2008年考研数学一真题及答案

2008年考研数学一真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)设函数f (x )=∫ln⁡(2+t)dt x 2,则f′(x)的零点个数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B 。

【解析】f ′(x )=2x⁡ln⁡(2+x 2)且ln⁡(2+x 2)≠0，则x =0是f′(x)唯一的零点综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数 (2)函数f (x,y )=arctan xy 在点(0,1)处的梯度等于(A )i (B )−i (C )j (D )−j 【答案】A 。

【解析】gradf (x,y )=ðf(x,y)ðx i +ðf(x,y)ðyjðf(x,y)ðx =1y 1+(x y)2=y x 2+y 2⁡,ðf(x,y)ðy =−xy 21+(x y)2=−x x 2+y 2 所以gradf (x,y )|(0,1)=f ′x (0,1)i +f ′y (0,1)j =1∙i +0∙j =i 综上所述，本题正确答案是A 。

【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度(3)在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是(A)y′′′+y′′−4y′−4y=0(B)y′′′+y′′+4y′+4y=0(C)y′′′−y′′−4y′+4y=0(D)y′′′−y′′+4y′−4y=0【答案】D。

【解析】由通解表达式y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x可知其特征根为λ1=1,λ2,3=±2i可见其对应特征方程为(λ−1)(λ2+4)=λ3−λ2+4λ−4=0故对应微分方程为y′′′−y′′+4y′−4y=0综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程(4)设函数f(x)在(−∞,+∞)内单调有界，{x n}为数列，下列命题正确的是(A)若{x n}收敛，则{f(x n)}收敛(B)若{x n}单调，则{f(x n)}收敛(C)若{f(x n)}收敛，则{x n}收敛(D)若{f(x n)}单调，则{x n}收敛【答案】B。

【解析】【方法一】由于{x n}单调，f(x)单调有界，则数列{f(x n)}单调有界，根据单调有界准则知数列{f(x n)}收敛。

【方法二】排除法：若取f(x)={1,x≥0−1,x<0,x n=(−1)nn,则显然f(x)单调，{x n}收敛，但f(x n)={1，n为偶数−1,n为奇数，显然{f(x n)}不收敛，排除A。

若取f(x)=arctanx,x n=n,显然{f(x n)}收敛且单调，但{x n}不收敛，排除C和D。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则(5)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0,则(A)E−A不可逆，E+A不可逆(B)E−A不可逆，E+A可逆(C)E−A可逆，E+A可逆(D)E−A可逆，E+A不可逆【答案】C。

【解析】因为(E−A)(E+A+A2)=E−A3=E(E+A)(E−A+A2)=E+A3=E所以可知E−A可逆，E+A可逆综上所述，本题正确答案是C。

【考点】线性代数—矩阵—矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件(6)设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(x,y,z)A[xyz]=1在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，则A的正特征值的个数为(A)0(B)1(C)2 (D)3【答案】B。

【解析】所给图形为双叶双曲线，标准方程为x2 a2−y2b2−z2c2=1二次型正交变换化为标准形时，其平方项的系数就是A的特征值，可知A的正特征值的个数为1综上所述，本题正确答案是B。

【考点】线性代数—二次型—次型的标准形和规范形(7)设随机变量X,Y独立同分布，且X的分布函数为F(x),则Z=min⁡{X,Y}的分布函数为(A)F2(x)(B)F(x)F(y)(C)1−[1−F(x)]2(D)[1−F(x)][1−F(y)]【答案】A。

【解析】F Z(x)=P{Z≤x}=P{max(X,Y)≤x}=P{X≤x,Y≤x}=P{X≤x}P{Y≤x}=F(x)F(x)=F2(x)综上所述，本题正确答案是A。

【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—随机变量的独立性和不相关性，两个及两个以上随机变量简单函数的分布(8)设随机变量X~N(0,1),Y~N(1,4),且相关系数ρXY=1,则(A)P{Y=−2X−1}=1(B)P{Y=2X−1}=1(C)P{Y=−2X+1}=1(D)P{Y=2X+1}=1【答案】D。

【解析】由相关系数的性质可知：如果|ρXY|=1,则必有P{Y=aX+b}=1可得EY=aEX+b已知X~N(0,1),Y~N(1,4),所以1=0+b,得b=1又1=ρXY=Cov(X,Y)√DX√DY而Cov(X,Y)=Cov(X,aX+b)=aCov(X,X)=a 所以1=√1√4,a=2即P{Y=2X+1}=1综上所述，本题正确答案是D。

【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量函数的数学期望矩、协方差、相关系数及其性质二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分。

）(9)微分方程xy′+y=0满足条件y(1)=1的解是y=。

【答案】1x。

【解析】分离变量得dyy =−1xdx,l两边积分有ln|y|=−ln|x|+C⇒ln|xy|=C⇒xy=±e C=C1利用条件，y(1)=1，解得y=1x综上所述，本题正确答案是1x。

