解析河南省周口市中考数学压轴题精选~~第1题~~(2020武威.中考模拟) 如图，抛物线y=﹣x +bx+c 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为B （3，0）．C （0，3），点M 是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式；（2）点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．若OD=m ，△PCD 的面积为S ，试判断S 有最大值或最小值？并说明理由；（3）在MB 上是否存在点P ，使△PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．~~第2题~~(2020周口.中考模拟) 如图，已知二次函数 y ＝ax +bx 的图象与 x 轴交于点 O （0，0）和 点B ，抛物线的对称轴是直线 x＝3.点 A 是抛物线在第一象限上的一个动点， 过点A 作 AC ⊥x 轴，垂足为 C.S ＝3S ， AC ＝OC•BC.（1） 求该二次函数的解析式；（2） 抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M.连接 AM ，点 N 是线段 OA 上的一点.当 ∠AMN ＝∠AOM 时，求点 N 的坐标；（3） 点 P 是抛物线上的一个动点.点Q 是 y 轴上的一动点.当以A ，B ，P，Q 四个点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点 P 坐标.~~第3题~~(2020西华.中考模拟) 如图，直线与x 轴交于点 与y 轴交于点C ，抛物线 经过点B ，C，与x 轴的另一个交点为A.22△A OB △A BC 2（1） 求抛物线的解析式；（2） 点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形 面积最大时点P 的坐标；（3） 若M是抛物线上一点，且 ，请直接写出点M 的坐标.~~第4题~~(2020洛川.九上期末) 如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB ，tan ∠ABC=2，点B 的坐标为（1，0）.抛物线y=﹣x +bx+c 经过A 、B 两点.（1） 求抛物线的解析式；（2） 点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，过点P 作PD 垂直x 轴于点D ，交线段AB 于点E ，使PE 最大.①求点P 的坐标和PE 的最大值.②在直线PD 上是否存在点M ，使点M 在以AB 为直径的圆上；若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.~~第5题~~(2020台州.九上期末) 如图问题发现：（1） 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，∠ABC ＝90°，将线段AC 绕点A 逆时针旋转，旋转角α=2∠BAC ， ∠BCD 的度数是________；线段BD ，AC 之间的数量关系是________.（2） 在Rt △ABC 中，∠BAC=45°，∠ABC ＝90°，将线段AC 绕点A 逆时针旋转，旋转角α=2∠BAC ，请问（1）中的2结论还成立吗？；（3） 如图3，在Rt △ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，∠BDC ＝90°，若点P 满足PB ＝PC ，∠BPC ＝90°，请直接写出线段AP 的长度.~~第6题~~(2020鹿邑.中考模拟)抛物线交x 轴于两点，交y 轴于点C ，点P 为线段下方抛物线上一动点，连接 .（1） 求抛物线解析式；（2）在点P 移动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积及点 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）设点D 为上不与端点重合的一动点，过点D 作线段的垂线，交抛物线于点E ，若与 相似，请直接写出点E 的坐标.~~第7题~~(2019沈丘.中考模拟) 如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点 ，且，顶点为．（1） 求二次函数的解析式；（2） 点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，若 ，四边形 的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；（3） 探索：线段 上是否存在点 ，使 为等腰三角形？如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，请说呀理由．~~第8题~~(2018西华.中考模拟) 已知在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线y=﹣x +bx+c 经过点A （2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B ．（1） 求这条抛物线的表达式和点B 的坐标；（2） 点M 在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m ，联结AM ，用含m 的代数式表示∠AMB 的余切值；（3） 将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C 在x 轴上．原抛物线上一点P 平移后的对应点为点Q ，如果O P=OQ ，求点Q 的坐标．2~~第9题~~2(2017西华.中考模拟) 如图，抛物线y=ax+bx﹣3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，且其对称轴l为x=﹣1重合）．，点P是抛物线上B，C之间的一个动点（点P不与点B，C（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PB⊥NB，且PB=NB的关系，请求出点P的坐标；（3）面积的最大值；若不存在，请说明理由．是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC~~第10题~~(2017个旧.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4．），连接AC，BC（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA ？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．河南省周口市中考数学压轴题答案解析~~第1题~~答案：解析：~~第2题~~答案：解析：答案：解析：答案：解析：~~第5题~~答案：解析：答案：解析：答案：解析：~~第8题~~答案：解析：~~第9题~~答案：解析：答案：解析：。

精品资料——数学-2020年河南中考考前押题密卷(全解全析).docx

精品资料——数学-2020年河南中考考前押题密卷(全解全析).docx

2020年河南中考考前押题密卷数学•全解全析1.【答案】B【解析】一2020的倒数为-一,故选B.20202.【答案】D【解析】1348 万=13480000=1. 348X107.故选D.3.【答案】B【解析】A. x2+x2=2x2f故本选项不合题意；B.x3*x2=x5,正确；C.尤9承3=若，故本选项不合题意；D.(]2)3*,故本选项不合题意.故选B.4.【答案】C【解析】因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是故2选C.5.【答案】A【解析】①的主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形, 第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；②的主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；所以将图①中的一个小正方体改变位置后，俯视图和左视图均没有发生改变，只有主视图发生改变，故选A.6.【答案】B【解析】这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为24与48的平均数，与被涂污数字无关.故选B.7.【答案】D【解析】根据题意得△= （T） 2_4仑0,解得C V4.故选D.8.【答案】A【解析】•.,点 A （a—2b, 2-Aab｝在抛物线y=.¥2+4x+10 _b, Ca-2b）2+4x （a-2b） +10=2-4ab,«2-4«Z?+4/?2+4«-8Z>+10-2-4ab,（0+2）2+4（/?-1 ）2=0, .'.a+2-0, b-1-0,解得a--2, b-\, a-2b--2-2x 1 --4,42T沥=2Tx （一2） xl=10, ...点A的坐标为（T, 10）, ...对称轴为直线.在-——=-2, .•.点A关于对称2x1轴的对称点的坐标为（0, 10）.故选A.9.【答案】C【解析】..•直线*〃如.../ECA=ZCAB=40。

2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题14 用函数的思想看图形的最值问题(含答案解析)

2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题14 用函数的思想看图形的最值问题(含答案解析)

