九年级数学上册 第四章 图形的相似知识点归纳 (新版)北师大版.doc
九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件重点解读判定三角形相似素材北师大版
判定三角形相似1．平行线型：在图1、图2中，若DE//BC ，则△ADE∽△ABC。
我们称这两种图形为平行线型的基本图形.更形象地说，图1是“A”型图，图2是“X”型图，它们的特点是对应边、对应角、对应顶点比较明显.例1 如图3，已知OM∶MP＝ON∶NR，试说明△PQR 为等腰三角形．解:本题中出现的比例式中有三条线段OM 、MP 、ON 构成一个不完整的平行线型相似三角形，因此，可通过N 作NS//MP 交OR 的延长线于S ，这样就构成图1的平行线型相似三角形，即△OMP∽△ONS，则NS ON MP OM =。
由已知得NR ON MP OM =，所以NRON NS ON =，故NS=NR 。
同理，由图2可判定△RNS∽△RQP，所以QPNS QR NR =。
故QR=QP ，所以△PQR 为等腰三角形。
2.相交线型：在图4、图5、图6中，若∠1=∠B，则△ADE∽△ABC。
我们称这三种图形为相交线型的基本图形.它们的特点是有一个公共角或等角。
例2 如图7，已知△ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别是AB 、AC 上的两点,且AD·AB=AE·AC，则ED⊥AB，为什么？解:由于△ABC 和△AED 有一对公共角∠A,且AD·AB=AE·AC ，即ABAE AC AD =，所以△ABC∽△AED.所以∠ADE=∠C=90°.因此ED⊥AB。
3．旋转型:在图8中，若∠1=∠2，∠B=∠D,则△ADE∽△ABC.我们称这种图形为旋转型的基本图形。
例3 如图9，已知∠BAD＝∠CAE＝∠ODC，则△ABC与△ADE相似吗？为什么？分析：本题的条件只有角之间的关系，所以可考虑运用“两角对应相等的两个三角形相似”来判定．解：因为∠BAD＝∠CAE，所以∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE．因为∠ODC＝∠CAE，∠DOC＝∠EO A，所以180°－（∠ODC＋∠DOC)＝180°－（∠CAE＋∠EOA），即∠C＝∠E．所以△ABC∽△ADE.小结:解决相似三角形问题，从识别图形的角度来看，就是要善于排除干扰、抓住本质，从复杂的图形中分解出上述基本图形.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳
北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳第四章图形的相似一、成比例线段1、定义：（1）、线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n.（2）、成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。
2、定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b二、平行线分线段成比例1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交。
截得的线段成比例。
三、相似多边形定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
四、探索三角形相似的条件1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
五、相似三角形判定定理的证明六、利用相似三角形测高1、利用阳光下的影子2、利用标杆3、利用镜子的反射七、相似三角形的性质1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。
2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
八、图形的位似定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都经过同一个点O，且有OP1=k*OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。
实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 利用两边及夹角判定三角形相似
BC AB 4
44
想一想
如果 △ABC 与 △A'B'C' 两边成比例，且其中
一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？
小明和小颖分别画出了如图所示的三
角形.由此你能得到什么结论?
4 cm 3.2 cm
如果两个三角形两边对应成比例， 50°
但相等的角不是两条对应边的夹角，
那么两个三角形不一定相似，相等的 2 cm 1.6 cm
A
∴ AB AE . 又∵∠DAB =∠CAE， D AC AD
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
即∠DAE =∠BAC .
B
∴ △ABC ∽△AED .
E C
解：∵ AB 7， AC 14 = 7， ∴ AB AC .
