2019届福建省厦门双十中学高三暑假第一次返校考试数学(理)试题
2020届福建省厦门市双十中学高三上学期暑假第一次返校考试数学(理)试题及答案
绝密★启用前福建省厦门市双十中学2020届高三年级上学期暑假第一次返校考试数学（理）试题一、选择题(本小题共12小题,每小题4分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=R ，集合A={5,4,3,2,1}，集合B={2|≥x x }，下图中阴影部分所表示的集合为A. {2,1,0}B.{2,1}C.{1}D.{1,0}2.复数ii i z +-=122，在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限3.若),0(,231cos sin πααα∈-=+，则=αtan A. 3 B. 3- C. 33 D. 33- 4.己知命题R x p ∈∃:，使得2<1xx + 2,命题0>1,:2++∈∀x x R x q ,下列命题为真的是 A. q p ∧ B. q p ∧⌝)( C. )(q p ⌝∧ D. )()(q p ⌝∧⌝5. 函数)1ln(sin 2)(x x x f +-=的部分图像大致是6.在△ABC 中,045=C ,则=-+B A B A sin sin 2sin sin 22 7.已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 满足0)()(=-⋅-,则||的最大值是A.1B. 22C.2D.2 8.已知A, B,C,D 是同一球面上的四个点,其中△ABC 是正角形,AD 丄平面ABC, AD=2AB=6,则该球的表面积为A. π16B. π24C. π332D. π489.在二项式n xx )3(+的展开式中,各项系数之和为M,各项二项式系数之和为N,且M+N=72,则展开式中常数项的值为A.18B.12C. 9D. 610. 已知函数)0>(cos sin )(ωωωx x x f +=,如果存在实数1x ,使得对任意的实数x ,都有)2012()()(11+≤≤x f x f x f 成立,则ω的最小值为A. 20121B. 2012πC. 40241D. 4024π 11.设21,A A 为椭圆的)0>b 0,>(12222a by a x =+左、右顶点,若在椭圆上存在异于21,A A 的点P,使得02=⋅,其中O 为坐标原点,则椭圆的离心率e 的取值范围是A. 23-B.-1C.0D.1 12.若不等式b ax x x +≤+-+22)1ln(对-1>x ∀恒成立,则b +a 取最小值时对应的a 的值A. 23-B.-1C.0D.1 二、填空题：本大题共4小题,毎小题4分。
2019届福建省厦门双十中学高三热身考试数学(理)试题解析
绝密★启用前2019届福建省厦门双十中学高三热身考试数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题 1．已知，，则（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D分别解对数不等式和绝对值不等式得集合A,B 进而求并集即可. 解：，，则.故应选D.点评：本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的求解及集合的并集运算，属于基础题. 2．已知复数(1)z a a i =+-（i 为虚数单位，a R ∈），则“(0,2)a ∈”是“在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B根据复平面内点的坐标表示，结合充分必要条件的性质即可判断. 解：复数(1)z a a i =+-，所以在复平面内对应的点坐标为(),1a a -，若(0,2)a ∈，则10a ->，10a -=或10a -<都有可能，因而不一定位于第一象限，所以不是充分条件；若在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限，有可得010a a >⎧⎨->⎩，可得01a <<，而()()0,10,2⊆所以是必要条件，a ”是“在复平面内复数z所对应的点位于第一象限”的必要不综上可知，“(0,2)充分条件，故选:B点评：本题考查了复数的几何意义，充分必要条件的判断，属于基础题.3．如图是一位发烧病人的体温记录折线图，下列说法不正确的是（）A．病人在5月13日12时的体温是38℃B．从体温上看，这个病人的病情在逐渐好转C．病人体温在5月14日0时到6时下降最快D．病人体温在5月15日18时开始逐渐稳定答案：C根据折线图，结合选项即可判断.解：由该发烧病人的体温记录折线图，可知对于A，病人在5月13日12时的体温是38℃，故A正确；对于B，从体温上看，这个病人的体温逐渐趋于正常，说明病情在逐渐好转，故B正确；对于C，病人体温在5月13日6时到12时下降最快，故C错误；对于D，病人体温在5月15日18时开始逐渐稳定，故D正确.综上可知，C为错误选项，故选：C.点评：本题考查了折线图的特征和简单应用，属于基础题.4．已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．B．C．D．答案：A根据抛物线安的方程求出焦点坐标，由抛物线的性质，得到和三点共线且点在中间时距离和最小，由此求出纵坐标，代入抛物线的方程，即可求解．解：由题意，抛物线的方程为，所以，所以焦点，过点作准线的垂线，垂足为，由,依题意可知当和三点共线且点在中间时距离和最小，如图所示，故点的纵坐标为，代入抛物线的方程，求得，所以点，故选A．点评：本题主要考查了抛物线的定义、标准方程，及抛物线的几何性质的应用，其中解答中由抛物线的性质，当和三点共线且点在中间时距离和最小是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．答案：A通过三视图可知，该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，分别求出它们的体积相加即可. 解：通过三视图可知，该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，因此，故本题选A.点评：本题考查了通过三视图求几何体的体积问题，关键是识别出几何体的形状. 6．设126log a =，14log 12b =，15log 15c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<答案：A由对数运算与换底公式化简，结合对数函数的图像与性质即可比较大小. 解：根据对数运算与换底公式，化简可得()2122226631312log log 1log log log a =--===-+， ()41444412123131log log 1lo l g l 4g o og b =--===-+， ()515555log 15log 151log log 1o 3l 51g 3c =--===-+ 由于333245log log log >>，所以254log lo 131313g log --<--<--， a b c ∴<<. 故选：A 点评：本题考查了对数的运算与换底公式，对数函数图像与性质应用，属于基础题. 7．如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v ，则向量AD =u u u v（ ）A ．a b +v vB ．12a b +v vC ．12a b +v vD ．23a b +v v答案：C根据Rt ABC ∆中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ．解：解：设圆的半径为r ，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，所以3BAC π∠=，6ACB π∠=，BAC ∠平分线交ABC ∆的外接圆于点D ，所以6ACB BAD CAD π∠=∠=∠=，则根据圆的性质BD CD AB ==，又因为在Rt ABC ∆中，12AB AC r OD ===， 所以四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r．故选C ． 点评：本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题．8．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．41π- D ．42π-答案：C令圆的半径为1，则()22'41S P S ππππ--===-，故选C 。
福建省厦门双十中学高三数学暑假第一次返校考试试题 文
福建省厦门双十中学2019届高三数学暑假第一次返校考试试题 文一、选择题：本大题共10个小题,每小题7分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数2()ln(2)f x x x =+-的定义域为（ ） A ．(2,)+∞ B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[]1,2 2.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．sin 2y x x =+B ．2cos y x x =- C ．122xx y =+D ．2sin y x x =+ 3.设0.46a =，0.4log 0.5b =，8log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ． b c a <<4.某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销售量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大（ ）A ．8元/件B ．10元/件 C.12元/件 D ．14元/件 5.函数1()xx f x x e e+=⋅-的递增区间是（ ）A ．(,)e -∞B ．(1,)e C.(,)e +∞ D ．(1,)e -+∞ 6.将自然数0，1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2016到2018的箭头方向是（ ）A ．B ． C. D ．7.函数||xx a y x=（1a >）的图象的大致形状是（ ）A ．B ． C. D ．8.已知1F ，2F 是双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的两个焦点，P 是C 上一点，若12||||6PF PF a +=，且12PF F ∆最小内角的大小为30︒，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A0y ±= B．0x ±= C.20x y ±= D ．20x y ±= 9.已知函数ln ,0,()0x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩与()||1g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．RB ．(,]e -∞- C.[,)e +∞ D ．∅10.已知函数3()cos x f x x =的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当||2i x π<（1,2,3i =）时，若120x x +>，230x x +>，130x x +>，则123()()()0f x f x f x ++>的值（ ）A ．恒小于零B ．恒等于零 C.恒大于零 D ．可能大于零，也可能小于零二、填空题（每题7分，满分28分，将答案填在答题纸上）11.计算：121lg lg 251004-⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭．12.圆C 的圆心在x 轴上，并且过点(1,1)A -和(1,3)B ，则圆C 的方程为 ．13.函数22,0,()26ln ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是 ．14.已知函数()ln(f x x =，()()2017g x f x =+，下列命题： ①()f x 的定义域为(,)-∞+∞； ②()f x 是奇函数；③()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；④若实数a ，b 满足()(1)0f a f b +-=，则1a b +=；⑤设函数()g x 在上的最大值为M ，最小值为m ，则2017M m +=. 其中真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数()1x af x x e=-+（a R ∈，e 为自然对数的底数）. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）求函数()f x 的极值.16.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，其中左焦点为(2,0)F -.（1）求椭圆C 的方；（2）若直线y x m =+与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆221x y +=上，求m 的值.17.已知定义在R 上的函数||1()22xx f x =-. （1）若3()2f x =，求x 的值； （2）若2(2)()0tf t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 18.设函数221()(ln )f x x a x x x=---，a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，记()f x 的最小值为()g a ，证明：()1g a <.试卷答案一、选择题1-5:BDBBD 6-10:ACACC 二、填空题11.-20 12.22(2)10x y -+= 13.2 14.①②③④ 三、解答题15.解：（1）由()1x a f x x e =-+，得'()1x af x e=- 又曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴， 得'(1)0f =，即10ae-=，解得a e =. （2）'()1x a f x e=-， ①当0a ≤时，'()0f x >，()f x 为(,)-∞+∞上的单调增函数，所以函数()f x 无极值. ②当0a >时，令'()0f x =，得xe a =，即ln x a =，当(,ln )x a ∈-∞时，'()0f x <；当(ln ,)x a ∈+∞时，'()0f x >， 所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，故()f x 在ln x a =处取得极小值且极小值为(ln )ln f a a =，无极大值. 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值.16.解：（1）由题意，得22222,,c a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得 2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为22184x y +=. （2）设点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y 线段AB 的中点为00(,)M x y ，221,84,x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得，2234280x mx m ++-=， 29680m ∆=->，∴m -<<∵120223x x m x +==-，∴003my x m =+=， ∵点00(,)M x y 在圆221x y +=上，∴222()()133m m -+=，∴m =. 17.解：（1）当0x <时，()0f x =，无解；当0x ≥时，1()22xx f x =-，由13222xx -=，得2223220x x ⋅-⋅-=， 将上式看成关于2x 的一元二次方程，解得22x=或122x =-，∵20x>，所以1x =. （2）当[1,2]t ∈时，2211222022ttt ttm ⎛⎫⎛⎫+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即24(21)(21)ttm -≥--，∵2210t->，∴2(21)tm ≥-+恒成立，∵[1,2]t ∈，∴2(21)[17,5]t-+∈--， 故实数m 的取值范围是[5,)-+∞. 18.解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2222323321222(2)()'()1()x x x x a f x a a x x x x x x+++-=+-+=-=， 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，当(0,)x a ∈，'()0f x <，()f x 单调递减； 当(,)x a ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增 综上，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.（2）由（1）知，min 2211()()(ln )ln f x f a a a a a a a a a a==---=--， 即1()ln g a a a a a=--. 要证()1g a <，即证1ln 1a a a a --<，即证：2111ln a a a--<， 令211()ln 1h a a a a =++-，则只需证211()ln 10h a a a a=++->，223331122(2)(1)'()a a a a h a a a a a a ---+=--==，当(0,2)a ∈时，'()0h a <，()h a 单调递减；当(2,)a ∈+∞时，'()0h a >，()h a 单调递增； 所以min 111()(2)ln 21ln 20244h a h ==++-=->，所以()0h a >，即()1g a <.。
福建省厦门双十中学2019届高三模拟数学(理)试题 Word版含解析
2019福建省厦门双十中学高考模拟数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由一元二次不等式的解法化简集合，由补集的定义可得，根据交集的定义可得结果. 【详解】由题意知，，可得或，因为集合，所以.故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合.2.设是虚数单位，条件复数是纯虚数，条件，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】复数是纯虚数，必有利用充分条件与必要条件的定义可得结果.【详解】若复数是纯虚数，必有所以由能推出；但若,不能推出复数是纯虚数. 所以由不能推出.，因此是充分不必要条件,故选A.【点睛】本题主要考查复数的基本概念以及充分条件与必要条件的定义，属于简单题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3.设，函数在区间上是增函数，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用二次函数的性质，配方后可得，由函数的单调性可得结果.【详解】因为，函数在区间上是增函数，所以.故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的性质、函数单调性的应用，属于简单题. 函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）求参数的取值范围或值．4.函数的部分图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由奇偶性排除，由特殊点排除，从而可得结果.【详解】因为，所以是偶函数，图象关于轴对称，可排除选项；取，则，可排除，故选C.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.5.二次函数的图象如图所示，则定积分（）A. B. C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】由图象可知，二次函数的零点为1，2，方程的根为1，2，由韦达定理求出的值，利用微积分基本定理可得结果.【详解】由图象可知，二次函数的零点为1，2即方程的根为1，2，由韦达定理可得.故选B.【点睛】本题考查二次函数的图象与性质以及方程的根与函数零点的关系，微积分基本定理的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于简单题. 6.已知是定义在上的奇函数，且对任意的，都有.当时，，则（ ）A.B.C. 0D. 1【答案】C 【解析】 【分析】根据条件判断函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性的关系进行转化求解即可 【详解】∵设f （x ）是定义在R 上的奇函数，，且对任意实数x 都有f （x+3）=-f（-x ）=f （x ），∴函数f （x ）是周期为3的周期函数， ∵当时，，∴，∴f（2019）=f （673×3+0）=f （0）=0 f （2020）=f （673×3+1）=f （1）=0，.【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的周期性是解决本题的关键． 7.若函数图象与函数的图象关于原点对称，则（ ）A. B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】设是函数的图象上任意一点，利用在函数的图象上，可得函数的解析式.【详解】设是函数的图象上任意一点，其关于原点对称的点是.因为点在函数的图象上，所以可得故选D.【点睛】本题主要考查函数的解析式以及函数图象的对称性，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.8.若抛物线在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积是8，则此切线方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数求得切线斜率，根据点斜式可得切线方程，求得切线与坐标轴的交点，利用三角形面积公式可得结果.【详解】由得，，则.抛物线在点处的切线方程是令，则令，则.于是解得所以切线方程是故选B.【点睛】求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.9.设，若函数在上的最大值是3，则其在上的最小值是（）A. 2B. 1C. 0D.【答案】A【解析】【分析】设则，利用二次函数的性质求解即可.【详解】设则.因为所以当时，；当时，，即于是故选A.【点睛】本题主要考查指数函数的性质以及二次函数在闭区间上的最值，属于中档题. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.10.设，，，，则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用作差法，分别判断与的符号即可得结果.【详解】因为，所以可得因为，所以递减，所以可得，故选D.【点睛】本题的考点是比较法，考查了作差法比较大小，解题的关键是理解比较法的内涵，本题的难点是判断差的符号，一般采取把差变为几个因式的乘积或者化为完全平方式的形式，从而确定出差的符号.11.