MATLAB分支定界法程序(推荐文档)
完整word版,分支定界法的Matlab实现
一个调用例子：ifint=[0 1];f=[10 9];a=[1 0;0 1;-5 -3];b=[8 10 -45];[x,fval,exitflag] = linprogdis(ifint,f,a,b,[],[],[],[],[],[])function r=checkint(x)%算法：如果x(i)是整数，则返回r(i)=1；否则返回r(i)=0function r=ifrowinmat(arow,amat)%输入参数：% arow 向量，% amat 矩阵%%设计：如果 arow与矩阵amat中的某一行相等，则返回1，如果找不到现等的一行，则返回0可以使用ismember(arrow,amat,’rows’)替换ifrowinmat的调用，2005-10-28标注使用时，将下面的代码存入文件：linprogdis.mfunction [x,fval,exitflag,output,lambda]=... linprogdis(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)%Title:% 分支定届法求解混合整数线性规划模型%%初步完成：2002年12月%最新修订: 2004-03-06%最新注释：2004-11-20%数据处理[t1,t2] = size(b);if t2~=1,b=b';%将b转置为列向量end%调用线性规划求解[x,fval,exitflag,output,lambda] =linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options);if exitflag<=0,%如果线性规划失败，则本求解也失败returnend%得到有整数约束的决策变量的序号v1=find(ifint==1);%整数变量的indextmp=x(v1);%【整数约束之决策变量】的当前值if isempty(tmp),%无整数约束，则是一般的线性规划，直接返回即可returnendv2=find(checkint(tmp)==0);%寻找不是整数的index if isempty(v2),%如果整数约束决策变量确实均为整数，则调用结束returnend%第k个决策变量还不是整数解%注意先处理第1个不满足整数约束的决策变量k=v1(v2(1));%分支1：左分支tmp1=zeros(1,length(f));%线性约束之系数向量tmp1(k)=1;low=floor(x(k));%thisA 分支后实际调用线性规划的不等式约束的系数矩阵A%thisb 分支后实际调用线性规划的不等式约束向量b if ifrowinmat([tmp1,low],[A,b])==1%如果分支的约束已经存在旧的A，b中，则不改变约束thisA= A;thisb= b;elsethisA=[A;tmp1];thisb=b;thisb(end+1)=low;end%disp('fenzhi1'),thisA,thisb%递归调用[x1,fval1,exitflag1,output1,lambda1]= ...linprogdis(ifint,f,thisA,thisb,Aeq,beq,lb,ub,x0,o ptions);%分支2：右分支tmp2=zeros(1,length(f));%tmp1;tmp2(k)=-1;high= - ceil(x(k));if ifrowinmat([tmp2,high],[A,b])==1thisA= A;thisb= b;elsethisA=[A;tmp2];thisb=b;thisb(end+1)=high;end%disp('fenzhi2'),thisA,thisb[x2,fval2,exitflag2,output2,lambda2]= ...linprogdis(ifint,f,thisA,thisb,Aeq,beq,lb,ub,x0,o ptions);if isempty(v2) & ((exitflag1>0 & exitflag2<=0 & fval<=fval1 ) ...| (exitflag2>0 & exitflag1<=0 &fval<=fval2 )...| (exitflag1>0 & exitflag2>0 &fval<=fval1 & fval<=fval2 )),disp('error call')return %isempty(v2) 表示都是整数 2002-12-7非常重要end%下面分别根据返回标志exitflag确定最终的最优解%case 1if exitflag1>0 & exitflag2<=0 %【左分支有】最优解，右分支无最优解x = x1;fval = fval1;exitflag = exitflag1;output = output1;lambda = lambda1;%case 2elseif exitflag2>0 & exitflag1<=0 %【右分支有】最优解，左分支无最优解x = x2;fval = fval2;exitflag = exitflag2;output = output2;lambda = lambda2;%case 3elseif exitflag1>0 & exitflag2>0 %【左、右分支均有】最优解，则比较选优if fval1<fval2,%【左】分支最优（min）x = x1;fval = fval1;exitflag = exitflag1;output = output1;lambda = lambda1;else x = x2;,%【右】分支最优（min）fval = fval2;exitflag = exitflag2;output = output2;lambda = lambda2;end%fval1<fval2endfunction r=checkint(x)%算法：如果x(i)是整数，则返回r(i)=1；否则返回r(i)=0%输入参数：x 向量%输出参数：r 向量for i=1:length(x),ifmin(abs(x(i)-floor(x(i))),abs(x(i)-ceil(x(i))))<1 e-03%这里用于判定是否为0的参数可以调整，如改为1e-6r(i)=1;elser(i)=0;endendfunction r=ifrowinmat(arow,amat)%输入参数：% arow 向量，% amat 矩阵%%设计：如果 arow与矩阵amat中的某一行相等，则返回1，如果找不到现等的一行，则返回0r = 0;rows = size(amat,1);for i=1:rows,temp = (amat(i,:)==arow);%利用 Matlab的==操作，如果相等，则为1向量；if length(find(temp==0))==0,%没有为0的，即temp元素全部是1r=1;return end%end %for。
python分支定界算法解决问题范例
Python分支定界算法解决问题范例一、概述分支定界算法是一种用于解决组合优化问题的算法。
它通过不断地分解问题和减少搜索空间来找到最优解。
Python是一种广泛应用的编程语言，其简洁、灵活的特性使其成为实现分支定界算法的理想工具。
本文将以一个例子来展示如何使用Python实现分支定界算法解决问题，以帮助读者更好地理解和运用这一算法。
二、问题描述假设有一个物品清单，每个物品有其对应的价值和重量。
同时有一个背包，其最大承重为W。
现需要将物品放入背包，使得背包中的物品总价值最大，但总重量不能超过背包的承重。
如何选择物品并放置到背包中才能使得总价值最大化呢？三、分支定界算法解决方案1. 定义问题我们需要明确问题的定义和目标。
通过对问题进行数学建模，可以将其表示为一个0-1背包问题。
具体而言，我们可以定义以下几个参数：- n：物品的数量- weight[i]：第i个物品的重量- value[i]：第i个物品的价值- W：背包的最大承重通过以上定义，我们可以将问题表述为，在给定n个物品、其对应的重量和价值以及背包的最大承重情况下，如何选择物品并放置到背包中，使得背包中的物品总价值最大，但总重量不能超过背包的承重。
2. 分支定界算法实现接下来，我们将使用Python实现分支定界算法来解决上述问题。
具体步骤如下：我们定义一个Node类来表示搜索树的节点，其中包括以下几个属性：level、value、weight、bound和include。
- level表示当前节点所处的层级；- value表示当前节点已获得的总价值；- weight表示当前节点已获得的总重量；- bound表示当前节点的价值上界；- include表示一个列表，记录了每个物品是否被选择放入背包中。
```pythonclass Node:def __init__(self, level, value, weight, bound, include):self.level = levelself.value = valueself.weight = weightself.bound = boundself.include = include```我们定义一个bound函数来计算当前节点的价值上界。
运筹学第三节分支定界法
整理课件
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运筹学教程
不同的搜索策略会导致不同的搜索树，一般 情况下，同一层的两个子问题，先搜索目标 函数比较大的较有利（如果是极小问题，则 应先搜索目标函数值小的较为有利）。这样 可能得到数值比较大的下界，下界越大被剪 去的分支越多。
分支定界算法对于混合整数规划特别有效， 对没有整数要求的变量就不必分支，这将大 大减少分支的数量。
确定整数解目标函数值上下界并不断更新 ，“剪除”目 标函数值小于下界的分支的过程，称为定界（Bound）。
整理课件
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运筹学教程
整数规划问题的求解方法 分支定界法图解整数规划
松弛问题 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ， X2 ≥ 0
B1 Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≥2
X1 ， X2 ≥ 0
B2 Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≤1
X1 ， X2 ≥ 0
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运筹学教程
（3/2 ，10/3） Z1 = 29/6
0, B采用原加工方式 y1 1, B不采用原加工方 多余式 的约束
0, B采用新加工方式 y2 1, B不采用新加工方式
当y1=1,y2=0;采用
st.00..23xx11
0.5x2 0.4x2
150My1 120My2
新工艺,(2)式成立;
y1 y2 1 整理课件
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线性整数规划的分支限界解法及其MATLAB实现
