高一数学期中考试试题及答案

则u
4x
y
4x
y
1 x
1 y
y x
4x y
5
2
y 4x 5 9 ， xy
当且仅当
y
4x
，即
y x
4x ， y 解得
x
3 2
,
此时等号成立.
xy
xy y x， y 3,
当 x 3 ， y 3 (单位：百米) 时,所需的总费用最少. 2
四、解答题
19．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y x2 6x 1 与 x 轴交于 A, B 两点，与 y 轴交于 M 点. A, B, M 三点都在圆 C 上. （1）求线段 AB 的垂直平分线方程；
【解析】
解：（1）将侧面沿母线 SA展开， A 点对于与 A1 ，
连接 A1C ，则 A1C 为最小长度； 因为 SA 18 ， AB 12 ，则 AA1 AB 12 ，设 ASA1
2
22
2
由于
B
为
ABC
的内角，∴
cos
A 2
0
，所以
sin
A 2
1 2
，
又因为 A 0, ，所以 A ， A ；
26
3
（2）在 ABC 中由余弦定理知：
a2
b2
c2
2bc cos
A
(b
c)2
3bc
b
c2
3
b
2
c
2
，
所以 a 1 ，等号当仅当 b c 1 时等号成立，此时 S 1 bc sin A 3
【解析】
令 x2 2 t ， t 2 ，则 y t a 2(t 2) ，依次判断每个选项得到答案. t
三、填空题
15．与直线 2x+3y–6=0 关于点（1，–1）对称的直线方程是______.
【答案】2x+3y+8=0
【解析】
在所求直线上取点（x，y），
则关于点（1，–1）对称的点的坐标为（2–x，–2–y），
两个平面的公共点必在其交线上,故 D 正确.
故选：AD.
14．已知函数
f
(x)
x4
2x2 x2 2
a
(x R) 的值域为[m,) ，则实数 a 与实数 m
的取值可能为
（）
A． a 0, m 0
B． a 1, m 1
C． a 2, m 2 2 2 D． a 4, m 2
【答案】AD
百
米， AN
百米,可以使得所需的总费用最少.
3
【答案】 ，3
2
【解析】
设 AM x , AN y ,则 0 x 4 ， 0 y 4
由题意得 SAMN SAMP SANP ，
故 1 AM ANsinMAN 1 AM APsinMAP 1 AN APsinNAP ，
2
2
2
即 1 xysin120 1 ysin60 1 xsin60 ，
计算可得 a 3 或 a 1，又 a 3 ，可得 a 3 或1 a 3 ，
2
2
则实数
a
的取值范围是
,
3
1,
3 2
.
12．已知 A(4,0), B(1,4) ，若 P 为圆 C : x2 y2 4 上的一动点，记线段 AP 的中点为 Q ，则 BQ
的最大值为（ ）
A．4
B．6
C． 2 6
7．若点 P(3, a) 到直线 x 3y 4 0 的距离为 1，则 a 的值为（ ）
A． 3
【答案】C 【解析】
B． 3 3
C． 3 或 3 3
D． 3 或 3 3
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3 3a 4
由题意得
3a 1 1 ，即
3a 1 2 ，
1 3
2
解得 a 3 或 a 3 ．选 C．
【答案】B
【解析】转移代入法，求得： Q 点轨迹方程为 (x 2)2 y2 1 BQ 最大值等于 B 到圆心 (2,0) 的距离加半径 1,即 5+1=6。
D． 17 1 2
二、多选题
13．设 P 表示一个点, a, b 表示两条直线, , 表示两个平面,下列说法中正确的是( ) A．若 a / /b , a , P b , P ,则 b B．若 P a , P ,则 a C．若 a b P , b ,则 a D．若 b , P , P ,则 P b
圆 C 的半径为 r 32 t 12 3 ，
故得圆 C 的方程为 x 32 y 12 9 .
20．在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a sin B b sin B C . 2
（1）求 A；
（2）若 b c 2 ，求 a 取最小值时 ABC 的面积 S.