A' B' 3 A'C' 6 3
A' B' A' C'
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
练一练
1. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD = AE，
AB = AC，∠DAB = ∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
(×)
(3) 两个等腰直角三角形相似
(√)
(4) 有一个角是 50° 的两个等腰三角形相似 (×)
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，
使 △ABC ∽ △DBA 的条件 ( D )
A
A. AC : BC=AD : BD
B. AC : BC=AB : AD
C. AB2 = CD ·BC D. AB2 = BD ·BC → AB BC
北师大版数学九年级上册第四章《图形的相似》重点题型归纳.doc
阶段强化专题训练专题一：平行线分线段成比例常见应用技巧类型一证比例式技巧1中间比代换法证比例式1.如图，已知在AABC中，点D, E, F分别是边AB, AC, BC 上的点，DE〃BC, EF〃AB.An np(1)求证：—:(2)若AD:DB二3:5,AB BC技巧2等积代换法证比例式2.如图，在Z\ABC中，D是AB上一点，E是AABC 内一点，DE〃BC,过D作AC的平行线交CE的延长线于F, CF与AB交于P.求证:PE PA类型3 证比例和为1技巧5同分母的中间比代换法5.如图，已知AC 〃FE 〃BD.求证：AE BE ,--- + ——=1AD BC技巧3等比代换法证比例式3.如图,在AABC 中,DE/7BC, EF〃CD,求类型2证线段相等技巧4等比过渡证线段相等(等比例过渡法)4.如图，在Z\ABC 中，ZACB二90° , ZB>Z A,点D为边AB的中点，DE〃BC交AC于点E, CF〃BA交DE的延长线于点F.(1)求证：DE=EF； (2)连结CD,过点D作DC 的垂线交CF的延长线于点G,求证：ZB= ZA+ZDGC. 求CF:CB的值.AD AF 证：------- = ----专题二：证明相似三角形的方法名师点金要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)己知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等吋，判断三边是否对应成比例；(3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”.• • •方法1利用边或角的关系判定两直角三角形相似1.下面关于直角三角形相似叙述错误的是 ()A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C.有一条直角边相等的两个直角三角形相似D.两个等腰直角三角形相似2.如图，BC丄AD,垂足为C, AD二6. 4, CD=1. 6,BC=9. 3, CE=3. 1.求证：AABC^ADEC.方法2利用角判定两三角形相似3.如图，AABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE 交于点 E. (1)求证：△ABDs/\CED； (2)方法3利用边角判定两三角形相似4.如图,AB=3AC, BD=3AE,又BD/7AC，点B, A,E在同一条直线上.求证：△ABDs^CAE.方法4利用三边判定两三角形相似5.如图，AD是△ABC的高，E, F分别是AB,ADEF^AABC.专训三巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题吋，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类儿何证明题的一种重要方法.常作的辅助线有以下儿种：（1）由比例式作平行线；（2）有中点吋，作中位线；（3）根据比例式，构造相似三角形.训练角度1巧连线段的中点构造相似三角形1.如图，在Z\ABC中，E, F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE, AF 于点P, Q,求BP:PQ:QD・A训练角度2 过顶点作平行线构造相似三角形2.如图，在AABC中，AC=BC, F为底边AB 上一点，BF:AF = 3:2,取CF的中点D,连接AD并延长交BC于点E,求BE:EC的值. 4.如图，在厶ABC中,AB>AC,在边AB上取一点D,在AC上取一点E,使AD = AE,直线DE和BC 的延长线交于点P.求证: BP:CP=BD:EC.训练角度4 过一点作平行线构造相似三角形5.如图，在AABC中，点M为AC边的中点, 点E为八B上一点，且八E二丄AB,连接EM并4延长交BC的延长线于点D.求证：BC = 2CD. 作辅助线的方法一：作辅助线的方法二:3.如图，过AABC的顶点C任作一直线，与边AB 及中线AD分别交于点F和点E.求证:AE:ED=2AF:FB・训练角度3 过一边上的点作平行线构造相似三角形作辅助线的方法四: 作辅助线的方法三:9.如图，在口ABCD 中,AM 丄BC, AN 丄CD,垂 足分别为M, N.求证：全章整合提升密码专训一：证比例式或等积式的技巧 名师点金证比例式或等积式，若遇问题小无平行线或 相似三角形时，则需构造平行线或相似三角 形，得到等比例线段；若比例式或等积式中 的线段分布在两个三角形或不在两个三角 形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它 们转化到两个三角形中再证两三角形相似， 若在两个明显不相似的三角形中，可运用中 I'可比代换.技巧1构造平行线法1.如图，在AABC 中，D 为AB 的中点，DF技巧3构造相似三角形法5.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB,交AC 于点E,交BC 的延长线于点F, 求证：AE ・CF=BF ・EC.技巧4等比过渡法6.如图，在ZkABC 中,AB=AC, DE//BC,点 F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G,且ZEDF =Z ABE.求证：⑴△ DEF s △ RDE ；⑵ DG ・ DF = DB ・EF.2.如图，已知Z\ABC 的边AB 上有一点D,边 BC的延长线上有一点E,且AD=CE, DE 交 AC 于点F,试证明：AB ・DF=BC ・EF.7.如图，CE 是RtAABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P,连接AP,作BG 丄AP 于点G,技巧2三点找三角形相似法3.如图，在°ABCD 中，E 是AB 延长线上的一 点，DE 交BC 于F. 求证: DC_CFAE =AD*技巧5 8.如图，高，ZABC 的平分线BE 交AC 于E,交AD 于 卜.求证：BE _BC ，两次相似法在航△八BC 中，AD 是斜边BC 上的 4.如图，在△ABC 中，ZBAC=90° , M 为 BC 的中点，DM 丄BC 交CA 的延长线于D,交AB 于 E.求证：AM 2=MD • ME.AC 于点M, N.D(1) AAMB^AAND； (2)鑒=x-lD技巧6等积代换法10.如图,在ZkABC 中，AD丄BC 于D, DE1AB 于E, DF丄AC于F.求证：普=話A卜AB技巧7等线段代换法11.如图，等腰AABC 中，AB=AC, AD丄BC 于点D,点P是M）上一点，CF〃八B,延长BP交AC 于点E,交CF于点F,求证：BP2 =PE • PF.12.