1.质点的角动量

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由此例可见,把质点从较远的距离移到 较近的距离过程中,若维持角动量守恒, 必须对质点做功。 星系的形状可能与此有关。 星系(银河系)的早期可能是具有动量 矩的大质量气团,在引力作用下收缩。轴 向的收缩不受什么阻碍,很快塌缩。径向 却不那么容易,因而像银河系这样的星系 呈扁平状。
银河系
仙女座星系 (220万光年)
r
证明: 设在 t 时刻,行星位于A 点,
A
A υ θ
经dt 时间运动到 A点,
在此时间间隔内,
行星转过角位移 d ,
1 2 扫过的面积为 dS r d 2
因此面积的变化率
L 1 dS 1 2 d 1 2 2 r mr r 2m dt 2 dt 2m 2
有心力作用,角动量 L 守恒,故 面积变化率恒定。
L
x
z
p
L rmυ sinθ mr ω
2
o
r
m
y
*质点作匀速圆周运动时,角动量守恒
5)在直角坐标系中,角动量的表达式为:
Lr p x px
i
j
k
y py
z Lx i Ly j Lz k
pz
Lx ( ypz zp y ) Ly ( zpx xpz ) Lz ( xp y yp x )
v
r o r0
2
m
mv0 r0 mr0 0
mvr mr
2
角动量守恒: 所以: 或:
r0 v v0 r
mr mr0 0 2 r0 2 0 r
2 2
计算一下这个力的的功,可用动能定理
1 1 1 2 r0 2 2 2 W Ek mv mv0 mv0 [( ) 1] 0 2 r 2 2
dp dL Lr p F, ? dt dt dL d dp dr ( r p) r p dt dt dt dt dr dL dp υ, υ p 0 r r F dt dt dt
二、力矩
定义:M r F
为作用在质点上的 力F 对参考点O的力矩
M
O
r
p
F
θ
大小: M r F r sin θF r F
力臂:
r
r
是作用点P相对于固定点O的位矢。
r r sinθ
力与力臂的乘积。
方向:右手螺旋定则判定
M r F
单位:N•m(不能写成功的单位J)
在直角坐标系中,力矩可表示为:
M r F x Fx
i
j y Fy
k z Fz
对轴的力矩
M x yFz zFy M y zFx xFz M xF yF y x z
说明: 1)由定义可知,同一个力对于不同的参考点有 不同的力矩,因此讲到力矩时必须指明是相对 于哪一点而言的. 2)对轴的力矩。 力对O点的力矩 M 在通过O点的任一轴线如z 轴上的分量,叫做力对轴线z的力矩,用 M z表 示,这就是中学物理课中给出的力矩的定义。 正如上一节中对于角动量的讨论一样,力F对 于轴线z上任一点的力矩 M 在该轴线上的分量 的数值 M z 是与所选参考点无关的。
5.2 刚体的 运动与描述 质点的运动只代表物体的平动,物体实 际上是有形状、大小的,它可以平动、转动, 甚至更复杂的运动。因此,对于机械运动的 研究,只限于质点的情况是不够的。
刚体(rigid body)是一种特殊的质点系, 无论在多大外力作用下,系统内任意两质点 间的距离始终保持不变。即物体的形状、大 小都不变的固体称为刚体。
刚体考虑了物体的形状和大小,但不考虑它 的形变,刚体同质点一样,也是一个理想化模型。
当质点作一般平面运动时,角动量为:
Lr p x px
i
j y py
k 0 0
( xpy yp x )k
对轴的角动量 质点对于z轴的角动量即等于Lz=mr2ω,ω是质 点绕z轴的角速度,mr2 称为质点绕z轴转动时的 转动惯量.可见,质点绕轴转动时,它(对于 该轴线)的角动量等于质点的转动惯量与角速 度的乘积.
行星在太阳的引力作用下沿椭圆轨道运动,由 于引力的方向在任何时刻总与行星对于太阳的位矢 反平行,因此行星受到的引力对太阳的力矩为零。
所以,行星在运行过程中,它对太阳的角动量 保持不变。 角动量的方向不变, 表明位矢和速度所决定的 平面的方位不变,行星就 在这个平面内运动,它的 轨道是二维的。
L
0


