数列与函数的综合

第八讲 数列与函数的综合 一、重点公式1．等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 等于同一个常数，那么这 个数列就叫做等差数列．符号表示为 (*N n ∈，d 为常数)．(2)数列b A a ,,成等差数列的充要条件是 ，其中A 叫做b a ,的 ． 2．等差数列的有关公式(1)通项公式：n a = ，+=m n a a (*,N n m ∈)．(2)前n 项和公式：n S = = . 3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系：n S = . 数列{}n a 是等差数列的充要条件是其前n 项和公式n S = . 4．等差数列的性质(1)若q p n m +=+(*,,,N q p n m ∈)，则有 ，特别地，当p n m 2=+时， .(2)等差数列中，n S ，n n S S -2，n n S S 23-成等差数列．(3)等差数列的单调性：若公差0>d ，则数列为 ；若0<d ，则数列为 ； 若0=d ，则数列为 ． 5．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示(0≠q )． 6．等比数列的通项公式设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则它的通项=n a . 7．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 8．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：⋅=m n a a (*,N m n ∈)．(2)若{}n a 为等比数列，且n m l k +=+),,,(*N n m l k ∈，则 ．(3)若{}n a ，{}n b (项数相同)是等比数列，则{}n a λ (0≠λ)，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1，{}2n a ，{}n n b a ⋅，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 仍是等比数列．(4)单调性：⎩⎨⎧>>101q a 或⎩⎨⎧<<<1001q a ⇔{}n a 是 数列；⎩⎨⎧<<>1001q a 或⎩⎨⎧><101q a⇔{}n a 是 数列；1=q ⇔{}n a 是 数列；0<q ⇔{}n a 是 数列． 9．等比数列的前n 项和公式等比数列{}n a 的公比为q (0≠q )，其前n 项和为n S ，当1=q 时，1na S n =； 当1≠q 时，=n S = = . 10．等比数列前n 项和的性质公比不为1-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S ，n n S S -2，n n S S 23-仍成等比数列，其公比为 ． 二、典型例题 知识点1 数列的概念1.下列公式可作为数列{}n a ：Λ2,1,2,1,2,1的通项公式的是 ( )A ．1=n aB ．21)1(+-=n n aC ．|2sin |2πn a n -= D ．23)1(1+-=-n n a2.数列{}n a 的通项902+=n na n ，则数列{}n a 中的最大值是( )A ．103B ．19 C.191D.6010 知识点2 前n 项和3.已知数列{}n a 的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设{a n }的前n 项的和为n S ，则使S n <－5成立的自然数n ( )A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值31D ．有最小值314．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则S 100的值为________．5.在数列{}n a 中，若点),(n a n 在经过点)3,5(的定直线l 上，则数列{}n a 的前9项和=9S .知识点3 综合题型6．互不相等的三个正数，123,,x x x 成等比数列且点311122233(log ,log ),(log ,log ),(log ,log )a b a b a b P x y P x y P x y ，(0,1;0,1)a a b b >≠>≠三点共线，则123,,y y y 成（ ）（A ）等差但非等比数列 （B ）等比数列（C ）既是等差数列又是等比数列 （D ）既不是等差数列又不是等比数列7.设数列}{n a 是项数为20的等比数列，公差*N d ∈，且关于x 的方程0422=-+dx x 的两个实数根21,x x 满足211x x <<，则数列}{n a 的偶数项之和减去奇数项之和的结果为（ ） （A ）15 （B ）10 （C ）5 （D ）20-8.已知定义在)1,0(的函数)(x f ，对任意的),1(,+∞∈n m 且n m <时，都有)1()1()1(mn n m f n f m f --=-。