名字由和两词的前个字母MATLAB Matrix Laboratory 3组合而成。
起于世纪年代后期，现在研究和设计中，2070被认为是进行高效研究、开发的首选软件工具。
MATLAB 在国际学术界，已经被确认为准确、可靠的科学MATLAB 计算标准软件。
在数学上提供了大量的优化计算命令。
线性规MALAB 划中，提供了相关函数，但是对于变量取整数的MATLAB 线性规划，即线性整数规划，并没有提供相关函MATLAB 数。
线性整数规划是介于计算机算法和最优化方法中的问题，在实际工程中有着广泛的应用。
本文通过计算机算法中分支限界法的思想解决此类方法。
线性整数规划的求解，是离散型优化问题求解，即指在有限多个可行方案中寻找一个符合目标的方案，常用的技术之一是将整个搜索的范围划分为若干个互不重叠并且完备的子范围，试图找到两个明确结论之一：所要找的最优解(1)肯定不在这个子范围内，如已知所要找的最小值不超过而a,在此范围内最小值超过则问题的解不在此范围内；原问a,(2)题的最小值在该子范围内，则找到该最小值，或者继续划分该子范围，直到找到最小值为止，这样原问题的解就自然得到。
解线性整数规划是一类具体的离散优化问题。
离散优化的问题都可以使用穷举法，在线性整数规划上，这个解空间很大。
显然在实际使用中，使用穷举法时间消耗很大。
在计算机的计算过程中，通常使用回朔的方法，然而仍然需要遍历整个树，然后在所有满足条件的值中找到最优的值。
树的遍历是个递归过程，如果使用递归算法，在每次进行递归调用中，需要保存当前的状态和当前的所有变量，仍然需要很大的空间和时间消耗。
本文通过堆栈的方式，改进递归过程，这将改进整个算法的执行效率。
分支限界法的算法思想1 分支限界法是一种在问题的解空间树上搜索问题界的算法，其目的是找出满足约束条件的一个解，或者是在满足约束条件的解中找出使目标函数值达到极大或极小的解，即最优解。
分支限界法以广度优先或者以最小耗费优先的方式搜索解空间树，分支限界法的策略是，在扩展结点处，先生成其所有的儿子结点，以加速搜索进程，在每一活结点处，计算一个函数值，并根据这些已经计算出的函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜索向着解空间树上最优解的分支推进，以便尽快找出一个最优解。
关于MATLAB整数规划分支定界法
关于MATLAB整数规划分支定界法一、编程利用Matlab的线性规划指令:[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)编写计算整数规划函数，输入与输出与上述指令相同分枝定界法(递归实现)function [x,fval,status] = intprog(f,A,B,I,Aeq,Beq,lb,ub,e)%整数规划求解函数 intprog()% 其中 f为目标函数向量% A和B为不等式约束 Aeq与Beq为等式约束 % I为整数约束% lb与ub分别为变量下界与上界% x为最优解，fval为最优值%例子:% maximize 20 x1 + 10 x2 % S.T.% 5 x1 + 4 x2 <=24 % 2 x1 + 5 x2 <=13 % x1, x2 >=0 % x1, x2是整数 % f=[-20, -10];% A=[ 5 4; 2 5];% B=[24; 13];% lb=[0 0];% ub=[inf inf];% I=[1,2];% e=0.000001;% [x v s]= IP(f,A,B,I,[],[],lb,ub,,e) % x = 4 1 v = -90.0000 s = 1% 控制输入参数if nargin < 9, e = 0.00001;if nargin < 8, ub = [];if nargin < 7, lb = [];if nargin < 6, Beq = [];if nargin < 5, Aeq = [];if nargin < 4, I = [1:length(f)];end, end, end, end, end, end%求解整数规划对应的线性规划,判断是否有解 options = optimset('display','off'); [x0,fval0,exitflag] = linprog(f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,[],options);if exitflag < 0disp('没有合适整数解');x = x0;fval = fval0;status = exitflag;return;else%采用分支定界法求解bound = inf;[x,fval,status] =branchbound(f,A,B,I,x0,fval0,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e);end子函数function [newx,newfval,status,newbound] =branchbound(f,A,B,I,x,fval,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e)% 分支定界法求解整数规划% f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub与线性规划相同 % I为整数限制变量的向量% x为初始解，fval为初始值options = optimset('display','off');[x0,fval0,status0]=linprog(f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,[],options);%递归中的最终退出条件%无解或者解比现有上界大则返回原解 if status0 <= 0 || fval0 >= bound newx = x;newfval = fval;newbound = bound;status = status0;return;end%是否为整数解,如果是整数解则返回 intindex = find(abs(x0(I) -round(x0(I))) > e);if isempty(intindex)newx(I) = round(x0(I));newfval = fval0;newbound = fval0;status = 1;return;end%当有非整可行解时，则进行分支求解 %此时必定会有整数解或空解%找到第一个不满足整数要求的变量n = I(intindex(1));addA = zeros(1,length(f));addA(n) = 1;%构造第一个分支 x<=floor(x(n))A = [A;addA];B = [B,floor(x(n))];[x1,fval1,status1,bound1] =branchbound(f,A,B,I,x0,fval0,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e);A(end,:) = [];B(:,end) = [];%解得第一个分支，若为更优解则替换，若不是则保持原状status = status1;if status1 > 0 && bound1 < boundnewx = x1;newfval = fval1;bound = fval1;newbound = bound1;elsenewx = x0;newfval = fval0;newbound = bound;end%构造第二分支A = [A;-addA];B = [B,-ceil(x(n))];[x2,fval2,status2,bound2] =branchbound(f,A,B,I,x0,fval0,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e);A(end,:) = [];B(:,end) = [];%解得第二分支，并与第一分支做比较，如果更优则替换 if status2 > 0 && bound2 < boundstatus = status2;newx = x2;newfval = fval2;newbound = bound2;end二、求解利用上述指令求解下列问题:汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量小型中型大型现有量钢材(吨) 1 2 5 1000劳动时间(小时) 250 125 150 120000利润(万元) 3 5 121、若每月生产的汽车必须为整车，试制订月生产计划，使工厂的利润最大2、如果生产某一类型汽车，则至少要生产50辆，那么最优的生产计划应作何改变, 解:1f = [-3 -5 -12];A = [1 2 5;250 125 150];B = [1000 120000];I = [1:length(f)];lb = [0 0 0];[x,fval,status] = intprog(f,A,B,I,[],[],lb)答案为 x =307 344 1 fval = -2653 status =12lb = [50 50 50]答案为 x =350 200 50 fval =-2.6500e+003 status =1用分枝定界法求解整数线性规划问题%%问题的标准形式:%% min c'*x%% s.t. A*x<=b%% Aeq*x=beq%% 要求是整数%%function [y,fval]=BranchBound(c,A,b,Aeq,beq)%NL=length(c);UB=inf;LB=-inf;FN=[0];AA(1)={A};BB(1)={b};k=0;flag=0;while flag==0;[x,fval,exitFlag]=linprog(c,A,b,Aeq,beq); if (exitFlag == -2) | (fval >= UB)FN(1)=[];if isempty(FN)==1flag=1;elsek=FN(1);A=AA{k};b=BB{k};endelsefor i=1:NLif abs(x(i)-round(x(i)))>1e-7kk=FN(end);FN=[FN,kk+1,kk+2];temp_A=zeros(1,NL);temp_A(i)=1;temp_A1=[A;temp_A];AA(kk+1)={temp_A1};b1=[b;fix(x(i))];BB(kk+1)={b1};temp_A2=[A;-temp_A];AA(kk+2)={temp_A2};b2=[b;-(fix(x(i))+1)];BB(kk+2)={b2};FN(1)=[];k=FN(1);A=AA{k};b=BB{k};break;endendif (i==NL) & (abs(x(i)-round(x(i)))<=1e-7) UB=fval;y=x;FN(1)=[];if isempty(FN)==1flag=1;elsek=FN(1);A=AA{k};b=BB{k};endendendendy=round(y);fval=c*y;。
分支定界解析
