神奇的函数——囧函数
“囧”色彩意义论文

“囧”色彩意义探析摘要:网络用词“囧”以越来越高的频率出现在网民的视野中,对“囧”进行色彩意义的分析显得十分必要。
文章阐述了“囧”色彩意义产生的原因、其色彩意义与语境的关系、及“囧”色彩意义的功用,对此,我们应该重视对网络用语色彩意义的分析,了解色彩意义对网络用语的作用。
关键词:“囧”;色彩意义;词汇中图分类号:h13文献标识码:a文章编号:1005-5312(2011)30-0097-01一、引言随着网络的发展,网络用词也逐渐增多。
最近几年,“囧”作为网络用词,以很高的频率显现在网民的眼球当中。
“囧”最早出现于甲骨文中,音为jiong,上声,《广韵》:俱永切,上梗,见,阳部。
《汉语大辞典》释义为:窗透明,引申为明亮。
《文选·江淹》:“囧囧秋月明,冯轩詠尧老。
”李善注:“囧,大明也。
”囧,一本作“冏”。
关于“囧”的本义,有窗户说、仓廪说、地名说、祭祀说、牛耳说等多种说法,其中大家比较认可的是表窗户,引申为光明之意。
现在网络上广泛流行的“囧”,其意义与本义并无多大关联,而是发展为表示尴尬、窘迫、压抑、无奈等一系列与此相关的意义。
仔细观察“囧”的形状,结合网民们在使用时赋予它的意义,我们通过联想可把“囧”比喻为一副伤心沮丧的脸,由于它的外观和人的这种表情很相似,“八”似眉眼,“口”似一张嘴。
为什么网民会选择“囧”,并将其赋予一种新的意义,而不是其它词呢?我们可以从词语色彩意义的角度出发来探讨这一问题。
二、“囧”色彩意义的产生在现代汉语词汇学中,词语的色彩意义是附着在表示概念的理性意义之上的,它和词汇意义、语法意义一起共同构成了词义的整体内容。
虽然色彩意义在词义这一整体中是表示事物的次要方面,起次要地位的意义成分,但我们在分析词义时则不能将其忽视。
色彩意义不仅能够使词语的意义多彩缤纷,显现出细微的差别,更能丰富汉语词汇复杂的表意功能。
杨振兰先生认为,色彩意义在词义系统中的地位、所承担的交际职能虽然不能与词汇意义相提并论,但是如果忽视这种在形成机制、性质特点、功能价值等方面完全不同于词汇意义的独立的意义类型是不应该的。
Matlab基础--郑州大学

(5)在线帮助页:命令doc后加关键字,MATLAB会自动定位到相 关页码,在线帮助页包括所有的字体、图形和图像都可以直接打印。
Matlab预定义变量
ans eps exp Inf或inf i或j pi NaN或nan nargin nargout realmax realmin lasterr lastwarning computer version 计算结果的默认变量名 浮点运算相对精度(计算机最小数) 自然对数的底数e 无穷大值,如1/0 虚数单位,i=j=sqrt(-1) 圆周率 不定量,如0/0 函数输入变量数目 函数输出变量数目 最大可用正实数 最小可用正实数 最近的错误信息 最近的错误警告信息 计算机类型(PCWIN64) Matlab版本(7.13.0.564 (R2011b) )
数值显示格式
默认以短格式显示,但单数值的实际存储和运算精度都是 以双精度进行的。 如:输入a=1;b=2;a/b则答案为0.500。不必担心C中会出 现0的情况。输入whos可查看a,b的数据类型。
表 Matlab中常用数值显示格式:
格式指令 format short format long format short e format long e format hex
^
矩阵(Matrix)乘方,(?与按照矩阵乘法一次次算的结果相同)①当x是矩阵,p是标 量时,如有[V,D]=eig(x),则有x^p=V*D.^p/V②当x是标量,p是矩阵时,x^p将根据p的特 mpower(A,B) 征值和特征向量计算标量x的矩阵幂 矩阵转置
‘
Matlab标点符号
名称 空格 逗号 点号 分号 冒号 注释 , . ; : % 标点 功能 不同输入量之间的分隔符,数组元素分隔符 指令分隔符,显示结果,输入量之间的分割符,数组元素分隔符 数值中的小数点 不同指令间的分隔符,不显示结果,数组行间分隔符 用于生成一维数组,下标引用时,表示维上的全部 它后面的内容为非执行的注释内容
比狄利克雷函数更加诡异的函数

比狄利克雷函数更加诡异的函数在上一篇文章里,我们谈到了狄利克雷函数,并指出了它所具有的三个诡异的性质:处处不连续,处处不可导,在任意闭区间上不可积。
文章的链接如下:诡异的狄利克雷函数我们还指出,狄利克雷函数其实是一类最简单的病态函数,这就意味着存在比狄利克雷函数更加复杂,更加诡异的函数,本篇文章就带着读者开一开脑洞,自己来想办法构造出一些更诡异的函数来。
1.只在一点连续的函数只在一点不连续的函数非常好构造,只需要把一整个曲线在某一点掰开就可以了,而狄利克雷函数则是在所有点都不连续的。
那么如何来构造只在一点处连续的函数呢?我们可以把狄利克雷函数稍微改造一下,变成下面这个样子:为了让大家直观地理解,我们近似地把它的图像画出来千万要注意!这只是它近似的图像,而真正的图像我们是不可能画出来的,因为有理数和无理数都是密密麻麻地分布在实数轴上的。
这个函数只在x=0 处连续,在其它点均不连续,我们来说明这一点。
在x不等于0的地方,如果是有理点,则函数的取值也不为0,但是在它附近任意小的邻域内,都包含无数多个无理点,在那上面函数取值一定是0,函数趋近于这一点时是无穷震荡形式的,因而极限不存在,也就不可能连续。
同样如果x在无理点出,那么这一点的函数取值为0,但是在它的任意领域之内都包含无数多个有理点,那些点处函数取值不为0,因此它也是一个无穷震荡形式的,故而极限也不存在,亦不连续。
那么它为什么在x=0 处就连续了呢?我们还是根据连续性的定义,即它在这一点的函数值等于极限值来证明。
首先有f(0)=0,然后我们利用夹逼定理来求函数在这一点的极限值:所以我们得到了函数值等于极限值,于是函数在0这一点连续。
上面这个例子只是让大家初步领略了一下病态函数的威力,以此为基础,还可以构造出更多的病态函数,具有更加诡异的性质。
2.只在一点处可导的函数我们把上面的函数再稍加改造一下,得到如下函数:我们还是先来近似地画一下它的函数图像:这个函数的性质就是只在x=0 处可导。
黄冈市重点中学2022年高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

f
log
2
1 3
f
log2 3 ,
再判断 log2
3 , 21.1 和
1 2
的大小关系,根据单调性比较函数值的大小,即得结果.
【详解】偶函数 y f (x) 的图象关于 y 轴对称,由 y f (x) 在区间 (, 0) 内单调递增可知,y f (x) 在区间 (0, )
内单调递减.
log2
1 x 1 与
函数 y loga x 在同一坐标系内的图象,由图象分析可得结果.
【详解】令 u x2 x 1 ,则函数 y loga u a 0, a 1 有最小值
∵
u
x
1 2
2
3 4
3 4
,
∴当函数
y
log a
u
是增函数时,
y
log a
u
在
u
3 4
,
上有最小值,
∴当函数
y
log a
f
log
2
1 3
,
b
f
21.1
,c
f
1 2
,则
a,
b,
c
的大
小关系为( )
A. a b c
C. b a c
B. a c b D. b c a
4.在平行四边形 ABCD中, AC (1, 2), BD (3, 2) ,则 AB BC ( )
A. 4
B. 2
C.2
D.4
5.已知函数 f x x5 ax3 bx 8 ,且 f 2 10 ,则 f 2
4
4
故选: B
5、A
【解析】 f 2 10 ,25 a 23 b2 8 10 ,
神奇的Gamma函数 (上)

神奇的Gamma函数 (上)rickjin关键词:特殊函数, 欧拉G a m m a函数诞生记学高等数学的时候,我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数Γ(x)=∫∞0t x−1e−t dt通过分部积分的方法,可以推导出这个函数有如下的递归性质Γ(x+1)=xΓ(x)于是很容易证明,Γ(x)函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓,具有如下性质Γ(n)=(n−1)!学习了Gamma 函数之后,多年以来我一直有两个疑问:∙ 1.这个长得这么怪异的一个函数,数学家是如何找到的;∙ 2.为何定义Γ函数的时候,不使得这个函数的定义满足Γ(n)=n!而是Γ(n)=(n−1)!最近翻了一些资料,发现有不少文献资料介绍Gamma 函数发现的历史,要说清楚它需要一定的数学推导,这儿只是简要的说一些主线。
1728年,哥德巴赫在考虑数列插值的问题,通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合,例如数列1,4,9,16,⋯可以用通项公式n2自然的表达,即便n为实数的时候,这个通项公式也是良好定义的。
直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x2通过所有的整数点(n,n2),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。
一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,⋯,我们可以计算2!,3!, 是否可以计算 2.5!呢?我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上,确实可以看到,容易画出一条通过这些点的平滑曲线。
但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题,于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利,由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块,他也因此得知了这个问题。
而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题,由此导致了Γ函数的诞生,当时欧拉只有22岁。
事实上首先解决n!的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利,他发现,如果m,n都是正整数,如果m→∞,有1⋅2⋅3⋯m(1+n)(2+n)⋯(m−1+n)(m+n2)n−1→n!于是用这个无穷乘积的方式可以把n!的定义延拓到实数集合。
高考数学函数图像与零点常考题型汇总

真命题是( )
A. q1 , q3 B. q2 , q3
C. q1 , q4
D. q2 , q4
15.(2017 全国Ⅲ)已知函数 f ( x) x2 2x a(ex1 e ) x1 有唯一零点,则
a ( )
A. 1 2
B. 1
C. 1
D. 1
3
2
题型二、不会画,选择题
16.(2017
全国Ⅲ)函数
1
高考数学函数图像与零点常考题型汇总
点个数为__________. 5.已知函数 y | x | 的图象与函数 y kx 的图象恰有两个交点,则实数 k
x 的取值范围是_____________. 6.函数 y e|ln x| | x | 的图象大致是
7.已知定义在区间 ,上的函数 y f (x) 的图像如图所示,则 y f ( x) 的图
________________.
12.设函数 f (x) | x 1| | x a |的图象关于直线 x 1对称,则 a 的值为
()
A. 3
B. 1
C. 1
D. 1
3
高考数学函数图像与零点常考题型汇总
13.已 知 函 数 f (x) 是 定 义 在 (,) 上 的 奇 偶 性 , 且 当 x 0 时, f (x) x a x a a ,若 x R , f (x 1) f (x) ,则实数 a 的取
(2)若 f (x) 有两个零点,则 a 的取值范围为_____________.