记*2),551(N n n n f a n ∈++=，则在数列}{n a 中，=+++821...a a a （ ） （A ）)21(f （B ）)31(f （C ）)41(f （D ）)51(f9.已知二次函数105)(2+-=x x x f ，当]1,(+∈n n x ,*N n ∈时，把)(x f 在此区间内的整数值的个数表示为n a .(1)求21,a a 的值； (2)求3≥n 时n a 的表达式；(3)令14+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S (3≥n )．10.二次函数x x x f +=2)(，当)](1,(*N n n n x ∈+∈时，)(x f 的函数值中所有整数值的个数为)(n g ，)(3223n g n n a n +=（*N n ∈)，则=-++-+-=-n n n a a a a a S 14321)1(Λ ( ) A ．2)1()1(1+--n n n B ．2)1()1(+-n n nC.2)1(+n n D ．2)1(+-n n11.已知数列{})1(log 2-n a 为等差数列，且31=a ，52=a . (1)求证：数列{}1-n a 是等比数列； (2)求nn a a a a a a -++-+-+12312111Λ的值．12.已知数列{}n a ，n S 是其前n 项和，且271+=-n n S a (2≥n )，21=a . (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设122log log 1+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20m T n <对所有*N n ∈都成立的最小正整数m .三、同步练习1．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )．A ．a 1a 8＞a 4a 5B ．a 1a 8＜a 4a 5C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 52．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则｜m －n ｜等于( )．A ．1B ．43 C ．21 D ．83 3.若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )．A ．4 005B ．4 006C ．4 007D ．4 0084.一个五边形的五个内角成等差数列，且最小角为46°，则最大角为_______.5．每次用相同体积的清水洗一件衣物，且每次能洗去污垢的34，若洗n 次后，存在的污垢在1%以下，则n 的最小值为_________.6．已知等差数列lg x 1，lg x 2，…，lg x n 的第r 项为s ，第s 项为r (0<r <s )，则x 1＋x 2＋…＋x n ＝____ ___.7.数列{}n a 的通项222(cos sin )33nn n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则30S 为（ ） A ．470 B ．490 C ．495 D ．5108.已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15，求S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式.9.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知n S n na a a a n n 2)1(32321+-=++++Λ，*N n ∈．(1)求32,a a 的值； (2)求证：数列{}2+n S 是等比数列．第九讲 立体几何 立体几何的几种常见分类（线线、线面）立体几何属于高考重点、必考点，也是中低档题目；但是由于从12年开始考查灵 活应用及空间想象感越来越强，所以非规则建立坐标系的题目也越来越多。

对于平行与垂直的位置的证明同学们相对来说基本上都能掌握；但是对于异面直线 所成角、线面角及二面角的要求越来越精细，所以就常见的几种基本题型做个分类。

考点题型1 异面直线所成角： 直接平移法： 1.已知正四棱柱-ABCD 1111A B C D 中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余炫值为（ ）A． B ．15CD ．35中位线平移：2.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ）A ．13BCD ．23割补法平移：.3.（09年四川）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM所成的角的大小是 ．空间角平分线： 4.在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，1==BC AB ,21=AA ,过顶点1D 在空间作直线l ，使l 与直线AC 和1BC 所成的角都等于060，这样的直线l 最多可做（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条A 1C 1 B 1ABCM与线面角的定义结合： 5.在正方体1111D C B A ABCD -中，P 为棱1BB 的中点，则在平面11B BCC 内过点P 且与直线AC 成050角的直线有（ ）A.0条B.1条C.2条D.无数条与二面角定义结合： 6.（06年四川）已知二面角l αβ--的大小为60o ，m n ，为异面直线，且m α⊥，n β⊥，则m n ，所成的角为（ ） Ａ．30oＢ．60oＣ．90oＤ．120o7.（全国）等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ．8.（北京）如图，1111ABCD A B C D -是正四棱柱．（1）求证：BD ⊥平面11ACC A ；（2）若二面角1C BD C --的大小为60︒，求异面直线1BC 与AC 所成角的大小．ABC D 1A1B1C1D9.（福建）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1MD NB ==，E 为BC 的中点．（1）求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；（2）在线段AN 上是否存在点S ，使得⊥ES 平面ANB ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．考点题型2 线面角与二面角 定义直接法：10.（07年四川）如图，在正三棱柱111ABC A B C -1，则1BC 与侧面11ACC A 所成的角是 ．