对O点的合力矩为零,角动 量守恒。
2
以C为参考点
重力矩:
M l mg
M lmg sinθ
张力矩
M l T 0
夹角: π
对C点的合外力矩不为零, 角动量不守恒。
例题 用绳系一小球使它在光滑的水平面上做 匀速率圆周运动,其半径为 r0 ,角速度为ω0 。 现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐 渐减小。求当半径缩为 r 时的角速度。 解: 以小孔 O 为原点 绳对小球的拉力为有 心力,其力矩为零。 则小球对o 点的角动量守恒。 初态: 末态:
行星对椭圆轨道的另一焦点角动量是否守恒?
远地点 v2 r2
o
r2
在低轨道上运行的地球卫星由于大气摩 擦阻力对地心的矩不为零,其对地心的角动 量不守恒。在此力矩的作用下,卫星的角动 量值不断减小,最后陨落地面。
角动量守恒是自然界的普遍规律
角动量守恒与动量守恒及能量守恒定律并称 为三大守恒定律,这三大守恒定律的成立有 着深刻的内在原因。现代物理学已确认,这 些守恒定律是和自然界的更为普遍的属性— —时空对称性相联系的。
O
r

m
θ
其指向按右手螺旋定则判定,即四指由 r
经小于 180的角转到 p 的方向时,大拇指 的指向。
说明: 1)角动量是描述转动状态的物理量; 2)质点的角动量又称为动量矩;
3)角动量与位矢有关,说到角动量时必须指明 是对哪一参照点而言; 4)作圆周运动质点的角动量。 质点以角速度 ω 作半径 为 r 的圆周运动,相对圆心 的角动量大小为:
3)有心力问题
如果质点在运动中受到的力始终指向某个固 定的中心,这种力叫做有心力,该固定中心称 为力心.有心力相对于力心的力矩恒为零。所 以,在有心力作用下质点对力心的角动量都是 守恒的。
例如,行星在太阳引力下绕太阳的运动就是在有心力作 用下的运动,日心即力心;地球卫星在地球引力作用下 运动,地心即力心;电子在原子核静电力作用下运动, 力心即原子核.在这些情况下,我们可得出结论:行星 在绕太阳的运动中,对太阳的角动量守恒;人造地球卫 星绕地球运行时,它对地心的角动量守恒;电子绕原子 核运动时,电子对原子核的角动量守恒。
质点角动量的增量等于作用于质点上的冲量矩。 注意: 定理中的力矩和角动量都必须是相对 于同一参考点而言的。
2.质点的角动量守恒定律
law of conservetion of Angular momentum
Βιβλιοθήκη Baidu
如果:M 0, 则: L 恒矢量
如果对于某一固定点,质点所受的合外力 矩为零,则质点对该固定点的角动量矢量保持 不变。 说明: 1)角动量守恒定律是物理学中最基本的定律之 一,和动量守恒定律一样,它不仅适用于宏观 物体的运动,而且对于牛顿第二定律不能适用 的微观粒子的运动,它也适用.
例题:质量为 的圆锥摆摆球,以速率 m υ运动时, 对O参考点的角动量是否守 恒?对C参考点的 角动量是否守恒?
l
T
c
o
m
mg
解: 摆球受力如图 1 以O为参考点 重力矩 M R mg
M Rmg 逆时针 张力矩 M RT
υ
R
M RT sin 90 θ RT cos θ Rmg 顺时针
6)角动量的单位为: kg ∙ m2/s
7)角动量的概念,不但能描述经典力学中的 运动状态,在近代物理理论中仍然是表征微观 运动状态的重要物理量,
例如,电子绕核运动,具有轨道角动量,电 子本身还有自旋运动,具有自旋角动量等等。 原子、分子和原子核系统的基本性质之一, 是它们的角动量仅具有一定的不连续的量值。 这叫做角动量的量子化。因此,在这种系统的 性质的描述中,角动量起着主要的作用。
2)质点的角动量守恒的条件是合力矩为零。 一种是合力为零;例如:质点作匀速直线运动 另一种当力F不为零时,力矩为零有两种情况。 一是力的作用点就在参考点O,此时位置矢量 r=0;另一种是沿力的方向的延长线通过参考 点O,此时 sin θ 0 。 例如:质点作匀速圆周运动就是这种情况。质 点作匀速圆周运动时,作用于质点的合力是指 向圆心的所谓有心力,故其力矩为零,所以质 点作匀速圆周运动时,它对圆心的角动量是守 恒的。
力矩的时间累积效应
冲量、动量、动量定理.
冲量矩、角动量、角动量定理.
教学基本要求
一 理解质点对固定点的角动量、力
矩的概念。

