什么是卡尔曼滤波器——基础理解
卡尔曼滤波器分类及基本公式
式上，卡尔曼滤波器是5条公式。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至 是最有用的。他的广泛应用已经超过了30年，包括机器人 导航、控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统 以及导弹追踪等等。而近年来更被应用于计算机图像处理，
例如头脸识别、图像分割、图像边缘检测等等。
卡尔曼滤波的特点
卡尔曼滤波的特点
你从温度计那里得到了 k时刻的温度值，假设是25 度，同时该
值的偏差是 4 度。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
现在，我们用于估算K时刻房间的实际温度有两个温度值：估计值
23度和测量值25度。究竟实际温度是多少呢？是相信自己还是相信 温度计？究竟相信谁多一点？我们需要用他们的均方误差来判断。
52 因为， 2 2 H 0.78（*公式三），所以我们可以估算出K时 H 5 4 刻的最优温度值为：23 0.78* (25 23) 24.56 度（*公式四）。
度。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
假如我们要估算 k 时刻的实际温度值。首先你要根据 k-1 时刻
的温度值，来预测 k 时刻的温度（K时刻的经验温度）。因为 你相信温度是恒定的，所以你会得到 k 时刻的温度预测值是跟 k-1 时刻一样的，假设是 23 度（*公式一），同时该值（预测 值）的高斯噪声的偏差是 5 度（5 是这样得到的：如果 k-1 时 刻估算出的最优温度值的偏差是 3，你对自己预测的不确定度 是 4 度，他们平方相加再开方，就是 5（*公式二）） 。然后，
Qk
为过程噪声的协方差，其为非负定阵； 为测量噪声的协方差，其为正定阵。
Rk
1 基于离散系统模型的卡尔曼滤波的基本公式 1.3 离散型卡尔曼滤波方程的一般形式
卡尔曼滤波器介绍 --- 最容易理解
10.6 卡尔曼滤波器简介本节讨论如何从带噪声的测量数据把有用信号提取出来的问题。
通常，信号的频谱处于有限的频率范围内，而噪声的频谱则散布在很广的频率范围内。
如前所述，为了消除噪声，可以把 FIR滤波器或IIR滤波器设计成合适的频带滤波器，进行频域滤波。
但在许多应用场合，需要进行时域滤波，从带噪声的信号中提取有用信号。
虽然这样的过程其实也算是对信号的滤波，但所依据的理论,即针对随机信号的估计理论,是自成体系的。
人们对随机信号干扰下的有用信号不能“确知”，只能“估计”。
为了“估计”，要事先确定某种准则以评定估计的好坏程度。
最小均方误差是一种常用的比较简单的经典准则。
典型的线性估计器是离散时间维纳滤波器与卡尔曼滤波器。
对于平稳时间序列的最小均方误差估计的第一个明确解是维纳在1942年2月首先给出的。
当时美国的一个战争研究团体发表了一个秘密文件，其中就包括维纳关于滤波问题的研究工作。
这项研究是用于防空火力控制系统的。
维纳滤波器是基于最小均方误差准则的估计器。
为了寻求维纳滤波器的冲激响应，需要求解著名的维纳-霍夫方程。
这种滤波理论所追求的是使均方误差最小的系统最佳冲激响应的明确表达式。
这与卡尔曼滤波（Kalman filtering）是很不相同的。
卡尔曼滤波所追求的则是使均方误差最小的递推算法。
在维纳进行滤波理论研究并导出维纳-霍夫方程的十年以前，在1931年，维纳和霍夫在数学上就已经得到了这个方程的解。
对于维纳-霍夫方程的研究，20世纪五十年代涌现了大量文章，特别是将维纳滤波推广到非平稳过程的文章甚多，但实用结果却很少。
这时正处于卡尔曼滤波问世的前夜。
维纳滤波的困难问题，首先在上世纪五十年代中期确定卫星轨道的问题上遇到了。
1958年斯韦尔林（Swerling）首先提出了处理这个问题的递推算法，并且立刻被承认和应用。
1960年卡尔曼进行了比斯韦尔林更有意义的工作。
他严格地把状态变量的概念引入到最小均方误差估计中来，建立了卡尔曼滤波理论。
卡尔曼滤波器介绍
卡尔曼滤波器介绍摘要在1960年，R.E.Kalman发表了关于递归解决线性离散数据滤波器的著名论文，从那时间起，由于在数字计算的大部分提高，Kalman滤波器已成为广泛研究和应用的学科，尤其是自动或辅助导航系统。
Kalman滤波器是一套数学等式，它提供了一种有效的以最小均方误差来估计系统状态的计算(递归的)方法。
它在以下几方面是非常强大的：它支持过去、现在、甚至将来估计，甚至在系统准确模型也未知的情况下。
本文的目的是提供一种对离散的Kalman滤波器的实用介绍。
这些介绍包括对基本离散kalman滤波器、起源和与之相关的简单(有形)的带有真实数字和结果的描述和讨论。
1、离散的kalman滤波器在1960年，R.E.Kalman发表了关于递归解决线性离散数据滤波器的著名论文，从那时间起，由于在数字计算的大部分提高，Kalman滤波器已成为广泛研究和应用的学科，尤其是自动或辅助导航系统。
关于kalman滤波器一般方法的友好介绍可以在〔maybeck79〕的Chapter.1中找到，但是更完整部分的讨论能在〔Sorenson70〕中发现，它还包括许多有趣的历史解释。
在〔Gelb74；Grewal93；Maybeck79；Lewis86；Brown92；jacobs93〕中有更多参考。
估值过程Kalman滤波器解决估计离散时间控制过程的状态X∈R n的一般性问题，定义线性随机差分方程其中，测量值Z∈R m，定义为随机变量W K和V K各自表示系统噪声和测量噪声，我们假定它们为相互独立的、白噪声且为正常概率分布在实际中，系统噪声协方差矩阵Q和测量噪声协方差矩阵R可能随过程和测量时间而改变，无论怎样，我们在这里假定它们是常量。
在差分方程（1.1）中，n×n阶矩阵A与前一时刻（K－1）和当前时刻K相关，这里缺少传递函数或系统噪声。