11.（福建）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2==BC AB ，11=AA ，则1BC 与平面D D BB 11所成角的正弦值为（ ） AB ．C ．D ．MNC EBADABC1C1A1BABCDA 1D 1C 1B 1三余弦法： 12.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B．3C．3D ．23只“求”不作法：13.（06年四川）在三棱锥O ABC -中，三条棱OAOB OC ，，两两互相垂直，且OA OB OC ==，M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成角的正切值是 ．14.（全国）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =o ∠，2AB =，BC =SA SB ==（1）证明SA BC ⊥； （2）求直线SD 与平面SAB 所成角的正弦值．DBCS15.（浙江）如图，在平行四边形ABCD 中，BC AB 2=，0120=∠ABC ，E 为线段AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成△A DE '，使平面A DE '⊥平面BCD ，F 为线段A C '的中点．（1）求证：//BF 面A DE '；（2）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A DE '所成角的余弦值．16.（湖南）如图2，E F ，分别是矩形ABCD 的边AB CD ，的中点，G 是EF 上的一点，将GAB △，GCD △分别沿AB CD ，翻折成1G AB △，2G CD △，并连结12G G ，使得平面1G AB ⊥平面ABCD ，12G G AD ∥，且12G G AD <．连结2BG ，如图3．图2图3（1）证明：平面1G AB ⊥平面12G ADG ； （2）当12AB =，25BC =，8EG =时，求直线2BG 和平面12G ADG 所成的角．1G2GD F CBAEFBAD E A 'M（浙江）与二面角定义的结合：往往借助与线面垂直找“垂线” 17.（10年四川）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂．B l ∈，AB 与l 所成的角为030．则AB 与平面β所成的角的正弦值是 ．18.（全国）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =． （1）证明：AD CE ⊥；（2）设CE 与平面ABE 所成的角为45o ，求二面角C AD E --的大小．19.（山东）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=o ，E F ，分别是BC PC ，的中点． （1）证明：AE PD ⊥；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PADE AF C --的余弦值．αβABlPBDF A CDE AB第十讲 直线的倾斜角和斜率一 重点知识讲解1.直线的倾斜角:在直角坐标系下,以x 轴为基准,当直线l 与x 轴相交时,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的最小正角α,叫做直线的倾斜角.3.如图,经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线,设直线21P P的倾斜角是α,斜率是k ,则 2121tan y y k x x α-==-(12x x ≠).二 典型例题(一)知识点1 直线的倾斜角 例1 (1)直线cos 320x y θ+-=的倾斜角的范围是___________________.(2)若直线的倾斜角α3tan 3α<，则α的取值范围是____________.(二)知识点2 直线的斜率例2 (1)若直线l 过(2,3)-和(6,5)两点，则直线l 的斜率为 ,倾斜角为 .(2)设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则a ，b 满足( )A.1a b +=B.1a b -=C.0a b +=D.0a b -=(三)知识点3 直线的斜率的计算例3 如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l 的斜率.(2)设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45︒，得到直线1l ,则直线1l 的倾斜角β为_______,斜率为________.(四)知识点4 斜率的综合运用 例4 已知实数x y ,满足222(11)y x x x =-+-≤≤，试求32y x ++的最大值和最小值．例5 若直线20mx y ++=与线段AB 有交点，其中(23)(32)A B -，，，，求实数m 的取值范围.例6 (高考题赏析)已知0a>，若平面内三点(1,)A a -,2(2,)B a ,3(3,)C a 共线，则a =_______________.三 同步测试 1.直线sin 10x y α-+=的倾斜角的变化范围是（ ）A.(0,)2πB.(0,)πC.[,]44ππ-D.3[0,][,)44πππU2.已知直线经过点(04)A ，和点(12)B ，，则直线AB 的斜率为（ ） A.3 B.2- C.2 D.不存在3.过点(2,)P m -和(,4)Q m 的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A.1 B.4 C.1或3 D.1或44.已知三点(2)(37)(29)A a B C a --，，，，，在一条直线上,则实数a =_______5.