已知：如图，AD平分ZBAC, AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证：PD2=PB - PC・MNAC专训二巧用“基本图形”探索相似条件名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法.相似三角形的四类结构图：1.平行线型训练角度3子母型3.如图，在Z\ABC 中，ZBAC = 90° , AD丄BC于点D, E为AC的中点，ED的延长线交ABAR DR的延长线于点F.求证：話=环.训练角度4 旋转型4.如图，已知ZDAB=ZEAC, ZADE=ZABC. 求证：(1)Z\ADE S/\ABC； (2)学=架.AE CE训练角度1平行线型1.如图，在ZXABC中，BE平分ZABC交AC 于点E,过点E作ED〃BC交AB于点D. (1) 求证：AE ・BC=BD ・ AC； (2)如果S ZSADE=3,S ABDE=2, DE=6,求BC 的长.训练角度2 相交线型2.如图，点D, E分别为AABC的边AC, AB 上的点，BD, CE交于点0,且器=怜，试问AADE与AABC 相似吗？请说明理由.3.子母型A4.旋转型B C2.相交线型C DB专训三利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金: 判断两线段之间的数量和位置关系是几何屮的基本题型z—.由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法.训练角度1 证明两线段的数量关系类型1:证明两线段的相等关系1.如图，已知在AABC中，DE〃BC, BE与CD 交于点0,直线A0与BC边交于点M,与DE2.如图，一直线和AABC的边AB, AC分别交于点D,E,和BC的延长线交于点F,且AE:CE = BF:CF.求证：AD = DB.类型2证明两线段的倍分关系3.如图，在AABC中，BD丄AC于点D, CE丄AB 于点E, ZA=60° ,求证：DE=*BC. 训练角度2 证明两线段的位置关系类型证明两线段平行5.如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD, DE丄CD, DE=CD, 连接CE, AE.求证：AE〃BC・6.在AABC 中,D, E, F 分别为BC, AB, AC 上的点，EF//BC, DF〃AB,连接CE 和AD,分别交DF, EF于点N, M.(1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论；⑵如图②，若E不为AB的屮点，写出与MN 平行的直线，并证明.类型2证明两线垂直7.如图，在AABC中,D是AB上一点,AC2&如图，已知矩形ABCD, AD=|AB,点E, F 把AB 三等分，DF交AC于点G,求证：EG丄DF.4.如图，AM为AABC的角平分线，D为AB 的屮点,CE〃AB,CE交DM的延长线于E.求证：AC=2CE.专训四 巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相 似图形的所有性质，位似图形必须具备三个 条件：（1）两个图形相似；（2）对应点的连线 相交于一点；（3）对应边互相平行或在同一 直线上.类型1三角形的内接正三角形问题 1•如图，用下血的方法可以画AAOB 的内接 等边三角形，阅读后证明相应问题.画法:①在AAOB 内画等边三角形CDE,使点 C 在0A 上，点D 在0B 上;②连接0E 并延长, 交AB于点E'，过点E'作E‘ C‘ 〃EC,交 0A 于点C'，作E‘ D' 〃ED,交0B 于点D'； ③连接C‘ D'，则2 D' E'是ZkAOB 的内 接等边三角形.求证：△（/ D‘ E'是等边三角形.类型2 三角形的内接矩形问题2.求作：内接于已知AABC 的矩形DEFG,使它 的边EF 在BC 上,顶点D, G 分别在AB, AC 上, 并且有 DE : EF=1 : 2.类型3 三角形的内接正形问题（方程思想）3.如图,AABC 是一块锐角三角形余料，边 BC= 120mm ,高AD 二80mm ,要把它加工成正方 形零件，使正方形的一边QM 在BC 上，其余 两个顶点P,N 分别在AB, AC 上，则这个正方 形零件的边长是多少？在 AB , AC , BC 上，且 DE //BC , AQ 交 DE 于 点 P.求证：DP ： BQ=PE ： QC.（2）在AABC 中,ZBAC =90°，正方形 DEFG 的四个顶点在AABC 的边上，连接AG ,AF , 分别交DE 于M ,N 两点.① 如图②，若AB=AC=1,直接写出MN 的长； ② 如图③，求证:MN 2 =DM ・EN.B专训五：图形的相似中的五种热门考点 名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点 考查内容之一，而对于成比例线段、相似三 角形的判定与性质、位似图形等都是命题的 热点.考点一：比例线段及性质1. 下列各组长度的线段，成比例线段的是 () A. 2 cm, 4 cm, 4 cm, 8 cm B. 2 cm, 4 cm, 6 cm, 8 cmC. 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cmD. 2. 1 cm, 3. 1 cm, 4. 3 cm, 5. 2 cm c “a b c d …“a+b + c + d2-若厂厂厂汙则—c —=3. 如图，乐器上的一-根弦AB=80 cm,两个端点A, B 固定在乐器板面上，支撑点C 是 靠近点B 的黄金分割点，则支撑点C 到端点 A 的距离约为 ___________ ・(&~2. 236,结果 精确到0.01)AC B考点二：平行线分线段成比例4. 如图，若AB 〃CD 〃EF,则下列结论中，与BC D — BEABC =60° ,以AC 为边向三角形外作正方形 ACDE,连接 BE 交 AC 于 F,若 BF=p5 cm, 则 EF=5.如图, 在 RtAABC 中，ZACB=90°AI) 环相等的是(CD EFA6.如图，在AABC 屮，AM : MD=4 : 1, BD : DC=2 : 3,求AE : EC 的值.考点三相似三角形的性质与判定7.己知△ABCs^DEF,若ZXABC 与Z\DEF 的相似比为3 : 4,则△八BC与ZXDEF 的面积之比为( ) A.4:3 B.3:4 C. 16:9D.9:16&在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE : ED = 3 ： 1, CE的延长线与BA的延长线交于点F,贝|J S AA EF : S四边形ABCE为( ) A. 3 ： 4 B. 4 ： 3 C. 7 ： 9 D. 9 ： 79.若两个相似多边形的面积Z比为1 ： 4,周长之差为6,则这两个相似多边形的周长分另I」是______ .10.如图，AABC是直角三角形，ZACB = 90° , CD 丄AB于D, E是AC的中点,ED的延长线与CB 的延长线交于点F.⑴求证：FD'=FB・FC； (2)若FB = 5, BC =4,求FD的长.11.如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分ZDBC交DC于点E,点F是BC 的延长线上一点，且CE=CF, BE的延长线交DF于点M.(1)求证：BM丄DF；(2)若正方形ABCD的边长为2,求ME・MB.考点四12.—天晚上，李明和张龙利用灯光下的影了长来测量一路灯的高度CD.如图，当李明⑵连接⑴中的AA',求四边形AA‘ C' C 的周长.（结果保留根号）走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB = 1.25 m,已知李明直立时的身高为1.75 m,求路灯的高度CD.