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，函数在上单调递减，等价于恒成立，由可得,从而可得结果.【详解】函数在上单调递减，等价于恒成立，因为,在上恒成立,因此,.故选B.【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围12.已知函数（是自然对数的底数）有极小值0，则其极大值是（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】A【解析】【分析】求出，利用导数判断函数的单调性，由单调性可得极小值，利用极小值求得的值，从而可得函数的极大值.【详解】由题意知，.由得，因为，所以函数在区间和内单调递增，在区间内单调递减. 于是函数的极小值为，即解得或当时，的极大值为. 当时，的极大值为.故选A. 【点睛】求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4)检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设，命题“若，则”的逆否命题是__________．【答案】若，则【解析】【分析】直接利用逆否命题的定义求解即可.【详解】因为逆否命题是将原命题的条件与结论否定后，再互换否定后的条件与结论，所以“若，则”的逆否命题是，“若，则”，故答案为若，则.【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，属于基础题. 要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假.14.用小于号连接和，结果是__________．【答案】【解析】【分析】构造函数,利用导数可证明在内单调递减，从而可得结果.【详解】构造函数因为，所以在内单增，在内单调递减，又因为,所以.故答案为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.利用导数求单调区间的步骤：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.15.若函数的值域是，其中是自然对数的底数，则实数的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】利用导数可求得当时，函数的值域是；当时，函数的值域是，从而可得，进而可得结果.【详解】当时，此时函数在上递增，值域是. 当时，是减函数，其值域是.因为函数的值域是，所以.于是解得，即实数的最小值是.故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式与应用，以及利用导数求函数的最值与转化与划归思想的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.16.函数在上的零点有__________个.【答案】5【解析】【分析】令可得在上递减，在上递增，令，其中 ,可得在上递减，且，因为,在上有两个零点,而在上的图象与函数的图象有3个交点，从而可得结果.【详解】由得，.令则.在上单减，在上单增.令，其中 ,则，在上单减，且，所以存在唯一的，使得 ,因此函数在上单增，在上单减,又因为,所以在上有两个零点,而在上的图象与函数的图象有3个交点. 函数在上的零点有5个，故正确答案是5.【点睛】本题主要考查函数的零点以及导数在研究函数性质的应用，属于难题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知关于的函数，其中.（Ⅰ）当时，求满足的实数的取值范围；（Ⅱ）若当时，函数的图象总在直线的上方，求的整数值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）当时，, 即,从而可得结果；（Ⅱ）在上恒成立,等价于在上恒成立.由－在上为单增函数，可得，结合为整数，从而可得结果.【详解】（Ⅰ）当时，,即故实数的取值范围是（Ⅱ）在上恒成立,即在上恒成立.因为函数在上均为单减函数，所以－在上为单增函数，最大值为.因此解得.故实数的整数值是.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.18.设，证明:函数在区间内单调递减的充要条件是. 【答案】见解析【解析】分析】充分性：两种情况，利用一次函数的单调性证明；，判断二次函数的对称轴位置，利用二次函数的单调性证明即可；必要性：当时，在内单减，在内单增，不满足在内单减，结合充分性的证明过程可得结果.【详解】先证充分性.若，则或（1）当时，在内单减.（2）当时，，在内单减，所以在内单减. 因此时，在内单减.再证必要性.若函数在区间内单调递减，分、和三类讨论.上面已证时，在内单减.当时，在内单减，在内单增，不满足在内单减.因此函数在区间内单调递减，则.综上可知，函数在区间内单调递减的充要条件是【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，以及二次函数的单调性与分类讨论思想的应用，属于中档题. 分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.19.已知函数，设命题“的定义城为”；命题“的值域为”.（Ⅰ）若命题为真，求实数的取值范围；（Ⅱ）若命题为真命题，且为假命题，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）命题为真，等价于或，解得或；（Ⅱ）命题为真，等价于或解得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）命题为真，即的定义域是，等价于恒成立，等价于或解得或．故实数的取值范围为. （Ⅱ）命题为真，即的值域是，等价于取遍所有的正数，即值域为，等价于或解得．若为真命题，且为假命题，则“真假”或“假真”，即或，解得或.故实数的取值范围是【点睛】本题考查函数的定义域、值域二次函数的图象与性质以及逻辑联接词的应用，属于简答题.对于定义域为求参数的题型，主要有三种：（1）根式型，，只需；（2）对数型，，只需，（3）分式型，，只需.20.设是自然对数的底数，我们常常称恒成立不等式（，当且仅当时等号成立)为“灵魂不等式”，它在处理函数与导数问题中常常发挥重要作用.（1）试证明这个不等式；（2）设函数，若在内恒成立，求实数的值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）令则可得在内单减，在内单增，因此从而可得结果；（Ⅱ），当时，.由灵魂不等式定义可得，.可得，当时，.由灵魂不等式得，，因此，从而可得结果. 【详解】（Ⅰ）令则显然在内单减，在内单增，因此于是，即，当且仅当时等号成立.（Ⅱ）就是.当时，等号成立,当时，.由灵魂不等式得，.因此. 当时，.由灵魂不等式得，.因此.综上可知，实数的值是.【点睛】不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.21.某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元1000万元的收益.现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案:奖金(单位:万元)随收益(单位:万元)的增加而增加，且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的.（Ⅰ）若建立奖励方案函数模型，试确定这个函数的定义域、值域和的范围；（Ⅱ）现有两个奖励函数模型:①；②.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求?请说明理由. 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）函数符合公司要求.【解析】 【分析】（Ⅰ）根据自变量的实际意义可得，值域是，；（Ⅱ）当时，的最大值是， 不符合要求.当时， 在定义域上为增函数，最大值为9，构造函数，利用导数可证明，符合题意. 【详解】（Ⅰ），值域是，.（Ⅱ）当时，的最大值是，不符合要求.当时，在定义域上为增函数，最大值为9.令，则所以即.故函数符合公司要求.【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及导数的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.22.函数.（Ⅰ）当曲线在点处的切线与直线垂直时，判断函数在区间上的单调性；（Ⅱ）若函数在定义域内有两个零点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由，解得，令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）函数在内有两个零点，等价于方程恰有两个不相等的正实根，令，分两种情况讨论，不合题意；当时，利用导数研究函数的单调性以及函数的最值，结合零点存在定理，列不等式求解即可.【详解】（Ⅰ）由题意知，函数的定义域为.，，解得.，. 当时，，则恒成立，故函数在区间上单调递增.（Ⅱ）函数的定义域为.若函数在内有两个零点，即方程恰有两个不相等的正实根，也就是方程恰有两个不相等的正实根.令，．当时，＞0恒成立，函数在上是增函数，∴函数最多一个零点，不合题意，舍去. 当时，由得；由得.所以函数在单调递减，在内单调递增.所以的最小值是，即，.，，解得. 因为所以在内有一个零点.因为，所以. 于是所以在内有一个零点.故实数a 的取值范围是.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、零点甚至数列与函数单调性有机结合，设计综合题.。
福建省厦门双十中学高三数学暑假第一次返校考试试题理
厦门双十中学2018年高三上理科数学第一次返校考考卷一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|1A x x =<，{}|31x B x =<，则（ ）A ．{}|0AB x x =< B ．A B R =C ．{}|0A B x x =<D ．A B =∅2.已知函数()f x 的图象如图，'()f x 是()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A ．0'(2)'(3)'(3)'(2)f f f f <<<-B ．0'(3)'(2)'(3)'(2)f f f f <<<-C ．0'(3)'(2)'(2)'(3)f f f f <-<<D ．0'(3)'(3)'(2)'(2)f f f f <<-<3.下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）A ．y =．tan y x = C ．1y x x =+D ． x x y e e -=- 4.已知函数()f x 满足11()()2f f x x x x+-=（0x ≠），则(2)f -=（ ） A ．72 B ．92 C.72- D ．92- 5.定义运算a b *，()()a ab a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，例如121*=，则函数12x y =*的值域为（ ） A ．(0,1) B ．(,1)-∞ C.[1,)+∞ D ．(0,1]6.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，[]()g x x =为取整函数，0x 是函数2()ln f x x x=-的零点，则0()g x 等于（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．47.已知：命题p :若函数2()||f x x x a =+-是偶函数，则0a =；命题q ：(0,)m ∀∈+∞，关于x 的方程2210mx x -+=有解.在○1p q ∨；○2p q ∧；○3()p q ⌝∧；○4()()p q ⌝∨⌝中真命题的是（ ）A ．○2○3B ．○2○4 C. ○3○4 D ．○1○48.若2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ）A ．[1,2)B ．[1,2] C.[1,)+∞ D ．[2,)+∞9.函数sin ()ln(2)x f x x =+的图象可能是（ ）A ．B ． C. D ．10.已知函数41()2x f x x e =+-（0x <）与4()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．(-∞B ．(-∞ C.( D ．( 11.已知函数2()(21)x f x ae x a x =-++，若函数()f x 在区间(0,ln 2)上有最值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0)- C.(2,1)-- D ．(,0)(0,1)-∞12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(,2)-∞- C.(1,)+∞ D ．(,1)-∞-13.已知函数,0(),0x e x f x ax x ⎧≥=⎨<⎩，若方程()()f x f x -=有五个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）A.(1,)+∞B.(,)e +∞C.(,)e -∞-D.(,1)-∞- 14.已知函数2()sin 20191x f x x =++，其中'()f x 为函数()f x 的导数，求(2018)(2018)'(2019)'(2019)f f f f +-++-=（ ）A.2B.2019C.2018D.0二、填空题（每题6分，满分30分，将答案填在答题纸上）15.《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在. 皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的 条件（将正确的序号填入空格处）．○1充分条件○2必要条件○3充要条件○4既不充分也不必要条件 16.若3()ln(1)xf x e ax =++是偶函数，则a = ． 17.函数21()log (2)3x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,1]-上的最大值为 ． 18.已知函数()2sin f x x x =-，若正实数a ，b 满足()(21)0f a f b +-=，则14a b+的最小值是 ．19.已知函数()2x f x x =+，()ln g x x x =+，()1h x x =的零点分别为1x ，2x ，3x ，则1x ，2x ，3x 的大小关系是 （由小到大）．20.如图所示，已知函数2log (4)y x =图象上的两点A ，B 和函数2log y x =图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当ABC ∆为正三角形时，点B 的横坐标为 ．三、解答题 （本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21. 已知311()12x f x x a ⎛⎫=+. ⎪-⎝⎭（0a >，且1a ≠）. （1）讨论()f x 的奇偶性；（2）求a 的取值范围，使()0f x >在定义域上恒成立.22. 已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，曲线2y x=与抛物线C 交于点P PF x ⊥轴.（1）求p 的值；（2）抛物线的准线交x 轴交于点Q ，过点Q 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，求AB 的中点M 的轨迹方程.23.已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：若5a <，则对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，有1212()()1f x f x x x ->--. 24.已知函数()(1)x f x bx e a =-+（a ，b R ∈）.（1）如果曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，求a 、b 值；（2）若1a <，2b =，关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ADDAD 6-10:BDAAA 11-14：AACA二、填空题15.① 16.32- 17.3 18.9+19.123x x x <<三、解答题21.解：（1）由于10x a -≠，则1x a ≠，得0x ≠，所以函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠对于定义域内任意x ，有311()()12x f x x a -⎛⎫-=+- ⎪-⎝⎭311()12x x a ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭3111()12x x a ⎛⎫=--+- ⎪-⎝⎭311()12x x f x a ⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭∴()f x 是偶函数（2）由（1）知()f x 是偶函数，∴只需讨论0x >时的情况，当0x >时，要使()0f x >，即311012x x a ⎛⎫+> ⎪-⎝⎭， 即11012x a +>-，即102(1)xx a a +>-，则1x a >又∵0x >，∴1a >.因此当a 的取值范围为(1,)+∞时，()0f x >22.解：（1）(,0)2pF ，设00(,)P x y ，则2000022y px y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0x ⇒=∵PF x ⊥轴 ∴02px =，∴2p=2p =（2）由（1）知，抛物线C 的方程为24y x =，所以点(1,0)Q -设直线AB 的方程为1x ny =-，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，(,)M x y214x ny y x =-⎧⎨=⎩消去x ，得方程2440y ny -+=.121244y y n y y +=⎧⎨=⎩，22161601n n ∆=->⇒>因为M 为AB 的中点， 所以221222121212()244211,2822y y y y y y x n y y y n⎧+⎪+-===->⎪⎨⎪+==⎪⎩消去n 得，222y x =+（1x >）.所以点M 的轨迹方程为222y x =+（1x >）.23.（1）()f x 的定义域为(0,)+∞.211(1)(1)'()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-=-+==. （i ）若11a -=即2a =，则2(1)'()x f x x-=，故()f x 在(0,)+∞上单调递增. （ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <；当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，故()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1)a -，(1,)+∞单调递增.（iii ）若11a ->即2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1)，(1,)a -+∞单调递增.（2）考虑函数21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+，则21'()(1)(1)11)a g x x a a x -=--+≥-=- 由于15a <<，故'()0g x >，即()g x 在(4,)+∞单调增加，从而120x x >>时有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--， 当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>--- 24.（1）函数()f x 的定义域为R ，'()(1)(1)x x x f x be bx e bx b e =+-=+-因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，所以(0)0,'(0)1,f f =⎧⎨=⎩得10,10,a b -=⎧⎨-=⎩解得1,2,a b =⎧⎨=⎩（2）当2b =时，()(21)xf x x e a =-+（1a <），关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，等价于关于x 的不等式(21)0x x e a ax -+-<的整数解有且只有一个.构造()(21)x F x e x a =+-①当0x ≥时，因为1x e ≥，211x +≥，所以(21)1x e x +≥，又1a <，所以'()0F x >，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增.因为(0)10F a =-+<，(1)0F e =>，所以在[0,)+∞上存在唯一的整数00x =使得0()0F x <即00()f x ax <②当0x <时，为满足题意，函数()F x 在(,0)-∞内不存在整数使()0F x <，即()F x 在(,1]-∞-上不存在整数使()0F x <.因为1x ≤-，所以(21)0x e x +<.当01a ≤<时，函数'()0F x <，所以()F x 在(,1)-∞-内为单调递减函数，所以(1)0F -≥，即312a e≤< 当0a <时，3(1)20F a e-=-+<，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围为3[,1)2e。
2019届福建省厦门双十中学高三暑假第一次返校考试数学(理)试题(解析版)