专题14 用函数的思想看图形的最值问题【例1】（2019·河南南阳一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx－32与抛物线y=ax2+bx+52交于点A、C，与y轴交于点B，点A的坐标为（2,0），点C的横坐标为－8.（1）请直接写出直线和抛物线的解析式；（2）点D是直线AB上方的抛物线上一动点（不与A、C重合），作DE⊥AC于E，设点D的横坐标为m，求DE的长关于m的函数解析式，并写出DE长的最大值；（3）平移△AOB，使得平移后的三角形的三个顶点中有两个在抛物线上，请直接写出平移后的点A的对应点A’的坐标.【分析】（1）利用待定系数法求解析式；（2）过D作DF⊥x轴交AC于F，利用三角函数知识将DE 长度转化为DF的长度，借助二次函数最值问题求解；（3）设出平移后的点的坐标，分两种情况（O、B在竖直线上，平移后不可能同时在函数图象上）讨论，将坐标代入解析式中求解.【解析】解：（1）将点A坐标代入直线表达式得：0＝2k﹣32，解得：k＝34，故一次函数表达式为：y＝34x﹣32，则点C坐标为（﹣8，﹣352），将点A、C的坐标代入二次函数表达式并解得：函数表达式为：y＝﹣14x2﹣34x+52；（2）作DF⊥x轴交直线AB于点F，∴∠DFE＝∠OBA，点D的横坐标为m，则点D（m，﹣14m2﹣34m+52），点F（m，34m﹣32），DF＝﹣14m2﹣34m+52﹣(34m﹣32）＝﹣14m2﹣32m+4，由勾股定理得：AB＝52，∵sin ∠DFE ＝sin ∠OBA ＝45OA AB =， ∴DE ＝DF •sin ∠DFE ＝45（﹣14m 2﹣32m +4） ＝﹣15（m +3）2+5， ∴当m =－3时，DE 的最大值为5；（3）设三角形向左平移t 个、向上平移n 个单位时，三角形有2个顶点在抛物线上，则平移后点A 、O 、B 的坐标分别为（﹣t +2，n ）、（﹣t ，n ）、（﹣t ，﹣32+n ）， ∵O 、B 在竖直线上，∴这两点平移后的点不可能都在抛物线上，①当点O 、A 平移后的点在抛物线上时，()()2213544213522442t t n t t n ⎧-++=⎪⎪⎨⎪--+-+=⎪⎩， 解得：t ＝52， 即点A ′（﹣12，4516）． ②当点B 、A 平移后的点在抛物线上时，()()221353442213522442t t n t t n ⎧-++=-+⎪⎪⎨⎪--+-+=⎪⎩， 解得：t ＝4，即点A ′（﹣2，3）．综上所述，点A’的坐标为（﹣12，4516）或（﹣2，3）.【变式1-1】（2019·南阳毕业测试）如图1，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4，矩形OBDC的边CD＝1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值.图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）∵矩形OBDC的边CD＝1，∴OB＝1，由AB＝4，得OA＝3，∴A（﹣3，0），B（1，0），∵抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，∴a+b+2=0，9a－3b+2=0，解得：a=23-，b=43-，∴抛物线解析式为y＝23-x243-x+2；（2）在y ＝23-x 243-x +2中， 当y ＝2时，x ＝0或x ＝﹣2，∴E （﹣2，2），∴直线OE 解析式为y ＝﹣x ，∠PGH ＝∠COE ＝45°，∵P （m ，23-m 243-m +2），PG ∥y 轴， ∴G （m ，﹣m ），∴PG ＝23-m 243-m +2﹣（﹣m ） ＝23-214m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+4924， ∵∠PGH ＝∠COE ＝45°，∴l＝214m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴当m ＝14-时，l . 【例2】（2019·省实验一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，C （1，0），与y 轴交于点B （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点F ，交直线AB 于点E ，作PD ⊥AB 于点D ．当△PDE 的周长最大时，求出点P 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（0，﹣3），C（1，0），∴c=-3，1+b+c=0，解得：b=2，c=-3，∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）在y＝x2+2x﹣3中，y＝0时，x1＝1，x2＝﹣3，∴A（﹣3，0），∵B（0，-3），∴OA＝OB＝3，∴∠BAO＝45°，∵PF⊥x轴，∴∠AEF＝45°，可得△PDE是等腰直角三角形，由A（﹣3，0），B（0，3）得直线AB的解析式为：y=-x-3，C△PDE=PE+PD+DP=PEPEPE =+1）PE ，设P （m ，m 2+2m ﹣3），则E (m ，－m －3)，PE =－m 2－3mC △PDE =）（－m 2－3m ）=+1）（m +32）2+94+1）， ∴当m =－32时，△PDE 的周长越大，此时P 点坐标为（－32，－154）. 【变式2-1】（2019·平顶山三模）在平面直角坐标系中，抛物线y =212x bx c -++，经过点A （1，3）、B （0，1），过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C .（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）如图，点G 是BC 上方抛物线上的一个动点，分别过点G 作GH ⊥BC 于点H 、作GE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点F ，在点G 运动的过程中，△GFH 的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y =212x bx c -++过点A （1，3）、B （0，1）， ∴1021b c c ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩，解得：521b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即抛物线的表达式为：y =215122x x -++， y =215122x x -++ =21533228x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ∴顶点坐标为：53328⎛⎫ ⎪⎝⎭，； （2）∵A （1，3），由对称轴可知C （4，3）由B （0，1）、C （4，3），得直线BC 的解析式为：112y x =+，BC =，由题意知，∠ACB =∠FGH ，延长CA 与y 轴交于点I ，则I （0，3）∴BI =2，CI =4，由△BCI ∽△FGH ，得：BC CI BI FG GH FH==,即42FG GH FH==，∴FH =，GH =，即△GFH 的周长为：C =FH +GH +FG=1FG ⎫⎪⎝⎭， 设G (m , 215122m m -++)，则F (m , 112m +)， ∴C=1FG ⎫⎪⎝⎭=21122m m ⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()211221255m ⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴当m =2时，△GFH的周长有最大值，最大值为：21⎫+⎪⎝⎭.【例3】（2019·安阳一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (-2，0)，B (4，0)，与直线332y x =-交于点C (0，-3)，直线332y x =-与x 轴交于点D ． （1）求该抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上第四象限上的一个动点，连接PC ，PD ，当△PCD 的面积最大时，求点P 的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵C (0,-3)，∴c =-3，将A 、B 坐标代入y =ax 2+bx -3得：423016430a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：3834a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：y =38x 234-x －3. （2）332y x =-中，当y =0时，x =2，即D (2,0)， 连接OP ，设P (m ，38m 234-m －3)，其中：0<m <4， S △PCD =S △ODP +S △OCP －S △OCD =2133112332328422m m m ⎛⎫⨯-+++⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ =()2327388m --+， ∵38-<0，∴当m =3时，△PCD 的面积取最大值，最大值为278，此时P 点坐标为（3，158-）. 【变式3-1】（2018·河南第一次大联考）如图，抛物线2y ax bx c =++()0a ≠与x 轴交于点A 和点B（1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x =–1，P 为抛物线上第二象限的一个动点．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）当点P 的纵坐标为2时，求点P 的横坐标；（3）当点P 在运动过程中，求四边形PABC 面积最大时的值及此时点P 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意得：3012c a b c b a⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-=-⎩，解得：a =－1，b =－2，c =3，∴抛物线的解析式为：y =－x 2－2x +3；（2）在y =－x 2－2x +3中 ，y =2时，得：2=－x 2－2x +3，解得：x =－或x =－1，∵点P 在第二象限，∴x=－1，即点P的横坐标为：－1；（3）连接AC，过P作PE⊥x轴交AC于E，设直线AC的解析式为：y=kx+n，得：n=3，－3k+n=0，∴直线AC的解析式为：y=x+3，S四边形P ABC=S△ABC+S△APC=12×4×3+12×PE×OA=362+PE，设P（m，－m2－2m+3）,则E点坐标为（m，m+3）,∴PE=－m2－2m+3－（m+3）=－m2－3m，∴S四边形P AOC=362+PE=362+（－m2－3m）=－32（m+32）2+758,∵－32<0，∴点P在运动过程中，当m=－32时，四边形PABC面积最大，最大值为758，此时点P的坐标为（－32，154）.1.（2019·开封二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝43x﹣4与抛物线y＝43x2+bx+c交于坐标轴上两点A、C，抛物线与x轴另一交点为点B；（1）求抛物线解析式；（2）若动点D在直线AC下方的抛物线上；①作直线BD，交线段AC于点E，交y轴于点F，连接AD；求△ADE与△CEF面积差的最大值，及此时点D的坐标；②如图2，作DM⊥直线AC，垂足为点M，是否存在点D，使△CDM中某个角恰好是∠ACO的一半？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）在y＝43x﹣4中，当x＝0，y＝﹣4，即C（0，﹣4）；当y＝0，x＝3，即A（3，0）；把点A、C坐标代入y＝43x2+bx+c，并解得：b=83-，c=－4，∴抛物线解析式为：y＝43x283-x－4；（2）设D（m，43m283-m－4），其中：0＜m＜3，①连接OD，由A（3，0），B（﹣1，0），D（m，43m283-m－4），知OB=1，OA＝3，OC＝4，tan∠ABD＝OFOB，tan∠ABD＝1Dym+，∴OF＝43-（m﹣3），∴S△ADE﹣S△CEF＝S四边形AOFD﹣S△AOC＝12AO•|y D|+12OF•|x D|﹣12OA•OC＝28927 388m⎛⎫--+⎪⎝⎭，∴当m＝98时，S△ADE﹣S△CEF的最大值为278，此时点D坐标为（98，8516-）.2.（2018·信阳一模）如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为（）A．4B．C．7D．8【答案】D.