（结果精确到0. 1 m）// 1 // • :M// \ / ■■」E A B C13.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示,其中BA=CD, BC=20 cm, BC, EF 平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm, 8 cm.为使板凳两腿底端A, D之间的距离为50 cm,那么横梁EF的长应为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）A D考点五图形的位似14.如图，已知正方形ABCD,以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A' B/C‘ D',则点C'的坐标为. 15.如图，在6X8的网格图中，每个小正方形的边长均为1,点0和AABC的顶点均在小正方形的顶点上.（1）以0为位似中心,在网格图中作AA，B z C'和△ABC位似，且相似比为1 ： 2；相似三角形的应用专训六全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是屮考的髙频考点.其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧.考点一：3个概念概念1：成比例线段1.下列各组线段，是成比例线段的是()A. 3cm, 6cm,7cm,9cmB. 2cm,5cm,0.6dm, 8cmC・ 3cm, 9cm, 1. 8dnb 6cm D. icm, 2cnb 3cm, 4cm2.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m,在图纸上，这条边的长为5cm,其他两条边的长都为4cm,则其他两边的实际长度都是___________ m.概念2：相似多边形3.如图，已知Z1' =Z1, Z2‘ =Z2, Z 3' =Z3, Z4‘ =Z4, ZD' =ZD,试判断四边形"B z C‘ D z 与四边形ABCD是否相似，并说明理由.概念3：位似图形4.如图，在AABC屮，A, B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(一1, 0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把AABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是AA' B' C.设点B的对应点L的坐标是(a, b),求点B的坐标.A j y/\ 1-o !7考点二：2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5.如图，在RtAABC 中，ZA=90° , AB=8, AC=6.若动点D从点B岀发，沿线段BA运动到点A 为止，运动速度为每秒2个单位长度.过点D 作DE〃BC交AC于点E,设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范圉；(2)当x为何值时，ABDE的面积有最大值, 最大值为多少？性质2：相似三角形的性质6.如图，已知D是BC边上的中点，且AD=AC, DE丄BC, DE 与BA 相交于点E, EC 与AD相交于点F.(1)求证：AABC^AFCD； (2)若S AFCD=5,BC=10,求DE的长.考点三：1个判定一一相似三角形的判定7.如图，AACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD, DE丄CD, DE=CD, 连接AE,过C作C0±AB于0.求证：△八CE s/XOCD.8.如图,在00的内接AABC中，ZACB= 90° , AC=2BC,过点C作AB的垂线/交00 于另一点、D,垂足为点E.设P是上异于点A,C的一个动点，射线AP交/于点F,连接PC 与PD, PD 交AB 于点G. (1)求证：Z\PACs △PDF；(2)若AB = 5,弧八卩=弧!3卩，求PD 的长.考点四：2个应用应用1：测高的应用9.如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB,在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m,此时树的影子有一部分落在地而上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m,那么这棵树的高度是多少？例的技巧12.如图，已知AABC, ZB AC的平分线与Z DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P, Q.⑴求ZPAQ的度数;（2）若点M为应用2：测宽的应用10.如图，一条小河的两岸有一段是平行的, 在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度.考点五：1个作图一一作一个图形的位似图形11.如图，在方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位长度）有一点0和AABC.请以点0 为位似中心，把AABC缩小为原来的一半（不改变方向），画出AABC的位似图形.考点六：1个技巧一一证明四条线段成比IIIIIIIIIIIII r-i-7-r->-T-rn-r-rn-r-i。
2022年九年级数学上册 第四章 图形的相似知识点归纳 (新版)北师大版
第四章 图形的相似1 成比例线段2 平行线分线段成比例3 相似多边形4 探索三角形相似的条件*5 相似三角形判定定理的证明6 利用相似三角形测高7 相似三角形的性质8 图形的位似一. 成比例线段※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nm B A =. ※2. 四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即d c b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段.※3. 注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍;②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b 之外,a:b ≠b:a,b a 与a b 互为倒数; ⑤比例的基本性质:若dc b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则d c b a = ※1. 如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.0215:≈-=AB AC ※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.二．平行线分线段成比例※1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图2, l 1 // l 2 // l 3,则EFBC DE AB =. 三. 相似多边形 ¤1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形. ※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.四. 探索三角形相似的条件 _ 图1 _ B _ C _ A _ 图2_ F _ E _ D _ C _ B _ A _ l _3 _ l _2_ l _1※1.