注意的是，在实际中，A可能随各自时刻改变，但这里我们假定其为常量，n×l阶矩阵R与非强制性输入U∈R l和状态x有关，在测量公式（1.2）中，m×n阶矩阵H 与状态及测量值Z K有关，在实际中，H可能随各自过程或测量时刻而改变，这里假定它们是常数。
卡尔曼滤波器原理
卡尔曼滤波器原理
卡尔曼滤波器是一种用于估计和预测系统状态的优秀滤波算法。
它基于状态空间模型，通过递归地融合测量值和预测值，提供了一个对系统状态更准确的估计。
卡尔曼滤波器的基本原理可以概括为以下几个步骤：
1. 初始化：首先，需要初始化系统的状态估计和协方差矩阵。
状态估计是对系统当前状态的最佳猜测，协方差矩阵则表示对该估计的不确定性。
2. 预测状态：根据系统的状态转移方程，将当前状态估计预测到下一个时刻的状态。
同时，也需要更新协方差矩阵以考虑预测带来的不确定性。
3. 更新状态：根据传感器测量值，通过观测方程将预测的状态估计和测量值进行比较，并计算出新的状态估计。
这个估计会综合预测的状态和测量的信息，以最佳地反映系统的真实状态。
4. 更新协方差矩阵：除了更新状态估计外，还需要更新协方差矩阵，以反映状态估计的不确定性。
这个更新是基于卡尔曼增益，它可以根据系统的状态估计和测量噪声的特性来权衡两者的重要性。
通过不断地进行预测和更新，卡尔曼滤波器可以在时间上优化系统状态的估计。
它最大限度地利用了观测值和模型的信息，让我们能够更准确地了解系统的实际状态。
需要注意的是，卡尔曼滤波器假设系统的状态变化和测量噪声都符合高斯分布，且系统的状态转移和观测方程是线性的。
在实际应用中，如果系统有非线性部分，可以采用扩展卡尔曼滤波器或无迹卡尔曼滤波器等扩展形式。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波卡尔曼滤波(Kalman filtering ) 一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。
由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。
斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。
卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器。
关于这种滤波器的论文由Swerli ng (1958), Kalman (I960) 与Kalma n and Bucy (1961) 发表。
数据滤波是去除噪声还原真实数据的一种数据处理技术，Kalman滤波在测量方差已知的情况下能够从一系列存在测量噪声的数据中，估计动态系统的状态•由于，它便于计算机编程实现，并能够对现场采集的数据进行实时的更新和处理，Kalman滤波是目前应用最为广泛的滤波方法，在通信，导航，制导与控制等多领域得到了较好的应用•中文名卡尔曼滤波器，Kalman滤波，卡曼滤波外文名KALMAN FILTER表达式X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)提岀者斯坦利施密特提岀时间1958应用学科天文，宇航，气象适用领域范围雷达跟踪去噪声适用领域范围控制、制导、导航、通讯等现代工程斯坦利施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。
卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导—航电脑使用了这种滤波器。
关于这种滤波器的论文由Swerling (1958)， Kalman (1960)与Kalma n and Bucy (1961) 发表。
2定义传统的滤波方法，只能是在有用信号与噪声具有不同频带的条件下才能实现. 20世纪40年代，N .维纳和A. H .柯尔莫哥罗夫把信号和噪声的统计性质引进了滤波理论，在假设信号和噪声都是平稳过程的条件下，利用最优化方法对信号真值进行估计，达到滤波目的，从而在概念上与传统的滤波方法联系起来，被称为维纳滤波。
卡尔曼滤波的原理说明(通俗易懂)
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卡尔曼滤波的原理说明在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。
跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！卡尔曼全名RudolfemilKalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。
1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。
1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。
我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《AnewApproachtoLinearFilteringandpredictionproblems》（线性滤波与预测问题的新方法）。
如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载：/~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf 简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimalrecursivedataprocessingalgorithm（最优化自回归数据处理算法）”。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。
他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。