【解析】解：由题意知，若MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，在Rt△PNE中，PN=4，NE=12MN=3，由勾股定理得：PE=5，∴AE=12MN=3，AP的最大值为：AE+EP=5+3=8．故答案为：D．3.（2019·叶县一模）在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），C（0，3）∴-1-b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+m，∴3k+m=0，m=3，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（a，3﹣a），则D（a，﹣a2+2a+3），∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a，∴S△BDC＝12 PD·OB＝32 PD＝﹣32（a﹣32）2+278，∵﹣32<0，∴当a＝32时，△BDC的面积最大，此时P点坐标为：（32，32）；4.（2019·南阳模拟）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x＝3，∴B点坐标为（6，0），设抛物线解析式为：y＝ax（x﹣6），把A（8，4）代入得：a＝14，抛物线解析式为：y＝14x2﹣32x；（2）设M（t，0），过点N作ND⊥x轴于D，过A作AC⊥x轴于C，∴ND∥AC，∴ND OD AC OC=， 由（1）知，AC =4，BC =2，OC =8， ∴48ND OD =，即ND =12OD ， ∵MN ∥AB ，∴∠NMD =∠ABC ，∴tan ∠NMD =tan ∠ABC ， 即42DN MD =，DN =2DM ， ∴OD =2DN =4DM ，即OD =43OM ， ∵M （t ，0），∴OM =t ，OD =43t ，ND =23t ， S △AMN =S △OAM －S △OMN =12t ×4－12t ×23t =()21333t --+， ∴当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）设Q （m ，14m 2﹣32m ）， ∵∠OPQ ＝∠ACO ，（1）当PQ PO OC AC=时，△PQO ∽△COA ， 即84PQ PO =，∴PQ＝2PO，即|14m2﹣32m|＝2m，解得：m1＝0（舍去），m2＝14，m3＝-2，P点坐标为（14，0）或（﹣2，0）；（2）∴当PQ POAC CO=时，△PQO∽△CAO，∴PQ＝12 PO，即|14m2﹣32m|＝12m，解得：m1＝0（舍去），m2＝8（舍去），m3＝4，P点坐标为（4，0）；综上所述，P点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）．5.（2019·郑州联考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝255x-+与x轴交于A，C （A在C的左侧），点B在抛物线上，其横坐标为1，连接BC，BO，点F为OB中点．（1）求直线BC的函数表达式；（2）若点D为抛物线第四象限上的一个动点，连接BD，CD，点E为x轴上一动点，当△BCD的面积的最大时，求点D的坐标，及|FE﹣DE|的最大值.【答案】见解析.【解析】解：（1）在y2-中，当y ＝0，解得：x 1＝32，x 2＝72， ∴A （32，0），C （72，0） 当x ＝1时，y ＝即B （1，），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b得：702k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，直线BC 的解析式为y＝5-x+5. （2）设点D （m2-），则点H （m，m） 过点D 作DH ⊥x 轴交BC 于点H ，HD＝m2-＝294m ⎫-⎪⎝⎭， S △BCD =12×DH ×（x C －x B ） =54DH ， ∴当m ＝94时，HD 取最大值，此时S △BCD 的面积取最大值．此时D （94. 作D 关于x 轴的对称点D ′则D ′（94，2）， 连接D ′H 交x 轴于一点E ，此时|D ′E ﹣FE |最大，最大值为D ′F 的长度，∵F （12）∴D ′F ＝4，即|FE ﹣DE |． 6.（2019·安阳二模）如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，点A 在x 轴负半轴上，且OA ＝12OB ，抛物线y ＝ax 2+bx +4经过A ，B ，C 三点． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是第一象限内抛物线上的动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D ，用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 的最大值．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y ＝﹣x +4中，当x ＝0时，y ＝4；当y ＝0时，x ＝4，∴B （4，0），C （0，4），∴OB ＝OC =4，∴OA ＝12OB ＝2， 即A （﹣2，0），把A （﹣2，0），B （4，0）代入y ＝ax 2+bx +4中，得424016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得121a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 抛物线的解析式为：y ＝﹣12x 2+x +4； （2）过P 作PF ∥y 轴，交BC 于F ，在Rt △OBC 中，∵OB ＝OC ＝4，∴∠OCB ＝45°，∴∠PFD =45°，∴PD=2PF ，由P(m，﹣12m2+m+4)，F(m，－m+4)，得：PF=﹣12m2+2m，∴PD12m2+2m）=﹣4（m﹣2）2，其中，0＜m＜4，＜0，∴当m＝2时，PD．7.（2019·平顶山三模）在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为．【答案】见解析.【解析】解：过A作AH⊥CD于H．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB∥CD，∠D+∠BAD＝180°，∠D＝60°，∵AD＝AB＝2，∴AH＝AD•sin60°由折叠性质知：BE＝EB′，当BE的值最小时，AE的值最大，由垂线段最短可知，当EB’⊥CD，即EB’=AH BE的值最小，AE的最大值为：2故答案为：28.（2019·名校模考）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F （1）求抛物线的解析式；（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由.【答案】见解析．【解析】解：（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴A（﹣3，0）．∵抛物线y＝ax2+bx﹣1交x轴于A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴109310a ba b+-=⎧⎨--=⎩，解得：1323ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；（2）设点E的坐标为（m，m+3），则F（m，13m2+23m﹣1）∴EF＝（m+3）﹣（13m2+23m﹣1）＝13-（m﹣12）2+4912，∴当m=12时，EF的长度有最大值，最大值为4912，此时点E的坐标为（12，72）.9.（2019·枫杨外国语三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(-1，0)，点C的坐标为(0，3)，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值.【答案】见解析．【解析】解：（1）将(-1，0)，(0，3)代入y＝﹣x2+bx+c，得：－1－b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，即抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3.（2）∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴抛物线对称轴为直线 x ＝1，点 D 和点 C 关于直线x ＝1对称，∴D （2，3），设直线 AD 的解析式为 y ＝kx +b ，把 A （﹣1，0），D （2，3）代入得：023k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AD 的解析式为：y ＝x +1；∴E （0，1），∵OA ＝OE ，∴△OAE 为等腰直角三角形，∴∠EAO ＝45°，∵FH ∥OA ，△FGH 为等腰直角三角形，过点 F 作 FM ⊥x 轴交 AD 于 M ，如图，可得FM =FH ，∵FG ＝GH FM ，∴C △FGH ＝（）FM ，设F (m ，﹣m 2+2m +3)，则M (m ，m +1)，FM =﹣m 2+m +2∴C △FGH ＝（）FM ，=（）（﹣m 2+m +2）=﹣（）21924m ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴当 x ＝12时，△FGH 周长由最大值，最大值为：94+. 10.（2019·焦作二模）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线3:4l y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B （0，-1），抛物线212y x bx c =++经过点B ，且与直线l 的另一个交点为C （4，n ）. （1）求n 的值和抛物线的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为t （0<t <4），DE ∥y 轴交直线l 于点E ，点F 在直线l 上，且四边形DFEG 为矩形（如图2）.若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值；（3）M 是平面内一点，将△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°后，得到△A ’O ’B ’，点A 、O 、B 的对应点分别是点A ’、O ’、B ’. 若△A ’O ’B ’的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A ’的横坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将B （0，-1）代入34y x m =+得：m =－1， 在314y x =-中，当y =0时，x =43，即A (43，0)， ∵34y x m =+过点C （4，n ），得：n =2，即C (4，2)， 将B （0，-1）、C （4，n ），代入212y x bx c =++得： 2421b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：541b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 即抛物线的解析式为：215124y x x =--. （2）由（1）知，OA =43，OB =1，在Rt △OAB 中，由勾股定理得：AB =53， ∵DE ∥y 轴，∴∠ABO =∠DEF ，∴sin ∠DEF = sin ∠ABO =45，cos ∠DEF =cos ∠ABO =35， ∴EF =DE ·cos ∠DEF =35DE ，DF =DE ·cos ∠DEF =45DE ， ∴p =2（DE +DF ）=145DE ， ∵点D 的横坐标为t ，∴D (t ，215124t t --)，E (t ，314t -)， ∴DE =314t -－（215124t t --）=2122t t -+， p =145（2122t t -+） =()2728255t --+，∴当t =2时，p 有最大值285. （3）由题意知，A ’、O ’横坐标相等，此二点不会同时在抛物线上， ①当点O ’、B ’在抛物线上时，由O ’B ’=OB =1，抛物线的对称轴：x =54得，O ’横坐标为54－12=34， 即A ’横坐标为：34； ②当点A ’、B ’在抛物线上时，由A ’B ’=AB =53， 设点A ’(n ，y )，则B ’(n +1，y －43)， ∴()()2215124415111324y n n y n n ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=+-+-⎪⎩，解得：n =712- 即A ’横坐标为：712-； 综上所述，点A ’的横坐标为：34或712-.。

