水平面内圆周运动的临界问题和竖直平面内圆周运动的“轻绳、轻杆”模型(课堂PPT)

脱离模型内壁，产生次品．已知管状模型内壁半
径 R，则管状模型转动的最低角速度 ω 为( )．
A.
g R
B.
g 2R
C.
2g R
D．2
g R
此条件隐含 了什么物理 特征？
解析 最易脱离模型内壁的位 置在最高点，转动的最低角速 度 ω 对应铁水在最高点受内壁 的作用力为零，
即 mg＝mω2R，得：ω＝ Rg，
B．只要改变h的大小，就能使小球通过a 点后，既可能落回轨道内，又可能落到de 面上
C．无论怎样改变h的大小，都不可能使 小球通过a点后落回轨道内 D．调节h的大小，可以使小球飞出de面 之外(即e的右侧)
审题导析 1.理解小球通过 a点的意义. 2.分析小球整体 运动过程中遵从 的规律.
转 解析
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3
2．与弹力有关的临界极值问题
压力、支持力的临界条件是物 体间的弹力恰好为零；绳上拉 力的临界条件是绳恰好拉直且 其上无弹力或绳上拉力恰好为 最大承受力等。
4
Ø2. 典例剖析
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【例 2】如图示，水平转台上放有质量均为 m 的两个小 物块 A、B，A 离转轴中心的距离为 L，A、B 间用长为 L 的细线相连。开始时，A、B 与轴心在同一直线上， 细线刚好被拉直，A、B 与水平转台间的动摩擦因数均 为 μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： (1)当转台的角速度达到多大时细线上开始出现张力？ (2)当转台的角速度达到多大时 A 物块开始滑动？
木块，用一轻绳拴着，置于很大的水
平转盘上，细绳穿过转盘中央的细管， 与质量也为m的小球相连，木块与转 盘间的最大静摩擦力为其重力的μ倍(μ ＝0.2)，当转盘以角速度ω＝4 rad/s匀
速转动时，要保持木块与转盘相对静 止，木块转动半径的范围是多少？(g 取10 m/s2)
扩展变式
【盘审题导析备转用动答1234块....当当若当变的案半木使木木式角径块 木 块块速】增4离 块 半恰大度对ra圆 半 径好一范d于心 径 达不/点s围上的再到向，≤是题距增最里随ω多，离大大滑圆≤少若很值动,盘木2？木小时时的块6块时，,转所木r它,a转动块受随d所动/，受圆各s 受木的力盘力各块情转情半力将况动况径情如如,又保木况何何会块持怎运?如会r遵样=动何向0从？？变.圆5什如m化心么果,则？滑规再转动律使？？木
审 (1)转台的角速度较小时，谁提供向心力？
题
(2)物块A、B谁先达到最大静摩擦力？ (3)细线上何时开始出现张力？
设 (4)细线上有张力时，谁提供物块A、B的向心力，列出表 达式？
疑 (5)两物块何时开始滑动？
转 解析
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【备选】 如图所示,水平杆固定在竖直杆上,两者互相垂直,水平杆上 O、 A 两点连接有两轻绳,两绳的另一端都系在质量为 m 的小球上,OA＝OB
临界问题分析 物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速 曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大 ”“最小”“刚好”等词语，现就两种模型分析比较如 下：
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轻绳模型
轻杆模型
常见 类型
过最高点的 临界条件
v 临＝ gr
小球恰能做圆周运动，v临＝0
讨论 分析
(1)过最高点时，v≥ gr，绳、 轨 道 对 球 产 生 弹 力 FN＋
A 正确．
答案 A
解析/显隐
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【训练2】(多选) 如图所示，M为固定在 水平桌面上的有缺口的方形木块，abcd为 半径是R的光滑圆弧形轨道，a为轨道的 最高点，de面水平且有一定长度．今将质 量为m的小球在d点的正上方高为h处由静 止释放，让其自由下落到d处切入轨道内 运动，不计空气阻力，则( )． A．只要h大于R，释放后小球就能通过a 点
＝AB,现通过转动竖直杆,使水平杆在水平面内做匀速圆周运动,三角形
OAB 始终在竖直平面内,若转动过程 OB、AB 两绳始终处于拉直状态,则
下列说法正确的是( )
A．OB
绳的拉力范围为
0～
3 3 mg
B．OB
绳的拉力范围为
33mg～2
3
3 mg
C．AB
绳的拉力范围为
33mg～2
3
3 mg
D．AB
绳的拉力范围为
心并随 v 的增大而增大
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Ø2. 典例剖析