2019届福建省厦门双十中学高三暑假第一次返校考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B R = C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅2．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()03322f f f f ''<<-<C ．()()()()03232f f f f ''<<<-D ．()()()()03223f f f f ''<-<<3．下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ） A．y =B ．tan y x =C ．1y x x=+D ．x x y e e -=-4．已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠⎪⎝⎭，则()2f -= A ．72-B ．92C ．72D ．92-5．定义运算*a b ，*{a a b b =()()a b a b ≤>，例如1*21=，则函数1*2xy =的值域为（ ）A ．0,1B ．(),1-∞C ．[)1,+∞D ．(]0,16．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知：命题:p 若函数2()||f x x x a =+-是偶函数，则0a =.命题:(0,)q m ∀∈+∞，关于x 的方程23210mx x -+=有解，在①p q ∨；②p q ∧；③()p q ⌝∧；④()()p q ⌝∨⌝中为真命题的是（ ）A ．②③B ．②④C ．③④D ．①④8．若f (x )=ln (x 2-2ax +1+a )在区间(),1-∞上递减,则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞9．函数sin ()lg(2)xf x x =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数41()(0)2xf x x e x =+-<与4()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A．(-∞B．⎛-∞ ⎝C．⎛ ⎝ D．⎛ ⎝ 11．已知函数2()(21)x f x ae x a x =--+，若函数()f x 在区间(0,ln 2)上有极值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0)-C ．(2,1)--D ．(,1)(0,1)-∞-12．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．(),2-∞-D ．(),1-∞-13．已知函数,0(),0x e x f x ax x ⎧≥=⎨<⎩，若方程()()f x f x -=有五个不同的根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,)+∞B ．(,)e +∞C ．(,)e -∞-D ．(,1)-∞-14．已知函数()2sin 20191xf x x =++，其中()'f x 为函数()f x 的导数，求()()()()20182018'2019'2019f f f f +-+--=（）A ．2B ．2019C ．2018D ．0二、填空题15．《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要 条件④既不充分也不必要条件 16．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．17．函数f (x )＝1()3x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 18．已知函数()2sin f x x x =-，若正实数,a b 满足()(21)0f a f b +-=，则14a b+的最小值是__________． 19．已知函数f(x)＝x ＋2x ，g(x)＝x ＋ln x ，h(x)＝x－1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________(由小到大).20．如图所示，已知函数2log 4y x =图象上的两点,A B 和函数2log y x =图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当ABC 为正三角形时，点B 的横坐标为______.三、解答题21．已知函数f(x)＝1112xa ⎛⎫⎪⎝⎭＋－x 3(a>0且a≠1)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a 的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立． 22．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，曲线2y x=与抛物线C 交于点,P PF x ⊥轴. （1）求p 的值；（2）抛物线的准线交x 轴交于点Q ，过点Q 的直线与抛物线C 交于A B 、两点，求AB 的中点M 的轨迹方程.23．已知函数f(x)=x －ax+(a －1)ln x ，1a >，（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：若5a <，则对任意x ，x(0,)+∞，xx ，有1212()()1f x f x x x ->--． 24．已知函数()(1)x f x bx e a =-+（a ，b R ∈）.（1）如果曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，求a 、b 值；（2）若1a <，2b =，关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，求a 的取值范围.参考答案1．A 【解析】∵集合{|31}x B x =< ∴{}0B x x =<∵集合{|1}A x x =<∴{}0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A 2．B 【分析】根据导数的几何意义可对比切线斜率得到()()032f f ''<<，将()()32f f -看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.【详解】由()f x 图象可知，()f x 在2x =处的切线斜率大于在3x =处的切线斜率，且斜率为正，()()032f f ''∴<<，()()()()323232f f f f --=-，()()32f f ∴-可看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可知()()()()3322f f f f ''<-<，()()()()03322f f f f ''∴<<-<.故选：B . 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，关键是能够将问题转化为切线和割线斜率大小关系的比较，进而根据图象得到结果. 3．D 【详解】函数3y x =即是奇函数也是R 上的增函数，对照各选项：y =为非奇非偶函数，排除A ；tan y x =为奇函数，但不是R 上的增函数，排除B ；1y x x=+为奇函数，但不是R 上的增函数，排除C ；xxy e e -=-为奇函数，且是R 上的增函数，故选D. 4．C 【分析】 令1x x=-，代入解析式，通过解方程组即可求得()f x -的解析式，进而求得()2f -的值． 【详解】 由()()112?1f f x x x x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭, 可得()12? f x xf x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭(2), 将(1)x ⨯+(2)得:()2222f x x x-=-⇒ ()21,f x x x -=-()722f ∴-=,故选C ． 【点睛】本题考查了函数解析式的求法，方程组法在解析式求法中的应用，属于中档题． 5．D 【解析】分析：欲求函数y=1*2x 的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可．详解：当1≤2x 时，即x ≥0时，函数y=1*2x =1 当1＞2x 时，即x ＜0时，函数y=1*2x =2x ∴f （x ）=1020xx x ≥⎧⎨⎩，，＜ 由图知，函数y=1*2x 的值域为：（0，1]． 故选D ．点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质． 6．B 【分析】根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】 因为()2ln f x x x=-在定义域内递增， 且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =->， 由零点存在性定理可得023x <<，根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =， 故选：B. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 7．D 【分析】先分析命题p ，q 的真假，再根据复合命题的真值判断方法即可求解． 【详解】解：若函数2()||f x x x a =+-为偶函数，则22()||||x x a x x a -+--=+-，即有||||x a x a +=-，易得0a =，故命题p 为真；当0m >时，方程的判别式412m ∆=-不恒大于等于零， 当13m >时，∆<0，此时方程无实根，故命题q 为假， 即p 真q 假，故命题p q ∨为真，p q ∧为假，()p q ⌝∧为假，()()p q ⌝∨⌝为真． 综上可得真确命题为①④． 故选：D ． 【点睛】本题考查复合命题的真假的判断．解题关键真确判断命题p ，q 的真假，再根据复合命题真值的判断方法求解．属于基础题． 8．B 【分析】由外函数对数函数是增函数，可得要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减，需内函数二次函数的对称轴大于等于1，且内函数在(),1-∞上的最小值大于0，由此联立不等式组求解． 【详解】解：令2()21g x x ax a =-++，其对称轴方程为x a =， 外函数对数函数是增函数，要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减， 则1(1)1210a g a a ⎧⎨=-++≥⎩，即：12a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[]1,2．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题． 9．A 【分析】由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B ，D 答案；分析(2,1)x ∈--时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C 答案． 【详解】解：若使函数sin ()lg(2)xf x x =+的解析式有意义则2021x x +>⎧⎨+≠⎩，即21x x >-⎧⎨≠-⎩即函数sin ()lg(2)xf x x =+的定义域为()()2,11,---+∞，可排除B ，D 答案；当(2,1)x ∈--时，sin 0x <，lg(2)0x +<， 则sin ()0lg(2)xf x x =>+，可排除C 答案故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键． 10．A 【分析】根据条件转化为()()f x g x -=在0x >时，有解即可，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点问题，可以数形结合进行求解即可． 【详解】解：()f x 与()g x 的图象上存在关于y 轴对称的点， 等价为()()f x g x -=在0x >时，有解即可，则441()2x x e x ln x a -+-=++， 即1()2x e ln x a --=+，在(0,)+∞上有解即可， 设12xy e -=-，()()h x ln x a =+， 作出两个函数的图象如图：当0x =时，1111222xy e -=-=-=， 当0a ，将lnx 的图象向右平移，此时()ln x a +一定与12xy e -=-有交点，满足条件， 当0a >时，则1(0)2h lna =<，得120a e <<，综上a <即实数a 的取值范围是(-∞ 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合条件进行转化为()()f x g x -=在0x >时，有解即可，利用函数与方程之间的关系利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题． 11．A 【分析】()2(21)()x f x ae x a g x '=--+=，由函数()f x 在区间(0,2)ln 上有极值()g x ⇔在区间(0,2)ln 上存在零点．利用函数零点存在定理即可得出． 【详解】解：()2(21)()x f x ae x a g x '=--+=， 由函数()f x 在区间(0,2)ln 上有极值，()g x ∴在区间(0,2)ln 上存在零点．(0)(2)(21)(22221)0g g ln a a a ln a ∴=-----<，可得10a +<，解得1a <-．∴实数a 的取值范围是(,1)-∞-．故选：A ． 【点睛】本题考查了利用对数研究函数的单调性与极值、函数零点存在定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．C 【解析】试题分析：当0a =时，2()31f x x =-+，函数()f x 和不满足题意，舍去；当0a >时，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=．(,0)x ∈-∞时，()0f x '>；2(0,)x a ∈时，()0f x '<；2(,)x a∈+∞时，()0f x '>，且(0)0f >，此时在(,0)x ∈-∞必有零点，故不满足题意，舍去；当0a <时，2(,)x a∈-∞时，()0f x '<；2(,0)x a∈时，()0f x '>；(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，且(0)0f >，要使得()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，只需2()0f a>，即24a >，则2a <-，选C ．考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性． 13．C 【解析】分析：求出f （﹣x ）的解析式，根据x 的范围不同得出两个不同的方程，由两个方程的关系得出f （﹣x ）=f （x ）在（0，+∞）上有两解，根据函数图象和导数的几何意义得出a 的范围．详解：∵f （x ）=,0,0x e x ax x ⎧≥⎨<⎩，∴f （﹣x ）=,0,0x e x ax x -⎧≥⎨-<⎩． 显然x=0是方程f （﹣x ）=f （x ）的一个根， 当x ＞0时，e x =﹣ax ，①当x＜0时，e﹣x=ax，②显然，若x0为方程①的解，则﹣x0为方程②的解，即方程①，②含有相同个数的解，∵方程f（﹣x）=f（x）有五个不同的根，∴方程①在（0，+∞）上有两解，做出y=e x（x＞0）和y=﹣ax（x＞0）的函数图象，如图所示：设y=kx与y=e x相切，切点为（x0，y0），则xxe kkx e⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得x0=1，k=e．∵y=e x与y=﹣ax在（0，+∞）上有两个交点，∴﹣a＞e，即a＜﹣e．故选C．点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．14．A【分析】设()12019 in12019xxg x s x -=++，判断奇偶性和导数的奇偶性，求和即可得到所求值．【详解】解：函数()212019sin sin 12019112019xx x f x x x -=+=++++设()12019sin 12019xxg x x -=++，则()()()1201912019sin sin 1201912019x xx x g x x x g x --⎛⎫---=-+=-+=- ⎪++⎝⎭即()()0g x g x -+=，即()()2f x f x -+=，则()()()()2018201820181201812f f g g +-=++-+=， 又()()''f x g x =，()()()()2,''0f x f x f x f x -+=∴--+=，可得()()'2019'20190f f --=，即有()()()()20182018'2019'20192f f f f +-+--=，故选A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和导数的奇偶性，考查运算能力，属于中档题． 15．① 【解析】分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件． 故答案为：①．点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 16．32-【分析】根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论． 【详解】由偶函数的定义可得f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ， 即2ax=ln （e ﹣3x +1）﹣ln （e 3x +1）=lne ﹣3x =﹣3x ，∴2ax ＝－3x ，∴a ＝－32故答案为：－32【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义得到f （﹣x ）=f （x ）是解决本题的关键，属于基础题. 17．3 【解析】13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与y=－log 2(x ＋2) 都是[-1，1]上的减函数，所以函数f (x )＝13x⎛⎫⎪⎝⎭－log 2(x ＋2) 在区间[-1，1]上的减函数，∴最大值为：f （-1）=3 故答案为3．18．9+ 【解析】因为()2cos 0,()2sin ()f x x f x x x f x '=->-=-+=-，所以函数()f x 为单调递增奇函数，因此由()()210f a f b +-=，得()(21)(12)12,21,f a f b f b a b a b =--=-∴=-+=因此14a b +1424()(2)999b a a b a b a b =++=++≥+=+，当且仅当b =时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 19．x 1<x 2<x 3 【分析】由1x ，2x ，3x 分别为f(x)＝x ＋2x ，g(x)＝x ＋ln x ，h(x)＝x －1的零点，将1x ，2x ，3x 转化为函数y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 31与函数y ＝－x 交点的横坐标，所以在同一平面直角坐标系中，作出函数y 1＝2x，y 2＝ln x ，y 31，y ＝－x 图象，数形结合，判断1x ，2x ，3x 的大小 【详解】令y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 31，y ＝－x ，∵函数f(x)＝x ＋2x，g(x)＝x ＋ln x ，h(x)＝x 1的零点分别为x 1，x 2，x 3，即函数y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 3－1与函数y ＝－x 交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3. 分别作出函数的图象，结合图象可得x 1<x 2<x 3.【点睛】根据零点求参数方法：1.直接法：直接根据题设条件，构建关于参数的关系式，确定参数的取值范围2.数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解20【分析】根据题意，设出A 、B 、C 的坐标，由线段//AC y 轴，ABC ∆是等边三角形，得出AB 、AC 与BC 的关系，求出p 、q 的值，计算出结果．【详解】解：根据题意，设0(A x ，202log )x +，(,)B p q ，0(C x ，20log )x ， 线段//AC y 轴，ABC ∆是等边三角形，2AC ∴=，22log p q +=，22q p -∴=，42q p ∴=；又0x p -=0p x ∴=0x p ∴=；又202log 1x q +-=，20log 1x q ∴=-，102q x -=；12q p -∴；224q p p +==，p ∴=【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，属于中档题．21．（1）{x|x ∈R ，且x≠0}（2）偶函数（3）a>1. 【解析】(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，所以x≠0， 所以函数f(x)的定义域为{x|x ∈R ，且x≠0}． (2)对于定义域内任意的x ，有f(－x)＝1112x a -⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－(－x)3＝－112x xa a⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－x 3＝－11112x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＋－x 3＝1112x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－x 3＝f(x)所以f(x)是偶函数． (3)①当a>1时，对x>0， 所以a x >1，即a x －1>0，所以11x a －＋12>0. 又x>0时，x 3>0，所以x 31112x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)， 则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立． 综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立．②当0<a<1时，f(x)＝31)2(1)x ax x a （＋－，当x>0时，0<a x <1，此时f(x)<0，不满足题意； 当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意． 综上可知，所求a 的取值范围是a>1 22．（1）2（2）222? (1)y x x =+> 【解析】分析：（1）设00,P x y （），则由已知可得2000022y px y x⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而可得0x =又根据PF x ⊥轴，则2p = （2）设直线AB 的方程为1x ny =-，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，(),M x y ，联立直线AB 的方程与抛物线方程，利用根与系数的关系式以及中点坐标公式即可求得答案.详解：（1）,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设00,P x y （），则20000022y px x y x⎧=⎪⇒=⎨=⎪⎩PF x ⊥轴，0=2p x ∴，2p ∴= 2p ∴=（2）由（1）知，抛物线C 的方程为24y x =，所以点1,0Q-（）. 设直线AB 的方程为1x ny =-，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，(),M x y .214x ny y x =-⎧⎨=⎩消去x ，得方程2440y ny -+=．121244y y ny y +=⎧⎨=⎩, 22161601n n ∆=->⇒> 因为M 为AB 的中点所以()2212212122122442112822y y y y y y x n y yy n ⎧+⎪+-==⎪=->⎨⎪+==⎪⎩， 消去n 得，222(1)y x x =+>.所以点M 的轨迹方程为222(1)y x x =+>．点睛：对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果． 23．