2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题11 实际问题中的方程(组)与函数题型(含答案解析)

2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题11 实际问题中的方程(组)与函数题型(含答案解析)

专题11 实际问题中的方程（组）与函数题型【例1】（2019·郑州外国语测试）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%，在试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售，设每天销售量为y本，销售单价为x元.（1）请直接写出y与x直接的函数关系式及x的取值范围；（2）当每本足球纪念册的销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）当每本足球纪念册的销售单价是多少元时，商店每天的利润w最大？最大利润是多少元？【答案】见解析.【解析】解：（1）y=300－10(x－44)，整理得：y=－10x+740，（44≤x≤52）；（2）由题意得：（x－40）（－10x+740）=2400，解得：x=50，x=64（舍），即当每本足球纪念册的销售单价是50元时，商店每天获利2400元.（3）由题意得：w=（x－40）（－10x+740）=－10（x－57）2+2890∵－10<0，对称轴为x=57，∵当x<57时，w随x增大而增大，∵44≤x≤52，∵当x=52时，w取最大值，最大为2640元，即当每本足球纪念册的销售单价是52元时，商店每天的利润最大，最大利润是2640元.【例2】（2018·河师大附中模拟）某养殖专业户计划购买甲、乙两种牲畜，已知乙种牲畜的单价是甲种牲畜单价的2倍多200元，买3头甲种牲畜和1头乙种牲畜共需5700元.（1）甲、乙两种牲畜的单价各是多少元？（2）相关资料表明：甲、乙两种牲畜的成活率分别为95%和99%，若购买以上两种牲畜共50头，并使这50头的成活率不低于97%，且要使购买的总费用最低，应如何购买？【答案】见解析.【解析】解：（1）设甲种牲畜的单价为x元，由题意得：3x+2x+3000=7500，解得：x=1100，2×1100+200=2400，即甲种牲畜的单价为1100元，乙种牲畜的单价为2400元.（2）设购买甲种牲畜m头时，总购买费用为w元，则w=1100m+2400（50－m）=－1300m+120000，由题意知：95%m+99%（50－m）≥97%×50，解得：m≤25，即0≤m≤25，∵－1300<0，∵w随m的增大而减小，当m=25时，w取最小值，即费用最低，∵购买两种牛各25头时，费用最低.【变式2-1】（2019·三门峡二模）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．①求y与x之间的函数关系式；②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润＝销售收入﹣进货金额）【答案】见解析．【解析】解：（1）设现在实际购进这种水果价格为每千克a 元，则原来价格为每千克（a +2）元，由题意，得：80（a +2）＝88a ，解得：a ＝20．即现在实际购进这种水果每千克20元；（2）①设y 与x 之间的函数关系式为：y ＝kx +b ， 将（25，165），（35，55）代入y ＝kx +b 得，251653555k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：11440k b =-⎧⎨=⎩，即y 与x 之间的函数关系式为：y ＝﹣11x +440； ②设这种水果的销售价格为x 元/千克时，利润为w 元， 则w ＝（x ﹣20）y＝（x ﹣20）（﹣11x +440） ＝﹣11（x ﹣30）2+1100， ∵﹣11<0，∴当x ＝30时，w 有最大值，最大值为1100．即这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润，最大利润是1100元．【例3】（2018·洛阳三模）在江苏卫视《最强大脑》节目中，搭载百度大脑的机器人小度以3:1的总成绩，，斩获2017年度脑王巅峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来．某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．（1）求该商家第一次购进机器人多少个？（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？【答案】见解析.【解析】解：（1）设该商家第一次购进机器人x 个， 由题意得：1100024000102x x+=， 解得：x =100．经检验，x =100是所列方程的解，且符合题意． 答：该商家第一次购进机器人100个． （2）设每个机器人的标价是a 元． 由题意得：a ﹣11000﹣24000≥×20%， 解得：a ≥140．答：每个机器人的标价至少是140元．【变式3-1】（2019·周口二模）由于技术更新，智能电视的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某电器商行经营的A 款40英寸智能电视去年销售总额为5万元，今年每台销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）今年A 款40英寸智能电视每台售价多少元？（用列方程的方法解答）（2）该电器商行计划新进一批A 款40英寸智能电视和新款B 款40英寸智能电视共60台，且B 款40英寸智能电视的进货数量不超过A 款40英寸智能电视数量的两倍，应如何进货才能使这批智能电视获利最多？A ，B 两款40英寸智能电视的进货和销售价格如下表：【答案】见解析.【解析】解：设今年A 款40英寸智能电视每台售价为x 元，则去年每台售价为（x +400）元，由题意得：()50000120%50000400x x⨯-=+，解得：x =1600，经检验，x =1600是原方程的解，符合题意， ∴今年A 款40英寸智能电视每台售价为1600元.（2）设购进A 款电视a 台，则购进B 款（60－a ）台，此时获利y 元， y =（1600-1100）a +（2000-1400）（60-a ） =-100a +36000，其中：60-a ≤2a ，0≤a ≤60， 即20≤a ≤60，且a 为整数； ∵-100<0，∴y 随a 的增大而减小， 当a =20时，y 取最大值，即当进A 款电视20台，B 款电视40台时，获利最大.【例4】（2018·河南第一次大联考）紫石中学为了给同学们提供更好的学习环境，计划购买一批桂花树和香樟树来绿化校园，经市场调查发现购买2棵桂花树3棵香樟树共需360元，购买3棵桂花树2棵香樟树共需340元．（1）桂花树香樟树的单价各多少？（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵树不少于桂花树的1.5倍，请你算算，该校本次购买桂花树和香樟树共有哪几种方案．【答案】见解析.【解析】解：（1）设桂花每棵x 元，香樟树每棵y 元， 由题意得：2336032340x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：x =60，y =80，答：桂花树每棵60元，香樟树每棵80元.（2）设桂花树购买x 棵，则香樟树购买（150－a ）棵， 由题意得：()608015010840150 1.5x x x a ⎧+-≤⎨-≥⎩， 解得：58≤x ≤60，∵有三种购买方案：桂花树58棵，香樟树92棵；桂花树59棵，香樟树91棵；桂花树60棵，香樟树90棵. 【变式4-1】（2019·偃师一模）冬季来临，某网店准备在厂家购进 A ，B 两种暖手宝共 100 个用于销售，若购买 A 种暖手宝 8 个，B 种暖手宝 3 个，需要 950 元；若购买 A 种暖手宝 5 个，B 种暖手宝 6 个，则需要800 元．（1）购买A，B两种暖手宝每个各需多少元？（2）①由于资金限制，用于购买这两种暖手宝的资金不能超过7 650 元，设购买A种暖手宝m个，求m的取值范围；②在①的条件下，购进A种暖手宝不能少于50 个，则有哪几种购买方案？（3）购买后，若一个A种暖手宝运费为5 元，一个B种暖手宝运费为4 元，在第（2）问的各种购买方案中，购买100 个暖手宝，哪一种购买方案所付的运费最少？最少运费是多少元？【答案】见解析.【解析】解：（1）设A、B两种暖手宝的价格分别为x元/个、y元/个，由题意得：83950 56800x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：x=100，y=50，即A、B两种暖手宝的价格分别为100元/个,50元/个.（2）∵由题意得：100m+50（100－m）≤7650，解得：m≤53，∵m的取值范围是：0≤m≤53，且m为整数；∵∵50≤m≤53，∵共有以下四种购买方案，A种50个，B种50个；A种51个，B种49个；A种52个，B种48个；A种53个，B种47个；（3）设总运费为w元，则：w=5m+4(100－m)=m+400，∵1>0，∵w随m的增大而增大，当m=50时，运费最少，最少为450元，∵当购买A种产品50个，B种产品50个时，总运费最少，最少为450元.1.（2019·济源一模）为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，种植草莓不超过20 亩时，所得利润y（元）与种植面积m（亩）满足关系式y=1 500 m；超过20亩时，y=1380m+2400．而当种植樱桃的面积不超过15 亩时，每亩可获得利润1800 元；超过15 亩时，每亩获得利润z（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系式为z=－20x+2 100．（1）设小王家种植 x 亩樱桃所获得的利润为 P 元，直接写出 P 关于 x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果小王家计划承包40 亩荒山种植草莓和樱桃，当种植樱桃面积（x 亩）满足0＜x ＜20时，求小王家总共获得的利润w （元）的最大值．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意得：()()2180001520210015x x p x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩（2）种植樱桃面积x 亩，则种植草莓面积（40－x ）亩， 由题意知，∵当0<x ≤15时，w =1800x +1380(40－x )+2400=420x +57600,∵420>0，∵w 随x 的增大而增大，当x =15时，w 最大，最大值为63900，∵当15<x ≤20时，w =－20x 2+2100x +1380(40－x )+2400=－20（x －18）2+64080，∵－20<0，∵当x =18时，w 取最大值，最大值为64080， ∵64080>63900，∵当x =18时，小王家总共获得的利润w 取最大值，最大值为64080元.2.（2019·洛阳二模）某游乐园的门票销售分两类：一类个人门票，分为成人票，儿童票；一类为团体门票（一次购买门票 10 张及以上），每张门票在成人票价格基础上打 6 折．已知一个成人带两个儿童购门票需 80 元；两个成人带一个儿童购门票需 100 元．（1）每张成人票和儿童票的价格分别是多少元？