近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。
2．卡尔曼滤波器的介绍（IntroductiontotheKalmanFilter）为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。
但是，他的5条公式是其核心内容。
结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。
卡尔曼滤波器简介
3 卡尔曼滤波器的简介3.1 卡尔曼滤波器的概述卡尔曼滤波器[4]由一系列递归数学公式描述，它们提供了一种高效可计算的方法来估计过程的状态，并使估计均方误差最小。
卡尔曼滤波器应用广泛且功能强大，它可以估计信号的过去和当前状态，甚至能估计将来的状态，即使并不知道模型的确切性质。
假设我们要研究的对象是一个房间的温度。
根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。
假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。
我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise ），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution ）。
另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。
我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。
现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。
下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。
假如我们要估算k 时刻的是实际温度值。
首先你要根据1k -时刻的温度值，来预测k 时刻的温度。
因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k 时刻的温度预测值是跟1k -时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果1k -时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。
然后，你从温度计那里得到了k 时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。
由于我们用于估算k 时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。
究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的协方差来判断。
因为252(5242)Kg ∧∧∧∧=+，所以0.78Kg =，我们可以估算出k 时刻的实际温度值是：230.78(2523)24.56+*-=度。
卡尔曼滤波器分类及基本公式概要课件
精确地描述系统的非线性特性。
无迹卡尔曼滤波器的计算较为复杂，但具有更高的估计精度和
03
稳定性，适用于一些高精度要求的非线性系统状态估计。
03
卡尔曼滤波器的基本公 式
状态方程
描述系统状态变化的数学表达式。
状态方程是描述系统状态变化的数学表达式，它基于系统的动态模型和当前状态 ，计算未来状态。在卡尔曼滤波器中，状态方程用于预测系统的下一个状态。
详细描述
卡尔曼增益矩阵的计算基于状态向量和误差 协方差矩阵，通过一系列数学运算得到。它 反映了新获取的测量值对状态估计的贡献程 度，以及旧信息的保留程度。在计算过程中 ，通常采用递推或迭代的方式进行计算，以 降低计算复杂度。
更新状态向量和误差协方差矩阵
总结词
在得到卡尔曼增益矩阵后，需要利用它来更 新状态向量和误差协方差矩阵，以完成一次 滤波过程。0203 Nhomakorabea改进
针对不同应用场景和需求，卡尔曼滤 波器不断有新的改进和优化算法出现 。
滤波器的应用领域
航空航天
卡尔曼滤波器在航空航天领域 中用于导航、姿态估计和卫星
轨道计算等。
无人驾驶
卡尔曼滤波器在无人驾驶汽车 中用于传感器数据处理、路径 规划和障碍物检测等。
机器人
卡尔曼滤波器在机器人领域中 用于定位、地图构建和姿态控 制等。
02
扩展卡尔曼滤波器通过将非线性函数进行线性化处 理，将非线性问题转化为线性问题进行解决。
03
扩展卡尔曼滤波器的计算相对复杂，但适用范围较 广，适用于大多数非线性系统的状态估计。
无迹卡尔曼滤波器
01
无迹卡尔曼滤波器是另一种针对非线性系统的改进型卡尔曼滤 波器。
02
无迹卡尔曼滤波器采用无迹变换方法处理非线性函数，能够更
卡尔曼滤波器介绍
卡尔曼滤波器介绍摘要在1960年，卡尔曼出版了他最著名的论文，描述了一个对离散数据线性滤波问题的递归解决方法。
从那以后，由于数字计算的进步，卡尔曼滤波器已经成为广泛研究和应用的主题，特别在自动化或协助导航领域。
卡尔曼滤波器是一系列方程式，提供了有效的计算（递归）方法去估计过程的状态，是一种以平方误差的均值达到最小的方式。
滤波器在很多方面都很强大：它支持过去，现在，甚至将来状态的估计，而且当系统的确切性质未知时也可以做。
这篇论文的目的是对离散卡尔曼滤波器提供一个实际介绍。
这次介绍包括对基本离散卡尔曼滤波器推导的描述和一些讨论，扩展卡尔曼滤波器的描述和一些讨论和一个相对简单的（切实的）实际例子。
1 离散卡尔曼滤波器在1960年，卡尔曼出版了他最著名的论文，描述了一个对离散数据线性滤波问题的递归解决方法[Kalman60]。
从那以后，由于数字计算的进步，卡尔曼滤波器已经成为广泛研究和应用的主题，特别在自动化或协助导航领域。
第一章讲述了对卡尔曼滤波器非常“友好的”介绍[Maybeck79]，而一个完整的介绍可以在[Sorenson70]找到，也包含了一些有趣的历史叙事。