（1）见解析（2）见解析 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+.()()()21111'x x a a x ax a f x x a x x x-+---+-=-+==. （i ）若11a -=即2a =，则()()21'x f x x-=，故()f x 在()0,∞+上单调递增.（ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当()1,1x a ∈-时，()'0f x <； 当()0,1x a ∈-及()1,x ∈+∞时，()'0f x >，故()f x 在()1,1a -单调递减，在()0,1a -，()1,+∞单调递增.（iii ）若11a ->即2a >，同理可得()f x 在()1,1-a 单调递减，在()0,1，()1,a -+∞单调递增.（2）考虑函数()()()211ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+，则()()())21'1111a g x x a a x -=--+≥-=-由于15a <<，故()'0g x >，即()g x 在()4,+∞单调增加，从而当120x x >>时有()()120g x g x ->，即()()12120f x f x x x -+->，故()()12121f x f x x x ->--，当120x x <<时，有()()()()122112211f x f x f x f x x x x x --=>---.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.24．（1）1,{ 2.a b ==（2）3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【解析】分析：（1）由曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为y x =，得(0)0(0)1f f =⎧⎨='⎩，求出,a b 的值即可；（2）构造函数，通过对构造函数求导，并分类讨论，即可求得a 的取值范围． 详解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()()()11x x x f x be bx e bx b e =+-=+-'.因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，所以()()0001f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩得101a b b -=⎧⎨-=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩. （2）当2b =时，()()21(1)xf x x e a a =-+<， 关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个.等价于关于x 的不等式()210xx e a ax -+-<的整数解有且只要一个，构造函数()()21,x F x x e a ax x R =-+-∈，所以()()21x F x e x a '=+-.①当0x ≥时，因为1,211xe x ≥+≥，所以()211xex +≥，又1a <，所以()0F x '>，所以()F x 在()0,+∞内单调递增.因为()()010,10F a F e =-+=，所以在[)0,+∞上存在唯一的整数00x =使得()00F x <，即()00f x ax <.②当0x <时，为满足题意，函数()F x 在(),0-∞内不存在整数使()0F x <，即()F x 在(],1-∞上不存在整数使()0F x <.因为1x ≤-，所以()210xex +<.当01a ≤<时，函数()0F x '<，所以()F x 在(),1-∞-内为单调递减函数，所以()10F -≥，即312a e≤<； 当0a <时，()3120F a e-=-+<，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围为3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 点睛：本题考查了导数几何意义，以及导数在函数中的综合应用，其中利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，着重考查了转化和化归思想，以及数形结合思想的应用．。
2019届福建省厦门市双十中学高三上学期第一次月考理科数学试题(4页)
2019届福建省厦门市双十中学高三上学期第一次月考理科数学试题理科数学试题1.若集合{}|23M x x =-<<，{}1|21x N x +=≥，则M N =I （ ）A. (3,)+∞B. (1,3)-C. [1,3)-D. (2,1]--2.抛物线2(21)x a y =-的准线方程是1y =，则实数a =（ ） A.52B.32C.12D. 32-3.已知命题p ：x R ∀∈，2130x +>，命题q ：“02x <<”是“2log 1x <”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A. p ⌝B. p q ∧C. ()p q ∧⌝D. ()p q ⌝∨4.如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径， 2BF FO =u u u v u u u v ，则FD FE ⋅=u u u v u u u v（ ）A. 34-B. 89-C. 14-D. 49-5.已知函数()ln 2xf x x =+，若2(4)2f x -<,则实数x 的取值范围是（ ）.A. (2,2)-B.C. (2)-D. (2)-(2⋃6.设集合{}2|20170A x x ax =++>，{}2|20180B x x ax =++>，{}2|20170C x x x b =-+>，{}2|20180D x x x b =-+>，其中a ，b R ∈，下列说法正确的是（ ）A. 对a ∀∈R ，A 是B 子集；对b R ∀∈，C 不是D 的子集B. 对a ∀∈R ，A 是B 的子集；b R ∃∈，C 是D 的子集C. a R ∃∈，A 不是B 的子集；对b R ∀∈，C 不是D 的子集D. a R ∃∈，A 不是B 的子集；b R ∃∈，C 是D 的子集7.如图是一个几何体三视图，若该几何体的表面积为48π，则a 的值为（ ）正视图 侧视图 俯视图A. 1B. 2C. 3D. 48.若213log (35)y x ax =-+在[)1,-+∞上单调递减，则a 取值范围是（ ）.A. (,6)-∞-B. (6,0)-C. (8,6]--D. []8,6--9.对于任意实数a ，b ，2()a b kab +≥均成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. [4,)+∞B. []0,4C. (,4]-∞D. (,0][4,)-∞⋃+∞ 10.函数f (x )）ax 2）bx ）c (a ≠0)的图象关于直线x ））对称．据此可推测，对任意的非零实数a ）b ）c ）m ）n ）p ，关于x 的方程m [f (x )]2）nf (x )）p ）0的解集都不可能是( ) A. {1,2} B. {1,4}C. {1,2,3,4}D. {1,4,16,64}11.已知函数2ln ,1()5,14x x f x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，存在1x ，2x ，L ，n x ，满足()()()1212n n f x f x f x m x x x ====L ，则当n 最大时，实数m 的取值范围为（ ） A. 31,23e ⎛⎫⎪⎝⎭B. 11,24e ⎛⎫⎪⎝⎭C. 11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x 都有2()4()f x x f x -=-，当(,0]x ∈-∞时，()41f x x '<-，若()()142f m f m m +≤-++，则实数m 的取值范围是（ ）A. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B. 3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C. [1,)-+∞D. [2,)-+∞13.如图甲所示，在直角ABC ∆中，,AC AB AD BC ⊥⊥，D 是垂足，则有2AB BD BC =⋅，该结论称为射影定理.如图乙所示，在三棱锥A BCD -中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ，O 为垂足，且O 在BCD ∆内，类比直角三角形中的射影定理，则有__________．的14.若实数a ，b ，c ，d 满足︱b+a 2-3l n a ︱+（c-d+2）2=0,则（a-c ）2+（b-d ）2的最小值为 .15.若x ，y ，z 满足111235x y z⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；①523z x y >>；②325y x z >>；③532z y x >>；④532z y x ==．上述关系中可能成立的序号是________（把符合要求的序号都填上）．16.在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是则该四面体的外接球的表面积是__________． 17.ABCV 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足tan 21tan A cB b+=． （1）求A 的大小；（2）若ABC V 为锐角三角形，求函数22sin 2cos cos y B B C =-的值域．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=o ，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，点E 、F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求点A 到平面PEC 的距离.19.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>和直线l ： 1x y a b -=，椭圆的离心率e =，坐标原点到直线l 的距（Ⅰ）求椭圆的方程；的（Ⅱ）已知定点()1,0E-，若直线m 过点()0,2P 且与椭圆相交于,C D 两点，试判断是否存在直线m ，使以CD 为直径的圆过点E ？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.20.如图所示，四棱锥P ABCD -侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，且//,AB CD AB AD ⊥,12CD PD AD AB ===,E 是PB 中点.（1）求证：CE ⊥平面PAB ；（2）若4CE AB =，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小. 21.已知函数()()1xf x e a x =--有两个零点.（1）求实数a 的取值范围；（2）设1x 、2x 是()f x 的两个零点，证明：1212x x x x <+⋅. 22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线:60l x y --=.（1）在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求出此最小值；（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，求点M 到,A B 两点的距离之积.。
福建省厦门市双十中学2018-2019学年高三(上)开学数学试卷(理科)(二)(含精品解析)
福建省厦门市双十中学2018-2019学年高三（上）开学数学试卷（理科）（二）一、选择题（本大题共10小题，共60.0分）1.对于函数，下列结论正确的是（ ）f(x)=1‒2xA. 是增函数，其值域是f(x)[0,+∞)B. 是增函数，其值域是f(x)[0,1)C. 是减函数，其值域是f(x)[0,+∞)D. 是减函数，其值域是f(x)[0,1)2.函数y =A sin （ωx +φ）的部分图象如图所示，则（ ）A. y =2sin(2x ‒π6)B. y =2sin(2x ‒π3)C.y =2sin(2x +π6)D.y =2sin(2x +π3)3.若向量，的夹角为，且||=2，||=1，则与+2的夹角为（ ）⃗a ⃗b π3⃗a ⃗b ⃗a ⃗a ⃗b A.B.C.D.π6π32π35π64.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =2x 上，则cos2θ=（ ）A.B.C.D.‒45‒3535455.已知函数f （x ）=2sinωx （ω＞0）在区间上的最小值是-2，则ω的最小值[‒π3，π4]等于（ ）A. B.C. 2D. 323326.已知tanθ=2，则=（ ）sin(π2+θ)‒cos(π‒θ)sin(π2‒θ)‒sin(π‒θ)A. 2B. C. 0 D.‒2237.若cos （-α）=，则cos （+2α）的值为（ ）π8163π4A.B.C.D.1718‒17181819‒18198.数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值．若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=（ ）A. 132B. 299C. 68D. 999.如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若=（λ、μ为实数），则λ2+μ2=（ ）⃗DE λ⃗AB+μ⃗ADA.B.C. 1D.581451610.已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（0＜ω≤12，ω∈N *，0＜φ＜π），图象关于y 轴对称，且在区间上不单调，则ω的可能值有（ ）[π4，π2]A. 7个B. 8个C. 9 个D. 10个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.在极坐标系中，点A 在圆ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上，点P 的坐标为（1，0），则|AP |的最小值为______．12.设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n 若对任意自然数n都有=，S nT n 2n ‒34n ‒3则的值为______．a 9b 5+b 7+a 3b8+b 413.已知函数f （x ）=（m +3）（x +m +1）（x +m ），g （x ）=2x -2，若对任意x ∈R ，有f （x ）＞0或g （x ）＞0成立，则实数m 的取值范围是______．14.已知△ABC 中，角C 为直角，D 是BC 边上一点，M 是AD 上一点，且|CD |=1，∠DBM =∠DMB =∠CAB ，则|MA |=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）15.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：（t 为参数，t ≠0），其中0≤α≤π，在以{x =tcosαy =tsinαO 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sinθ，C 3：ρ=2cosθ．3（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．16.如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =，AD ：AB =2：3，BD =，AB ⊥BC ．π37（1）求sin ∠ABD 的值；（2）若∠BCD =，求CD 的长．2π317.已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正{x =m +22t y =22t半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=12，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．（Ⅰ）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．求|FA |•|FB |的值；（Ⅱ）设曲线C 的内接矩形的周长为P ，求P 的最大值．18.设函数f （x ）=sin （ωx -）+sin （ωx -），其中0＜ω＜3，已知f （）=0．π6π2π6（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y =f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y =g （x ）的图象，求g （x ）在[-，π4π4]上的最小值．3π419.已知{a n }为等差数列，前n 项和为，{b n}是首项为2的等比数列，且公S n (n ∈N ∗)比大于0，b 2+b 3=12，b 3=a 4-2a 1，S 11=11b 4．（1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）记数列c n =a n -b n ，求{c n }的前n 项和T n （n ∈N *）．20.设a∈R，函数f（x）=ln x-ax．（1）若a=3，求曲线y=f（x）在P（1，-3）处的切线方程；（2）求函数f（x）单调区间；（3）若f（x）有两个零点x1，x2，求证：x1•x2＞e2．答案和解析1.【答案】D【解析】解：根据题意，函数，有1-2x≥0，解可得x≤0，即函数的定义域为（-∞，0]；令t=1-2x，则有0≤t＜1，则y=，t=1-2x，在（-∞，0]为减函数，y=在[0，1）上为增函数，则函数为减函数，且有y∈[0，1），即函数的值域为[0，1）；故选：D．根据题意，求出函数的定义域，令t=1-2x，则有0≤t＜1，则y=，由复合函数的单调性判断方法分析可得f（x）的单调性，进而求出其值域，即可得答案．本题考查复合函数的单调性以及值域的计算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：根据函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，可得A=2，==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=-，故f（x）=2sin（2x-），故选：A．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵向量，的夹角为，且||=2，||=1，∴===1．∴==22+2×1=6，==．两向量的夹角θ的取值范围是，θ∈[0，π]，∴===，∴与+2的夹角为．故选：A．利用数量积运算性质、向量的夹角公式即可得出．本题考查了数量积运算性质、向量的夹角公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：根据题意可知：tanθ=2，所以cos2θ===，则cos2θ=2cos2θ-1=2×-1=-．故选：B．根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．5.【答案】B【解析】解：函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上的最小值是-2，则ωx的取值范围是，∴或，∴ω的最小值等于，故选：B．先根据x的范围求出ωx的取值范围，进而根据函数f（x）在区间上的最小值求出ω的范围，再由ω＞0可求其最小值．本题主要考查正弦函数的最值和三角函数的单调性．属基础题．6.【答案】B【解析】解：=====-2．故选：B．直接利用诱导公式化简，然后利用齐次式，分子、分母同除cosθ，代入tanθ=2即可得到结果．本题是基础题，考查三角函数的诱导公式的应用，考查计算能力，常考题型．7.【答案】A【解析】解：∵cos（-α）=，∴cos（-2α）=2cos2（-α）-1=2×-1=-，∴cos（+2α）=cos[π-（-2α）]=-cos（-2α）=．故选：A．利用二倍角公式求出cos（-2α）的值，再利用诱导公式求出cos（+2α）的值．本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，是基础题．8.【答案】B【解析】解：对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值，∴（a n+1+a n+2+a n+3）-（a n+a n+1+a n+2）=0，故a n+3=a n，∴{a n}是以3为周期的数列，故a1=a7=2，a2=a98=4，a3=a9=3，∴S100=（a1+a2+a3）+…+（a97+a98+a99）+a100=33（2+4+3）+a1=299．故选：B．对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值，可得（a n+1+a n+2+a n+3）-（a n+a n+1+a n+2）=0，a n+3=a n，于是{a n}是以3为周期的数列，即可得出．本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：根据题意知，=-=-=（+）-=-，∴λ=，μ=-，∴λ2+μ2=+=，故选：A．运用平面向量基本定理可解决此问题．本题考查平面向量基本定理的简单应用．10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（0＜ω≤12，ω∈N*，0＜φ＜π），图象关于y轴对称，∴φ=，∴f（x）=sin（ωx+）=cosωx．在区间上不单调，则ω•＞π，∴ω＞2，∴ω=3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共计10个，经过检验，ω=4不满足条件，故满足条件的ω有9个，故选：C．先求出φ，再根据诱导公式，余弦函数的单调性求出ω的范围，可得结论．本题主要考查正弦函数的奇偶性、以及图象的对称性，余弦函数的单调性，属于中档题．11.【答案】1【解析】解：设圆ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2-2x-4y+4=0，再化为标准方程：（x-1）2+（y-2）2=1；如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为：|AP|min=|CP|-r C=2-1=1，故答案为：1．先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值．本题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值，难度不大．12.【答案】19 41【解析】解：由等差数列的性质和求和公式可得：=+======故答案为：由等差数列的性质和求和公式可得原式=，代值计算可得．本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．13.【答案】（-3，-2）【解析】解：由g（x）=2x-2＜0，得x＜1，故对x≤1时，g（x）＞0不成立，从而对任意x≤1，f（x）=（m+3）（x+m+1）（x+m）＞0恒成立，则必满足，解得-3＜m＜-2．