8. (2014 湖南)已知函数 f (x) x ex ( x )与 g(x) x ln(x a) 的图象
在存在关于 y 轴对称点,则 a 的取值范围是
7
高考数学函数图像与零点常考题型汇总
(完整)2019-2020年高考数学专题练习——集合与逻辑(一)(含解析)

2019-2020年高考数学专题练习——集合与逻辑(一)一、选择题1.已知集合{}2320A x x x =-+≥,(){}321B x log x +<,则A B =( ) A. {}21x x -<< B.{} 12x x x ≤≥或 C.{} 1x x < D.∅2.集合{}2log 2A x Z x =∈≤的真子集个数为( ) A .7 B .8 C .15 D .163.若复数z =(x 2-4)+(x +3)i (x ∈R ),则“z 是纯虚数”是“x =2”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.设有下面四个命题:1P :若z 满足z C ∈,则 z z R ⋅∈;2P :若虚数(),a bi a R b R +∈∈是方程32 1 0x x x +++=的根,则a bi -也是方程的根: 3P :已知复数12,z z 则12z z =的充要条件是12z z R ∈: 4P ;若复数12z z >,则12,z z R ∈.其中真命题的个数为( )A .1B .2C .3D .45. “221a b +=”是“sin cos 1a b θθ+≤恒成立”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知集合{}{}2320,230A x x x B x x =-+<=->,则R A C B ⋂= ( )A .31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .31,2⎛⎤⎥⎝⎦D .3,22⎛⎫⎪⎝⎭7.设集合2{|60,}A x x x x Z =--<∈,{|,,}B z z x y x A y A ==-∈∈,则A ∩B =( ) A .{0,1} B .{0,1,2} C .{0,1,2,3} D .{-1,0,1,2}8.已知p :x R ∀∈,220x x a ++>;q :28a <.若“p q ∧”是真命题,则实数a 的取值范围是( )A .(1,+∞)B .(-∞,3)C .(1,3)D .(-∞,1)∪(3,+∞)9.设R θ∈,则“66ππθ-<”是“3sin 2θ<”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件10.设集合{}2|670A x x x =--<,{}|B x x a =≥,现有下面四个命题: p 1:a R ∃∈,A B =∅;p 2:若0a =,则(7,)A B =-+∞; p 3:若(,2)R C B =-∞,则a A ∈;p 4:若1a ≤-,则A B ⊆. 其中所有的真命题为( ) A .p 1,p 4 B .p 1,p 3,p 4 C .p 2,p 3 D .p 1,p 2,p 411.已知命题P :存在n R ∈,使得223()n nf x nx-=是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增; 命题q :“2,23x R x x ∃∈+>”的否定是“2,23x R x x ∀∈+<”.则下列命题为真命题的是 A .p q ∧ B .p q ⌝∧ C .p q ∧⌝ D .p q ⌝∧⌝12.已知集合M ={x |22194x y +=},N ={y|132x y+=},则M ∩N =A .∅B .{(3,0),(2,0)}C .{3,2}D .[-3,3]13.设集合{}{}m B m A 2,2,42==,,若φ≠⋂B A ,则m 的取值可能是( ) A.1 B.2 C.3 D.214.下列判断错误..的是 ( ) A .“22bm am <”是“b a <”的充分不必要条件B .命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x ”C .若p ,q 均为假命题,则q p Λ为假命题D .命题:若12=x ,则1=x 或1-=x 的逆否命题为:若1≠x 或1-≠x ,则12≠x15.已知A ,B ,C ,D ,E 是空间五个不同的点,若点E 在直线BC 上,则“AC 与BD 是异面直线”是“AD 与BE 是异面直线”的( ) A .充分不必要条件 B .充分必要条件 C.必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件16.下列选项错误的是( )A .命题“若1x ≠,则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=,则1x =”B .“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件;C.若命题p :x R ∀∈,210x x ++≠,则p ⌝:0x R ∃∈,20010x x ++=; D .在命题的四种形式中,若原命题为真命题,则否命题为假命题17.对于常数m 、n ,“0mn >”是“方程221mx y +=的曲线是椭圆”的( )条件 A .充分不必要 B .必要不充分 C.充分必要D .既不充分也不必要条件18.设S 是整数集Z 的非空子集,如果,,a b S ∀∈有ab S ∈,则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集,,T U Z ⋃=且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈,则下列结论恒成立的是()A. ,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C. ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的19.设集合S={1,2,3,4,5,6},定义集合对(A ,B)::,A 中含有3个元素,B 中至少含有2个元素,且B 中最小的元素不小于A 中最大的元素.记满足的集合对(A ,B)的总个数为m ,满足的集合对(A ,B)的总个数为n ,则的值为( )A.111 B.161C.221 D.29220.定义非空集合A 的真子集的真子集为A 的“孙集”,则集合{1,3,5,7,9}的孙集的个数为 () A .23B .24C .26D .3221.已知:集合2012,3,2,{1,A =},A B ⊆,且集合B 中任意两个元素之和不能被其差整除。
数学理卷·2014届贵州省遵义四中高三上学期第三次月考(2013.12)

且 AB 的中点为 N (-12, -15) ,则 E 的方程式为( )
A.
x2 3
-
y2 6
=1
B.
x2 4
-
y2 5
=1
C.
x2 6
-
y2 3
=1
D.
x2 5
-
y2 4
=1
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。第 22 题~第 24 题为选
考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
A.{0,1, 2}
B.{-1, 0,1, 2}
C.{-1,0, 2,3}
D. {0,1, 2,3}
2. 设复数 z 满足 (1- i) z = 2i ,则 z = ( )
A. -1+ i
B. -1- i
C.1+ i
D.1- i
3. 已知命题 p :0 £ 3x -1£ 8 ,命题 q : log2 x <1,则 p 是 q 的( )
(I) 求不等式f ( x) ³ 4的解集;
(II)求函数 y = f (x) 的最小值
第4页共8页
一.选择题:
遵义四中 2014 届高三数学第三次月考数学理科试题答案
题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号 答A A B A B C D C B C B B 案
二.填空题:
2 13 3
某社区举办防控甲型 H7N9 流感知识有奖问答比赛,甲、乙、丙三人同时回答
3
一道卫生知识题,三人回答正确与错误互不影响。已知甲回答这题正确的概率是 4 ,
1
1
甲、丙两人都回答错误的概率是 12 ,乙、丙两人都回答正确的概率是 4 .
高中数学复习:利用函数性质解题

高中数学复习:利用函数性质解题1、已知6lg )3(222-=-x x x f ,则)(x f 的定义域是 。
2、设函数⎩⎨⎧>-≤+=)10(3)10()]5([)(x x x x f f x f ,则=)5(f 。
3、设⎩⎨⎧<≥=1||1||)(2x x x x x f ,,,)(x g 是二次函数,若)]([x g f 的值域是),0[+∞,则)(x g 的值域是( ) A .),1[]1,(+∞⋃--∞ B .),0[]1,(+∞⋃--∞ C .),0[+∞ D .),1[+∞4、设()f x 是定义在R 上的函数,若81)0(=f ,且对任意的x ∈R ,满足: (2)()3,(4)()103x x f x f x f x f x +-≤+-≥⨯,则)2014(f = .5、函数c bx ax x f ++=2)(的图象关于任意直线l 对称后的图象依然为某函数图象,则实数c b a 、、应满足的充要条件为 。
6、将函数2642--+=x x y ,[]60,∈x 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ)0(αθ≤≤,得到曲线C .若对于每一个旋转角θ,曲线C 都是一个函数的图像,则α的最大值为__________。
7、已知函数|)1lg(|)(+=x x f ,若b a ≠且)()(b f a f =,则b a +的取值范围是 。
8、已知函数|lg |)(x x f =,若b a <<0且)()(b f a f =,则b a 2+的取值范围是 。
9、已知函数⎩⎨⎧+∞∈∈⋅=),1(log ]1,0[sin )(2011x x x x x f ,,π,若满足)()()(c f b f a f ==,(c b a 、、互不相等),则c b a ++的取值范围是 。
10、已知:函数⎩⎨⎧>+-≤<=)9(11)90(log )(3x x x x x f ,若a ,b ,c 均不相等,且)()()(c f b f a f ==,则c b a ⋅⋅的取值范围是 。
甘肃省张掖中学2014届高三上学期第二次模拟考试数学理试题

甘肃省张掖中学2013-2014学年第一学期高三第二次模拟考试数学理试题一、选择题:本大题共12小题。
每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ={x |2≤x <4},B ={x |3x -7≥8-2x },则A ∪B 等于( ). A .{x |3≤x <4} B .{x |x ≥3} C .{x |x >2} D .{x |x ≥2} 2.复数-i1+2i(i 是虚数单位)的实部是( ).A.15 B .-15 C .-15i D .-253.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,已知a 2=3,a 6=11,则S 7等于( ). A .13 B .35 C .49 D .634.已知α,β表示两个不同的平面,m 为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m ⊥β”的( )5.(1+3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等,则n =( ) A .6 B .7 C .8 D .96.程序框图如图所示:如果输入x =5,则输出结果为( ).A .109B .325C .973D .2 9177.已知x 、y 满足约束条件,则Z=2x+4y 的最小值为( )﹣308已知a =log 23.4,b =log 43.6,3.0log 31 c 则( )A .a >b >cB .b >a >cC .a >c >bD .c >a >b9已知α∈(,),tan (α﹣7π)=﹣,则sinα+cosα的值为( )A -B C251 D -25110.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,满足.当时,211.设椭圆C :+=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,上顶点为A ,过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ,且2+=.则椭圆C 的离心率为( )A .21B .31C .41 D .51 12.已知函数在x 1处取得极大值,在x 2处取得极小值,满足x 1∈(﹣1,1),x 2∈(1,4),则2a+b 的取值范围是( )A (-6,-4) B(-6,-1) C(-10,-6) D(-10,-1)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。
高一数学必修一第一章集合与函数概念练习题难题带答案