更加广泛的参考包括Gelb74；Grewal93；Maybeck79；Lewis86；Brown92；Jacobs93]. 被估计的过程卡尔曼滤波器卡用于估计离散时间控制过程的状态变量n x ∈ℜ。
这个离散时间过程由以下离散随机差分方程描述： 111k k k k x Ax bu w ---=++ （1.1）测量值m z ∈ℜ，k k k z Hx v =+ （1.2） 随机变量k w 和k v 分别表示过程和测量噪声。
他们之间假设是独立的，正态分布的高斯白噪: ()~(0)p w N Q， （1.3） ()~(0)p v N R ， （1.4）在实际系统中，过程噪声协方差矩阵Q 和观测噪声协方差矩阵R 可能会随每次迭代计算而变化。
但在这儿我们假设它们是常数。
(完整)卡尔曼滤波介绍
卡尔曼滤波一、卡尔曼滤波的起源谈到信号的分析与处理，就离不开滤波两个字。
通常，信号的频谱处于有限的频率范围内，而噪声的频谱则散布在很广的频率范围内，为了消除噪声，可以把FIR滤波器或者IIR滤波器设计成合适的频带滤波器，进行频域滤波。
但在许多应用场合，需要直接进行时域滤波,从带噪声的信号中提取有用信号。
虽然这样的过程其实也算是对信号的滤波，但其所依据的理论，即针对随机信号的估计理论,是自成体系的.人们对于随机信号干扰下的有用信号不能“确知”，只能“估计”.为了“估计"，要事先确定某种准则以评定估计的好坏程度.最小均方误差是一种常用的比较简单的经典准则。
对于平稳时间序列的最小均方误差估计的第一个明确解是维纳在1942年2月首先给出的.当时美国的一个战争研究团体发表了一个秘密文件，其中就包括维纳关于滤波问题的研究工作，这项研究是用于防空火力控制系统的.维纳滤波器是基于最小均方误差准则的估计器。
为了寻求维纳滤波器的冲激响应,需要求解著名的维纳–霍夫方程。
这种滤波理论所求的是使均方误差最小的系统最佳冲激响应的明确表达式。
从维纳–霍夫方程来看，维纳滤波算法是十分低效的。
这种算法要求设置大量的存储器来保存过去的测量数据,一个新的数据到来后，要进行刷新，重新计算自相关和互相关序列。
再者，求解这个方程需要耗费大量时间对高阶矩阵求逆。
因此,维纳滤波算法难以运用于实时处理中，尤其是无法用于军事、航空航天等领域。
为此,许多科技工作者进行了多方探索，但在解决非平稳过程的滤波问题时,能给出的方法很少。
到20世纪50年代中期，随着空间技术的发展，要求对卫星轨道进行精确地测量，这种方法越来越不能满足实际应用的需要。
为此，人们将滤波问题以微分方程表示,提出了一系列适应空间技术应用的精炼算法。
1960年和1961年，卡尔曼（R. E. Kalman）和布西（R. S。
Bucy)提出了递推滤波算法，成功的将状态变量引入到滤波理论中来，用消息与干扰的状态空间模型代替了通常用来描述它们的协方差函数，将状态空间描述与离散数间刷新联系起来，适于计算机直接进行计算，而不是去寻求滤波器冲激响应的明确公式。
一文读懂什么是卡尔曼滤波
一文读懂什么是卡尔曼滤波导读卡尔曼滤波是无人驾驶中最基本的算法之一，在传感器融合与定位中几乎无处不在，本文原文来自 BZARG 大神的文章《How a Kalman filter works, in pictures》，后 engineerlixl 大神进行了翻译。
由于写得太好了，没经过作者同意后和大家一起分享。
什么是卡尔曼滤波？卡尔曼滤波（Kalman filtering）一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。
由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。
数据滤波是去除噪声还原真实数据的一种数据处理技术，Kalman滤波在测量方差已知的情况下能够从一系列存在测量噪声的数据中，估计动态系统的状态。
由于，它便于计算机编程实现, 并能够对现场采集的数据进行实时的更新和处理，Kalman滤波是目前应用最为广泛的滤波方法, 在通信, 导航, 制导与控制等多领域得到了较好的应用。
它具有占用内存小的优点（除了前一个状态量外，不需要保留其它历史数据），并且速度很快，很适合应用于实时问题和嵌入式系统。
我们能用卡尔曼滤波做什么？用玩具举例：你开发了一个可以在树林里到处跑的小机器人，这个机器人需要知道它所在的确切位置才能导航。
我们可以说机器人有一个状态Xk ，表示位置和速度：注意这个状态只是关于这个系统基本属性的一堆数字，它可以是任何其它的东西。
在这个例子中是位置和速度，它也可以是一个容器中液体的总量，汽车发动机的温度，用户手指在触摸板上的位置坐标，或者任何你需要跟踪的信号。
这个机器人带有GPS，精度大约为10米，还算不错，但是，它需要将自己的位置精确到10米以内。
树林里有很多沟壑和悬崖，如果机器人走错了一步，就有可能掉下悬崖，所以只有GPS是不够的。
或许我们知道一些机器人如何运动的信息：例如，机器人知道发送给电机的指令，知道自己是否在朝一个方向移动并且没有人干预，在下一个状态，机器人很可能朝着相同的方向移动。
卡尔曼滤波详解
卡尔曼滤波详解卡尔曼滤波是一种常用的状态估计方法，它可以根据系统的动态模型和观测数据，对系统的状态进行估计。
卡尔曼滤波广泛应用于机器人导航、飞行控制、信号处理等领域。
本文将详细介绍卡尔曼滤波的原理、算法及应用。
一、卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波的基本思想是利用系统的动态模型和观测数据，对系统的状态进行估计。
在卡尔曼滤波中，系统的状态被表示为一个向量，每个元素表示系统的某个特定状态量。
例如，一个机器人的状态向量可能包括机器人的位置、速度、方向等信息。
卡尔曼滤波的基本假设是系统的动态模型和观测数据都是线性的，而且存在噪声。
系统的动态模型可以表示为：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t) + w(t)其中，x(t)表示系统在时刻t的状态向量，A是状态转移矩阵，B是控制矩阵，u(t)表示外部控制输入，w(t)表示系统的过程噪声。