则实数m的取值范围是（-3，-2）．故答案为：（-3，-2）由题意可知x＜1时，g（x）＜0成立，进而得到f（x）=（m+3）（x+m+1）（x+m）＞0对x≤1均成立，得到m满足的条件，求解不等式组可得答案本题考查了函数的值，考查了不等式的解法，体现了恒成立思想的应用，属于中档题14.【答案】2【解析】解：设∠DBM=θ，则∠ADC=2θ，∠DAC=-2θ，∠AMB=-2θ，在△CDA中，由正弦定理可得=，在△AMB中，由正弦定理可得=，∴===，从而MA=2，故答案为：2．设∠DBM=θ，在△CDA中，由正弦定理可得=，在△AMB 中，由正弦定理可得=，继而可得=，问题得以解决本题考查了正弦定理的应用，关键是掌握应用的条件，属于中档题．15.【答案】解：（I ）由曲线C 2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x 2+y 2=2y ．同理由C 3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，3x 2+y 2=23x 联立，{x 2+y 2‒2y =0x 2+y 2‒23x =0解得，，{x =0y =0{x =32y =32∴C 2与C 3交点的直角坐标为（0，0），．(32，32)（2）曲线C 1：（t 为参数，t ≠0），化为普通方程：y =x tanα，其中{x =tcosαy =tsinα0≤α≤π，α≠；α=时，为x =0（y ≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R ，ρ≠0），π2π2∵A ，B 都在C 1上，∴A （2sinα，α），B ．(23cosα，α)∴|AB |==4，|2sinα‒23cosα||sin(α‒π3)|当时，|AB |取得最大值4．α=5π6【解析】（I ）由曲线C 2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C 3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C 2与C 3交点的直角坐标．（2）由曲线C 1的参数方程，消去参数t ，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R ，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】解：（1）设AD =2x ，AB =3x ，由余弦定理得：cos ==，π34x 2+9x 2‒72×2x ×3x 12解得x =1，∴AD =2，AB =3，∴由正弦定理得：，sin∠ABD2=sin π37解得sin ∠ABD =．217（2）sin （∠ABD +∠CBD ）=sin ，∴sin ∠CBD =cos ∠ABD ，π2cos =，∴sin ，∠ABD =1‒2149277∠CBD =277由正弦定理得，解得CD =．CD sin∠CBD =BDsin 2π3433【解析】（1）设AD=2x ，AB=3x ，由余弦定理求出AD=2，AB=3，再由正弦定理能求出sin ∠ABD ．（2）由sin （∠ABD+∠CBD ）=sin ，得sin ∠CBD=cos ∠ABD ，求出sin，由此利用正弦定理能求出CD ．本题考角的正弦值的求法，考查三角形边长的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．17.【答案】解：（I ）曲线C 的直角坐标方程为x 2+3y 2=12，即．x 212+y 24=1∴曲线C 的左焦点F 的坐标为F （-2，0）．2∵F （-2，0）在直线l 上，2∴直线l 的参数方程为（t 为参数）．{x =‒22+22t y =22t 将直线l 的参数方程代入x 2+3y 2=12得：t 2-2t -2=0，∴|FA |•|FB |=|t 1t 2|=2．（II ）设曲线C 的内接矩形的第一象限内的顶点为M （x ，y ）（0，0＜y ＜2），＜x ＜23则x 2+3y 2=12，∴x =．12‒3y 2∴P =4x +4y =4+4y ．12‒3y 2令f （y ）=4+4y ，则f ′（y ）=．12‒3y 2‒12y12‒3y 2+4令f ′（y ）=0得y =1，当0＜y ＜1时，f ′（y ）＞0，当1＜y ＜2时，f ′（y ）＜0．∴当y =1时，f （y ）取得最大值16．∴P 的最大值为16．【解析】（I ）求出曲线C 的普通方程和焦点坐标，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（II ）设矩形的顶点坐标为（x ，y ），则根据x ，y 的关系消元得出P 关于x （或y ）的函数，求出此函数的最大值．本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，函数的最值，参数方程的几何意义，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）函数f （x ）=sin （ωx -）+sin （ωx -）π6π2=sinωx cos -cosωx sin -sin （-ωx ）π6π6π2=sinωx -cosωx 3232=sin （ωx -），3π3又f （）=sin （ω-）=0，π63π6π3∴ω-=k π，k ∈Z ，π6π3解得ω=6k +2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=sin （2x -），3π3将函数y =f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y =sin （x -）的图象；3π3再将得到的图象向左平移个单位，得到y =sin （x +-）的图象，π43π4π3∴函数y =g （x ）=sin （x -）；3π12当x ∈[-，]时，x -∈[-，]，π43π4π12π32π3∴sin （x -）∈[-，1]，π1232∴当x =-时，g （x ）取得最小值是-×=-．π432332【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f （x ）为正弦型函数，根据f （）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f （x ）解析式，利用平移法则写出g （x ）的解析式，求出x ∈[-，]时g （x ）的最小值．本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．19.【答案】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由已知b 2+b 3=12，得=12，而b 1=2，所以q 2+q -6=0．b 1(q +q 2)又因为q ＞0，解得q =2．所以，b n =2n ．由b 3=a 4-2a 1，可得3d -a 1=8．由S 11=11b 4，可得a 1+5d =16，联立①②，解得a 1=1，d =3，由此可得a n =3n -2．所以，{a n }的通项公式为a n =3n -2，{b n }的通项公式为b n =2n ．（2）c n =a n -b n =3n -2-2n ．∴{c n }的前n 项和T n =-=-2n +1+2．n(1+3n ‒2)22(2n ‒1)2‒13n 2‒n 2【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由已知b 2+b 3=12，得得=12，而b 1=2，可得q 2+q-6=0．又q ＞0，解得q ．可得b n ．由b 3=a 4-2a 1，可得3d-a 1=8．由S 11=11b 4，可得a 1+5d=16，联立解出，（2）c n =a n -b n =3n-2-2n ．利用分组求和与求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：在区间（0，+∞）上，f ′（x ）=…………（1分）1‒axx （1）当a =3时，f ′（1）=-2，则切线方程为y -（-3）=-2（x -1），即2x +y +1=0…（2分）（2）①若a ≤0，则f ′（x ）＞0，f （x ）是区间（0，+∞）上的增函数，（3分）③若a ＞0，令f ′（x ）=0，得：x =．（4分）1a 在区间（0，）上，f ′（x ）＞0，函数f （x ）是增函数；（ 5分）1a在区间（，+∞）上，f ′（x ）＜0，函数f （x ）是减函数；（6分）1a （3）设x 1＞x 2＞0，∵f （x 1）=0，f （x 2）=0，∴ln x 1-ax 1=0，ln x 2-ax 2=0，∴ln x 1+ln x 2=a （x 1+x 2），ln x 1-ln x 2=a （x 1-x 2），原不等式x 1•x 2＞e 2⇔ln x 1+ln x 2＞2（8分）⇔a （x 1+x 2）＞2⇔＞⇔ln ＞，lnx 1‒lnx 2x 1‒x 22x 1+x 2x 1x 22(x 1‒x 2)x 1+x 2令=t ，则t ＞1，于是ln ＞⇔ln t ＞．（9分）x 1x 2x 1x 22(x 1‒x 2)x 1+x 22(t ‒1)t +1设函数g （t ）=ln t -，（t ＞1），2(t ‒1)t +1求导得：g ′（t ）=＞0（11分）(t ‒1)2t(t +1)2故函数g （t ）是（1，+∞）上的增函数，∴g （t ）＞g （1）=0，即不等式ln t ＞成立，2(t ‒1)t +1故所证不等式x 1•x 2＞e 2成立．（12分）【解析】（1）代入a 的值，计算f′（1），求出切线方程即可；（2）通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（3）问题转化为ln ＞，令=t ，则t ＞1，得到lnt ＞，设函数g （t ）=lnt-，（t ＞1），根据函数的单调性证明即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
福建省厦门双十中学2019届高三模拟数学(理)试题 含解析
【解析】
【分析】
设 则 ，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】 设
则 .
因为 所以 当 时， ；
当 时， ，即 于是 故选A.
【点睛】本题主要考查指数函数的性质以及二次函数在闭区间上的最值，属于中档题.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.
5.二次函数 的图象如图所示，则定积分 （ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
由图象可知，二次函数 的零点为1，2，方程 的根为1，2，由韦达定理求出 的值，利用微积分基本定理可得结果.
【详解】
由图象可知，二次函数 的零点为1，2
即方程 的根为1，2，
由韦达定理可得 .
故选B.
在区间 内单调递减. 于是函数 的极小值为 ，
即 解得 或
当 时， 极大值为 .
当 时， 的极大值为 .故选A.
【点睛】求函数 极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数 ；(3)解方程 求出函数定义域内的所有根；(4)检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.
2019
数学（理科）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由一元二次不等式的解法化简集合 ，由补集的定义可得 ，根据交集的定义可得结果.
2021届福建省厦门双十中学高三暑假第一次返校考试数学(理)试题
2019届福建省厦门双十中学高三暑假第一次返校考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B R = C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅2．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()03322f f f f ''<<-<C ．()()()()03232f f f f ''<<<-D ．()()()()03223f f f f ''<-<<3．下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）A ．y =B ．tan y x =C ．1y x x=+D ．x x y e e -=-4．已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠⎪⎝⎭，则()2f -= A ．72-B ．92C ．72D ．92-5．定义运算*a b ，*{a a b b =()()a b a b ≤>，例如1*21=，则函数1*2xy =的值域为（ ）A ．0,1B ．(),1-∞C ．[)1,+∞D ．(]0,16．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知：命题:p 若函数2()||f x x x a =+-是偶函数，则0a =.命题:(0,)q m ∀∈+∞，关于x 的方程23210mx x -+=有解，在①p q ∨；②p q ∧；③()p q ⌝∧；④()()p q ⌝∨⌝中为真命题的是（ ） A ．②③B ．②④C ．③④D ．①④8．若f (x )=ln (x 2-2ax +1+a )在区间(),1-∞上递减,则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,2) B ．[1,2]C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞9．函数sin ()lg(2)xf x x =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数41()(0)2xf x x e x =+-<与4()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．(-∞B ．⎛-∞ ⎝C ．⎛ ⎝ D ．⎛ ⎝11．已知函数2()(21)x f x ae x a x =--+，若函数()f x 在区间(0,ln 2)上有极值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞-B ．(1,0)-C ．(2,1)--D ．(,1)(0,1)-∞-12．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．(),2-∞-D ．(),1-∞-13．已知函数,0(),0x e x f x ax x ⎧≥=⎨<⎩，若方程()()f x f x -=有五个不同的根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,)+∞B ．(,)e +∞C ．(,)e -∞-D ．(,1)-∞-14．己知函数()2sin 20191xf x x =++，其中()'f x 为函数()f x 的导数，求()()()()20182018'2019'2019f f f f +-+--=（）A ．2B ．2019C ．2018D ．0二、填空题15．《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处). ①充分条件②必要条件③充要 条件④既不充分也不必要条件 16．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．17．函数f (x )＝1()3x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 18．已知函数()2sin f x x x =-，若正实数,a b 满足()(21)0f a f b +-=，则14a b+的最小值是__________．19．已知函数f(x)＝x ＋2x ，g(x)＝x ＋ln x ，h(x)＝x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________(由小到大).20．如图所示，已知函数2log 4y x =图象上的两点,A B 和函数2log y x =图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当ABC 为正三角形时，点B 的横坐标为______.三、解答题21．已知函数f(x)＝1112xa ⎛⎫⎪⎝⎭＋－x 3(a>0且a≠1)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a 的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立． 22．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，曲线2y x=与抛物线C 交于点,P PF x ⊥轴.（1）求p 的值；（2）抛物线的准线交x 轴交于点Q ，过点Q 的直线与抛物线C 交于A B 、两点，求AB 的中点M 的轨迹方程. 23．已知函数f(x)=x －ax+(a －1)ln x ，1a >，（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：若5a <，则对任意x ，x (0,)+∞，xx ，有1212()()1f x f x x x ->--．24．已知函数()(1)x f x bx e a =-+（a ，b R ∈）.（1）如果曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，求a 、b 值； （2）若1a <，2b =，关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，求a 的取值范围.参考答案1．A 【解析】∵集合{|31}x B x =< ∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A 2．B 【分析】根据导数的几何意义可对比切线斜率得到()()032f f ''<<，将()()32f f -看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.【详解】由()f x 图象可知，()f x 在2x =处的切线斜率大于在3x =处的切线斜率，且斜率为正，()()032f f ''∴<<，()()()()323232f f f f --=-，()()32f f ∴-可看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可知()()()()3322f f f f ''<-<，()()()()03322f f f f ''∴<<-<.故选：B . 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，关键是能够将问题转化为切线和割线斜率大小关系的比较，进而根据图象得到结果. 3．D 【详解】函数3y x =即是奇函数也是R 上的增函数，对照各选项：y =为非奇非偶函数，排除A ；tan y x =为奇函数，但不是R 上的增函数，排除B ；1y x x=+为奇函数，但不是R 上的增函数，排除C ；xxy e e -=-为奇函数，且是R 上的增函数，故选D. 4．C 【分析】 令1x x=-，代入解析式，通过解方程组即可求得()f x -的解析式，进而求得()2f -的值． 【详解】 由()()112?1f f x x x x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭, 可得()12? f x xf x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭(2), 将(1)x ⨯+(2)得:()2222f x x x-=-⇒ ()21,f x x x -=-()722f ∴-=,故选C ． 【点睛】本题考查了函数解析式的求法，方程组法在解析式求法中的应用，属于中档题． 5．D 【解析】分析：欲求函数y=1*2x 的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可．详解：当1≤2x 时，即x ≥0时，函数y=1*2x =1 当1＞2x 时，即x ＜0时，函数y=1*2x =2x ∴f （x ）=1020xx x ≥⎧⎨⎩，，＜ 由图知，函数y=1*2x 的值域为：（0，1]． 故选D ．点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质． 6．B 【分析】根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】 因为()2ln f x x x=-在定义域内递增， 且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =->， 由零点存在性定理可得023x <<，根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =， 故选：B. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 7．D 【分析】先分析命题p ，q 的真假，再根据复合命题的真值判断方法即可求解． 【详解】解：若函数2()||f x x x a =+-为偶函数，则22()||||x x a x x a -+--=+-，即有||||x a x a +=-，易得0a =，故命题p 为真；当0m >时，方程的判别式412m ∆=-不恒大于等于零， 当13m >时，∆<0，此时方程无实根，故命题q 为假， 即p 真q 假，故命题p q ∨为真，p q ∧为假，()p q ⌝∧为假，()()p q ⌝∨⌝为真． 综上可得真确命题为①④． 故选：D ． 【点睛】本题考查复合命题的真假的判断．解题关键真确判断命题p ，q 的真假，再根据复合命题真值的判断方法求解．属于基础题． 8．B 【分析】由外函数对数函数是增函数，可得要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减，需内函数二次函数的对称轴大于等于1，且内函数在(),1-∞上的最小值大于0，由此联立不等式组求解． 【详解】解：令2()21g x x ax a =-++，其对称轴方程为x a =， 外函数对数函数是增函数，要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减， 则1(1)1210a g a a ⎧⎨=-++≥⎩，即：12a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[]1,2．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题． 9．A 【分析】由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B ，D 答案；分析(2,1)x ∈--时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C 答案． 【详解】解：若使函数sin ()lg(2)xf x x =+的解析式有意义则2021x x +>⎧⎨+≠⎩，即21x x >-⎧⎨≠-⎩即函数sin ()lg(2)xf x x =+的定义域为()()2,11,---+∞，可排除B ，D 答案；当(2,1)x ∈--时，sin 0x <，lg(2)0x +<， 则sin ()0lg(2)xf x x =>+，可排除C 答案故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键． 