给出下列命题: ①任何一条直线都有唯一的倾斜角; ②一条直线的倾斜角可以是030-; ③倾斜角为00的直线只有一条,即x 轴; ④按照倾斜角的概念,直线的倾斜角的集合00{|0180}αα≤≤与直线集合建立了一一映射关系.正确的有____________________.6.斜率为2的直线经过(3,5)、(,7)a 、(1,)b -三点，则a 、b 的值是( ) A.4a =,0b = B.4a =-,3b =- C. 4a =,3b =- D.4a =-,3b =7.已知两点(2,3)M -、(3,2)N --，直线l 过点(1,1)P 且与线段MN 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A.34k ≥或4k ≤- B.344k -≤≤ C.344k ≤≤ D.344k -≤≤四 解答题 1.若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b+的值等于多少?2.已知实数,x y 满足|1||2|y x x =-++，33x -≤≤，试求14y x -+的最大值和最小值.3.(探究与拓展)证明不等式:a m ab m b+>+(0a b <<且0m >)(至少用两种不同的方法).第十一讲 直线的方程 一 重点知识讲解1.直线在平面直角坐标系中的3种状态:2.在直角坐标系内确定一条直线,有两种方法:①两点确定一条直线; ②一个点和倾斜角.3.直线的方程的几种形式: ①点斜式方程:过点11(,)A x y 且斜率为k 的直线l 为:11()y y k x x -=-.②斜截式方程:与y 轴的截距为b ，且斜率为k 的直线l 为:y kx b =+.③两点式方程:过点1122(,),(,)A x y B x y 的直线l 为:121121()()()()y y x x x x y y --=--.④截距式方程:与,x y 轴的截距分别为,a b 的直线l 为:1x ya b+=. 注意:此处需要花一点时间给学生讲解,每一种方程的适用范围.4.直线的一般式方程:yxOP 0yxOP 0①方程的形式:0Ax By C ++=(220A B +≠)②适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直线都可以用一般式表示. ③几何意义:()i 当0B ≠时,则A k B -=(斜率),Cb B-=(y 轴的截距); ()ii 当0B =,0A ≠时,则Ca A-=(x 轴的截距).5.两条直线平行与垂直的判定:(1)平行或重合:(2)垂直: 结论：①若二 典型例题(一)知识点1 两条直线的平行 例1 (1)已知直线1:(3)(4)10,l kx k y -+-+=与2:2(3)230l k x y --+=平行，则k 的值是（ ）A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2(2)已知过点()2A m -，和()4B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为 ( )A.0B.8-C.2D.10(二)知识点2 两条直线的垂直例2 (1)已知直线1:(1)30,l kx k y +--=与2:(1)(23)20l k x k y --+-=垂直，则k 的值是（ ）A.1-或3-B.1或3C.1-或1D.1-或3(2)若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m==_______.(三)知识点3 直线方程的应用例3 已知ABC ∆三边所在直线的方程为:34120AB x y ++=,:43160BC x y -+=, :220CA x y +-=,求(1)求ABC ∠的平分线所在直线的方程; (2)若边AB 的中点为G ,边AC 的中点为F ,求中位线GF 所在直线的方程.例4 已知点(0,3)A -,(1,0)B -,(3,0)C ,求点D 的坐标,使四边形ABCD .(,,,A B C D按逆时针方向排列)例5 (高考题赏析)已知过原点O 的一条直线与函数x y 8log =的图像交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数的x y 2log =的图像交于,C D 两点.(1)证明:点,C D 和原点O 在同一条直线上; (2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.三 同步测试1.已知直线1:320l ax y -+=和2:(2)10l x a y a +-+-=.若12l l ⊥,则实数a =_____; 若12//l l ,则实数a =_____.2.过点(1,4)A 且在x 轴、y 轴上的截距的绝对值相等的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条3.已知直线(1)10a a x y -+-=与直线210x ay ++=垂直,则实数a 的值等于( )A.12B.32 C.0或12D.0或324.如果直线1:3430l x y --=与直线2l 关于直线1x =对称,则直线2l 的方程为_____ ______________.5.过点(4,3)A -,并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等直线l 的方程为_____________.6.若直线(32)(14)80a x a y ++-+=与直线(52)(4)70a x a y -++-=垂直,则a 的值为( ) A.0 B.1 C.0或1- D.0或17.直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )A.1133y x =-+B.113y x =-+C.33y x =-D.113y x =+8.已知直线l 过点(2,2)A -且在第二象限与两坐标轴围成的三角形面积最小的直线l 的方程是______________.9.