2008年考研数学一真题及答案

2008年考研数学一真题

一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)设函数f (x )=

∫ln⁡(2+t)dt x 2

,则f′(x)的零点个数为

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B 。 【解析】

f ′(x )=2x⁡ln⁡(2+x 2)且ln⁡(2+x 2)≠0，则x =0是f′(x)唯一的零点

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数 (2)函数f (x,y )=arctan x

y 在点(0,1)处的梯度等于

(A )i (B )−i (C )j (D )−j 【答案】A 。 【解析】

gradf (x,y )=ðf(x,y)ðx i +ðf(x,y)ðy

j

ðf(x,y)ðx =1

y 1+(x y

)2=y x 2+y 2⁡,ðf(x,y)ðy =−

x

y 2

1+(x y

)

2=−x x 2+y 2 所以gradf (x,y )|(0,1)=f ′x (0,1)i +f ′y (0,1)j =1∙i +0∙j =i 综上所述，本题正确答案是A 。

【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度

(3)在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1,C2,C3

为任意常数)为通解的是

(A)y′′′+y′′−4y′−4y=0(B)y′′′+y′′+4y′+4y=0

(C)y′′′−y′′−4y′+4y=0(D)y′′′−y′′+4y′−4y=0

【答案】D。

【解析】

由通解表达式y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x

可知其特征根为λ1=1,λ2,3=±2i

可见其对应特征方程为(λ−1)(λ2+4)=λ3−λ2+4λ−4=0故对应微分方程为y′′′−y′′+4y′−4y=0

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程

(4)设函数f(x)在(−∞,+∞)内单调有界，{x n}为数列，下列命题正确

的是

(A)若{x n}收敛，则{f(x n)}收敛

(B)若{x n}单调，则{f(x n)}收敛

(C)若{f(x n)}收敛，则{x n}收敛

(D)若{f(x n)}单调，则{x n}收敛

【答案】B。

【解析】

【方法一】

由于{x n}单调，f(x)单调有界，则数列{f(x n)}单调有界，根据单调有界准则知数列{f(x n)}收敛。

【方法二】

排除法：若取f(x)={1,x≥0

−1,x<0,x n=(−1)n

n

,则显然f(x)单调，{x n}

收敛，但f(x n)={1，n为偶数

−1,n为奇数

，显然{f(x n)}不收敛，排除A。

若取f(x)=arctanx,x n=n,显然{f(x n)}收敛且单调，但{x n}不收敛，排除C和D。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则

(5)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0,则

(A)E−A不可逆，E+A不可逆

(B)E−A不可逆，E+A可逆

(C)E−A可逆，E+A可逆

(D)E−A可逆，E+A不可逆

【答案】C。

【解析】

因为(E−A)(E+A+A2)=E−A3=E

(E+A)(E−A+A2)=E+A3=E

所以可知E−A可逆，E+A可逆

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】线性代数—矩阵—矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件

(6)设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程

(x,y,z)A[x

y

z

]=1

在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，则A的正特征值的个数为

(A)0(B)1

(C)2 (D)3

【答案】B。

【解析】

所给图形为双叶双曲线，标准方程为

x2 a2−

y2

b2

−

z2

c2

=1

二次型正交变换化为标准形时，其平方项的系数就是A的特征值，可知A的正特征值的个数为1

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】线性代数—二次型—次型的标准形和规范形

(7)设随机变量X,Y独立同分布，且X的分布函数为F(x),则Z=

min⁡{X,Y}的分布函数为

(A)F2(x)(B)F(x)F(y)

(C)1−[1−F(x)]2(D)[1−F(x)][1−F(y)]

【答案】A。

【解析】

F Z(x)=P{Z≤x}=P{max(X,Y)≤x}=P{X≤x,Y≤x}

=P{X≤x}P{Y≤x}=F(x)F(x)=F2(x)综上所述，本题正确答案是A。

【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—随机变量的独立性和不相关性，两个及两个以上随机变量简单函数的分布

(8)设随机变量X~N(0,1),Y~N(1,4),且相关系数ρXY=1,则

(A)P{Y=−2X−1}=1(B)P{Y=2X−1}=1

(C)P{Y=−2X+1}=1(D)P{Y=2X+1}=1

【答案】D。

【解析】

由相关系数的性质可知：

如果|ρXY|=1,则必有P{Y=aX+b}=1

可得EY=aEX+b

已知X~N(0,1),Y~N(1,4),所以1=0+b,得b=1

又

1=ρXY=Cov(X,Y)√DX√DY

而Cov(X,Y)=Cov(X,aX+b)=aCov(X,X)=a 所以1=

√1√4

,a=2

即P{Y=2X+1}=1

综上所述，本题正确答案是D。