在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.※4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.※5. 相似三角形周长的比等于相似比.※6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.※1. 相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所①两角对应相等;②两边对应成比例,且夹角相等;③三边对应成比例. ①一个锐角对应相等;②两条边对应成比例:a. 两直角边对应成比例;b.斜边和一直角边对应成比例.※3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.八. 图形的位似※1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比.※2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.◎3. 位似变换:①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.。
北师版初三数学上册第四章相似图形知识点讲解
九年级（上）第四章图形的相像(1)形态一样的图形叫相像图形，在相像多边形中，最简洁的是相像三角形.(2) 相像多边形：假如两个边数一样的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相像多 边形．相像多边形对应边长度的比叫做相像比．一．成比例线段（1）线段的比假如选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）成比例线段在四条线段d c b a ,,,中，假如b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有依次的，假如说a ,d c b ,,成比例，那么应得比例式为：b a =dc ． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,假如b=c ，即 a b bd =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
③推断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小依次排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（留意性质立的条件：分母不能为0） 根本性质：① a:b=c:d 则有 ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；② ②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）合、分比性质：a c abcd b d b d ±±=⇔=． （4）等比性质：假如)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以削减未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③ 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． （4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k 法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 留意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不行能 有AD,BE,CF 的比例关系（2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
九年级数学上册第四章图形的相似3相似多边形帮你认识相似多边形素材北师大版
帮你认识相似多边形1.定义：各角都相等,各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形．注意：这个定义有两个功能:一方面，如果两个多边形的角都对应相等,且边都对应成比例，我们就可以判定这两个多边形相似;另一方面,如果两个多边形相似，那么它的对应角一定相等，对应边一定成比例,这是相似多边形的本质特征,用它可以解决一些有关问题．2.相似多边形的表示与相似比：'''''相似，记作若五边形相似多边形的表示方法：若五边形ABCDE与五边形A B C D E'''''．ABCDE∽五边形A B C D E相似多边形对应边的比叫做相似比．注意：（1）“多边形”的“多"字包括3个或3个以上的所有自然数，所以有了相似多边形的定义，就不必再重新定义“相似三角形"、“相似四边形"……．（2）我们前面学习过图形的全等，其实是相似的一个特例，全等图形是相似比为1的相似图形．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
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北师版初三数学上册第四章相似图形知识点讲解.教案资料
.
（ 2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形
.
（ 3） 位似图形的对应边互相平行或共线 .
（ 4） 位似多边形对应顶点到位似中心的距离之比等于位似比
3. 画位似图形的一般步骤：
（ 1） 确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）
（ 2） 分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）
两个直角三角形相似．
(3) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．一共产生
三对相似三角形
那么这
（三）射影定理 ：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边 是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
A
如图， Rt △ ABC中，∠ BAC=90°， AD是斜边 BC 上的高，
简称比例线段．
注：①比例线段是有顺序的，如果说
a , b,c, d 成比例，那么应得比例式为：
a=c． bd
② 在比例式 a c (a： b c： d )中，a、d 叫比例外项， b、c 叫比例内项 , 如果 b=c，即 bd
那么 b 叫做 a、 d 的比例中项 ， 此时有 b2 ad 。
a：b
b：d
B
2
C
（ 3） 如图：称为“垂直型” （有“双垂直共角型” 、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”
A A
E
）”“三垂直型” ）
E E
B
D
C(D)
B
C
B
A
பைடு நூலகம்
C
(4) 如图：∠ 1=∠ 2，∠ B=∠ D，则△ ADE∽△ ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
D D
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第三节相似多边形
矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH 相似吗？
为什么？
解题秘方：紧扣“相似多边形的
定义”进行说明.