若直线l 过直线1:35130l x y --=和2:10l x y ++=的交点,且平行于3:250l x y +-=,则直线l 的方程是____________________.四 解答题 1.已知点(2,3)A 和直线:34200l x y +-=.求:①过点A 和直线l 平行的直线方程; ②过点A 和直线l 垂直的直线方程.2.已知直线1:220l x y ++=,2:40l mx y n ++=.(1)若12l l ⊥,求m 的值; (2)若12//l l ,求,m n 的值.3.直线1:310l x y -+=,直线2l 过点(1,0),且2l 的倾斜角是1l 的的倾斜角的2倍,求直线2l 的方程.4(探究与拓展).若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为则m 的倾斜角可以是 ①15o②30o③45o④60o ⑤75o其中正确答案的序号是_____________.第十二讲 直线的交点坐标与距离公式 一 重点知识讲解1.两条直线的交点坐标: 已知两直线1111:0l A x B y C ++=(11,A B 不同时为0),2222:0l A x B y C ++=(22,A B 不同时为0).一般地,将两条直线的方程联立,得方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩(1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标;(2)若方程无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.反之亦成立2.平面上的两点111(,)P x y ,222(,)P x y 间的距离公式:12||PP = .3.点到直线的距离: 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离:d =（使用点到直线的距离公式时直线方程必须化成一般式0Ax By C ++=的形式）4.两条平行直线间的距离:两条平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间的距离:d =.注意:使用两平行线间的距离公式时: ①首先直线的方程化成一般形式; ②还要注意x 、y 的系数必须相同时才能读出1C 、2C 的值.三 典型例题(一)求两直线的交点坐标例1 求经过直线1:3210l x y +-=和2:5210l x y ++=的交点，且垂直于直线3:3560l x y -+=的直线l 的方程.(二)知识点2 点到直线的距离公式 例2 (1)点P 在直线40x y +-=上,O 为原点,则||OP 的最小值是( )A.2B.6C.22D.10(2)一条直线经过(1,2)P ,且与(2,3)A 、(4,5)B -距离相等,则直线l 为( )A.460x y +-= B.460x y +-=C.3270x y +-=和460x y +-=D.2370x y +-= 和460x y +-=(三)知识点3 两平行线间的距离公式 例3 两条互相平行的直线分别过点(6,2)A 和(3,1)B --,并且绕着,A B 旋转,如果两条平行直线间的距离为d ,求:(1)d 的变化范围; (2)当d 取最大值时,两条直线的方程.(四)知识点4 距离公式的综合运用 例4 已知三条直线1:20l x y a -+=(0a >),直线2:4210l x y -++=和直线3:l10x y +-=,且1l 与2l 能否找到一点P ,使得P 点同时满足下列三个条件:(1)P 是第一象限的点; (2)P 点到1l 的距离是P 点到2l 的距离的12;(3)P 点到1l 的距离与P 点到3l 若能,求出P 点坐标;若不能,说明理由.例5(高考题赏析)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A.3B.2C.13-D.12-三 同步测试1.原点到直线052=-+y x 的距离为（ ）A.1B.3C.2D.52.已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程为（ ） A.425x y +=B.425x y-=C.25x y +=D.25x y -=3.已知(2,0)A ,(1,1)B ,动点P 在直线10x y ++=上,则||||PA PB +的最小值为__________.4.过点(1,2)P -且到点(2,3)A 和(4,5)B -距离相等的直线l 的方程是_________________.5.若不同两点,P Q 的坐标分别为(,),(3,3)a b b a --,则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为_______,6.已知点(,)P x y 在直线10x y --=上运动,则22(2)(2)x y -+-的最小值为( )A.12C.327.已知实数x 、y 满足01034=-+y x ,则22y x +的最小值为___________.四 解答题1.求在两坐标轴上截距相等，且到点(3,1)A 的距离为2的直线的方程.2.三角形的三个顶点是(4,0)A ,(2,4)B ,(0,3)C .求(1)AB 边的中线所在直线1l 的方程; (2)BC 边的高所在直线2l 的方程; (3)直线1l 与直线2l 的交点坐标.3.过点(2,3)直线l被两平行直线1:2590l x y -+=与2:2570l x y --=所截线段AB的中点恰在直线410x y --=上,求直线l 的方程.4(探究与拓展).已知直线11:0l x y C -+=,1C ,22:0l x y C -+=,33:0l x y C -+=,L,:0n n l x y C -+=(其中12n C C C <<<L ),当2n ≥时,直线1n l -与n l 间的距离为n .(1)求n C ; (2)求0n x y C -+=与x 轴, y 轴围成的图形的面积;(3)求10n x y C --+=与0n x y C -+=及x 轴, y 轴围成图形的面积.