10．A 【分析】根据条件转化为()()f x g x -=在0x >时，有解即可，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点问题，可以数形结合进行求解即可． 【详解】解：()f x 与()g x 的图象上存在关于y 轴对称的点， 等价为()()f x g x -=在0x >时，有解即可，则441()2x x e x ln x a -+-=++， 即1()2x e ln x a --=+，在(0,)+∞上有解即可， 设12xy e -=-，()()h x ln x a =+， 作出两个函数的图象如图：当0x =时，1111222xy e -=-=-=， 当0a ，将lnx 的图象向右平移，此时()ln x a +一定与12xy e -=-有交点，满足条件， 当0a >时，则1(0)2h lna =<，得120a e <<综上a <即实数a 的取值范围是(-∞ 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合条件进行转化为()()f x g x -=在0x >时，有解即可，利用函数与方程之间的关系利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题． 11．A 【分析】()2(21)()x f x ae x a g x '=--+=，由函数()f x 在区间(0,2)ln 上有极值()g x ⇔在区间(0,2)ln 上存在零点．利用函数零点存在定理即可得出． 【详解】解：()2(21)()x f x ae x a g x '=--+=， 由函数()f x 在区间(0,2)ln 上有极值，()g x ∴在区间(0,2)ln 上存在零点．(0)(2)(21)(22221)0g g ln a a a ln a ∴=-----<，可得10a +<，解得1a <-．∴实数a 的取值范围是(,1)-∞-．故选：A ． 【点睛】本题考查了利用对数研究函数的单调性与极值、函数零点存在定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．C 【解析】试题分析：当0a =时，2()31f x x =-+，函数()f x -不满足题意，舍去；当0a >时，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=．(,0)x ∈-∞时，()0f x '>；2(0,)x a ∈时，()0f x '<；2(,)x a∈+∞时，()0f x '>，且(0)0f >，此时在(,0)x ∈-∞必有零点，故不满足题意，舍去；当0a <时，2(,)x a∈-∞时，()0f x '<；2(,0)x a∈时，()0f x '>；(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，且(0)0f >，要使得()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，只需2()0f a>，即24a >，则2a <-，选C ．考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性． 13．C 【解析】分析：求出f （﹣x ）的解析式，根据x 的范围不同得出两个不同的方程，由两个方程的关系得出f （﹣x ）=f （x ）在（0，+∞）上有两解，根据函数图象和导数的几何意义得出a 的范围．详解：∵f （x ）=,0,0x e x ax x ⎧≥⎨<⎩，∴f （﹣x ）=,0,0x e x ax x -⎧≥⎨-<⎩． 显然x=0是方程f （﹣x ）=f （x ）的一个根， 当x ＞0时，e x =﹣ax ，①当x＜0时，e﹣x=ax，②显然，若x0为方程①的解，则﹣x0为方程②的解，即方程①，②含有相同个数的解，∵方程f（﹣x）=f（x）有五个不同的根，∴方程①在（0，+∞）上有两解，做出y=e x（x＞0）和y=﹣ax（x＞0）的函数图象，如图所示：设y=kx与y=e x相切，切点为（x0，y0），则xxe kkx e⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得x0=1，k=e．∵y=e x与y=﹣ax在（0，+∞）上有两个交点，∴﹣a＞e，即a＜﹣e．故选C．点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．14．A【分析】设()12019 in12019xxg x s x -=++，判断奇偶性和导数的奇偶性，求和即可得到所求值．【详解】解：函数()212019sin sin 12019112019xx x f x x x -=+=++++设()12019sin 12019xxg x x -=++，则()()()1201912019sin sin 1201912019x x x x g x x x g x --⎛⎫---=-+=-+=- ⎪++⎝⎭即()()0g x g x -+=，即()()2f x f x -+=，则()()()()2018201820181201812f f g g +-=++-+=， 又()()''f x g x =，()()()()2,''0f x f x f x f x -+=∴--+=，可得()()'2019'20190f f --=，即有()()()()20182018'2019'20192f f f f +-+--=，故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和导数的奇偶性，考查运算能力，属于中档题． 15．① 【解析】分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件． 故答案为：①．点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 16．32-【分析】根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论． 【详解】由偶函数的定义可得f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ， 即2ax=ln （e ﹣3x +1）﹣ln （e 3x +1）=lne ﹣3x =﹣3x ，∴2ax ＝－3x ，∴a ＝－32故答案为：－32【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义得到f （﹣x ）=f （x ）是解决本题的关键，属于基础题. 17．3 【解析】13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与y=－log 2(x ＋2) 都是[-1，1]上的减函数，所以函数f (x )＝13x⎛⎫⎪⎝⎭－log 2(x ＋2) 在区间[-1，1]上的减函数，∴最大值为：f （-1）=3 故答案为3．18．9+ 【解析】因为()2cos 0,()2sin ()f x x f x x x f x '=->-=-+=-，所以函数()f x 为单调递增奇函数，因此由()()210f a f b +-=，得()(21)(12)12,21,f a f b f b a b a b =--=-∴=-+=因此14a b +1424()(2)999b a a b a b a b =++=++≥+=+，当且仅当b =时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 19．x 1<x 2<x 3 【分析】由1x ，2x ，3x 分别为f(x)＝x ＋2x ，g(x)＝x ＋ln x ，h(x)＝x －1的零点，将1x ，2x ，3x 转化为函数y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 31与函数y ＝－x 交点的横坐标，所以在同一平面直角坐标系中，作出函数y 1＝2x，y 2＝ln x ，y 31，y ＝－x 图象，数形结合，判断1x ，2x ，3x 的大小 【详解】令y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 31，y ＝－x ，∵函数f(x)＝x ＋2x，g(x)＝x ＋ln x ，h(x)＝x 1的零点分别为x 1，x 2，x 3，即函数y 1＝2x ，y 2＝ln x ，y 3－1与函数y ＝－x 交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3. 分别作出函数的图象，结合图象可得x 1<x 2<x 3.【点睛】根据零点求参数方法：1.直接法：直接根据题设条件，构建关于参数的关系式，确定参数的取值范围2.数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解20【分析】根据题意，设出A 、B 、C 的坐标，由线段//AC y 轴，ABC ∆是等边三角形，得出AB 、AC 与BC 的关系，求出p 、q 的值，计算出结果．【详解】解：根据题意，设0(A x ，202log )x +，(,)B p q ，0(C x ，20log )x ， 线段//AC y 轴，ABC ∆是等边三角形，2AC ∴=，22log p q +=，22q p -∴=，42q p ∴=；又0x p -=0p x ∴=0x p ∴=；又202log 1x q +-=，20log 1x q ∴=-，102q x -=；12q p -∴；224q p p +==，p ∴=【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，属于中档题．21．（1）{x|x ∈R ，且x≠0}（2）偶函数（3）a>1. 【解析】(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，所以x≠0， 所以函数f(x)的定义域为{x|x ∈R ，且x≠0}． (2)对于定义域内任意的x ，有f(－x)＝1112x a -⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－(－x)3＝－112x xa a⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－x 3＝－11112x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＋－x 3＝1112x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－x 3＝f(x)所以f(x)是偶函数． (3)①当a>1时，对x>0， 所以a x >1，即a x －1>0，所以11x a －＋12>0. 又x>0时，x 3>0，所以x 31112x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)， 则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立． 综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立．②当0<a<1时，f(x)＝31)2(1)x ax x a （＋－，当x>0时，0<a x <1，此时f(x)<0，不满足题意； 当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意． 综上可知，所求a 的取值范围是a>1 22．（1）2（2）222? (1)y x x =+> 【解析】分析：（1）设00,P x y （），则由已知可得2000022y px y x⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而可得0x =又根据PF x ⊥轴，则2p = （2）设直线AB 的方程为1x ny =-，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，(),M x y ，联立直线AB 的方程与抛物线方程，利用根与系数的关系式以及中点坐标公式即可求得答案.详解：（1）,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设00,P x y （），则20000022y px x y x⎧=⎪⇒=⎨=⎪⎩PF x ⊥轴，0=2p x ∴，2p ∴= 2p ∴=（2）由（1）知，抛物线C 的方程为24y x =，所以点1,0Q-（）. 设直线AB 的方程为1x ny =-，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，(),M x y .214x ny y x =-⎧⎨=⎩消去x ，得方程2440y ny -+=．121244y y ny y +=⎧⎨=⎩, 22161601n n ∆=->⇒> 因为M 为AB 的中点所以()2212212122122442112822y y y y y y x n y yy n ⎧+⎪+-==⎪=->⎨⎪+==⎪⎩， 消去n 得，222(1)y x x =+>.所以点M 的轨迹方程为222(1)y x x =+>．点睛：对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果． 23．（1）见解析（2）见解析 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+.()()()21111'x x a a x ax a f x x a x x x-+---+-=-+==. （i ）若11a -=即2a =，则()()21'x f x x-=，故()f x 在()0,∞+上单调递增.（ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当()1,1x a ∈-时，()'0f x <； 当()0,1x a ∈-及()1,x ∈+∞时，()'0f x >，故()f x 在()1,1a -单调递减，在()0,1a -，()1,+∞单调递增.（iii ）若11a ->即2a >，同理可得()f x 在()1,1-a 单调递减，在()0,1，()1,a -+∞单调递增.（2）考虑函数()()()211ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+，则()()())21'1111a g x x a a x -=--+≥-=-由于15a <<，故()'0g x >，即()g x 在()4,+∞单调增加，从而当120x x >>时有()()120g x g x ->，即()()12120f x f x x x -+->，故()()12121f x f x x x ->--，当120x x <<时，有()()()()122112211f x f x f x f x x x x x --=>---.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.24．（1）1,{ 2.a b ==（2）3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【解析】分析：（1）由曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为y x =，得(0)0(0)1f f =⎧⎨='⎩，求出,a b 的值即可；（2）构造函数，通过对构造函数求导，并分类讨论，即可求得a 的取值范围． 详解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()()()11x x x f x be bx e bx b e =+-=+-'.因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，所以()()0001f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩得101a b b -=⎧⎨-=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩. （2）当2b =时，()()21(1)xf x x e a a =-+<， 关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个.等价于关于x 的不等式()210xx e a ax -+-<的整数解有且只要一个，构造函数()()21,x F x x e a ax x R =-+-∈，所以()()21x F x e x a '=+-.①当0x ≥时，因为1,211xe x ≥+≥，所以()211xex +≥，又1a <，所以()0F x '>，所以()F x 在()0,+∞内单调递增.因为()()010,10F a F e =-+=，所以在[)0,+∞上存在唯一的整数00x =使得()00F x <，即()00f x ax <.②当0x <时，为满足题意，函数()F x 在(),0-∞内不存在整数使()0F x <，即()F x 在(],1-∞上不存在整数使()0F x <.因为1x ≤-，所以()210xex +<.当01a ≤<时，函数()0F x '<，所以()F x 在(),1-∞-内为单调递减函数，所以()10F -≥，即312a e≤<； 当0a <时，()3120F a e-=-+<，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围为3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 点睛：本题考查了导数几何意义，以及导数在函数中的综合应用，其中利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，着重考查了转化和化归思想，以及数形结合思想的应用．。
2019届福建省厦门市双十中学高三上学期第一次月考理科数学试题(解析版)
2019届福建省厦门市双十中学高三上学期第一次月考理科数学试题一、单选题1．若集合{}|23M x x =-<<，{}1|21x N x +=≥，则MN =（ ）A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．[1,3)-D ．(2,1]--2．抛物线2(21)x a y =-的准线方程是1y =，则实数a =（ ） A ．52B ．32C ．12D ．32-3．已知命题p ：x R ∀∈，2130x +>，命题q ：“02x <<”是“2log 1x <”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p ⌝B ．p q ∧C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨4．如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径， 2BF FO =，则FD FE ⋅=（ ）A ．34-B ．89-C ．14-D ．49-5．已知函数()ln 2x f x x =+，若2(4)2f x -<,则实数x 的取值范围是（ ）. A ．(2,2)-B．C．(2)-D．(2)-(2⋃6．设集合{}2|20170A x x ax =++>，{}2|20180B x x ax =++>，{}2|20170C x x x b =-+>，{}2|20180D x x x b =-+>，其中a ，b R ∈，下列说法正确的是（ ）A ．对a ∀∈R ，A 是B 的子集；对b R ∀∈，C 不是D 的子集 B ．对a ∀∈R ，A 是B 的子集；b R ∃∈，C 是D 的子集 C ．a R ∃∈，A 不是B 的子集；对b R ∀∈，C 不是D 的子集 D ．a R ∃∈，A 不是B 的子集；b R ∃∈，C 是D 的子集7．如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为48π，则a 的值为（ ）正视图 侧视图 俯视图A ．1B ．2C ．3D ．48．若213log (35)y x ax =-+在[)1,-+∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ）. A ．(,6)-∞- B ．(6,0)- C ．(8,6]--D ．[]8,6--9．对于任意实数a ，b ，2()a b kab +≥均成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[4,)+∞B ．[]0,4C ．(,4]-∞D ．(,0][4,)-∞⋃+∞10．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}11．已知函数2ln ,1()5,14x x f x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，存在1x ，2x ，，n x ，满足()()()1212n nf x f x f x m x x x ====，则当n 最大时，实数m 的取值范围为（ ）A ．31,23e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,24e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x 都有2()4()f x x f x -=-，当(,0]x ∈-∞时，()41f x x '<-，若()()142f m f m m +≤-++，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)-+∞D ．[2,)-+∞二、填空题13．如图甲所示，在直角ABC ∆中，,AC AB AD BC ⊥⊥，D 是垂足，则有2AB BD BC =⋅，该结论称为射影定理.如图乙所示，在三棱锥A BCD-中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ，O 为垂足，且O 在BCD ∆内，类比直角三角形中的射影定理，则有__________．14．若实数a ，b ，c ，d 满足︱b+a 2-3l n a ︱+（c-d+2）2=0,则（a-c ）2+（b-d ）2的最小值为 .15．若x ，y ，z 满足111235x y z⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；①523z x y >>；②325y x z >>；③532z y x >>；④532z y x ==．上述关系中可能成立的序号是________（把符合要求的序号都填上）．16．在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是-则该四面体的外接球的表面积是__________．三、解答题17．ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足tan 21tan A cB b+=．（1）求A 的大小；（2）若ABC 为锐角三角形，求函数22sin 2cos cos y B B C =-的值域．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，点E 、F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求点A 到平面PEC 的距离.19．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>和直线l ： 1x y a b -=，椭圆的离心率e =，坐标原点到直线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点()1,0E-，若直线m 过点()0,2P 且与椭圆相交于,C D 两点，试判断是否存在直线m ，使以CD 为直径的圆过点E ？