数列与函数的综合

第八讲 数列与函数的综合 一、重点公式

1．等差数列的有关定义

(1)一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 等于同一个常数，那么这 个数列就叫做等差数列．符号表示为 (*

N n ∈，d 为常数)．

(2)数列b A a ,,成等差数列的充要条件是 ，其中A 叫做b a ,的 ． 2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：n a = ，+=m n a a (*

,N n m ∈)．

(2)前n 项和公式：n S = = . 3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系：n S = . 数列{}n a 是等差数列的充要条件是其前n 项和公式n S = . 4．等差数列的性质

(1)若q p n m +=+(*

,,,N q p n m ∈)，则有 ，特别地，当p n m 2=+时， .

(2)等差数列中，n S ，n n S S -2，n n S S 23-成等差数列．

(3)等差数列的单调性：若公差0>d ，则数列为 ；若0

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示(0≠q )． 6．等比数列的通项公式

设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则它的通项=n a . 7．等比中项：

如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 8．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：⋅=m n a a (*

,N m n ∈)．

(2)若{}n a 为等比数列，且n m l k +=+),,,(*

N n m l k ∈，则 ．

(3)若{}n a ，{}n b (项数相同)是等比数列，则{}n a λ (0≠λ)，⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧

n a 1，{}2

n a ，{}n n b a ⋅，⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

n n b a 仍是等比数列．

(4)单调性：⎩⎨⎧>>101q a 或⎩⎨⎧<<<1001q a ⇔{}n a 是 数列；⎩

⎨⎧<<>100

1q a 或⎩⎨⎧><101q a

⇔{}n a 是 数列；1=q ⇔{}n a 是 数列；0

等比数列{}n a 的公比为q (0≠q )，其前n 项和为n S ，当1=q 时，1na S n =； 当1≠q 时，=n S = = . 10．等比数列前n 项和的性质

公比不为1-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S ，n n S S -2，n n S S 23-仍成等比数列，其公比为 ． 二、典型例题 知识点1 数列的概念

1.下列公式可作为数列{}n a ：Λ2,1,2,1,2,1的通项公式的是 ( )

A ．1=n a

B ．21)1(+-=n n a

C ．|2

sin |2π

n a n -= D ．23)1(1+-=-n n a

2.数列{}n a 的通项90

2+=n n

a n ，则数列{}n a 中的最大值是

( )

A ．103

B ．19 C.

19

1

D.

60

10 知识点2 前n 项和

3.已知数列{}n a 的通项公式a n ＝log 2n ＋1

n ＋2

(n ∈N *)，设{a n }的前n 项的和为n S ，则使S n <－5成立的自然数n ( )

A ．有最大值63

B ．有最小值63

C ．有最大值31

D ．有最小值31

4．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则S 100的值为________．

5.在数列{}n a 中，若点),(n a n 在经过点)3,5(的定直线l 上，则数列{}n a 的前9项和=9S .

知识点3 综合题型

6．互不相等的三个正数，123,,x x x 成等比数列且点

311122233(log ,log ),(log ,log ),(log ,log )a b a b a b P x y P x y P x y ，(0,1;0,1)a a b b >≠>≠三点共线，则

123,,y y y 成（ ）

（A ）等差但非等比数列 （B ）等比数列

（C ）既是等差数列又是等比数列 （D ）既不是等差数列又不是等比数列

7.设数列}{n a 是项数为20的等比数列，公差*

N d ∈，且关于x 的方程0422

=-+dx x 的两个实数根2

1,x x 满足211x x <<，则数列}{n a 的偶数项之和减去奇数项之和的结果为（ ） （A ）15 （B ）10 （C ）5 （D ）20-

8.已知定义在)1,0(的函数)(x f ，对任意的),1(,+∞∈n m 且n m <时，都有

)1()1()1(mn n m f n f m f --=-。记*2),5

51(N n n n f a n ∈++=，则在数列}{n a 中，=+++821...a a a （ ） （A ）)21

(f （B ）)31(f （C ）)41(f （D ）)5

1(f