高一数学集合与函数概念一.选择题(共30小题)1.已知f(x)=lnx﹣+2,若对∀x1∈(0,1],∀x2∈[﹣1,1],都有f(x1)≥g(x2),则a的取值范围为()A.(﹣∞,2﹣e]B.(﹣2,2﹣e]C.D.2.已知集合,若B⊆A,则实数m的取值范围为()A.(4,+∞)B.[4,+∞)C.(2,+∞)D.[2,+∞)3.已知函数,对任意的x∈R恒有,且在区间上有且只有一个x0使得f(x0)=3,则ω的最大值为()A.B.8C.D.4.已知f(x)=32x﹣(k+1)3x+2,当x∈R时,f(x)恒为正值,则k的取值范围是()A.(﹣∞,﹣1)B.(﹣∞,2﹣1)C.(﹣1,2﹣1)D.(﹣2﹣1,2﹣1)5.已知f(x)=x2+px+q和是定义在上的函数,对任意的x∈A,存在常数x0∈A,使f(x)≥f(x0),g(x)≥g(x0)且f(x0)=g(x0),则f(x)在A上的最大值为()A.B.C.5D.6.已知f(x)为奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=1﹣2|x﹣|,当x∈(﹣∞,﹣1],f(x)=1﹣e﹣1﹣x,若关于x的不等式f(x+m)>f(x)有解,则实数m的取值范围为()A.(﹣1,0)∪(0,+∞)B.(﹣2,0)∪(0,+∞)C.(﹣﹣ln2,﹣1)∪(0,+∞)D.(﹣﹣ln2,0)∪(0,+∞)7.我们把形如的函数因其图象类似于汉字“囧”字,故生动地称为“囧函数”,并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”,以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆,皆称之为“囧圆”,则当a=1,b=1时,所有的“囧圆”中,面积的最小值为()A.2πB.3πC.4πD.12π8.在下列四个函数中,当x1>x2>1时,能使[f(x1)+f(x2)]<f()成立的函数是()A.f(x)=B.f(x)=x2 C.f(x)=2x D.f(x)=9.集合M={x|x∈Z且},则M的非空真子集的个数是()A.30个B.32个C.62个D.64个10.设集合P={3,4,5},Q={4,5,6,7},定义P⊕Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则P⊕Q的真子集个数()A.23﹣1B.27﹣1C.212D.212﹣111.已知定义在R上的函数f(x)=﹣(x﹣1)3,则不等式f(2x+3)+f(x﹣2)≥0的解集为()A.(﹣∞,]B.(0,]C.(﹣∞,3]D.(0,3]12.已知函数f(x)=x2﹣2(a+1)x+a2,g(x)=﹣x2+2(a﹣1)x﹣a2+2,记H1(x)=,H2(x)=,则H1(x)的最大值与H2(x)的最小值的差为()A.﹣4B.4C.a2﹣a+4D.a2+a+813.若关于x的不等式e2x﹣alnx≥a恒成立,则实数a的取值范围是()A.[0,2e]B.(﹣∞,2e]C.[0,2e2]D.(﹣∞,2e2]14.设函数f(x)的定义域为R,满足2f(x)=f(x+2),且当x∈[﹣2,0)时,f(x)=﹣x(x+2).若对任意x∈(﹣∞,m],都有f(x)≤3,则m的取值范围是()A.(﹣∞,]B.(﹣∞,]C.[,+∞)D.[,+∞)15.已知函数f(x)=,若|f(x)|≥mx恒成立,则实数m的取值范围为()A.[2﹣2,2]B.[2﹣2,1]C.[2﹣2,e]D.[2﹣2,e]16.设集合S={1,2,3,…,2020},设集合A是集合S的非空子集,A中的最大元素和最小元素之差称为集合A的直径.那么集合S所有直径为71的子集的元素个数之和为()A.71•1949B.270•1949C.270•37•1949D.270•72•194917.已知k∈R,设函数,若关于x的不等式f(x)≥0在x∈R上恒成立,则k的取值范围为()A.[0,e2]B.[2,e2]C.[0,4]D.[0,3]18.已知函数若关于x的不等式在R上恒成立,则实数a的取值范围为()A.B.C.[0,2]D.19.已知若f[(m﹣1)f(x)]﹣2≤0在定义域上恒成立,则m的取值范围是()A.(0,+∞)B.[1,2)C.[1,+∞)D.(0,1)20.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+2)=2f(x),且当x∈(0,2]时,f(x)=﹣x(x﹣2).若对任意x∈(﹣∞,m],都有,则m的取值范围是()A.(﹣∞,]B.(﹣∞,]C.(﹣∞,7]D.(﹣∞,]21.已知函数,g(x)=ax2+2x+a﹣1.若对任意的x1∈R,总存在实数x2∈[0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围为()A.B.C.D.22.已知函数f(x)=ax2﹣bx+c(a<b<c)有两个零点﹣1和m,若存在实数x0,使得f(x0)>0,则实数m的值可能是()A.x0﹣2B.C.D.x0+323.设函数f(x)=﹣x(x﹣a)2(x∈R),当a>3时,不等式f(﹣k﹣sinθ﹣1)≥f(k2﹣sin2θ)对任意的k∈[﹣1,0]恒成立,则θ的可能取值是()A.﹣B.C.﹣D.24.已知函数,若对任意,都有f(x+m)≥3f(x),则实数m的取值范围是()A.[4,+∞)B.C.[3,+∞)D.25.若关于x的不等式≤1在区间(1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为()A.(0,ln2]B.(﹣∞,ln2]C.(ln2,+∞)D.(﹣∞,1]26.对于函数y=f(x),若存在区间[a,b],当x∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0),则称y=f(x)为k倍值函数.若f(x)=e x+2x是k倍值函数,则实数k的取值范围是()A.(e+1,+∞)B.(e+2,+∞)C.(e+,+∞)D.(e+,+∞)27.已知函数f(x)=(x>2),若f(x)恒成立,则整数k的最大值为()A.2B.3C.4D.528.若存在,使得不等式2xlnx+x2﹣mx+3≥0成立,则实数m的最大值为()A.B.C.4D.e2﹣129.设|AB|=10,若平面上点P满足对任意的λ∈R,恒有,则一定正确的是()A.B.C.D.∠APB≤90°30.已知函数y=f(x)为定义域R上的奇函数,且在R上是单调递增函数,函数g(x)=f(x﹣5)+x,数列{a n}为等差数列,且公差不为0,若g(a1)+g(a2)+…+g(a9)=45,则a1+a2+…+a9=()A.45B.15C.10D.0二.填空题(共5小题)31.设a为实数,对任意k∈[﹣1,1],当x∈(0,4]时,不等式6lnx+x2﹣9x+a≤kx恒成立,则a的最大值是.32.已知实数x,y>0,则的最大值为.33.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=﹣f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=log2(x+a),若对于x属于[0,1]都有3,则实数t的取值范围为34.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,且4c>9a,若不等式f(x)>0恒成立,则的取值范围是.35.已知a1,a2,a3与b1,b2,b3是6个不同的实数,若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|=|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集,则集合A中,最多有个元素.三.解答题(共5小题)36.已知定义在R上的函数f(x)满足:①对任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)•f(y);②对任意x>0,都有f (x)>1.(1)求f(0),并证明f(x)是R上的单调增函数;(2)若|f(|x﹣2a+1|)﹣f(|x﹣a|+1)|=f(|x﹣a|+1)﹣f(|x﹣2a+1|)对x∈R恒成立,求实数a的取值范围;(3)已知g(x)=,方程g(x)+2+|g(x)﹣2|﹣2mx=4f(0)有三个根x1<x2<x3,若x3﹣x2=2(x2﹣x1),求实数m.37.设集合A,B是非空集合M的两个不同子集.(1)若M={a1,a2},且A是B的子集,求所有有序集合对(A,B)的个数;(2)若M={a1,a2,a3,…,a n},且A的元素个数比B的元素个数少,求所有有序集合对(A,B)的个数.38.已知集合A={x|2x2﹣5x﹣12≥0},B={y|y=3x+1(x>0)}.(1)求集合A∩B,(∁R A)∪B;(2)若集合C={x|m﹣2≤x≤2m}且(∁R A)∩C=C,求m的取值范围.39.已知a∈R,函数f(x)=(﹣x2+ax)•e x.(1)a=2时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(﹣1,1)上单调递增,求a的取值范围.40.已知函数f(x)=(log2x)2+4log2x+m,x∈[,4],m为常数.(Ⅰ)设函数f(x)存在大于1的零点,求实数m的取值范围;(Ⅱ)设函数f(x)有两个互异的零点α,β,求m的取值范围,并求α•β的值.参考答案与试题解析一.选择题(共30小题)1.【解答】解:g′(x)=x(x﹣2),∴﹣1<x<0时,g′(x)>0,0<x<1时,g′(x)<0,g(x)max=g(0)=2,∴f(x)=lnx﹣+ex≥2在(0,1]恒成立,即a≤xlnx+ex2﹣2x在(0,1]恒成立,令h(x)=xlnx+ex2﹣2x(0<x≤1),h′(x)=lnx+2ex﹣1,h″=+2e≥恒成立,∴h′(x)在x∈(0,1]单调递增,又x→0时,h(x)→﹣∞,h(1)=e﹣2>0,故存在x0∈(0,1],使得0<x<x0,h′(x)<0,x0<x<1,h′(x)>0,即h′(x0)=lnx0+2ex0﹣1=0,解得x0=,∴h(x)min=h()=﹣+e•()2﹣2•=﹣,∴a≤﹣,故选:D.2.【解答】解:由题得A={x|x>2或x<﹣2},∵m>0,∴B={x|m<x<2m}且B≠∅,∵B⊆A,∴m≥2或2m≤﹣2,解得m≥2,即m∈[2,+∞),故选:D.3.【解答】解:由题意知,k1,k2∈Z,则,k,k'∈Z,其中k=k2﹣k1,k'=k1+k2=k+2k1,故k与k'同为奇数或同为偶数.f(x)在上有且只有一个最大值,且要求ω最大,则区间包含的周期应该最多,所以,得0<ω≤8,即≤8,所以k≤4当k=4时,ω=,k'为偶数,φ=,此时x+∈(,),当x1+=0.5π或2.5π或6.5π时,f(x0)=3都成立,舍去;当k=3时,ω=,k'为奇数,φ=,此时x+∈(,),当且仅当x+=2.5π时,f(x0)=3成立.故ω的最大值为,故选:C.4.【解答】解:令3x=t(t>0),则g(t)=t2﹣(k+1)t+2,若x∈R时,f(x)恒为正值,则g(t)=t2﹣(k+1)t+2>0对t>0恒成立.∴①或②解①得:﹣1<k<﹣1+;解②得:k≤﹣1.综上,实数k的取值范围是(﹣∞,2﹣1).故选:B.5.【解答】解:由已知函数f(x)=x2+px+q和g(x)=x+在区间[1,]上都有最小值f(x0),g(x0),又因为g(x)=x+在区间[1,]上的最小值为g(2)=4,f(x)min=f(2)=g(2)=4,所以得:,即:,所以得:f(x)=x2﹣4x+8≤f(1)=5.故选:C.6.【解答】解:若x∈[﹣1,0],则﹣x∈[0,1],则f(﹣x)=1﹣2|﹣x﹣|=1﹣2|x+|,∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=1﹣2|x+|=﹣f(x),则f(x)=2|x+|﹣1,x∈[﹣1,0],若x∈[1,+∞),则﹣x∈(﹣∞,﹣1],则f(﹣x)=1﹣e﹣1+x=﹣f(x),则f(x)=e﹣1+x﹣1,x∈[1,+∞),作出函数f(x)的图象如图:当m>0时,f(x+m)的图象向左平移,此时f(x+m)>f(x)有解,满足条件.当m<0时,f(x+m)的图象向右平移,当f(x+m)的图象与f(x)在x>1相切时,f′(x)=e x﹣1,此时对应直线斜率k=2,由e x﹣1=2,即x﹣1=ln2,得x=ln2+1.此时y=e x﹣1﹣1=e ln2+1﹣1﹣1=2﹣1=1,即切点坐标为(1+ln2,1),设直线方程为y=2(x﹣a)此时1=2(1+ln2﹣a),即=1+ln2﹣a,得a=+ln2,0<﹣m<+ln2,得﹣﹣ln2<m<0,综上﹣﹣ln2<m<0或m>0综上m的取值范围是(﹣﹣ln2,0)∪(0,+∞),故选:D.7.【解答】解:当a=1,b=1时,函数的定义域为{x|x≠±1,x∈R},且为偶函数,其图象如图所示.函数图象与y轴的交点为B(0,﹣1),其关于原点的对称点为C(0,1),所以“囧点”为(0,1),即“囧圆”的圆心为C(0,1).要求所有“囧圆”的面积的最小值,只需求所有“囧圆”的半径的最小值.由图知,“囧函数”有三部分组成,其图象关于y轴对称,故只需考虑y轴及y轴右侧的函数图象.当圆C过点B时,其半径为2,这是和x轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中,半径的最小值;当圆C和x轴上方且y轴右侧的函数图象有公共点A时,设A(m,),(其中m>1),则点A到圆心C的距离的平方为d2=m2+(﹣1)2,令=t,(t>0),则d2=(1+)2+(t﹣1)2=t2++﹣2t+2=(t﹣)2﹣2(t﹣)+4,再令t﹣=μ,(其中μ∈R),则d2=μ2﹣2μ+4=(μ﹣1)2+3≥3,所以当圆C和x轴上方且y轴右侧的函数图象有公共点时,最小半径为.又2>,综上可知,在所有的“囧圆”中,半径的最小值为.故所有的“囧圆”中,圆的面积的最小值为3π.故选:B.8.【解答】解:当x1>x2>1时,能使成立的函数是凸函数,其图象类似:所以选项正确;B,C,D都不正确.故选:A.9.【解答】解:由题意集合M={x|x∈Z且}={x|x=0,1,2,3,5,11},由对于含有n个元素的集合,利用公式2n﹣2计算出M的非空真子集个数,∴M的非空真子集的个数是26﹣2=62,故选:C.10.【解答】解:由所定义的运算可知,集合P⊕Q中元素(x,y)中的x取自3,4,5三个的一个,y取自4,5,6,7四个的一个,故根据乘法原理,P⊕Q中实数对的个数是:3×4=12,∴P⊕Q的所有真子集的个数为212﹣1.故选:D.11.【解答】解:令t=x﹣1,则f(t+1)=,则f(t+1)是奇函数,则当t≥0时,y==﹣t3=﹣t3=﹣t3=﹣1﹣t3,为减函数,∴当x≥1时,f(x)为减函数,即g(x)=f(x+1)是奇函数,则f(2x+3)+f(x﹣2)≥0等价为f(2x+2+1)+f(x﹣3+1)≥0,即g(2x+2)+g(x﹣3)≥0,则g(2x+2)≥﹣g(x﹣3)=g(3﹣x),则2x+2≤3﹣x,得3x≤1,x≤,即原不等式的解集为(﹣∞,],故选:A.12.【解答】解:f(x)﹣g(x)=2x2﹣4ax+2a2﹣2=2(x﹣a﹣1)(x﹣a+1).故当x≥a+1或x≤a﹣1时,f(x)≥g(x);当a﹣1<x<a+1时,f(x)<g(x).又H1(x)=,H2(x)=,,,∴,.设H1(x)的最大值为A,H2(x)的最小值为B.结合二次函数的性质可知,A=H1(a﹣1)=(a﹣1)2+2(a﹣1)(a﹣1)﹣a2+2=3﹣2a;B=H2(a+1)=(a+1)2﹣2(a+1)(a+1)+a2=﹣2a﹣1.故A﹣B=3﹣2a﹣(﹣2a﹣1)=4.∴H1(x)的最大值与H2(x)的最小值的差为4.故选:B.13.【解答】解:当a<0时,f(x)=e2x﹣alnx为(0,+∞)的增函数,f(x)无最小值,不符合题意;当a=0时,e2x﹣alnx≥a即为e2x≥0显然成立;当a>0时,f(x)=e2x﹣alnx的导数为f′(x)=2e2x﹣,由于y=2e2x﹣在(0,+∞)递增,设f′(x)=0的根为m,即有a=2me2m,当0<x<m时,f′(x)<0,f(x)递减;当x>m时,f′(x)>0,f(x)递增,可得x=m处f(x)取得极小值,且为最小值e2m﹣alnm,由题意可得e2m﹣alnm≥a,即﹣alnm≥a,化为m+2mlnm≤1,设g(m)=m+2mlnm,g′(m)=1+2(1+lnm),当m=1时,g(1)=1,m>1时,g′(m)>0,g(m)递增,可得m+2mlnm≤1的解为0<m≤1,则a=2me2m∈(0,2e2],综上可得a∈[0,2e2],故选:C.14.