MATLAB 解整数规划问题——分支定界法柯伟敏 G012012348一、问题分析在线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数，事实上，线性规划是连续变量的线性优化问题。
但在实际问题中，常有要求解答必须是整数的情形。
例如，所求解是机器人的台数，完成工作的人数或者装货的车数等，分数或者小数的解答就不符合要求。
为了满足整数解的要求，初看起来，似乎只要把已得到的带有分数的或小数的解经过‘舍入化整’就可以了。
但这常常是不行的，因为化整之后不见得就是可行解，或虽是可行解，但不一定是最优解。
因此，对求最优整数解问题，有必要另行研究。
我们称这样的问题为整数规划问题。
学习运筹学过后，我们学习了笔算这类问题，但是当对于一个问题的约束条件有很多个时，手算必然耗费很大个工作量。
但是用 MATLAB 解题却可以达到事半功倍的效果，省去了很多繁琐的运算过程。
二、数学原理下面我主要介绍分支定界解法。
分支定界法的基本思想是不断将可行域分割成小的集合，然后再小的集合上找整数最优解，在分割可行域时，整数解并不会丢失。
其算法过程如下： 1、 置矩阵NF_lb 为原整数的的lb ，NF_ ub 为原整数规划的ub ，置最优解=*x ∅，目标函数的最优上界F=+∞。
2、设NF_lb 的第一列为l 0b ，NF_ub 第一列为u 0b ，求解线性规划min f （x ）=cx ， b Ax ≤s.t. 00ub x lb ≤≤ ，设最优解为-x ，最优值为_f ，如果不存在最优解，则设_f =+∞；0≥x3、若_f =+∞，则将NF_lb 的第一列和NF_ub 的第一列去掉，转7，否则，转44、若_f ≥F ，则将NF_lb 的第一列去掉，和NF_ub 的第一列去掉，转7，否则，转5.5、若_f <F ，且-x 的各分量都为整数，则置F=_f ,=*x -x ，将NF_lb 的第一列和NF_ub 的第一列去掉，转7，否则转6。
6、若_f <F ，但-x 的有些分量不是整数，任选择-x 中一个不是整数的分量_k x ，将此问题分解为两个问题Q1Q2；第一个问题的ub 等于u 0b ，而lb 是将NF_lb 中的第一列分量_k x 对应的下界改为[_k x ]+1;第二个问题的lb 等于l 0b ，而ub 是将NF_ub 中的第一列_k x ，对应的上界改为[_k x ]，再将NF_lb 的第一列和NF_ub 的第一列去掉，把Q1，Q2对应的lb ，ub 作为新列分别添加到NF_lb 和NF_ub 的后面，转27、若NF_lb不为空，则转2，若为空，且*x不为空，则*x为原整数规划的最优解，F=最优值，如果*x为空，则原整数规划不存在最优解。
下料问题
关于一维下料问题的研究摘要：“下料问题”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题．此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用．在生产实践中通常要求解决用料最省、浪费最少等问题．下料问题即是其一。
属最优化研究范畴．一维下料问题是生产实践中常见的问题，优化下料要求最大限度地节约原材料，提高原材料的利用率。
本文介绍了两种方法，其一提出分支定界算法优化一维下料问题，并用MATLAB编写程序，通过计算机来完成这一复杂的过程。
另一种方法-lingo，针对单一原材料的一维下料问题, 建立了整数规划模型, 然后将模型转化为求解最优下料方式问题; 利用lingo进行编程, 实现循环调用得到一维下料问题的局部最优解。
实际上本文就是给出了解决适当规模下料问题的求解方法．该方法既可手工演算又可通过计算机求解。
在实践中可以借鉴使用．Abstract： The “℃utting Stock Problem”is a problem of dividing raw materials in the same shape into several parts in different shapes． This kind of problem has important and wide appliance in engineering and industry production．Being living to give birth to in the practice requires use to anticipate to save most usually and Squanders at least and so on ，First of all Immediate future the cutting stock problem is ，The category optimization is researched the category 。
分支定界法----整数规划matlab
分支定界法的思想是：首先确定目标值的上下界发布人：chengxu0921 发布时间：2008-7-21 18:16:27 新闻类别：分支-界限法例1：设有A,B,C,D,E 5人从事j1,j2,j3,j4,j5 5项工作每人只能从事一项,它们的效益表如下:求最佳安排,使效益最高？原文代码重写如下，希望增加点可读性。
program PlanJob;const MAX_SIZE = 20;typeTIntArray = array[1..MAX_SIZE] of Integer;PNode = ^Node;Node = recordJob2Man: TIntArray; // Job2Man[n] = m, job-n assign to person-m Man2Job: TIntArray; // Man2Job[n] = m, person-n assign to job-m UpperVal: Integer; // upper valueJobsDep: Integer; // jobs decided, as search depthNext: PNode;end;varCurNode: PNode; // Current nodeNewNode: PNode; // New branch nodeDelNode: PNode; // for deleteGoalNode: PNode; // the goalGoalMaxVal: Integer; // goal max valueCurMan, CurJob: Integer; // Current Man and Job of current NodeSize: Integer; // Person number, also task numberValues: array[1..MAX_SIZE, 1..MAX_SIZE] of Integer;function CalUpperValue(ANode: PNode): Integer;varRes: Integer;Man, Job: Integer;JobMaxVal: Integer;beginRes := 0;with ANode^ dobeginfor Job := 1 to Size dobeginif Job <= JobsDep thenbeginMan := Job2Man[Job];Res := Res + Values[Man, Job];Continue;end;// else find the max value for JobJobMaxVal := 0;for Man := 1 to Size dobeginif (JobMaxVal < Values[Man,Job]) and (Man2Job[Man] = 0) then JobMaxVal := Values[Man,Job];end;Res := Res + JobMaxVal;end; // for Jobend; // with ANode^CalUpperValue := Res;end;function InitNode(): PNode;varMan, Job: Integer;FInput: Text;Res: PNode;beginAssign(FInput, 'input.txt');Reset(FInput);Read(FInput, Size);Readln(FInput);for Man := 1 to Size dobeginfor Job := 1 to Size doRead(FInput, Values[Man,Job]);Readln(FInput);New(Res);with Res^ dobeginfor Man := 1 to Size dobeginMan2Job[Man] := 0;Job2Man[Man] := 0;end;JobsDep := 0;UpperVal := CalUpperValue(Res);Next := nil;end;InitNode := Res;end;procedure Insert(ANode: PNode; From: PNode);varPrevNode, NextNode: PNode;beginNextNode := From;repeatPrevNode := NextNode;NextNode := PrevNode^.Next;until (NextNode = nil) or (ANode^.UpperVal >= NextNode^.UpperVal); PrevNode^.Next := ANode;ANode^.Next := NextNode;end;procedure PrintNode(ANode: PNode);varMan, Job: Integer;AllJobAssigned: Boolean;beginAllJobAssigned := true;for Job := 1 to Size dobeginMan := ANode^.Job2Man[Job];if 0 <> Man thenWriteln('Job ', Job, ' assign to man ',Man, ', value ', Values[Man, Job])elseAllJobAssigned := false;Writeln;if AllJobAssigned thenWriteln('Value = ', ANode^.UpperVal)elseWriteln('UpperVal = ', ANode^.UpperVal);end;beginCurNode := InitNode();GoalMaxVal := 0;repeatCurJob := CurNode^.JobsDep + 1;for CurMan := 1 to Size dobeginif CurNode^.Man2Job[CurMan] <> 0 thenContinue;// New search branchNew(NewNode);NewNode^ := CurNode^;NewNode^.JobsDep := CurJob;NewNode^.Man2Job[CurMan] := CurJob;NewNode^.Job2Man[CurJob] := CurMan;NewNode^.UpperVal := CalUpperValue(NewNode);if NewNode^.UpperVal < GoalMaxVal