（2）光明小学 4 名老师带领 x 名儿童到该游乐园，设购买门票需 y 元． ∵若每人分别购票，求 y 与 x 之间的函数关系式；∵若购买团体票，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； ∵请根据儿童人数变化设计一种比较省钱的购票方案． 【答案】见解析.【解析】解：设成人票每张a 元，儿童票每张b 元，由题意得：a+2b=80，2a+b=100，解得：a=40，b=20，即成人票每张40元，儿童票每张20元；（2）∵y=4×40+20x=160+20x∵y=40×0.6（x+4）=24x+96，由x+4≥10，得x≥6，且x为整数.∵（i）当160+20x>24x+96,即x<16，∵当6≤x<16且x为整数时，应全部购买团体票较为优惠；（ii）当160+20x=24x+96,即x=16，∴当x=16时，购买团体票或分别购买均可以；（iii）当160+20x<24x+96,即x>16，∴当x>16且x为整数时，应分别购买较为优惠.3.（2019·洛阳三模）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加，某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：（1）每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共80 台，其中B型空气净化器的进货量不多于A型空气净化器的 2 倍，为使该公司销售完这80 台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；（3）已知A型空气净化器的净化能力为200 m3/小时，B型空气净化器的净化能力为300 m3/小时，某长方体室内活动场地的总面积为200 m2，室内墙高3 m，该场地负责人计划购买5 台空气净化器每天花费30 分钟将室内空气净化一新，若不考虑空气对流等因素，至多要购买A型空气净化器多少台？【答案】见解析.【解析】解：(1)设每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是x元，y元，由题意得：5395034900x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：x=100，y=150，∴每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是100元，150元.（2）设购买A型m台，则购进B型（80－x）台，利此时润为w元，由题意知：80－m≤2m，0≤m≤80，m为整数可得：803≤m≤80，m为整数，W=100m+150（80－m）=－50m+12000，∵－50<0，∴w随m的增大而减小，当m=27时，w取最大值，80－27=53，即购进A型27台，B型53台时，售完后获利最大.（3）设购买A型a台，则够买B型（5－a）台，∴12×200a+12×300（5－a）≥200×3，解得：a≤3，∵0≤a≤5，∴0≤a≤3，且a为整数，即至多要购买A型空气净化器3台.4.（2017·新野一模）某水果店购买一批时令水果，在20天内销售完毕，店主将本次此销售数据绘制成函数图象，如图①，日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系；如图②，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系式．（1）求y关于x和p关于x的函数关系式；（2）若日销售量不低于36千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售金额最高是第几天？【答案】见解析．【解析】解：（1）分两种情况：①当0≤x≤15时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k1x，∵直线y=k1x过点（15，45），∴15k1=45，解得k1=3，∴y=3x（0≤x≤15）；②当15＜x≤20时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k2x+b，∵点（15，45），（20，0）在y=k2x+b的图象上，∴15k2+b=45，20k2+b=0解得：k2=－9，b=180∴y=﹣9x+180（15＜x≤20）；∴y与x之间的函数关系式为：y=3015 91801520x xx x≤≤⎧⎨-+<≤⎩．①当0≤x＜10时，p=25，当10≤x≤20时，设销售单价p与销售时间x之间的函数解析式为：p=mx+n，∵点（10，25），（20，15）在p=mx+n的图象上，∴10m+n=25，20m+n=15，解得：m=－1，n=35，∴p=﹣x+35（10≤x≤20），∴p=25010351020xx x≤<⎧⎨-+≤≤⎩；（2）若日销售量不低于36千克，即y≥36．当0≤x≤15时，y=3x，3x≥36，解得：x≥12；当15＜x≤20时，y=﹣9x+180，﹣9x+180≥36，解得：x≤16，∴12≤x≤16，∴“最佳销售期”共有：16﹣12+1=5（天）；∵p=﹣x+35（10≤x≤20），k=﹣1＜0，∴p随x的增大而减小，∴当12≤x≤16时，x取12时，p有最大值，此时p=﹣12+35=23．∴此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售金额最高是第12天．5.（2018·焦作一模）某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器，购买2个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元；购买1个A品牌和2个B品牌的计算器共需124元．（1）求这两种品牌计算器的单价；（2）学校开学前夕，该商店举行促销活动，具体办法如下：购买A品牌计算器按原价的九折销售，购买B品牌计算器超出10个以上超出的部分按原价的八折销售．①设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式；②小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过10个，问购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）设A品牌计算器的单价为m元，B品牌计算器的单价为n元，由题意得：2m+n=122，m+2n=124，解得：m=40，n=42，即A品牌计算器的单价为40元，B品牌计算器的单价为42元．（2）①由题意：y1=0.9×40x=36x，当0＜x≤10时，y2=42x；当x＞10时，y2=42×10+42（x﹣10）×0.8=33.6x+84．∴y2=42010 33.68410x xx x≤≤⎧⎨+>⎩．②当购买数量超过10个时，y2=33.6x+84．（i）当y1＜y2时，36x＜33.6x+84，即x＜35，当10＜x＜35时，购买A品牌的计算器更合算；（ii）当y1=y2时，36x=33.6x+84，即x=35，∴当x=35时，购买两种品牌的计算器花费一样多；（iii）当y1＞y2时，36x＞33.6x+84，即x＞35．∴当x>35时，购买B品牌的计算器更合算．6.（2018·信阳一模）某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元．（1）求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？（2）学校准备购进这两种型号的跳绳共50根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计书最省钱的购买方案，并说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，根据题意，得：2x+y=56，x+2y=82，解得：x=10，y=36，即一根A型跳绳售价是10元，一根B型跳绳的售价是36元；（2）由m≤3（50﹣m），得：m≤37.5，∴0≤m≤37，且m为整数，设购进A型跳绳m根，总费用为W元，根据题意，得：W=10m+36（50﹣m）=﹣26m+1800，∵﹣26＜0，∴W随m的增大而减小，∴当m=37时，W最小=838，即当购买A型跳绳37根，B型跳绳13根时，最省钱．7.（2019·南阳毕业测试）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．（1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？（2）若购进A种树苗a棵，所需费用为W，求W与x的函数关系式；（3）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【答案】见解析.【解析】解：（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，由题意得：80x+60（17﹣x）＝1220，解得：x＝10，即购进A种树苗10棵，B种树苗7棵；（2）W与a的函数关系式：W＝80a+60（17﹣a）＝20a+1020；（3）由题意得：17－a<a，即a>8.5，∴8.5<a≤17，且a为整数，由（2）知，W＝20a+1020，W随a的增大而增大，∴a=9时，即购买9棵A种树苗，8棵B种树苗时，费用最少，W＝80×9+60×8＝1200，即购买9棵A种树苗，8棵B种树苗时，费用最少，需要1200元．8.（2019·开封二模）孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B 种树木1棵，共需380元．（1）求A种，B种树木每棵各多少元？（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．【答案】见解析．【解析】解：（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，依题意得：25600 3380x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：10080xy=⎧⎨=⎩，答：A种树每棵100元，B种树每棵80元；（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100﹣a）棵，有a≥3（100﹣a），解得：a≥75．设实际花费金额是y元，则：y＝0.9[100a+80（100﹣a）]＝18a+7200．∵18＞0，∴y随a的增大而增大，∴当a＝75时，y取最小值，即当a＝75时，y最小值＝18×75+7200＝8550（元）．答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为8550元．9.（2019·安阳一模）某校计划购进甲、乙两种规格的书架，经市场调查发现有线上和线下两种购买方式，具体情况如下表：（1）如果在线下购买甲、乙两种书架共30个，花费8 280元，求甲、乙两种书架各购买了多少个？（2）如果在线上购买甲、乙两种书架共30个，且购买乙种书架的数量不少于甲种书架的3倍，请求出花费最少的购买方案及花费．【答案】见解析.【解析】解：（1）设线下购买甲种书架x个，乙种书架y个，由题意得：30 2403008280x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：1218 xy=⎧⎨=⎩，即线下购买甲种书架12个，乙种书架18个.