【考点】高等数学—常微分方程—变量可分离的微分方程(10)曲线sin(xy)+ln(y−x)=x在点(0,1)处的切线方程是。

【答案】y=x+1【解析】先求曲线在点(0,1)处的斜率等式sin(xy)=ln(y−x)=x两端对x求导得cos(xy)(y+xy′)+y′−1y−x=1在上式中，将x=0,y=1,代入可得y′(0)=1所以曲线在该点处的切线方程为y−1=x,即y=x+1综上所述，本题正确答案是y=x+1。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数的几何意义和物理意义(11)已知幂级数∑a n (x +2)n∞n=0在x =0处收敛，在x =−4处发散，则幂级数∑a n (x −3)n∞n=0的收敛域为。

【答案】(1,5]。

【解析】由题设可知，幂级数∑a n (x +2)n ∞n=0在x =0处收敛，在x =−4处发散,即−4<x <0,|x +2|<2时，幂级数收敛。

对于幂级数∑a n (x −3)n ∞n=0，则收敛区间为|x −3|<2⇒1<x <5又幂级数∑a n (x +2)n ∞n=0在x =0处收敛，在x =−4处发散， 所以对于幂级数∑a n (x −3)n ∞n=0收敛域为(1,5]。

综上所述，本题正确答案是(1,5]。

【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域(12)设曲面Σ是z =√4−x 2−y 2的上侧，则∬xydydz +xdzdx +Σx 2dxdy =。

【答案】4π。

【解析】补曲面Σ1:{x 2+y 2≤4z =0,取下侧，记D ={(x,y)|x 2+y 2≤4} 则∬xydydz +xdzdx +x 2dxdy Σ=∬xydydz+xdzdx+x2dxdyΣ+Σ1−∬xydydz+xdzdx+x2dxdyΣ1=∭[ðPðx+ðQðy+ðRðz]dxdydzΩ+∬x2dxdy D=∭ydxdydzΩ+∫dθ2π∫r2cos2θ∙rdr2=0+∫cos2θdθ2π0∫r3dr2=4π综上所述，本题正确答案是4π。

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用，两类曲面积分的概念、性质及计算(13)设A为2阶矩阵，α1,α2为线性无关的2维列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为。

【答案】1。

【解析】【方法一】定义法：由Aα1=0=0α1，A(2α1+α2)=2Aα1+Aα2=⁡Aα2=2α1+α2可得矩阵A的特征值为1,0，因此A的非零特征值为1。

【方法二】矩阵相似：A(α1,α2)=(0,2α1+α2)=(α1,α2)[0201]可知A~[0201]，[0201]的特征值易得为1,0，所以可得矩阵A的特征值为1,0，因此A的非零特征值为1。

综上所述，本题正确答案是1。

【考点】线性代数—矩阵的特征值和特征向量—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，相似变换、相似矩阵的概念及性质(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X=E(X2)}=。

【答案】12e【解析】由已知，有EX=DX=1,所以E(X2)=DX+(EX)2=2所以P{X=E(X2)}=P{X=2}=12e综上所述，本题正确答案是12e。

【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—一维随机变量及函数的数字特征三、解答题：15~23小题，共94分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(15)（本题满分9分）求极限limx→0[sinx−sin⁡(sinx)]sinxx4【解析】【方法一】lim x→0[sinx−sin⁡(sinx)]sinxx=limx→0[sinx−sin⁡(sinx)]xx（等价无穷小代换）=limx→0cosx−cos⁡(sinx)∙cosx3x2（洛必达法则）=13limx→01−cos⁡(sinx)x2（limx→0cosx=1）=13limx→012sin2xx(等价无穷小代换)=16【方法二】lim x→0[sinx−sin⁡(sinx)]sinxx4=limx→0[sinx−sin⁡(sinx)]sinxsin4x（等价无穷小代换）=limt→0t−sintt（变量代换sinx=t）=limt→01−cost3t2（洛必达法则）=limt→012t23t=16（等价无穷小代换）【方法三】lim x→0[sinx−sin⁡(sinx)]sinxx4=limx→0[sinx−sin⁡(sinx)]xx4=limx→0sinx−sin⁡(sinx)3由泰勒公式sinx=x−x 33!+o(x3),可得si n(sinx)=⁡sinx−sin3x3!+o(sin3x)则，上式=limx→0sinx−sin⁡(sinx)x3=limx→0sinx−[sinx−sin3x3!+o(sin3x)]x3=limx→0sin3x3!+o(x3)x3=16【方法四】lim x→0[sinx−sin⁡(sinx)]sinx4=limx→0[sinx−sin⁡(sinx)]x4=limx→0sinx−sin⁡(sinx)x3=limx→0cosξ(x−sinx)x3（拉格朗日中值定理）=limx→0x−sinxx3=limx→01−cosx3x2=16【方法五】由于当x→0时,x−sinx~16x3,则sinx−si n(sinx)~16sin3x所以lim x→0[sinx−sin⁡(sinx)]sinxx4=limx→016sin3x∙sinxx4=16【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学—一元函数微分学—微分中值定理，洛必达(L'Hospital)法则(16)（本题满分9分）计算曲线积分∫sin2xdx+2(x2−1)ydyL,其中L是曲线y=sinx 上从点(0,0)到点(π,0)的一段。