thenDispose(NewNode) // discard this branch if smaller than limit elseInsert(NewNode, CurNode);if CurJob < Size then Continue; // for CurMan// all job assigned, update goalif NewNode^.UpperVal > GoalMaxVal thenbeginGoalNode := NewNode;GoalMaxVal := GoalNode^.UpperValend; // ifend; // for CurManDelNode := CurNode;CurNode := CurNode^.Next;Dispose(DelNode);until (CurNode^.UpperVal <= GoalMaxVal)or (CurNode = nil); // end of repeatPrintNode(GoalNode);Readln;end.input.txt:513 11 10 4 713 10 10 8 55 9 7 7 415 12 10 11 510 11 8 8 4output:Job 1 assign to man 4, value 15Job 2 assign to man 5, value 11Job 3 assign to man 2, value 10Job 4 assign to man 3, value 7Job 5 assign to man 1, value 7Value = 50如果扩展为10*10,input.txt:1013 11 10 4 7 13 11 10 4 713 10 10 8 5 13 10 10 8 55 9 7 7 4 5 9 7 7 415 12 10 11 5 15 12 10 11 5 10 11 8 8 4 10 11 8 8 413 11 10 4 7 13 11 10 4 713 10 10 8 5 13 10 10 8 55 9 7 7 4 5 9 7 7 415 12 10 11 5 15 12 10 11 5 10 11 8 8 4 10 11 8 8 4运行约两分钟。
最优化 分支定界
最优化分支定界最优化问题是指在一组约束条件下，寻找某个或某组变量的值，使得目标函数达到最优（最大或最小）的问题。
这类问题在科学研究、工程技术和经济管理等领域中都有广泛的应用。
分支定界法（Branch and Bound）是一种求解最优化问题的经典算法，尤其适用于整数规划、混合整数规划以及组合优化问题。
以下是该方法的详细说明：1.基本思路（1）分支：将问题的可行解空间不断划分为更小的子集，这个过程称为“分支”。
每个子集代表原问题的一个子问题。
（2）定界：对每个子集（或子问题）计算一个目标函数的界（上界或下界），这称为“定界”。
对于最小化问题，通常会计算每个子集的下界；对于最大化问题，则会计算上界。
（3）剪枝：在每次分支后，通过比较子集的目标函数界和当前已知的最优解，可以判断某些子集不可能包含更优的解，因此这些子集可以被“剪枝”，即不再进一步考虑。
（4）迭代：通过不断重复分支、定界和剪枝的过程，直到找到最优解或确定最优解的范围。
2.优点（1）适用性广：分支定界法可以应用于各种类型的最优化问题，包括整数规划、混合整数规划和组合优化问题。
（2）求解效率高：通过有效的剪枝策略，可以大大减少需要探索的解空间，从而提高求解效率。
（3）可以找到全局最优解：与某些只能找到局部最优解的启发式算法不同，分支定界法可以保证找到全局最优解（在给定时间内）。
3.缺点（1）内存消耗大：由于需要存储大量的子问题和它们的界，分支定界法可能会消耗大量的内存空间。
（2）实现复杂：分支定界法的实现通常比较复杂，需要仔细设计分支策略、定界方法和剪枝策略。
（3）可能受问题特性影响：对于某些特定类型的问题，分支定界法可能不是最有效的求解方法。
例如，当问题的解空间非常复杂或难以有效划分时，分支定界法的效率可能会受到严重影响。
4.应用领域分支定界法被广泛应用于各种实际问题的求解中，如生产调度、物流配送、资源分配、网络设计等。
在这些领域中，通过合理地定义变量、约束条件和目标函数，可以将实际问题抽象为最优化问题，并利用分支定界法进行求解。
matlab解决整数规划问题（蒙特卡洛法）
matlab解决整数规划问题（蒙特卡洛法）整数规划：clc,clear;c = [-40;-90];A = [9 7;7 20];b = [56;70];lb = zeros(2,1);[x,fval]= intlinprog(c,1:2,A,b,[],[],lb);fval = -fvalx分⽀定界法或者割平⾯法求解纯或者混合整数线性规划问题；输出：当条件A,B之间不是且关系⽽是或的时候：固定成本问题（最优化函数中含有与xi⽆关的常量，相当于固定成本，优化函数可以写成总固定成本加上总可变成本之和）：0-1整数规划问题（过滤隐枚举法，分枝隐枚举法）指派问题（0-1规划特殊情形：匈⽛利法）蒙特卡洛法（求解各种类型规划）下⾯主要介绍蒙特卡洛法（随机取样法）：例题：如果⽤显枚举法试探，需要计算1010个点，计算量巨⼤。
但是⽤蒙特卡洛去计算106个点便可以找到满意解。
前提：整数规划的最优点不是孤⽴的奇点；⽽采集106个点后，我们有很⼤把握最优值点在106个点之中；function [f,g] = mengte(x);f = x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)-...x(4)-2*x(5);g = [sum(x)-400x(1)+2*x(2)+2*x(3)+x(4)+6*x(5)-8002*x(1)+x(2)+6*x(3)-200x(3)+x(4)+5*x(5)-200];rand('state',sum(clock));p0 = 0;ticfor i = 1:10^6x = 99*rand(5,1);x1 = floor(x);x2 = ceil(x);[f,g] = mengte(x1);if sum(g<=0)==4if p0<=fx0 = x1;p0=f;endend[f,g] = mengte(x2);if sum(g<=0)==4if p0 <= fx0 = x2;p0 = f;endendendx0,p0toc输出：蒙特卡洛法得到的解为最优解的近似解，10^6个数据已经⽤了将近7s的时间，所以如果增加⼗倍，可能得70s时间才能得到结果。
Matlab教程课件-第6章_分支限界法
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例 1 ：0-1背包问题(0-1Knapsack Problem )
问题陈述 设有n个物体和一个背包,物体i的重量为wi价值为pi ,背包 的载荷为M, 若将物体i(1 i n,)装入背包,则有价值为pi . 目标是找到一个方案, 使得能放入背包的物体总价值最高.
原则选取下一个结点为扩展结点。
（2）优先队列式分支限界法 将活结点表组织成一个优先队列，按照规定的优先
级选取优先级最高的结点成为当前扩展结点。
• 算法实现时，通常用极大（小）堆来实现 最大（小）优先队列，提取堆中下一个结 点为当前扩展结点，体现最大（小）费用 优先的原则。
• 极大堆满足一个节点必定不小于其子节点， 极小堆正好相反。
设N=3, W=(16,15,15), P=(45,25,25), C=30
1.队列式分支限界法 2.优先队列式分支限界法
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0-1背包问题：队列式分支限界法
用一个队列存储活结点表，初始为空 A为当前扩展结点，其儿子结点B和C均为可行结点，将其
按从左到右顺序加入活结点队列，并舍弃A。 按FIFO原则，下一扩展结点为B，其儿子结点D不可行，
分支限界法以广度优先或以最小耗费（最大效益）优 先的方式搜索问题的解空间树。
每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子 结点。
儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结 点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。
从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复 上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解 或活结点表为空时为止。
分支定界法
分支定界法分支定界法(branch and bound)是一种求解整数规划问题的最常用算法。
这种方法不但可以求解纯整数规划，还可以求解混合整数规划问题。
基本信息中文名称：分支定界法外文名称：branch and bound用途：整数规划问题性质：算法定义分支定界法（branch and bound）是一种求解整数规划问题的最常用算法。
这种方法不但可以求解纯整数规划，还可以求解混合整数规划问题。
算法步骤第1步：放宽或取消原问题的某些约束条件，如求整数解的条件。
如果这时求出的最优解是原问题的可行解，那么这个解就是原问题的最优解，计算结束。
否则这个解的目标函数值是原问题的最优解的上界。
第2步：将放宽了某些约束条件的替代问题分成若干子问题，要求各子问题的解集合的并集要包含原问题的所有可行解，然后对每个子问题求最优解。
这些子问题的最优解中的最优者若是原问题的可行解，则它就是原问题的最优解，计算结束。
否则它的目标函数值就是原问题的一个新的上界。
另外，各子问题的最优解中，若有原问题的可行解的，选这些可行解的最大目标函数值，它就是原问题的最优解的一个下界。
第3步：对最优解的目标函数值已小于这个下界的问题，其可行解中必无原问题的最优解，可以放弃。
对最优解的目标函数值大于这个下界的子问题，都先保留下来，进入第4步。
第4步：在保留下的所有子问题中，选出最优解的目标函数值最大的一个，重复第1步和第2步。
如果已经找到该子问题的最优可行解，那么其目标函数值与前面保留的其他问题在内的所有子问题的可行解中目标函数值最大者，将它作为新的下界，重复第3步，直到求出最优解。
分支定界法
以下内容基本为转载内容:1. 模型整数规划的模型与线性规划基本相同，只是额外的添加了部分变量为整数的约束。
2. 求解步骤整数规划求解的基本框架是分支定界法（Branch and bound，BnB）。
首先去除整数约束得到“松弛模型”，使用线性规划的方法求解。
若有某个变量不是整数，在松弛模型上分别添加约束：x<=floor(A)和x>=ceil(A)然后再分别求解，这个过程叫做分支。
当节点求解结果中所有变量都是整数时，停止分支。
这样不断迭代，形成了一棵树。
定界，指的是叶子节点产生后，相当于给问题定了一个下界。
之后在求解过程中一旦某个节点的目标函数值小于这个下界，那就直接pass，不用再进行分支了；每次新产生叶子节点，则更新下界。