感悟新知
解：不相似. 理由如下：
知1－练
∵在矩形ABCD 中，AB=1.5m，AD=3m，镶在其外围的
木质边框宽7.5cm=0.075m，
知1－练
感悟新知
知1－练
2-1. 如图， 正方形EFGH 的四个顶点分别在正方形ABCD
的四条边上，若正方形EFGH 与正方形ABCD 的相似
比为
35，则ABEE
1 (AE<BE)的值为____2_____
.
感悟新知
知1－练
2-2. 如图是两个相似四边形，求未知边x的长度和角α的大小. 解：∵两个四边形相似， ∴148＝x7，解得 x＝31.5， α＝360°－(77°＋83°＋117°)＝83°.
∴ EF=1.5+2×0.075=1.65(m)，EH=3+2×0.075=3.15(m).
∴AEBF
=
1.5 1.65
=
1101，EAHD
=
3 3.15
=
2201.∵
10 11
≠2201，
∴边框的内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的
矩形EFGH 不相似.
感悟新知
1-1. 图中的三个矩形相似的是( A ) A．甲和丙 B．甲和乙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
知1－练
感悟新知
知1－练
例2 如图4-3-2， 梯形ABCD∽梯形A ′B ′C ′D ′，AD∥BC， A′D′∥B′C′，∠ A= ∠ A′，AD=4，A′D′=6，AB=6， B′C′=12，∠ C=60°.
相似三角形的判定 数学北师大版九年级上册
第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第1课时 相似三角形的判定（1）
类比引入
可否用比较少的条件来判定三角形相似呢？ 类比全等三角形
相似多边形
各角分别相等、各边成比例
相似三角形
三角分别相等、三边成比例
复习回顾
[——北师版 七年级 数学下册 教材P93、P98、P101、P103]
A
C B A'
C' B'
例1 如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，
DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长. A
平行
角相等
△相似
解：∵ DE∥BC，
D
∴∠ADE＝∠B，∠AED=∠C.
B
∴△ADE∽△ABC （两角分别相等的两个三角形相似）.
∴ AD DE .
AB BC
CP AC
3. 如图，画一个三角形，使它与△ABC相似，且相 似比为1:2.
A
E
B
F
C
①取AB、BC的中点 E、F，连接EF. 则△ABC∽△EBF， 且相似比为1:2
3. 如图，画一个三角形，使它与△ABC相似，且相
似比为1:2.
E
A
则△ABC∽△EBF，
且相似比为1:2
B
C
F
②分别延长AB、BC，使EB=2AB，FB=2CB.
AB AC
∴△ABC∽△A′B′C′
B′
A
C A′
C′
例 如图，D，E分别是△ABC的边 AC ，AB上的点，AE＝1.5，
AC＝2，BC＝3，且 AD ，3 求DE的长 .
AB 4
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第五节相似三角形判定定理的证明
三角形相似
转化证明
学习目标
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后习题 作业2 补充:
∴PPCF
=
PE PC
.
∴
PC2=PE·PF.∵
PC=PB，∴
BP2=PE·PF.
感悟新知
知1－练
2-1. 如图在四边形ABCD中，AB=AD.AC与BD交于点E. ∠ADB=∠ACB. 求证：AD2=AC·AE.
感悟新知
证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE. 又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB. 又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB. ∴AABC＝AAEB.又∵AB＝AD，∴AADC＝AADE. ∴AD2＝AC·AE.
判定定理3是利用判定定理2证明的，体现了数学的 转化思想.
感悟新知
知1－练
例 1 如图4-5-1，在四边形ABDC中，AB∥CD，AC⊥CD，
AC=CD，AB= 14CD，E是AC的中点，试说明△ABE∽ △CED. 解题秘方：紧扣相似三角形的三种判定
方法，结合已知条件解决 问题.
感悟新知
知1－练
(1)求证： △ADF∽△DEC； 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠C＋∠B＝180°， ∠ADF＝∠DEC. ∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B， ∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC.
知1－练
感悟新知
知1－练
(2)若AB=8，AD=6 3，AF=4 3，求AE的长.
外一点, 且∠1=∠2，∠3=∠4， 则△ABC与△DBE是 否相似？说明理由.
感悟新知
解：△ABC 与△DBE 相似，理由如下： ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△BAD∽△BCE. ∴BBAC＝BBDE，即BBDA＝BBCE. ∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DBC＝∠2＋∠DBC. ∴∠ABC＝∠DBE.∴△ABC∽△DBE.
