《余弦定理》习题课参考教案

§1．1．2余弦定理

授课类型：习题课

【教学目标】

1． 掌握余弦定理的推导过程，熟悉余弦定理的变形用法。

2． 较熟练应用余弦定理及其变式，会解三角形，判断三角形的形状。

【教学重、难点】

重点：熟练应用余弦定理。

难点：解三角形，判断三角形的形状。

【教学过程】

【知识梳理】

1.余弦定理：

(1)形式一：

A cos bc 2c b a 222⋅-+=；

B cos ac 2c a b 222⋅-+=；

C cos ab 2b a c 222⋅-+=.

形式二：

bc 2a c b A cos 2

22-+=；

ac 2b c a B cos 2

22-+=；

ab 2c b a C cos 2

22-+=.（角到边的转换）

2.解决以下两类问题：

1）、已知三边，求三个角；（唯一解）

2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）

3.三角形ABC中

222

222

222

是直角ABC是直角三角形

是钝角ABC是钝角三角形

是锐角

a b c A

a b c A

a b c A

=+⇔⇔∆

>+⇔⇔∆

<+⇔⇔ABC是锐角三角形

∆

4.解决以下两类问题：

1）、已知三边，求三个角；（唯一解）

2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）

【典例应用】

题型一根据三角形的三边关系求角

例1．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝( 3 ＋1)∶( 3 －1)∶10 ，求最大角.

解：∵

a

sin A

＝

b

sin B

＝

c

sin C

＝k

∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝( 3 +1)∶( 3 －1)∶10 设a＝( 3 ＋1)k，b＝( 3 －1)k，c＝10 k (k＞0)

则最大角为＝a2＋b2－c2

2ab

＝( 3 ＋1)2＋( 3 －1)2－10 2

2×( 3 ＋1) ( 3 －1)

＝－

1

2

∴C＝120°.

评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中，大边对大角，所以角C最大。

[变式训练1]

在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( )

A ．090

B ．060

C ．0135

D ．0150

解： 22()()3,()3,a b c b c a bc b c a bc +++-=+-=

222222

013,cos ,6022b c a b c a bc A A bc +-+-==== 答案：B

题型二：题型二 已知三角形的两边及夹角解三角形

例2.在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，且a ，b 是方程02322=+-x x 的两根，()1cos 2=+B A 。

（1） 求角C 的度数；

（2） 求AB 的长；

（3）求△ABC 的面积。

评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。

[变式训练]

1在△ABC 中，60,16,2203,A AC S BC ===面积求的长

2. 钝角△ABC 的三边长为连续的自然数，求三边的长。

题型三：判断三角形的形状

例3.在ABC ∆中，若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，试判断ABC ∆的形状. 解：方法一：

由正弦定理和已知条件得：

2222sin sin sin sin 2sin sin cos cos B C C B B C B C +=，

∵sin sin 0B C ≠，∴sin sin cos cos B C B C =，即cos()0B C +=，

∵B、C 为ABC ∆的内角，∴90B C +=，90A =

故ABC ∆为直角三角形.

方法二：

原等式变形为：2222(1cos )(1cos )2cos cos b C c B bc B C -+-=，

即：222222cos cos 2cos cos b c b C c B bc B C +--=，

由余弦定理得：

222

222

222222

222

222()()22222a b c a c b a c b a b c b c b c bc ab ac ac ab +-+-+-+-+--=⋅⋅ ⇒2222222

22

2[()()]4a b c a c b b c a +-++-+=⇒222b c a += 故ABC ∆为直角三角形.

评述：判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系，导出边或角

的某种特殊关系，然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。

[变式训练2]

1.在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是（ ）

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

解：由2cos B sin A =sin C 得ac b c a 222-+×a =c ，∴a =b .

答案：C

2. 在∆ABC 中，b A a B cos cos =，则三角形为（ ）

A. 直角三角形

B. 锐角三角形

C. 等腰三角形

D. 等

边三角形 解：由余弦定理可将原等式化为：b b c a bc a a c b ac ⋅+-=⋅+-22222222 即，2222b a a b =∴=

答案：C

[典例训练]

1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ）

A ．1

B ．1-

C ．32

D ．32-

2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）

A ．A sin

B ．A cos

C ．A tan

D ．A

tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ）

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰三角形