观测数据可以表示为：z(t) = Hx(t) + v(t)其中，z(t)表示系统在时刻t的观测向量，H是观测矩阵，v(t)表示观测噪声。
卡尔曼滤波的目标是根据系统的动态模型和观测数据，估计系统的状态向量x(t)。
为了达到这个目标，卡尔曼滤波将状态估计分为两个阶段：预测和更新。
预测阶段：根据系统的动态模型，预测系统在下一个时刻的状态向量x(t+1)。
预测的过程可以表示为：x^(t+1|t) = Ax^(t|t) + Bu(t)其中，x^(t|t)表示在时刻t的状态向量的估计值，x^(t+1|t)表示在时刻t+1的状态向量的预测值。
卡尔曼滤波还需要对状态的不确定性进行估计，这个不确定性通常用协方差矩阵P(t)表示。
协方差矩阵P(t)表示状态向量估计值和真实值之间的差异程度。
预测阶段中，协方差矩阵也需要进行更新，更新的过程可以表示为：P(t+1|t) = AP(t|t)A' + Q其中，Q表示过程噪声的协方差矩阵。
更新阶段：根据观测数据，更新状态向量的估计值和协方差矩阵。
更新的过程可以表示为：K(t+1) = P(t+1|t)H'(HP(t+1|t)H' + R)^-1x^(t+1|t+1) = x^(t+1|t) + K(t+1)[z(t+1) - Hx^(t+1|t)]P(t+1|t+1) = (I - K(t+1)H)P(t+1|t)其中，K(t+1)表示卡尔曼增益，R表示观测噪声的协方差矩阵，I是单位矩阵。
卡尔曼滤波介绍
卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家。
卡尔曼滤波器是一个最优化自回归数据处理算法，对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。
他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。
近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。
卡尔曼滤波属于一种软件滤波方法，基本思想是：以最小均方差为最佳估计准则，采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和当前时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出当前时刻的估计值，算法根据建立的系统方程和观测方程对需要处理的信号做出满足最小均方差的估计。
卡尔曼滤波解读
目录一. 卡尔曼滤波的背景介绍 (2)二. 卡尔曼滤波的相关原理 (2)三. 卡尔曼滤波的简单理解 (3)1.卡尔曼滤波器基本公式 (3)2.卡尔曼滤波器算法 (3)3.研究对象：房间的温度 (5)四. 卡尔曼滤波的实现形式 (6)五. 卡尔曼滤波的应用范围 (6)六. 卡尔曼滤波的典型实例 (6)卡尔曼滤波器在智能车中的应用 (6)七．卡尔曼滤波器的不足与发展 (12)1.卡尔曼滤波器的不足 (12)2.卡尔曼滤波器的发展 (13)3.自适应卡尔曼滤波(AKF) (13)一. 卡尔曼滤波的背景介绍Kalman，匈牙利数学家。
1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。
1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。
1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。
卡尔曼滤波器源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。
卡尔曼滤波器是一个最优化自回归数据处理算法。
对于解决很大部分的问题，它是最优，效率最高甚至是最有用的。
它的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。
近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等二. 卡尔曼滤波的相关原理状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分。
一般来说，根据观测数据对随机量进行定量推断就是估计问题，特别是对动态行为的状态估计，它能实现实时运行状态的估计和预测功能。
比如对飞行器状态估计。
状态估计对于了解和控制一个系统具有重要意义，所应用的方法属于统计学中的估计理论。
最常用的是最小二乘估计，线性最小方差估计、最小方差估计、递推最小二乘估计等。
其他如风险准则的贝叶斯估计、最大似然估计、随机逼近等方法也都有应用。
受噪声干扰的状态量是个随机量，不可能测得精确值，但可对它进行一系列观测，并依据一组观测值，按某种统计观点对它进行估计。
卡尔曼滤波讲解
卡尔曼滤波器的简介
卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家， 1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953， 1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士 及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士 学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是 源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。
y(k)是k时刻的测量值，
H是测量系统的参数，对于多测量系 统，H为矩阵。
系统噪声和测量噪声都是高斯分布的， q(k)和r(k)分别表示过程和测量的噪声。
协方差矩阵分别为Qk-1和Rk
他们被假设成高斯白噪声(White
Gaussian Noise)，他们的covariance分