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似 4.7相似三角形的性质
7 第1课时 相似三角形中特殊线段的性质知识点 对应高、对应角平分线、对应中线的比1．已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为34，则△ABC 与△DEF 对应角平分线的比为( )A.34B.43C.916D.1692．如图4－7－1，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD ，BE 分别是△ABC 的高和中线，A ′D ′，B ′E ′分别是△A ′B ′C ′的高和中线，且AD ＝4，A ′D ′＝3，BE ＝6，则B ′E ′的长为( )图4－7－1A.32B.52C.72D.923．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 和A ′D ′是它们的对应角平分线，已知AD ＝8 cm ，A ′D ′＝3 cm ，则△ABC 与△A ′B ′C ′的对应高的比为________．4．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，BD 和B ′D ′是它们的对应中线，已知AC A ′C ′＝32，B ′D ′＝4，则BD 的长是________．5．如图4－7－2是一个照相机成像的示意图，如果底片AB 宽40 mm ，焦距是60 mm ，求所拍摄的2 m 外景物的宽CD .图4－7－26．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′且相似比为13，△A ′B ′C ′∽△A ″B ″C ″且相似比为43，则△ABC 与△A ″B ″C ″的相似比为( )A.14B.94C.49D.94或497．如图4－7－3所示，某校宣传栏后面2 m 处种了一排树，每隔2 m 一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3 m 处，正好看到这排树两端的树干，其余的4棵树均被挡住，那么宣传栏的长为________m ．(不计宣传栏的厚度)4－7－3 4－7－48．[2016·安顺] 如图4－7－4，矩形EFGH 内接于△ABC，且边FG 落在BC 上，若AD⊥BC，BC ＝3，AD ＝2，EF ＝23EH ，则EH 的长为________．9．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面示意图如图4－7－5所示．其中BA ＝CD ，BC ＝20 cm ，BC ，EF 平行于地面AD 且到地面AD 的距离分别为40 cm ，8 cm ，为使板凳两腿底端A ，D 之间的距离为50 cm ，那么横梁EF 应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)图4－7－510．如图4－7－6，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC ＝40 cm ，AD ＝30 cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M.(1)求证：AM AD ＝HG BC ；(2)求矩形EFGH 的周长．图4－7－611．如图4－7－7所示，有一侦察员在距敌方200 m 的A 处发现敌人的一座建筑物DE ，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员将食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好能将建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40 cm ，食指的长约为8 cm ，你能根据上述条件计算出敌方建筑物DE 的高度吗？请写出你的推理过程．图4－7－712．一块三角板的一条直角边AB的长为1.5 m，面积为1.5 m2，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两名同学的加工方法如图4－7－8①②所示，请你用学过的知识说明哪名同学的加工方法更好．(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)图4－7－813．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图4－7－9①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD 是△ABC的完美分割线；(2)如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．图4－7－9详解1．A2．D [解析] ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD ，BE 分别是△ABC 的高和中线，A ′D ′，B ′E ′分别是△A ′B ′C ′的高和中线，∴AD A ′D ′＝BE B ′E ′.∵AD ＝4，A ′D ′＝3，BE ＝6，∴43＝6B ′E ′，解得B ′E ′＝92. 3.834.6 5．解：由题意，可知△ABE ∽△DCE ， ∴0.04CD ＝0.062，解得CD ＝43. 答：所拍摄的2 m 外景物的宽CD 为43m.6．C [解析] 设△ABC ，△A ′B ′C ′，△A ″B ″C ″的一组对应边的长分别为x ，y ，z .∵△ABC ∽△A ′B ′C ′且相似比为13，△A ′B ′C ′∽△A ″B ″C ″且相似比为43，∴x y ＝13，y z ＝43，即x ＝y 3，z ＝3y 4， ∴x z ＝49，即△ABC 与△A ″B ″C ″的相似比为49.故选C. 7．6 8．329．解：如图，过点C 作CM ∥BA ，分别交EF ，AD 于点N ，M ，过点C 作CP ⊥AD ，分别交EF ，AD 于点Q ，P .由题意，得四边形ABCM 是平行四边形， ∴EN ＝AM ＝BC ＝20 cm ，∴MD ＝AD －AM ＝50－20＝30(cm)． 由题意知CP ＝40 cm ，PQ ＝8 cm ， ∴CQ ＝32 cm.∵EF ∥AD ，∴△CNF ∽△CMD ，∴NF MD ＝CQ CP ，即NF 30＝3240， 解得NF ＝24(cm)．∴EF ＝EN ＋NF ＝20＋24＝44(cm)． 答：横梁EF 应为44 cm.10．解：(1)证明：(证法一)∵四边形EFGH 为矩形，∴EF ∥GH ，∴△AHG ∽△ABC . ∵AD ⊥BC ，EF ∥GH ，∴AM ⊥HG ， ∴AM AD ＝HG BC；(证法二)∵四边形EFGH 为矩形， ∴EF ∥GH ，∴△AHG ∽△ABC ，△AHM ∽△ABD ， ∴HG BC ＝AH AB ，AM AD ＝AH AB ，∴AM AD ＝HGBC.(2)由(1)得AM AD ＝HGBC.设HE ＝x cm ，则HG ＝2x cm ， ∵AD ⊥BC ，∴DM ＝HE ，∴AM ＝AD －DM ＝AD －HE ＝(30－x )cm.可得30－x 30＝2x 40，解得x ＝12，2x ＝24.故矩形EFGH 的周长为2×(12＋24)＝72(cm)．11．解：如图，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，并延长交DE 于点F .∵BC ∥DE ，∴AF ⊥DE ，∠D ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AFAG，∴DE ＝AF ·BC AG ＝200×0.080.4＝40(m)． 答：敌方建筑物DE 的高度为40 m.12．解：由AB ＝1.5 m ，S △ABC ＝1.5 m 2，得BC ＝2 m. 在题图①中，设甲同学加工的正方形桌面的边长为x m. ∵DE ∥AB ，∴Rt △CDE ∽Rt △CBA ， ∴CD CB ＝DE BA，即2－x 2＝x 1.5，解得x ＝67； 如图，在题图②中，过点B 作BH ⊥AC ，交AC 于点H ，交DE 于点P .AC ＝AB 2＋BC 2＝ 1.52＋22＝2.5(m)， BH ＝AB ·BC AC ＝1.5×22.5＝1.2(m)．设乙同学加工的正方形桌面的边长为y m.∵DE ∥AC ， ∴△BDE ∽△BAC ， ∴DE AC ＝BP BH ，即y2.5＝1.2－y 1.2，解得y ＝3037. ∵67＝3035>3037，即x >y ， ∴x 2>y 2，∴甲同学的加工方法更好．13．解：(1)证明：∵∠A ＝40°，∠B ＝60°， ∴∠ACB ＝80°，∴△ABC 不是等腰三角形． ∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝12∠ACB ＝40°，∴∠ACD ＝∠A ＝40°， ∴△ACD 是等腰三角形．∵∠BCD ＝∠A ＝40°，∠CBD ＝∠ABC ， ∴△BCD ∽△BAC ，∴CD 是△ABC 的完美分割线． (2)由题意得△BCD ∽△BAC ， ∴BC BA ＝BD BC.∵AC ＝AD ＝2，BC ＝2， 设BD ＝x ，则AB ＝x ＋2，∴2x ＋2＝x 2， 解得x ＝－1±3， ∵x ＞0，∴BD ＝x ＝3－1. ∵△BCD ∽△BAC ，∴CD AC ＝BDBC. ∵AC ＝2，BC ＝2，BD ＝3－1，∴CD ＝BD ·AC BC ＝3－12×2＝6－ 2.。