【解答】解:函数f(x)的定义域为R,满足2f(x)=f(x+2),可得f(0)=2f(﹣2)=0,当x∈[﹣2,0)]时,函数f(x)在[﹣2,﹣1)上递增,在(﹣1,0)上递减,所以f(x)max=f(﹣1)=1,由2f(x﹣2)=f(x),可得当图象向右平移2个单位时,最大值变为原来的2倍,最大值不断增大,由f(x)=f(x+2),可得当图象向左平移2个单位时,最大值变为原来的倍,最大值不断变小,当x∈[﹣4,﹣2)时,f(x)max=f(﹣3)=,当x∈[0,2)时,f(x)max=f(1)=2,当x∈[2,4)时,f(x)max=f(3)=4,设x∈[2,4)时,x﹣4∈[﹣2,0),f(x﹣4)=﹣(x﹣4)(x﹣2)=f(x),即f(x)=﹣4(x﹣4)(x﹣2),x∈[2,4),由﹣4(x﹣4)(x﹣2)=3,解得x=或x=,根据题意,当m≤时,f(x)≤3恒成立,故选:A.15.【解答】解:作出函数|f(x)|的图象如图所示;当x≤0时;令x2+2x+2=mx,即x2+(2﹣m)x+2=0,令△=0,即(2﹣m)2﹣8=0,解得,结合图象可知,;当x>0时,令e2x﹣1=mx,则此时f(x)=e2x﹣1,h(x)=mx相切,设切点,则,解得m=2,观察可知,实数m的取值范围为.故选:A.16.【解答】解:设集合A中最大元素为a,最小元素为b,所以满足b﹣a=71的组合有2020﹣71=1949个,集合A中元素最多为72个,而集合A中包含a,b所有子集元素之和个数为2+3+4+ (72)设m=2+3+4+......+72,则m=72+71+70+ (2)所以2m=74+74+74+……+74=74×270,即m=37×270,因此,集合S所有直径为71的子集的元素个数之和为270•37•1949.故选:C.17.【解答】解:(1)当x≤1时,f(x)=x2﹣2kx+2k,∴f(x)的对称轴为x=k,开口向上.①当k<1时,f(x)在(﹣∞,k)递减,(k,1)递增,∴当x=k时,f(x)有最小值,即f(k)≥0,∴0≤k<1;②当k≥1时,f(x)在(﹣∞,1)上递减,∴当x=1时,f(x)有最小值,即f(1)=1,∴1≥0显然成立,此时k≥1.综上得,k≥0;(2)当x>1时,f(x)=(x﹣k﹣1)e x+e3,∴f'(x)=(x﹣k)e x,①′当k≤1时,f(x)在(1,+∞)上递增,∴f(x)>f(1)=﹣ke+e3≥0,∴k≤e2,∴此时k≤1;②′当k>1时,f(x)在(1,k)递减,(k,+∞)递增,∴f(x)≥f(k)=﹣e k+e3≥0,∴k≤3,∴此时1<k≤3.综上:0≤k≤3,∵关于x的不等式f(x)≥0在x∈R上恒成立,则k的取值范围为0≤k≤3,故选:D.18.【解答】解:(1)当x≤1时,f(x)=x2﹣2ax+2a,∴f(x)的对称轴为x=a,开口向上.①当a<1时,f(x)在(﹣∞,a)递减,(a,1)递增,∴当x=a时,f(x)有最小值,即f(a)=﹣a2+2a≥,解得0≤a<1;②当a≥1时,f(x)在(﹣∞,1)上递减,∴当x=1时,f(x)有最小值,即f(1)=1≥,∴1≤a≤2.综合①②得:当x≤1时,0≤a≤2;(2)当x>1时,f(x)=2x﹣alnx,∴f'(x)=2﹣=,①′当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)上递增,∴f(x)>f(1)=2≥,∴a≤4,∴此时a≤0;②′当0<≤1,即0<a≤2时,f(x)在(1,+∞)上递增,同理可得0<a≤2;③′当>1,即a>2时,f(x)在(1,)递减,(,+∞)递增,∴f(x)≥f()=a﹣aln≥,∴ln≤,解得2<a≤2.综合①′②′③′得:当x>1时,a≤2;∵关于x的不等式在R上恒成立,∴0≤a≤2,故选:C.19.【解答】解:∵,∴当﹣1<x<8时,log3(x+1)∈(﹣∞,2),|log3(x+1)|∈[0,2),x∈(﹣1,0)时,f(x)=|log3(x+1)|单调递减,x∈(0,8)时,f(x)单调递增,且当x=﹣时,f(x)=2①.当x≥8时,f(x)=单调递减且f(x)∈(0,2]②,其图象如下:若f[(m﹣1)f(x)]﹣2≤0,则f[(m﹣1)f(x)]≤2,∴(m﹣1)f(x)≥﹣,当f(x)=0时,m∈R;当f(x)>0时,m﹣1>,当f(x)→+∞时,→0,∴m﹣1≥0,解得:m≥1.故选:C.20.【解答】解:当x∈(0,2]时,函数f(x)在(0,1)上递增,在(1,2)上递减,所以f(x)max=f(1)=1,由2f(x﹣2)=f(x),可得当图象向右平移2个单位时,最大值变为原来的2倍,最大值不断增大,由f(x)=f(x+2),可得当图象向左平移2个单位时,最大值变为原来的倍,最大值不断变小,当x∈(﹣2,0]时,f(x)max=f(﹣1)=,当x∈(2,4]时,f(x)max=f(3)=2,当x∈(4,6]时,f(x)max=f(5)=4,设x∈(6,8]时,x﹣6∈(0,2],f(x﹣6)=﹣(x﹣6)(x﹣8)=f(x),即f(x)=﹣8(x﹣6)(x﹣8),x∈(6,8],由﹣8(x﹣6)(x﹣8)=,解得x=或x=,根据题意,当m≥时,f(x)≤恒成立,故选:B.21.【解答】解:由题意,函数f(x)图象如下:结合图象,可知函数f(x)的值域为(,+∞).∵对任意的x1∈R,总存在实数x2∈[0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,∴函数f(x)的值域是函数g(x)在区间[0,+∞)上值域的子集.①当a=0时,g(x)=2x﹣1,此时g(x)在区间[0,+∞)上值域为[﹣1,+∞),满足题意;②当a<0时,二次函数g(x)=ax2+2x+a﹣1开口朝下,很明显不符合题意;③当a>0时,对称轴x=﹣<0,g(0)=a﹣1,此时g(x)在区间[0,+∞)上值域为[a﹣1,+∞),则必须a﹣1≤,即a≤.即0<a≤满足函数f(x)的值域是函数g(x)在区间[0,+∞)上值域的子集.综上所述,可得实数a的取值范围为[0,].故选:A.22.【解答】解:∵﹣1是函数f(x)=ax2﹣bx+c的一个零点,∴a+b+c=0,∵a<b<c,则a<0,c>0,∵﹣1×m=<0,∴m>0.由a<b,a<0,得<1①,由0=a+b+c>a+b+b=a+2b,得﹣<,即>﹣②,由①②得:﹣<<1.函数f(x)=ax2﹣bx+c的图象是开口向下的抛物线,其对称轴方程为x=,则﹣<<.∴零点﹣1到对称轴的距离d∈(,),另一零点为m>0,∴m﹣(﹣1)=m+1=2d∈(,3),因为f(x0)>0,所以x0∈(﹣1,m),故0<m﹣x0<(2d)min,∴x0<m+x0,综合四个选项,实数m的值可能是+x0.故选:C.23.【解答】解:由f(x)=﹣x(x﹣a)2,得f'(x)=﹣(3x﹣a)(x﹣a).令f'(x)=0,得或x=a,当a>3时,,∴f(x)在区间,[a,+∞)上单调递减,在区间上单调递增;当a>3时,,则f(x)在区间(﹣∞,1]上为减函数,又k∈[﹣1,0],sinθ∈[﹣1,1],则﹣2≤﹣k﹣sinθ﹣1≤1,∴﹣1≤k2﹣sin2θ≤1.∵f(﹣k﹣sinθ﹣1)≥f(k2﹣sin2θ)对任意的k∈[﹣1,0]恒成立,∴对任意的k∈[﹣1,0]恒成立,∴恒成立,∴,即,∴θ的可能取值是.故选:D.24.【解答】解:∵f(﹣x)==﹣f(x),∴函数,为R上的奇函数,又x≥0时,f(x)=x2为增函数,∴f(x)为定义域R上的增函数.又f()=3,∴f(x+m)≥3f(x)=f(x),∵对任意,f(x+m)≥3f(x)=f(x),f(x)为定义域R上的增函数,∴m≥[(﹣1)x]max=(﹣1)(+3),即(1﹣)m=m≥3(﹣1),解得:m≥2.即实数m的取值范围是[2,+∞),故选:B.25.【解答】解:关于x的不等式不等式≤1在区间(1,2]上恒成立⇔关于x的不等式a(x﹣1)2≤lnx在区间(1,2]上恒成立.显然当a≤0时,关于x的不等式不等式≤1在区间(1,2]上恒成立当a>0时,在同一坐标系内分别作出y=a(x﹣1)2,y=lnx的图象,所以关于x的不等式a(x﹣1)2≤lnx在区间(1,2]上恒成立.⇔A点的位置不低于B点的位置⇔ln2≥a(2﹣1)2⇔0<a≤ln2.综上,实数a的取值范围为(﹣∞,ln2].故选:B.26.【解答】解:f(x)在定义域R内单调递增,∴f(a)=ka,f(b)=kb,即e a+2a=ka,e b+2b=kb,即a,b为方程e x+2x=kx的两个不同根,∴,设g(x)=,,∴0<x<1时,g′(x)<0;x>1时,g′(x)>0,∴x=1是g(x)的极小值点,∴g(x)的极小值为:g(1)=e+2,又x趋向0时,g(x)趋向+∞;x趋向+∞时,g(x)趋向+∞,∴k>e+2时,y=k和y=g(x)的图象有两个交点,方程有两个解,∴实数k的取值范围是(e+2,+∞).故选:B.27.【解答】解:当k=5,x=3时,f(x)=f(3)==1+ln2,==,∴f(x)<,故k =5不成立;当k=4,x=3时,f(x)=f(3)=1+ln2<=2,所以k=4也不成立;当k=3时,f(x)>(x>2)⇔1+ln(x﹣1)﹣(1﹣)×3>0,令g(x)=1+ln(x﹣1)﹣3+,x>2则g′(x)=﹣=,∴2<x<4时,g′(x)<0;x>4时,g′(x)>0,∴g(x)在(2,4)上递减,在(4,+∞)上递增,∴g(x)min=g(4)=ln3﹣1>0,∴k=3时,f(x)>在(2,+∞)上恒成立,符合题意.故整数k的最大值为3.故选:B.28.【解答】解:由存在,使得不等式2xlnx+x2﹣mx+3≥0成立,得:m≤2lnx+x+,x∈[,e]有解,令y=2lnx+x+,则y′=,故x∈(,1)时,y′<0,函数是减函数,x∈(1,e)时,y′>0,函数是增函数,故x=时,y=3e+﹣2,x=e时,y=2+e+,又(3e+﹣2)﹣(2+e+)=2e﹣4﹣>0,故函数y=2lnx+x+的最大值是3e+﹣2,m≤3e+﹣2,故选:A.29.【解答】解:以线段AB的中点为原点,以AB所在的直线为x轴,以其中垂线为y轴,建立直角坐标系,则A(﹣5,0)、B(5,0)、设点P(x,y),则,,则,即有(2x+10﹣10λ)2+4y2≥64,整理为以为元的一元二次不等式,即100λ2﹣(200+40x)λ+4x2+40x+4y2+36≥0,由于上述不等式对任意λ∈R恒成立,则△≤0必然成立,△=(200+40x)2﹣4×100×(4x2+40x+4y2+36)≤0,解得|y|≥4,即y≥4或者y≤﹣4,动点P位于直线y=4上或其上方部分,或者直线y=﹣4上或者其下方的区域内,用动态的观点看问题,我们让点P位于点(﹣5,4)处,则,故A错误;让点P位于点(0,4)处,则,故B错误;此时,|AB|=10,用余弦定理计算,∠APB>90°故D错误;我们进一步确定C选项的正确性,,,则,其中x∈R,y2≥16,故x2+y2﹣25≥x2+16﹣25≥﹣9,即,故C正确.故选:C.30.【解答】解:根据题意,函数y=f(x)为定义域R上的奇函数,则有f(﹣x)+f(x)=0,设h(x)=g(x)﹣5=f(x﹣5)+(x﹣5),若g(a1)+g(a2)+…+g(a9)=45,即f(a1﹣5)+a1+f(a2﹣5)+a2+…+f(a9﹣5)+a9=45,变形可得f(a1﹣5)+(a1﹣5)+f(a2﹣5)+(a2﹣5)…+f(a9﹣5)+(a9﹣5)=0,即h(a1﹣5)+h(a2﹣5)+…+h(a9﹣5)=0,又由y=f(x)为定义域R上的奇函数,则h(x)=f(x﹣5)+(x﹣5)关于点(5,0)对称,而数列{a n}为等差数列,且公差不为0,则有a1+a9=10,变形有a5=5,则a1+a2+…+a9=9a5=45;故选:A.二.填空题(共5小题)31.【解答】解:对任意k∈[﹣1,1],当x∈(0,4]时,不等式6lnx+x2﹣9x+a≤kx恒成立,即f(x)=kx+9x﹣x2﹣a ﹣6lnx≥0恒成立,令g(k)=xk+9x﹣x2﹣a﹣6lnx,∵x∈(0,4],∴g(k)在k∈[﹣1,1]上单调递增,∴g(k)min=g(﹣1)≥0即可,g(k)≥g(k)min=g(﹣1)≥0,又∵g(﹣1)=﹣x+9x﹣x2﹣a﹣6lnx=﹣x2+8x﹣6lnx﹣a(x∈(0,4]),令ρ(x)=﹣x2+8x﹣6lnx﹣a,则ρ′(x)=﹣2x+8﹣==(﹣x2+4x﹣3)=﹣(x﹣3)(x﹣1),令ρ′(x)=0,得x=3或x=1,∴x∈(0,1)时,ρ′(x)<0,ρ(x)单调递减;x∈(1,3)时,ρ′(x)>0,ρ(x)单调递增;x∈((3,4)时,ρ′(x)<0,ρ(x)单调递减;ρ(1)=﹣1+8﹣a=7﹣a,ρ(4)=﹣16+32﹣6ln4﹣a=16﹣6ln4﹣a,∴解得a≤7,故答案为:7.32.【解答】解:=令分子等于0,△=0,即(10t2﹣1)y2+2(t﹣1)y+14t2+2t﹣1=0,再令△=0,t2(2t+1)(14t﹣5)=0解得t=0或t=﹣或t=,①﹣==≤0,当且仅当即时等号成立;②+==≥0,当且仅当即时等号成立;综上,最大值为,故答案为:33.【解答】解:由题意,f(x)为周期为4的函数,且是奇函数.0在函数定义域内,故f(0)=0,得a=1,所以当0≤x≤1时,f(x)=log2(x+1),当x∈[﹣1,0]时,﹣x∈[0,1],此时f(x)=﹣f(﹣x)=﹣log2(﹣x+1),又知道f(x+2)=﹣f(x)=f(﹣x),所以f(x)以x=1为对称轴.且当x∈[﹣1,1]时f(x)单调递增,当x∈[1,3]时f(x)单调递减.当x∈[﹣1,3]时,令f(x)=1﹣log23,得x=﹣,或x=,所以在[﹣1,3]内当f(x)>1﹣log23时,x∈[﹣,].设g(x)=﹣,若对于x属于[0,1]都有,因为g(0)=∈[﹣,].,故g(x)∈[﹣,].①当<0时,g(x)在[0,1]上单调递减,故g(x)∈[t﹣,]⊆[﹣,].得t≥0,无解.②0≤t≤1时,,此时g(t)最大,g(1)最小,即g(x)∈[t﹣1,]⊆[﹣,].得t∈[0,1].③当1<t≤2时,即,此时g(0)最小,g(t)最大,即g(x)∈[,]⊆[﹣,].得t∈(1,2],④当t>2时,g(x)在[0,1]上单调递增,故g(x)∈[,t﹣]⊆[﹣,].解得,t∈(2,3],综上t∈[0,3].故填:[0,3].34.【解答】解:若不等式f(x)>0恒成立,则,又由4c>9a,∴设x=,y=,则,则==1+,令z=,则z表示区域内的点(x,y)与P(1,﹣2)连线的斜率,因为A(﹣3,),所以k P A==﹣,设直线PB:y=k(x﹣1)﹣2,联立得x2﹣4kx+4k+8=0,△=16k2﹣16k﹣32=0⇒k=﹣1,k=2,由图可知,z∈(﹣∞,﹣)∪(2,+∞),故答案为(﹣∞,﹣)∪(3,+∞).35.【解答】解:令f(x)=|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|,g(x)=|=|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|,将关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|=|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解的个数的问题转化为两个函数图象交点个数的问题不妨令a1<a2<a3,b1<b2<b3,由于f(x)=|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|=,g(x)=|=|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|=,考查两个函数,可以看到每个函数都是由两条射线与两段拆线所组成的,且两条射线的斜率对应相等,两条线段的斜率对应相等.