数值分析第一章 习题

上机习题
1、利用 Taylor 展开公式
∑ ex = ∞ xk k=0 k ! 编一段小程序，上机用单精度计算 ex 的函数值. 分别取
x = 1 ，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，
观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法.
2、对于积分
∫ In =
1 xn dx ， n = 0 ,1,2,… 0 x+5
（1）证明递推关系
⎧⎪ ⎨
I
n
=
−5I n −1
+
1 n
,
n = 1, 2,3⋅⋅⋅,
⎪⎩
I0 = ln(1.2).
（2）用上述递推关系计算 I1 ， I2 ，…， I20 ，观察数值结果是否合理并说明
原因.
2
当 t 增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差减少.
2. 用下列迭代法计算 7 ：
⎧ ⎪
x0 = 2,
⎨⎪⎩xk+1
=
1 2
(xk
+
7 xk
),
k
=
0，1，2，⋅⋅⋅
证明：若 xk 是 7 的具有 n 位有效数字的近似值，则 xk+1必是 7 的具有 2n位
有效数字的近似值.
3. 已知
( ) ( ) 6
郑州大学研究生课程（2012-2013 学年上学期） 数值分析 Numerical Analysis
第一章 习 题
1. 真 空 中 的 自 由 落 体 距 离 h 与 时 间 t 的 关 系 为 ， 其 中 为 重 力 加 速 度 h = 1 gt2 ，其中 g 为加速度。现设 g 是准确的，而对 t 的测量有 ±1s 的误差，证明
算量是多少？占用的储存空间是几个单位（假设存一个实数用的储存空间是一个
单位）？若按下列算法计算：
⎧ ⎪⎨uk
=
xuk
un = an +ak,k = n−1,n−2,⋅⋅⋅,1,0,
⎪⎩
p(x) = u0
运算量是多少？占用的储存空间是几个单位？
7. 一个浮点数系可用四元数组 (β ,t, L,U ) 来刻画
b2 2a
−
4ac
，
x1
=
−b
+
b2 −4ac
，
2a
而要用公式
பைடு நூலகம்
x1
=
−b − sgn(b) 2a
b2
− 4ac
，
x2
=
c ax1
呢？这里
sgn(b)
=
⎧ 1, ⎨⎩ −1,
b ≥ 0, b < 0.
5. 试改变下列表达式，使计算结果比较精确：
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3
2 −1 = 3−2 2 =99−70 2 =
1
=
1
=
1
(1+ 2)2 (3+2 2)3 90+70 2
请指明用哪一个公式进行计算误差较小，并说明理由.
4. 已知 a ≠ 0， b ≠ 0 ， b2 −4ac > 0.说明在计算机上求一元二次方程
ax2 +bx+c = 0
的两个实根时，为什么不用公式 x1 = −b−
（1） 1 − 1− x ， x 1， （2） x + 1 − 1− 1 ， x 1，
1+ 2x 1+ x
x
x
（3） 1− cos x ， x ≠ 0 ， x 1. x
6. 在计算一元实系数多项式
p(x) = anxn +an−1xn−1 +⋅⋅⋅+ a0 的函数值时，若 x2 ， x3，…， xn 先计算，再用 a0 ， a1，…， an 做线性组合，运
（1）若 β = 10 ，欲使数 2365.27 和 0.0000512 能够准确地用规格化的浮
点数来表示，最小的 t 和U ，以及最大的 L 各是多少？
（2）若在（1）中去掉“规格化的”要求，答案将发生什么样的变化？
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