(北师大版数学九上)第四章 图形的相似讲义
第四章图形的相似第1讲相似三角形常见模型一．知识梳理(一)【知识回顾】相似三角的判定方法1.如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．2.如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．3.如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（二）相似三角形基本类型1.平行线型2.相交线型3.子母型4.旋转型二.实战演练训练角度1 平行线型1.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.(1)求证：AE·BC＝BD·AC； (2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．典例分析训练角度2 相交线型2.如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且EOBO＝DOCO，试问△ADE 与△ABC相似吗？请说明理由．训练角度3 子母型3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：ABAC＝DFAF.训练角度4 旋转型4.如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.求证：(1)△ADE∽△ABC；(2)ADAE＝BDCE.1.下列命题中，是真命题的为（）A.锐角三角形都相似B.直角三角形都相似C.等腰三角形都相似D.等边三角形都相似2.如图，给出下列条件，其中不能单独判定△ABC∽△ACD的条件为（）A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．=D．=3.如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（）A.4对B.5对C.6对D.7对课堂训练4.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）5.如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M．下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD．正确的有（）个．A.4B.3C.2D.16.若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是__________.7.如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽∽。
新北师大版九年级数学第四章相似图形
新北师大版九年级数学第四章相似图形一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理：三条平行线被两条直线所截，所截得的对应线段成比例。
(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
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第四章 图形的相似
1 成比例线段
2 平行线分线段成比例
3 相似多边形
4 探索三角形相似的条件
*5 相似三角形判定定理的证明
6 利用相似三角形测高
7 相似三角形的性质
8 图形的位似
一. 成比例线段
※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线
段的比AB:CD=m:n ,或写成n
m B A =. ※2. 四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即
d c b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段.
※3. 注意点:
①a:b=k,说明a 是b 的k 倍;
②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数;
③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;
④除了a=b 之外,a:b ≠b:a,
b a 与a b 互为倒数; ⑤比例的基本性质:若d
c b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则
d c b a = ※1. 如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC
BC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.02
15:≈-=AB AC ※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.
二．平行线分线段成比例
※1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,
所得的对应线段成比例.
如图2, l 1 // l 2 // l 3,则EF
BC DE AB =. 三. 相似多边形 ¤1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形. ※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似
多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.
※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平
方.
四. 探索三角形相似的条件 _ 图1 _ B _ C _ A _ 图2
_ F _ E _ D _ C _ B _ A _ l _3 _ l _2
_ l _1
※1.在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.
※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.
※3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
※4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
※5. 相似三角形周长的比等于相似比.
※6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
※1. 相似三角形的判定方法:
基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所
※3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
八. 图形的位似
※1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比.
※2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
◎3. 位似变换:
①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这
一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中
心.
②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.
③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.。