（2）设购买甲种书架a个，则购买乙种书架（30－a）个，总花费为w元，∵30－a≥3a，即a≤7.5（其中a为正整数），W=（210+20）a+（250+30）（30－a）=-50a+8400，∵-50<0，∴w随a的增大而减小，当a=7时，w最小，最小值为8050元，即当购买7个甲种书架，23个乙种书架时，总费用最低，最低为8050元.10.（2019·省实验一模）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/千克）506070销售量y（千克）1008060（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】见解析．【解析】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，由题意得：50100 6080k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：2200kb=-⎧⎨=⎩，y与x之间的函数表达式是：y＝﹣2x+200；（2）由题意得，W＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2（x﹣70）2+1800，（3）∵W＝﹣2（x﹣70）2+1800，40≤x≤80，∵﹣2<0，∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小，且当x＝70时，W取得最大值，此时W＝1800.11.（2019·叶县一模）小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：信息一：工人工作时间：每天上午8：00﹣12：00，下午14：00﹣18：00，每月工作25天；信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：生产甲产品数（件）生产乙产品数（件）所用时间（分钟）10103503020850信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50元，每生产一件乙种产品得2.80元．信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900元，请根据以上信息，解答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；（2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？【答案】见解析．【解析】解：（1）设生产一件甲种产品需x分钟，生产一件乙种产品需y分钟．由题意得：1010350 3020850x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：x =15，y =20，即生产一件甲产品需要15分钟，生产一件乙产品需要20分钟．（2）设生产甲种产品共用x 分钟，则生产乙种产品用（25×8×60﹣x ）=（12000－x ）分钟，收入为w 元，则生产甲种产品15x 件，生产乙种产品1200020x -件． ∴w ＝1.5×15x +2.8×1200020x-＝﹣0.04x +1680， ∵15x≥60，即：x ≥900， w ＝﹣0.04x +1680中，∵﹣0.04<0， ∴w 随x 的增大而减小，∴当x ＝900时，w 取得最大值，最大值为：1644元， 则小王该月收入最多是1644+1900＝3544元， 此时生产甲60件，乙555件，∴小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两种产品分别60件，555件．12.（2019·濮阳二模）“京东电器”准备购进A 、B 两种品牌台灯，其中A 每盏进价比B 每盏进价贵30元，A 售价120元，B 售价80元已知用1040元购进的A 数量与用650元购进B 的数量相同．（1）求A 、B 的进价；（2）超市打算购进A 、B 台灯共100盏，要求A 、B 的总利润不得少于3400元，不得多于3550元，问有多少种进货方案？（3）在（2）的条件下，该超市决定对A 台灯进行降价促销，A 台灯每盏降价m （8＜m ＜15），B 的售价不变，超市如何进货获利最大？【答案】见解析．【解析】解：（1）设A 品牌台灯进价为x 元/盏，则B 品牌台灯进价为（x ﹣30）元/盏， 由题意得：104065030x x =-， 解得：x =80，经检验x ＝80是原分式方程的解， 80﹣30＝50（元/盏），答：A 、B 两种品牌台灯的进价分别是 80 元/盏，50 元/盏（2）设超市购进 A 品牌台灯 a 盏，则购进 B 品牌台灯有（100﹣a ）盏， 根据题意得：3400≤（120﹣80）a +（80﹣50）（100﹣a ）≤3550 解得：40≤a ≤55．∵a为整数，55－40+1=16，∴该超市有16 种进货方案（3）设超市销售台灯所获总利润为w元，w＝（120﹣m﹣80）a+（80﹣50）（100﹣a）＝（10﹣m）a+3000∵8＜m＜15①当8＜m＜10 时，即10﹣m＞0，w随a的增大而增大，当a＝55 时，所获总利润w最大，此时进货方案为：A品牌台灯55 盏、B品牌台灯45 盏；②当m＝10 时，w＝3000；当A品牌台灯数量满足40≤a≤55时，利润均为3000元；③当10＜m＜15 时，即10﹣m＜0，w随a的增大而减小，当a＝40 时，所获总利润w最大，此时进货方案为：A品牌台灯40 盏、B品牌台灯60 盏.13.（2019·商丘二模）为落实“精准扶贫”，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜，若种植20亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入36万元；若种植30亩A种蔬菜和20亩B种蔬菜，共需投入34万元．（1）种植A，B两种蔬菜，每亩各需投入多少万元？（2）经测算，种植A种蔬菜每亩可获利0.8万元，种植B种蔬菜每亩可获利1.2万元，村里把100万元扶贫款全部用来种植这两种蔬菜，总获利w万元．设种植A种蔬菜m亩，求w关于m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利．【答案】见解析．【解析】解：（1）设种植A，B两种蔬菜，每亩各需分别投入x万元，y万元，由题意得：203036 302034 x yx y+=⎧⎨+=⎩解得：0.60.8xy=⎧⎨=⎩，即种植A，B两种蔬菜，每亩各需分别投入0.6万元，0.8万元.（2）由题意得：w＝0.8m+1.2×1000.60.8m-＝﹣0.1m+150∵1000.6m-≥0，∴0≤m≤5003，（3）∵m≥2×1000.60.8m-解得：m≥100在w＝﹣0.1m+150中，∵﹣0.1＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝100时，w取最大值为：140万元，∴1000.60.8m-＝50即当种A蔬菜100亩，B种蔬菜50亩时，获得最大利润为140万元．14.（2019·开封模拟）2018年4月8日﹣11日，博鳌亚洲论坛2018年年会在海南省博鳌镇召开．本届博鳌亚洲论坛的主题为“开放创新的亚洲，繁荣发展的世界”．围绕这一主题，年会设置了“全球化与一带一路”“开放的亚洲”“创新”“改革再出发”四大板块，展开60多场正式讨论．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？【答案】见解析.【解析】解：（1）设甲种、乙种商品的销售单价分别是x元，y元，由题意，得：23 321500x yx y=⎧⎨-=⎩解得：x=900，y=600，．答：甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的单价为600元（2）设销售甲种商品a万件，则销售乙种商品（8﹣a）万件，由题意，得：900a+600（8﹣a）≥5400解得：a≥2，即至少销售甲种商品2万件．15.（2019·开封二模）某手机店销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元，销售相同数量的A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元．（1）求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元？（2）该商店计划一次购进两种型号的手机共110部，其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍．设购进B型手机n部，这110部手机的销售总利润为y元．①求y关于n的函数关系式；②该手机店购进A型、B型手机各多少部，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜100）元，且限定商店最多购进B型手机80台．若商店保持两种手机的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这110部手机销售总利润最大的进货方案．【答案】见解析．【解析】解：（1）设每部A型手机的销售利润为x元，则每部B型手机的销售利润为（x－50）元，根据题意，得：3000200050x x=-，解得：x=150，经检验：x=50是原方程的解，150－50=100，答：每部A型手机的销售利润为150元，每部B型手机的销售利润为100元；（2）①设购进B型手机n部，则购进A型手机（110﹣n）部，则y＝150（110﹣n）+100n＝﹣50n+16500，∵110﹣n≤2n，∴3623≤n≤110且n为整数，∴y关于n的函数关系式为y＝﹣50n+16500 （3623≤n≤110且n为整数）；②∵﹣50＜0，∴y随n的增大而减小，∴当n＝37时，y取得最大值，最大值为14650元，答：购进A型手机73部、B型手机37部时，销售总利润最大；（3）y＝150（110﹣n）+（100+m）n＝（m﹣50）n+16500，其中，3623≤n≤80，且n为整数），①当30＜m＜50时，y随n的增大而减小，当n＝37时，y取得最大值，即购进A型手机73部、B型手机37部时销售总利润最大；②当m＝50时，m﹣50＝0，y＝16500，n取3623≤n≤80的整数时，获得最大利润；③当50＜m＜100时，y随n的增大而增大，∴当n＝80时，y取得最大值，即购进A型手机30部、B型手机80部时销售总利润最大．16.（2019·西华县一模）某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1600元．（1）求两种球拍每副各多少元？（2）若学校购买两种球拍共40副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．【答案】见解析．【解析】解：（1）设直拍球拍每副x元，横拍球每副y元，由题意得，201520359000 10201052051600x yy x++⨯=⎧⎨+⨯=+⨯+⎩，解得：220260xy=⎧⎨=⎩，答：直拍球拍每副220元，横拍球每副260元；（2）设购买直拍球拍m副，则购买横拍球（40﹣m）副，所需的费用为w元，由题意得：m≤3（40﹣m），即m≤30，则w=（220+20）m+（260+20）（40﹣m）=﹣40m+11200，∵﹣40＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m=30时，w取最小值，最小值为10000（元）．答：购买直拍球拍30副，则购买横拍球10副时，费用最少为10000元．17.（2019·郑州联考）某学校计划购买排球、篮球，已知购买1个排球与1个篮球的总费用为180元；3个排球与2个篮球的总费用为420元．。