即： m2 m 2 0 ，解方程可得： m 1或 m 2 ，再检验。
9．设 x R ，对于使 2x x2 M 恒成立的所有常数 M 中，我们把 M 的最小值 1 叫
做 2x x2 的上确界.若正实数 a, b 满足 a b 1，则 1 4 的上确界为（ ） ab
A． 16
B． 10
A． 8 km/h 3
B． 6 2 km/h
C．8 km/h
D． 4 5 km/h
【答案】D 【解析】
设 AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为 vkm/h.
由题意知：sinθ= 4 ，则 cosθ= 3 .
5
5
所以由余弦定理得：
1 10
v
2
(1 10
2)2
12
2 1 10
2 1
43 5
，
解得： v 4 5 .
11．若点 A a,a 在圆 x2 y2 2ax a2 2a 3 0 外，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． , 3 C． 3,1
B．
,
3
1,
3 2
D． , 3 1,
【答案】B
【解析】
把圆的方程化为标准方程为： (x a)2 y2 3 2a ，
可得圆心 P 的坐标为 (a,0) ，半径 r
C．
10
D．4
【答案】C
【解析】
由题意可得：直线 l1 的方程为 6x+8y﹣10=0， 因为直线 l2 的方程为 6x+8y+1=0，
所以根据两条平行线间的距离公式 d=
11
可得：直线 l1 与 l2 的距离为 ．
10
5．设 C 的内角 ， ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．若 a 2 ， c 2 3 ， cos 3 ， 2
【答案】（1） A （2） 3
3
4
【解析】
（1）因为
a sin
B
b sin
B
2
C
，所以
a sin
B
b sin
2
A 2
，即
a sin
B
b cos
A 2
，
由正弦定理得 sin Asin B sin B cos A ， 2
由于 C 为 ABC 的内角，所以 sin B 0 ，所以 sin A cos A ，即 2sin A cos A cos A
【答案】AD
【解析】
如图： a / /b , P b , P a ,∴由直线 a 与点 P 确定唯一平面 ,又 a / /b ,由 a 与 b 确定唯一平 面 ,但 经过直线 a 与点 P, 与 重合,b ,故 A 正确； 当 a P 时, P a , P ,但 a Ø ,故 B 错; 当 a P 时,C 错;
17．已知函数 f (x) x2 mx 3 ，若对于任意的 x (m, m 1) 都有 f (x) 0 ，则实数 m 的取值
范围为
.
【答案】[ 6 , 1] 22
f (m) 0
【解析】利用
f
(m
1)
0
求解。
18．如图，一公园有东西方向的道路 AB 和北偏东 30°方向的道路 AC ，两条道路均长 4 百米. 现
2
2
2
所以 xy y x (其中 4 x 4, 4 y 4 ).
3
3
设 ANP 区域每平方百米的绿化费用为 t ( t 为常数)，两区域总费用为 D ，
则有 D 1 xsin60 4t 1 ysin60 t 3 t 4x y ，
2
2
4
记 u 4x y ，由(Ⅰ)可知 xy y x ，即 1 1 1， xy
代入直线 2x+3y–6=0，
可得 2（2–x）+3（–2–y）–6=0，
整理得 2x+3y+8=0．
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16．已知直线 l 的方程是 x my m 0 ， A(1,1) ， B(2,2) 若直线 l 与线段 AB 相交，则实数
m 的取值范围是______.