当a1,a2,a3的和与b1,b2,b3的和相等时,此时两个函数射线部分完全重合,这与题设中方程的解集是有限集矛盾不妨令a1,a2,a3的和小于b1,b2,b3的和即a1+a2+a3<b1+b2+b3,﹣a1﹣a2﹣a3>﹣b1﹣b2﹣b3,两个函数图象射线部分端点左右位置不同,即若左边f(x)=|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|的射线端点在左,右边射线端点一定在右,反之亦然.不妨认为左边f(x)=|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|的射线端点在左,右边射线端点一定在右,且射线互相平行,中间线段也对应平行,如图A点在左,F点在右,此时若B,C点在线段AD的上方,则只有一个交点;若BC线段位置在如图位置,则有三个交点,探究知,当a1,a2,a3的值依次是1、4、5,b1,b2,b3的值分别是2、3、6,可得到如图的图象,所以此两函数在本题条件下,最多有三个元素:故两函数图象最多有三个交点,即方程的解集是有限集时,最多有三个元素,故答案为:3.三.解答题(共5小题)36.【解答】解:(1)令x=0,y=1,则代入条件①,得:f(1)=f(0)•f(1)又f(1)≠0,则f(0)=1,设x1<x2,则f(x1)﹣f(x2)=f(x1)﹣f(x2﹣x1+x1)=f(x1)﹣f(x2﹣x1)•f(x1)=f(x1)[1﹣f(x2﹣x1)],因为任意x>0,都有f(x)>1,则1﹣f(x2﹣x1)<0,令y=﹣x,则f(0)=f(x)•f(﹣x)=1且x>0,都有f(x)>1>0,故f(﹣x)=>0,则对任意x∈R都有f(x)>0,则f(x1)>0,所以f(x1)﹣f(x2)<0,所以:f(x)是R上的单调增函数;(2)由条件|f(|x﹣2a+1|)﹣f(|x﹣a|+1)|=f(|x﹣a|+1)﹣f(|x﹣2a+1|)恒成立;可化为f(|x﹣a|+1)≥f(|x﹣2a+1|),即:|x﹣2a+1|≤|x﹣a|+1,即:|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤1,对x∈R恒成立.因:|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤|a﹣1|,故只需|a﹣1|≤1.解得0≤a≤2.(3)设G(x)=2,显然﹣1≤x≤1,∴max{g(x),G(x)}={g(x)+G(x)+|g(x)﹣G(x)|},方程g(x)+2+|g(x)﹣2|﹣2mx=4f(0)|等价于2max{g(x),G(x)}=2mx+4,即:max{g(x),G(x)}=mx+2,∵g(x)=,且G(x)可改写为:G(x)=,由﹣2x>2⇒﹣1≤x<﹣,又当x∈[0,1]时,x2﹣1≤2,∴max{g(x),G(x)}=,于是﹣2x=mx+2⇒x=﹣(﹣1≤x<﹣),∴0≤m<2﹣2,由2=mx+2⇒x=0或x=﹣,∵x1<x2<x3,∴x1=﹣,x2=﹣,x3=0,由已知条件x3﹣x2=2(x2﹣x1),∴2x1=3x2,即m2+3m﹣2=0⇒m=,又0≤m<2﹣2,∴m=.37.【解答】解:(1)若集合B含有2个元素,即B={a1,a2},则A=∅,{a1},{a2},则(A,B)的个数为3;若集合B含有1个元素,则B有种,不妨设B={a1},则A=∅,此时(A,B)的个数为×1=2.综上,(A,B)的个数为5.(3分)(2)集合M有2n个子集,又集合A,B是非空集合M的两个不同子集,则不同的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n﹣1).(5分)若A的元素个数与B的元素个数一样多,则不同的有序集合对(A,B)的个数为:+=+…+()2﹣(),(7分)又(x+1)n(x+1)n的展开式中x n的系数为+…+()2,且(x+1)n(x+1)n=(x+1)2n的展开式中x n的系数为,所以=+…+()2=,因为=2n,所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时,有序集合对(A,B)的个数为﹣2n.(9分)所以当A的元素个数比B的元素个数少时,有序集合对(A,B)的个数为:=.(10分)38.【解答】解:集合A={x|2x2﹣5x﹣12≥0}={x|x≤﹣或x≥4},B={y|y=3x+1(x>0)}={y|y>2}.(1)集合A∩B={x|x≥4},∁R A={x|﹣<x<4},∴(∁R A)∪B={x|x>﹣};(2)若集合C={x|m﹣2≤x≤2m},且(∁R A)∩C=C,∴C⊆∁R A,∴,解得<m<2;当C=∅时,m﹣2>2m,解得∴m<﹣2;综上,m的取值范围是m<﹣2或<m<2.39.【解答】解:(1)a=2时,f(x)=(﹣x2+2x)•e x的导数为f′(x)=e x(2﹣x2),由f′(x)>0,解得﹣<x<,由f′(x)<0,解得x<﹣或x>.即有函数f(x)的单调减区间为(﹣∞,﹣),(,+∞),单调增区间为(﹣,).(2)函数f(x)=(﹣x2+ax)•e x的导数为f′(x)=e x[a﹣x2+(a﹣2)x],由函数f(x)在(﹣1,1)上单调递增,则有f′(x)≥0在(﹣1,1)上恒成立,即为a﹣x2+(a﹣2)x≥0,即有x2﹣(a﹣2)x﹣a≤0,则有1+(a﹣2)﹣a≤0且1﹣(a﹣2)﹣a≤0,解得a≥.则有a的取值范围为[,+∞).40.【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=(log2x)2+4log2x+m,x∈[,4],m为常数.令t=log2x,∵x∈[,4],∴t∈[﹣3,2]则由已知,若f(x)存在大于1的零点,即g(t)在t∈(0,2]时有零点g(t)表示的二次函数开口向上,对称轴为t0=﹣2,所以若g(t)在t∈(0,2]时有零点,即⇒﹣12≤m<0即m的取值范围为[﹣12,0,(Ⅱ)若f(x)有两个相异的零点,即g(t)在t∈[﹣3,2]时有两个相异零点∴g(t)表示的二次函数开口向上,对称轴为t0=﹣2∴即m的取值范围为[3,4),此时,方程g(t)=t2+4t+m=0的两根t1+t2=﹣4即,第31页(共31页)。
2023届广西壮族自治区钦州市第四中学高三上学期11月考试数学(理)试题(解析版)

2023届广西壮族自治区钦州市第四中学高三上学期11月考试数学(理)试题一、单选题1.设1x ,2x ,3x 分别是方程3log 3x x +=,()3log 2x x +=-,ln 4x e x =+的实根,则 A .123x x x <+ B .213x x x <<C .231x x x <<D .321x x x <<【答案】C【分析】将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项 【详解】由题,对于3log 3x x +=,由3log y x =与3y x =-的图像,如图所示,可得123x <<;对于()3log 2x x +=-,由()3log 2y x =+与y x =-的图像,如图所示,可得210x -<<;对于ln 4x e x =+,由4x y e =-与ln y x =的图像,如图所示,可得()30,1x ∈或()31,2x ∈ 故231x x x <<【点睛】本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想 2.已知55<84,134<85.设a =log 53,b =log 85,c =log 138,则( ) A .a <b <c B .b <a <c C .b <c <a D .c <a <b【答案】A【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈,利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系,由8log 5b =,得85b =,结合5458<可得出45b <,由13log 8c =,得138c =,结合45138<,可得出45c >,综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈,()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,a b ∴<; 由8log 5b =,得85b =,由5458<,得5488b <,54b ∴<,可得45b <; 由13log 8c =,得138c =,由45138<,得451313c <,54c ∴>,可得45c >.综上所述,a b c <<. 故选:A.【点睛】本题考查对数式的大小比较,涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用,考查推理能力,属于中等题. 3.已知幂函数()()()22421m m f x m x m R -+=-∈在()0,∞+上单调递减,设153a =,51log 3b =,5log 4c =,则( )A .()()()f a f b f c <<B .()()()f c f b f a <<C .()()()f a f c f b <<D .()()()f b f a f c <<【答案】C【分析】根据幂函数的概念以及幂函数的单调性求出m ,在根据指数函数与对数函数的单调性得到b ac -<<,根据幂函数的单调性得到()()()f b f a f c -<<,再结合偶函数可得答案.【详解】根据幂函数的定义可得2(1)1m -=,解得0m =或2m =, 当0m =时,2()f x x =,此时满足()f x 在()0,∞+上单调递增,不合题意,当2m =时,2()f x x -=,此时()f x 在()0,∞+上单调递减, 所以2()f x x -=.因为10555551330log 1log 3log 4log 51=<=<<<=,, 又155log 3log 3b -=-=,所以bc a -<<,因为()f x 在()0,∞+上单调递减,所以()()()f b f c f a ->>, 又因为2()f x x -=为偶函数,所以()()f b f b -=, 所以()()()f b f c f a >>. 故选:C4.函数()()ln 1f x x =-的定义域是 A .(),1-∞ B .(],1-∞ C .[)1,+∞ D .()1,+∞【答案】A【详解】试题分析:,解得,故选A .【解析】对数函数5.若122log log 2a b +=,则有A .2a b =B .2b a =C .4a b =D .4b a =【答案】C【分析】由对数的运算可得212log log a b +=2log 2a b=,再求解即可. 【详解】解:因为212log log a b +=222log log log 2a b a b-==, 所以224ab==, 即4a b =, 故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题. 6.已知5log 2a =,8log 3b =,12c =,则下列判断正确的是( ) A .c b a << B .b a c << C .a c b << D .a b c <<【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系,由此可得出结论.【详解】55881log 2log log log 32a b =<=<=,即a c b <<. 故选:C.7.已知实数a ,b ,c 满足ln b a e c ==,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a b c >> B .c b a >> C .b c a >> D .a c b >>【答案】D【分析】构造函数()ln f x x x =-,利用导数可证ln x x >,据此可比较大小. 【详解】令()ln (0)f x x x x =->,则1()1.f x x'=-当01x <<时,()0,()'<f x f x 单调递减, 当1x <时,()0,()'>f x f x 单调递增, 所以()(1)10f x f ≥=>, 即ln x x >.所以ln a a c >=,ln ln b c c e b >==, 故选:D8.已知函数()ln x f x x=,()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞,2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立,则221k x e x ⎛⎫⎪⎝⎭的最大值为( ) A .2e B .e C .24e D .21e 【答案】C【解析】由题意可知,()()xg x f e =,由()()()120f x g x k k ==<可得出101x <<,20x <,利用导数可得出函数()y f x =在区间()0,1上单调递增,函数()y g x =在区间(),0∞-上单调递增,进而可得出21x x e =,由此可得出()22221x x x g x k x e ===,可得出2221k k x e k e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,构造函数()2kh k k e =,利用导数求出函数()y h k =在(),0k ∈-∞上的最大值即可得解. 【详解】()ln x f x x =,()()ln xx x x x e g x f e e e===, 由于()111ln 0x f x k x ==<,则11ln 001x x <⇒<<,同理可知,20x <,函数()y f x =的定义域为()0,∞+,()21ln 0xf x x -'=>对()0,1x ∀∈恒成立,所以,函数()y f x =在区间()0,1上单调递增,同理可知,函数()y g x =在区间(),0∞-上单调递增, ()()()212x f x g x f e∴==,则21x x e =,()22221x x x g x k x e ∴===,则2221k k x e k e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,构造函数()2kh k k e =,其中0k <,则()()()222k k h k k k e k k e '=+=+.当2k <-时,()0h k '>,此时函数()y h k =单调递增;当20k -<<时,()0h k '<,此时函数()y h k =单调递减.