别是Q，R（这里我们假设他们不随
扩展Kalman滤波算法(EKF)
假定定位跟踪问题的非线性状态方程和测量方程如下:
X f (X ) W ...............(1)
k 1
k
k
Y h(X ) V ...................(.2)
k
k
k
在最近一次状态估计的时刻，对以上两式进行线性化处理，首先构造如 下2个矩阵:
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卡尔曼滤波卡尔曼滤波是用来进行数据滤波用的，就是把含噪声的数据进行处理之后得出相对真值。
卡尔曼滤波也可进行系统辨识。
卡尔曼滤波是一种基于统计学理论的算法，可以用来对含噪声数据进行在线处理，对噪声有特殊要求，也可以通过状态变量的增广形式实现系统辨识。
用上一个状态和当前状态的测量值来估计当前状态，这是因为上一个状态估计此时状态时会有误差，而测量的当前状态时也有一个测量误差，所以要根据这两个误差重新估计一个最接近真实状态的值。
信号处理的实际问题，常常是要解决在噪声中提取信号的问题，因此，我们需要寻找一种所谓有最佳线性过滤特性的滤波器。
这种滤波器当信号与噪声同时输入时，在输出端能将信号尽可能精确地重现出来，而噪声却受到最大抑制。
维纳(Wiener)滤波与卡尔曼(Kalman)滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号问题的一种过滤(或滤波)方法。
(1)过滤或滤波 - 从当前的和过去的观察值x(n)，x(n-1)，x(n-2)，…估计当前的信号值称为过滤或滤波;(2)预测或外推 - 从过去的观察值，估计当前的或将来的信号值称为预测或外推;(3)平滑或内插 - 从过去的观察值，估计过去的信号值称为平滑或内插;因此，维纳过滤与卡尔曼过滤又常常被称为最佳线性过滤与预测或线性最优估计。
这里所谓“最佳”与“最优”是以最小均方误差为准则的。
维纳过滤与卡尔曼过滤都是解决最佳线性过滤和预测问题，并且都是以均方误差最小为准则的。
因此在平稳条件下，它们所得到的稳态结果是一致的。
然而，它们解决的方法有很大区别。
维纳过滤是根据全部过去的和当前的观察数据来估计信号的当前值，它的解是以均方误差最小条件下所得到的系统的传递函数H(z)或单位样本响应h(n)的形式给出的，因此更常称这种系统为最佳线性过滤器或滤波器。
而卡尔曼过滤是用前一个估计值和最近一个观察数据(它不需要全部过去的观察数据)来估计信号的当前值，它是用状态方程和递推的方法进行估计的，它的解是以估计值(常常是状态变量值)形式给出的。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波卡尔曼滤波器是一种由卡尔曼（Kalman ）提出的用于时变线性系统的递归滤波器。
这种滤波器是将过去的测量估计误差合并到新的测量误差中来估计将来的误差。
卡尔曼滤波的一个典型实例是从一组有限的，包含噪声的，对物体位置的观察序列（可能有偏差）预测出物体的位置的坐标及速度。
卡尔曼滤波的基本概念一个实际的系统可用如下形式表示：设向量非平稳序列1-k x 和1-k y 用下面的动态方程描述：)0(111,≥⎩⎨⎧+=+Φ=---k v x C y w x x kk k k k k k k k （1—1）k x 是状态向量，k y 是观测向量，k w 是输入噪声，k v 是观测噪声，1,-Φk k 是从1-k 时刻到k 时刻的状态转移阵。
上述动态方程可由系统的机理推导得来或由实验数据辨识得到。
现假设已知。
有如下假设：1）k w 和k v 为零均值白噪声即：()[]0,[,][]0,[,]()Tk k j k j k kj T k k j k j k kjE w Cov w w E w w Q E v Cov v v E v v R δδ⎧===⎪⎨===⎪⎩其中k Q 对称半正定k R 对称正定，均为已知。
2）k w 和k v 不相关即()[,]0(,)T k j kjC o v w v E w vk j==∀ 3）初始状态0x 是随机向量，且与k w 、k v 不相关，即000000[,][()]0[,][()]0Tk k Tk kCov x w E x Ex w Cov x v E x Ex v ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 卡尔曼滤波：——状态估计在已知动态方程（1—1）（状态和观测方程）和样本观测数据k y ，1-k y ，…情况下，求随机序列样本——状态k x 的估计值k xˆ。
卡尔曼通过对下一步预测观测误差——新息的修正加之最小均方误差调整准则很好地解决了带有噪声的状态估计问题。
卡尔曼的递推思想与新息：递推计算和新息是卡尔曼滤波的基本思想，请看如：)(11111211k k k k k y y k y k y y y y -++=++++=+++平均计算变成一种递推计算，大大减少了计算量，把1+k 估计看成是在k 基础上的修正，修正项11()1k k y y k +-+。
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1．什么是卡尔曼滤波器在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。
卡尔曼是一个人的名字。
卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。
我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。
简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。
他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。
近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。