【答案】 m 1 或 m 2 2
C． 9
D． 8
【答案】C
【解析】1 的代换，基本不等式。
10．如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d＝0.8km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码
头 B.已知 AB＝1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的时间为 6 min，则
客船在静水中的速度为(
)
A． A B
B． A B
C． A B
【答案】A
） D．不确定
【解析】
在△ABC 中，若 sinA<sinB，由正弦定理可得：a<b，可得 A<B．
4．已知直线 l1 的方程为 3x+4y﹣5=0，直线 l2 的方程为 6x+8y+1=0，则直线 l1 与 l2 的距离为（ ）
6
A．
5
B．6
11
2
4
21．如图 1，一公司在大厅布置周年庆祝圆锥树. 布置时，将图 2 的扇形绿网布围成圆锥的侧面， 再在上布满鲜花。现得到的圆锥树，底面直径 AB 长为 12dm，母线 SA 长为 18dm. 如图 3，C 为 母线 SA 上靠近 S 的三等分点.（dm 为分米）
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图1
图2
图3
（1）从点 A 到点 C 绕圆锥树侧面一周拉一条幅，求条幅的最小长度（不记条幅宽度）；
3
2a
，且 3
2a
0
，即
a
3 2
.
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根据题意点 A a,a 在圆 x2 y2 2ax a2 2a 3 0 外，
即| AP | (a a)2 (a 0)2 r 3 2a ，
即有 a2 3 2a ，整理可得 a2 2a 3 0 ，即 (a 3)(a 1) 0 ，
6．若1 ＜ 1 ＜0，则下列不等式：(1)|a|＞|b|,(2)c2 ＜ c2，（3）a+c＞b+c，（4）a+b＜0
ab
ab
中正确的是（ ）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）
【答案】D
【解析】
解：由题意得：∵ 1 ＜ 1 ＜0，
ab
∴ b＜a＜0，
∴a+b＜0，|a|＜|b|，a+c＞b+c，
高一年级数学学科摸底测试一（3.28）解析
一、单选题
1．直线 5x 4 y 20 0 的纵截距是（ ）
A． 5 C．4
B． 4
D．5
【答案】A
2．不等式 2x x2 0 的解集是（
）
A．（0，2）
B．（－∞，0）∪（2，＋∞）
C．（－∞，0）
D．（2，＋∞）
【答案】B
3．在 ABC 中， sin A sin B ，则 A 与 B 的大小关系为（
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（2）求圆 C 的标准方程.
【答案】（1） x 3 ；（2） x 32 y 12 9; .
【解析】
1 x xA xB 3 ，所以线段 AB 的垂直平分线的方程为 x 3 .
2
2 曲线 y x2 6x 1 与 y 轴交点为(0,1) ，
AB xA xB xA xB 2 4xAxB 32 4 2 . 故可设该圆圆心 C 3,t ，则 32 t 12 (2 2)2 t2 ，解得 t 1，
（2）若 D 是母线 SA 上靠近点 A 的三等分点，E 是母线 SB 的中点. 现要在 D，E 两处悬挂重物.
需要在底面直径 AB 上一点 P 处，分别按两根直钢管 PD 和 PE. 试确定点 P 距 A 多远时，使得钢
管总长度最小.
【答案】（1） 6 13 ；
（2）P 距 A 点 24 dm 时，使得钢管总长度最小，最小为 249dm 5
准备在两条道路所夹的一侧建两个三角形主题游乐场所，即过位于 BAC 的平分线上且距顶点 A
1 百米处的 P 点，建一条新的直线道路 MN ， M , N 在道路 AB 和 AC 上，围出两个三角形区域
AMP 与 ANP .若 AMP 区域每平方米的建造费用是 ANP 区域的 4 倍. 则设计 AM
且 b c ，则 b （ ）
A． 3
B． 2
C． 2 2
D． 3
【答案】B
【解析】
由余弦定理得： a2 b2 c2 2bc cos ，所以 22 b2
2
2
3 2b2
3
3 ，即
2
b2 6b 8 0 ，解得： b 2 或 b 4 ，因为 b c ，所以 b 2 ，故选 B．
3
8．若直线 l1 : x m 1 y m 2 0 ， l2 : mx 2 y 8 0 是两条重合的直线，则 m 的值是
（）
A． m 1或百度文库m 2
B． m 1
C． m 2
D． m 的值不存在
【答案】C
【解析】结合两直线平行或重合的充要条件可得关于实数 m 的方程：
mm 1 1 2 0 ,