所以,()()2max 42h k h e =-=. 故选:C.【点睛】本题考查代数式最值的计算,涉及指对同构思想的应用,考查化归与转化思想的应用,有一定的难度.9.已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-且()00f =,当](0,4x ∈时,()()ln 2x f x x=,关于x 的不等式()()20f x a f x +⋅>⎡⎤⎣⎦在[]200,200-上有且只有200个整数解,则实数a 的取值范围为 A .]1ln 6,ln 23⎛- ⎝B .1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭C .1ln 6,ln 23⎛⎫- ⎪⎝⎭D .(]1ln 2,ln 63--【答案】D【分析】判断f (x )在(0,8)上的单调性,根据对称性得出不等式在一个周期(0,8)内有4个整数解,再根据对称性得出不等式在(0,4)上有2个整数解,从而得出a 的范围. 【详解】当0<x≤4时,f′(x )=21ln 2xx -, 令f ′(x )=0得x=2e,∴f (x )在(0,2e )上单调递增,在(2e,4)上单调递减,∵f (x )是偶函数,∴f (x+4)=f (4﹣x )=f (x ﹣4), ∴f (x )的周期为8,∵f (x )是偶函数,且不等式f 2(x )+af (x )>0在[﹣200,200]上有且只有200个整数解, ∴不等式在(0,200)内有100个整数解, ∵f (x )在(0,200)内有25个周期,∴f (x )在一个周期(0,8)内有4个整数解,(1)若a >0,由f 2(x )+af (x )>0,可得f (x )>0或f (x )<﹣a , 显然f (x )>0在一个周期(0,8)内有7个整数解,不符合题意; (2)若a <0,由f 2(x )+af (x )>0,可得f (x )<0或f (x )>﹣a , 显然f (x )<0在区间(0,8)上无解, ∴f (x )>﹣a 在(0,8)上有4个整数解, ∵f (x )在(0,8)上关于直线x=4对称, ∴f (x )在(0,4)上有2个整数解, ∵f (1)=ln2,f (2)=ln 42=ln2,f (3)=ln 63, ∴f (x )>﹣a 在(0,4)上的整数解为x=1,x=2. ∴ln 63≤﹣a <ln2, 解得﹣ln2<a≤﹣ln 63. 故答案为:D【点睛】(1)本题主要考查函数的奇偶性和单调性,考查函数的图像和性质,考查函数的零点问题,意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点,其一是分析出函数f(x)的周期性和对称性,f (x )在一个周期(0,8)内有4个整数解.其二是对a 分类讨论,得到a 的取值范围. 10.形如11y x =-的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字,故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数()()()2log 10,1a f x x x a a =++>≠有最小值,则“囧函数”与函数log a y x =的图像交点个数为( ) A .1 B .2 C .4 D .6【答案】C【分析】令21u x x =++,根据函数()log 0,1a y u a a =>≠有最小值,可得1a >,由此可画出“囧函数”11y x =-与函数log a y x =在同一坐标系内的图象,由图象分析可得结果. 【详解】令21u x x =++,则函数()log 0,1a y u a a =>≠有最小值.∵2133244u x ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭,∴当函数log a y u =是增函数时,log a y u =在3,4u ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有最小值,∴当函数log a y u =是减函数时,log a y u =在3,4u ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上无最小值,∴1a >.此时“囧函数”11y x =-与函数log a y x =在同一坐标系内的图象如图所示,由图象可知,它们的图象的交点个数为4. 所以本题答案为C.【点睛】本题考查对数函数的性质和函数图象的应用,考查学生画图能力和数形结合的思想运用,属中档题.11.已知11e 2,e ,x y z ππ===,则,,x y z 的大小关系为( ) A .x y z >> B .x z y >> C .y x z >> D .y z x >>【答案】D【分析】将11e2,e ,x y z ππ===变为111ln ln 2,ln ln e,ln ln 2e x y z ππ===,构造函数()()ln 0xf x x x =>,利用导数判断函数的单调性,再结合11ln ln 2ln 424x ==,根据函数的单调性即可得出答案.【详解】解:由11e 2,e ,x y z ππ===, 得111ln ln 2,ln ln e,ln ln 2e x y z ππ===,令()()ln 0x f x x x =>,则()()21ln 0xf x x x-'=>, 当0e x <<时,0f x,当e x >时,()0f x '<,所以函数()f x 在()0,e 上递增,在[)e,+∞上递减, 又因11ln ln 2ln 424x ==, e 34,<<且[)e,3,4e,∈+∞, 所以()()()e 34f f f >>, 即ln ln ln y z x >>, 所以y z x >>.故选:D.12.已知函数()()21e ,043,0x x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩,函数()y f x a =-有四个不同的零点,从小到大依次为1x ,2x ,3x ,4x ,则1234x x x x ++的取值范围为( ) A .(]5,3e + B .[)4,4e +C .[4,)+∞D .(,4]-∞【答案】A【分析】根据导函数判断函数()f x 的单调性,画出函数图像,将()y f x a =-有四个零点转化为()y f x =的图像与y a =有四个不同交点,分析可知1e a <≤,由韦达定理可得12344ln ++=+-x x x x a a ,设()4ln =+-g a a a ,1e a <≤,由导函数分析函数单调性,即可求出范围.【详解】解:0x ≤时,2(1)()e x f x +=,2(1)()e 2(1)x f x x +'∴=⋅+, ()f x ∴在(,1)-∞-上单调递减,在(1,0)-上单调递增,(1)1,(0)e f f -==,0x时,4()3f x x x=+-, ()f x ∴在(0,2)上单调递减,在(2,)+∞上单调递增,(2)1f =,画出()f x 的图像如下图,()y f x a =-有四个零点即()y f x =的图像与y a =有四个不同交点,由图可得1e a <≤,12,x x 是方程2(1)e x a +=,即221x x ++-ln 0a =的两根, 34,x x 是方程43x a x+-=,即2(3)x a x -+40+=的两根, 121ln x x a ∴=-,343x x a +=+,则12341ln 34ln (1e)x x x x a a a a a ++=-++=+-<≤, 设()4ln =+-g a a a ,1e a <≤,则1()10'=->g a a,()g a ∴在(1,e)上单调递增,∴当1e a <≤时,(1)()(e)g g a g <≤,即5()3e g a <≤+.故选:A.二、填空题13.已知函数2,01()12,12x x x f x x +≤<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩,若a >b ≥0且f (a )=f (b ),则bf (a )的取值范围是_____.【答案】5,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】根据单调性确定,a b 的关系,再确定a 的取值范围,()bf a 化为a 的函数,然后可得其范围. 【详解】由题意()f x 在[0,1)上递增,在[1,)+∞上也递增,∴由a >b ≥0且f (a )=f (b ),得1222a b +=+,[0,1)b ∈,由11222a+=+得12a =,∴25log 2a =,∴251,log 2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭令122at =+,∴5,32t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,()bf a =223122(2)2(1)122a a t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+=-=-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,记2(1)1y t =--,∵5,32t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,∴5,34y ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.∴()bf a 的取值范围是5,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为:5,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数的单调性,利用单调性确定,a b 的关系,并确定a 的取值范围,利用此关系式化二元函数()bf a 为一元函数,然后利用换元法求得取值范围. 14.给出下列四个命题:①函数f (x )=ln x -2+x 在区间(1 ,e )上存在零点; ②若()00f x '=,则函数y =f (x )在x =x 0处取得极值;③若m ≥-1,则函数()212log 2y x x m =--的值域为R ; ④“a =1”是“函数()e 1exxa f x a -=+ 在定义域上是奇函数”的充分不必要条件. 其中正确的是_________ 【答案】①③④【分析】①根据函数零点的判断条件即可得到结论;②根据对数函数的性质即可得到结论;③根据函数极值的定义和导数之间的关系即可得到结论;④根据函数奇偶性的定义以及充分条件和必要条件即可得到结论【详解】①函数f (x )=ln x ﹣2+x 在区间(1,e )单调递增, ∵f (1)=1﹣2=﹣1<0,f (e )=lne ﹣2+e=e ﹣1>0,∴函数f (x )=ln x ﹣2+x 在区间(1,e )上存在零点,故①正确;②函数f (x )=x 3,满足f ′(0)=0,但此时函数f (x )无极值,故函数y =f (x )在x =x 0处取得极值错误,故②错误;③要使函数y= 12log (x 2﹣2x ﹣m )的值域为R ,则函数y=x 2﹣2x ﹣m 能取得所有的正值,即判别式△=4+4m≥0,解得m≥﹣1,故③正确;④当a =1,函数f (x )=e 1e =1e 1ex xx xa a --++ ,则f (﹣x )=1e e 11e 1e x x x x ----=++=﹣1e 1e xx -+=﹣f (x )是奇函数, 当a =﹣1时f (x )=1e e 1=1e e 1x x x x --+-- ,满足f (﹣x )=e 11e e 11e x x x x--++=--=﹣e 1e 1x x +-=﹣f (x ),此时f (x )是奇函数,但a =1不成立, 即④“a =1”是“函数f (x )=e 1e xx a a -+在定义域上是奇函数”的充分不必要条件,故④正确.故答案为①③④15.对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠,有如下结论: ①()()()1212f x x f x f x +=⋅; ②()()()1212f x x f x f x ⋅=+; ③()()12120f x f x x x ->-;④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭当()lg f x x =时,上述结论中正确结论的序号是________. 【答案】②③【分析】根据对数的运算法则计算得到①不正确,②正确,根据对数函数的单调性得到③正确,代入计算结合均值不等式得到④不正确,得到答案.【详解】()()1212lg f x x x x +=+,()()121212lg lg lg f x f x x x x x +=+=,则①不正确;()1212lg f x x x x ⋅=,()()121212lg lg lg f x f x x x x x +=+=,故②正确;()lg f x x =在()0,∞+上单调递增,则当12x x <时,()()12f x f x <,则()()12120f x f x x x ->-,同理12x x >时成立,故③正确;1212lg 22x x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭,()()1212lg lg 22f x f x x x ++==122x x +>则 12lg 2x x +>④不成立. 故答案为:②③16.设函数2()()f x g x x =+,曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为_______【答案】4【详解】试题分析:先根据曲线y=g (x )在点(1,g (1))处的切线方程为y=2x+1,可得g′(1)=2,再利用函数f (x )=g (x )+x 2,可知f′(x )=g′(x )+2x ,从而可求曲线y=f (x )在点(1,f(1))处切线的斜率.解:由题意,∵曲线y=g (x )在点(1,g (1))处的切线方程为y=2x+1,∴g′(1)=2,∵函数f (x )=g (x )+x 2,∴f′(x )=g′(x )+2x ∴f′(1)=g′(1)+2∴f′(1)=2+2=4∴曲线y=f (x )在点(1,f (1))处切线的斜率为4,故答案为4【解析】导数的几何意义点评:本题考查的重点是曲线在点处切线的斜率,解题的关键是利用导数的几何意义.三、解答题17.函数()()ln 11f x x x a x =-++.(1)若函数()f x 有2个零点,求实数a 的取值范围;(2)若函数()f x 在区间[]1,e 上最大值为m ,最小值为n ,求m n -的最小值.【答案】(1)0a > (2)1e 1e ee 1---【分析】(1)利用导数求出函数()f x 的单调性和最小值,结合函数图象,由最小值小于0即可解得结果;(2)分类讨论a ,求出,m n ,得到m n -,再构造函数求出最小值即可得解.