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.20．如图所示，四棱锥P ABCD -的侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，且//,AB CD AB AD ⊥,12CD PD AD AB ===,E 是PB 中点.（1）求证：CE ⊥平面PAB ；（2）若4CE AB ==，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小. 21．已知函数()()1xf x e a x =--有两个零点.（1）求实数a 的取值范围；（2）设1x 、2x 是()f x 的两个零点，证明：1212x x x x <+⋅. 22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线:60l x y --=.（1）在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求出此最小值；（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，求点M 到,A B 两点的距离之积.参考答案1．C 【解析】由题意得{}{}{}1|21|10|1x N x x x x x +=≥=+≥=≥-，{}|13M N x x ⋂=-≤<，故选C.点睛：研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是不等式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 2．D 【解析】 【分析】根据准线方程可求得1214a-=，则a 可得． 【详解】 解：抛物线2(21)x a y =-的准线方程为1y =，∴1214a-=， 解得32a =-， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置，属于基础题． 3．C 【分析】分别判断出p ，q 的真假，从而判断出复合命题的真假． 【详解】 解：命题:p x R ∀∈，2130x +>，∴命题p 为真，由2log 1x <，解得：02x <<，02x ∴<<是2log 1x <的充分必要条件，∴命题q 为假，所以p ⌝为假，p q ∧为假，()p q ∧⌝为真命题，()p q ⌝∨为假命题.故选：C ． 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了对数，指数函数的性质，属于基础题． 4．B 【解析】本题考查向量加法和减法的平行四边形分法则或三角形法则,向量的数量积. 因为圆半径为1BC 是直径，2,BF FO =所以1;3OF =根据向量加法和减法法则知：,FD OD OF FE OE OF =-=-；又DE 是直径，所以,1;OD OE OD OE =-==则 ()()()()FD FE OD OF OE OF OE OF OE OF ⋅=-⋅-=--⋅- ()()OE OF OE OF =-+⋅-故选 B5．D 【解析】21()2ln 20,(1)20412x f x f x x x=+>=∴<-<∴<'<，即实数x 的取值范围是()2- (2⋃，选D.6．B 【分析】运用集合的子集的概念，令m A ∈，推得m B ∈，可得对任意a ，A 是B 的子集；再由22017b =，21009b =，求得集合C ，D ，即可判断B 正确，A ，C ，D 错误．【详解】解：对于集合{}2|20170A x x ax =++>，{}2|20180B x x ax =++>， 可得当m A ∈，即220170m am ++>，可得2201710m am +++>， 即有m B ∈，可得对任意a ，A 是B 的子集；当22017b =时，{}22|201720170C x x x R =-+>=，{}22|201820170D x x x R =-+>=，可得C 是D 的子集；当21009b =时，{}22|201710090C x x x R =-+>=，{}22|201810090{|1009D x x x x x =-+>=≠且}x R ∈，可得C 不是D 的子集．综上可得，对任意a ，A 是B 的子集，存在b ，使得C 是D 的子集． 故选：B ． 【点睛】本题考查集合的关系的判断，注意运用二次不等式的解法，以及任意和存在性问题的解法，考查判断和推理能力，属于中档题． 7．B 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据转化求解即可． 【详解】解：由三视图可知几何体是一个圆柱的上下底分别挖去一个半球后的几何体，圆柱的母线长为4a ，两个底面的半径为a ，几何体的表面积为：2244S a a a ππ=⨯+ 212a π=，可得21248a ππ=，解得2a =， 故选：B ．【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的性质是解题的关键，属于中档题． 8．C 【解析】 由题意得21,3506ax ax 且≤--+> 在[)1,-+∞上恒成立，所以3508a a ++>⇒>- 即86a -<≤-，选C.点睛：判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性. 9．B 【分析】化简可得22(2)a b k ab +-恒成立，从而可得222k -+． 【详解】解：2()a b kab +， 222a b kab ab ∴+-，即22(2)a b k ab +-恒成立， 故222k --，解得04k 故[]0,4k ∈， 故选：B ． 【点睛】本题考查了不等关系的应用及基本不等式的应用，属于基础题． 10．D 【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中41616422++≠.故选D .【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f t g x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征. 11．D 【分析】由题意可得()f x 和直线y mx =最多4个交点，将1x =代入可得m 的值，考虑直线与y lnx =相切的m 的值，即可得到所求范围． 【详解】解：l x ，2x ，⋯，n x ，为方程1212()()()n nf x f x f x m x x x ==⋯==的n 个解， 即()f x mx =的n 个解，()y f x =和y mx =的图象如下所示，可得()f x 和直线最多4个交点，将1x =代入254x mx -，可得14m ，以下求y lnx =与y mx =相切时的m 值，设切点横坐标为a ，则y lnx =在(,)a lna 处的切线的斜率为1a ，方程为1()y lna x a a-=-， 由题意可得10lna -=，1m a =，解得a e =，1m e=， 结合图象可得m 的范围是11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：D ． 【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查直线的斜率和导数的几何意义，考查运算能力，属于中档题．12．A【分析】利用构造法设2()()2=-g x f x x ，推出()g x 为奇函数，判断()g x 的单调性，然后推出不等式得到结果． 【详解】 解：2()4()f x x f x -=-2()4()f x x f x ∴=--， 22()2()20f x x f x x ∴-+--=，设2()()2=-g x f x x ，则()()0g x g x +-=，∴函数()g x 为奇函数．(,0)x ∈-∞时，()41f x x '<-，()()41g x f x x ∴'='-<-，故函数()g x 在(,0)-∞上是减函数，故函数()g x 在(0,)+∞上也是减函数， 若(1)()42f m f m m +-++， 则22(1)2(1)()2f m m f m m +-+--， 即(1)()g m g m +-，1m m ∴+-，解得12m -，即1,2m ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭故选：A ． 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性、导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．13．2C C CD S S S ∆AB ∆B O ∆B =⋅【解析】结论：2C C CD S S S ∆AB ∆B O ∆B =⋅.证明如下在△BCD 内，延长DO 交BC 于E ，连接AE ， ∵AD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥AD ， 同理可得：BC ⊥AO∵AD 、AO 是平面AOD 内的相交直线， ∴BC ⊥平面AOD ∵AE 、DE ⊂平面AOD ∴AE ⊥BC 且DE ⊥BC∵△AED 中，EA ⊥AD ，AO ⊥DE ∴根据题中的已知结论,得AE 2=EO ⋅ED两边都乘以21(),2BC 得2111()222BC AE BC EO BC ED ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵AE 、EO 、ED 分别是△ABC 、△BCO 、△BCD 的边BC 的高线 ∴0111,,222ABCBC BCDSBC AE S BC EO S BC ED =⋅=⋅=⋅ ∴有2C ().ABCSS S BCD ∆B O =⋅故答案为2C C CD S S S ∆AB ∆B O ∆B =⋅.14．8 【解析】∵实数a 、b 、c 、d 满足：（b+a 2-3l n a ）2+（c-d+2）2=0，∴b+a 2-3l n a=0，c-d+2=0，设b=y ，a=x ，则y=3l n x-x 2，设c=x ，d=y ，则y=x+2，∴（a-c ）2+（b-d ）2就是曲线y=3l n x-x 2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值.对曲线y=3l n x-x 2求导：y'（x ）=32x x -，与y=x+2平行的切线斜率k=1=32x x-，解得x=1或x=-（舍）把x=1代入y=3l n x-x 2，得y=－1，即切点为（1，-1）切点到直线y=x+2的距离：∴（a-c ）2+（b-d ）2的最小值就是8． 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．15．①②④ 【分析】令111235x y zm ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=⎭，则12log x m =，13log y m =，15log z m =，从而12112212log1log 2m x m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，13113313log1log 3m y m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，15115515log1log 5m z m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，再分1m =，1m ，01m <<三种情况讨论可得； 【详解】解：因为111235x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令111235x y zm ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=⎭， 则12log x m =，13log y m =，15log z m =，从而12112212log1log 2m x m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，13113313log1log 3m y m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，15115515log1log 5m z m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭当1m =时，0x y z ===，532z y x ∴==，故④正确；由于6123111339⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，6132111228⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，113211132⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 101521112232⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，101251115525⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，112511125⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；综上可得11132511101325⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1m 时，111325111log log log 0325m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111325111111log log log 325m m m ∴>>⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭325y x z ∴>>，故②正确；当01m <<时，111325111log log log 0325m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111325111111log log log 325m m m ∴<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭325y x z ∴<<，故①正确；即正确的有①②④； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查指数与对数的互化，对数的运算及对数函数的性质的应用，属于中档题. 16．6π． 【解析】取AC 中点D ，连接,,SD BD AB BC BD AC ==∴⊥，2,,SA SC SD AC AC ==∴⊥⊥平面,SDB SDB ∴∠为二面角S AC B --，在ABC∆中，,2AB BC AB BC AC ⊥===，取等边SAC ∆的中心E ，作EO ⊥平面SAC ，过D 作DO ⊥平面,ABC O 为外接球球心，3ED ∴=，二面角S AC B --的余弦值是,cos ,332EDO OD -∴∠==，,2BO OA OS OC O ∴====∴点为四面体的64=64πππ⨯，故答案为6π. 17．（1）3A π=；（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由正弦定理同角三角函数的基本关系、和角公式可得结果； （2）由倍角公式和辅助角公式把函数化为3sin(2)26y B π=-+的形式，由ABC ∆为锐角三角形，求得62B ππ<<，结合正弦函数的性质求出函数的值域．【详解】 解：（1）由tan 21tan A c B b+=得，sin cos sin()2sin 1cos sin cos sin sin A B A B C A B A B B ++==，2cos sin sin sin sin A B C B C ∴=，sin sin 0≠B C ，1cos 2A ∴=， ()0,A π∈，3A π∴=； （2）因为A B C π++=，3A π=，所以23B C π+=， 则222sin 2cos cos 1cos 22cos cos 3y B B C B B B π⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭221cos 22cos cos cos sin sin 33B B B B ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭11cos 22cos cos 2B B B B ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭21cos2cos cos B B B B =-+cos211cos222B B B +=-+31cos2222B B =- 3sin 226B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 又ABC ∆为锐角三角形，022032B B πππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，所以62B ππ<<，∴72266B πππ<+<所以1sin 2,162B π⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31sin 2,2262B π⎛⎫⎛⎫∴-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即1,22y ⎛⎫∈⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查三角函数的值域，三角函数的恒等变换，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 18．（1）见解析；（2）10d =. 【试题分析】(1) 取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，通过证明四边形AEQF 为平行四边形,得到//AF EQ ,由此证得//AF 平面PEC .(2)利用等体积法,通过A PEC P AEC V V --=建立方程,由此求得点到面的距离. 【详解】（1）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ， 由题意，//FQ DC 且12FQ CD =，//AE CD 且12AE CD =， 故//AE FQ 且AE FQ =，所以，四边形AEQF 为平行四边形， 所以，//AF EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， 所以，//AF 平面PEC .（2）设点A 到平面PEC 的距离为d . 由题意知在EBC ∆中，EC ==在PDE ∆中PE ==在PDC ∆中PC ==故EQ PC ⊥，EQ AF ==12PEC S ∆=⨯=，1122AEC S ∆=⨯=所以由A PEC P AEC V V --=1232d =⋅，解得d =.19．（I ）2213x y +=；（II ）0x =或726y x =+. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆中的ce a=，以及222a b c =+ ，和点到直线的距离公式计算求得222.,a b c ；（Ⅱ）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线为2y kx =+ 与椭圆方程联立，利用根与系数的关系计算0EC ED ⋅= ，从而求得斜率k 和直线方程.试题解析：（Ⅰ）由直线:1x yl a b -==2222433a b a b =+——①又由e =2223c a =，即2223c a =，又∵222a b c =+，∴2213b a =——②将②代入①得，即42443a a =，∴23a =，22b =，21c =， ∴所求椭圆方程是2213x y +=；（Ⅱ）①当直线m 的斜率不存在时，直线m 方程为0x =， 则直线m 与椭圆的交点为()0,1±，又∵()1,0E -， ∴，即以CD 为直径的圆过点E ；②当直线m 的斜率存在时，设直线m 方程为2y kx =+，()11,C x y ，()22,D x y ，由222{13y kx x y =++=，得()22131290kxkx +++=，由()222144491336360k kk∆=-⨯+=->，得1k >或1k <-，∴1221213k x x k -+=+，122913x x k =+， ∴()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∵以CD 为直径的圆过点E ，∴EC ED ⊥，即0EC ED ⋅=， 由()111,EC x y =+，()221,ED x y =+， 得()()1212110x x y y +++=，∴()()()2121212150k x x k x x +++++=，∴()()222911221501313k kk k k +-++⋅+=++，解得716k =>，即7:26m y x =+； 综上所述，当以CD 为直径的圆过定点E 时，直线m 的方程为0x =或726y x =+. 20．（1）证明见解析；（2）π6． 【解析】试题分析：（1）取AP 的中点F ，连结,DF EF ，易得DF AP ⊥，AB DF ⊥，从而得DF ⊥平面PAB ，只需证得//CE DF 即可；（2）设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ，可证得PO ⊥平面ABCD ，故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，求出平面PDC 的法向量n ，利用sin cos ,n EC α=即可得解. 试题解析：（1）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示． 因为PD AD =，所以DF AP ⊥．因为侧面PAD ABCD ⊥底面,=PAD ABCD AD ⋂且AB AD ⊥, 所以AB ⊥平面PAD ，又DF ⊂平面PAD ，所以AB DF ⊥． 又因为AP AB A ⋂=，所以DF ⊥平面PAB ． 因为点E 是PB 中点，所以//EF AB ，且2ABEF =． 又因为//AB CD ，且2ABCD =，所以//EF CD ，且EF CD =， 所以四边形EFDC 为平行四边形，所以//CE DF ，所以CE ⊥平面PAB ．（2）设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ， 因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以AB AD ⊥，所以OG AD ⊥．因为EC =，由（Ⅰ）知，DF =又因为4AB =，所以2AD =，所以22,AP AF ==== 所以APD ∆为正三角形，所以PO AD ⊥，因为AB ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，所以AB PO ⊥． 又因为AD AB A ⋂=，所以PO ⊥平面ABCD ．故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．