3. python算法实现import mathfrom scipy.optimize import linprogimport sysdef integerPro(c,A,b,Aeq,beq,t=1.0E-12):res=linprog(c,A_ub=A,b_ub=b,A_eq=Aeq,b_eq=beq)if(type(res.x)is float):#produces error codebestX=[sys.maxsize]*len(c)else:bestX=res.xbestVal=sum([x*y for x,y in zip(c,bestX)])if all(((x-math.floor(x))<t or(math.ceil(x)-x)<t)for x in bestX): return(bestVal,bestX)else:ind=[i for i,x in enumerate(bestX)if(x-math.floor(x))>t and (math.ceil(x)-x)>t][0]newCon1=[0]*len(A[0])newCon2=[0]*len(A[0])newCon1[ind]=-1newCon2[ind]=1newA1=A.copy()newA2=A.copy()newA1.append(newCon1)newA2.append(newCon2)newB1=b.copy()newB2=b.copy()newB1.append(-math.ceil(bestX[ind]))newB2.append(math.floor(bestX[ind]))r1=integerPro(c,newA1,newB1,Aeq,beq)r2=integerPro(c,newA2,newB2,Aeq,beq)if r1[0]<r2[0]:return r1else:return r2例子：输入c=[3,4,1]A=[[-1,-6,-2],[-2,0,0]]b=[-5,-3]Aeq=[[0,0,0]]beq= [0]print(integerPro(c,A,b,Aeq,beq))输出(8.0,array([2.,0., 2.]))其中8是目标函数值，2，0，2是3个整数变量的值。
(word完整版)matlab图论程序算法大全,推荐文档
精心整理图论算法matlab实现求最小费用最大流算法的MATLAB程序代码如下：n=5;C=[0 15 16 0 00 0 0 13 14011 017 00 0 0 0 80 0 0 0 0]; %弧容量b=[0 4 1 0 0-< < -.z ■■ * I f/ }0 0 0 6 1■j ' I X 1 ,.,\X \ • i z"》'0 2 0 3 00 0 0 0 20 0 0 0 0]；%弧上单位流量的费用wf=0;wf0=lnf; %wf表示最大流量，wf0 表示预定的流量值,--j I " f'for (i=1:n) for (j=1:n)f(i,j)=0; end; end %取初始可行流f 为零流while (1)for (i=1:n) for (j=1:n) if (j~=i)a(i,j)=lnf; end; end; end%勾造有向赋权图for (i=1:n) for (j=1:n) if (C(i,j)>0&f(i,j)==0)a(i,j)=b(i,j);elseif (C(i,j)>0&f(i,j)==C(i,j))a(j,i)二-b(i,j);elseif (C(i,j)>0)a(i,j)=b(i,j);a(j,i)=-b(i,j); end; end; endfor (i=2:n)p(i)=lnf;s(i)二i; end %用Ford 算法求最短路，赋初值for (k=1:n)pd=1; %求有向赋权图中vs到vt的最短路2019年9月精心整理end for (i=2:n) for (j=1:n) if (p(i)>p(j)+a(j,i))p(i)=p(j)+a(j,i);s(i)二j;pd=O;;end; endif (pd) break; end;end %求最短路的Ford算法结束if (p(n)==lnf) break; end %不存在vs到vt的最短路，算法终止.注意在求最小费用最大流时构造有向赋权图中不会含负权回路，所以不会出现k=ndvt=Inf;t=n; %进入调整过程，dvt 表示调整量while (1) %计算调整量if (a(s(t),t)>0)dvtt=C(s(t),t)-f(s(t),t); %前向弧调整量elseif (a(s(t),t)<0)dvtt=f(t,s(t)); end %后向弧调整量if (dvt>dvtt)dvt=dvtt; end■i • I x 1i 'if (s(t)==1) break; end %当t的标号为vs时，终止计算调整量j-J—— _____t=s(t); end %继续调整前一段弧上的流fpd=0; if (wf+dvt>=wf0)dvt=wf0-wf;pd=1; end%如果最大流量大于或等于预定的流量值,--j I " f't=n; while (1) %调整过程if (a(s(t),t)>O)f(s(t),t)=f(s(t),t)+dvt; %前向弧调整elseif (a(s(t),t)<0)f(t,s(t))=f(t,s(t))-dvt; end %后向弧调整if (s(t)==1) break; end %当t的标号为vs时，终止调整过程t=s(t); endif (pd) break; end%如果最大流量达到预定的流量值wf=0; for (j=1: n)wf=wf+f(1,j); end; end %计算最大流量zwf=0; for (i=1:n) for (j=1:n)zwf二zwf+b(i,j)*f(i,j); 2019年end; end%计算最小费用9月精心整理f %显示最小费用最大流图6-22wf %显示最小费用最大流量zwf %显示最小费用，程序结束_Kruskal避圈法：Kruskal避圈法的MATLAB程序代码如下：n=8;A=[0 2 8 1 0 0 0 02 0 6 0 1 0 0 08 6 0 7 5 1 2 01 0 7 0 0 0 9 00 1 5 0 0 3 0 8■i • I x 1i '0 0 1 0 3 0 4 60 0 2 9 0 4 0 30 0 0 0 8 6 3 0];k=1; %己录A中不同正数的个数,--j I " f'for (i=1:n-1) for (j=i+1:n) %此循环是查找A中所有不同的正数if (A(i,j)>0)x(k)=A(i,j); %数组x 记录A中不同的正数kk=1; %缶时变量for (s=1:k-1) if (x(k)==x(s))kk=0; break; end; end %排除相同的正数k=k+kk; end; end; endk=k-1 %显示A中所有不同正数的个数for (i=1:k-1) for (j=i+1:k) %各x中不同的正数从小到大排序if (x(j)<x(i))xx=x(j);x(j)=x(i);x(i)=xx;end; end; end 2019年9月精心整理T(n,n)=0; %各矩阵T中所有的元素赋值为0q=0; %己录加入到树T中的边数for (s=1:k) if (q==n) break;end %获得最小生成树T,算法终止for (i=1:n-1) for (j=i+1:n) if (A(i,j)==x(s))T(i,j)=x(s);T(j,i)=x(s);%加入边到树T中TT=T; %临时记录Twhile (1)pd=1; %砍掉TT中所有的树枝for (y=1:n)kk=0;for (z=1:n) if (TT(y,z)>0)kk=kk+1;zz=z; end; end 扇找TT 中的树枝if(kk==1)TT(y,zz)=0;TT(zz,y)=0;pd=0; end; end %砍掉TT 中的树枝if (pd) break; end;end %已砍掉了TT中所有的树枝1 i' X 1pd=0; %判断TT中是否有圈J-J—— _____for (y=1:n-1) for (z=y+1:n) if (TT(y,z)>0)pd=1; break; end; end; end if (pd)T(i,j)=0;T(j,i)=0;%假如TT 中有圈[ielse q=q+1;end; end; end; end; end,--j I " f'T %显示近似最小生成树T,程序结束用Warshall-Floyd 算法求任意两点间的最短路n=8;A=[0 2 8 1 Inf Inf Inf Inf2 0 6 Inf 1 Inf Inf Inf8 6 0 7 5 1 2 Inf1 Inf 7 0 Inf Inf 9 InfInf Inf 1 Inf 3 0 4 62019年9月精心整理Inf Inf 2 9 Inf 4 0 3Inf Inf Inf Inf 8 6 3 0]; % MATLAB^, Inf 表示乂D=A; %赋初值for (i=1:n) for (j=1:n)R(i,j)二j; end; end %赋路径初值for (k=1:n) for (i=1:n) for (j=1:n) if (D(i,k)+D(k,j)<D(i,j))D(i,j)二D(i,k)+D(k,j); %更新dijR(i,j)=k; end; end; end %更新rijk %显示迭代步数D %显示每步迭代后的路长R %显示每步迭代后的路径■-"? I y .： .*pd=0; for i=1:n %含有负权时$ . I X 1 \ t Zyfj ；" —. »■if (D(i,i)<0)pd=1; break; end; end %存在一条含有顶点vi 的负回路j- ————丿if (pd) break; end %存在一条负回路，终止程序end %程序结束利用Ford--Fulkerson 标号法求最大流算法的MATLAB ,--j I /'芦# /程序代码如下：n二 8;C=[0 5 4 3 0 0 0 00 0 0 0 5 3 0 00 0 0 0 0 3 2 00 0 0 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0 52019年9月精心整理0 0 0 0 0 0 0 0]; %弧容量for (i=1:n) for (j=1:n)f(i,j)=0; end; end %取初始可行流f 为零流for (i=1:n)No(i)=0;d(i)=0; end %No,d 记录标号图6-19 while (1)No(1)=n+1;d(1)=lnf; %给发点vs 标号while (1)pd=1; %标号过程for (i=1:n) if (No(i)) %选择一个已标号的点vifor (j=1:n) if (No(j)==0&f(i,j)<C(i,j)) %对于未给标号的点vj,当vivj 为非饱和弧时L ? I $ / /No(j)=i;d(j)=C(i,j)-f(i,j);pd=0;L』I p. x\ : I" X 1 ..'C.X 'L 、 xxif (d(j)>d(i))d(j)=d(i); endp ————y xelseif (No(j)==0&f(j,i)>0) %对于未给标号的点vj,当vjvi为非零流弧时No(j)=-i;d(j)=f(j,i);pd=0;:\ \if (d(j)>d(i))d(j)=d(i); end; end; end; end; end,--j I " f'if (No(n)|pd) break; end; end%若收点vt得到标号或者无法标号，终止标号过程if (pd) break; end %vt未得到标号，f 已是最大流，算法终止dvt=d(n);t二n; %进入调整过程，dvt 表示调整量while (1)if (No(t)>0)f(No(t),t)=f(No(t),t)+dvt; elseif (No(t)<0)f(No(t),t)=f(No(t),t)-dvt; if (No(t)==1) for (i=1:n)No(i)=0;d(i)=0;终止调整过程2019年9月%前向弧调整end %后向弧调整end; break; end %当t 的标号为vs 时t二No(t); end;end; %继续调整前一段弧上的流fwf=O; for (j=1:n)wf=wf+f(1,j); end %+算最大流量f %显示最大流wf %显示最大流量No混示标号，由此可得最小割，程序结束图论程序大全程序一：关联矩阵和邻接矩阵互换算法fun cti on W=i ncan dadf(F,f)if f==0m=sum(sum(F))/2;n=size(F,1);W=zeros( n, m);k=1;for i=1: nfor j=i:nif F(i,j)~=0W(i,k)=1;W(j,k)=1;k=k+1;endendendelseif f==1m=size(F,2);n=size(F,1);W=zeros( n,n);for i=1:ma=fi nd(F(:,i)~=0);W(a(1),a (2))=1;W(a(2) ,a(1))=1;endelsefprint( 'Please imput the right value of f );endW;程序二：可达矩阵算法fun cti on P=dgraf(A)n=size(A,1);P=A;for i=2:nP=P+A A i;endP(P~=0)=1；P；程序三：有向图关联矩阵和邻接矩阵互换算法fun cti on W=mattra nsf(F,f)if f==0m=sum(sum(F));n=size(F,1);W=zeros( n, m);k=1;for i=1: nfor j=i:n if F(i,j)~=OW(i,k)=1;W(j,k)=-1;k=k+1;endI ■endendelseif f==1m=size(F,2);n=size(F,1);W=zeros( n,n);for i=1:ma=fi nd(F(:,i)~=0);if F(a(1),i)==1W(a(1),a (2))=1;elseW(a(2) ,a(1))=1;endendelsefprint( 'Please imput the right value of f );endW;第二讲：最短路问题程序一：Dijkstra算法(计算两点间的最短路) fun ctio n [l,z]=Dijkstra(W)精心整理n = size (W,1);for i = 1 :nl(i)=W(1,i);z(i)=0；endi=1;while i<=nfor j =1 :nif l(i)>l(j)+W(j,i)l(i)=l(j)+W(j,i);z(i)=j-1；if j<ii=j-1;endendendi=i+1;end程序二：floyd算法(计算任意两点间的最短距离) fun cti on [d,r]=floyd(a) n=size(a,1);d=a;for i=1: nfor j=1: nr(i,j)=j;endend"/二7I \r;for k=1: nI_ :「for i=1:nfor j=1: nif d(i,k)+d(k,j)vd(i,j)■■ d(i,j)=d(i,k)+d(k,j); r(i,j)=r(i,k);endendendend程序三：n 2short.m 计算指定两点间的最短距离fun ctio n [P u]=n2short(W,k1,k2)n=le ngth(W);U=W;m=1;精心整理while m<=nfor i=1: nfor j=1: nif U(i,j)>U(i,m)+U(m,j)U(i,j)=U(i,m)+U(m,j);endendendm=m+1;endu=U(k1,k2);P1=zeros(1, n);k=1;P1(k)=k2;V=o nes(1, n)* inf;kk=k2;while kk~=k1for i=1: nV(1,i)=U(k1,kk)-W(i,kk);if V(1,i)==U(k1,i)P1(k+1)=i;kk=i;k=k+1;endendendk=1;wrow=fi nd(P1~=0);for j=length(wrow):-1:1P(k)=P1(wrow(j));k=k+1;endP;程序四、n1short.m(计算某点到其它所有点的最短距离) function [Pm D]=n1short(W,k)n=size(W,1);D=zeros(1, n);for i=1: n[P d]=n2short(W,k,i);Pm{i}=P;D(i)=d;end程序五：pass2short.m（计算经过某两点的最短距离）精心整理function [P d]=pass2short(W,k1,k2,t1,t2)[p1 d1]=n2short(W,k1,t1);[p2 d2]=n2short(W,t1,t2);[p3 d3]=n2short(W,t2,k2);dt1= d1+d2+d3;[p4 d4]=n2short(W,k1,t2);[p5 d5]=n2short(W,t2,t1);[p6 d6]=n2short(W,t1,k2);dt2=d4+d5+d6;if dt1<dt2d=dt1;P=[p1 p2(2:le ngth(p2)) p3(2:le ngth(p3))];elsed=dt1;p=[p4 p5(2:le ngth(p5)) p6(2:le ngth(p6))];endP;d;第三讲：最小生成树程序一：最小生成树的Kruskal算法■i 1 I X 1 t fun cti on [T c]=krusf(d,flag)if nargin==1n=size(d,2);m=sum(sum(d~=0))/2;b=zeros(3,m);k=1;for i=1: nfor j=(i+1):nif d(i,j)~=0b(1,k)=i;b(2,k)=j;b(3,k)=d(i,j);k=k+1;endendendelseb=d;endn=max(max(b(1:2,:)));m=size(b,2);[B,i]=sortrows(b',3);B=B';c=0;T=[];精心整理k=1;t=1: n;for i=1:mif t(B(1,i))~=t(B(2,i))T(1:2,k)=B(1:2,i);c=c+B(3,i);k=k+1;tmi n=mi n( t(B(1,i)),t(B(2,i))); tmax=max(t(B(1,i)),t(B(2,i)));for j=1: nif t(j)==tmax t(j)=tmi n;endendendif k==nbreak;endendT;c;程序二：最小生成树的Prim算法'I \ 1 ,fun cti on [T c]=Primf(a)l=le ngth(a);a(a==0)=i nf;k=1:l;listV(k)=0;listV(1)=1;e=1;while (e<l)mi n=inf;for i=1:lif listV(i)==1for j=1:lif listV(j)==0 & min>a(i,j)min=a(i,j);b=a(i,j); s=i;d=j;endendendendlistV(d)=1;dista nce(e)=b;source(e)=s;dest in ati on( e)=d;精心整理e=e+1;endT=[source;desti nati on];for g=1:e-1c(g)=a(T(1,g),T(2,g));endc;另外两种程序最小生成树程序1 (prim算法构造最小生成树)a=[inf 50 60 inf inf inf inf;50 inf inf 65 40 inf inf;60 inf inf 52 inf inf45;…inf 65 52 inf 50 30 42;i nf 40 inf 50 inf 70 inf;inf inf inf 30 70 infinf;...inf inf 45 42 inf inf inf];result=[];p=1;tb=2:le ngth(a);while len gth(result)~=le ngth(a)-1temp=a(p,tb);temp=temp(:);d=mi n(temp);[jb,kb]=fi nd(a(p,tb)==d);2 -- --vX ：' [ \ \ Z'j=p(jb(1));k=tb(kb(1));result=[result,[j;k;d]];p=[p,k];tb(fi nd(tb==k))=[];endresult最小生成树程序2( Kruskal算法构造最小生成树) clc;clear;a(1,2)=50; a(1,3)=60; a(2,4)=65; a(2,5)=40;精心整理a(3,4)=52;a(3,7)=45; a(4,5)=50; a(4,6)=30;a(4,7)=42; a(5,6)=70;[i,j,b]=find (a);data二[i';j';b'];i ndex=data(1:2,:);loop二max(size(a))-1;result=[];while len gth(result)<looptemp二mi n(data(3,:));flag=fi nd(data(3,:)==temp);flag=flag(1);Y '.Z ；彳I 1 _• }v1=data(1,flag);v2=data(2,flag);■i • i x 1 \ % 'j ；- ... lyif in dex(1,flag)~=i ndex(2,flag)result二[result,data(:,flag)];endin dex(fi nd(i ndex==v2))=v1;,--j I " f'data(:,flag)=[];index(:,flag)=[];endresult第四讲：Euler图和Hamilton图程序一：Fleury算法(在一个Euler图中找出Euler环游) 注：包括三个文件；fleuf1.m, edf.m, flecvexf.mfun ctio n [T c]=fleuf1(d)%注：必须保证是Euler环游，否则输出T=0,c=0精心整理n=len gth(d);b=d;b(b==i nf)=O;b(b~=0)=1;m=0;a=sum(b);eds=sum(a)/2;ed=zeros(2,eds);vexs=zeros(1,eds+1);matr=b;for i=1: nif mod(a(i),2)==1m=m+1;endendif m~=0fprintf( 'there is not exit Euler path.