第十三讲 直线与方程(学习方法) 一 怎样把几何问题转化为代数问题？几何问题代数化是实现解析几何基本思想的基础和出发点,在学习中要主动的去理解几何对象的本质特征,这是实现几何问题代数化的基础和落脚点,解析几何毕竟是几何,决不能忽视对几何对象的几何特征的认识和理解,解析几何审题的主要目的之一,就是要理解几何对象的几何属性,为准确的代数化打好基础. 二 案例分析案例1 (1)已知直线:l y kx =-2360x y +-=的交点在第一象限,则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.[,)63ππB.(,)62ππC.(,)32ππD.[,]62ππ(2)在ABC ∆中,BC 边上的高所在的直线方程为:410x y -+=,A ∠的平分线所在的直线方程为:210x y -+=,若点B 的坐标为(1,2),则点A ,C 的坐标分别为____________,二 解析几何学习的另一个主要任务,即是提高将“代数结论”向“几何结论”转化的意识和能力,这种转化突出的特征是“数” “方程” 向“形”的转化.(例: ①直线(2)(1)450k x k y k ++---=的几何特征_____.)案例1 在坐标平面内,与点(1,2)A 距离为1,且与点(3,1)B 距离为2的直线共有 （ ）A.1条B.2条C.3条D.4条案例2 已知直线221:()(21)120l mm x m y m +-++-=(m R ∈)恒过定点P ,2:1x yl a b+=(0,0)a b >>与1l 相交于点P ,则2a b +的最小值为__________.案例3（探究与拓展）已知点P 到两定点)0,1(-M 、)0,1(N 距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN的方程.案例4 (至少用两种方法解决)过点(2,3)直线l 被两平行直线1:2590l x y -+=与2:2570l x y --=所截线段AB的中点恰在直线410x y --=上,求直线l 的方程.三 强化训练 1.已知ABC ∆中,(3,2)A ,,B C∠∠平分线方程分别为10x y +-=,3250x y -+=,则直线BC的方程为__________________,2.已知直线:210l x y -+=和点(0,0)O 、(0,3)M ,点P 是直线l 上一动点,则||||||PO PM -的最大值是__________,此时点P 的坐标为________.3.已知直线:5530l ax y a --+=.若使直线不经过第二象限,则a 的取值范围是_________________.4.不论m 为何实数,直线:(21)(3)(11)0l m x m y m -++--=恒过一定点,则此定点的坐标是_________.5.已知直线(2)(31)1a ya x -=--,若直线不经过第二象限,则实数a 的取值范围__________.6.在平面直角坐标系xOy 内,若过点P 且与原点的距离为d 的直线有两条,则d 的取值范围为__________.四 解答题1.过点(3,0)P 作直线l ，使它被两条相交直线220x y --=和30x y ++=所截得的线段AE 恰好被P 点平分，求直线l 的方程.2.已知直线l 经过直线250x y +-=与20x y -=的交点.(1)若点(5,0)A 到直线l 的距离为3,求直线l 的方程; (2)求点(5,0)A 到直线l 的距离的最大值.3.已知直线l 经过点(2,4)A ,且被平行直线1:10l x y -+=与2:10l x y --=所截得的线段的中点M在直线30x y +-=上,求直线l 的方程.4(高考题赏析).设点(1,0)P -在动直线2()20ax a c y c +++=(,a R c R ∈∈)上的射影为M ,已知点(3,3)N ,则线段MN 长度的最大值是__________.第十四讲 圆的方程 一 重要知识讲解1.确定圆的条件:①圆心和半径; ②不共线的三点确定一个圆.2.圆的定义: 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,即||OP R =.3.圆的标准方程:222()()x a y b r -+-=⇔圆心为(,)C a b ，半径为r .特别地,圆心在原点,半径为r 的标准方程为 222x y r +=.4.圆的一般方程: 220x y Dx Ey F ++++=,圆心为(,)22D E C --,半径为r=其中2240DE F +->）.注意:圆的标准方程与一般方程互化: ①把圆标准方程的完全平方展开、整理，可化为圆的一般方程. ②把圆的一般方程配方整理，可化为圆的标准方程.5.求解圆的方程中还应注意以下三个基本性质:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上; ②圆心在任一条弦的中垂线上; ③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.二 典型例题(一)知识点1 求圆的标准方程 例 1 (1)已知圆经过(2,3)A -和(2,5)B --两点,若圆心在直线230x y --=上,则圆的方程为__________________________.(2)ABC ∆的三个顶点分别为(1,5),(2,2),(5,5)A B C ---,求其外接圆的方程;(二)知识点2 求圆的一般方程例2 (1)经过(4,2),(1,3)A B -两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.(2)已知曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上,则圆的方程为________________________.(三)知识点3 灵活选择圆的方活 例3 已知圆M 过点(4,1)A -且与圆22:2650C x y x y ++-+=相切于点(1,2)B .