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【例 3】如图示，长为 L 的轻杆一端固定质量为 m 的小球，另一端固定 在转轴 O，现使小球在竖直平面内做圆周运动，P 为圆周的最高点，若
小球通过圆周最低点时的速度大小为 92gL，忽略摩 擦阻力和空气阻力，则以下判断正确的是( ) A．小球不能到达 P 点 B．小球到达 P 点时的速度大于 gL C．小球能到达 P 点，且在 P 点受到轻杆向上的弹力 D．小球能到达 P 点，且在 P 点受到轻杆向下的弹力
与转轴的距离为 2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的 k 倍，
重力加速度大小为 g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用 ω
表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 ( )
A．b 一定比 a 先开始滑动
B．a、b 所受的摩擦力始终相等
C．ω＝ k2gl 是 b 开始滑动的临界角速度
D．当 ω＝ 23klg时，a 所受摩擦力的大小为 kmg
列方程
FN－mg＝mRv2牛顿第二定律方程 mg·2R＝12mv2机械能守恒方程
求解 自己试一试！
转 解析
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Ø3.规律方法
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方法提炼
竖直面内圆周运动的求解思路
(1)定模型： 判断 轻绳模型 或者 轻杆模型
(2)确定临界点： 轻绳模型 能否通过最高点的临界点 轻杆模型 FN表现为支持力还是拉力的临界点．
(1)当 (2)当
v＝0 时,FN＝mg,沿半径背离圆心 0＜v＜ gr时,－FN＋mg＝mvr2,FN
背离
mg＝mvr2
圆心,随 v 的增大而减小 (3)当 v＝ gr时，FN＝0
(2)不能过最高点 v＜ gr， 在到达最高点前球已脱离
(4)当 v＞
gr时，FN＋mg＝mvr2，FN 指向圆
圆轨道
解析 要使小球恰能到达 P 点，由机械 能守恒定律有：mv2/2＝mg·2L，可知它 在圆周最低点必须具有的速度为
v≥2 gL，而 92gL＞2 gL，所以小球 能到达 P 点；由机械能守恒定律可知小
球到达 P 点的速度为
1 2gL
；
由
于
12gL＜ gL，则小球在 P 点受到轻杆
向上的弹力。
答案 C
解析/显隐
21பைடு நூலகம்
【备选】如图示,2012年8月7日伦敦奥运会体操男子单杆决赛,荷 兰选手宗德兰德荣获冠军.若他的质量为60 kg,做“双臂大回环”, 用双手抓住单杠,伸展身体,以单杠为轴做圆周运动.此过程中,运动 员到达最低点时手臂受的总拉力至少约为 (忽略空气阻力，g＝10 m/s2)( ) A．600 N B．2 400 N C．3 000 N D．3 600 N
0～2
3
3 mg
审 题 设 疑
1.转速为零时,OA、AB拉力大小各怎样？ 2.随转速增大,OA、AB绳拉力大小如何变化？ 3.当转速增大到某值时,两绳拉力会有何突变？
转 解析
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Ø3.规律方法
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反思总结 解答水平面内匀速圆周运动临界问题的一般思路
1．判断临界状态：认真审题，找出临界状态． 2．确定临界条件：分析该状态下物体的受力特点. 3．选择物理规律：临界状态是一个“分水岭”，“岭”的
第四章 曲线运动 万有引力与航天
热点突破二： 水平面内圆周运动的临
界问题
Ø 1.热点透析 Ø 2.典例剖析 Ø 3.规律方法 Ø 4.跟踪训练
1
Ø1.热点透析
2
题
水平面内圆周运动的临界极值问题
型 1.与摩擦力有关的临界问题 分 类 2.与弹力有关的临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最 大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有Ffm＝mv2/r， 静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他 力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时， 存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临 界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径 背离圆心和沿半径指向圆心。
审题导析 1.小球处于完全失重状态. 2.注意小球在整体运动过程 中遵从哪些物理规律.