\n' )T=0;c=0;endif m==0vet=1;flag=0;t1=fi nd(matr(vet,:)==1);for ii=1:length(t1)ed(:,1)=[vet,t1(ii)]; vexs(1,1)=vet;vexs(1,2)=t1(ii); matr(vexs(1,2),vexs(1,1))=0;flagg=1;tem=1;while flagg[flagg ed]=edf(matr,eds,vexs,ed,tem); tem=tem+1;if ed(1,eds)~=0 & ed(2,eds)~=0T=ed;T(2,eds)=1;c=0;for g=1:eds c=c+d(T(1,g),T(2,g));endflagg=0;break;endendendendfunction [flag ed]=edf(matr,eds,vexs,ed,tem)精心整理flag=1;for i=2:eds[dvex f]=flecvexf(matr,i,vexs,eds,ed,tem); if f==1flag=0;break;endif dvex~=0ed(:,i)=[vexs(1,i) dvex];vexs(1,i+1)=dvex; matr(vexs(1,i+1),vexs(1,i))=0; elsebreak;endendfun cti on [dvex f]=flecvexf(matr,i,vexs,eds,ed,temp)f=0;edd=fi nd(matr(vexs(1,i),:)==1);dvex=0;dvex 1=[];ded=[];if length(edd)==1dvex=edd;elsedd=1;dd 仁0;kkk=0;for kk=1:length(edd)m1=fi nd(vexs==edd(kk));if sum(m1)==0dvex1(dd)=edd(kk);dd=dd+1;dd1=1;elsekkk=kkk+1;endendif kkk==length(edd) tem=vexs(1,i)*o nes(1,kkk); edd1=[tem;edd];for l1=1:kkk lt=0;ddd=1;for l2=1:edsif edd1(1:2,l1)==ed(1:2,l2) lt=lt+1;endend精心整理if lt==Oded(ddd)=edd(l1);ddd=ddd+1;endendendif tempv=length(dvexl)dvex=dvex1(temp);elseif temp>le ngth(dvexl) & temp<=le ngth(ded)dvex=ded(temp);elsef=1;endend程序二：Hamilton改良圈算法(找出比较好的Hamilton路)function [C d1]= hamiltonglf(v)%表示权值矩阵%表示算法最终找到的Hamilton圈。
分支定界法PPT课件
x2
51 14
2 x1
x2
1 3
x1, x2 0且取整数
其松弛问题的最优解为：20A21 （3/2，10/3）
2
因X1=3/2, 所以IP问题的最优解中x1的取值范围一定满 足x1≤1（区域1）或x1≥2（区域2），如下图所示。
A(3 2 ,10 3)
区域1
１
区域2
x1
２３
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3
⑴ 分支
z 61 14 z0
LP21
S21 x1 33 / 14, x2 2
z0 61 / 14
LP22 S22 无可行解
x1 2
x2 3
z4 z 4 S211
LP211
x1 2, x2 2
z0 4
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LP212
S212 x1 3, x 2 1
z0 4
返回
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8
第三节 分支定界法
一、分支定界法步骤 二、示例
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1
一、分支定界法步骤
使用范围：纯整数、混合整数规划。 基本思想：求松弛问题最优解，逐步缩小可域。
１、求解松弛问题的最优解，若非整数解，转２。
２、分支与定界。下面我们先通过示例来了解一下第2 步的思路。例：max Z x1 x2
x1
9 14
无整数解，在Z≥0的情况下，令 z 0
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4
⑶ 比较与剪枝
若上界等于下界，则停止；否则，剪去小于下 界的分支，对于大于下界的分支继续重复步骤２ （优先分支函数值较大者）。
二、示例
例３ 用分枝定界法求解
max Z x1 x2
x1
9 14
x2
51 14
分支定界法
分支定界法分支定界法是一种基于数学理论的模型，它可以帮助我们做出最优的决策。
其基本概念是，首先通过给定一个目标函数，对其进行最优化，然后根据这个函数的极值，将其分割成不同的子区域，并依次在每个子区域内选择最优的结果。
在分支定界法的实践中，每个子区域内，我们都可以计算出最优的结果。
从此，如果我们需要做出一个明智的决定，就可以从这些子区域中选择最优的结果。
分支定界法的应用非常广泛，可以用于求解某些领域的优化问题，比如机器学习和运筹学等。
在机器学习领域，它可以用于求解某些非线性优化问题；在运筹学领域，它可以用于求解复杂的线性规划和非线性规划问题。
分支定界法的基本原理如下，首先建立一个数学模型，确定其中的目标函数以及约束条件；然后，利用最优化方法求解最优解；最后，利用定界方法将最优解正确地确定在子空间中，即定界子空间，从而减少最优问题的搜索空间。
分支定界法的实现过程是：首先，根据求解问题，建立目标函数及约束条件；然后，通过最优化方法求解最优解；最后，利用定界方法来确定最优解在子空间中的正确位置，从而减少搜索空间。
分支定界法具有很多优势，最主要的优势就在于可以大大减少求解最优解的搜索空间，这样可以大大提高求解最优解的效率，也可以有效避免解决问题时出现“陷入局部最优”的情况。
另外，分支定界法还可以更好地提高算法的可靠性，可以有效避免过拟合或欠拟合问题，也可以有效地减少数据的噪声影响。
分支定界法目前已经得到了广泛的应用，比如无约束优化问题、有约束优化问题、最短路径问题、线性规划问题、非线性规划问题等都可以使用分支定界法来求解。
另外，分支定界法还可以用于多目标优化问题，如多目标规划、多约束优化问题、多目标贝叶斯优化问题等。
总之，分支定界法是一种模型，它可以帮助我们做出最优的决策，并可以应用在求解复杂的优化问题中。
它的优势在于可以帮助我们更好地求解最优解，也可以避免出现陷入局部最优的情况，且可以更好地提高算法的可靠性，可以有效的减少计算的噪声影响，因此受到广泛的应用。
分支定界法Matlab程序实现与验证
x1, x2 int
min z 3x1 2x2
24x1x13xx22
14.5 16.5
x1, x2 0
（2） 通过如下 Matlab 程序进行求解
f=[-3 -2];
A=[2 3;4 1];
B=[14.5 16.5];
lb=[0 0];
ub=[inf,inf];
分支定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。在 20 世纪 60 年代初
2
由 Land Doig 和 Dakin 等人提出。由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以 现在它已是解整数规划的重要方法。
设有最大化的整数规划问题 A，与它相应的线性规划为问题 B，从解问题 B 开始，若其最优解不符合 A 的整数条件，那么 B 的最优目标函数必是 A 的最优 目标函数 z*的上界，记作 z ，而 A 的任意可行解的目标函数值将是 z*的一个下 界 z 。分支定界法就是将 B 的可行域分成子区域(称为分支)的方法，逐步减小 z 和增大 z ，最终求到 z*。
4 分支定界法 Matlab 函数 jBranchBound 程序源代码
根据上述程序设计逻辑结构，设计分支定界法的 Matlab 函数源代码如下：
function [xOut,fitOut,flagOut]=jBranchBound(c,A,B,Aeq,beq,vlb,vub,optXin,optF)
现用下例来说明，例 2：
max z 40x1 90x2
9x1 7x2 56
7
x1
20x2 70 x1, x2 0
x1, x2 int
图 1 分支定界法求解示例的过程
《运筹学》教材编写组 《运筹学》第三版 p117，清华大学出版社
MATLAB分支定界法程序(推荐文档)
源代码如下：function [x,y]=ILp(f,G,h,Geq,heq,lb,ub,x,id,options)%整数线性规划分支定界法，可求解纯整数规划和混合整数规划。
%y=minf’*x s.t. G*x<=h Geq*x=heq x为全整数或混合整数列向量%用法%[x,y]=ILp(f,G,h,Geq,heq,lb,ub,x,id,options)%参数说明%lb:解的下界列向量（Default:-int）%ub:解的上界列向量（Default:int）%x:迭代初值列向量%id：整数变量指标列向量，1-整数，0-实数（Default:1）global upper opt c x0 A b Aeq beq ID options;if nargin<10,options=optimset({});options.Display='off';rgeScale='off';endif nargin<9,id=ones(size(f));endif nargin<8,x=[];endif nargin<7 |isempty(ub),ub=inf*ones(size(f));endif nargin<6 |isempty(lb),lb=zeros(size(f));endif nargin<5,heq=[];endif nargin<4,Geq=[];endupper=inf;c=f;x0=x;A=G;b=h;Aeq=Geq;beq=heq;ID=id;ftemp=ILP(lb(:),ub(:));x=opt;y=upper;%下面是子函数function ftemp=ILP(vlb,vub)global upper opt c x0 A b Aeq beq ID options;[x,ftemp,how]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,x0,options);if how <=0return;end;if ftemp-upper>0.00005 %in order to avoid errorreturn;end;if max(abs(x.*ID-round(x.