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15 3
＜tan
＜2
；（4）2．
47．（1）略；（2）略；（3）不是． 48．（1） 2 5 ； 2 5 ； 2 13 ， 2 7 ；（2） a2 b2 5c2 ；（3）4．
49．（1）
12 5
；（2）略；（3）略；（4）90°．
50．（1）略；（2）
DE

5 6
；（3）
2
2 2．
第七讲 函数之几何性质综合——“另辟蹊径”
3
3
35
第十讲 函数之三角形存在性问题——“代几综合”
72．（1） y x2 2x 3 ，C 点坐标为 0 ，3 ；（2） F 2 ，1 ；
（3）① t 1；②当 t 3 或 6 3 2 秒时， △BOQ 为等腰三角形．
4
4
73．（1） y 1 x2 1 x 2 ；（2） P 1 5 ，1 或 P 1 5 ，1 ； 42
6．（1） GH EH ，取 PF，PC 中点 M、N，证明 △GMH≌△ENH 即可； （2）成立，证法同上．
第二讲 垂直结构——“改斜归正”
7．（1）
3 ；（2）
3 ；（3）不变，恒为
3 2
．
8．（1）证 ABF COE ， BAF C ，即证；（2）2；（3）n．
9．（1） EF EG ；（2） EF 1 ；（3） EF 1 ．
（2）① S1 的最大值是 4 ；②点 D 的横坐标为 2 或 29 ．
S2
5
11
69．（1） y x2 6x 5 ；
（2）① P 点的横坐标为 4 或 5 41 或 5 41 ；
2
2
②点
M
的坐标为
13 6
，
17 6

