11-6 电路 状态方程
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§11-6 状态方程
一、状态：指在某给定时刻描述网络所需要的一组最少量信息，它连同从该时刻开始的任意输入，便可以确定网络今后的性状。
二、状态变量：描述系统所需要的一组最少量的变量。
三、状态方程：以状态变量为未知量的一组一阶微分方程。
状态变量[,]T
c L X u i =取
1
11
C
L L L c s
C L L c L s du C
i dt di
L Ri u u dt
du i dt C di R u i u dt L L L
==--+==--+
写成矩阵形式
.
10011C c s L L du u dt C u i di R L dt L L X AX BU ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
⎣⎦=+标准形式
状态变量的选择不唯一, 也可12[,][,
]T
C
C du X x x u dt
==取 1
22
212211
()C C S C S dx x dt
d u du dx R x x u LC RC u u dt LC L LC dt dt
==--+++= 写成标准形式
()C u t
11
2201011S dx x dt u R dx x LC L LC dt ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥-
-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
四、状态方程的列写 1, 直观法
1
c C du i dt C =对仅含一条电容支路的节点列KCL 方程 1L L
di u KVL dt L
=对仅含一条电感支路的节点列方程
例1：列写如下图所示电路的状态方程。
解：选取单一电感回路，如图l 1、l 2所示；状态变量1
2
[,]T L L X i i =取
12
2
1
1112
112221211s
s L L L di R i u L dt
di R i R i u L dt
i i i i i +
=++==+=
整理并消去中间变量i 1、i 2，得
1122122225s s
L L L L L L d u dt d u dt
i i i i i i =--+=--+
写成标准形式
R R 2L
21L H
1122221251s L L L L d dt u d dt i i i i ⎡⎤⎢⎥⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
例2：列如下图所示电路的状态方程。
解：选取单一电容节点列写KCL 方程，状态变量12[,]T
C C X u u =取
1112212324()1
4()
s C C C C C C C du u u u i dt du u u dt
++-==-
整理得
1
122
12
41
233
44s C C C C C C du u u i dt du u u dt
=-++=-
写成标准形式
1
2.
41233440s C C u X i u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦
例3：列写如下图所示电路的状态方程和以u n1、 u n2为变量的输出方程。
(
s i 4S
n u ()s u t
u
解：状态变量12[,,]T
L C C X u u i =取。
选取单一电容节点列写KCL 方程和单一电感回路列写KVL 方程，
1
212232L s L L
L
C C C C du i i dt
du
u i i dt
di u u u dt
+=-++=++=
1
2 ()1
s C C u i u u t u =
=- 整理并消取中间变量，得
1
1
2
212112232L
L s L
s
C C C
C C C du u i dt du u i u dt di u u u dt
=-+=--+=--+ 写成标准形式
112210101101221302s L L C C C C du dt u du u u dt i di dt ⎡⎤
⎢⎥-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-
-+⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
121212
2
[,]T n n n n C C C Y u u Y CX DU u u u u u ==+==+取
输出方程写成标准形式
121211000100n S
n L C C u u u u u i ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