理解角动量守恒定律及适应条件,
并能用该定律分析计算有关的问题。
5.1 质点的角动量定理 一、质点的角动量 (Angular momentum) 描述转动状态的物理量 质量为 m 的质点以速度 υ 在空间运动,某时刻相对原 点O的位矢为 r ,质点相对 于原点的角动量为:
应用角动量守恒定律可以证明 开普勒第二定律
行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积
动画演示表明,行星在一段时 间内从 A 点运动到B点,位矢扫过 的面积是ds1;在另一段相同的时 间间隔内从 C点运动到 D点,这 时位矢扫过的面积是 ds2 。开普 勒观测的结果是 ds1=ds2。 16世纪末至17世纪初,开普勒仔细地分析整理了 前人记录下的大量精确的有关行星运动的资料,总 结出行星运动的规律、即开普勒三定律。 只是开普勒尚不理解,他所发现的三大定律已传达 了重大的“天机”。由于角动量正比于位矢的掠面 速度,因此开普勒第二定律意味着角动量守恒。
5.1 质点的角动量 与角动量守恒
角动量概念的建立,和转动有密切的关系。
在自然界中经常会遇到质点或质点系围绕着 某一个确定点或轴转动的情况。例如,行星绕 太阳的公转,人造卫星绕地球转动,电子绕原 子核转动以及刚体的转动等等。
在这些问题中,动量及机械能的有关规律并 不适用,这时若采用角动量等概念讨论问题就 比较方便更好地描述物体运动状态与规律。 角动量与动量一样,是一个重要概念。 力的时间累积效应
dL 将M 两边同时乘以dt,得: Mdt dL dt
如果力矩作用物体有限时间,就可研究得 到力矩对时间的积累效应。
角动量定理 t L 积分: Mdt dL L L 0 积分形式 t0 L0

t
t0
Mdt 合力矩在 t0 到 t 时间内的冲量矩。
例题 一颗地球卫星,近地点181km,速率 8.0km/s,远地点327km,求该点的卫星速率。 解: 角动量守恒
r1 v1 v2
且 近地点 v1 r1

mv2 r2 mv1r1 r1 6370 181 v 2 v1 8.0 7.83km/s r2 6370 327
dL M dt
三 质点的角动量定理
作用在质点上的合力对某参 考点 的力矩 ,等于质点对同一参 考点 的角动量随时间的变化率.
把质点角动量定理在直角坐标系中表达,可得 到三个分量方程:
dLy dLx dLz Mx , My , Mz dt dt dt
即质点对轴的角动量随时间的变化率等于作 用于质点的合力对同一轴的力矩,称做质点对 轴的角动量定理(动量矩定理,冲量距定理) .
L
x
z
r
υ
θ
m
o
y
L r p r mυ 大小: L rmυ sinθ
L
υ
θ
r
方向:服从右手螺旋定则
θ 是位矢 r 和动量 mυ 之间的夹角。
L 方向的判定:右手螺旋定则
Lr p
L
L 垂直于 r 和 p 所决定的平面,
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