或

23 6
，
7 6

EG n
EG mn
10．（1）过 N 向 BC 作垂线即证；（2） AN n ；（3） AN m2n ．
CN
CN
1
11．（1）①证 △ADQ≌△BAE 即可；②1；（2）
GF AE

k
；（3）
95 5
．
12．问题解决：
AM BN

1 5
；
提示：在直角三角形 CNE 中利用勾股定理求出各边比，连接 BE，过 M 作 BC 垂线构造全等，简单 计算即得；
1 3
t
2

1
t
2

4t

6
3
(0 t 3) (3 t 6)
第九讲 函数之角度存在性问题——“矩形大法”
66．（1） y x2 7 x 2 ； 2
（2）当 m 为值为 1，2 或 3 17 时，以 O 、 C 、 P 、 F 为顶点的四边形是平行四边形； 2
（3）符合条件的点
38．（1）EF=2；（2）①略；② 4≤BG≤12 ；（3）8．
39．（1）DE=DF；（2）DE=DF；（3）当
x
1 时，
ymin

33 4
．
40．（1）①50°；②CE∥AB；（2）CE∥AB；（3）3． 41．（1）5；（2）18；（3） (3 21 9) km．
42．（1）①略；（2）①AD；②2；（3） 26
（3）
S


3 2

t

8 2 3

8 3
，S
最大值为
8 3
．
7
（4）Q
2 2
3 ，0
或Q
2 2
3 ，0
或
Q

2

23 3
，0

或
Q

2

23 3
，0

．
74．（1） y x2 4x 3 ；（2） S 27 ；（3） 3+ 5 ．

；
（3） PN 2 m2 2 2 m ，当 m 2 时， PN 的最大值为 2 2 ．
6
3
3
59．（1） y x2 2x 3 ；
（2）点
P
的坐标为


9 4
，
39 16
或


15 4
，57 16

；
（3） DM DN 8，为定值．
57．（1） y 1 x2 2x ； 3
（2）① △NOB 是等腰直角三角形， B 3 3 2 ， 3 ；②略．
第八讲 函数之周长面积问题——“纵横转换”
58．（1） y 1 x2 1 x 4 ； 33
（2）
Q(1
，3)
或

5
2 2
，8 5 2
2
与
H，再证
△HAB≌△ECB
；（3）1，证法同上．
17．（1）连接 EP，记 BE 交 DP 于 F，证 △ADE≌△PFE 即得；
（2） AE
3 2
AP
；（3）
NE

2
5．
18．（1）连接 AC，证一组旋转相似即可；（2）
3DQ

BP

2CD
；（3）
55 13
．
19．（1）略； （2） CD 2AD BD ，截长或补短构造旋转型全等， 2AD 3CD BD ； （3） a AD c CD b BD ．
35．（1）180 2 ；（2） EB EF ；（3） n m 1．
36．（1）
AD

5 4
BD
；（2）可考虑三等角结构证明；（3）
7 20
．
3
第五讲 几何最值、路经长问题——“动静结合”
37．（1）CB 的延长线上； a b ；（2）①CD；②4；（3） AMmax 2 2 3 ，P 2 2 ， 2 ．
51． k 16 ．
52． y 3 x 52 25 3 ．
4
4
53． n 27 ． 8
4
54． △ABC 面积最大值是 8．
55．（1） y 1 x2 3 x 4 ， A2 ，0 ， B8 ，0 ；
42
（2）当点 P4 ，6 时，四边形 PBOC 的面积最大为 32；
类比归纳： AM
2；
AM

9
；
AM
n 12

；
BN 5 BN 17 BN n2 1
联系拓广：
AM BN

m2n2 2n 1 ． m2n2 1
13．（1）相似即证； （2） B EGC 180 ，通过把△AED 补形，或是三角形 CFD 切去一部分，构造相似即可；
（3） 25 ． 24
．
70．（1） y x2 2x 3 ，顶点 C 的坐标为 1 ，4 ；（2）点 D 的坐标为 (19 ，0) 或 (17 ，0) ；
（3） m n 的最大值为 81 ． 32
71．（1） y 4 x 4 ；（2） S 4 t2 4t ；（3）直线 PM 的解析式为 y 8 x 4 ．
（2）① 1
3 ，0 ， 1
3
，0
，②

1
，
4
，

3
2
17
，
17 2
1
．
63．（1） y 3 (x 1)2 3 ； 16
（2）点
E
的坐标为

5 2
，15 8

；
（3） G
的坐标为

0
，45 16

或

2
．（2）仍然成立．
28．（1）略；（2） 5 ；（3） 7 1．
29．（1）
2
；（2）
5 2
；（3）4．
30．（1）可利用中位线证明；（2） PP1 PP2 PP3 ． 31．（1）全等；（2）① AE DF ；② DF kAE ．
32．（1）① 1 ；② 1 ；（2）4 或15 60．（1） b
5 6
，
B

3 2
，0

；（2）
P
的横坐标为
2

130 或 2 4
130 ；（3） CBA 2CAB ． 4
61．（1） y 1 x2 8 ；（2） PD PF 2 ；（3）11 个好点， P4 ，6 ．
8
62．（1） y x2 2x 3 ；
（2） B D 180 ；（3） BD2 CE2 DE2 ． 第四讲 相似结构——“特殊一般” 25．（1）75°， 4 3 ；（2） CD 4 13 ．
26．（1）
AB

3EB
，
CG

2EH
，
3 2
；（2）
m 2
；（3）ab．
27．（1）①=；
2
；②=；1；③=； 2sin
36 ． 3
43．（1）略；（2）①
DP PQ

3 5
；②
2
34 3
．
44．（1） 4 3 ；（2）16；（3） 40 3 24 ． 第六讲 新定义问题——“活学活用”
45．（1）①
1 2
；②4；（2）
AD

1 2
BC
；（3）
39 ．
46．（1）略；（2）略；（3）①
a s

3 4
或
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