【详解】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞,1()ln (1)ln f x x x a x a x '=+⋅-+=-, 当0e a x <<时,()0f x '<,当e a x >时,()0f x '>,所以()f x 在(0,e )a 上为减函数,在(e ,)a +∞上为增函数,所以当e a x =时,()f x 取得最小值,为(e )e ln e (1)e 1a a a a f a =-++=1e a -,因为当x 趋近于0时,()f x 趋近于1,当x 趋近于正无穷时,()f x 也趋近于正无穷,所以要使函数()f x 有2个零点,则1e 0a -<,解得0a >.(2)()ln f x x a '=-,[1,e]x ∈,ln [0,1]x ∈,(i )当0a ≤时,()0f x '≥恒成立,函数()f x 在区间[1,e]上为增函数,所以(e)1e m f a ==-,(1)n f a ==-,所以(1e)1m n a -=-+,令()(1e)1p a a =-+,则函数()p a 在区间(,0]-∞上单调递减,所以()p a 的最小值为(0)1p =,即m n -的最小值为1.(ii )当1a ≥时,()0f x '≤恒成立,函数()f x 在区间[1,e]上单调递减,所以(1)m f a ==-,(e)1e n f a ==-,所以(e 1)1m n a -=--,令()(e 1)1h a a =--,则函数()h a 在区间[1,)+∞上单调递增,所以()h a 的最小值为(1)e 2h =-,即m n -的最小值为e 2-.(iii )当01a <<时,由()0f x '>,得e e a x <≤,由()0f x '<,得1e a x ≤<,所以函数()f x 在区间[1,e )a 上单调递减,在区间(e ,e]a 上单调递增,所以(e )1e a a n f ==-,①当11e 1a ≤<-时,(1)(e)(e 1)10f f a -=--≥,此时(1)m f a ==-, 所以(1)(e )e 1a a m n f f a -=-=--,令()e 1a a a ϕ=--,则()e 10a a ϕ'=->,所以函数()a ϕ在区间1[,1)e 1-上单调递增, 所以函数()a ϕ的最小值为1()(1)e 2e 1ϕϕ<=--, 所以m n -的最小值为11e 1e 111e ()e 1e e 1e 1e 1ϕ--=--=----. ②当10e 1a <<-时,(1)(e)(e 1)10f f a -=--<,所以(1)1e m f a ==-, 所以(e)(e )e e a a m n f f a -=-=-,令()e e a q a a =-,则()e e 0a q a '=-<,所以函数()q a 在区间1(0,)e 1-上单调递减, 所以1e 11e ()()e e 1e 1q a q ->=---, 综上所述:m n -的最小值为1e 1e e e 1---. 【点睛】关键点点睛:(1)中,利用导数求出函数的最小值,利用最小值小于0求解是解题关键;(2)中,对a 分类讨论,利用导数求出,m n ,然后作差构造函数求最小值是解题关键.18.已知函数()ln (0,e 2.71828e x a f x x a =->=为自然对数的底数).(1)当1a =时,判断函数()f x 的单调性和零点个数,并证明你的结论;(2)当[]1,e x ∈时,关于x 的不等式()2ln f x x a >-恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)函数()f x 的零点个数为1个,证明见解析(2)()e 1e ,∞++【分析】(1)利用函数单调性证明,再利用零点存在性定理即可知零点个数.(2)将()2ln f x x a >-转化为ln ln e ln e ln a x x a x x -+-+>,构造函数()e x g x x =+,转化为ln ln a x x ->,即ln ln a x x >+,即()max ln ln a x x >+,求解即可.【详解】(1)函数()f x 的定义域为()0,∞+.当1a =时,函数()e1ln x f x x =-在()0,∞+上单调递减,证明如下: 任取()12,0,x x ∈+∞,且12x x <,()()12121212211111ln ln ln ln e e e ex x x x f x f x x x x x -=--+=-+-211221e e ln e e x x x x x x -=+⋅ ∵120x x <<,∴21211,e e 0x x x x >->,21ln 0x x ∴> ∴()()120f x f x ->,即()()12f x f x >.所以函数()e 1ln xf x x =-在()0,∞+上单词递减. 又1111(1)ln10,(e)ln e 10e e e ex x f f =-=>=-=-< ∴()e 1ln xf x x =-在区间()1,e 上存在零点,且为唯一的零点. ∴函数()f x 的零点个数为1个(2)()2ln f x x a >-可化为ln 2ln e xa a x x +>+. 可化为ln e ln ln a x a x x x -+->+.可化为ln ln e ln e ln a x x a x x -+-+>.令()e x g x x =+,可知()e x g x x =+在R 单调递增,所以有ln ln a x x ->,即ln ln a x x >+令()ln h x x x =+,可知()ln h x x x =+在(0,)+∞上单调递增.即()ln h x x x =+在[]1,e 上单调递增,max ()(e)ln e e 1e h x h ==+=+e 1max ln ()e 1ln e a h x +∴>=+=,e 1e a +∴>所以实数a 的取值范围是()e 1e ,∞++. 【点睛】方法点睛:本题考查不等式的恒成立问题, 不等式恒成立问题常见方法:①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立(()min a f x ≤即可);②数形结合(()y f x = 图像在()y g x = 上方即可);③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.19.已知定义域为R 的函数13()33xx n f x +-=+是奇函数. (1)求()y f x =的解析式;(2)若428log log (42)0f x f a x ⎛⎫⋅+-> ⎪⎝⎭恒成立,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)113()33xx f x +-=+;(2)4116a >. 【解析】(1)由()f x 是奇函数可得()()f x f x -=-()()1310x n ⇒-+=,从而可求得n 值,即可求得()f x 的解析式;(2)由复合函数的单调性判断()f x 在R 上单调递减,结合函数的奇偶性将不等式恒成立问题转化为221log (3log )242x x a ⋅-<-,令2log t x =,利用二次函数的性质求得21(3)2t t -的最大值,即可求得a 的取值范围.【详解】(1)因为函数13()33xx n f x +-=+为奇函数, 所以()()f x f x -=-,即11333333x xx x n n --++--=-++, 所以113133333x xx x n n ++⋅--=-++,所以()()3031113x x x n n n ⋅-=-+⇒-+=, 可得1n =,函数113()33xx f x +-=+. (2)由(1)知()11313112()333313331x x x x x f x +--==-⋅=-++++ 所以()f x 在(),-∞+∞上单调递减. 由428log log (42)0f x f a x ⎛⎫⋅+-> ⎪⎝⎭,得428log log (42)f x f a x ⎛⎫⋅>-- ⎪⎝⎭, 因为函数()f x 是奇函数, 所以428log log (24)f x f a x ⎛⎫⋅>- ⎪⎝⎭, 所以()42log 3log 24x x a ⋅-<-,整理得()221log 3log 242x x a ⋅-<-, 设2log t x =,t R ∈, 则()213242t t a -<-, 当32t =时,()2132y t t =-有最大值,最大值为98. 所以9248a ->,即4116a >. 【点睛】方法点睛:已知函数的奇偶性求参数,主要方法有两个,一是利用:(1)奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解,(2)偶函数由()()0f x f x --= 恒成立求解;二是利用特殊值:奇函数一般由()00f = 求解,偶函数一般由()()110f f --=求解,用特殊法求解参数后,一定要注意验证奇偶性.20.已知函数e 1()ln x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,其中k 为常数, 2.71828e =…为自然对数的底数. (1)若2e k =,求函数()f x 的极值;(2)若函数()f x 在区间(1,2)上单调,求k 的取值范围.【答案】(1)极小值为2ln 2e -极大值为2e e -;(2))2(,],e e ⎡-∞+∞⎣.【解析】(1)利用导数求解函数的极值即可。
2020-2021学年高三数学(理科)第一次高考模拟考试试题及答案解析

2020-2021学年⾼三数学(理科)第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境!@绝密★启⽤前试卷类型:A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷(理科)本试卷分选择题和⾮选择题两部分,共4页,满分150分,考试时间120分钟。
注意事项:1.答卷前,考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。
2.选择题每⼩题选出答案后,⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3.⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。
4.考⽣必须保持答题卷的整洁,考试结束后,将答题卷交回。
第Ⅰ卷(选择题,共60分)⼀.选择题:本⼤题共12⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-(i为虚数单位)的虚部是()A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是()A .()2x f x =B .()sin f x x x =C .1()f x x =D .()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12,πα-<<,则tan α=()A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6,则P点到(0,的距离是()@学⽆⽌境!@A .2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是()A. 命题p :“sin +cos =2x x x ?∈R ,”,则?p 是真命题 B .21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C .命题2,10x x x ?∈++的否定是:“210x x x ?∈++D .“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞,在,上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为() A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7.2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖,这6名学⽣要排成⼀排合影,则同校学⽣排在⼀起的概率是()A .130 B .115 C .110 D .158.执⾏如图8的程序框图,若输出S 的值是12,则a 的值可以为()A .2014B .2015C .2016D .20179.若某⼏何体的三视图(单位:cm )如图所⽰,则该⼏何体的体积()A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10.若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项,则n 可以为() A .8 9 C .10 D. 11 11.=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, ()A .?60B .C .?150D .?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字,故我们把其⽣动地称为“囧函数”.若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值,则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为().A .1B .2C .4D .6第Ⅱ卷(⾮选择题,共90分)⼆.填空题:本⼤题共4⼩题,每⼩题 5分,共20分.13.⼀个长⽅体⾼为5,底⾯长⽅形对⾓线长为12,则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境!@14.如图,探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分,光源在抛物线的焦点F 处,灯⼝直径AB 为60cm ,灯深(顶点O 到反射镜距离)40cm ,则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ,那么()221y x ++的取值范围为 16.CD CB AD AC AD AB ,AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在,则B cos =三.解答题:本⼤题共5⼩题,每题12分共60分.解答应写出⽂字说明,证明过程或演算步骤.17.(本⼩题满分12分)已知{}n b 为单调递增的等差数列,168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。
四川省成都市高考数学三诊试卷理科解析版
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m、 n、 p 中的最小数,化简比较三个
数即可得解.