(P ，()()1,2,0,1,0,0C D --，1,2,22E ⎛ ⎝⎭，所以(1,0,PD =-，(1,2,PC =-，3,0,2EC ⎛=- ⎝⎭， 设平面PDC 的法向量(),,n x y z =，则0,0,n PD n PC ⎧⨯=⎨⨯=⎩所以0,20,x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩取1z =，则()3,0,1n =-，设EC 与平面PDC 所成的角为α，则1sin cos ,2n EC α===， 因为π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π6α=，所以EC 与平面PDC所成角的大小为π6． 21．（1）2()e +∞；（2）证明见解析 【分析】（1）求导得到()f x '，利用导数得到()f x 的最小值，从而要使()f x 有两个零点，则()f x 最小值小于0，得到a 的范围，再利用零点存在定理证明所求的a 的范围符合题意；（2）利用分析法，要证1212x x x x <+⋅，将问题转化为证明()()112ln f x f a x <-，设函数()()()2ln g x f a x f x =--，利用导数研究()g x 的单调性，从而进行证明.【详解】函数()()1xf x e a x =--，所以()xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，()f x 至多只有一个零点，不符合题意，当0a >时，由()0f x '=得ln x a =，所以(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以ln x a =时()f x 取得极小值，也是最小值，()f x 要有两个零点，则()ln 0f a <，即()2ln 0a a -<，解得2a e >， 所以ln 2a >，当1ln x a =<时，得()10f e =>，当2ln ln x a a =>时，()()22ln 2ln 2ln 1f a a a a a a a a =-+=-+，设()2ln 1a a a ϕ=-+，则()2210a a a aϕ-'=-=> 所以()a ϕ单调递增，则()()22140a eeϕϕ>=+->，所以()()2ln 2ln 10f a a a a =-+>，所以()f x 在区间()1,ln a 上有且只有一个零点，在()ln ,2ln a a 上有且只有一个零点， 所以满足()f x 有两个零点的a 的取值范围为2()e +∞. （2）1x 、2x 是()f x 的两个零点，则()()120f x f x ==， 要证1212x x x x <+⋅，即证()()12111x x --<， 根据()()120f x f x ==， 可知()111xe a x =-，()221x ea x =-，即证()()12122111x x e x x a+--=<， 即证122x x e a +<，即证122ln x x a +<， 即证212ln x a x <-， 设1ln x a <，2ln x a >，由（1）知()f x 在()ln ,a +∞上单调递增， 故只需证明()()212ln f x f a x <-，而()()21f x f x =，所以只需证()()112ln f x f a x <- 令()()()2ln g x f a x f x =--，且ln x a <所以()222ln x x a g x e ax a a e =-+-，ln x a <，()22222x x xx xa a e ae g x e a e e+-'=--+=- ()20x xe a e-=-<所以()g x 在(),ln a -∞上单调递减，所以()()()()ln 2ln ln ln 0g x g a f a a f a >=--=， 所以()()2ln f a x f x ->在(),ln a -∞上恒成立， 所以()()112ln f a x f x ->， 故原命题得证. 【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的范围，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，构造函数证明不等式问题，属于中档题.22．(1) min d =(2) 121MA MB t t ⋅==. 【解析】试题分析：（1）椭圆上的点坐标可以设为参数形式),sin Pαα，表示出点线距求最值即可；（2）考查直线参数方程的定义，12MA MB t t ⋅=联立直线参数方程和椭圆方程，得到关于参数的二次，根据韦达定理得结果． （1）设点),sin Pαα，则点P 到直线l 的距离为d ==， ∴当sin 13πα⎛⎫-=⎪⎝⎭时，31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时min d =（2）曲线C 化为普通方程为：2213x y +=，即2233x y +=，直线1l的参数方程为21,2.2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2233x y +=化简得：2220t -=，得121t t =-，∴121MA MB t t ⋅==.点睛：第一问考查的是点到面的距离，参数方程的一个很重要的应用就是求函数最值，设出P 点坐标的参数方程形式，最终转化为三角函数的求最值问题；第二问考查是直线参数方程中t的几何意义．答案第19页，总19页。
高三数学暑假第一次返校考试试题 理
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————厦门双十中学2019年高三上理科数学第一次返校考考卷一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|1A x x =<，{}|31x B x =<，则（ ） A ．{}|0A B x x =< B ．A B R = C ．{}|0A B x x =< D ．AB =∅2.已知函数()f x 的图象如图，'()f x 是()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A ．0'(2)'(3)'(3)'(2)f f f f <<<-B ．0'(3)'(2)'(3)'(2)f f f f <<<-C ．0'(3)'(2)'(2)'(3)f f f f <-<<D ．0'(3)'(3)'(2)'(2)f f f f <<-<3.下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）A ．y =．tan y x = C ．1y x x=+D ． x x y e e -=- 4.已知函数()f x 满足11()()2f f x x xx+-=（0x ≠），则(2)f -=（ ） A ．72 B ．92 C.72- D ．92-5.定义运算a b *，()()a ab a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，例如121*=，则函数12xy =*的值域为（ ）A ．(0,1)B ．(,1)-∞ C.[1,)+∞ D ．(0,1]6.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，[]()g x x =为取整函数，0x 是函数2()ln f x x x=-的零点，则0()g x 等于（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．47.已知：命题p :若函数2()||f x x x a =+-是偶函数，则0a =；命题q ：(0,)m ∀∈+∞，关于x 的方程2210mx x -+=有解.在○1p q ∨；○2p q ∧；○3()p q ⌝∧；○4()()p q ⌝∨⌝中真命题的是（ ）A ．○2○3B ．○2○4 C. ○3○4 D ．○1○48.若2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ） A ．[1,2) B ．[1,2] C.[1,)+∞ D ．[2,)+∞9.函数sin ()ln(2)xf x x =+的图象可能是（ ）A ．B ． C. D ． 10.已知函数41()2xf x x e =+-（0x <）与4()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．(-∞B ．(-∞ C.( D ．( 11.已知函数2()(21)x f x ae x a x =-++，若函数()f x 在区间(0,ln 2)上有最值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0)- C.(2,1)-- D ．(,0)(0,1)-∞12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(,2)-∞- C.(1,)+∞ D ．(,1)-∞-13.已知函数,0(),0x e x f x ax x ⎧≥=⎨<⎩，若方程()()f x f x -=有五个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ） A.(1,)+∞ B.(,)e +∞C.(,)e -∞-D.(,1)-∞-14.已知函数2()sin 20191xf x x =++，其中'()f x 为函数()f x 的导数，求(2018)(2018)'(2019)'(2019)f f f f +-++-=（ ）A.2B.2019C.2019D.0二、填空题（每题6分，满分30分，将答案填在答题纸上）15.《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在. 皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的 条件（将正确的序号填入空格处）． ○1充分条件○2必要条件○3充要条件○4既不充分也不必要条件 16.若3()ln(1)xf x eax =++是偶函数，则a = ．17.函数21()log (2)3xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,1]-上的最大值为 ．18.已知函数()2sin f x x x =-，若正实数a ，b 满足()(21)0f a f b +-=，则14a b+的最小值是 ．19.已知函数()2xf x x =+，()lng x x x =+，()1h x x =-的零点分别为1x ，2x ，3x ，则1x ，2x ，3x 的大小关系是 （由小到大）．20.如图所示，已知函数2log (4)y x =图象上的两点A ，B 和函数2log y x =图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当ABC ∆为正三角形时，点B 的横坐标为 ．三、解答题 （本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21. 已知311()12xf x x a ⎛⎫=+.⎪-⎝⎭（0a >，且1a ≠）. （1）讨论()f x 的奇偶性；（2）求a 的取值范围，使()0f x >在定义域上恒成立. 22. 已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，曲线2y x=与抛物线C 交于点P PF x ⊥轴.（1）求p 的值；（2）抛物线的准线交x 轴交于点Q ，过点Q 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，求AB 的中点M 的轨迹方程. 23.已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：若5a <，则对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，有1212()()1f x f x x x ->--.24.已知函数()(1)xf x bx e a =-+（a ，b R ∈）.（1）如果曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，求a 、b 值；（2）若1a <，2b =，关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ADDAD 6-10:BDAAA 11-14：AACA 二、填空题15.① 16.32-17.3 18.9+19.123x x x <<三、解答题21.解：（1）由于10xa -≠，则1xa ≠，得0x ≠， 所以函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠ 对于定义域内任意x ，有311()()12x f x x a -⎛⎫-=+- ⎪-⎝⎭311()12xx a⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭ 3111()12x x a ⎛⎫=--+- ⎪-⎝⎭311()12x x f x a ⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭∴()f x 是偶函数（2）由（1）知()f x 是偶函数，∴只需讨论0x >时的情况，当0x >时，要使()0f x >，即311012xx a ⎛⎫+>⎪-⎝⎭， 即11012x a +>-，即102(1)x xa a +>-，则1x a > 又∵0x >，∴1a >.因此当a 的取值范围为(1,)+∞时，()0f x > 22.解：（1）(,0)2pF ，设00(,)P x y ，则 2000022y px y x⎧=⎪⎨=⎪⎩0x ⇒=∵PF x ⊥轴 ∴02p x =，∴2p =2p = （2）由（1）知，抛物线C 的方程为24y x =，所以点(1,0)Q -设直线AB 的方程为1x ny =-，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，(,)M x y214x ny y x=-⎧⎨=⎩ 消去x ，得方程2440y ny -+=.121244y y n y y +=⎧⎨=⎩，22161601n n ∆=->⇒> 因为M 为AB 的中点，所以221222121212()244211,2822y y y y y y x n y y y n ⎧+⎪+-===->⎪⎨⎪+==⎪⎩消去n 得，222y x =+（1x >）.所以点M 的轨迹方程为222y x =+（1x >）. 23.（1）()f x 的定义域为(0,)+∞.211(1)(1)'()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-=-+==.（i ）若11a -=即2a =，则2(1)'()x f x x-=，故()f x 在(0,)+∞上单调递增.（ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <； 当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，故()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1)a -，(1,)+∞单调递增.（iii ）若11a ->即2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1)，(1,)a -+∞单调递增.（2）考虑函数21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+，则21'()(1)(1)11)a g x x a a x -=--+≥-=- 由于15a <<，故'()0g x >，即()g x 在(4,)+∞单调增加，从而120x x >>时有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--，当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---24.（1）函数()f x 的定义域为R ，'()(1)(1)xxxf x be bx e bx b e =+-=+-因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，所以(0)0,'(0)1,f f =⎧⎨=⎩得10,10,a b -=⎧⎨-=⎩解得1,2,a b =⎧⎨=⎩（2）当2b =时，()(21)xf x x e a =-+（1a <）， 关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，等价于关于x 的不等式(21)0xx e a ax -+-<的整数解有且只有一个. 构造()(21)xF x e x a =+-①当0x ≥时，因为1xe ≥，211x +≥，所以(21)1xe x +≥，又1a <，所以'()0F x >，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增.因为(0)10F a =-+<，(1)0F e =>，所以在[0,)+∞上存在唯一的整数00x =使得0()0F x <即00()f x ax <②当0x <时，为满足题意，函数()F x 在(,0)-∞内不存在整数使()0F x <，即()F x 在(,1]-∞-上不存在整数使()0F x <.因为1x ≤-，所以(21)0xe x +<.当01a ≤<时，函数'()0F x <，所以()F x 在(,1)-∞-内为单调递减函数，所以(1)0F -≥，即312a e≤< 当0a <时，3(1)20F a e-=-+<，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围为3[,1)2e。
2019届厦门一中高三暑期自学检测一(理科)数学试卷含答案
20.（12 分） 某校高三数学备课组为了更好的制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研．从上学 期期末数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学 为“过关”，出了错误的同学认为“不过关”．现随机抽查了年级 50 人，他们的测试成绩的频数分 布如下表： 期末分数段 人数 “过关”人数 （0,60） [60,75） [75,90） [90,105） 5 1 10 2 15 9 10 7 [105,120） [120,150] 5 3 5 4
OD AB 于 D ，若点 D 的坐标为 2,1 ，则抛物线方程为
A. y 2
5 x 4
B. y 2
5 x 2
C. y 2 5 x
D. y 2 10 x
10．如图：正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1 ， E , F 分别是棱 A1B1 , CD 的 中点，点 M 是 EF 的动点， FM x ，过点 M 、直线 AB 的平面将正方体分 成上下两部分，记下面那部分的体积为 V ( x) ，则函数 V ( x) 的大致图像是
1 x ,x 0 2 12. 已知函数 f ( x) ，则方程 f (2 x x) a （ a 2 ）的根的个数不可能为 x 3 x 3, x 0
A．3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．若等比数列 an 的各项均为正数，且 a5 9 ，则 log3 a1 log3 a2 ... log3 a9 小球编号与盒子编号不一致 的数目，则 的数学期望是 ．．． 15．给出下列四个推理： ①由“若数列 {an } 是等差数列， 则数列 {an1 an } 也是等差数列”得到“若数列 {bn } 是等比数列， 则数 列 {bn 1 bn } 也是等比数列”； ②由“ 1 1 ,1 3 2 , 1 3 5 32 L L ”得到“ 1 3 5 L (2n 1) n2 ”；
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2019届福建省厦门双十中学高三暑假第一次返校考
试数学（理）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则
A．B．
C．D．
2. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确是（）
A．
B．
C．
D．
3. 下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（）
D．
A．B．
C．
4. 已知函数满足，则
A．B．
C．D．
5. 定义运算，，例如，则函数的值域为（）
A．B．C．D．
6. 已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数
的零点，则等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
7. 已知：命题若函数是偶函数，则.命题
，关于的方程有解，在①；②；
③；④中为真命题的是（）
A．②③B．②④C．③④D．①④
8. 若f(x)=ln(x2-2ax+1+a)在区间上递减,则实数的取值范围为
（）
A．B．C．D．
9. 函数的图象可能是（）
A．B．
C．D．
10. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）
A．
B．
C．D．
11. 已知函数，若函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
12. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则
的取值范围是
A．B．C．D．
13. 已知函数，若方程有五个不同的根，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
14. 已知函数，其中为函数的导数，求
（）
A．B．C．D．
二、填空题
15. 《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处).
①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件
16. 若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________．
17. 函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
18. 已知函数，若正实数满足，则
的最小值是__________．
19. 已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为
x 1，x
2
，x
3
，则x
1
，x
2
，x
3
的大小关系是________(由小到大).
20. 如图所示，已知函数图象上的两点和函数图象上的点，线段平行于轴，当为正三角形时，点的横坐标为
______.
三、解答题
21. 已知函数f(x)＝x3(a>0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)讨论函数f(x)的奇偶性；
(3)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．
22. 已知抛物线的焦点为，曲线与抛物线交于点
轴.
（1）求的值；
（2）抛物线的准线交轴交于点，过点的直线与抛物线交于两点，求的中点的轨迹方程.
23. 已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，，
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对任意x，x，x x，有
．
24. 已知函数（，）.
（1）如果曲线在点处的切线方程为，求、值；
（2）若，，关于的不等式的整数解有且只有一个，求的取值范围.。