*ID)))<0.00005if upper-ftemp>0.00005 %in order to avoid erroropt=x';upper=ftemp;return;elseopt=[opt;x'];return;end;end;notintx=find(abs(x-round(x))>=0.00005); %in order to avoid errorintx=fix(x);tempvlb=vlb;tempvub=vub;if vub(notintx(1,1),1)>=intx(notintx(1,1),1)+1;tempvlb(notintx(1,1),1)=intx(notintx(1,1),1)+1;ftemp=IntLP(tempvlb,vub);end;if vlb(notintx(1,1),1)<=intx(notintx(1,1),1)tempvub(notintx(1,1),1)=intx(notintx(1,1),1);ftemp=IntLP(vlb,tempvub);end;在命令行运行>>c=[1,1,-4];a=[1,1,2;1,1,-1;-1,1,1];b=[9;2;4];>> [x,f]=ILp(c,a,b,[],[],[0;0;0],[inf;inf;inf])从你的程序中的如下这条语句可以看出变量ID是全局变量：global upper opt c x0 A b Aeq beq ID options;该全局变量（ID）是在你的函数之外被别的程序语句进行过赋值，而且也很有可能被赋成了向量/矩阵、并且它的维数大小跟向量x的维数大小并不相同，这就造成了进行运算x.*ID的时候维数不匹配的问题第二个：题目:min (4*x1+4*x2); 约束条件:2*x1+5*x2<=15,2*x1-2*x2<=5,x1,x2>=0,且都为整数.解这个还是很容易,算出来x1,x2都为0点几,因为题目要求是整数,所以主要是这个分支定界的问题,急求一个分支定界的MATLAB算法,通用算法也可以,或者只能解这道题也可以,只要能进行计算就行,最后解出来x1,x2都为0.希望大家帮帮忙,先谢谢大家了.解线性方程很容易，但主要是整数解，需要用分支定界法．希望算法尽量简单易懂,最好有注释,本人是初学者,谢谢了把以下程序存为ILP.m，%============================function [x,y]=ILp(f,G,h,Geq,heq,lb,ub,x,id,options)%整数线性规划分支定界法，可求解纯整数规划和混合整数规划。
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源代码如下：fun ctio n [x,y]=ILp(f,G,h,Geq,heq,lb,ub,x,id,optio ns)%整数线性规划分支定界法，可求解纯整数规划和混合整数规划。
%y=minf ' *x s.t. G*x<=h Geq*x=heq x为全整数或混合整数列向量%用法%[x,y]=ILp(f,G,h,Geq,heq,lb,ub,x,id,optio ns)%参数说明%lb:解的下界列向量(Default:」nt )%ub:解的上界列向量(Default:int)%x:迭代初值列向量%id :整数变量指标列向量，1-整数，0-实数(Default:1 )global upper opt c x0 A b Aeq beq ID options;if nargin<10,options=optimset({});options.Display='off;opti on rgeScale='off;e ndif nargin<9,id=ones(size(f));endif nargin<8,x=[];endif nargin<7 |isempty(ub),ub=inf*ones(size(f));endif nargin<6 |isempty(lb),lb=zeros(size(f));endif narginv5,heq=[];endif narginv4,Geq=[];endupper=i nf;c=f;xO=x;A=G;b=h;Aeq=Geq;beq=heq;ID=id; ftemp=ILP(lb(:),ub(:));x=opt;y=upper;%下面是子函数fun cti on ftemp=ILP(vlb,vub)global upper opt c x0 A b Aeq beq ID options;[x,ftemp,how]=li nprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,xO,opti on s);if how <=0return;en d;if ftemp-upper>0.00005 %in order to avoid errorreturn;en d;if max(abs(x.*ID-round(x.*ID)))<0.00005if upper-ftemp>0.00005 %in order to avoid error opt=x';upper=ftemp;return;elseopt=[opt;x'];return;en d;en d;notintx=find(abs(x-round(x))>=0.00005); %in order to avoid errorin tx=fix(x);tempvlb=vlb;tempvub=vub;if vub(notintx(1,1),1)>=intx(notintx(1,1),1)+1;tempvlb( no ti ntx(1,1),1)=i ntx(n oti ntx(1,1),1)+1;ftemp=I ntLP(tempvlb,vub);en d;if vlb(notintx(1,1),1)<=intx(notintx(1,1),1)tempvub( not in tx(1,1),1)=i ntx(notin tx(1,1),1);ftemp=I ntLP(vlb,tempvub);en d;在命令行运行>>c=[1,1,-4];a=[1,1,2;1,1,-1;-1,1,1];b=[9;2;4];>> [x,f]=ILp(c,a,b,[],[],[0;0;0],[inf;inf;inf])从你的程序中的如下这条语句可以看出变量ID是全局变量：global upper opt c x0 A b Aeq beq ID opti ons;该全局变量(ID)是在你的函数之外被别的程序语句进行过赋值，而且也很有可能被赋成了向量/矩阵、并且它的维数大小跟向量x的维数大小并不相同，这就造成了进行运算x.*ID的时候维数不匹配的问题第二个：题目:min (4*x1+4*x2); 约束条件：2*x1+5*x2<=15,2*x1-2*x2<=5,x1,x2>=0, 且都为整数.解这个还是很容易，算出来x1,x2都为0点几，因为题目要求是整数，所以主要是这个分支定界的问题，急求一个分支定界的MATLAB算法，通用算法也可以，或者只能解这道题也可以，只要能进行计算就行，最后解出来x1,x2都为0.希望大家帮帮忙，先谢谢大家了.解线性方程很容易，但主要是整数解，需要用分支定界法•希望算法尽量简单易懂，最好有注释,本人是初学者，谢谢了把以下程序存为ILP.m ,function [x,y]=ILp(f,G,h,Geq,heq,lb,ub,x,id,options)%整数线性规划分支定界法，可求解纯整数规划和混合整数规划。
%y=minf ' *x s.t. G*x<=h Geq*x=heq x 为全整数或混合整数列向量%用法%[x,y]=ILp(f,G,h,Geq,heq,lb,ub,x,id,optio ns)%参数说明%lb:解的下界列向量 (Default:」nt )%ub:解的上界列向量(Default:int)%x:迭代初值列向量%id :整数变量指标列向量，1-整数，0-实数(Default:1 )global upper opt c x0 A b Aeq beq ID opti ons;if nargin <10,opti on s=optimset({});opti on s.Display='off;opti on rgeScale='off;e ndif nargin< 9,id=on es(size(f));e ndif nargin< 8,x=[];e ndif nargin<7 |isempty(ub),ub=inf*on es(size(f));e ndif nargin<6 |isempty(lb),lb=zeros(size(f));e ndif narginv 5,heq=[];e ndif narginv 4,Geq=[];e ndupper=i nf;c=f;xO=x;A=G;b=h;Aeq=Geq;beq=heq;ID=id;ftemp=ILP(lb(:),ub(:));x=opt;y=upper;%下面是子函数fun cti on ftemp=ILP(vlb,vub)global upper opt c x0 A b Aeq beq ID opti ons;[x,ftemp,how]=li nprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,xO,opti on s);if how <=0return;en d;if ftemp-upper>0.00005 %in order to avoid errorreturn;en d;if max(abs(x.*ID-rou nd(x.*ID)))<0.00005if upper-ftemp>0.00005 %in order to avoid erroropt=x';upper=ftemp;return;elseopt=[opt;x'];x =return;en d;en d;no ti ntx=fi nd(abs(x-r oun d(x))>=0.00005); %in order to avoid error in tx=fix(x);tempvlb=vlb;tempvub=vub;if vub( not in tx(1,1),1)>=i ntx(no ti ntx(1,1),1)+1;tempvlb( no ti ntx(1,1),1)=i ntx(n oti ntx(1,1),1)+1;ftemp=I ntLP(tempvlb,vub);en d;if vlb( noti ntx(1,1),1)<=i ntx(n oti ntx(1,1),1)tempvub( not in tx(1,1),1)=i ntx(notin tx(1,1),1);ftemp=I ntLP(vlb,tempvub);en d;%==================================== 然后：clc;clearf=[4 4]A=[2 5;2 -2]b=[15;5]Aeq=[];beq=[];LB=[0 0];UB=[];[x n,yn ]=ILp(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,[1 1],1,[]) [x,fval,exitflag]=li nprog(f,A,b,Aeq,be q,L B,UB)结果：xn =0 0yn =Optimization terminated.1.0e-013 *0.2990040786747590.503948216933779fval =3.211809182434153e-013exitflag =1matlab的整数规划功能不行，还不如EXCEL的solver。
提问者评价貌似还是不能正确得出整数。