【解答】 解:根据题意,该流程图的作用是求出 m、n、 p 中的最小数,
并将此最小的数用变量 x 表示并输出,
由于, m=
=
, n=0.6﹣2= , p=
=,
可得, >
> ,即: n> m> p.
故选: A .
8.某学校食堂旱餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用,有
f( x)的 “囧圆 ”,则
① 对任意 x∈( 0, +∞),都有 f( x)> 成立;
② 存在 x 0∈( , ),使 f ( x 0)< tanx0 成立;
③ 函数 f ( x)的 “囧点 ”与函数 y=lnx 图象上的点的最短距离是
;
④ 函数 f ( x)的所有 “囧圆 ”中,其周长的最小值为 2 π.
)
A . 2 B. 4 C. 6 D. 8
2.命题 “?x∈(﹣ 1, +∞), ln( x+1)< x”的否定是(
)
A . ?x?(﹣ 1, +∞), ln( x +1)< x B. ?x0?(﹣ 1, +∞), ln( x0+1)< x 0
C. ?x∈(﹣ 1, +∞), ln( x+1)≥ x D . ?x 0∈(﹣ 1,+∞), ln( x0+1)≥ x 0
sinB=2sinC ,求 b 的值.
17.如图,在三棱台 DEF ﹣ ABC 中,已知底面 ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形, 底面 ABC , AB=2DE , G, H 分别为 AC , BC 的中点. (1)求证:平面 ABED ∥平面 GHF;
囧函数
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浅谈“21世纪最风行的函数”————囧函数上海市西南模范中学 张太树【摘要】:本文浅谈 “21世纪最风行的函数”囧函数在高中数学中的应用,并作简单的归类,希望对大家有所帮助。
【关键词】:囧 囧函数 囧圆 囧数列 高中数学数学函数上有一些函数图象很像“囧”,这类函数人们生动地称为囧函数。
当我们在函数的外侧加上一个正方形的时候,一个具有数学意义的“囧”就诞生了。
定义:函数图像类似于“囧”字的函数。
常见"囧函数"类型:一. 绝对值型"囧函数"形如:()R c b a ax b y ∈>>+-=,0,0c 型 例1.求函数11-=x y 的单调增区间? 解析:由图1易知x=1与x=-1是函数图像的渐近线所以,单调增区间为:()(]0,11--∞- ,图1例2.(2011上海高三六校联考) 我们把形如()0,0>>-=b a ax b y 的函数因其图像类似于汉字“囧”字,故生动地称为“囧函数”,并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”,以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆,皆称之为“囧圆”,则当1=a ,1=b 时,所有的“囧圆”中,面积的最小值为____________解析:如图2显然圆心C(0,-1),由图当圆C 与“囧眉毛”相切时,圆面积最小。
在()1x 11>-=x y 上任取一点P(x,y),则 代人得:把11y )1(222-=-+=x y x R R 2=22)111(x --+x 令t=化简得:)0(11>-t x R 2=311t 2+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-)(t ,3R 2≥∴ ∴面积的最小值为3π 图2二. 偶次方型"囧函数"。
形如:()为偶数m R c b a ab y m ,,0,0c x ∈>>+-= 例3.画出函数y=114-x 的大致图像并求单调区间? 解析:大致图像如图3,单增区间为:()(]0,11--∞- ,单减区间为:[)()∞+,11,0三.半脸型"囧函数" 图3 形如:(),,0,0c x R c b a a by ∈>>+-=例4.画出函数y=11-x 的大致图像?解析:大致图形如图4,像半张脸。
北京海淀北理工附中2022-2023学年高一上数学期末考试试题含解析
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据此可得: ,即函数 是周期为2的函数,
本题主要考查函数的周期性及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12、C
【解析】令 ,化为指数式即可得出.
【详解】令 ,则
,
∴ ,即 的估算值为 .
故选:C.
二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案写在答题卡上.)
【详解】解:由题设可知函数 的函数值不会取到0,故命题①是错误的;
当 时,函数 是单调递增函数,故“囧函数”在 上单调递减,因此命题②是错误的;
函数 的定义域为 ,
因为 ,
所以函数 是偶函数,因此其图象关于 轴对称,命题③是真命题;
因当 时函数 恒不为零,即没有零点,故命题④是错误的;
作出 的大致图象,如图,在四个象限都有图象,
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
当 时, ,故 不是对称点;
当 时, 为最大值,故 一条对称轴为 ,故D正确,
故选D.
【点睛】本题主要考查函数 的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属于基础题.利用y=sinx的对称中心为 求解,令 ,求得x.
9、C
【解析】根据正弦型 函数图象与性质,即可求解.
【详解】由图可知: ,所以 ,故 ,又 ,可求得 , ,由 可得
14.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2cm,则球的表面积为_____________
辽宁高二高中数学开学考试带答案解析
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辽宁高二高中数学开学考试班级:___________ 姓名:___________ 分数:___________一、选择题1.已知集合,则()A.B.C.D.2.成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作,该书中记载有很多数列问题,如“今有女善织,日益功疾。
初日织五尺,今一月日织九匹三丈。
问日益几何。
”意思是:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺,30天共织布390尺,则该女子织布每天增加()A.尺B.尺C.尺D.尺3.某防疫站对学生进行身体健康调查,欲采用分层抽样的办法抽取样本.某中学共有学生2000名,抽取了一个容量为200的样本,样本中男生103人,则该中学共有女生()A.1030人B.97人C.950人D.970人4.已知向量,满足,且,,则与的夹角为()A.B.C.D.5.若正数满足,则的最小值是()A.24B.28C.30D.256.如图,输入时,则输出的()A.B.C.D.7.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外接球表面积为()A.B.C.D.8.若满足约束条件,则的最大值是()A.B.C.D.9.设是两条不同的直线,是两个不重合的平面,有以下四个命题:①若且,则;②若且,则;③若且,则;④若且,则;其中真命题的序号是()A.②③B.③④C.①④D.①②10.已知数列为等比数列,是它的前项和,若,且与的等差中项为,则()A.B.C.D.11.已知直线与圆交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点,若,则()A.4B.3C.D.12.函数的图象形如汉字“囧”,故称其为“囧函数”.下列命题:①“囧函数”的值域为;②“囧函数”在上单调递增;③“囧函数”的图象关于轴对称;④“囧函数”有两个零点;⑤“囧函数”的图象与直线至少有一个交点.正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.4二、填空题1.已知则___________.2.设函数为区间上的图象是连续不断的一条曲线,且恒有,可以用随机模拟方法计算由曲线及直线,,所围成部分的面积,先产生两组(每组个)区间上的均匀随机数和,由此得到N个点,再数出其中满足的点数,那么由随机模拟方法可得的近似值为___________3._________________.4.在上定义运算,若存在,,则实数的取值范围为_______.三、解答题1.在中,边的对角分别为;且,面积.(1)求的值;(2)设,将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到的图象,求的单调增区间.2.如图,已知平面,四边形为矩形,四边形为直角梯形,,,,.(1)求证:平面;(2)求证:平面.(3)求三棱锥的体积.3.为检验寒假学生自主学习的效果,年级部对某班50名学生各科的检测成绩进行了统计,下面是政治成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是:.(1)求图中的值及平均成绩;(2)从分数在中选5人记为,从分数在中选3人,记为人组成一个学习小组.现从这5人和3人中各选1人做为组长,求被选中且未被选中的概率.4.已知数列的各项均为正数,是数列的前n项和,且.(1)求数列的通项公式;(2)已知求数列的前项和.5.已知圆的方程为:.(1)求过点且与圆相切的直线的方程;(2)直线过点,且与圆交于两点,若,求直线的方程;(3)圆上有一动点,,若向量,求动点的轨迹方程.6.已知函数成等差数列,点是函数图像上任意一点,点关于原点的对称点的轨迹是函数的图像(1)解关于的不等式;(2)当时,总有恒成立,求的取值范围.辽宁高二高中数学开学考试答案及解析一、选择题1.已知集合,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】解析:因,故,应选答案B。
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《囧函数》
数学函数上有一些函数图象很像“囧”,这类函数人们生动地称为囧函数。
当我们
在函数的外侧加上一个正方形的时候,一个具有数学意义的“囧”就诞生了。
定义:函数图像类似于“囧”字的函数。
常见"囧函数"类型:
1. 绝对值型"囧函数"
形如:()R c b a a
x b y ∈>>+-=,0,0c 型 例 求函数11-=
x y 的函数图像 解析: x=1与x=-1是函数图像的渐近线
2. 偶次方型"囧函数"。
形如:()为偶数m R c b a a
b y m ,,0,0
c x ∈>>+-=
例 画出函数y=114-x 的大致图像并求单调区间? 解析:大致图像如图3,单增区间为:()(]0,11--∞- ,
单减区间为:[)()∞+,1
1,0
3.半脸型"囧函数" 形如:(),,0,0c x R c b a a b
y ∈>>+-=
例.画出函数y=11
-x 的大致图像?
解析:大致图形如图,像半张脸。
4.特殊半脸型"囧函数"————“囧数列” 例.已知数列{a n }的通项是a n =1413
--n n (n ∈N *
),则它的最大项与最小项分别是第几项? 解析:
如图,显然最大项为第5项,最小项为第4项。