(1)求圆M 的方程; (2)求直线AB 被圆C 所截得的弦长.例4(高考题赏析)设平面直角坐标系xOy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求:(1)求实数b 的取值范围; (2)求圆C 的方程; (3)问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）?请证明你的结论.三 同步测试1.已知直线:210l x y k +++=被圆22:4C xy +=所截得的弦长为4,则k 的值为( )A.1-B.2-C.0D.2 2.过点(4,1)A 的圆C 与直线10x y --=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为____________.3.经过两点(1,2)A ,(1,3)B -,且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程为______________________.4.与直线20x y +-=和曲线221212640x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是________________.5.与直线210x y --=相切于点(5,2),且圆心在直线90x y --=上的圆的方程为____________________.6.圆C 过点(1,2)P 和(2,3)Q -,且圆C 在两坐标轴上截得的弦长相等,则圆C 的方程为 ____________________.7.已知圆C 关于坐标轴都对称,直线:(1)10l a x y a --++=(a R ∈),半径为圆心到直线l 的距离最大值,则圆C 的方程为__________________________.四 解答题1.已知圆O 的圆心在y 轴上,截直线1:3430l x y ++=所得的弦长为8,且与直线2:34370l x y -+=相切,求圆O 的方程.2.已知直线l 过点(1,2)P ,22:430M x y x +-+=e.(1)若圆心M 到直线l 的距离等于M e 的半径,求直线l 的方程;(2)当圆心M 到直线l 的距离最大时,求直线l 与两坐标轴围成的三角形面积.3(探究与拓展)已知二次函数2()4f x x x m =++的图象与两坐标轴有三个交点,记过这三个交点的圆为圆C .(1)求实数m 的取值范围; (3)试证明圆C 过定点(与m 无关)?并求出该定点的坐标.第十五讲 直线与圆的位置关系 一 重要知识讲解1.点与圆的位置关系: 设点00(,)P x y 和圆222:()()C x a y b r -+-=;(1)点00(,)P x y 在圆C 外h r ⇔>;min ||d PA h r ==-, max ||d PB r h ==+;(2)点00(,)P x y 在圆C 上h r ⇔=;则圆在P 处的切线方程为________________________. (3)点00(,)P x y 在圆C 内h r ⇔<，这时点00(,)P x y 到圆的最短距离为min ||d PA r h ==-，最长距离为max ||d PB r h ==+.2.直线与圆的位置关系的判断方法及特点研究：(1)几何方法：利圆心到直线的距离d 与半径长的大小关系(2)代数方法：联立直线与圆的方程,利用判别式∆:若0∆>⇔直线与圆相离;若0∆=⇔直线与圆相切;若0∆<⇔直线与圆相交.二 典型例题(一)知识点1 直线与圆的位置关系例1 (1)已知点(,)M a b 在圆221:O x y +=外, 则直线1ax by+=与圆O 的位置关系是( )A.相切B.相交C.相离D.不确定(2)直线(2)(1)60m x m y ++--=与圆22(2)1x y -+=的位置关系是( )A.相交B.相离C.相切D.以上都有可能 (二)知识点2 直线与圆的综合运用 例2 (1)若直线l 过点(1,1)A 且被22:4O x y +=e 截得弦长为23求直线l 的方程.(2)以点2(,)C t t为圆心的圆C 与直线240x y +-=交于点,M N ,若||||OM ON =,(其中O 为原点),求圆C 的方程.例3 已知圆22:2440C xy x y +-+-=,是否存在斜率为1的直线l ,使得直线l 被圆C 截得的弦AB 为直经的圆过原点？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由.例4(高考题赏析)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.(1)若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程;(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.三 同步测试 1.线20x y m -+=与圆22:5C x y +=相交于,A B 两点,若OA OB ⊥(O 为坐标原点),则实数m 的值为( )A.5±B.52±C.52±D.522±2.若圆221:4C xy +=和圆222:220C x y ay +--=(0a >)15则a 的值为( )A.2B.3C.4D.53.圆221:20C x y x y +-+=关于直线:10l x y -+=对称的圆2C 的方程为_________________.4.若直线3450x y -+=与圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点，且120AOB ∠=o （O 为坐标原点），则r =___________.5.若直线10x y -+=与圆2)(22=+-y a x 有公共点，则实数a 取值范围是( )A.[3,1]--B.[1,3]-C.[3,1]-D. (,3][1,)-∞-+∞U6.直线l 与圆22240(3)x y x y a a ++-+=<相交于两点,A B ，弦AB 的中点为(0,1)，则直线l 的方程为_______.7.