第4章 系统稳定性

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式中X(t)为n维状态向量，f(X,t)是状态向量 和显式时间 的n 为 维状态向量 维状态向量， 是状态向量X和显式时间 式中 是状态向量 和显式时间t的 维向量函数。 不一定是线性定常的。 维向量函数。 f(X,t)不一定是线性定常的。如果对于 ，状态 e总 不一定是线性定常的 如果对于t，状态X 满足： 满足：
4.2 李雅普诺夫稳定性定义 4.2 Definition of the Lyapunov Stability
4.2.1 系统的平衡状态 4.2.1 Balance State of the System 设控制系统的齐次状态方程为： 设控制系统的齐次状态方程为：
ɺ X (t ) = f ( X , t )， X (t ) t =0 = X 0
ɺ X = AX + BU Y = CX
(4 − 5)
上一章中已求出上式的传递函数阵为： 上一章中已求出上式的传递函数阵为： (s ) = C (sI − A)−1 B W 的极点全部都有负实部时， 当W(s)的极点全部都有负实部时，该系统有界的输入将引起 的极点全部都有负实部时 有界的输出（ ），也就是说系统是输出稳定的 有界的输出（BIBO），也就是说系统是输出稳定的。 ），也就是说系统是输出稳定的。 可以证明，当式 所示系统传递函数W(s)没有零极点对消 可以证明，当式(4-5)所示系统传递函数 所示系统传递函数 没有零极点对消 系统的状态稳定性和系统的输出稳定性是一致的， 时，系统的状态稳定性和系统的输出稳定性是一致的，因为这时 系统矩阵的特征根就是系统传递函数的极点。 系统矩阵的特征根就是系统传递函数的极点。
ɺ X = AX + BU Y = CX
(4 − 5)
由于判定系统状态稳定性（内部稳定）时主要取决于系统的 由于判定系统状态稳定性（内部稳定） 初始状态，因此不考虑系统的输入结构和输入信号u， 初始状态，因此不考虑系统的输入结构和输入信号 ，只从系统 的齐次状态方程或系统矩阵A出发 出发。 的齐次状态方程或系统矩阵 出发。 很明显，当系统 矩阵非奇异时 矩阵非奇异时， 是系统唯一平衡状态。 很明显，当系统A矩阵非奇异时，Xe=0是系统唯一平衡状态。 是系统唯一平衡状态
系统的稳定一般有外部稳定和内部稳定两种。 系统的稳定一般有外部稳定和内部稳定两种。外部稳定又称 外部稳定 两种 输出稳定，也就是当系统在干扰取消后，在一定时间内， 作输出稳定，也就是当系统在干扰取消后，在一定时间内，其输 出会恢复到原来的稳态输出。输出稳定有时描述为系统的BIBO 出会恢复到原来的稳态输出。输出稳定有时描述为系统的 （Bounded Input Bounded Output）稳定，即有界的系统输入只能 ）稳定， 产生有界的系统输出。系统内部稳定主要针对系统内部状态， 产生有界的系统输出。系统内部稳定主要针对系统内部状态，反 映的是系统内部状态受干扰信号的影响。当扰动信号取消后， 映的是系统内部状态受干扰信号的影响。当扰动信号取消后，系 统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态， 统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统 状态稳定。 状态稳定。 在经典控制论中，研究对象都是用高阶微分方程或传递函数 在经典控制论中， 描述的单输入单输出（ 描述的单输入单输出（SISO）系统，反映的仅是输入输出的关系， ）系统，反映的仅是输入输出的关系， 不会涉及系统内部的状态。 不会涉及系统内部的状态。因此经典控制论中只讨论系统的输出 稳定问题。 稳定问题。 系统的稳定性是系统本身的特性，与系统的外部输入（控制） 系统的稳定性是系统本身的特性，与系统的外部输入（控制） 无关。在经典控制论中， 无关。在经典控制论中，我们通过研究线性定常系统的特征根的 情况来判断系统的输出稳定性：如果系统的特征根都有负的实部 情况来判断系统的输出稳定性： 即都在复平面的左部），则系统输出稳定。 ），则系统输出稳定 （即都在复平面的左部），则系统输出稳定。