2．卡尔曼滤波器的介绍为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。
但是，他的5条公式是其核心内容。
结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。
在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。
假设我们要研究的对象是一个房间的温度。
根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。
假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。
我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。
另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。
我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。
（所谓高斯白噪声中的高斯是指概率分布是正态函数，而白噪声是指它的二阶矩不相关，一阶矩为常数，是指先后信号在时间上的相关性。
这是考查一个信号的两个不同方面的问题。
高斯白噪声：如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。
）好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。
下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。
假如我们要估算k时刻的是实际温度值。
首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。
因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。
然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。
由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。
究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance（协方差）来判断。
因为Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k 时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。
可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。
现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。
到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。
对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56度）的偏差。
算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。
这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。
就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归，从而估算出最优的温度值。
他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance。
上面的Kg，就是卡尔曼增益（Kalman Gain）。
他可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！下面就要言归正传，讨论真正工程系统上的卡尔曼。
3．卡尔曼滤波器算法在这一部分，我们就来描述源于Dr Kalman的卡尔曼滤波器。
下面的描述，会涉及一些基本的概念知识，包括概率（Probability），随即变量（Random Variable），高斯或正态分配（Gaussian Distribution）还有State-space Model（状态空间）等等。
但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一描述。
首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。
该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系统的测量值：Z(k)=H X(k)+V(k)上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。
A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。
Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。
W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。
他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。
对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。
下面我们来用他们结合他们的covariances来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。
首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。