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Ø4.跟踪训练
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【训练 1】 在离心浇铸装置中，电动机带动两个 支承轮同向转动，管状模型放在这两个轮上靠摩
擦转动，如图所示，铁水注入之后，由于离心作
用，铁水紧紧靠在模型的内壁上，从而可得到密
实的铸件，浇铸时转速不能过低，否则，铁水会
转 解析
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第四章 曲线运动 万有引力与航天
物理建模： 竖直平面内圆周运动的 “轻绳、轻杆”模型
Ø 1.模型特点 Ø 2.典例剖析 Ø 3.规律方法 Ø 4.跟踪训练 Ø 5.真题演练
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Ø1.模型特点
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物理建模 “竖直平面内圆周运动的绳、杆”模型
模型特点 在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动至轨道最 高点时的受力情况可分为两类： 一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车 ”等)，称为“绳(环)约束模型” 二是有支撑(如球与杆连接，在弯管内的运动等)， 称为“杆(管道)约束模型”．
【训练 3】 (多选)如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆 形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内 做圆周运动，从 B 点脱离后做平抛运动，经过 0.3 s 后又恰好垂直 与倾角为 45°的斜面相碰。已知半圆形管道的半径为 R＝1 m，小 球可看做质点且其质量为 m＝1 kg，g 取 10 m/s2。则( ) A．小球在斜面上的相碰点 C 与 B 点的水平距离是 0.9 m B．小球在斜面上的相碰点 C 与 B 点的水平距离是 1.9 m C．小球经过管道的 B 点时，受到管 道的作用力 FNB 的大小是 1 N D．小球经过管道的 B 点时，受到管 道的作用力 FNB 的大小是 2 N
转 解析
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Ø5.真题演练
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【真题】(2011·安徽理综)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都
可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧
来代替. 如图(a)示，曲线上 A 点的曲率圆定义为：通过 A 点和曲线上紧
邻 A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做 A 点的曲率圆，
竖直面内圆周 运动的杆模型
审 1、此运动员的运动属于什么类型圆周运动？
题 设
2、运动员的运动过程遵从什么物理规律?
疑 3、如何选择状态及过程列方程解答问题？
牛顿第二定 律和机械能 守恒定律
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审题
关键点：运动员以单杠为轴做圆周运动
建模 属于竖直面内圆周运动的杆模型
选规律 牛顿第二定律和机械能守恒定律
相对圆盘静止 时,a、b两物块
角速度相等
审 1.a、b两物体所受最大静摩擦力大小如何？ 题 2.随转速缓慢增加，a、b两物体所需向心力的大小如何？ 设 3.随加速转动，哪个物体所需向心力首先达到能提供的最 疑 大静摩擦力？怎样求此时的角速度？
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Ø4.跟踪训练
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【跟踪训练】 如图所示，质量为m的
两边连接着物理过程的不同阶段，各阶段物体的运动形 式以及遵循的物理规律往往不同． 4．结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程综合分析。
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【变式训练 2】(多选)(2014·新课标全国卷Ⅰ,20)如图，两个质量均为 m
的小木块 a 和 b(可视为质点)放在水平圆盘上,a 与转轴 OO′的距离为 l，b
其半径 ρ 叫做 A 点的曲率半径. 现将一物体沿与水平面成 α 角的方向以
速度 v0 抛出，如图(b)示，则在其轨迹最高点 P 处的曲率半径是( )
A.
v20 g
B.
v20sin2α g
(3)研究状态：通常只涉及 最高点和最低点的运动情况． (4)受力分析：在最高点或最低点进行受力分析，由牛顿第
二定律列方程，F合＝F向． (5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两
个状态联系起来列方程.
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【变式训练3】在稳定轨道上的空间站中,物体处于完全失重状态, 空间站中有如图示的装置,半径分别为r和R(R＞r)的甲、乙两个 光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上,轨道之间有一条水平轨道 CD相通,宇航员让一小球以一定的速度先滑上甲轨道,通过粗糙的 CD段,又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道，那么下列说法中正确 的是( ) A.小球在CD间由于摩擦力而做减速运动 B.小球经过甲轨道最高点时比经过乙轨道最高点时速度大 C.如果减小小球的初速度,小球有可能不能到达乙轨道的最高点 D.小球经过甲轨道最高点时对轨道的压力大于经过乙轨道最高点 时对轨道的压力