X 显然t=t 显然 0时， = Φ (t 0 ; X 0 , t 0 ) = X 0
为系统的一个平衡点，如果给定一个以X 为球心， 设Xe为系统的一个平衡点，如果给定一个以 e为球心，以ε 为半径的n维球域 为半径的 维球域S(ε) ，总能找到一个同样以Xe为球心，以δ(ε,t0) 总能找到一个同样以 为球心， , 维球域 为半径的n维球域 维球域S(δ) ，使得从球域 使得从球域S(δ)出发的任意一条系统状态 为半径的 维球域 出发的任意一条系统状态 轨迹Φ , 轨迹Φ(t,X0,t0)在t≥t0的所有时间内，都不会跑出球域 ≥ 的所有时间内，都不会跑出球域S(ε) ，则 称系统的平衡状态X 称系统的平衡状态 e是李雅普诺夫稳定的(Lyapunov Stability)。 。 一般来说， 的大小不但与 有关，而且与系统的初始时间t 的大小不但与ε有关 一般来说，δ的大小不但与 有关，而且与系统的初始时间 0有 仅与ε有关时 的平衡状态。 关。当δ仅与 有关时，称Xe是一致稳定的平衡状态。 仅与 有关时，
进一步的，如果 不仅是李雅普诺夫稳定的平衡状态， 进一步的，如果Xe不仅是李雅普诺夫稳定的平衡状态，而且 当时间t无限增加时 从球域S(δ)出发的任一条状态轨迹Φ(t,X0,t0) 无限增加时， 出发的任一条状态轨迹Φ , 当时间 无限增加时，从球域 出发的任一条状态轨迹 都最终收敛于球心平衡点X 那么称X 都最终收敛于球心平衡点 e ，那么称 e是渐进稳定的(Asymptotic Stability)。 。 更进一步，如果从 ∞ 更进一步，如果从S(∞) ，即整个系统状态空间的任一点出发 的任一条状态轨迹Φ , 都收敛到平衡点X 的任一条状态轨迹Φ(t,X0,t0) ，当t→∞时，都收敛到平衡点 e ， ∞ 那么称X 很明显，这时的X 那么称 e是大范围渐进稳定的。很明显，这时的 e是系统的唯一 的平衡点。 的平衡点。 反之，对于给定 取得多么小，从球域S(δ)出发 反之，对于给定S(ε) ，不论ε取得多么小，从球域 出发 的状态轨迹Φ , 至少有一条跑出球域S( 的状态轨迹Φ(t,X0,t0) ，至少有一条跑出球域 ε) ，那么称平衡 是不稳定的。 点Xe是不稳定的。
对于n阶线性连续系统，其特征方程为： 对于 阶线性连续系统，其特征方程为： 阶线性连续系统
ɺ y n + a n −1 y n −1 + + a1 y + a0 y = 0
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≥4时 要求出其所有特征根是非常困难的， 当n≥4时，要求出其所有特征根是非常困难的，从而要想通 ≥4 过解出高阶系统的特征根来判别系统稳定性也是不现实的。 过解出高阶系统的特征根来判别系统稳定性也是不现实的。所以 1877年劳斯（Routh）和1895年霍尔维茨（Hurwitz）分别提出了有 年劳斯（ 年霍尔维茨（ 年劳斯 ） 年霍尔维茨 ） 名的劳斯－霍尔维茨稳定判据， 名的劳斯－霍尔维茨稳定判据，它可以通过线性定常系统特征方 程的系数的简单代数运算来判别系统输出稳定性， 程的系数的简单代数运算来判别系统输出稳定性，而不必求出各 个特征根。 个特征根。 当系统不是线性定常系统时， 当系统不是线性定常系统时，或者对于系统内部状态稳定问 题，经典控制论中的方法就不能解决了，这就需要下面介绍的李 经典控制论中的方法就不能解决了， 雅普诺夫（ 雅普诺夫（Lyapunov）稳定性的理论。 ）稳定性的理论。
那么当A为非奇异时， 是系统的唯一平衡状态； 那么当 为非奇异时，Xe=0是系统的唯一平衡状态；当A为奇 为非奇异时 是系统的唯一平衡状态 为奇 异矩阵时，有无数解，也就是系统有无数个平衡状态。 异矩阵时，有无数解，也就是系统有无数个平衡状态。 系统的状态稳定性是针对系统的平衡状态的， 系统的状态稳定性是针对系统的平衡状态的，当系统有多个 平衡状态时，需要对每个平衡状态分别进行讨论。对系统矩阵A 平衡状态时，需要对每个平衡状态分别进行讨论。对系统矩阵 是系统的唯一平衡状态， 非奇异的线性定常系统， 是系统的唯一平衡状态 非奇异的线性定常系统， Xe=0是系统的唯一平衡状态，所以对线 性定常（ 性定常（LTI）系统，我们一般笼统用的稳定性代表系统稳定性。 ）系统，我们一般笼统用的稳定性代表系统稳定性。 4.2.2 李雅普诺夫稳定 4.2.2 Lyapunov Stability 假设（ ）式在给定初始条件下的解为： 假设（4-2）式在给定初始条件下的解为：