假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。
到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。
我们用P表示covariance：P(k|k-1)=A P(k-1|k-1)A’+Q (2)式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。
式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。
现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。
结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)：X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-H X(k|k-1)) (3)其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)：Kg(k)=P(k|k-1)H’/(H P(k|k-1)H’+R) (4)到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。
但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance：P(k|k)=（I-Kg(k)H）P(k|k-1) (5)其中I为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。
当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。
这样，算法就可以自回归的运算下去。
卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5个基本公式。
根据这5个公式，可以很容易的实现计算机的程序。
下面，我会用程序举一个实际运行的例子。
4．简单例子（A Simple Example）这里我们结合第二第三节，举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过程。
所举的例子是进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果。
根据第二节的描述，把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。
当然，我们见的模型不需要非常地精确。
我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的，所以A=1。
没有控制量，所以U(k)=0。
因此得出：X(k|k-1)=X(k-1|k-1) (6)式子（2）可以改成：P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q (7)因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以H=1。
式子3，4，5可以改成以下：X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) (8)Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) (9)P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) (10)现在我们模拟一组测量值作为输入。
假设房间的真实温度为25度，我模拟了200个测量值，这些测量值的平均值为25度，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声（在图中为蓝线）。
为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)。
他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼的工作，X会逐渐的收敛。
但是对于P，一般不要取0，因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的，从而使算法不能收敛。
我选了X(0|0)=1度，P(0|0)=10。
该系统的真实温度为25度，图中用黑线表示。
图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结果（该结果在算法中设置了Q=1e-6，R=1e-1）。
××××××××××××××××××加入了标准偏差为几度的高斯白噪声（在图中为蓝线）红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结果（该结果在算法中设置了Q=1e-6，R=1e-1）附matlab下面的kalman滤波程序：clearN=200;w(1)=0;w=randn(1,N)x(1)=0;a=1;for k=2:N;x(k)=a*x(k-1)+w(k-1); endV=randn(1,N);q1=std(V);Rvv=q1.^2;q2=std(x);Rxx=q2.^2;q3=std(w);Rww=q3.^2;c=0.2;Y=c*x+V;p(1)=0;s(1)=0;for t=2:N;p1(t)=a.^2*p(t-1)+Rww;b(t)=c*p1(t)/(c.^2*p1(t)+Rvv);s(t)=a*s(t-1)+b(t)*(Y(t)-a*c*s(t-1)); p(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t);endt=1:N;plot(t,s,'r',t,Y,'g',t,x,'b');。