已知直线:l y x m =+, m R ∈.若以点(2,0)M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，则该圆的方程为_____________________.8.直线:30l mx y m -+-=与圆22:(1)5C x y +-=位置关系是( )A.有公共点B.相离C.相切D.相交A.1B.2C.4D.10.设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线3x =-上的动点，则PQ 的最小值为( )A.6B.4C.3D.2四 解答题 1.已知圆2260xy x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P 、Q 两点.(1)求实数m 的取值范围; (2)求以PQ 为直径且过坐标原点的圆的方程.2(拓展).已知圆220xy x +-=与直线10x y +-=交于P 、Q ，动圆C 过P 、Q 两点.(1)若圆C 圆心在直线12y x =上,求圆C 的方程; (2)求动圆C 的面积的最小值; (3)若圆C 与x 轴相交于两点M 、N (点N 横坐标大于1),若过点M 任作的一条与圆22:4O x y +=交于A 、B 两点直线都有ANM BNM ∠=∠,求圆C 的方程.第十六讲 圆与圆的位置关系 一 重要知识讲解1.两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为1O ,2O ,半径分别为1r ,2r ,d O O =21.①条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; ②条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;②条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;④条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;⑤无公切线内含⇔⇔-<<210r r d;外离 外切相交 内切 内含 判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决.2.过圆221111:0C xy D x E y F ++++=和圆222222:0C x y D x E y F ++++=的交点的公共弦所在的直线方程为:121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=.二 典型例题(一)知识点1 圆与圆的位置关系 例1 当k 为何实数时,两圆221:46120C x y x y ++-+=,222:2140C x y x y k +--+=相交、相切、相离?(二)知识点2 与两圆相切有关的问题 例2 求与圆2220x y x +-=外切且与直线30x y +=相切于点(3,3)M -的圆的方程.(三) 知识点3 两圆的公共弦 例3 (1)若圆224x y +=与圆22260(0)x y ay a ++-=>的公共弦的长为23，则a =_____.例4 已知两圆22210240xy x y +-+-=和222280x y x y +++-=.(1)试判断两圆的位置关系; (2)求公共弦所在的直线方程; (3)求公共弦的长度.例5(高考题赏析)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l .设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线，求切线的方程;(2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.三 同步测试1.圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 2.经过两圆224xy +=和2210160x y x +-+=的公共点且过点(4,2)P 的圆的个数是( )A.1B.2C.多于2的有限个D.无限个 3.已知圆221:230C xy x ay +++-=和圆222:4290C x y x y +---=的公共弦长为26,则实数a 的值为______. 4.若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于,A B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 .5.与圆22(2)(1)4x y -++=相切于点(4,1)A -且半径为1的圆的方程为_________________. 6.两圆221:2610C x y x y ++-+=与222:42110C x y x y +-+-=的公共弦的长_____.四 解答题1.求经过两圆22230x y x +--=与224230x y x y +-++=的交点,且圆心在直线20x y -=上的圆的方程.2.已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程; (2)当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积.3(探究与拓展)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离12C C =( )A.4B.C.8D.第十七讲 直线与圆的综合运用有人说,确定一个圆只需要两个条件:圆心与半径.因为圆心确定圆的位置,而半径确定圆的大小.可是圆心是一个点,确定这个点,又需要几个条件?在平面直角坐标系中,点的位置由一对有序实数对确定,相当于与坐标轴平行的两条直线有且只有一个交点. 于是正确答案是:确定一个圆,需要3个独立条件.即“圆不离三,向半径寻根”.案例分析:过三点(1,3)A ,(4,2)B ,(1,7)C -的圆交于y 轴于,M N 两点，则||MN =( )。