对于X 的稳定性 我们有如下判据（ 的稳定性， 对于 e=0的稳定性，我们有如下判据（Xe大范围渐进稳定的 充要条件）： 充要条件）： 当线性定常系统的系统矩阵A的所有特征根都有负的实部时， 当线性定常系统的系统矩阵 的所有特征根都有负的实部时， 的所有特征根都有负的实部时 其唯一的状态平衡状态Xe=0是渐进稳定的，而且是大范围渐进稳 其唯一的状态平衡状态 是渐进稳定的， 是渐进稳定的 定。
某系统的动态方程为： 例4.1 某系统的动态方程为：
ɺ − 1 0 1 X = X + 1u 0 1 Y = [1 0]X
试分析系统的状态稳定性和输出稳定性。 试分析系统的状态稳定性和输出稳定性。 所以X =0是系统的唯一平衡点 是系统的唯一平衡点。 解：因为 A = −1 ，所以Xe=0是系统的唯一平衡点。 系统特征方程为： 系统特征方程为：
X (t ) = Φ(t; X 0 , t 0 )
(4 − 4)
X (t ) = Φ(t; X 0 , t 0 )
(4 − 4)
这一解是与初始时间t 及其初始状态X 有关的， 这一解是与初始时间 0及其初始状态 0有关的，体现系统状态 出发的一条状态轨迹。 从(t0 ,X0)出发的一条状态轨迹。 出发的一条状态轨迹
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4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 李雅普诺夫第一法（间接法） 4.3 First Method of the Lyapunov (Indirect Method)
李雅普诺夫第一法通过分析系统微分方程的显式解来分析系 统的稳定性，对线性定常系统， 统的稳定性，对线性定常系统，它可以直接通过系统的特征根情 况来分析。 况来分析。李雅普诺夫第一法的基本思路与经典控制论中的稳定 性判别思路基本一致。 性判别思路基本一致。 设线性定常系统的动态方程为： 设线性定常系统的动态方程为：
第4章 系统稳定性及其李雅普诺夫稳定 章 Chapter 4 System Stability & Lyapunov Stability
4.1 稳定性一般概念 4.1 Concept of the System Stability
对于一个实际的控制系统， 对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑是一个极其 重要的问题， 重要的问题，因为一个不稳定的系统在实际应用中是很难有效地 发挥作用的。从直观上看， 发挥作用的。从直观上看，系统的稳定性就是一个处于稳态的系 在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置， 统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内， 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定， 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会 回到原来的平衡位置。 回到原来的平衡位置。
λI − A = λ +1
0 0 = (λ + 1)(λ − 1) = 0
λ −1
所以，系统特征值为： 所以，系统特征值为：
λ1 = −1 < 0， λ2 = 1 > 0
f ( X e , t) = 0
(4 − 3)
则我们称为Xe系统的平衡状态。对于一般控制系统，它可能 则我们称为 系统的平衡状态。对于一般控制系统， 没有，也可能有一个或多个平衡状态。 没有，也可能有一个或多个平衡状态。
如果系统是一个线性定常系统， 如果系统是一个线性定常系统，即：
ɺ X = AX